22
ESCE UM AVEIRO Analyse Numérique Saiida LAZAAR ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc Méthodes numériques pour la résolution d’équations différentielles Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 1 / 21

Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Analyse Numérique

Saiida LAZAAR

ENSA de TangerUniversité AbdelMalek Essaadi, Maroc

Méthodes numériques pour la résolution d’équations différentielles

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 1 / 21

Page 2: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 2 / 21

Page 3: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Introduction

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 3 / 21

Page 4: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Introduction

- Certaines équations différentielles ne peuvent pas être résolues sousforme explicite. Ex. : dy

dt = y2 − t

- Cependant, on peut approximer la solution de ces équations par desméthodes numériques.

- Nous allons nous concentrer sur le problème de Cauchy et nousallons voir des méthodes d’approximation de type Euler, et RungeKutta.

- Par soucis de simplicité, nous allons nous restreindre aux méthodesà un pas.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 4 / 21

Page 5: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Introduction

Problème de Cauchy

HypothèsesSoit I un intervalle de IR non réduit à un point, soit t0 ∈ I.f désigne une fonction continue sur I × IR à valeurs dans IR. Soity0 un réel donné.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 4 / 21

Page 6: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Introduction

Problème de Cauchy

DéfinitionOn appelle problème de Cauchy le problème suivant : Trouver y unefonction continue et dérivable sur I à valeurs réelles telle que :

∀t ∈ I, y′(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 5 / 21

Page 7: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode d’Euler

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 6 / 21

Page 8: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode d’Euler

Méthode d’Euler

IntroductionSoit le problème différentiel suivant : trouver y telle que∀t ∈ [t0, t0 + T ] y

′(t) = f (t , y(t)), y(t0) = y0

Nous supposons que f est continue sur [t0, t0 + T ]× IR et vérifie unehypothèse de Lipshitz :

∃L/∀t ∈ [t0, t0 + T ], |f (t , y)− f (t , z)| ≤ L|y − z|, ∀y , z ∈ IR

Nous allons voir que le problème de Cauchy admet une solutionunique qu’on va approcher de façon discrète.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 7 / 21

Page 9: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

DiscrétisationOn se donne une subdivision de [t0, t0 + T ] soit :

t0 < t1 < ... < tN = (t0 + T )

On pose hn = tn+1 − tn pour n = 0, ...,N − 1 le pas de discrétisation eton note h = maxhn

Solution numériqueSi y désigne la solution du problème de Cauchy, on :

y(tn+1) = y(tn) +

∫ tn+1

tny

′(t)dt = y(tn) +

∫ tn+1

tnf (t , y(t))dt

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 8 / 21

Page 10: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

Schéma d’Euler

La méthode d’Euler s’écrit en remplaçant∫ tn+1

tn f (t , y(t))dt parf (tn, yn).hn dans l’équation précédente.On remarque ici une approximation de l’intégrale par une méthode dequadrature.

Schéma d’Euler explicite et impliciteDans la solution précédente, on change seulement le terme f (., yn), onintroduit tn ou tn+1

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 9 / 21

Page 11: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

Schéma d’Euler explicite

yn+1 = yn + hnf (tn, yn)

Schéma d’Euler implicite

yn+1 = yn + hnf (tn+1, yn+1)

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 10 / 21

Page 12: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthodes à un pas

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 11 / 21

Page 13: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthodes à un pas

Méthodes à un pas

DéfinitionConsidérons le problème de Cauchy avec la condition de Lipshitz et lamême subdivision de l’intervalle I.

Une méthode à un pas s’écrit :{yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn,hn),n ≥ 0y0 = η

On suppose que Φ est continue et ne dépend que de f .

Remarque : Φ(t , y ,h) = f (t , y) pour la méthode d’Euler.

ThéorèmeSi la méthode à un pas est stable et consistante, alors elle estconvergente.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 12 / 21

Page 14: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Définitions générales

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 13 / 21

Page 15: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Définitions générales

Consistance, convergence, stabilité

ConsistanceLa méthode à un pas est consistance avec l’équation différentielleinitiale si pour toute solution du problème de Cauchy, on ait :

∑N−1i=0 |y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| → 0 quand hn → 0.

Convergencemaxn|y(tn)− yn| → 0.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 14 / 21

Page 16: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Définitions générales

Ordre d’une méthode à un pas

DéfinitionLa méthode à un pas est d’ordre p > 0 s’il existe un réel Kindépendant de y et de Φ tel que :

N−1∑n=0

|y(tn+1)− y(tn)− hnΦ(tn, y(tn),hn)| ≤ Khp

pour toute solution y ∈ Cp+1[t0, t0 + T ¸] de l’équation y′(t) = f (t , y(t))

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 15 / 21

Page 17: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Définitions générales

Exemple de méthodes à un pas

Méthode du développement de Taylor

voir les détails au tableau.

*Pour p = 1, on retrouve la méthode d’Euler.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 16 / 21

Page 18: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode de Runge Kutta

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 17 / 21

Page 19: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode de Runge Kutta

Méthode de Runge Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodesd’approximation de solutions d’équations différentielles.En 1901, elles ont été nommées en l’honneur des mathématiciensCarl Runge et Martin Wilhelm Kutta.Ces méthodes reposent sur le principe d’itération : Une 1èreestimation de la solution est utilisée pour calculer une secondeplus précise.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 18 / 21

Page 20: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Méthode de Runge Kutta

Méthode de Runge Kutta d’ordre q

Définition

tn,i = tn + cihn

yn,i = yn + hn∑

1≤j<i

aijpn,j

pn,i = f (tn,i , yn,i)tn+1 = tn + hn

yn+1 = yn + hn∑

1≤j<q

bjpn,j

On a toujours :∑

1≤j<i aij = ci ,∑

1≤j<q bj = 1.

**Pour les méthodes d’ordre 2 et 4, voir explications au tableau.

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 19 / 21

Page 21: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Conclusion

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 20 / 21

Page 22: Analyse Numérique - WordPress.com · 2020. 3. 17. · Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique. Une introduction à la discrétisation numérique

ESCE UM AVEIRO

Conclusion

ConclusionNous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analysenumérique.Une introduction à la discrétisation numérique a également étéprésentée.Les schémas numériques présentés ont été illustrés sur unmodèle mathématique régi par une équation de typey

′(t) = f (t , y(t)).

Saiida LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com/ ENSA de Tanger 21 / 21