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ANGLE INSCRIT ET ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE ANGLE AU CENTRE Définition Propriété 1 Propriété 2 Exemple Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

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ANGLE INSCRIT ET ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTREANGLE AU CENTRE

Définition

Propriété 1

Propriété 2

Exemple

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

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A

B

M

O

Angle inscrit

Angle au centre

Arc de cercle interceptépar les deux angles

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A

B

M

O

AMB est un angle inscrit

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A B

O

AOB est un angle au centre

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Propriété de l’angle inscrit

Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc

alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de l’angle au centre.

A

B

M

O

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A

B

M

O

N

Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors

Propriété

ils ont la même mesure.

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Exemple d’application :Sans effectuer la moindre mesure, trouver les mesures des angles :

70 2AOB

70°ANB

70°AMB =

=

=

OB

MN

A = 140°

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Exercice 1Exercice 1

1.Tracer [AB] tel que AB = 7 cm.Placer un point C tel que :BAC = 70° et ABC = 60°.2.Construire le cercle C circonscrit au triangle ABC et appeler O son centre. On laissera les traits de construction.3.Donner la mesure de l’angle AOC en justifiant la réponse.

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1. et 2.

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3.L’angle au centre AOC et l’angleinscrit ABCinterceptentle même arcde cercle donc

AOC = 2ABC

AOC = 2 60°

AOC = 120°

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Exercice 21.Tracer un cercle de centre O et de diamètre [AB] mesurant 8 cm.Placer un point E sur ce cercle tel que l’angle BAE mesure 52°.2.Montrer que le triangle AEB est rectangle.3.Sur le demi-cercle d’extrémités A et B, qui ne contient pas E, placer un point K.Quelle est la valeur exacte des angles EOB et  EKB ? Justifier.

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1.

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2.E est un point du cercle de diamètre [AB]donc le triangle ABE est rectangle en E.

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3. OEA est isocèle en O donc les angles à la base OEA et OAE sont égaux.

OEA = OAE = 52°AOE = 180° – 252°AOE = 180° - 104°AOE = 76°

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3. AOE = 76°AOE et EOB sont supplémentaires donc

EOB = 180° - 76°

EOB = 104°

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3.

Les angles inscrits EAB et EKBinterceptentle même arcde cercle donc

EKB = EAB

EKB = 52°

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Exercice 3ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°.1)Tracer ce triangle.2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre.3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD.Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse.

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4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure.5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée.

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ABD est un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD = 40°.1)Tracer ce triangle.

B A

D

40°9 cm

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2)Calculer la longueur BD en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera la valeur arrondie au millimètre.

tanBAD =

B A

D

40°9 cm

Dans le triangle ABD rectangle en B :

BDAB BD9

tan40°1

=

BD = 9 tan40°

BD 7,6 cm à 1 mm près

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Le triangle ABD est rectangle en D donc le centre I de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse [AD].

3)Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD. Indiquer la position du centre I de ce cercle. Justifier la réponse.

B A

D

40°9 cm

I

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4)Tracer la bissectrice de l’angle BAD. Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure.

B A

D

40°9 cm

IS

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5)Déterminer la mesure exacte de l’angle SIB en justifiant la démarche utilisée.

B A

D

40°9 cm

IS

(AS) est la bissectrice de l’angle BAD donc SAB = 40° : 2

SAB = 20°Les angles inscrits SIB et SABinterceptentle même arcde cercle donc

SIB = 20°

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FinFin