Angles et parallélisme Exercices corrigés · Angles et parallélisme – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Dans chaque cas, dire si l’angle bleu

Angles et parallélisme – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : montrer que deux angles sont complémentaires

Exercice 2 : trouver l’angle complémentaire à un angle

Exercice 3 : montrer que deux angles sont supplémentaires

Exercice 4 : trouver l’angle supplémentaire à un angle

Exercice 5 : angles aigus et obtus

Exercice 6 : angles adjacents

Exercice 7 : angles opposés par le sommet

Exercice 8 : angles alternes-internes et angles correspondants

Exercice 9 : angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante

Exercice 10 : angles de même mesure et parallélisme de deux droites

Exercice 11 : somme des angles dans un triangle

Exercice 12 : cas particuliers du triangle rectangle, du triangle isocèle et du triangle équilatéral

Rappel : Dénomination d’un angle

En général, on utilise trois lettres pour nommer un

angle. La lettre centrale désigne alors le sommet.

A droite, est représenté l’angle , que l’on peut

aussi noter .

Remarque : Cependant, une seule lettre peut suffire

s’il n’y a aucun risque de confondre.

Ainsi, à droite sont représentés l’angle en orange,

l’angle en bleu et l’angle en rouge.

On peut noter de 3 manières différentes l’angle .

Angles et parallélisme

Exercices corrigés

Sommet de l’angle

Demi-droite

Demi-droite



2

Dans chaque cas, dire si l’angle bleu et l’angle rouge sont complémentaires.

1)

2)

3)

4)

Rappel : Angles complémentaires

Deux angles et sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à , c’est-à-dire si

. Autrement dit, si la somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle droit.

1) L’angle rouge mesure et l’angle bleu mesure . La somme de ces angles est donc .

La somme des angles est égale à donc les angles sont complémentaires.

2) L’angle rouge mesure et l’angle bleu mesure . La somme de ces angles est .

La somme des angles n’est pas égale à donc les angles ne sont pas complémentaires.

3) L’angle bleu mesure et l’angle rouge mesure . La somme de ces angles ne peut pas être égale à

car la mesure de l’angle bleu, à elle seule, est déjà supérieure à .

Les angles ne sont pas complémentaires.

4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle droit gris.

La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à donc les angles sont

complémentaires.

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

Il n’est pas toujours

nécessaire

d’effectuer des

calculs !



3

Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle complémentaire à l’angle proposé.

1) 2) 3)

1) On cherche un angle complémentaire à l’angle donc on cherche un angle tel que .

Autrement dit, on cherche tel que .

L’angle de mesure est complémentaire à l’angle de mesure .

2) On cherche un angle tel que . On cherche donc tel que .

Cette mesure d’angle est négative donc il n’existe pas d’angle complémentaire à l’angle de mesure .

3) On cherche un angle tel que . On cherche donc tel que .

L’angle de mesure est l’angle complémentaire à l’angle de mesure . Autrement dit, l’angle nul et l’angle

droit sont complémentaires.

Remarque : On pourra retenir qu’un angle obtus n’a pas d’angle complémentaire.

Dans chaque cas, dire si les angles sont supplémentaires.

1)

2)

3)

4)






4

Rappel : Angles supplémentaires

Deux angles et sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à , c’est-à-dire si la

somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle plat. On a donc : .

1) L’angle rouge mesure et l’angle bleu mesure . La somme de ces angles est par conséquent

.

La somme des angles n’est pas égale à donc les angles ne sont pas supplémentaires.

2) L’angle bleu mesure et l’angle rouge mesure . La somme de ces angles est .

La somme des angles est égale à donc les angles sont supplémentaires.

3) L’angle rouge mesure et l’angle rouge mesure . La somme de ces angles est .

La somme des angles n’est pas égale à donc les angles ne sont pas supplémentaires.

Remarque : On pourra retenir que deux angles aigus ne sont pas supplémentaires.

4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle plat gris.

La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à donc les angles sont

supplémentaires.

Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle supplémentaire à l’angle proposé.

1) 2) 3)

1) On cherche un angle supplémentaire à l’angle donc on cherche un angle tel que .

Autrement dit, on cherche tel que .

L’angle de mesure est supplémentaire à l’angle de mesure .

2) On cherche un angle supplémentaire à donc on cherche un angle tel que . Autrement

dit, on cherche tel que .

L’angle de mesure est supplémentaire à l’angle de mesure .






5

3) On cherche un angle tel que . Par conséquent, on cherche tel que

.

L’angle de mesure est l’angle supplémentaire à l’angle de mesure . Autrement dit, deux angles droits

sont supplémentaires.

Dans chacun des quatre cas ci-dessous, construire, si possible, l’angle décrit et dire s’il est aigu ou obtus.

1) Un angle complémentaire à un angle aigu.

2) Un angle complémentaire à un angle obtus.

3) Un angle supplémentaire à un angle aigu.

4) Un angle supplémentaire à un angle obtus.

Rappel : Angle aigu et angle obtus

Un angle aigu mesure entre et exclus.

Un angle obtus mesure entre et exclus.

1)

Construisons dans un

premier temps, en bleu, un

angle aigu.

Regardons dans un second

temps s’il existe un angle

complémentaire en

cherchant un angle tel

que .

Il existe bien un angle

complémentaire de

mesure .

Construisons ensuite cet

angle, en rouge.

Enfin, concluons.

L’angle obtenu est

un angle aigu.

Remarque : On pourra retenir que l’angle complémentaire à un angle aigu est un angle aigu.

Exercice 5 (2 questions) Niveau : moyen




6 6

2)

Construisons dans un premier temps, en bleu, un

angle obtus.

Regardons dans un second temps s’il existe un angle

complémentaire en cherchant un angle tel que

.

Il n’existe donc pas d’angle complémentaire.

Remarque : On pourra retenir qu’il n’existe pas d’angle complémentaire à un angle obtus.

3)



angle aigu.

Regardons dans un second

temps s’il existe un angle

supplémentaire en

cherchant un angle tel

que .


supplémentaire de mesure

.

Construisons ensuite cet

angle, en rouge.

Enfin, concluons.


un angle obtus.

Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle aigu est un angle obtus.

4)



angle obtus.

Regardons dans un

second temps s’il existe

un angle supplémentaire

en cherchant un angle

tel que .


supplémentaire de

mesure .

Construisons ensuite cet angle,

en rouge.

Enfin, concluons.


un angle aigu.

Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle obtus est un angle aigu.



7 7

Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont adjacents. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Rappel : Angles adjacents

Deux angles adjacents et sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont un côté commun

se situent de part et d’autre de ce côté commun

1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même

sommet et un côté commun et se situent de

part et d’autre de ce côté commun. Ainsi, ces

angles sont adjacents.



Côté commun

Sommet commun

Sommet commun

Côté commun



8 8


sommet mais pas de côté commun. Donc ces

angles ne sont pas adjacents.

3) L’angle rouge et l’angle bleu n’ont pas le

même sommet donc ces angles ne sont pas

adjacents.



part et d’autre de ce côté commun. Donc ces

angles sont adjacents.



part et d’autre de ce côté commun. Par

conséquent, ces angles sont adjacents.


sommet et un côté commun mais ils ne se

situent pas de part et d’autre de ce côté

commun. Donc ces angles ne sont pas

adjacents.

Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont opposés par le sommet. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier.

1)

2)

3)

4)

Sommet commun

Sommet commun

Côté commun

Sommet commun Côté commun

Sommet commun Côté commun




9 9

Rappel : Angles opposés par le sommet

Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre

Remarque : Deux angles opposés par le sommet ont même mesure et sont symétriques par rapport au sommet.

1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de

l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu,

mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement

de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas

opposés par le sommet.

Remarque : Observant que les angles ne sont pas de même mesure, on peut directement conclure que les

angles ne sont pas opposés par le sommet.

2) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. De plus, ces angles

ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre donc ils sont


3) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de

l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu,

mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement

de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas


4) L’angle rouge et l’angle bleu ont la même mesure, d’après le codage.

Toutefois, ils n’ont pas le même sommet donc ces angles ne sont pas



Sommet commun



10 10

En utilisant la figure ci-contre,

1) nommer des angles alternes-internes formés par les

droites et et la sécante

2) nommer des angles correspondants formés par les

droites et et la sécante

Rappel : Angles alternes-internes et angles correspondants

Soient deux droites et coupées par une droite

sécante .

Deux angles alternes-internes sont deux angles formés par

ces trois droites et :

qui n’ont pas le même sommet

qui sont de part et d’autre de la droite sécante

qui sont à l’intérieur de la bande délimitée par les

droites et

Deux angles correspondants sont deux angles formés par

ces trois droites et :

qui n’ont pas le même sommet

qui sont du même côté de la droite sécante

dont l’un est à l’intérieur de la bande délimitée par

les droites et et dont l’autre est à l’extérieur

de cette bande

Exercice 8 (2 questions) Niveau : facile




11 11

1)

Les angles bleus et sont alternes-

internes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se

situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et

d’autre de la sécante verte.

Les angles bleus et sont alternes-

internes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se

situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et d’autre de la sécante verte.

2)

Les angles rouges et sont

correspondants. En effet, ils n’ont pas même

sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un

se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que

l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.

Les angles rouges et sont

correspondants. En effet, ils n’ont pas même

sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un

se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que

l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.

On sait que :

les droites et sont parallèles ;

les points , et sont alignés dans cet ordre ;

les points , et sont alignés dans cet ordre ;

les points , et sont alignés dans cet ordre.

A l’aide des mesures portées sur la figure et des

informations données ci-dessus, donner la mesure des

angles , , , , et .

Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen



12 12

Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure

Si deux droites et sont parallèles et coupées par une droite sécante , alors :

les angles alternes-internes qu’elles forment ont même mesure

les angles correspondants qu’elles forment ont même mesure

Les angles bleus

sont tous de même

mesure.

Les angles rouges

sont tous de même

mesure.

Calculons la mesure de l’angle .

Les droites et sont parallèles et elles sont coupées par

la droite donc elles forment des angles correspondants de

même mesure.

Or, comme les angles et sont correspondants, il en

résulte que

L’angle mesure .


Les angles rouges

ont la même mesure.

Les angles bleus ont

la même mesure.

Droites parallèles



13 13


Les points , et sont alignés dans cet ordre donc l’angle

est un angle plat. Autrement dit, . En outre, les angles et sont adjacents car ils ont le même

sommet , le même côté commun et se situent de part et

d’autre de ce côté commun.

Ainsi, (autrement dit, les angles et

sont supplémentaires). Par conséquent, en remplaçant par les mesures connues, on a :

L’angle mesure .


Comme les droites et sont parallèles et coupées par la

droite , elles forment des angles correspondants de même

mesure. Les angles et étant correspondants, on a :

L’angle mesure .


Les points , et sont alignés dans cet ordre. Par conséquent,

l’angle est un angle plat.

De plus, les angles et sont adjacents car ils ont le même

sommet , le même côté commun et se situent de part et d’autre de ce côté commun.

De ce fait, (ce qui signifie en d’autres

termes que les angles et sont supplémentaires).

Il s’ensuit, en remplaçant par les mesures connues, que :

L’angle mesure .


Les angles et sont opposés par le sommet donc ils ont

même mesure. On a donc

L’angle mesure .


1ère

méthode : Les points , et sont alignés dans cet ordre.

Donc l’angle est un angle plat.

Les angles et sont adjacents et supplémentaires puisque

. Il vient alors que :

L’angle mesure .



14 14

2e méthode : Les angles et sont opposés par le sommet

donc ils ont la même mesure.

Par conséquent, on obtient

L’angle mesure .

3ème

méthode : Les droites et sont parallèles et elles

sont coupées par la droite ; donc elles forment des angles alternes-internes de même mesure.

Or, les angles et sont alternes-internes puisqu’ils n’ont

pas le même sommet, sont de part et d’autre de la droite sécante

et sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites

et . Il en résulte que

L’angle mesure .

En résumé, on a :

Remarques :

Il peut exister plusieurs démonstrations possibles. Quelle que soit la méthode utilisée, il convient de

détailler la rédaction pour montrer au correcteur

que les savoirs (définitions, propriétés…) et les

savoir-faire sont parfaitement maitrisés.

Il serait possible de calculer la mesure des angles

manquants, à savoir d’une part et d’autre part

, en utilisant la formule de la somme des

angles dans les triangles d’une part et

d’autre part.

Dans chacun des quatre cas suivants, dire si les droites et sont parallèles. Justifier.

1)

2)




15 15

3)

4)

Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure (réciproque)

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors

ces droites sont parallèles.

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors

ces droites sont parallèles.

Les droites rouge et

bleue sont

parallèles.

1) D’après le dessin, les angles et sont des angles correspondants.

De plus, . Ainsi, les droites et coupées par la

sécante forment des angles correspondants de même mesure.

Il s’ensuit que les droites et sont

parallèles.


Angles de même

mesure

La droite bleue

est parallèle à la

droite rouge.



16 16

2) D’après le dessin, les angles et sont des

angles alternes-internes.

De plus, .

Ainsi, les droites et coupées par la

sécante forment des angles alternes-internes de mesures différentes.

Par conséquent, les droites et ne sont

pas parallèles.

3) Les points , et sont alignés dans cet ordre donc

les angles et sont des angles adjacents et supplémentaires.

On a donc : d’où :

On a donc .

Par ailleurs, les angles et sont

correspondants.

En conséquence, les droites et sont

parallèles.

4) Les angles et sont opposés par le sommet donc ils sont de même mesure.

Ainsi, on a

On a donc finalement . Or, les angles et sont des angles

correspondants.

Autrement dit, les angles et sont correspondants et de même mesure.

Par conséquent, les droites et sont

parallèles.

En utilisant la figure ci-contre, calculer la mesure respective

des angles et puis en déduire celle de .

Exercice 11 (2 questions) Niveau : facile



17 17

Rappel : Somme des angles dans un triangle

Dans un triangle, la somme des trois angles est

égale à . On a :

Autrement dit, les trois angles d’un triangle sont

supplémentaires.

1ère

étape

Dans le triangle , la somme

des angles , et est

égale à .

On a donc :

C’est-à-dire :

L’angle mesure .

2ème

étape

Dans le triangle , la somme

des angles , et est

égale à .

On a donc :

C’est-à-dire :

L’angle mesure .

3ème

étape

Les angles et sont adjacents.

On a donc :

L’angle est un angle obtus

de mesure .


Droite parallèle à



18 18

Dans chacun des six cas suivants, donner la mesure de tous les angles du triangle.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Rappel : Mesures d’angles dans un triangle isocèle

Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux (les angles à

la base sont indiqués sur la figure en orange).

Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

Exercice 12 (1 question) Niveau : moyen




19 19

1)

D’après le codage de la figure, . Donc le triangle est

isocèle en . Ainsi, .

En outre, la somme des angles d’un triangle est égale à donc

. D’où :

2)

D’après le codage, le triangle est isocèle en car .

On a donc .

Par ailleurs, d’après la figure, .

Comme, dans un triangle, les angles sont supplémentaires, on a la

relation suivante : .

On vient de montrer que donc, en remplaçant, on a ⏟

.

C’est-à-dire , soit . Il en résulte que . Finalement,

.

3)

D’après la codage de la figure, le triangle est rectangle en .

Donc . De plus, la figure indique clairement que . La somme des mesures des angles d’un triangle étant égale à , on a l’égalité suivante : . Il s’ensuit

que : .

Rappel : Mesures d’angles dans un triangle équilatéral

Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure .

Réciproquement, si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.

4)

D’après le codage, le triangle est isocèle en et, par ailleurs, . Or, d’après une propriété du cours, si un triangle isocèle a un angle de

, alors il est équilatéral.

Par conséquent, .



20 20

Rappel : Mesures d’angles dans un triangle rectangle isocèle

Si un triangle est rectangle isocèle, alors chacun de ses angles aigus

mesure .

Réciproquement, si un triangle a deux angles mesurant , alors il est

rectangle isocèle. De même, si un triangle rectangle a un angle mesurant

, alors il est rectangle isocèle.

5)

Le codage montre que le triangle est rectangle en . Autrement

dit, . De plus, .

D’après une propriété du cours, si un triangle rectangle a un angle de

, alors il est rectangle isocèle.

Il en résulte que .

6)

D’après la figure, , ce qui signifie que le triangle est

isocèle en . Dès lors, il vient que .

D’après une propriété du cours, si un triangle a deux angles de , alors il est rectangle isocèle. Donc est rectangle isocèle en .

Par conséquent, .

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