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    Andr

    Fortin

    Analyse

    numrique

    pour ingnieurs

    Quatrime dition

    Extrait de la publication

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    Analyse

    numrique

    pour ingnieurs

    Quatrime dition

    Andr

    Fortin

    Presses internationales

    P o l y t e c h n i q u e

    Professeur

    lUniversit

    Laval

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    Analyse numrique pour ingnieurs, quatrime dition

    Andr Fortin

    Couverture : Cyclone Design

    Pour connatre nos distributeurs et nos points de vente, veuillez consulter notre site Web

    ladresse suivante : www.polymtl.ca/pub

    Courriel des Presses internationales Polytechnique : [email protected]

    Nous reconnaissons laide nancire du gouvernement du Canada par lentremise du Fonds

    du livre du Canada pour nos activits ddition.

    Gouvernement du Qubec Programme de crdit dimpt pour ldition de livres

    Gestion SODEC.

    Tous droits rservs

    Presses internationales Polytechnique, 2011

    On ne peut reproduire ni diffuser aucune partie du prsent ouvrage, sous quelque forme

    ou par quelque procd que ce soit, sans avoir obtenu au pralable lautorisation crite

    de lditeur.

    Dpt lgal : 4etrimestre 2011 ISBN 978-2-553-01622-6 (version imprime)

    Bibliothque et Archives nationales du Qubec ISBN 978-2-553-01624-0 (version pdf)

    Bibliothque et Archives Canada Imprim au Canada

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    mon pouse Marieet mes fils Michelet Jean-Philippe

    Une pense spcialepour mon pre etpour Line et Marcainsi que pour ma mrequi nous a quitts

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    Avant-propos laquatrime dition

    Lanalyse numrique et les mthodes numriques en gnral poursuiventleur essor considrable amor depuis plusieurs annes. La vaste majorit desfacults de gnie offrent au moins un cours dintroduction cette discipline,suivi trs souvent dun second cours plus avanc.

    Ce manuel reflte mon exprience comme professeur danalyse numriqueaux ingnieurs, dabord lcole Polytechnique de Montral et, par la suite, lUniversit Laval Qubec. Chaque anne, plus de 500 tudiants de ces deuxinstitutions suivent un tel cours qui propose un survol des principales mthodesnumriques lmentaires et couvre plus particulirement les sujets suivants :

    analyse derreurs; racines dune quation algbrique ; systmes dquations linaires et non linaires ; mthodes itratives et systmes dynamiques ; interpolation; diffrentiation et intgration numriques ; quations diffrentielles ordinaires.Lapproche pdagogique de ce manuel repose toujours sur une comprhen-

    sion profonde des mthodes plutt que sur laspect calculatoire. Cela signifieque les exemples choisis cherchent avant tout illustrer diffrents aspects desmthodes et souligner leurs avantages et leurs inconvnients. Cette approcheest justifie en partie par le fait que de plus en plus dingnieurs utilisentdes outils logiciels commerciaux. Lobjectif de ce manuel est donc de faire destudiants des utilisateurs intelligents, en ce sens quils sauront exactement

    quoi sattendre de chaque mthode et quils seront en mesure de valider leursrsultats.Leprix francophone du livre et de la technologie, ouprix Roberval, dcern

    par lUniversit de Compigne en France, est venu rcompenser mes effortsen 1996. Ce fut une belle rcompense, mais il demeure que rien ne vaut lescommentaires des principaux intresss, les tudiants. Bien entendu, on nepeut plaire tous, et cet ouvrage ne fait pas exception, mais jai quand mmesenti un accueil largement favorable. Cest un encouragement poursuivre letravail entrepris, amliorer la prsentation et rechercher dautres exempleset applications.

    Cest encore le but vis par cette quatrime dition qui ne contient pasde modifications majeures par rapport la troisime. Quelques sections ontt rcrites, dans lespoir den amliorer la prsentation et den faciliter la

    v

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    vi Avant-propos

    comprhension. Cest le cas notamment pour la section sur la transforme deFourier rapide et celle sur la mthode de Runge-Kutta-Fehlberg. Jai modifi lanumrotation des dfinitions, exemples, remarques, etc. Ainsi, la remarque 1.2prcdera lexemple 1.3 et suivra forcment la dfinition 1.1. Le lecteur devraitsy retrouver plus facilement dans le texte.

    Certains exercices plus labors sont maintenant identifis par le symboleet ncessitent lemploi de lordinateur. Pour rsoudre ces exercices, la plu-

    part des mthodes dcrites sont disponibles sous forme de programmes enlangage Matlab ladresse Internet suivante :

    www.giref.ulaval.ca/afortin/

    Ces programmes constituent un complment fort utile pour explorer les possi-bilits et limites des diffrentes mthodes prsentes. Laide en ligne permettraau lecteur de reprendre certains des exemples dcrits dans ce manuel et ainsi

    de sinitier lutilisation des diffrentes mthodes qui y sont dcrites. On peutgalement sen servir comme outil pour dventuels travaux pratiques en labo-ratoire ou pour des devoirs.

    En terminant, jaimerais remercier toutes les personnes qui ont contribu la ralisation de ce manuel. Mme Carole Burney-Vincent, M. Gilles Savard M.et M. Robert Roy de lcole Polytechnique de Montral ont patiemment lu etcomment plusieurs chapitres de la premire dition.

    Plusieurs personnes ont contribu de prs ou de loin aux ditions subs-quentes. lUniversit Laval, M. Michel Fortin ma fortement incit inclurede nouvelles sections, notamment sur les NURBS, tandis que messieurs RogerPierre et Jos Urquiza ont eu la patience de relire et de commenter plusieursdes nouveaux ajouts. Je note aussi la contribution de M. Robert Gunette quima propos quelques nouveaux sujets ainsi que de nombreux exercices.

    Enfin, je ne peux passer sous silence lappui inconditionnel de mon pouseMarie et de mes fils Michel et Jean-Philippe qui ont d, entre autres choses,subir mes absences frquentes lors de la rdaction et de la mise en pages finalede cet ouvrage. Lorsque jen ai commenc la rdaction, je ne me serais jamaisdout que mes deux fils auraient lutiliser eux-mmes dans lun de leurscours...

    Que chacun et chacune veuillent bien trouver ici lexpression de ma plusprofonde reconnaissance.

    Andr Fortin

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    Table des matires

    1 Analyse derreurs 11.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Erreurs de modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Reprsentation des nombres sur ordinateur . . . . . . . . . . . . 7

    1.3.1 Reprsentation des entiers signs . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3.2 Reprsentation des nombres rels . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Erreurs dues la reprsentation . . . . . . . . . . . . . 121.4 Norme IEEE-754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4.1 Exceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Nombres non normaliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5 Arithmtique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Oprations lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Oprations risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 valuation des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.6 Erreurs de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.6.1 Dveloppement de Taylor en une variable . . . . . . . . 281.6.2 Dveloppement de Taylor en plusieurs variables . . . . . 341.6.3 Propagation derreurs dans le cas gnral . . . . . . . . 35

    1.7 valuation de la fonctionex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2 quations non linaires 492.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Mthode de la bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Mthodes des points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.3.1 Convergence de la mthode des points fixes . . . . . . . 582.3.2 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.3 Extrapolation dAitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    2.4 Mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.1 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.2 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.3 Cas des racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    2.5 Mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    2.6.1 Modes de vibration dune poutre . . . . . . . . . . . . . 812.6.2 Premier modle de viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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