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APPLICATIONS DE LA DERIVATIONI. Application l'tude des variations d'une fonctionThorme : Soit une fonction f dfinie et drivable sur un intervalle I.- Si , alors f est dcroissante sur I.- Si , alors f est croissante sur I.- Admis -

Remarque:Les proprits rciproques restent vraies.

Mthode : Dresser le tableau de variations d'une fonction

Soit la fonction f dfinie sur par .

1) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation.

2) Dans repre, reprsenter graphiquement la fonction f.

1) Pour tout x rel, on a : .

Commenons par rsoudre l'quation :

Le discriminant du trinme est gal ( = 92 4 x 3 x (-12) = 225

L'quation possde deux solutions : et

On en dduit le tableau de variations de f :

x -4 1

+-+

f 61

2)II. Extremum d'une fonctionThorme : Soit une fonction f dfinie et drivable sur un intervalle ouvert I.

Si la drive f ' de f s'annule et change de signe en un rel c de I alors f admet un extremum en x = c.- Admis -

Mthode : Rechercher un extremum

La fonction f dfinie sur par admet-elle un extremum sur ?

Pour tout x rel, on a :

Et : pour .

On dresse alors le tableau de variations :

x

- +

f

En effet : .La fonction f admet donc un minimum gal en .

III. Application ltude des variations dune suiteProprit : Soit une fonction f dfinie sur et une suite numrique (un) dfinie sur par .

- Si f est croissante sur l'intervalle , alors la suite (un) est croissante.- Si f est dcroissante sur l'intervalle , alors la suite (un) est dcroissante.Dmonstration :

- f est croissante sur donc par dfinition d'une fonction croissante, on a pour tout entier : comme , et donc .- Dmonstration analogue pour la dcroissance.

Mthode : Etudier les variations d'une suite l'aide de la fonction associe

Pour tout n de , on donne la suite (un) dfinie par : .

Dmontrer que la suite (un) est dcroissante.

On considre la fonction associe f dfinie sur par .

Ainsi .

Etudions les variations de f dfinie sur :

.

Pour tout x de , on a : .

Donc f est dcroissante sur . On en dduit que (un) est dcroissante.Remarque :

La rciproque de la proprit nonce plus haut est fausse.

La reprsentation suivante montre une suite dcroissante alors que la fonction f n'est pas monotone.

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

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