Annales corriges

7/30/2019 Annales corriges

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UPMC LicencedeScienceetTechnologies

MentionIngnierieElectronique

UELE31020112012

EcritRparti1du14/10/11(2h)

SansdocumentSanscalculatrice

Lebarmeetladuresontindiqustitreindicatif

Exercice1:(5,5pts30min)

Calculerleproduitdeconvolution avec:

et

avec

Exercice2:(9pts59min)

Soitlafonction, , priodiquedepriode ,telleque:

onsupposeque avec et .

a. Tracerlegraphedelafonction .

b. EndduirelecomportementasymptotiquedescoefficientsdeFourier.

c. CalculertouslescoefficientsdelasriedeFourierexponentiellede .

Vousdevezobtenir:

avec pour .

d. Endduiretousles coefficientsdela sriedeFourierexponentiellede avec

e. EndduiretouslescoefficientsdelasriedeFouriertrigonomtriquede .

Vousdevezobtenir:

etpour et

f. EndduiretouslescoefficientsdelasriedeFouriertrigonomtriquede avec

g. VersquellevaleurlasriedeFouriertrigonomtriquede convergetelleauxinstants et ?Commentervosrsultats.

Lasuiteestauverso

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a. AlaidedespropritsdelatransformedeFourier,calculerlatransformedeFourierdelafonction

suivante:

avec

b. EndduirelatransformedeFourierduproduitdeconvolution not .

c. De lexpression de en dduire la reprsentation graphique de et son expressionmathmatique.

Exercice4:(1,5pt10min)

Tracerlesreprsentationsdesdistributionssuivantes:

a.

b. c.

d.


Soit une fonction test quelconque dans . Parmiles applications suivantes, quelles sont celles qui

dfinissentunedistribution?

a. b.


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3/22


4/22

2


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Soitlafonctionsuivante:

a. Reprsentergraphiquement

pour

.

b. Reprsentergraphiquement pour .c. Reprsentergraphiquement pour .


Soitlafonction, ,priodiquedepriode ,telleque:

onsupposeque avec et .a. Tracerlegraphedeladistribution .b. Tracerlegraphedesadrivepremire etexprimer ausensdesdistributions.

c. Tracerlegraphedesadriveseconde etexprimer ausensdesdistributions.Vousdevezobtenir:

d. DonnerlexpressiondudveloppementensriedeFourierexponentielledesdistributions et

.

e. EndduirelexpressiondudveloppementensriedeFourierexponentiellede partirdeceluidespeignesdeDirac.

f. On note , les coefficients dudveloppementen srie de Fourier de . Donner lexpression dudveloppementensriedeFourierexponentiellede partirdeceluide .

g. Ecrirelgalitdesdveloppementsprcdents,puisendduirelexpressiondetouslescoefficientsde

lasriedeFourierexponentielle, pour ,de .Vousdevezobtenir:

avec

pour

.

h. Calculer .

Lasuiteestauverso


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Exercice3:(5pt30min)

Remarque:danscetexerciceonnesoccuperapasdedfinirledomainedexistencedestransformesde

Laplace.

a. RappelerlexpressiondelatransformedeLaplace,not

,delafonction

o

estlchelondeHeaviside.

b. Donnerlexpressiondelafonction ,reprsenteenfigure1,enfonctionde puisendduiresatransformedeLaplace,not .

c. Donnerlexpressiondelafonction ,reprsenteenfigure2,enfonctionde et puisendduiresatransformedeLaplace,not .

d. Retrouver delafonction partirdeladfinitiondelatransformedeLaplace.Vousdevezobtenir:

e. EndduirelatransformedeLaplace,not ,delafonction .

Fig.1:Reprsentationde . Fig.2:Reprsentationde .Exercice4:(5pts30min)

Soitlefiltre(Fig.1)dfiniparlquationdiffrentiellesuivante: o et .UtiliserlatransformedeLaplacepourrsoudrecettequationdanslecasolasortieestdansltatinitial et seradduitde :

a. Onappliquelentrelesignal o estlchelondeHeaviside.

b. Onappliquelentrelesignal

reprsentenfigure2.

Fig.1:Reprsentationdufiltre. Fig.2:Reprsentationde .

tT0

1

0

0


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Autre mthode (MD) :

b. h2(t) = t . { u(t) - u(t-T) } + ( 2 .T - t ) . u(t-T) = t . u(t) - 2 . ( t - T ) . u(t-T) = h1(t) - 2 . h1(t-T)

c. h3(t) = t . { u(t) - u(t-T) } + ( 2 .T - t ) . { u(t-T) - u(t-2T) }

= t . u(t) - 2 . ( t - T ) . u(t-T) + ( t - 2 . T ) . u(t-2T)

= h2(t) + h1(t-2T)


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Dterminerlespointsparticuliers(zroetple)enprcisantleurordredelafonctioncomplexedela

variablecomplexesuivante:


Soit

a. Montrerque estharmonique.b. Dterminer pourque soitunefonctionholomorphe.c. Endduireque o avec .


Montrerquelafonction

o reprsenteleconjugudunombrecomplexe ,nestpas

drivable.

a. Apartirdeladfinitiondeladrive.

b. ApartirdesconditionsdeCauchy.


Soitlafonctioncomplexedelavariablecomplexesuivante:

DvelopperensriedeLaurentetdfinirlesdomainesdevaliditsde autourde .Exercice5:(3,5pts20min)

Soitlafonctioncomplexedelavariablecomplexesuivante:

a. Dterminerlespointsdebranchementsde .b. Quellecoupureproposezvous?

c. Onfixeladtermination

,calculer

.Ontravailleaveclaconventionotous

lesanglessontdfinisdanslesenstrigonomtrique.

Lasuiteestauverso


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Calculerlintgralesuivante:

Oestlecontourorientpositivement(danslesenstrigonomtrique),dfinipar:a. .

b. .

c. .


Calculerlintgrale,cidessous,eneffectuantlechangementdevariable

.


Onveutcalculerlintgralesuivante:

Pourcela,onconsidrelecontour orientpositivementdelafigure1avecRtrsgrandet larcdudemicerclederayonetdecentreloriginedurepre.

a. Calculer .

b. Montrerque .

c. Endduirelavaleurde puisde .

Fig.1:Reprsentationducontour.

x

y

0 RR

iR

R


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i

i

i

i

i


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