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Angles inscrits et angles au centre interceptant un même arc de cercle. 1) Rappels cercles et disques. a) Cercles et disques : Définitions : * Périmètre et aire :

Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

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Page 1: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

Angles inscrits et angles au centre interceptant un même arc de cercle.

1) Rappels cercles et disques.

a) Cercles et disques :

• Définitions :

* Périmètre et aire :

Page 2: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

• Arc de cercle et secteur circulaire.

o Exercices :

a ) Soit un disque de rayon r = 20 cm et un secteur circulaire de ce disque ayant pour angle au centre

20α = ° .

Calculer la longueur de l’arc correspondant au mm près et calculer l’aire du secteur circulaire au mm²

près.

b) Un cercle a pour périmètre 823.P cm=

Calculer son diamètre au cm près.

c) On donne AC = 22 cm et AB = 30 cm.

L’angle ˆCAE mesure 55°.

Calculer le périmètre et l’aire de la figure hachurée,

respectivement au mm près et au mm² près.

Page 3: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

2) Angles inscrits et angles au centre interceptant un arc.

Remarque importante sur les angles :

Par la suite, on ne prendra en compte que des angles SAILLANTS.

Page 4: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

3) Angle au centre et angle inscrit interceptant un même arc :

Exercice :

A ) Reproduire ce pentagone régulier en prenant 6 cm de rayon.

b) Trouver 2 angles inscrits interceptant tous l’arc CB rouge.

c) Trouver l’angle au centre qui intercepte l’arc ED bleu.

d) Trouver l’angle au centre et 3 angles inscrits interceptant le même arc CD

vert.

Faire des phrases claires reprenant les mots clés de la leçon.

Ex :

l’angle… (nom) est un angle au centre interceptant l’arc…(nom).

les angles inscrits…(noms) interceptent tous le même arc…(nom).

L’angle au centre…(nom) et l’angle inscrit…(nom) interceptent tous deux le

même arc…(nom de l’arc).

4) Propriétés des mesures des angles aux centres et des angles inscrits interceptant un même arc.

a) Activité :

Construis 3 cercles. Sur chacun, construis un angle au centre et un angle inscrit qui interceptent un même arc comme

ci-dessous.

Dans chaque figure, mesure l’angle au centre et l’angle inscrit qui interceptent le même arc.

Quelle observation peux-tu faire ?

Page 5: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

b) Démonstration de cette propriété :

1) Cas particulier : Considérons le cas d’un point C d’un cercle de centre O et de diamètre [AB].

* Que dire du triangle AOC ? Pourquoi ?

* Que peut-on dire des angles ˆOAC et ˆOCA ?

Pourquoi ?

* Exprimons alors δ en fonction de α .

Dans AOC, d’après la somme des angles d’un

triangle, on a

2 180

2 2 180 2

180 2

δ α

δ α α α

δ α

+ =

+ − = −

= −

* Que mesure l’angle ˆAOB ? Pourquoi ?

*Que dire alors des angles . .etβ δ ?

* On a donc : 180β δ+ = . (égalité N°1)

Mais comme 180 2δ α= −

En remplaçant (substituant) δ par 180 2α− dans l’égalité N°1, on obtient :

( )

180

180 2 180

1

180 1

80 2 18

80

2

0

180 2 180

2

2

2 0

2 0

β δ

β α

β α

β α

β α

β α

β α

α α

+ =

+ − =

+ − =

+ −

− = −

+

=

=

=

+−

Conclusion : Dans ce cas particulier, un angle au centre mesure le double d’un

angle inscrit interceptant le même arc.

2) Généralisation :

a) Premier cas :

2β α= et ' 2 'β α= donc : ( )' 2 2 ' 2 'β β α α α α+ = + = +

Or : 'β β+ est la mesure de l’angle au centre interceptant l’arc

CD�

et 'α α+ est la mesure de l’angle inscrit interceptant le même

arc.

On a donc bien : ˆ

ˆ ˆ ˆ22

CODCOD CAD CAD= ⇔ =

Page 6: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

b) Deuxième cas :

On a ici :

2β α= et ' 2 'β α=

donc : ( )' 2 2 ' 2 'β β α α α α− = − = −

Or : ˆ' ' CODβ β δ− = = et ˆ' CADα α δ− = =

ˆCOD est un angle au centre interceptant l’arc CD�

ˆCAD est un angle inscrit interceptant le même arc.

On a là encore :

ˆˆ ˆ ˆ2

2

CODCOD CAD CAD= ⇔ =

c) Conclusion :

Un angle au centre vaut toujours le double d’un angle inscrit qui intercepte le même arc.

5) Propriété de 2 angles inscrits interceptant un même arc.

1) Activité : Construis un cercle et sur ce cercle, construis 3 angles inscrits interceptant un même arc

comme sur la figure ci-dessous.

Quelle observation peux-tu faire ?

Comment justifier cette observation... ?

Page 7: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

2) C’est très simple !

Faisons entrer en scène l’angle au centre qui intercepte

le même arc que les 3 angles inscrits.

On a forcement :

2

ωα = ,

2

ωβ = et aussi

2

ωδ =

Et il en serait de même pour tout autre angle inscrit

interceptant l’arc rouge CB�

. (Le sommet de l’angle

inscrit ne doit pas être un point de l’arc en question !)

Conclusion : 2 angles inscrits interceptant un même arc sont de même mesure.

Voir les exercices page 8 et page 9.

Page 8: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

Faire au min. les exercices n°9 ; n°11 ; n°13 et n°14

Si tu veux aller plus loin : ex n°16.

Entraînement D.N.B : ex n°17.

Page 9: Angle inscrit et angle au centre interceptant un arc de

Il y a des chances que certains exercices de cette

page figurent dans un prochain devoir.

Tu sais ce qu’il te reste à faire si tu veux avoir une

note plutôt correcte.

Je suis à ta disposition…