ANGLE INSCRIT ET ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTREANGLE AU CENTRE

Définition

Propriété 1

Propriété 2

Exemple

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

A

B

M

O

Angle inscrit

Angle au centre

Arc de cercle interceptépar les deux angles

A

B

M

O

AMB est un angle inscrit

A B

O

AOB est un angle au centre

Propriété de l’angle inscrit

Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc

alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de l’angle au centre.

A

B

M

O

A

B

M

O

N

Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors

Propriété

ils ont la même mesure.

Exemple d’application :Sans effectuer la moindre mesure, trouver les mesures des angles :

70 2AOB

70°ANB

70°AMB =

=

=

OB

MN

A = 140°

Exercice 1Exercice 1

1.Tracer [AB] tel que AB = 7 cm.Placer un point C tel que :BAC = 70° et ABC = 60°.2.Construire le cercle C circonscrit au triangle ABC et appeler O son centre. On laissera les traits de construction.3.Donner la mesure de l’angle AOC en justifiant la réponse.

1. et 2.

3.L’angle au centre AOC et l’angleinscrit ABCinterceptentle même arcde cercle donc

AOC = 2ABC

AOC = 2 60°

AOC = 120°

Exercice 21.Tracer un cercle de centre O et de diamètre [AB] mesurant 8 cm.Placer un point E sur ce cercle tel que l’angle BAE mesure 52°.2.Montrer que le triangle AEB est rectangle.3.Sur le demi-cercle d’extrémités A et B, qui ne contient pas E, placer un point K.Quelle est la valeur exacte des angles EOB et  EKB ? Justifier.

1.

2.E est un point du cercle de diamètre [AB]donc le triangle ABE est rectangle en E.

3. OEA est isocèle en O donc les angles à la base OEA et OAE sont égaux.

OEA = OAE = 52°AOE = 180° – 252°AOE = 180° - 104°AOE = 76°

3. AOE = 76°AOE et EOB sont supplémentaires donc

EOB = 180° - 76°

EOB = 104°

3.

Les angles inscrits EAB et EKBinterceptentle même arcde cercle donc

EKB = EAB

EKB = 52°

Exercice 3ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°.1)Tracer ce triangle.2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre.3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD.Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse.

4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure.5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée.

ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°.1)Tracer ce triangle.

B A

D

40°9 cm

2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre.

tanBAD =

B A

D

40°9 cm

Dans le triangle ABD rectangle en B :

BDAB BD9

tan40°1

=

BD = 9 tan40°

BD 7,6 cm à 1 mm près

Le triangle ABD est rectangle en D donc le centre I de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse [AD].

3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD. Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse.

B A

D

40°9 cm

I

4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure.

B A

D

40°9 cm

IS

5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée.

B A

D

40°9 cm

IS

(AS) est la bissectrice de l’angle BAD donc SAB = 40° : 2

SAB = 20°Les angles inscrits SIB et SABinterceptentle même arcde cercle donc

SIB = 20°

FinFin