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Anneaux et corps

1 Introduction

Aprs avoir tudi la structure de groupes nous allons nous pencher sur celles dan-

neau et de corps. Les structures danneau et de corps sont des enrichissements de celle

de groupe. En effet, un anneau ( ou un corps ) est un groupe muni dune deuxime loi

interne. Cette deuxime loi naura gnralement pas, pour la structure danneau, toutes

les proprits de la premire. Il lui manquera, en particulier, la possibilit dun inverse

pour chacun des lments de lanneau. La seconde loi dun corps possdera, quant

elle, toutes les proprits de la premire. La structure danneau sera le plus souvent ren-

contre sur des ensembles de fonctions ou de matrices. Celle de corps, beaucoup plus

rare, est celle des ensembles Q , R et Cmunis de leurs lois additives et multiplicatives.

Dautres ensembles bnficient de cette structure mais ils sont moins accessibles. Il

sagit de IFpZ/pZ quand p est un nombre premier ou encore du corps des quaternionsqui peut tre vu comme un certain sous ensemble des matrices 44.

2 Anneau

Dfinition Soit A un ensemble possdant deux lois internes que lon note, par

analogie avec Z , + et . . On dit que le triplet (A,+,.) possde une structure d anneau si:

(A,+) a une structure de groupe ablien. Le neutre de la loi + est not 0.

La loi . est distributive par rapport la loi + :

x,y,z A,x.(y + z) = x.y + x.z

La loi . est associative:

x,y,z A,x.(y.z) = (x.y).z

Si de plus, il existe un lment neutre dans A pour la loi . ( que lon note 1 et

quon appelle lment unit de lanneau) alors lanneau A sera dit unitaire.

Remarque On considrera toujours dans la suite des anneaux qui sont unitaires et

on utilisera le mot anneau pour anneau unitaire.

Remarque On notera -a linverse (loppos...) de a pour la loi +. Par abus dcri-

ture, on notera A lanneau (A,+,.).

Dfinition Si llment x dun anneau possde un inverse pour la deuxime loi de

cet anneau, on dira que x est un lment inversible de cet anneau et on notera x1 son

inverse.

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Remarque Rien nempche, dans le cas gnral, que 1=0 !!!

Proposition Lensemble des lments inversibles dun anneau possde une struc-ture de groupe pour la multiplication de lanneau.

Dmonstration Cest facile.

Proposition (Proprits arithmtiques sur les anneaux) Soit (A,+,.) un anneau.

Pour tout x,yA, on a:

1. 0.x = 0

2. (1).x = x

3. (1).(1) = 1

4. (x).y = x.y

Dmonstration1. 0.x + x = 0.x + e.x = (0 + e).x = e.x = x. Donc 0.x = 0.

2. 0 = 0.x = (1 1).x = 1.x 1.x = x 1.x donc x = 1.x.

3. On multiplie par 1 lgalit (1)+1 = 0. Cela donne (1).(1)+(1).(1) =0 et donc (1).(1) + (1) = 0 ce qui prouve que (1).(1) = 1.

4. x.y + (x).y = (x + (x)).y = (x x).y = 0.y = 0 donc loppos de x.y quiest, par convention dcriture, x.y, est gal (x).y.

Dfinition Un anneau A sera dit intgre si 1=0 et si pour tout lment x,y Aon a:

x.y = 0 x = 0 ou y = 0.

Dans le cas contraire, cest dire dans le cas o A nest pas intgre, il existe des

lments x et y dans A tout deux non nuls et tels que x.y=0.

Dfinition Soit A un anneau et x, y des lments de A non nuls tels que x.y=0. x

et y sont des diviseurs de 0.

Dfinition Un anneau sera dit commutatifsi la deuxime loi de lanneau est com-

mutative.

Dfinition Soit (A,+,.) un anneau et soit A un sous ensemble de A. A est un sous

anneau de A si et seulement si A muni des lois de A restreintes A possde lui aussi

une structure danneau.

Proposition Voici quelques formules algbriques vraies dans un anneau A com-

mutatif: si x,yA, n,mN :

xm+n=xmxn.

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(xm)n=xmn.

(xy)n=xnyn.

Formule du binme de Newton:(x+y)n=

ni=0

Cinxiyni.

Ces formules sont valables avec la convention x0=1 pour tout x de A.

Dmonstration On passera sous silence la dmonstration des trois premiers points

qui se traitent sans problme par rcurrence.

Le dernier point se dmontrer lui aussi par rcurrence:

si n=1 la formule est triviale, supposons la donc vraie lordre n-1 et dmontrons la

lordre n: (x+y)n = (x+y).(x+y)n1 = (x+y).

n1i=0

Cin1xiyn1i ce qui donne, en

distribuant la parenthse sur chacun des termes de la somme:

n1i=0

Cin1xi+1yn1i +

n1i=0

Cin1xiyni.

Le premiere partie de lexpression prcdente peut encore scrire:

ni=1

Ci1n1xiyni.

Voila qui permet de ladditionner la seconde partie et cela donne:

ni=0

(Ci1n1 + Cin1)x

iyni

mais comme Ci1n1+Cin1=C

in la formule est dmontre.

3 Idaux

Dfinition Soit (A,+,.) un anneau et I un sous ensemble de A. I est un idal

gauche (resp. droite) de A si et seulement si:

I est un sous groupe ablien de A pour la loi +.

Pour tout lment a de A et x de I, a.x (resp x.a) est un lment de I.

Dfinition Soit A un anneau et I un sous ensemble de A. I est un idal bilatre

de A si et seulement si I est la fois un idal gauche et un idal droite de A. On

utilisera de manire gnrale le mot idal pour idal bilatre.

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Dfinition Soit A un anneau et I un un idal ( bilatre) de A. I est un idal premier

de A si et seulement si I nest pas gal A tout entier et si I vrifie:

x,y A, x.y I x I o u y I.

Dfinition Soit A un anneau et I un idal de A. I est un idal principal de A si et

seulement si I est engendr par un unique lment a de A. Autrement dit:

I = {x.a; a A}.

On notera dans ce cas (a), lidal engendr par llment a de A.

Dfinition Lidal (0) engendr par llment 0 dun anneau A sera appel lidal

nul de A.

Dfinition Un anneau est dit principal si il est intgre et que tout ses idaux sont

principaux.

Dfinition Un idal I dans un anneau A est dit strict ou propre dans A si il nest

pas gal lanneau tout entier.

Dfinition Un idal est maximal si il strict et si il nest contenu dans aucun idal

autre que lanneau tout entier.

Proposition Si un idal dun anneau A contient llment unit de lanneau alors

cet idal est gal lanneau tout entier.

Dmonstration Supposons que lidal I de lanneau A contienne llment 1 de

A. Alors pour tout aA, a=a.1 est, par dfinition dun idal, lment de I. Donc A I etI=A.

Dfinition Un idal dans un anneau A sera dit finiment engendr si lensemble

de ses gnrateurs est fini, c.a.d si il existe nN et des lments ai A pour i=1,...,n

tels que x I, x1,...,xn A/x =n

i=1

xi.ai.

Thorme de Krull Soit I un idal dun anneau A. Alors il existe un idal maximal

de A contenant I.

Dmonstration Considrons lensemble I des idaux de A contenant I et nongaux A. I est non vide car il contient I. I est un ensemble partiellement ordonnpar linclusion.I est inductif car tout partie P non vide deI totalement ordonne pourlinclusion possde un majorant. Ce majorant est donn par la runion des lments de

P, savoir que cette runion est bien un idal propre de I car la runion est prise sur

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une suite croissante didaux propres deI. On peut appliquer le lemme de Zorn.Ipos-sde un lment maximal. Ce dernier est un idal propre de A contenant I et contenu

dans aucun autres idaux propres de A.

4 Corps

Dfinition Soit k un ensemble et soient + et . deux lois internes sur k. Le triplet

(k,+,.) possde une structure de corps si:

(k,+,.) a une structure danneau commutatif unitaire.

(k\{0},.) a une structure de groupe (ablien).

ExempleQ

,R

etC

ont des structures de corps pour leur addition et multiplicationrespectives. Dautres corps existent mais ils sont beaucoups moins accessibles. Nous

pensons, par exemple, au corps des quaternions dHamilton.

Remarque Par abus dcriture et quand aucune confusion nest craindre, nous

noterons k le corps (k,+,.).

Proposition Soit k un corps. Alors:

1=0.

k ne possde pas de diviseurs de 0 ( k est donc intgre ).

Dmonstration

Autrement la dfinition dun corps na plus de sens ( cf 2ieme point).

Supposons quil existe x et y dans k tels que x.y=0. Supposons de plus que x

nest pas nul. Alors x est inversible et x1.x.y=x1.0=0 . Donc y=0 et x, y ne

sont pas des diviseurs de 0.

Proposition fondamentale Les seuls idaux dun corps sont lidal nul et le corps

tout entier. Rciproquement si A est un anneau nayant comme seuls idaux que lidal

nul et lui mme alors A est un corps.

Dmonstration

Supposons que k est un corps. Soit I un idal non nul de A. Soit donc x un

lment non nul de I. x est, par dfinition dun corps, inversible dans k. Soit x1

linverse de x dans k. x1.x est, par dfinition dun idal, lment de I. Maisx1.x est gal llment unit de k. Donc 1I et I=k.

Supposons maintenant que les seuls idaux de lanneau A sont lidal nul et A

tout entier. Il nous suffit de montrer que tout les lments non nuls de A sont

inversibles. Soit x=0 un lment de A. Soit (x) lidal engendr par x. Comme

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x nest pas nul, cet idal nest pas nul non plus. Il est alors gal A tout entier.

Lunit de A est donc lment de (x). Ceci signifie quil existe y dans A tel que

x.y=1. x est donc inversible dinverse y, Cqfd.

Dfinition Soit k un corps. Soit A le sous anneau de k engendr par llment

unit de k. Les lments de A sont de la forme 1 + 1 + ... + 1 n fois

. Si A est de cardinal fini

alors la caractristique de k est le cardinal de A. Sinon on dit que la caractristique

de k est nulle. Remarqons que si k est de caractristique n alors 1 + 1 + ... + 1 n fois

= 0.

5 Anneaux Noethriens

La notion danneau noethrien a un rle un peu analogue celle de la notion de

compacit en topologie dans le sens o on ramne une proprit ayant un caractre

infini une proprit ayant un caractre fini. Cette remarque prend encore plus de

sens quand on sintresse des anneaux munis dune topologie ( Topologie de Zariski

). Mais nous ne nous tendrons pas et nous contenterons dans ce paragraphe de donner

quelques dfinitions.

Dfinition - Proposition Soit A un anneau. A est un anneau Noethrien si il

vrifie une des proprits quivalentes suivantes:

Tout idal de A est finiment engendr.

Toute suite croissante didaux de A est stationnaire.

Tout ensemble non vide didaux de A possde un lment maximal pour lin-clusion.

Remarque Explicitons les diffrents termes intervenant dans cette dfinition:

Dfinition On entend par suite croissante didaux de A une suite (In)nINdidaux de A telle que pour tout nN InIn+1. Dire que cette suite est stationnairerevient dire quil existe mN tel que si nm alors In=In+1.

Dfinition Si lon considre un ensemble X constitu de sous ensembles dun en-

semble donn (dsol pour la formulation!), on peut considrer la relation tre inclus

dans comme un ordre partiel sur X. Un lment Y0 sera dit maximal pour la relationdinclusion si pour tout lment Y de X, Y est inclus dans Y0.

Dmontrons maintenant la proprit.

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Dmonstration

Supposons que tout idal de A est finiment engendr et montrons que toute suite

croissante didaux de A est finiment engendr. Soit (In)nIN une suite crois-

sante didaux de A. Chacun de ses idaux Ik possde, par hypothse, un en-

semble fini de gnrateurs que lon note Jk. Comme la suite (In)nIN est crois-sante, il en est de mme de la suite (J n)nIN. Intressons nous lidal donn

par I =

nIN

In. Cest bien un idal de A ( Exercice! ). Et lensemble de ses g-

nrateurs est donn par J =

nIN

Jn. Comme J est fini et que la suite (Jn)nIN

est croissante, ceci implique que la suite (Jn)nIN est stationnaire. Mais donc,

pour un certain nN , Jm=Jn si mn et Im=In si mn. La suite (In)nIN estbien stationnaire.

Supposons maintenant que toute suite croissante didaux de A (In)nIN est sta-

tionnaire. Soit A un sous ensemble de lensemble de tous les idaux de A. Mon-trons que A possde un lment maximal pour linclusion. Pour cela construi-sons la suite didaux de A suivante: Soit I un lment de A, on pose I0=I. Si Iest le seul idal de A alors on cesse notre construction et I est llment maxi-mal de A recherch. Sinon il existe un idal I de J dans A diffrent de I. Onpose I1=IJ. Supposons ainsi construits les n premiers termes de la suite I k etconstruisons le n+1ieme terme. Si il nexiste pas didal dans A qui soit diffrentde I0,...,In alors on pose In+1=In. Sinon on choisit un idal K de A qui nestpas gal lun des I0,...,In. La suite (In)nIN est ainsi construite par rcurrence

sur n. Cette suite est, par construction, croissante, et par hypothse, stationnaire.

Il existe donc nN tel que k N Ik In. Cela signifie quau rang n, on nepeut trouver didal I dans A qui ne soit gal un n premiers termes de la suite(In)nIN. Cela signifie aussi que tout les idaux de A sont sous ensembles de In

et que In est lment maximal de A, Cqfd. Montrons enfin la dernire implication. Supposons donc que toute famille didaux

de A possde un lment maximal et montrons que tout idal est finiment engen-

dr. Soit I un idal de A. Supposons que I ne soit pas finiment engendr. Alors

il existe aA tel que I1=I+(a) est un idal de A contenant I mais non contenudans I. I1 nest pas non plus finiment engendr car si ctait le cas, il en serait de

mme de I. On construit de la mme faon un idal I2=I1+(b) o b est un lment

de A tel que I2 ne soit pas contenu dans I1. Par rcurrence on construit une suite

(In)nIN didaux de A tel que chaque idal In est inclu strictement dans lidal

In+1. Mais la suite (In)nIN possde, par hypothse, un lment maximal et est

donc stationnaire. Ceci est en contradiction avec le fait quelle soit strictement

croissante. Lidal I est donc finiment engendr.

Proposition Un anneau principal est noethrien.

Dmonstration En effet, par dfinition, tout idal dun anneau principal est prin-

cipal et donc engendr par un unique lment.

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6 Homomorphismes danneaux et anneaux quotients

Dfinition Soient A et A deux anneaux. On notera + et . leur addition et multipli-

cation respectives sans chercher les distinguer. De mme, on notera indiffremment

1 llment unit de lanneau A et celui de lanneau A. On dira quune application

f : A A est un (homo)morphisme danneau si:

x,y A, f(x + y) = f(x) + f(y).

x,y A, f(x.y) = f(x).f(y).

f(1) = 1.

Remarque Les proprits vraies pour les morphismes de groupes restent vraiespour les morphismes danneaux. On retrouvera de plus les mmes objets quen tho-

rie des groupes. Par exemple, un morphisme danneaux bijectifs sera un isomorphisme

danneaux. Afin de ne pas alourdir cette leon, nous pargnerons le lecteur dune srie

de dfinitions videntes si lon a pris connaissance du cours de thorie des groupes.

Proposition Si f est un homomorphisme entre les anneaux A et A alors Ker f estun idal de lanneau de A.

Dmonstration Un homomorphisme danneaux tant un homomorphisme de groupe,

on sait dj que Ker f est un sous groupe de A pour la loi +. Soit maintenant un lmenta de A et soit x un lment de Ker f. On a: f(a.x) = f(a).f(x) = f(a).0 = 0. AinsiKer f est un idal gauche. On dmontrerait de mme que cest un idal droite et

donc que cest un idal bilatre.

Proposition Limage dun anneau par un homorphisme danneau est un sous-

anneau de lanneau darrive du morphisme.

Dmonstration Facile!!

Dfinition - Proposition Soit A un anneau et I un idal de A. On considre la

relation dquivalence suivante: Si x,yA alors xy x-yI. Lensemble des classesdquivalences A/ de cette relation dquivalence peut tre muni dune structure dan-neau par: si x et y dsignent les classes dquivalences de x et y dans A/)

x + y = x + y

et

x.y = x.y.

Lensemble des classes dquivalences A/ sera appel anneau quotient et sera notA/I.

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Dmonstration Il faut videmment commencer par vrifier que les lois additives

et multiplicatives ainsi poses sont bien dfinies et quelles engendrent une structure

danneau sur A/. La loi additive sur A tant commutative et tout idal de A tant unsous groupe de A, on est assur du fait que I est un sous groupe normal de A et donc que

(A/,+) possde une structure de groupe. Considrons maintenant la loi multiplicative.Il faut vrifier que si x et x sont dans une mme classe dquivalence et que y et y sont

dans une autre mme classe dquivalence alors x.y = x.y. Pour ce faire tudions ladiffrence x.y-x.y. On a lgalit: x.y-x.y=(x-x).y-x(y-y). Mais x-x est lment

de I donc, I tant un idal bilatre, (x-x).y est lment de I. De mme y-y est lment

de I et x.(y-y) aussi. La diffrence de deux lments de I est encore un lment de I.

x.x-y.y est donc bien un lment de I, Cqfd. On vrifie ensuite sans peine que la loi

multiplicative complte la loi additive de A/I en engendrant une structure danneau sur

cet anneau.

Thorme (Thorme disomorphisme pour les anneaux ) SoientA etA des an-

neaux, soit f un morphisme danneau de A dans A. A/Ker f est un anneau isomorphe lanneau f(A). De plus, cet isomorphisme est donn par lapplication f dfinie par

f (x) = f(x)

o dsigne la projection :AA/Ker f x x.

Dmonstration A et A tant des groupes additifs et f tant aussi un homomor-phisme entre groupes additifs, le premier thorme disomorphisme nous assure de

lexistence dune application f dfinissant un isomorphisme de groupe entre A/Ker fet f(A). Reste voir que cet isomorphisme est un isomorphisme danneaux. Pour cela,il faut vrifier que f(x.y) = f(x).f(y). Mais si lon se souvient que f est un mor-phisme danneau ainsi que la dfinition de f, cela devient vident.

Notation Si P est une partie de lanneau A, on notera P lensemble des classesdquivalence des lments de P.

Proposition fondamentale On a une bijection entre les idaux de A/I et les idaux

de A contenant I via lapplication:

: { ideaux de A contenant I} {ideaux de A/I}

J (J) = J.

Dmonstration Remarquons que est bien dfinie et qu un idal de A conte-nant I, elle associe bien un idal de A/I.Soit M un idal de A/I. Montrons que 1(M) est un idal de A contenant I.Tout dabord 1(M) est un idal de A: si x et y 1(M), llment x-y de A vrifie(x-y)=x-y qui est lment de M. Ceci nous permet daffirmer que x-y 1(M). Deplus comme 0 est lment de lidal M, 0 est lment de 1(M). Ainsi 1(M) a une

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structure de groupe additif.

Soit maintenant un lment m de 1(M) et un lment a de A. Montrons que a.m est

lment de 1(M). Il suffit pour cela de remarquer que (a.m)=(a).(m)=a.m quiest lment de M car M est un idal de A/I. Ainsi 1(M) a une structure didal gauche. On montrerait de mme que 1(M) a une structure didal droite et doncque cest un idal bilatre.

Remarquons que 1(M) est un idal de A contenant I. En effet, comme M est un idalde A/I, il contient llment nul de A/I, et donc 1(M) contient 1(0)=I.Cette tude de 1(M) pour un idal M de A/I nous permet dtre assur du fait quelapplication 1 est bien dfinie de lensemble des idaux de A/I dans lensemble desidaux de A qui contiennent I.

De plus si M est un idal de A/I, (1(M))=M et si K est un idal de A contenant I,1((K))=K. Lapplication est donc une bijection, Cqfd.

Proposition Soit A un anneau et I un idal de A. La bijection qui un idal Jde A contenant I associe lidal J de A/I respecte linclusion (J1, J2 sont des idauxde A contenant I et J1, J

2 sont des idaux de A/I):

J1 J2 (J1) (J2)

et

J1 J

2 1(J1)

1(J2).

Dmonstration Cest vident!!

Voyons maintenant comment les proprits de lanneau passent lanneau quotient.

Proposition Soit A un anneau et I un idal de A.

Si A est commutatif, il en est de mme de A/I.

Si A est unitaire, A/I est aussi unitaire.

Dmonstration

Supposons que A est commutatif et reprenons la dfinition de la multiplication

de A/I. Cela donne:

x.y = x.y = y.x = y.x

.

Supposons maintenant que A est unitaire. Considrons aussi llment 1 de A/I.Montrons que cet lment est le neutre de la multiplication de lanneau quotient.

Il faut vrifier ici que pour tout x de A/I, x.1 = 1.x = x. Mais nouveau encrivant

x.1 = x.1 = 1.x = 1.x = 1.x = x,

on obtient lgalit voulue.

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Proposition Si I est un idal dans un anneau A, on a lquivalence suivante: I estun idal premier A/I est intgre.

Dmonstration Supposons que I est premier alors I nest pas gal A tout entier

et donc A/I nest pas rduit {0}. De plus si x et y sont des lments de A/I tels quex.y = 0 alors cela implique que x.y est lment de I et, I tant premier, que x ou y estlment de I ce qui se traduit encore par x = 0 ou y = 0, Cqfd.Rciproquement si A/I est intgre alors A/I nest pas rduit llment nul de lanneau

et I nest pas gal lanneau tout entier. Si x et y sont lments de A et que x.y est

lment de I alors x.y = 0 et comme A/I est intgre, soit x = 0, soit y = 0, ce quiimplique que soit xI, soit y I et I est bien un idal premier.

Proposition Si A est un anneau noethrien et que I est un idal de A alors A/I est

aussi un anneau noethrien.

Dmonstration Supposons que A est un anneau noethrien. Soit (In)nIN une

suite croissante didaux de A/I. Soit aussi la suite (1(In))nIN o dsigne labijection qui un idal de A contenant I associe un idal de A/I. (1(In))nIN estencore une suite croissante didaux de A. Cette suite est donc stationnaire. Mais il

en est alors de mme de la suite ((1(In)))nIN=(In)nIN. Lanneau A/I est doncnoethrien.

La proprit qui suit est bien agrable quand on fait de larithmtique.

Thorme Soit A un anneau et I un idal de A: I est maximal A/I est un corps.

Dmonstration Rappellons nous tout dabord quun anneau est un corps si et

seulement si ses seuls idaux sont lidal nul et lanneau tout entier.

Supposons que I est un idal maximal de A. Les idaux de A/I sont en bijection avec

les idaux de A contenant I. Les seul idaux de A contenant I sont A et I lui mme.

Donc les seuls idaux de A/I sont A/I et lidal nul. A/I est donc un corps.

Rciproquement si A/I est un corps, ses seuls idaux sont lidal nul et A/I tout entier.

Les idaux de A contenant I ne peuvent donc tre que I et lanneau tout entier. Ceci

prouve que I est maximal dans A/I.

Voici, pour terminer, une jolie application de la notion danneau quotient:

Proposition Soit A un anneau. Si I est un idal maximal de A alors I est aussi un

idal premier.

Dmonstration Supposons que I soit un idal maximal de A. Alors A/I est un

corps. Mais tout corps est intgre. Donc A/I est intgre. Cela est quivalent au fait que

I est premier dans A.


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Corollaire Tout idal dans un anneau est inclu dans un idal premier ( et maximal

).

Dmonstration Le thorme de Krull permet daffirmer que tout idal I dun an-

neau A est inclu dans un idal maximal I. Tout idal maximal tant premier, la propo-

sition est dmontre.


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