ANDERS WIMAN IN MEMORIAM

P a r

TRYGVE NAGELL

Uppsala

Le nestor des mathdmaticiens scandinaves, Anders Wiman, est ddcddd s Lund le 13

aofit 1959 s l'~ge de 94 ans. I1 fut un des redacteurs de ces Acta depuis 1908 et prdsident

du Comitd de la Direction de l ' Insti tut Mittag-Leffler ~ Djursholm.

I1 naquit le 11 fdvrier 1865 s ttammarlSf, gouvernement de MalmShus, off ses parents

possddaient une propridtd rurale. Apr~s avoir passd son baccalaurdat au lycde de Lund

duns rautomne de 1885, il prit ses inscriptions s l'Universitd de Lund. I1 y passa ses examens

1 ~ 603807. Acta mathematlca. 103. I m p r i m 6 le 19 m a r s 1960

I I T R Y G V E ~ A G E L L

universitaires et soutint sa thhse pour le doctorat en 1892. La m~me annie il fut attachd s

l'Universitd de Lund en qualit4 de maitre de conferences en mathgmatiques. Le 5 dgcembre

1901 Wiman rut nommd professeur extraordinaire en mathdmatiques ~ ]'Universitd de

Uppsala. Cinq ans plus tard il fur appeld ~ la chaire ordinaire de math~matiques de la

m~me universitd. I1 occupa cette chaire jusqu's sa rotraite le 11 fdvrier 1930.

La mort de Wiman est une perte douloureuse pour les sciences mathdmatiques dont il

fur un des reprdsentants les plus ~minents. I1 range parmi l'dlite internationale de ces

sciences. Dans ses t ravaux il montre une universalit4 qui n'est pas ordinairo chez les

math~maticiens d'aujourd'hui. II a obtenu de beaux rdsultats dans des disciplines mathd-

matiques les plus vari~es. Sa production embrasse 72 m~moires sur des sujets de la gdo-

mdtrie, do l'alg~bre, de la thdorio des groupes, de la thdorie des fonctions, de la thdorie des

nombres, du calcul des probabilit~s etc. Ses travaux se distinguent par l'ing~niosit~,

l'originalit~ et la clart~. I1 a gardd sa vitalitd intellectuelle jusqu's la fin. Apr~s sa retraite

en 1930 il a publid 24 travaux, le dernier en 1954 quand il avait prosque 90 ans.

La plupart des travaux do Wiman traitent des questions de la gdomdtrie. Duns sa

th~se, Klassifikation af regelytorna av sjette graden, Lund 1892, il donne une classification

complete des surfaces regldes du sixi~me degr~. I1 retourne plus tard sur la th~orie des sur-

faces regl~es duns plusieurs travaux, et cette thdorie a dr4 enrichie par lui d 'un grand nombre

de belles d~couvertes. I1 a, pour citer un exemple, d~termind toutes les surfaces regl4es

d'urL degrd quelconque pour lesquelles les courbes doubles sour compl~tement d~gdngrdes.

Plusieurs de ses travaux gdomdtriques s'occupent de probl~mes relatifs aux courbes

algdb~iques planes. ]l dtait spdcialement interessd aux courbes de genre > 1 qui admettent

des transformations lindaires en soi-mSme.

Plus gdndralement, il a ~tudid les transformations birationnelles de telles courbes on

soi-m~me.

Par ses dtudes sur les courbes algdbriques il a dtd conduit ~ des probl~mes de l'algbbre

et de la th~orie des groupes. Parmi ses rdsultats dans ce domaine nous citons le thdor~me

cdl~bre qui porte le nora do Wiman: Pour n > 7 il n 'y a aucun groupe de collindations

dans un espace de moins de n - 2 dimensions qui est isomorphe avec le groupe symdtrique

ou avec le groupe alternd de n variables. (Pour n g 7 l'existonce de tels groupes de col-

lin~ations avait ddj~ dtd ddmontrde.)

En compl~tant un travail de Kantor, Wiman a ddtermind tousles types des groupes

finis de transformations birationnelles dans le plan.

Dans une sdrie de travaux Wiman a examind les dquations metacycliques, et il a,

entre autres, ddbrouillg la question conceruant les radicaux qui apparaissent quand on

doit r~soudre une telle ~quation de degrd premier.

A N D E R S W I M A N I N MEMORIAM II1

Un r~sultat int~ressant de Wiman est le th~or~me suivant : Toute gquation alg~brique

d ' u n degr5 n -> 10 peut 8tre r~duite s la forme

x n § . . . + a n - I X - t - a n = 0

par une t ransformat ion de Tschirnhaus. Pour obtenir cela il fau t seulement rdsoudre un

nombre fini d 'dquat ions quadratiques, cubiqucs et biquadratiqucs.

Wiman a aussi apportd de belles contributions ~ la thdorie des nombres. Ainsi il a

ddtermind, dans un corps algdbrique quelconque, t ous l e s iddaux pour lesquels il existe des

racines primitives. Dans un autre t ravail il a trait6 des questions de la thdorie des corps

ab61iens relatifs. Apr~s les 80 ans accomplis Wiman s 'est tourn6 vers la thdorie ar i thm6tique

d~s cubiques planes du premier genre. I1 s 'est intdress6 no t ammen t s la question difficile de

la distr ibution des points rationnels sur ces courbes. Sur ce sujet il a publi6 quatI'e notes,

dont le dernier en 1954.

La product ion de Wiman embrasse aussi plusieurs t r avaux appar tenan t au domaine

de t 'analyse. I1 s 'gtai t sur tout intgress6 ~ la thdorie des fonctions entigres t ranseendantes.

Sa ddcouverte du rgsultat suivant est devenue e6l~bre: Soit [ (z) une fonction enti~re trans-

eendante de l 'ordre ~ < �89 et soit m (r) = min ]/(z)[.

I z l - r Alors, si e est positif, on a

m (r) > e r~-~

pour une suite infinie de valeurs r arbi t ra i rement grandes.

Un pet i t nombre de ses t r avaux appar t ient ~ la thdorie des ~quations diffdrentielles,

au calcul des probabilitds et h la thdorie des ensembles.

Pendan t ses t rente ans de professorat W i m a n a exerc6 une grande influence sur le

d~veloppement de l 'enseignement universitaire en mathdmatiques. En modernisant cet

enseignement il a inaugurd une nouvelle @oque. Ses le~0ns se distinguaient par l 'exacti tude,

par la clart6 et par la pr6sentation p6dagogique. Une trentaine de ses 6l~ves ont soutenu

leurs th6ses de doctorat .

Wiman a tou te sa vie manifest6 un vif int6r~t pour l 'enseignement math6mat ique dans

l'6cole s6eondaire. Pendan t 25 ans il 6tait eenseur au bacealaur6at dans les lyc6es su6dois.

Les langues classiques 6taient les plus grands int6rgts de Wiman hors des sciences

math6matiques. Dans ce domaine ses eonnaissances 6taient vastes et solides.

Personnellement, c '6tai t un homme retir6, laconique et d6pouill6 de route vanit6.

Tous eeux qui Font approeh6 gardent de Iui le souvenir d ' un homme tr~s aimable et tr6s

gdn6reux, dou6 d 'un humour splendide.

On 6eoutait avee plaisir ~ ses opinions sages et bien fond6es sur l 'art , sur la science,

sur la politique et sur les hommes.

IV TRYGVE /~AGELL

Table des travaux math~matiques de Anders Wiman

1. Klassi]ikation a] regelytorna a] sjette graden. Th6se pour le doctorat. Lund 1892. 2. 0fver eft speciellt slag af hvirfvelr5relse i viitskor. Lunds Univ:s 21rsskr. T. 29, 1892/93:

Afd. 2, Fysiogr. sallsk:s i Lund handl., Ny ]Slid, 4. 3. Om inflexionspunkterna till plana kurvor af tredje ordningen. Nyt tidsskr. ]or mathem.,

Aid. B, Aarg. 5, 1894. 4. ~be r die hyperelliptischen Cttrven und diejenigen vo,n Geschlechte p = 3, welche eindeutige

Transformationen in sich zulassen. Stockholm 1895. Bih. Vetensk.-akad:s handl., 21, Afd. 1: Nr. 1.

5. Uber die algebraischen Curven yon den Geschlechtern p = 4, 5 und 6, welche eindeutige Transformationen in sich besitzen. Stockholm 1895, M~me publication, 21, Afd. 1: Nr. 3.

6. Uber die Anzahl der Kegelschnitte, welche durch l~unkte, Tangenten und Normalen be- st immt sind. Z. Math. Physilc, Jahrg. 40, 1895.

7. Uber die Doppelcurve auf den geradlinigen Fl~ichen. Acta Math., 19, 1895. 8. Zur Theorie des Kegelschnittbfischels. Arch. Math. Physik, Reihe 2, 14, 1896. 9. Tiber eine einfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen. Math. Ann., 47, 1896.

10. Zur Theorie der endlichen Gruppen yon birationalen Transformationen in der Ebene. Math. An~., 48, 1897.

11. Note fiber die symmetrischen und alternierenden Vertauschungsgruppen yon n Dingen. Nachr. Akad. Wiss. G6ttingen Math.-Phys. Kl., 1897.

12. Note fiber die Vertauschungsgruppen von acht Dingen. Nachr. Akad. Wiss. GSttingen Math..Phys. Kl., 1897.

13. Endliche Gruppen linearer Substitutionen. Ency]dop. der math. Wiss . . . . . Bd. 1 : 1, Leipzig 1898-1904.

14. Bestirnmung aller Untergruppen einer doppelt unendlichen Reihe yon einfachen Gruppen. Stockholm 1899. Bih. Vetensk.-akad:s handl., 25, Afd. 1: Nr 2.

15. Ober die Darstellung der syrnmetrischen und alternierenden Vertauschungsgruppen als Co]lineationsgruppen yon mbglichst geringer Dimensionenzahl. Math. Ann., 52, 1899.

16. Uber die Ideale in einem algebraischen Zahlkbrper, nach denen Primitivzahlen existieren. O]vers. a/ Vetensk.-akad:s ]6rhandl., ~rg. 56, 1899.

17. Uber eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe bei Kettenbruchentwicklungen. O]vers. a] VetensIc.- akad:s ]6rhandl., ,~rg. 57, 1900.

18. Zur Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkbrper. Lunds Univ:s Arsskr., T. 36, 1900: Afd. 2, _Fysiogr. sdllsk:s i Lurid handl., Ny /Slid, Bd. 11.

19. Bemerkungen fiber eine von Gyld4n aufgeworfene Wahrscheinlichkeitsfragc. Lund 1901. 20. ~ b e r die dureh l~adicale auflSsbaren Gleichungen, deren Grad eine Potenz von 2 ist. O]vers.

a/ Vetensk.-akad:s ]6rhandl., Arg. 58, 1901. 21. Ober die Wurzeln der metacyklischen Gleichungen. O]vers. a] Vetensk.-akad:s ]Srhandl.,

/~rg. 58, 1901. 22. 0-ber die metemyklischen Gleichungen von Primzahlgrad. Acta Math., 27, 1903. 23. Ober die angen~herte Darstellung yon ganzen Funktionen. Stockholm 1903, Arlciv ]Sr

matem., astron, och ]ysik, utg. av Vetensk.-akad., Bd. 1: Nr. 7. 24. Note fiber die ganzen Funktionen zweier Ver~nderlichen. Stockholm 1903, M~me publica-

tion, Bd. 1: Nr. 8. 25. Sur le cas d'exception dans la thdorie des fonctions enti6res. Stockholm 1904, M6me publica-

tion, Bd. 1: Nr. 23. 26. Uber die durch Radikale auflSsbaren Gleichungen neunten Grades. Stockholm 1904, M6me

publication, Bd. 1: Nr. 41.

A:NDERS W I M A N I ~ MEMORIAM V

27. Sur le genre de la d6riv6e d'une fonction enti6re et sur le cas d'exception de M. Picard. Note. U. R. Acad. Sci. Paris, 138, 1904.

28. Die metazyklischen Gleiehungen 9. Grades. Verhandl. des 3. internat. MathematiI~er-Kon- gresses zu Heidelberg 1904.

29. Uber den FundamentMsatz in der Theorie der Funktionen E~ (x). Acta Math., 29, 1905. 30. Uber die Nullstellen der Funktionen E~ (x). Acta Math., 29, 1905. 31. Sur une extension d 'un th6or6me de M. Hadamard. Uppsala 1905. Arkiv ]Sr matem., astron.

och ]ysik, utg. a] VetenMc.-akad., Bd. 2: Nr. 14. 32. Uber die metazyklischen Gleichungen veto Grade p2. Uppsala 1907. M~me publication,

Bd. 3: Nr. 27.

33. Uber gewisse imprimitive Gleichungen. Uppsala 1907. M~me publication, Bd. 3: l~r. 28. Xl

34. Uber das Minimum des Integrals f y n ~ i +y'~dx. Arch. Math. Physik, Reihe 3, 13, 1908. X0

35. Die Mathematik an den schwedischen Universit/~ten. Pedag. tidskr., •rg. 46, Stockholm 1910. 36. Uber den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytisehen Funktion und

dem grSssten Gliede der zugehSrigen Taylor'schen Reihe. Acta Math., 37, 1914. 37. Matematik. Sveriges land och ]ollc, Hist.-statist. handbolc, 2:a uppl. publ. par J. Guinchard,

del 1, Stockholm 1915; 6dition allemande 1913 et 6dition anglaise 1914. 38. Om sammanhanget mellan maximimodylen och stSrsta termen hos en analytisk funktion.

Compte rendu du 3 e Congr~s des mathdmaticiens scandinaves, Kristiania 1913. 39. Uber eine Eigenschaft der ganzen Funktionen yon der HShe 1~u11, Math. Ann. , 76, 1915. 40. T_lber den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytisehen Funktion und

dem gr6ssten Betrage bei gegebenem Argumente der Funktion. Acta Math., 41, 1916. 41. Ober die reellen L6sungen der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Uppsala

1917, Arkiv ]6r matem., astron, och ]ysilc, utg. av Vetensk.-akad., Bd. 12: Nr. 14. 42. (3ber die L6sungen einer homogenen linearen I)ifferentialgleiehung in der Umgebung eines

singul/~ren Unbestimmtheitspunktes. Compte rendu du 4 e Congr~s des mathdmaticiens scand. . . . 1916, Uppsa]a 1920.

43. (Tber die Geemetrie auf der zweiteiligen kubischen F1/~ehe. Matematikerkongr. i Helsing]ors ... 1922 .... RedogSrelse . . . . Helsingfors 1923.

44. Uber die reellen Ziige der ebenen algebraischen Kurven. Math. Ann. , 90, 1924. 45. Uber den Klassenk6rper eines Abel'schen Zahlk6rpers. Den 6:e skand. ~natematikerkongres,

Beretn . . . . , Kobenhavn 1925. 46. O m e n reed en kvatern~r grupp p~ 11520 kollineationer i saraband st~ende konfiguration.

Mat. Tidsskr., B, Aarg 1925, Kobemhavn. 47. Uber Abelsche Kollineationsgruppen und irreduzible lineare Substitutionsgruppen. Acta

!Vlath., 48, 1926. 48. (~ber die Anwendung der Tschirnhausentransformation auf die l%eduktion algebraischer

Gleichungen. Nova acta Societ. scient. Ups., Vol. extra ord., Uppsala 1927. 49. Uber die Regelfl/iehen mit einer Leitgeraden. Acta Math., 57, 1931. 50. lJber die Regelfl~chen sechsten Grades ohne Leitgerade. Acta Math., 59, 1932. 51. Uber eine asymptotische Eigenschaft der Ableitungen der ganzen Funktionen yon den

Geschlechtern 1 und 2 mit einer endlichen Anzahl yon Nullstellen. Math. Ann. , 104, 1931. 52. Uber Marmigfaltigkeiten yon geradem Typus. ]:Yppsala 1933, Arlciv ]Sr matem., astron, oeh

]ysilc, utg. av Vetenslc.-alcad., Bd. 23 A: Nr. 15. 53. Uber Mannigfaltigkeiten yon ungeradem Typus. lYppsala 1933, M6me publication, Bd. 23 A:

Nr. 26.

54. Ober den Zusammenhang von gewissen Mannigfaltigkeiten. Uppsala 1933, M6me publica- tion, Bd. 24 A: Nr. 8.

VI TRYGVE NAGELL

55. Uber eine Verallgemeinerung der algebraischen Gleichungen. Math . A n n . , 108, 1933. 56. Uber zwei Typen yon elliptischen Regelfl~i, chen achten Grades. Math . A n n . , 108, 1933. 57. Uber die Doppeltangenten der ebenen Kurven vierter Ordmmg. Uppsala 1934, A r k i v ]6r

matem., astron, och ]ysik, utg. av Vetensk.-akad., Bd. 25 A: Nr. 5. 58. Uber die asymptotischen Kurven bei einer gewissen Fl~chengattung und ein hiermit in

Zusammenhang stchendes zahlentheo~etisches Problem, 8:de 8kand. matematikerkongr, i Stockholm . . . 1934. Comptes rendus . . . . Lund 1935.

59. Uber die asymptotischen Kurven der Fl~chen xPw q - yPz q - O. Uppsala 1935. A r k i v ]6r matem., astron, och ]ysik, utg. av Vetensk.-akad., Bd. 25 A: Nr. 11.

60. ~be r die W'-Kurven im dreidimensionalen Raume. Acta Math . , 64, 1935. 61. (~ber eine Stabilit~itsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. Ac ta Math . ,

66, 1936. 62. Uber die Cayleysche Regelfl~che drit ten Grades. Math . A n n . , 113, 1936. 63. Uber die Realit~t der Nullstellen fast aller Ableitungen gewisser ganzer Funktionen. Math .

A n n . , 114, 1937. 64. Uber Regelfl~chen yon beliebig hohem Grade mit vollst~ndig zerfallenden Doppelkurven.

Acta Math . , 76, 1944. 65. Uber den Rang von Kurven y2 = x ( x + a)(x + b). Ac ta math., 76, 1944. 66. Uber rationale Punkte auf Kurven y2 = x ( x ~ - c2). Ac ta math., 77, 1945. 67. Uber mit Diedergruppen verwandte p-Gruppen. Stockholm (tr. Uppsala) 1946. A r k . mat.,

33 A: 6. 68. Uber der Hesseschen Konfiguration in der Ebene entsprechende Konfigurationen in h6heren

R~umen, Stockholm (tr. Uppsala) 1947. Ark . mat. , 34 A: 18. 69. Uber rationale Punkte auf Kurven drifter Ordnung yore Geschlechte eins. Acta Math . ,

80, 1948. 70. Ein Problem bei dyadischer Zahlendarstellung. Stockholm (tr. Uppsala) 1951. Ark . mat. ,

h 21. 71. Uber p-Gruppen von maximaler Klasse. Acta Math . , 88, 1952. 72. Uber die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf gewissen Kurven drifter Ordnung.

12:e skand, matematiker]~ongr, i L u n d 1953, Lurid 1954.