Analyse vectorielle

TABLE DES MATIERES

Partie I. Analyse vectoriel en coordonnees cartesiennes 2

1. Rappel, definitions 2

2. Gradient d’une fonction scalaire 3

3. Divergence d’une fonction vectorielle 5

4. Rotationnel d’une fonction vectorielle 8

5. Laplacien 12

6. Formules utiles 13

6.1 Formules differentielles 13

6.2 Formules integrales 17

Partie II. Analyse vectoriel en coordonnees curvilignes 20

~gradf , div ~A, ~rot ~A et ∆f en coordonnees spheriques et cylindriques 20

Partie III. Applications physiques 29

1. Application en electrostatique. Fonction δ(~r) de Dirac 29

2. Les ondes electromagnetiques dans le vide 31

3. Application en hydrodynamique 34

1

Partie I. Analyse vectoriel en coordonnees cartesiennes

1 Rappel, definitions.

Un point P dans l’espace reel R3, en 3 dimensions spacialles, sera marque par un vecteur

~r, avec des composantes (x, y, z) qui sont les coordonnee cartesiennes de ce point, Fig.1:

~r =

x

y

z

(1.1)

Dans les coordonnees spheriques, ce meme point sera presente par les parametres

(r, Θ, ϕ) ou r =√

x2 + y2 + z2 et les angles Θ, ϕ sont indiques dans la Fig.2.

Dans les coordonees cylindriques, ~r sera presente par les parametres (ρ, ϕ, z), ou ρ =√

x2 + y2, la coordonnee z et la meme que dans (1.1) et l’angle ϕ est indique dans la

Fig.3.

Une fonction f(~r), definie dans R3, est une regle particuliere qui fait correspondre les

points de R3 et les nombres reels (ou complexes). Symboliquement:

f(~r) : R3 −→ R(C) (1.2)

Exemples:

1) f(~r) =1

r(1.3)

– potentiel d’un Coulomb, en l’electrostatique, produit par la charge electrique q = 4π,

placee a l’origine (nous mettons 1ε0

= 1 pour simplifier les formules).

2) g(~r) =1

a2 + r2(1.4)

3) h(~r) =(~p · ~r)

r3(1.5)

2

ou ~p est un parametre vectoriel; h(r) est un potentiel cree par un petit dipole place a

l’origine; (~p · ~r) est un produit scalaire usuel.

Nous allons appler egalement f(~r) fonction scalaire, pour faire la difference avec des

fonctions vectorielles qu’on peut egalement definir dans l’espace R3.

Une fonction vectorielle ~A(~r), definie dans R3, est une regle particuliere qui fait cor-

respondre les points de R3 et les points d’un autre espace R3, ou du meme espace.

Exemples

1) ~E(~r) =~r

r3(1.6)

2) ~G(~r) =2~r

(a2 + r2)2(1.7)

Dans la suite de la 1ere partie de nos cours la plupart des expressions sera donnee

dans les coordonnees cartesiennes.

Plus tard, dans la partie II, nous allons traduire nos equations en coordonnees spheriques

et cylindriques.

2 Gradient d’une fonction scalaire.

Par definition, gradient de f(~r), ~gradf(~r) ≡ ~∇f(~r), est un vecteur avec des composantes:

~∇f(~r) =

∂∂x

f(~r)

∂∂y

f(~r)

∂∂z

f(~r)

≡

∂xf(~r)

∂yf(~r)

∂zf(~r)

(2.1)

Operateur differentiel nabla ~∇, qui figure dans (2.1), est un vecteur avec des composantes:

~∇ =

∂∂x

∂∂y

∂∂z

≡

∂x

∂y

∂z

(2.2)

Exercices.

Demontrer les resultats suivants:

3

1) ~∇r =~r

r(2.3)

2) − ~∇1

r=

~r

r3(2.4)

3) − ~∇ 1

a2 + r2=

2~r

(a2 + r2)2(2.5)

4) − ~∇(~p · ~r)r3

=3(~p · ~r)~r − r2~p

r5(2.6)

Les resultats dans 2) et 4) correspondent a un champ electrique ~E(~r) cree, respectivement,

par une charge q = 4π placee a l’origine et par un dipole electrique ~p, place egalement a

l’origine.

5) Pour justifier la formule (1.5) d’un potentiel electrique d’un dipole, demontrer le

developpement limite suivant:

q

|~r ± ~a2|

=q

r∓ q(~a · ~r)

2r3+ O(

1

r(a

r)2) (2.7)

qui est utile dans la limite |~a| |~r|. Le symbole | ~A|, pour un vecteur ~A quelconque,

definit le module de ~A (sa longueur):

| ~A| ≡ A =√

A2x + A2

y + A2z (2.8)

En particulier |~a| ≡ a, |~r| = r. Avec le resultat dans (2.7), on trouve:

q

|~r − ~a2|− q

|~r + ~a2|

=q(~a · ~r)

r3+ O(

1

r(a

r)2) (2.9)

et alors, dans la limite de |~a| tout petit par rapport a |~r|, on retrouve le potentiel (1.5)

avec ~p = q~a.

Derivee dans la direction ~n.

Le produit scalaire de ~∇f(~r) avec un vecteur ~n quelconque, |~n| = 1, est egale a la

derivee de f(~r) dans la direction ~n:

(~n · ~∇f(~r)) = ∂~nf(~r)

∂~nf(~r) =def limε→0

f(~r + ε~n)− f(~r)

ε(2.10)

4

La demonstration de cette propriete (egalite des la partie gauche et de la partie droite

de (2.10)) est suggeree en exercice.

Sur cette propriete est basee la deuxieme propriete du gradient:

le gradient ~∇f(~r), considere comme un vecteur qui est attache a un point ~r donne,

est orthogonal a la surface S~r de valeurs constantes de f(~r) qui passe par ce meme point

~r (la surface de niveau de f(~r) ou la surface equipotentielle, dans le cas ou f(~r) est un

potentiel electrique), Fig.4.

La demonstration de cette propriete est tres simple. Supposons que ~m(~r) est un

vecteur qui est egalement attache au point ~r, tout comme ~∇f(~r), et qui est tangent a la

surface de niveau S~r, Fig.4. Alors, comme f(~r) ne varie pas le long de cette surface, on

doit avoir

∂~mf(~r) = 0 (2.11)

Mais alors, par l’eq.(2.10),

(~m · ~∇f(~r)) = 0 (2.12)

Il s’agit du resultat annonce, d’orthogonalite de ~∇f(~r) a S~r.

Exemples. On pourrait facilement verifier/constater cette orthogonalite sur des ex-

emples des fonctions et de leurs gradients dans les exercices 1)-3), eqs.(2.3)-(2.5). Mais il

sera moins facile de la verifier directement dans le cas du potentiel d’un dipole, exercice

4), eq. (2.6).

3 Divergence d’une fonction vectorielle.

Soit ~A(~r) une fonction vectorielle, ou un champ des vecteurs, ou encore un champ vectoriel

dans la terminologie d’un physicien. Sa divergence est definie par l’expression:

div ~A(~r) =def (~∇ · ~A(~r) = ∂xAx(~r) + ∂yAy(~r) + ∂zAz(~r) (3.1)

5

La signification physique de la divergence est liee a la notion d’un

flux d’un champ vectoriel a travers une surface:

FS =∫

S(d~s · ~A(~r)) (3.2)

–Fig.5. Dans cette expression d~s est un vecteur oriente dans la direction orthogonale a S

et avec son module |d~s| egale a l’aire d’un petit element de surface qui est montre dans la

figure. Dans cette figure est expose un seul element de la surface S, mais il faut imaginer

que toute la surface est brisee en petits elements similaires et, en calculant l’integrale

dans (3.2), on fait sommer sur l’ensemble de ces petits elements, dans la limite ou leur

nombre tend vers l’infini (le surface S etant brisee en elements de plus en plus petits).

Il est assez simple a demontrer que la divergence d’un champ ~A(~r) en un point ~r est

proportionnelle a un flux de champ ~A a travers une petite surface fermee qui entoure

le point ~r, dans la limite ou la taille de cette surface (et le volume de l’espace qu’elle

entoure) tend vers zero, Fig.6. Le coefficient de proportionalite est le petit volume dΩ

entoure par la surface:

dFS ' div ~A · dΩ (3.3)

Nous avons note ce flux dFS, au lieu de FS, pour expliciter qu’il est tout petit, comme

le volume dΩ. Sinon, dFS se calcule par la meme formule, celle dans l’eq.(3.2).

L’egalite approchee dans l’eq.(3.3) devient l’egalite dans la limite de dΩ → 0. Par

consequence dFS → 0 egalement, mais leur rapport dFS/dΩ reste fini et devient egale a

la divergence, div ~A(~r).

La demonstration de l’eq.(3.3), c’est a dire l’emergence de div ~A a partir de l’eq.(3.2)

pour S fermee et toute petite, cette demonstration pourrait se faire de la maniere plus

simple en choisissant pour S la forme d’un cube, Fig.7. Avec quelques arguments

supplementaires on pourrait se convaincre que le resultat de la limite (quand la taille

de S tend vers zero) ne depend pas de la forme particuliere de S. D’autre part, avec S

de la forme d’un cube, la demonstration est plus rapide.

Dans la limite ou le cube devient tout petit, l’integrale sur la surface dans l’eq.(3.2)

pourrait etre remplacee par la somme des flux approximatifs a travers les 6 cotes du cube,

6

~A(~r) etant choisi, pour sa valeur, au millieu de chaque cote, multiplie par l’aire du cote.

Une remarque supplementaire est que, si ~A est oriente vers l’interieur du cube, pour

un cote particulier, alors sa contribution aura un signe negatif, comme resultat du produit

scalaire (d~s, ~A) dans l’eq.(3.2). La convention habituelle etant pour une surface fermee,

d~s est oriente vers l’exterieur.

Avec ces observations on trouve l’expression suivante, Fig.7:

dFS ' Ax(~r +dx

2~ex)dydz − Ax(~r −

dx

2~ex)dydz

+Ay(~r +dy

2~ey)dxdz − Ay(~r −

dy

2~ey)dxdz

+Az(~r +dz

2~ez)dxdy − Az(~r −

dz

2~ez)dxdy (3.4)

~ex, ~ey, ~ez (|~ex| = |~ey| = |~ez| = 1) sont les vecteurs de base, Fig.7. En developpant

Ax(~r + dx2~ex) dans dx

2, etc., on trouve:

dFS ' (∂Ax(~r)

∂x+

∂Ay(~r)

∂y+

∂Az(~r)

dz)dxdydz (3.5)

– en accord avec l’eq.(3.3).

Exemple. Considerons le cas ou ~A(~r, t), qui depend en plus de temps dans cet exemple,

est la densite d’un courant des particules: des molecules d’un gaz en mouvement ou des

particules chargees qui constituent un courant electrique. On trouve dans ce cas:

~A(t, ~r) = ρ(t, ~r) · ~v(t~r) (3.6)

ou ρ(t, ~r) est la densite des particules (en un point ~r et au moment t) et ~v(t, ~r) est leur

vitesse moyenne. La divergence de ~A dans cet exemple correspond a la difference d’un

nombre des particules qui sortent et qui rentrent dans le petit volume dans la Fig.6, par

l’unite du temps. Si, par exemple, div ~A(~r, t) est positif, alors le nombre de particules

qui sortent sera superieure au nombre des particules qui rentrent et, en consequence, la

densite des particules (en un point ~r, au moment t) va diminuer. On aura l’equation:

∂ρ(t, ~r)

∂t= −div ~A(t, ~r) (3.7)

7

qui decrit le bilan local des particules en mouvement. Il faut ajouter que

l’equation de bilan dans la forme (3.7) correspond au cas ou il n’y a pas de sources

de production des nouvelles particules dans un milieu et, egalement, il n’y a pas de

disparition des particules.

Exercices.

Calculer la divergence des champs vectoriels suivants

1) ~A(~r) = ~r (3.8)

2) ~A(~r) =~r

r3, en ~r 6= 0 (3.9)

3) ~A(~r) =~r

a2 + r2(3.10)

Reponses:

1) div~r ≡ (~∇ · ~r) = 3 (3.11)

2) div~r

r3≡ (~∇ · ~r

r3) = (~∇ · ~r) 1

r3− 3

r4(~r · ~∇r) = 0 (3.12)

3) div~r

a2 + r2≡ (~∇ · ~r

(a2 + r2)= ... =

3a2 + r2

(a2 + r2)2(3.13)

4 Rotationnel d’une fonction vectorielle.

Definition. Pour un champ de vecteurs ~A(~r) son rotationnel est defini par l’expression:

~rot ~A ≡ ~∇∧ ~A = (∂yAz − ∂zAy)~ex

+(∂zAx − ∂xAz)~ey + (∂xAy − ∂yAx)~ez (4.1)

~ex, ~ey, ~ey sont les vecteurs de base des coordonnees cartesiennes.

Le symbole ~∇ ∧ ~A signifit le produit exterieur des deux vecteurs, ~∇ et A, appele

egalement produit vectoriel de deux vecteurs. Dans ce cas particulier, avec ~∇ etant un

operateur de derivation, il s’agit de la derivee exterieure du champ ~A(~r).

La facon compacte et pratique pour des calculs est de presenter le produit exterieur

de deux vecteurs ~A et ~B dans la forme suivante:

( ~A ∧ ~B)i = εijkAjBk (4.2)

8

Il y a quelques conventions qui sont implicites dans (4.2):

1) les indices i, j, k prennent trois valeurs differentes: soit 1,2,3, soit x, y, z, comme

dans les formules precedentes; les deux suites des indices vont etre considerees comme

equivalantes dans la suite;

2) les indices qui se repetent, comme j et k dans l’eq.(4.2), sont sommes sur ces valeurs:

εijkAjBk ≡∑3

j=1

∑3k=1 εijkAjBk (convention d’Einstein pour l’algebre de tenseurs);

3) εijk est un tenseur du rang 3 (ayant trois indices), entierement antisymetrique: il

change son signe sous permutation de toutes paires des ses indices voisins; ce tenseur est

beaucoup utilise dans l’algebre des vecteurs et des tenseurs, plus generalement; la conven-

tion standard est que ε123 = 1 et alors ses autres composantes non-nulles se determinent

par permutation des indices; on trouve:

ε123 = ε231 = ε312 = 1 (4.3)

(sous la permutation cyclique de trois indices le signe ne change pas)

ε213 = ε132 = ε321 = −1 (4.4)

les autres composantes sont nulles en consequence d’antisymetrie: ε112 = −ε112 (permu-

tation de ses deux premiers indices, qui ont la meme valeur) ⇒ ε112 = 0, etc.;

4) l’expression a gauche dans l’eq.(4.2), ( ~A∧ ~B)i, signifie la composante numero i du

vecteur qui resulte du produit exterieur ~A ∧ ~B; par exemple:

( ~A ∧ ~B)1 ≡ ( ~A ∧ ~B)x

= ε1ijAiBj = ε123A2B3 + ε132A3B2

= A2B3 − A3B2 ≡ AyBz − AzBy (4.5)

Il est suggere, en exercice 1, de retrouver de cette maniere ( ~A ∧ ~B)2 et ( ~A ∧ ~B)3.

Exercice 2. Soit ~C un vecteur qui resulte du produit exterieur de ~A et ~B: ~C = ~A∧ ~B.

En utilisant la representation (4.2) pour ~A∧ ~B, demontrer l’orthogonalite de ~C a ~A et a

~B: (~C, ~A) = 0, (~C, ~B) = 0.

9

Indication: d’apres les conventions presentees ci-dessus le produit scalaire (~C, ~A)

s’ecrit comme suit:

(~C, ~A) = CiAi(≡3∑

i=1

CiAi) = εijkAjBkAi (4.6)

Il reste a trouver les arguments pour conclure que le dernier produit ci-dessus, ou on fait

sommer sur tous les trois indices, vaut 0.

Avec ces conventions, le rotationnel ~rot ~A dans l’eq. (4.1) prend la forme:

( ~rot ~A)i ≡ (~∇∧ ~A)i = εijk∇jAk (4.7)

De la meme maniere comme pour les deux vecteurs ~A et ~B ci-dessus, on trouve, a partir

de l’eq.(4.7):

( ~rot ~A)x = ∂yAz − ∂zAy

( ~rot ~A)y = ∂zAx − ∂xAz

( ~rot ~A)z = ∂xAy − ∂yAx (4.8)

– en accord avec l’eq.(4.1), ou les composantes sont multipliees par les vecteurs de base

correspondants.

Definition. Circulation d’un champ ~A(~r) le long d’un contour C est definie par l’integrale:∮C

d~r · ~A(~r) (4.9)

D’une maniere similaire comme pour le rapport entre le flux a travers une petite sur-

face fermee et la divergence, eq.(3.3), on peut demontrer que la circulation d’un champ

vectoriel ~A(~r) le long d’un petit contour ferme est egale (dans le limite d’un tout petit

contour) a ( ~rot ~A(~r) · d~s), ou d~s est une petite surface, bornee par le contour:∮C

d~r. ~A(~r) ' d~s · ~rot ~A (4.10)

– Fig.8. Nous rappelons que, par definition, d~s est un vecteur qui est orthogonal a la

surface, avec son module (longueur) |d~s| egale a l’aire; raccordement de l’orientation du

contour et de la direction de d~s (le choix entre les deux directions possibles) est montre

dans la figure.

10

Pour donner l’idee sur la demonstration de la formule (4.10), nous prennons le cas le

plus simple ou le petit contour C a gauche de l’eq. (4.10) est un petit carre, dont les

deux cotes sont parallels aux axes x et y, Fig.9. Dans ce cas, et dans la limite de tout

petit carre (la taille des cotes dx, dy → 0), l’integrale a gauche dans l’eq. (4.10) pourrait

etre remplacee par la somme:

Ay(~r +dx

2~ex)dy − Ax(~r +

dy

2~ey)dx

−Ay(~r −dx

2~ex)dy + Ax(~r −

dy

2~ey)dx (4.11)

qui represente la circulation discrete du champ ~A le long du carre. En developpant ensuite

les composantes du champ ~A dans dx2

, dy2, on trouve, comme le terme principal:

(∂xAy − ∂yAx)dx dy (4.12)

Le premier facteur correspond a la composante z du ~rot ~A(~r) et le deuxieme correspond

a |d~s|, l’aire de la petite surface qui est bornee par le carre. On peut constater que

tout est en accord avec l’expression a droite dans l’eq.(4.10). En effet, pour l’orientation

du carre dans la Fig.9, le vecteur d~s doit etre oriente le long de l’axe z, direction posi-

tive. Ce vecteur, en fasant le produit scalaire avec ~rot ~A (partie droite de l’eq.(4.10)), va

selectionner la composante z du rotationnel, en accord avec l’expression dans l’eq.(4.12).

Dans le cas general, des autres formes du chemin C et d’autres orientations, la

demonstration pourrait etre rendu proche a la demonstration ci-dessus, pour le cas spe-

cial. La formule limite (4.10), de tout petit chemin C, reste toujours valable.

Exercice 3. Soit f(~r) une fonction scalaire et ~∇f(~r) son gradient. Demontrer que

rotationnel d’un gradient est egale a 0:

~rot~∇f(~r) ≡ ~∇∧ ~∇f = 0 (4.13)

Indication:

(~∇∧ ~∇f)i = εijk∇j∇kf(~r) ≡ εijk∂j∂kf(~r) (4.14)

(∇i = ∂i, voir la definition de l’operateur nabla dans l’eq(2.2)). Il reste de trouver

des arguments pour conclure que la derniere expression ci-dessus est egale a 0. (Ceci a

11

condition que f(~r) est une fonction differentiable, c’est a dire qu’elle verifie la condition

∂j∂kf = ∂k∂jf).

Exemple.

Un simple exemple d’un champ vectoriel, avec son rotationnel non-nul, presente le

champ de vitesses ~v(~r) des points d’un solide qui tourne, autour d’un axe fixe quelconque,

avec la vitesse de rotation ~ω constante. Dans ce cas:

~v(~r) = ~ω ∧ ~r (4.15)

– a condition que l’axe de rotation (l’axe de ~ω) passe par l’origine de coordonnees de ~r

(des points de solide).

Exercice 4. Calculer ~rot~v(~r).

5 Laplacien.

Definition. Operateur differentiel laplacien est defini, dans les coordonnees cartisiennes,

par l’expression:

∆ =def ~∇2 ≡ (~∇ · ~∇) = ∂2x + ∂2

y + ∂2z (5.1)

Cet operateur pourrait etre applique a une fonction scalaire f(~r), tout comme a une

fonction vectoriel ~A(~r). En soi-meme, laplacien est un operateur differentiel scalaire, en

comparaison avec l’operateur nabla, ~∇, qui est un operateur vectoriel.

Operateur laplacien apparait dans l’analyse et la description d’enormement des problemes

physiques. On peut citer deux exemples:

1) Propogation des ondes, soit acoustiques, soit electromagnetiques; dans le cas de

propogation des ondes acoustiques, le laplacien est applique a un champ vectoriel, disons

~A(~r), qui decrit les deplacements des points d’un milieu elastique de leurs positions

d’equilibre.

L’equation de propogation des ondes est de la forme:

∂2t~A(t, ~r) = ∆ ~A(t, ~r) (5.2)

12

a des constantes (d’elasticite, etc.) pres. Ce processus est dynamique. En consequence,

le champ ~A depend du temps, t, en plus des coordonnees ~r des points du milieu.

2) Potentiel electrique U(~r), dans le cas d’electrostatique; U(~r) est une fonction

scalaire de ~r qui verifie l’equation:

∆U(~r) = −ρ(~r) (5.3)

toujours a des constantes pres; ρ(~r) est la densite de charge electrique qui est repandue

dans un milieu.

Ces exemples, ainsi que d’autres, seront examines plus bas, dans les chapitres 8 – 10.

Exercices.

Calculer les applications de l’operateur laplacien dans les cas suivants:

1) ∆r (5.4)

2) ∆r2 (5.5)

3) ∆1

r, pour r 6= 0 (5.6)

4)∗ ∆(~p · ~r)

r3, pour r 6= 0 (5.7)

Indications.

∆r = (~∇ · ~∇)r = (~∇ · ~∇r) = (~∇ · ~rr) = (~∇ · ~r)1

r+ (~r · ~∇1

r) = .... (5.8)

Une etoile sur l’exercice 4) signifie que le calcul sera relativement complique; en

general, les exercices avec une etoile ne sont pas obligatoires. Par contre, pourriez vous

deviner la reponse, sans calcul, en fasant appel a la signification physique de ce cas

particulier?

5)∗ Trouver la solution de l’eq.(5.3), la fonction U(~r), dans le cas ou la densite de

charge ρ(~r) est une fonction constante, non-nulle, pour r < a, et zero pour r > a:

ρ(~r) =

ρ0, r < a

0, r > a(5.9)

Pour des raisons physiques, U(~r) doit etre une fonction continue (en passant par r = a).

13

6 Formules utiles.

6.1 Formules differentielles.

Dans ce sous-chapitre nous allons presenter quelques proprietes de l’operateur ~∇.

Deux premieres, qui sont evidantes en vue de la definition de ~∇, eq.(2.2), sont celles

de l’application de ~∇ a un produit ordinaire: 1) de deux fonctions scalaires et 2) d’une

fonction scalaire et une fonction vectorielle. On trouve:

1) ~∇(f · g) = ~∇f · g + f · ~∇g ≡ ~gradf · g + f · ~gradg (6.1)

2) (~∇ · (f · ~A)) = (~∇f · ~A) + f · (~∇ · ~A) ≡ ( ~gradf · ~A) + f · div ~A (6.2)

Nous les avons deja utilises dans des exercices precedents.

Ensuite:

3) (~∇ · (~∇∧ ~A)) ≡ div ~rot ~A = 0 (6.3)

Demonstration:

(~∇ · (~∇∧ ~A)) = ∂iεijk∂jAk = εijk∂i∂jAk = 0 (6.4)

Dans tous les exemples et exercices qui suivent il est suppose que les fonctions, qui

apparaissent, sont differentiables, sauf si le contraire est mentionne; en particulier, dans

l’eq.(6.4), il est suppose que ∂i∂jAk = ∂j∂iAk.

4) (~∇ · ( ~A ∧ ~B)) = ((~∇∧ ~A) · ~B)− ( ~A · (~∇∧ ~B)) (6.5)

Cette equation s’ecrit, de la facon equivalente, comme:

div( ~A ∧ ~B) = ( ~rot ~A · ~B)− ( ~A · ~rot ~B) (6.6)

Demonstration:

(~∇ · ( ~A ∧ ~B)) = ∂iεijkAjBk = εijk(∂iAj) ·Bk + εijkAj(∂iBk)

= εkij(∂iAj)Bk − Ajεjik(∂iBk) = ((~∇∧ ~A) · ~B)− ( ~A · (~∇∧ ~B)) (6.7)

14

Antisymetrie de εijk est utilisee, ansi que la sommation implicite sur des indices qui se

repetent; plus la definition du produit exterieur de deux vecteurs et celle du rotationnel,

eqs.(4.2), (4.7).

La demonstration de la formule qui suit est proposee en exercice:

5) ~∇∧ (f · ~A) = ~∇f ∧ ~A + f · (~∇∧ ~A) (6.8)

Autrement:

~rot(f ~A) = ~gradf ∧ ~A + f · ~rot ~A (6.9)

La propriete:

6) ~∇∧ (~∇f) ≡ ~rot ~gradf = 0 (6.10)

a ete deja demontree, en exercice (chapitre 4).

La derniere formule, qui va suivre, necessitera, pour sa demonstration, la propriete

suivante du tenseur εijk:

εijkεilm = δjlδkm − δjmδkl (6.11)

Le tenseur d’ordre 2 δjl, qui apparait dans l’equation ci-dessus, (appele autrement sym-

bole de Kronecker) est defini comme suit:

δjl =

1, j = l

0, autrement(6.12)

Demonstration de l’eq.(6.11):

Dans l’eq.(6.11), a gauche, l’indice i, qui se repete, est somme. Les autres indices

sont libres. Pour justifier l’expression a droite, on observe que le resultat du produit

a gauche apres la sommation sur i, doit etre une forme tensorielle, de quatre indices,

antysymetrique par rapport a la permutation, separement, des indices j, k et des indices

l,m. En plus, cette forme doit etre symetrique par rapport a la permutation, simultanee,

j ↔ l et k ↔ m. Sur la base de ces symetries on peut se convaincre que, si le resultat

doit etre exprime avec que des produit et des sommes des δ, alors l’expression a droite

est la seule possible, a une constate de proportionalite pres. Donc, on doit ecrire:

εijkεilm = A(δieδkm − δjmδkl) (6.13)

15

Ensuite, la constante A se determine en faisant contracter (c’est a dire, egaliser et faire

sommer) les indices j, l et les indices k,m, a droite et a gauche dans l’eq.(6.13):

εijkεijk = A(δijδkk − δjkδkj) (6.14)

En exercice, en utilisant les definitions des εijk et δij, finissez le calcul dans l’eq.(6.14) et

verifiez qu’on doit avoir A = 1, comme dans l’eq.(6.11).

Remarque. Dans la demonstration ci-dessus, un detail qui n’a pas ete justifie, est

celui de pourquoi le resultat du produit a gauche, dans l’eq. (6.11), doit etre exprime,

uniquement, par des produits et des sommes de δ.

En effet, dans la geometrie de l’espace tridimensionnel R3, il n’y a pas d’autres

tenseurs fondamentaux que εijk et δij. Le premier fait exprimer les produits exterieurs des

vecteurs; il fait exprimer egalement les volumes; on peut verifier que εijkAiBjCk est egale

au volume de l’objet dans la Fig.10, pour tous les vecteurs ~A, ~B, ~C. Le deuxieme, δij,

fait exprimer les produits scalaire (δijAiBj = AjBi) et la metrique d’espace, les longuers

des vecteurs, autrement dit: δijAiAj = AiAi = | ~A|2.

Quand on fait le produit du type εijkεilm, le produit qui est fait des tenseurs fon-

damantaux, le resultat doit s’exprimer egalement en termes des tenseurs fondamantaux,

εijk et δij. Avec quatre indices libres et les symetries qui sont precisees ci-dessus, il n’y

a pas de place, a droite dans l’eq.(6.11), pour le tenseur ε. La seule possibilite est celle

dans l’eq.(6.13).

Nous n’allons ni justifier, ni developper encore les arguments dans cette remarque,

qui depassent le contenu de nos cours actuels. Il est suggere de les admettre.

Nous retournons maintenant a la suite des equations avec~∇. La derniere equation,

dans la suite qui n’est certainement pas complete), est la suivante:

7) ~∇∧ (~∇∧ ~A) = ~∇(~∇, ~A)−∆ ~A (6.15)

La forme equivalente:

~rot( ~rot ~A) = ~grad(div ~A)−∆ ~A (6.16)

16

Demonstration.

(~∇∧ (~∇∧ ~A))i = εijk∂jεklm∂lAm = εkijεklm∂j · ∂lAm

= δilδjm∂j∂lAm − δimδjl∂j∂lAm

= ∂m∂iAm − ∂l∂lAi = ∂i(∂mAm)−∆Ai = ∂i(div ~A)−∆Ai (6.17)

Dans cette demonstration nous avons systematiquement applique l’expression de rota-

tionnel dans l’eq.(4.7), la formule (6.11) pour le produit de deux tenseurs ε et la propriete,

de δ:

δklCl = Ck (6.18)

– contracter un des indices de δ avec l’indice d’un vecteur quelconque resulte dans le

remplacement de l’indice du vecteur par le deuxieme indice de δ (qui restait libre).

La demonstration de cette propriete, qui suit de la definition de δ dans l’eq.(6.12),

est propose en exercice.

6.2 Formules integrales.

La formule bien familiere en une dimension, de l’espace R d’une variable x:

∫ b

adx∂xf(x) = f(b)− f(a) (6.19)

se generalise vers le cas de l’espace tridimensionnel par les deux formules suivantes:

1)∫

Dd3~rdiv ~A(~r) ≡

∫D

d3r~∇, ~A(~r) =∮

SD

d~s, ~A(~r) (6.20)

– formule d’Ostrogradski;

2)∫

Sd~s, ~rot ~A(~r) ≡

∫S

d~s, (~∇∧ ~A(~r)) =∮

CS

d~r, ~A(~r) (6.21)

– formule de Stokes.

Dans la premiere formule, D est un domaine (tridimensionnel) dans l’espace R3 et

SD est la surface fermee qui lui entoure, Fig.11. Dans la deuxieme formule, S est une

surface ouverte et CS est son bord unidimensionnel, une courbe fermee, Fig.12.

17

Au lieu des demonstration detaillees, nous allons donner quelques arguments pour

montrer que ces deux formules sont bien naturelles est transparentes.

Dans le cas de la premiere formule, eq.(6.20), imaginons que nous avons coupe le

domaine D en petits cubes, qui peuvent etre quelque peu deformes, de la facon que

l’ensemble de ces cubes remplit parfaitement le domaine D. Dans la Fig.13 sont montres

deux cubes de cet ensemble. Ensuite, l’integrale a gauche dans l’eq.(6.20) pourrait etre

remplacee par la somme (de Darboux correspondante) sur cet ensemble, la contribution

de chaque element etant de la forme:

div ~A · dΩ (6.22)

dΩ est un petit volume d’un cube et div ~A est determine, pour sa valeur, au centre de ce

petit cube.

Nous pouvons maintenant utiliser l’eq.(3.3), lue dans le sens opose, pour remplacer

div ~A · dΩ par le flux dF du champ ~A a travers les cotes d’un petit cube. Rappelons

que ce flux se calcule par l’integrale dans l’eq.(3.2) avec d~s oriente vers l’exterieur du

cube en question. Maintenant, si on a fait ce type de transformation pour tous les petits

cubes qui partionnent le domaine D et on a additionne les resultats, on observe que le

flux a travers chaque petit cote d’un cube donne, qui se trouve a l’interieur de D, rentre

deux fois dans la somme, car chaque cote appartient a deux cubes voisins, Fig.13. En

plus, ces contributions sont de signes opposes a cause de l’orientation opposee de d~s dans

l’eq.(3.2): orientations exterieure - interieure sont opposees pour les deux cubes dans la

Fig.13, qui se partagent le meme cote carre. Comme resultat final, les flux a travers

tous les cotes de cubes qui se trouvent a l’interieur de D se simplifient, les uns contre les

autres, il restera les flux a travers les petits cotes des cubes qui se trouvent sur le bord

de D. Cet ensemble des petits flux, additionnes, correspond a l’integrale sur le bord de

D dans l’eq.(6.20) a droite.

De la maniere analogue on arrive a demontrer la deuxieme formule integrale, l’eq.(6.21).

Il faut partionner le surface S sur des petits carre, qui peuvent etre deformes, pour qu’ils

remplicent correctement la surface. Ensuite, l’integrale a gauche de l’eq.(6.21) est rem-

place par la somme correspondante. Pour chaque carre, c’est a dire pour chaque terme

18

correspondant de la somme, il faudra utiliser la formule (4.10), lue dans le sens op-

pose. Finalement, en analysant la somme de petites circulations, le long de cotes des

petits carres, on trouvera que cette somme se reduit a l’integrale dans la partie droite de

l’eq.(6.21).

La precision des etapes de cette derniere demonstration est proposee aux etudiants

en exercice.

19

Partie II. Analyse vectoriel en coordonnees curvilignes

7 ~gradf , div ~A, ~rot ~A et ∆f en coordonnees spheriques

et cylindriques.

Tous les objets vectoriels, que nous avons etudie dans ce chapitre, ont ete presentes dans

les coordonnees cartesiennes, de l’espace R3. Neanmoins, quand la symetrie du probleme

est appropriee, il est parfois plus facile a faire des calculs dans d’autres coordonnees,

dont les coordonnees spheriques ou cylindriques sont le plus souvent utilisees. Nous

allons conclure la partie generale du present chapitre en donnant les expressions, pour

nos objets d’analyse vectorielle, dans ces deux coordonnees.

Mais d’abord nous nous metterons dans un cadre plus general, des coordonees curvilignes

quelconques de l’espace R3, mais qui sont soumises a la condition que, localement, ces

coordonnees sont orthogonalles. Si (u1, u2, u3) sont ces nouvelles coordonnees, alors

l’orthogonalite locale correspond a la condition que les vecteurs

~e1 =∂~r

∂u1

, ~e2 =∂~r

∂u2

, ~e3 =∂~r

∂u3

(7.1)

sont orthogonaux entre eux. Dans l’eq.(7.1), ~r est suppose d’etre exprime en fonction

des nouvelles coordonnees: ~r = ~r(u1, u2, u3).

Prenons un exemple simple de l’espace bidimensionnel R2 et des coordonnees polaires.

Nous allons noter ~ρ les vecteurs, qui representent les points d’espace R2, au lieu de ~r de

R3. Alors:

~ρ =

x

y

≡ x1

x2

=

ρ · cos ϕ

ρ · sin ϕ

(7.2)

ρ et ϕ etant les coordonnees polaires, curvilignes, de l’espace R2. Les vecteurs ~e1 et ~e2,

analogues aux vecteurs (7.1), sont determines comme suit:

~e1 ≡ ~eρ =∂~ρ

∂ρ=

∂

∂ρ

ρ · cos ϕ

ρ · sin ϕ

=

cos ϕ

sin ϕ

(7.3)

20

~e2 ≡ ~eϕ =∂~ρ

∂ϕ=

∂

∂ϕ

ρ · cos ϕ

ρ · sin ϕ

=

−ρ · sin ϕ

ρ · cos ϕ

(7.4)

Ces vecteurs sont montres dans la Fig.14. Evidement, ils sont orthogonaux entre eux, en

tout point d’espace ~ρ.

Il est egalement facile de determiner les vecteurs ~e1, ~e2, ~e3, eq.(7.1), pour des co-

ordonnees spheriques et cylindriques de l’espace R3. Pour des coordonnees spheriques,

Fig.2:

~e1 ≡ ~er =∂~r

∂r=

∂

∂r

r sin Θ · cos ϕ

r sin Θ · sin ϕ

r · cos Θ

=

sin Θ · cos ϕ

sin Θ · sin ϕ

cos ϕ

(7.5)

~e2 ≡ ~eθ =∂~r

∂Θ=

∂

∂Θ

r sin Θ · cos ϕ

r sin Θ · sin ϕ

r · cos Θ

=

r cos Θ · cos ϕ

r cos Θ · sin ϕ

−r · sin Θ

(7.6)

~e3 ≡ ~eϕ =∂~r

∂ϕ=

∂

∂ϕ

−r sin Θ · sin ϕ

r sin Θ · cos ϕ

0

(7.7)

Ces vecteurs sont montres dans la Fig.15. Il est facile de verifier qu’ils sont orthogonaux,

pour tout ~r (tous r, Θ, ϕ).

Pour des coordonnees cylindriques, Fig.3, on trouve:

~e1 ≡ ~eρ =∂~r

∂ρ=

∂

∂ρ

ρ · cos ϕ

ρ · sin ϕ

z

=

cos ϕ

sin ϕ

0

(7.8)

~e2 ≡ ~eϕ =∂~r

∂ϕ=

∂

∂ϕ

ρ · cos ϕ

ρ · sin ϕ

z

=

−ρ · sin ϕ

ρ · cos ϕ

0

(7.9)

~e3 ≡ ~ez =∂~r

∂z=

∂

∂z

ρ · cos ϕ

ρ · sin ϕ

z

=

0

0

1

(7.10)

21

– Fig.16. Ces vecteurs sont orthogonaux entre eux.

Retournons dans le cadre generale des coordonnees curvilignes quelconques u1, u2, u3

(localement orthogonales) et les vecteurs ~e1, ~e2, ~e3, eq.(7.1),

qui forment une base locale, pour un point d’espace donne, et qui sert pour decomposer

les vecteurs, exprimes en ces coordonnees. Cette base est supposee d’etre orthogonale,

mais elle n’est pas necessairement normee. Autrement dit, en general |~ei| 6= 1, i = 1, 2, 3.

Les echelles le long des axes, de cette base locale, sont definies par les modules

(longueurs) des vecteurs ~ei, que nous allons noter ei ≡ |~ei|, i = 1, 2, 3. Nous intro-

duisons, en plus, les vecteurs normes de cette base locale:

~e1, ~e2, ~e3 (7.11)

|~e1| = |~e2| = |~e3| = 1, de la facon que:

~e1 = e1 · ~e1, ~e2 = e2 · ~e2, ~e3 = e3 · ~e3 (7.12)

Pour des coordonnees spheriques, on trouve, a partir des eqs.(7.5)- (7.7),

les facteurs d’echelle suivants:

e1 ≡ er = 1, e2 ≡ eθ = r, e3 ≡ eϕ = r · sin Θ (7.13)

Pour des coordonnees cylindrique, eqs.(7.8)-(7.10), on obtient:

e1 ≡ eρ = 1, e2 ≡ eϕ = ρ, e3 ≡ ez = 1 (7.14)

Observons par ailleurs que le volume elementaire (mesure d’integration), dans les

integrales dans l’espace R3, est egale au produit des facteurs d’echelle multplie par les

differentiels des coordonnees. Dans le cas general des coordonnees curvilignes orthogo-

nales:

d3~r = e1e2e3du1du2du3 (7.15)

Dans les coordonnees spheriques:

d3~r = ereθeϕ dr dΘ dϕ = r2 sin Θ dr dΘ dϕ (7.16)

22

Dans les coordonnees cylindriques:

d3~r = eρeϕez dρ dϕ dz = ρ dρ dϕ dz (7.17)

En effet, on peut reecrire les equations (7.1), qui definissent les vecteurs ~ei, de la

maniere suivante:

δ~r(1) = ~e1δu1, δ~r(2) = ~e2δu2, δ~r(3) = ~e3δu3 (7.18)

ou les petits vecteurs δ~r(i), i = 1, 2, 3, representent les petits deplacements, a partir du

point ~r dans R3, qui correspondent a des variations des coordonnees δui, i = 1, 2, 3.

Les trois vecteurs δ~r(1), δ~r(2), δ~r(3) sont orthogonaux entre eux, etant proportionnels

aux vecteurs ~e1, ~e2, ~e3 de la base locale. Evidement, le volume elementaire (dans des

integrales) s’obtient par le produit des longueurs des trois vecteurs δ~r(i), eq.(7.18), ce

qui nous donne la mesure d’integration dans l’eq.(7.15).

Pour donner les expressions pour ~gradf , div ~A, ~rot ~A, ∆f dans la base locale ~ei des

coordonnees curvilignes, nous auront besoin des formules suivantes:

~A = A1~e1 + A2~e2 + A3~e3 ≡

A1

A2

A3

(7.19)

d~r = e1du1~e1 + e2du2~e2 + e3du3~e3 ≡

e1du1

e2du2

e3du3

(7.20)

d~s = e2e3du2du3~e1 + e3e1du3du1~e2 + e1e2du1du2~e3 ≡

e2e3du2du3

e3e1du3du1

e1e2du1du2

(7.21)

df = ∂if · dui = ~gradf, d~r (7.22)

La premiere formule fait decomposer le vecteur ~A (une fonction vectorielle, sa valeur

au point ~r) dans la base locale ~ei, definie au point ~r quelconque. Dans cette formule, les

23

composante Ai sont definies par rapport a cette base; ce ne sont pas des composantes

de ~A dans les coordonnees cartesiennes, comme dans toutes les sections precedentes.

La deuxieme formule, eq.(7.20), reproduit les variations de ~r dans l’eq.(7.18), mises

ensemble; rappelons que ~ei = ei~ei, eq.(7.12).

La troiseme formule, eq.(7.21), fait decomposer un element de surface (qui est un

vecteur, Fig.5,6,8,11, etc.), toujours par rapport a la base locale ~ei. Dans les co-

ordonnees cartesiennes, avec la base ~ex, ~ey, ~ez, |~ex| = |~ey| = |~ez| = 1, cette meme

decomposition aurait la forme:

d~s = dydz~ex + dzdx~ey + dxdy~ez ≡

dydz

dzdx

dxdy

(7.23)

La quatrieme formule, eq.(7.22), exprime la differentielle d’une fonction scalaire f(~r)

(la sommation sur l’indice i, qui se repete, est supposee).

Le plus facile est a determiner les composantes de ~gradf , dans la base ~ei. Ecrivons

l’eq.(7.22) pour df en plus des details:

∂1f ·du1+∂2f ·du2+∂3f ·du3 = ( ~gradf)1 ·e1du1+( ~gradf)2 ·e2du2+( ~gradf)3 ·e3du3 (7.24)

Nous avons utilise l’eq.(7.20) pour des composantes de d~r dans la base ~ei. En comparant

les parties gauche et droite de l’eq.(7.24), on trouve:

~gradf =1

e1

∂f

∂u1

· ~e1 +1

e2

∂f

du2

· ~e2 +1

e3

∂f

∂u3

· ~e3 ≡

1e1

∂f∂u1

1e2

∂f∂u2

1e3

∂f∂u3

(7.25)

Ensuite, pour determiner la forme de div ~A, nous utiliserons la formule integrale du

chapitre 6.2, eq.(6.20). En exprimant d3~r a gauche et d~s, ~A a droite avec les composante

de la base ~ei, eqs.(7.15), (7.19), (7.21), on obtient:∫D

e1e2e3du1du2du3div ~A

=∮

SD

(du2du3e2e3A1 + du3du1e3e1A2 + du1du2e1e2A3) (7.26)

24

Imaginons que nous faisons un calcul dans l’equation ci-dessus, partie droite, pour le

domaine D qui est un tout petit cube, comme dans la Fig.7, mais avec la base ~ex, ~ey, ~ez

remplacee par la base locale ~ei, des coordonnees curvilignes u1, u2, u3. Tout comme

dans l’analyse du chapitre 3, nous allons ecrire le flux dFs dans la forme similaire a celle

de l’eq.(3.4), mais cette fois avec des facteurs d’echelle e1, e2, e3 a cote des composantes de

~A, comme ils le sont dans l’eq.(7.26) ci-dessus. Ces facteurs, eux aussi, sont des fonctions

des coordonnees u1, u2, u3. De la facon analogue comme pour le passage de l’eq.(3.4) a

l’eq.(3.5), cette fois nous allons trouver:

dFs ' [∂

∂u1

(e2e3A1) +∂

∂u2

(e3e1A2)

+∂

∂u3

(e1e2A3)]du1du2du3 (7.27)

L’eq.(7.26) va s’ecrire (dans la limite quand le domaine D devient tout petit) sous la

forme suivante:

e1e2e3du1du2du3div ~A

' [∂

∂u1

(e2e3A1) +∂

∂u2

(e3e1A2) +∂

∂u3

(e1e2A3)]du1du2du3 (7.28)

D’ici on trouve finalement l’expression de div ~A dans les coordonnees curvilignes:

div ~A =1

e1e2e3

[∂

∂u1

(e2e3A1) +∂

∂u2

(e3e1A2) +∂

∂u3

(e1e2A3)] (7.29)

L’expression pour le rotationnel du champ ~A, ~rot ~A, pourrait etre deduit de la deuxieme

formule integrale du chapitre 6.2, l’eq.(6.21). Avec des composantes des d~s, d~r, ~A dans

les eqs.(7.21), (7.20), (7.19), l’eq.(6.21) s’ecrit:

∫S[du2du3e2e3 · ( ~rot ~A)1 + du3du1e3e1 · ( ~rot ~A)2 + du1du2e1e2 · ( ~rot ~A)3]

=∮

Cs

(du1e1A1 + du2e2A2 + du3e3A3) (7.30)

De la facon similaire a celle de l’analyse de div ~A ci-dessus, il est utile de considerer

l’eq.(7.30) dans la limite de Cs qui est un tout petit carre, comme dans la figure 9 par

exemple, ou ce carre est en plus parallel au plan x, y. L’equation pour la circulation du

25

champ ~A, dans cette limite, est representee dans l’eq.(4.11). Dans le cas des coordonnees

curvilignes u1, u2, u3, les composantes de ~A vont etre suivies par des facteurs d’echelle,

comme dans la partie droite de l’eq.(7.30). En cosequence, la forme limite dans l’eq.(4.12)

sera remplacee par l’expression:

[∂

∂u1

(e2A2)−∂

∂u2

(e1A1)]du1du2 (7.31)

Cette forme limite pour la circulation dans la partie droite de l’eq.(7.30) est particuliere

pour l’orientation specifique du chemin Cs (un petit carre dans le plan u1, u2) Pour

l’orientation generale, on trouvera la forme limite suivante de l’eq.(7.30):

du2du3e2e3 · ( ~rot ~A)1 + du3du1e3e1 · (rot ~A)2

+du1du2e1e2 · ( ~rot ~A)3

' (∂

∂u2

(e3A3)−∂

∂u3

(e2A2))du2du3

+(∂

∂u3

(e1A1)−∂

∂u1

(e3A3))du3du1

+(∂

∂u1

(e2A2)−∂

∂u2

(e1A1))du1du2 (7.32)

D’ici on trouve l’expression suivante pour ~rot ~A dans les coordonnees curvilignes:

~rot ~A =1

e2e3

(∂

∂u2

(e3A3)−∂

∂u3

(e2A2))~e1

+1

e3e1

(∂

∂u3

(e1A1)−∂

∂u1

(e3A3))~e2

+1

e1e2

(∂

∂u1

(e2A2)−∂

∂u2

(e1A1))~e3

(7.33)

Finalement, en utilisant les expressions (7.25) (pour ~gradf) et (7.29) (pour div ~A, mais

avec ~A remplace par ~gradf), on trouve la forme suivante pour le laplacien de f :

∆f ≡ ~∇ · ~∇f ≡ div ~gradf

1

e1e2e3

[∂

∂u1

(e2e3

e1

∂f

∂u1

) +∂

∂u2

(e3e1

e2

∂f

∂u2

)

+∂

∂u3

(e1e2

e3

∂f

∂u3

)] (7.34)

26

Exercices.

1) Avec les facteurs d’echelle er, eθ, eϕ dans l’eq. (7.13) et en utilisant les formules

(7.25), (7.29), (7.33), (7.34), verifier les expressions suivantes pour ~gradf , div ~A, ~rot ~A,

∆f dans les coordonnees spheriques:

~gradf =∂f

∂r· ~er +

1

r

∂f

∂Θ· ~eθ +

1

r sin Θ

∂f

∂ϕ· ~eϕ (7.35)

div ~A =1

r2 sin Θ[∂

∂r(r2 sin Θ · Ar) +

∂

∂Θ(r · sin Θ · Aθ) +

∂

∂ϕ(rAϕ)] (7.36)

rot ~A =1

r2 sin Θ(

∂

∂Θ(r sin Θ · Aϕ)− ∂

∂ϕ(r · Aθ)) · ~er

+1

r sin Θ(

∂

∂ϕ(Ar)−

∂

∂r(r · sin Θ · Aϕ)) · ~eθ

+1

r(

∂

∂r(rAθ)−

∂

∂Θ(Ar)) · ~eϕ (7.37)

∆f =1

r2 sin Θ[∂

∂r(r2 sin Θ · ∂f

∂r) +

∂

∂Θ(sin Θ · ∂f

∂Θ) +

∂

∂ϕ(

1

sin Θ· ∂f

∂ϕ)] (7.38)

2) Trouver l’expression de ∆f dans les coordonnees spheriques, dans le cas d’une

fonction f radiale, f(~r) = f(r) (d’une fonction qui ne depend que de r). Simplifier cette

expression au maximum.

3) Avec les facteurs d’echelle eρ, eϕ, ez dans l’eq. (7.14), verifier les expressions

suivantes pour ~gradf , div ~A, ~rot ~A, ∆f dans les coordonnees cylindriques:

~gradf =∂f

∂ρ· ~eρ +

1

ρ

∂f

∂ϕ· ~eϕ +

∂f

∂z· ~ez (7.39)

div ~A =1

ρ[∂

∂ρ(ρAρ) +

∂

∂ϕ(Aϕ) +

∂

∂z(ρAz)] (7.40)

~rot ~A =1

ρ(

∂

∂ϕ(Az)−

∂

∂z(ρAϕ)) · ~eρ

+(∂

∂z(Aρ)−

∂

∂ρ(Az)) · ~eϕ

+1

ρ(

∂

∂ρ(ρAϕ)− ∂

∂ϕ(Aρ)) · ~ez (7.41)

27

∆f =1

ρ[∂

∂ρ(ρ

∂f

∂ρ) +

∂

∂ϕ(1

ρ

∂f

∂ϕ) +

∂

∂z(ρ

∂f

∂z] (7.42)

4) Trouver l’expression de ∆f dans les coordonnees cylindriques, dans le cas ou la

fonction f est invariante par rapport aux rotations autour de l’axe z. Simplifier cette

expression au maximum.

5) Recalculer les applications de l’operateur laplacien dans les cas qui suivent, en util-

isant la forme du laplacien, pour des fonctions radiales, qui a ete obtenue dans l’exercice

2) ci dessus:

1. ∆r (7.43)

2. ∆r2 (7.44)

3. ∆1

r(7.45)

Comparer ces calculs et leurs resultats avec ceux des exercices du chapitre 5, eqs.(5.4),

(5.5), (5.6).

28

Partie III. Applications physiques

8 Application en l’electrostatique. Fonction δ(~r) de

Dirac.

Reprenons encore une fois le potentiel Coulombien:

U(~r) =q

r(8.1)

– eq.(1.3) Essayons de tester avec ce potentiel l’equation d’electrostatique:

∆U(~r) = −ρ(~r) (8.2)

– eq.(5.3); ρ(~r) dans cette equation est la densite de la charge electrique.

D’une part,

∆U(~r) = ∆q

r= 0, r 6= 0 (8.3)

– exercice 3) du chapitre 5, eq.(5.6).

D’autre part, en utilisant la premiere formule integrale du chapitre 6.2, eq(6.20), on

trouve: ∫D

d3~r∆U(~r) =∫

Dd3r~∇, ~∇U(~r) =

∮SD

d~s, ~∇U(~r) (8.4)

Le gradient ~∇U(~r) a ete deja calcule dans l’exercice 2) du chapitre 2, (eq.(2.4)), avec le

resultat:

~∇U(~r) = ~∇q

r= −q

~r

r3(8.5)

Supposons que SD dans l’eq.(8.4) est une sphere de rayon r0 Fig.17. Dans les coor-

donnees spheriques, dans la base ~er, ~eΘ, ~eϕ, chapitre 6.3, les vecteurs d~s et ~∇U auront

des composantes:

d~s =

eΘeϕ · dΘ · dϕ

0

0

=

r2 sin Θ · dΘ · dϕ

0

0

(8.6)

29

(comp. eq.(7.21)),

~∇U = −q~r

r3=

− q

r2

0

0

(8.7)

Pour l’integrale a droite dans l’eq.(8.4) on trouve:

∮SD

d~s, ~∇U =∮

SD

r20 sin Θ · dΘ · dϕ · (−q)

r20

= −q∫ π

0sin ΘdΘ

∫ 2π

0dϕ = −4πq (8.8)

Alors, d’apres l’eq.(8.4), on doit admettre que:

∫D

d3~r∆U(~r) = −4πq (8.9)

– en meme temps que ∆U(~r) = 0 pour tout ~r 6= 0, eq. (8.3).

On doit admettre que ∆U(~r) est non-nulle en ~r = 0, en un point uniquement. En

plus, la valeur de ∆U(~r) en ce point doit etre infinie, pour pouvoir donner une valeur finie

a l’integrale (8.9). On presente la fonction avec ces proprietes de la maniere suivante:

∆U(~r) = −4πq · δ(~r) (8.10)

ou δ(~r) est la fonction δ de Dirac. Cette fonction (singuliere) possede les proprietes suiv-

antes:

δ(~r) =

∞, ~r = 0

0, ~r 6= 0(8.11)

et ∫D

d3~rδ(~r) = 1 (8.12)

– a condition que l’origine, le point ~r = 0, est inclu dans D; sinon l’integrale sera egale

a zero.

La fonction δ(~r), qui est piquee sur un point, eq.(8.11), a ete introduite dans la

physique par Dirac, pour pouvoir presenter par une fonction de densite la charge electrique

(et, plus generalement d’autres quantites comme la masse etc.) des particules elementaires

– des particules de taille zero. Autrement dit, pour pouvoir presenter, comme une densite,

la charge electrique finie qui est concentree sur un point.

30

Resume. Pour s’accorder l’equation d’electrostatique (8.2) et l’equation integrale(8.4),

la densite ρ(~r) doit etre admise dans la forme suivante:

ρ(~r) = 4πq · δ(~r) (8.13)

ou δ(~r) est la fonction δ de Dirac, qui possede les proprietes representees par les eqs.(8.11),

(8.12).

Exercices.

1) Presenter les proprietes de la fonction:

δ(~r − ~a) (8.14)

2) Presenter la densite ρ(~r) et le potentiel electrique correspondant U(~r), crees par

deux particules de taille zero, positionnees en ~r = ~a et en ~r = −~a et ayant les charges

electriques q et −q. Il s’agit d’un dipole, qui est fait de deux charges ponctueles.

9 Les ondes electromagnetiques dans le vide.

Le champ electromagnetique obeit aux equations de Maxwell:

~∇, ~B = 0 (9.1)

~∇, ~E = ρ (9.2)

~∇∧ ~B = ~j +1

c2∂t

~E (9.3)

~∇∧ ~E = −∂t~B (9.4)

Rappelons que nous avons supprime les constantes ε0 et µ0 en les mettant egales a 1. La

constante c, que nous avons garde, est la vitesse de la lumiere.

Dans le vide, en absence de charges et de courants electriques, ces equations prennent

la forme:

~∇, ~B = 0 (9.5)

~∇, ~E = 0 (9.6)

31

~∇∧ ~B =1

c2∂t

~E (9.7)

~∇∧ ~E = −∂t~B (9.8)

Pour obtenir l’equation de propogation des ondes electromagnetiques, dans la forme ou il

ne figure que le champ ~E, nous appliquerons la derivee ∂t aux deux parties de l’equation

(9.7). On trouve:

~∇∧ ∂t~B =

1

c2∂2

t~E (9.9)

Nous mettons l’expression pour ∂t~B (a gauche) en utilisant l’eq.(9.8). On obtient:

−~∇∧ (~∇∧ ~E) =1

c2∂2

t~E (9.10)

Nous utiliserons ensuite l’equation:

~∇∧ (~∇∧ ~E) = ~∇(~∇, ~E)−∆ ~E (9.11)

qui a ete demontree dans le chapitre 6.1, formule 6), eq.(6.15). Dans l’application actuelle,

le premier terme de droite s’annule, du a l’eq. (9.6). On trouve:

~∇∧ (~∇∧ ~E) = −∆ ~E (9.12)

et l’equation(9.10) prend la forme:

∆ ~E(t, ~r) =1

c2∂2

t~E(t, ~r) (9.13)

De la meme maniere, mais en appliquant la derivee ∂t a l’eq.(9.8), on trouvera l’equation

de l’evolution du champ ~B(t, ~r):

c2∆ ~B(t, ~r) = ∂2t~B (9.14)

qui est la meme que celle pour ~E(t, ~r), eq.(9.13).

Remarque. Les deux equations ci-dessus sont du type de l’equation de propogation

dans (5.2). Dans le cas des ondes sonores, ~E et ~B seront remplaces par l’amplitude ~A(t, ~r)

de fluctuations mecaniques du milieu et la constante c sera remplacee par la vitesse du

son.

32

La solution des equations (9.13), (9.14) de la formed’une onde plane sont recherchees

dans la forme:

~E(t, ~r) = ~E0e−iωt+i~k~r (9.15)

~B(t, ~r) = ~B0e−iωt+i~k~r (9.16)

Remarque. Ces expressions sont habituellement mises en complexe, juste pour une con-

venence mathematique. En realite, pour des champs ~E et ~B physiques, il faut prendre la

partie reelle toute seule, ou la partie imaginaire toute seule, ou les deux en meme temps

s’il s’agit de superposer deux polarisations differentes:

~E0 = ~E(1)0 + i ~E

(2)0 (9.17)

~B0 = ~B(1)0 + i ~B

(2)0 (9.18)

En tout cas, on peut toujours deduire l’evolution des champs ~E et ~B physiques, reels,

a partir des expressions complexes, les expression du type (9.15), (9.16), qui sont plus

convenables (plus compactes) pour des analyses mathematiques.

En subsituant ~E(t, ~r), l’eq.(9.15), dans l’equation d’evolution (9.13), on trouve:

−~k2 · ~E(t, ~r) = −ω2 · 1

c2~E(t, ~r) (9.19)

Pour permettre une solution non-triviale ( ~E(t, ~r) 6= 0), il faut que

ω2 = c2~k2 (9.20)

Autrement dit:

ω(k) = ck (9.21)

ou k = |~k| (pour la frequence il est naturel de choisir la racine positive de l’eq.(9.20)).

La relation (9.21) entre la frequence ω et le vecteur d’onde ~k, d’une onde plane, est

appelee la relation de dispersion.

Exercices.

1) En mettant les expressions (9.15), (9.16) pour ~E(t, ~r), ~B(t, ~r) dans les equations

d’evolution initiales, eqs. (9.7), (9.8), demontrer que les amplitudes ~E0, ~B0 d’oscillation

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de champs electriques et magnetiques, dans une onde electromagnetique, doivent etre

orthogonales entre elles; en plus, les deux amplitudes, ~E0 et ~B0, doivent etre orthogonales

au vecteur d’onde ~k.

Pour traiter cet exercice, il pourrait etre utile d’introduire le vecteur de direction de

propogation d’une onde:

~n =~k

k(9.22)

2) Dessiner une figure qui montre l’orientation relative des vecteurs ~n, ~E0, ~B0.

3) Trouver le rapport entre E0 ≡ | ~E0| et B0 ≡ | ~B0|.

10 Application en hydrodynamique.

L’ecoulement d’un fluide est decrit par un champ de vitesses ~v(t, ~r), qui represente la

vitesse d’une toute petite quantite de fluide (de tout petit volume, une goutte, qui s’ecoule

avec le fluide) en un point ~r et au moment t.

Dans le cas d’un fluide parfait (de viscosite zero), cette goutte de fluide, de masse

dm, est contenue dans un volume dΩ(~r, t) (qui se deplace avec le fluide), subit l’action

de la force interne (au fluide) de la forme:

d~fint(t, ~r) = −~∇P (t, ~r) · dΩ (10.1)

P (t, ~r) est la pression (dans le fluide, au point ~r et au moment t). En plus, elle subit,

l’action de la force de la pesanteur:

d~fpes.(t, ~r) = dm~g (10.2)

g = |~g| est l’acceleration (des objets materiaux, dans le vide) due a la force de la pe-

santeur, Fig.18. Ensemble, les forces (10.1) et (10.2) induisent l’equation de mouvement

suivante, pour une goutte du fluide:

dm · d~vdt

= −~∇P · dΩ + dm~g (10.3)

34

En divisant les deux parties de cette equation par dΩ, on trouve

l’equation de Euler pour un fluide parfait:

ρd~v

dt= −~∇P + ρ~g (10.4)

ρ ≡ ρ(t, ~r) est la densite du fluide, au point ~r et au moment t.

Il faut preciser que la derivee d~v/dt dans cette equation correspond a l’acceleration de

la goute du fluide. C’est a dire, on derive ~v(t, ~r) par rapport a t “en suivant l’ecoulement

du fluide”, Fig.18. Il s’agit de la derivee particuliere ou on derive v(t, ~r) par rapport a t

(derivee partielle ∂t ≡ ∂/∂t) et par rapport a l’evolution de ~r avec t ( on suppose, dans

le cas de la derivee particuliere, que ~r = ~r(t) suit le fluide). La derivee particuliere sera

noter dt ou d/dt.

Par exemple, la derivee particuliere de la densite ρ(t, ~r) s’ecrit comme suit:

dtρ(t, ~r) ≡ dρ(t, ~r)

dt= ∂tρ(t, ~r) + ~∇ρ(t, ~r), ~v(t, ~r) = (∂t + ~v, ~∇)ρ(t, ~r) (10.5)

La derivee particuliere de la vitesse du fluide, qui figure dans l’eq. (10.4), s’ecrit de

la meme maniere:d~v

dt= (∂t + ~v, ~∇)~v (10.6)

Le cas d’hydrodynamique, qui est encore plus special, correspond au

fluide incompressible. Il y a deux facons equivalentes d’exprimer la condition d’incompressibilite

du fluide. La premiere est de la forme:

div~v = 0 (10.7)

Alors, en exercice 1, il est propose de demontrer que la condition (10.7) est equivalente

a la contrainte que la densite ρ(t, ~r) du fluide verifie la condition (qui est la seconde):

dρ(t, ~r)

dt= 0 (10.8)

Il s’agit de la derivee particuliere de ρ(t, ~r). Eq.(10.8) demande que la densite de la goute

dans la Fig.18 (qui suit l’ecoulement du fluide) reste constante.

35

Indication. Pour demontrer l’equivalence des conditions (10.7) et (10.8) il est suggere

d’utiliser l’equation de conservation de masse, dans la forme locale:

∂ρ

dt+ div(ρ~v) = 0 (10.9)

Cette equation est equivalente a l’equation du bilan local des particules qui forment le

fluide, comp. les eqs.(3.6), (3.7).

Considerons ensuite l’ecoulement stationnaire du fluide parfait et incompressible. Sta-

tionnarite de l’ecoulement demande que la derivee partielle ∂t de toutes les grandeurs qui

decrivent le fluide soit egale a zero. En particulier, il faut que:

∂tρ(t, ~r) = 0 (10.10)

(Nous noterons qu’ en general les conditions ∂tρ = 0 et dtρ = 0 ne sont pas equivalentes).

On pourrait reecrire l’equation de Euler (10.4) sous la forme:

d~v

dt= −1

ρ~∇P + ~g = −1

ρ~∇P − ~∇U (10.11)

ou U(~r) est le potentiel de la pesanteur,

~g = −~∇U (10.12)

En exercice 2, il est suggere de justifier, qu’en cas de l’ecoulement stationnaire du fluide

incompressible, on a l’egalite:1

ρ~∇P = ~∇P

ρ(10.13)

En utilisant cette egalite, l’equation (10.11) pourrait etre mise sous la forme:

d~v

dt= −~∇u (10.14)

ou

u =P

ρ+ U (10.15)

Rappelons que nous avons obtenu l’equation (10.14) dans le cas special d’ecoulement

stationnaire du fluide parfait et incompressible. Dans ce cas la fonction u est donnee par

36

l’eq.(10.15). Plus generalement, un ecoulement d’un fluide, dont la derivee particuliere

de ~v est egale a un gradient d’une fonction, possede des proprietes assez remarquables.

En exercice 3, il est suggere de demontrer une de ces proprietes.

Theoreme de Bernoulli. Si l’ecoulement d’un fluide est stationnaire et

d~v

dt= −~∇u (10.16)

ou u est une fonction quelconque, alors la quantite:

~v2

2+ u (10.17)

est constante le long d’une ligne de courant. C’est a dire:

dt(~v2

2+ u) = 0 (10.18)

Indication pour la demonstration:

dt~v2

2= ~v, dt~v = −~v, ~∇u = ... (10.19)

Il faudra utiliser le fait que, dans le cas de l’ecoulement stationnaire,

dt = ~v, ~∇ (10.20)

Justifier cette egalite.

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