Application de la modulation multiporteuse par paquets d’ondelettes aux transmissions sans fil

pp.871-893

Resume

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Application de la modulationmultiporteuse par paquets d'ondelettes

aux transmissions sans filMatthieu GAUTIER*, Joel LIENARD*

En utilisant les bonnes caracteristiques temporelles et frequentielles de la forme d' ondemodulante, it est possible de construire une modulation multiporteuse qui reduit les interfe-rences d'une transmission sans jil. Dans cet article, la Wavelet Packet Modulation (WPM) estappliquee aux communications sans fil et une nouvelle modulation basee sur les ondelettesest proposee qui utilise les ondelettes complexes. Les simulations montrent que la WPM estplus performante que la modulation OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)pour une transmission avec des interferences bande etroite importantes. Pour une transmis-sion atravers un canal multi-trajets, l'utilisation des ondelettes complexes permet d'amelio-rer l'utilisation des ondelettes reelles et elle est plus performante que la modulation OFDMlorsque le prefixe cyclique n' est pas employe.

Mots cles ; Theorie signal, Radiocommunication, OFDM, Modulation multiporteuse, Signal orthogonal,Ondelettes, Canal radioelectrique, Brouillage signal, Canal dispersif, Representation temps frequence.

APPLICATION OF WAVELET PACKET BASEDMULTICARRIERMODULATION TO WIRELESS TRANSMISSIONS

Abstract

Based on the good time-frequency characteristics of the pulse shaping, it is possible tobuild a multicarrier modulation that reduces wireless interferences. In this paper, the WaveletPacket Modulation (WPM) is applied to wireless communications and a new wavelet basedmulticarrier modulation is proposed which used complex wavelets. Simulations show thatWPM outperforms the useful OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) modula-tion for a transmission with strong narrowband interferences. For a multipatli channeltransmission, the use of complex wavelet outperforms the use of the real one and outper-forms OFDMmodulation when the cyclic prefix is not used.

Key words: Signal theory, Radiocommunication, OFDM, Multicarrier modulation, Orthogonal signal, Wavelets,Radio channel, Signal interference, Dispersive channel, Frequency time representation.

* GIPSA-Lab, Departement Images et Signal, ENSIEGIINPG, 961 rue de la Houille Blanche, BP 46,38402 SaintMartin d'Heres ; matthieu.gautier©lis.inpgJr et joeLlienard©lis.inpgJr

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Contents

M. GAUTIER - APPLICATION DE LA MODULATION MULTIPORTEUSE PAR PAQUETS D'ONDELETTES

I. IntroductionII. Description du systeme de communica-tion multiporteuses

Ill, Modulations multiporteuses parpaquets d'ondelettes

IV. Choix de l'ondeletteV Resultats de simulationVI. ConclusionBibliographie (15 ref)

I. INTRODUCTION

Depuis Ie developpernent du multiplexage par repartition orthogonal de la frequence(Orthogonal Frequency Division Multiplexing ou OFDM), les modulations multiporteusessont reconnues comme etant une solution efficace pour les communications sans fil. Lamodulation OFDM est utili see par les normes de radio numerique DAB (Digital Audio Broad-casting) [1] et de television numerique DVB (Digital Video Broadcasting). Elle est egalementutilisee par la norme 802.11alg [2] pour des applications aux reseaux locaux sans fil WLAN(Wireless Local Area Network).Les techniques de modulation multiporteuse de type OFDM tirent profit de l'orthogonalite

des exponentielles complexes pour obtenir une base orthogonale de fonctions que modulentles donnees atransmettre, permettant ainsi aux spectres des sous-porteuses de se chevaucher.Ces techniques classiques utilisent des formes d'onde rectangulaires comme filtre de mise enforme. Ce choix a l'avantage de permettre une implementation de la modulation et la demo-dulation par les algorithmes efficaces de Transformee de Fourier Discrete (DFT : DiscreteFourier Transform) [3].Cependant, la forme d' onde rectangulaire n' est pas optimale dans un contexte de trans-

mission radioelectrique: cette fonction est mal localisee en frequence et est donc sensible aladispersion temporelle du canal de propagation [4]. La solution developpee actuellement estI'utilisation d'un prefixe cyclique [5] : associee ala DFT, cette technique offre une granderobustesse aux canaux dispersifs en temps au detriment d'une perte d'efficacite spectrale.Pour pallier cette perte d'efficacite spectrale, l'idee d'employer des bases orthogonales

plus avancees que celle de Fourier comme noyau de la modulation mulltiporteuses a eteintroduite il y a plus d'une decennie [6]. Ainsi, d'autres approches plus generales et plussouples ont ete proposees debouchant sur une attenuation nettement superieure de la bandeaffaiblie et une meilleure localisation frequentielle des bandes orthogonales employees pourla transmission. L'utilisation d'une modulation multiporteuse basees sur les ondelettes estproposee dans cette etude comme une amelioration possible de la modulation OFDM.En effet, par le biais du formalisme des ondelettes et de leur application aux paquets

d'ondelettes et aux banes de filtres, il est possible de construire une base orthogonale entemps et en frequence utilisee pour transmettre l'information dans chaque sous-bande et dontles proprietes permettraient de mettre au point un systeme de communication multiporteusesqui exploiterait bien Ie spectre radioelectrique, Ce choix est motive par Ie fait que les carac-teristiques d'un systeme dependent directement de I' ensemble des formes d' onde utilisees,

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La sensibilite aux brouillages introduits par la transmission peut etre reduite par un choixjudicieux des formes d' onde.Ainsi un systeme utilisant les ondelettes peut-etre utilise a la place de la DFT pour la

modulation multiporteuse. La transforrnee en ondelettes ayant comme proprietes d' etremulti-resolution temps/frequence, le systerne peut atteindre une resolution optimale en choi-sissant precisement la fonction d' ondelette.Une modulation multiporteuse utilisant la transformee en ondelettes est appelee modula-

tion par paquets d' ondelettes (Wavelet Packet Modulation ou WPM). Cette modulation a eteintroduite en 1997 par A.R. Lindsey [7], cependant les etudes ont ete effectuees dans le casd'une transmission tilaire. L' objectif des travaux presentes est done de repondre ala questionde faisabilite de l'utilisation de la modulation WPM dans le cas d'une transmission sans til.Ces travaux ont ete conduits dans le cadre d'une these de doctorat [8].Dans cet article, les modulations multiporteuses sont dans un premier temps introduites

dans la partie II, ainsi que les brouillages introduits par la transmission sans-til. Ensuite, leconcept de la modulation multiporteuse basee sur les ondelettes est presente dans lapartie III. Puis le choix de I'ondelette est discute dans la partie IV en fonction du contexte detransmission. Des resultats issus de simulations sont donnes dans la partie V afin de montrerles performances de la WPM dans differents contextes de transmission. Entin, des conclusionset des perspectives de ce travail sont donnees dans la partie VI.

II. DESCRIPTION DU SYSTEME DE COMMUNICATIONMULTIPORTEUSE

11.1. Les modulations multiporteuses

Soit M le nombre de sous-canaux associes a la transmission et Ai I'espace entre2 sous-porteuses adjacentes, on considere une base de fonctions elementaires {lJIm.n(t), n E 7L,m =0, ... , M - I}. Les symboles transmis sont notes xm[n]. L'index n designe la duree detransmission [nTs ; (n + I)Ts] (Ts est la duree du symbole transmis) et m designe Ie numerodu sous-canal. Le signal multiporteuses set) consiste en une combinaison lineaire entre lesfonctions elementaires lJIm,n(t) et les symboles xm[n] :

(1)+=

set) = In=-oo

M-I

I xm[n] lJIm,n(t).m~O

Les fonctions elementaires lJf, (t) sont egalement appelees les formes d' ondes modu-m.nlantes.La demodulation s'effectue en projetant le signal recu r(t) sur la base conjuguee des fonc-

tions elementaires, les symboles Ym[n] apres demodulation s' expriment alors :

(2)

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Dans Ie cas ou Ie canal de transmission est non-selectif en temps et la base est orthogo-nale, on obtient:

(3)

(4)

avec hmn et bm[n] respectivement l'attenuation et Ie bruit resultants, associes au sous-canal met au temps symbole n.Eq. (3) implique une egalisation reduite it un coefficient multiplicatif par sous-canaux.

Ainsi, une decision appropriee sur les symboles ym[n] conduit aux symboles xm[n].La modulation OFDM est un cas particulier des modulations multiporteuses, elle utilise

une base de fonctions rectangulaires de duree Ts et I' orthogonalite est obtenue en choisissantT {I si O~t< Tl'espacement entre sous-canaux de Af = l/T', En notant II o(t) = . s la fonc-

tion rectangulaire, If/, (t) est exprimee par: 0 smonm, n

IIf (t) =ep n !!!:- t IITs(t - nT).'I'm, n Ts a s

Un avantage de cette modulation est son implementation par les algorithmes de DFT.L'as-sociation de la DFT it la technique du prefixe cyclique [3] permet de reduire les brouillagespour les transmissions it travers des canaux multi-trajets statiques. Un prefixe cyclique d'uneduree Tpc est introduit au debut de chaque symbole OFDM. En choisissant un intervalle deduree superieure it celIe de la reponse impulsionnelle du canal, Ie signal utile n' est plusaffecte par les brouillages. Cette technique est efficace et simple itmettre en ceuvre mais elleentraine une diminution du debit du systeme. En effet, la duree totale du symbole OFDM

T +Test egale Tpc + Ts' Le debit global du systeme est done reduit d'un facteur pCT s

s

11.2. Les perturbations de la transmission sans 61

Dans cette etude, nous distinguerons deux types de perturbations propres it la transmis-sion sans fil : les brouillages extemes au systerne de type brouilleur it bande etroite et les dis-torsions propres au systeme induites par la propagation it travers Ie canal radio-electrique,

11.2.1.Les brouilleurs it bande etroite

Les systemes fonctionnent souvent dans une bande de frequences entierernent reservee,dans ce cas, il ne devrait pas y avoir de perturbateurs radio-electriques d' origine exteme auxsystemes.Cependant, l'abscence de brouilleurs [9] est illusoire etant donne d'une part la multitude

des lieux on vont pouvoir operer les systemes de communication et d'autre part la pollutionradio-electrique croissante. Certains brouilleurs parasites sont de type bande-etroite et affec-tent la qualite de la transmission.Dans cette etude, ce type d'interference est modelise par une onde sinusoidale qui vient

perturber la transmission. Le signal brouilleur j(t) est done une sinusoide d' amplitude Aj et defrequence vi' Le recepteur recoit ainsi la somme du signal emis avec Ie signal brouilleur:

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(5) ret)=set) + jet) avec jet) =A/J21rVj •

Le signal brouilleur est defini par sa frequence vJet sa puissance PJ:

P.=10 log (A2).J J

11.2.2. Le canal de propagation dispersif en temps et en frequence

Le canal de propagation est souvent represente [10] par son modele complexe en bandede base a la fois dispersif en temps et en frequence, Il peut etre modelise par I'operateurlineaire H { .} avec:

(6)

fd

H{s(t)} =fL P- fd H(v,r)s(t-r)e J21n' tdrdv,-z=O =-2

ou set) est le signal transmis atravers le canal et le noyau H(v, r) est appele la fonction de dif-fusion dans le plan retard-Doppler, qui est un processus aleatoire ala fois en temps ret enfrequence v. Le retard maximal rL produit par le canal est appele l'etalement temporel ducanal et le decalage Doppler maximal fd est appele l' etalernent frequentiel du canal. Lemodele wssus (Wide Sense Stationnary Uncorrelated Scatterers) [10] permet de decrire pre-cisement un grand nombre d' environnements de transmission sans til.L'effet de la dispersion temporelle du canal est caracterise dans, le domaine frequentiel

par la bande de coherence Bc' Il s'agit de l'ecart frequentiel minimal sur lequelles caracteris-tiques du canal sont correlees, Cette grandeur est environ l'inverse de l' etalement temporel rL

1du canal: Bc ""' - '

rLL'effet de la dispersion frequentielle est caracterise dans le domaine temporel par le

temps de coherence Tc' C' est la duree sur laquelle les caracteristiques du canal demeurentquasi-constantes. Cette grandeur est environ I'inverse de l'etalement frequentiel du canal:

1t> 2f

d'

On note que le canal de propagation est represente en presence d'un bruit de fondradio-electrique bet). Ce bruit est modelise par un bruit blanc additif gaussien et caracterise

par Ie rapport .!ft entre Eb I'energie moyenne par bit du signal module et No la densiteo

spectrale de puissance du bruit blanc en entree du recepteur,Ainsi, apres la transmission atravers le canal radio-electrique, le signal en reception s' ex-

prime par:

(7) ret)=H{s(t)} + bet).

III. MODULATIONS MULTIPORTEUSES PAR PAQUETS D'ONDELETTES

La solution proposee pour reduire les interferences causees par la transmission sans til estd'utiliser les bonnes proprietes frequentielles des paquets d'ondelettes. Cette modulation pre-sente le double avantage de pouvoir choisir la forme d' onde modulante (ses caracteristiques

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temporelle et frequentielle dependent entierement du choix de l'ondelette) et de ne pas utili-ser de prefixe cyclique (il n'y a done pas de reduction de debit). La modulation consiste itremplacer la OFT de la modulation OFOM par la transformee en paquets d' ondelettes discretes.Cette approche est presentee maintenant.

111.1. Transformee en paquets d'ondelettes et bane de filtres

La transformee en ondelettes « classique » [11] decompose le spectre d'un signal defacon non-uniforme. En effet, la precision de l' analyse est differente selon les frequences :elle est beaucoup plus fine pour les basses frequences que pour les hautes frequences.C' est pourquoi le concept de la transformee en ondelettes a ete etendu par la creation de

bases orthogonales qui sont obtenues par une structure en arbre comme le montre la figure 1.Cette decomposition permet une analyse spectrale uniforme dont la precision depend de laprofondeur de 1'arbre. Les fonctions ainsi obtenues sont des paquets d'ondelettes qui sontdetermines recursivement par :

(8) p2n(t) = V2I hkpn (2t - k),k

(9) p2n+l(t)= V2I gkpn (2t - k).k

Po represente la fonction d' echelle mere et PI la fonction d' ondelette associee.Les filtres hk et gk sont des Filtres Miroirs en Quadrature (FMQ). hk est un filtre passe-bas

et gk est un fiItre passe-haul. Ils sont relies par la relation:

(10)

FIG1. - Decomposition uniforme par paquets d'ondelettes.

Uniform wavelet packet decomposition.

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Definition: Une base de paquet d' ondelettes de L2(1R) est toute base orthonormee selec-tionnee parmi les fonctions :

(11)

I

{PZk(t) =2 2 v" (21t - k), (l, k) E (Z, Z), nE N}.

Ainsi, tonte fonction set) de L2(1R) peut etre decomposee sur la base de fonctions {p'!k(t),(I, k) E (Z, Z)} : '

(12) set)=I aZkPZit).n,k

(13)

Les coefficients aZk aune echelle donnee Is' expriment comme un produit scalaire :

I+~

aZk=< s, PZk > = _eo set) pZk(t)dt.

L' ensemble des coefficients aZk constitue l' analyse en paquets d' ondelettes discretes(OWPT - Discrete Wavelet Packet Transform) de set) et sa decomposition inverse (IDWPT -Inverse Discrete Wavelet Packet Transform) est donnee par:

(14)

D'apres les equations (9) et (13), l'analyse en paquets d'ondelettes discretes est equiva-lente afiltrer le signal apartir d'un filtre passe-bas hk et d'un filtre passe-haut gk alors que lasynthese consiste acombiner les signaux basse et haute frequences en un seul signal. Ces2 procedures donnent le bane de filtre represente sur la figure 2 avec hk=h_ k et gk=g-k'(J" 2)et (i 2) designent respectivement un decimateur et un expanseur d' ordre 2.

FiG2. - Un etage de l'analyse (A) en paquets d'ondelettes et de la synthese (S).

One stage ofwavelet packet analysis (A) and wavelet packet synthesis (5).

Le choix de l' ondelette est entierement caracterise par les filtres numeriques h et g. Leparametre definissant la complexite de l' ondelette sera done le nombre de coefficients desfiltres utilises, on note L ce parametre,

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111.2. Principe de la modulation multiporteuse par paquets d'ondelettes

D'apres l'equation (12), toutes fonctions set) de L2(1R) peut s'exprimer comme la sommede paquets d' ondelettes ponderes par les coefficients a/.k. Du point de vue des systemes decommunication, cette formule peut se traduire par « Ie signal set) est la somme de paquetsd' ondelettes modulees par des symboles a/. k ».On peut ainsi definir Ie principe de la modulation multiporteuses utilisant les paquets

d'ondelettes. II s'agit aremission de transformer les symboles du domaine des ondelettes audomaine temporel par une IDWPT et ala reception de transformer Ie signal recu du domainetemporel acelui des ondelettes par une DWPT.La modulation multiporteuse utilisant la transformee en paquets d'ondelettes s'appelle la

Wavelet Packet Modulation (WPM). Un exemple de modulation et demodulation WPM estpresente dans la figure 3 pour un systeme aM = 8 sous-porteuses, soit une analyse enpaquets d' ondelette al'echelle 3.

YO

Y7

FIo 3. - Principe de la modulation (a) et demodulation (b) utilisant les paquets d'ondelettes.

Exemple ofmodulation (a) and demodulation (b) using wavelet packets.

111.3. Etude de complexite

Dans cette partie, la complexite de l'emetteur WPM est evaluee et comparee acelle deI'emetteur OFDM.On note COFDM la complexite de calcul d'un symbole OFDM. Utilisant les algorithmes de

Transformee de Fourier Rapide [3], la modulation OFDM a la complexite suivante pour Ie cal-cuI d'un symbole OFDM deM echantillons:

(15) (M log, M multiplications complexes,

COFDM = 2M log,M additions complexes.

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Complexite d'une cellule de la modulation WPM

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Interessons-nous dans un premier temps ala complexite d'une cellule elementaire (S) dela synthese en paquets d'ondelettes representee sur la figure 2. La complexite, notee CDWT'de cette cellule correspond au nombre d' operations necessaires au calcul des 2 echantillons

de sortie. On note Te la periode d' echantillonnage al' entree de la cellule et J..- le rythme desechantillons al' entree de la cellule elementaire. T,

L'introduction de zeros due au sur-echantillonnage d'ordre 2 fait que seulement £2

coefficients des filtres h et g sont necessaires pour le calcul d'un echantillon de sortie desfiltres. Les coefficients des filtres etant reels, il faut done 2L multiplications reelles et 2(L - 2)additions reelles pour calculer 2 echantillons complexes en sortie de chaque filtrage des sym-boles. Une cellule est composee de deux branches, un echantillon de sortie est la somme desechantillons de chaque branche, il faut done 4 additions reelles supplementaires pour calculerles 2 echantillons de sortie. Au total, le calcul des echantillons en sortie necessite :

multiplications reelles,

(16) (

4 L

CDWT = 4(L - 1) additions reelles.

(17)

Complexite de l'emetteur WPM

Nous avons vu (figure 3) que l'emetteur WPM est compose d'un ensemble de cellules ele-mentaires (S), les cellules forment une structure en arbre. On note CWPM la complexite del' emetteur WPM pour le calcul d'un symbole WPM de M echantillons. CwpM depend de la pro-fondeur de l'arbre I =log.M et de la taille L des filtres h et g.Notons N(I) le nombre de cellule elementaire aI' echelle I et R(I) le rythme aI' entree

d'une cellule de I' echelle I. On peut facilement determiner que:

(

N(Z)=21- 1,2J - 1

R(I)=-Te.

La complexite d'un etage est egale ala complexite d'une cellule CDWT multipliee par lenombre de symboles eu entree de la cellule TeR(I), le tout multiplie par Ie nombre de cellules.La complexite al' echelle I est done donnee par:

(18) CwpM (l) = CDWT * TeR(l) *N(I).

La complexite totale de l' emetteur WPM est la somme des complexites de chaque echelle :J

(19) CWPM =CDWT I N(l) R(I) t;1= 1

En remplacant (17) dans (19), l'expression de la complexite de l'emetteur WPM s'ex-prime:

J I2 J ( ]2J+1 L multiplications reelles,(20) C = C 2J -1 = C - =

WPM DWT l~l DWT 2 ]2J+1 (L - 1) additions reelles.

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En fonction du nombre de porteuses M = 21, la complexite CWPMdu calcul de M echan-

tillons d'un symbole WPM s'ecrit :

(21) !2LM logzM multiplications reelles,CwpM =

2 (L - 1)M log, M additions reelles.

La figure 4 montre l'evolution de la complexite en fonction du nombre M de sous-por-teuses utilisees. La complexite est exprimee en terme de nombre de multiplications reellesnecessaire au calcul de M echantillons d'un symbole OFDM et WPM. La complexite du sys-teme WPM est representee pour 2 tailles de filtres: L = 12 et L = 40.

_ OFDM--&- WPM - l=12

106. --6- WPM - L=40 ...

4096102425664M

16410° '--- '-- - ---'''-- - --'- - - --'- - - -'-- - _ -1

FIG 4. - Nombre de multiplications en fonction du nombre de sous-canaux.

Number ofmultiplications as a function of the number ofsubchauuels.

L'evaluation de la cornplexite montre que celle de la modulation OFDM utilisant l'algo-rithme de FFT est inferieure acelle de la modulation WPM. Cependant, la variation de la com-plexite en fonction du nombre M de porteuses est identique pour ces deux modulations, del'ordre de 8(M log, M). La complexite de la modulation WPM depend directement du choixde l'ondelette, en effet plus l'ordre de I' ondelette est eleve plus la complexite du systeme estimportante.

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IV. CHOIX DE L'ONDELETTE

L'interet de 1aWPM est d'avoir un degre de liberte supplementaire par rapport ala modu-lation OFDM : Ie choix de la forme d'onde modulante caracterisee par 1'ondelette utilisee.Cette partie a pour objectif de definir des criteres de choix de l' ondelette en fonction ducontexte de transmission (brouilleur ou canal dispersif en temps et en frequence),

IV.I. Interferences bande etroite

IV.!.!. Influence du bmuilleur sur une forme d'onde

Dans un premier temps, les interferences dues au brouilleur sinusoidal sont etudiees pourla transmission sur une seule forme d'onde IfI{t). La modulation consiste alors amettre enforme les symboles a transmettre autour d'une frequence porteuse vm. L'influence dubrouilleur sur la porteuse modulee est estimee afin de determiner des criteres de choix decette porteuse. De maniere c1assique et pour la modulation OFDM, les modulations utilisentdes formes d' onde aenveloppe rectangulaire de duree r:

(22) '2 T mlint) = eJ 1rVmtn '(t - nT) avec v =-.,/,\ 0 s m Ts

On note If'(v) la transformee de Fourier de IfI{t).Afin d'assurer la reconstruction parfaitedes syrnboles, la forme d'onde ala reception If'*(v) est adaptee acelle de l'emission tel queIf'*(v) If'(v) = 1.En notant XCv) et XCv) les transformees de Fourier des symboles recus et emis, et S(v),

R(v) et lev) respectivement celle des signaux emis, recu et brouilleur, Ie spectre du signalrecu s' ecrit:

(23) R(v) =S(v) + lev) avec S(v) = If'(v)XCv).

Le spectre des symboles recus s'exprime done:

(24) XCv) = '¥(v)'¥*(v) XCv) + If'(v)l(v).

Or, pour un brouilleur sinusoidal, lev) =Ai(v - v). Le spectre des symboles recus s'ecritfinalement :

(25)

An niveau spectral, on s'apercoit done que l'interference du brouilleur depend du terme'¥(v) qui correspond ala valeur du spectre de la forme d'onde modulante en la frequenceinterferente,Pour une porteuse modulant le signal autour de la frequence vm' si la frequence interfe-

rente vj est egale vm? la transmission est de facon evidente tres perturbee acette frequence.

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Mais dans le cas ou vj est different de vm' la transmission sera quand meme affectee par lebrouilleur. En effet, le signal parasite affectera les lobes secondaires de la porteuse et la trans-mission sera done d'autant plus perturbee que les lobes secondaires seront importants.Pour ce type de modulation, Ie premier lobe secondaire de la porteuse modulante est seu-

lement attenue de 13 dB par rapport au lobe principal. L'objectif etant de reduire la sensibi-lite du systeme de communication au brouilleur bande etroite, il faut mettre en ceuvre uneforme d' onde modulante dont les lobes secondaires du spectre seront plus attenues que ceuxde la forme d' onde it enveloppe rectangulaire.

IY.1.2.Choix de la forme d'onde

La modulation WPM permet de mettre en oeuvre un systeme robuste en presence d'unbrouilleur. En effet, I' energie des lobes secondaires des formes d' ondes modulantes peut etreinferieure it celle de la forme d'onde rectangulaire de la modulation OFDM. Cependant, elledepend du choix et de la complexite de I'ondelette. Un exemple d' ondelette est represente surla figure 5 par sa densite spectrale de puissance. 11 s' agit de l' ondelette dite de Daubecbies[12] d' ordre 6 (utilisant des filtres it L = 12 coefficients).

2~ dR

Leotoot,,.,1-14.,_' 110

-'00

.~.,0,1 D1!tf roquoncy (Hz1

.0>. .....'---_ -'-- -'- --'- -'-__..lL.....J

FIG 5. - Densite Spectrale de Puissance d'une ondelette de Daubechies d'ordre 6.

Power Spectral Density of the 6thorder Daubechies wavelet.

La DSP de cette forme d'onde en ondelette montre que les lobes secondaires sont attenuesd'au mains 25dB par rapport au lobe principal alors qu'ils ne le sont que de 13dB pour laforme d' onde rectangulaire. L'utilisation des ondelettes permet done de creer des porteusesavec des lobes secondaires de faibles energies. De plus, il existe de nombreuses famillesd' ondelettes, ce choix nous permettra de bien caracteriser notre systeme de communication.

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IV.2. Canal dispersif en temps et en frequence

IV.l.!. Localisation temps-frequence

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Dans le cas d'une transmission atravers un canal doublement dispersif, les interferencesentre symboles (IEs) et entre sous-canaux (IEe) peuvent etre reduites simultanement en arne-liorant la localisation temps-frequence de la base de fonctions modulantes.Les formes d' ondes sont caracterisees par leurs dispersions en temps !J.T et en frequence

LiF. Une bonne localisation temps-frequence au sens de la dispersion correspond ala reduc-tion du produit entre les dispersions temporelle et frequentielle de chaque forme d' onde. Plusle support numerique !J.T.!J.F de chaque forme d' onde est petit, plus I'interference entre2 symboles adjacents est faible.Pour une fonction donnee I{I(t)= VJ. (t), les dispersions en temps !J.T et en frequence !J.Fm.n

de la forme d' onde sont definies par:

(26)

(27)

(28)

avec t etj les moyennes de I{I(t) en temps et en frequence,On note '¥(f) la transformee de Fourier de I{I(t) et ElfIl'energie du signal supposee finie:

Elfl=L~= 11{I(t) 12 dt < + 00.

Propriete : Pour les systemes de modulations multiporteuses, nous utilisons les caracte-ristiques de dispersion temps-frequence des formes d'onde modulantes et nous postulons quela transmission est peu sensible aux interferences (IES et tee} si les conditions suivantes sontverifiees :

(29)

(30)

Ces conditions sur les dispersions temporelle et frequentielle des formes d' onde modu-lantes sont donnees par les articles [4, 13].Si ces conditions sont verifiees, le canal peut etre considere comme non-dispersif en

temps et non-dispersif en frequence pour chaque forme d' onde. Ainsi, la transmission verifiel'equation (3) et une egalisation aun coefficient par sous-canal peut etre utilisee,Le tableau I donne, pour M =128 sous-canaux, les dispersions temporelle et frequen-

tielle pour differentes ondelettes utilisees par la WPM et pour la forme d' onde rectangulaire dela modulation OFDM.

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884 M. GAUTIER - APPLICATION DE LA MODULATION MULTIPORTEUSE PAR PAQUETS D'ONDELETIES

TABLEAU 1. - Localisation temps-frequence pour differentes formes d'onde.

Time-frequency localisation for different waveforms.

Forme d'onde ~T ~F

Ondelette de Daubechies (L =12) 249,3 0,068

Ondelette de Daubechies (L =40) 560,3 0,026

Ondelette de Meyer (L =64) 295,2 0,016

Enveloppe rectangulaire - OFDM 130,98 0,083

On remarque que les ondelettes sont mieux Iocalisees en frequence que la forme d' onderectangulaire de la modulation OFDM. Par contre, elles sont moins bien localisees en temps.Ainsi, d'apres les equations (29) et (30), les mesures des dispersions temporelle et frequen-tielle permettent de conclure que pour un canal dispersif en temps, la WPM devrait etre moinssensible que la modulation OFDM, pour un canal dispersif en frequence, la WPM devrait etreplus sensible que la modulation OFDM.

IY.2.2.Defaut de la transformee en ondelettes discretes

Cependant, I' application des ondelettes au communication sans fil est limitee par undefaut majeur de la transformee en ondelette discrete (DWT - Discrete Wavelet Transform) sasensibilite an decalage temporel [11]. Un decalage du signal aanalyser fait varier considera-blement les coefficients de la DWT.

11

/lm[,,-I] ...... .,,,. [,,]

"",( ,,+ 1)

1/",[,, -1)

1/.. (")

1/...(,,+11

t emps 'k' i ndice du ..ou..- canal 'm'

Figure 6: Sensibilite de la transformation en paquets d' ondelettes discretcs au decalage tempore!.

Shift sensitivity of the discrete wavelet packet transform.

ANN. 'fELECOMMUN., 62, n? 7-8, 2007 14/23


La sensibilite de la DWPT au decalage temporel est illustree par la figure 6. Un signal« ideal» s[k] est genere et les modules des sorties Ym de la demodulation WPM sont donnespour les instants n - 1, n et n + 1. Le signal est dit « ideal» car, apres decomposition, il nedonne qu'un seul coefficient non-nul dans une seule sous-bande.Le signal est ensuite decale temporellement de ~ =7 echantillons, L'observation apres

demodulation permet de montrer que, pour la modulation WPM, les autres sous-bandes et lesinstants voisins contiennent une partie significative de l' energie du signal.Pour la modulation OFDM, il Y aura toujours un seul coefficient non-nul dans une seule

sous-bande, les autres sous-bandes et les instants voisins seraient strictement nuls. En choi-sissant le prefixe cyclique plus long que ~, il permet d' obtenir une decomposition invariantepar decalage 11 un coefficient multiplicatif pres pour la sous-bande concemee,Cet exemple simple montre que la modulation WPM utilisant la transformee en ondelette

discrete est plus sensible au decalage temporel que la modulation OFDM.

IV.2.3. Utilisation des ondelettes complexes

Pour resoudre le probleme de sensibilite an decalage temporel, une approche proposeedans la litterature est d' omettre ou d' omettre partiellement le sous-echantillonnage qui est 11l' origine de cette sensibilite. Ces techniques sont parfois appelees bane de filtres sous-echan-tillonne ou transformee en ondelettes non-decimee [11]. Cependant, leur application auxmodulations multiporteuses ne semble pas interessante 11 cause d'un cout important en termede debit et de complexite.La solution non-redondante proposee par Lina [14] semblent etre l'altemative la rnieux

adaptee aux modulations multiporteuses. II a montre qu'il existe des versions complexes desondelettes de Daubechies. La transformation resultante est appelee la transformee en onde-lette discrete complexe (CDWT - Complexe DWT). Son principe consiste 11 remplacer les filtres11 coefficients reels de la DWT par des filtres 11 coefficients complexes afin de generer desondelettes complexes avec des proprietes d'orthogonalite, de syrnetrie et d'invariance pardecalage,Introduite dans [15], nous avons appele I' application des ondelettes complexes aux

modulations multiporteuses: la CWPM (Complex Wavelet Packet Modulation). Elle utilise,de facon analogue 11 la WPM, la transformee en paquets d'ondelettes discretes complexes(CDWPT - Complex Discrete Wavelet Packet Transform). L'utilisation d'ondelette complexeest cependant contraignante. En effet, toutes les ondelettes ne sont pas disponibles dans leurversion complexe. Ainsi, par la suite, nous n'utiliserons pas l'ondelette de Meyer mais seule-ment les ondelettes de Daubechies.

V. RESULTATS DE SIMULATION

Cette partie a pour objectif de valider les hypotheses emises quand au choix des onde-lettes utilisees, Par la suite nous utiliserons toujours des systemes transmettant des symboles4-QAM sur M =128 sous-porteuses.

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886 M. GAUTIER - APPLICATION DE LA MODULATION MULTIPORTEUSE PARPAQUETS D'ONDELETTES

v.l. Chaine de transmission

Un systeme de communication multiporteuse utilisant la modulation WPM est doneetudie dans cet article. Le systeme experimental utilise pour tester la modulation WPM en pre-sence d'interferences (brouilleur ou canal de propagation radio-electrique) est decrit sur lafigure 7.

Demapping- . d[n l

FIG 7. - Chaine de transmission WPM.

WPM transmission chain.

Les donnees binaires d[n] a transmettre sont dans un premier temps converties en sym-boles qui forment le flux x[n], la constellation choisie pour notre etude est une modulation4-QAM. Ensuite, les symboles sont projetes dans le domaine temporel par une IDWPT. Si onnote WT{.} l'operateur de DWPT et wr-1{.} l' operateur de IDWPT, le signal transmis est done:

(31)

s[n] est ensuite transmis atravers I' environnement interferant:- Brouilleur abande etroiteSi s[n] est perturbe par un brouilleur bande etroite j[n]. Le signal recu est:

(32) r[n] =s[n] + j[n].

Ala reception, le signal r[n] est converti dans le domaine des paquets d'ondelettes parune DWPT. Les symboles recus Ym [n] sont done:

(33) s: [n] =WT {wr-1{x [n]} } + WT {j[n]}.

La DWPT et la IDWPT forment un systeme areconstruction parfaite, la partie utile des sym-boles recus est done parfaitement reconstruites. La seule interference vient du brouilleur j[n]projetes dans le domaine des ondelettes :

(34)

- Canal dispersif en temps et en frequenceSi la transmission s' effectue atravers le canal dispersif en temps et en frequence decrit

dans le §II.2.2., Ie signal recu s' exprime:

(35) r[n] =H{s[n]} + b[n].

Ala reception, le signal r[n] est converti dans Ie domaine des paquets d'ondelettes parune DWPT. Les symboles recus ym[n] sont done:

ANN. "TELl"COMMUN., 62, n° 7-8, 2007 16/23


(36) ym[n] = WT{H {Wr- 1{x[n]}}} + WT{b[n]}.

Si les conditions (29) et (30) sont verifiees, le canal est considere comme non-dispersif entemps et en frequence, Les symboles recus s'expriment alors:

(37)

avec hmn= WT {H{Wll {Dm[n]} } } et bm[n] le bruit resultant par sous-canal.

Ensuite, les symboles recus ym[n] sont egalises par un coefficient multiplicatif _1_ parsous-canal puis demodules afin de detecter les donnees recues d[n]. hmn

V.2. Interferences bande etroite

V.2.1. Influence du brouilleur sur une forme d'onde

Pour tester la sensibilite des formes d' onde OFDM et WPM au brouilleur sinusoidal, le sys-teme est dans un premier temps reduit al'utilisation d'une seule forme d'onde sur les 128.Pour la porteuse WPM, des ondelettes de Daubechies d' ordre 6 (L =12) et d' ordre 20 (L =40)sont utilisees,Les symboles 4-QAM sont transmis sur la sous-porteuse v = 0,0625. La puissance du

brouilleur utilisee est de OdB.On definit l' erreur quadratique faite sur I' estimation des symboles en reception. L'Erreur

Quadratique Moyenne (EQM) est normalisee par rapport ala distance avec l' ensemble Q dessymboles de la constellation:

(38)Ilx-xl1 2

IiEQ Ilx-xil1 2

Les resultats obtenus sont presentes sur la figure 8. Us montrent I'EQMen fonction de lafrequence du brouilleur.On constate, d'une part, que pour cette puissance, lorsque la frequence du brouilleur est

proche de la frequence porteuse, la transmission est impossible et ce quelque soit le systeme,Par contre, lorsque la frequence interferente est differente de la frequence porteuse, oncons tate que les erreurs sont beaucoup plus faibles pour les ondelettes que pour la modula-tion OFDM. On peut noter I'amelioration importante due a l'utilisation de l'ondelette deDaubechies a20 moments nuls. Cependant, Ie nombre de coefficients du filtre hk pour cetteondelette est 3 fois superieur acelui de l' ondelette de Daubechies d' ordre 6.

V.2.2. Performances de la modulation WPM en presence d'un brouilleur sinusoidal

Soit maintenant un systeme global de transmission. On compare les modulations OFDM etWPM avec des symboles 4-QAM transmis sur M = 128 porteuses. L'ondelette utilisee pour lamodulation WPM est celIe de Daubechies d'ordre 6 (L = 12) et celle de Daubechies d'ordre20 (L =40).

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888 M. GAUTIER - APPLICATION DE LA MODULATION MULTIPORTEUSE PAR PAQUETS D'ONDELEl TES

OFDM WPM - Daubechies L=12,.' ,--~-~~-~~-~~~~_---,

,.....

f\

om 00' OOS 008 01 0.12 01 4Fr6quence dubroullleut

~ 10 '

~~ I •

.g

tLL~LJl-'-'LU~'-~~~_015 0.1' 02am OOt 001 DOl 01 D.ll Ot4 Ot8 - 01' 02

Fr~uence dubrouillelJr

WPM - DaubechiesL=40I.· ,--~-~~-~~-~~~~----,

FlO 8. - Erreur quadratique moyenne en fonction de la frequence du brouilleur.

Mean Square Error against jamming frequency.

Le brouilleur utilise a une frequence variable et les simulations sont effectuees pour unepuissance constante de IOdB, 20dB et 30dB. Les resultats en Taux d'Erreur Binaire (TEB)sont presentes sur la figure 9.En observant le nombre d'erreurs commises en fonction de la frequence du brouilleur, on

observe que la transmission WPM est mains sensible au brouillage que la transmission OFDM.Les performances de la transmission WPM sont de plus en plus significatives avec l'augmen-tation de la puissance de brouilleur. On remarque aussi que le TEB varie moins en fonction dela frequence interferente. De part leur construction, chaque sous-porteu se WPM presente deslobes secondaires differents. Le systeme reagit done differemment en fonction de la fre-quence interferente, ce qui explique les non-regularite s des courbes d' erreurs. Pour la modu-lation OFDM, le nombre d'crreurs commi ses reste faible lorsque la frequence du brouilleurest egale ala frequence d'une porteuse . En effet, l'orthogonalite des porteuses OFDM a pourconsequence qu'a la frequence d'une porteuse , Ie spectre des autres porteuses est nul. Ainsi,lorsque la frequence du brouilleur est identique acelle d'une porteuse , seule cette porteuseest affectee.

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M. GAUTIER - APPUCATION DE LA MODULATION MULTIPORTEUSE PAR PAQUETS D'ONDELETTES 889

OFDM WPM - Daubech ies 1.=12 WPM - Daubech ies L= 4010· 10· 10·

10- 1 10· '

Pj=IOdB ~ell ellW W... ...

10"

10" 10"0.15 0.2 0 .1 0.15 02 0.1 0.15 0.2

frequeecedu brouiUeur ~equence du brouilleur Irolquencedu broulleur10· 10· 10·

10- 1 10· '

Pj=2OdB ~ell ellW W... ...

10"

10" 10" 10·'0.1 0.15 0.2 0.1 0.15 0.2 0.1 0.15 0.2

fr6quence du brouilleur fr8queoc&du brouilleur trequencedu brOUilleur10· 10· 10·

. .

10· '

Pj=3OdB ~ell ellW W... ...

1 0~ 2' , 10·'... . .. : ..

10" 10" 10"0.1 0.15 0.2 0.1 0.15 0.2 0.1 0.15 0.2

frequenoedu brouille\lf ~equence du brou~leur frequence du brouiUeur

FIG 9. - Taux d'Erreur Binaire en fonction de la frequence du brouiIIeur.

Bit Error Rate against jammer 's frequency.

Le tableau II donne les taux d'erreur binaire moyennes en fonction de la frequence dubrouilleur. Les mesures ont ete effectuees pour la modulation OFDM et pour la modulationWPM utilisant des ondelettes de Daubecbies a4, 6 et 20 moments nuls (L = 8, 12 et 40 res-pectivement). Le tableau montre qu'il faut augmenter la complexite de l'ondelette pour quela modulation WPM soit plus perforrnante que la modulation OFDM, d'autant plus lorsque lapuissance du signal interferent est faible.Par contre, lorsque la puissance est importante, I'amelioration apportee par la modulation

WPM est plus significative. Pour une puissance Pj =20 dB, un gain de 10 est en moyenneobtenu entre le TEB de la transmission WPM (Daubechies d'ordre 20) et celui de la transmis-sion OFDM .

TABLEAUII . - Taux d'erreur binaire moyen en fonction de la puissance du brouiIleur.

Mean BERagainst jammer 's power.

Pj OFDM Daubechies L =8 Daubechies L =12 DaubechiesL =4010 0,050 0,0545 0,031 0,0159

20 0,188 0.0893 0,0497 0,021

30 0,361 0,1293 0.0697 0,0261

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890 M. GAUTIER ~ APPLICATION DE LA MODULATION MULTIPORTEUSE PAR PAQUETS D'ONDELETTES

V.3. Canal radio-mobile

La WPM est maintenant testee pour la transmission atravers le canal radio-mobile. Sesperformances sont comparees a la modulation OFDM utilisant un prefixe cyclique d'uneduree egale a0,2 x Ts (soit 25 echantillons pour un systeme aM = 128 sous-porteuses).Deux systemes utilisant les ondelettes sont testes: la modulation WPM utilisant des onde-lettes de Daubechies reelles et la modulation CWPM utilisant des ondelettes de Daubechiescomplexes. Tous les systemes utilisent une egalisation aun coefficient multiplicatif parsous-canal,

V.3.1.Canal dispersif en temps

La qualite de la transmission depend de l'etalement temporel 'fL du canal. Afin d'evaluerl'influence de 'fL sur les performances, un canal compose de 2 trajets est habituellement uti-lise. Le signal recu s'exprime :

(39) r[n] = sen] + as [n - 'f] + ben].

Dans ces conditions, 'fL = 'f. Les resultats en TEB en fonction de 't sont donnes pour uneE

valeur de a de - 3 dB et un rapport signal sur bruit Nb de 20 dB et sont presentes sur lafigure 10. 0

Les TEB obtenus par la modulation WPM utilisant une ondelette complexe sont inferieurs aceux obtenus avec une ondelette reelle. Pour une complexite equivalente, les performancesde la CWPM sont superieures acelles de la WPM. L'utilisation d' ondelettes complexes sembledone etre une solution efficace. En comparaison avec la modulation OFDM, les resultats mon-trent que c'est essentiellement l'utilisation du prefixe cyclique qui donne a la modulationOFDM des resultats interessants en tenue de TEB. Les performances de la modulation CWPMsont superieures acelles de la modulation OFDM seulement quand le prefixe cyclique n'estpas une solution utilisee, Ceci correspond egalement au cas OU la reponse impulsionnelle ducanal serait trop longue pour permettre une efficacite spectrale raisonnable avec un nombrede sous-canaux faible.

V.3.2. Canal dispersif en frequence

L'etude est reduite au canal dispersif en frequence et non dispersif en temps. Le canal estdone compose d'un seul trajet d'amplitude variable en temps a[n]. La variation du coeffi-cient est parametree par la frequence Doppler maximale fd. En discret, le signal recu s' ex-prime done:

(40)

ANN. TELlicOMMUN., 62, n° 7-8, 2007

r[n] =a[n]s[n].

20123


6030

r

_ OFDM-e- OFDM - sans Prefixe Cyclique........... WPM - Daubechies L=40--A- CWPM - Dauoochies L=38

2010

FIG 10. - Taux d'Erreur Binaire (TEB) en fonction de T.

Bite Error Rate (BER) as afunction OfT.

Le trajet a une puissance unitaire. Les resultats en EQM en fonction de f d sont presentessur la figure 11.

1004020

10° "--,,,,,,,,,-,---,~----:""""'''''''''---,,,..-,r-:----:-CC:-O---'--'--- I..

FIG 11. - Erreur Quadratique Moyenne (EQM) en fonction defd.

Mean Square Error (MSE) as afunction offd .

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Les resultats obtenus en presence d'un canal dispersif en frequence vont dans le sens dela theorie. En effet, les erreurs quadratiques des modulations WPM sont superieures acelles dela modulation OFDM. Plus la dispersion frequentielle de la forme d'onde utilisee est impor-tante, plus la modulation est sensible a l'effet Doppler. Ainsi, l' ondelette de Daubechiesreelle aL = 40 coefficients est plus sensible que l'ondelette de Daubechies aL = 12 coeffi-cients, elle-meme plus sensible que la fenetre rectangulaire utilisee par la modulation OFDM.Nous remarquons egalement que, pour une complexite equivalente, l' ondelette de Daube-chies complexe est plus robuste aux variations temporelles du canal que l' ondelette de Dau-bechies reelle.

VI. CONCLUSION

L'utilisation du prefixe cyclique offre une grande robustesse aux multi-trajets au detri-ment d'une perte d'efficacite spectrale. La reduction de cette perte constitue un defi pour lescommunications numeriques. Afin d'essayer d'apporter une reponse, J'idee directrice des tra-vaux presentes est basee sur deux approches conjointes :-l'utilisation de formes d'onde modulantes bien localisees en temps et en frequence pour

limiter les interferences,- l'application des ondelettes aux modulations multiporteuses permettant de nouvelles

formes de modulations multiporteuses plus generales.L' objectif de ces travaux a ete I' evaluation de la faisabilite de l'utilisation de la WPM pour

les transmissions sans fil, en definissant notamment des criteres de choix de I' ondelette enfonction du contexte de transmission.En presence de brouilleurs abande etroite, la WPM donne des resultats satisfaisants en

comparaison avec la modulation OFDM. Les simulations montrent que la WPM est moins sen-sible aux brouilleurs bande etroite, les resultats sont d'autant plus significatifs que la puis-sance du brouilleur est importante. De plus, les ondelettes permettent de la souplesse dans laconception du systeme, le choix depend d'un compromis entre les performances souhaiteeset la complexite du systeme,En presence d'un canal dispersif en temps, nous avons rnontre la sensibilite de la modu-

lation WPM et propose une alternative basee sur l'utilisation d'ondelettes complexes: lamodulation CWPM. Appliquees aux modulations multiporteuses, ces ondelettes complexespermettent de reduire l'effet des multi-trajets. Ainsi, avec une egalisation aun coefficient,nous avons vu que les TEB sont inferieurs pour la modulation CWPM utilisant des ondelettes deDaubechies complexes en comparaison aceux obtenus par la modulation WPM utilisant lesondelettes de Daubechies reelles.En comparaison avec la modulation OFDM, les TEB obtenus par la WPM sont encore supe-

rieurs. Par contre, les resultats sont comparables aceux de la modulation OFDM sans prefixecyclique. C'est essentiellement l'utilisation d'un prefixe cyclique qui donne ala modulationOFDM des resultats interessants en terme de TEB.En presence d'un canal dispersif en frequence, l'utilisation des ondelettes n'apporte pas

d'amelioration, Les ondelettes sont moins bien localisees en temps que la forme d'onde rec-tangulaire. Les systemes WPM sont done plus sensibles a l'effet Doppler que la modulationOFDM.

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La modulation CWPM est la majeure contribution de cette etude. Les perspectives de cestravaux vont done dans ce sens. En effet, il serait donc interessant de developper des etudesvisant adefinir des ondelettes complexes adaptees ala transmission et repondants aux cri-teres qui ont ete mis en evidence dans ces travaux bonne localisation temps-frequence, com-plexite pas trap elevee et utilisation des formes d'onde complexes. Notamment, l'ondelettede Meyer n'est pas disponible dans sa version complexe, I' amelioration apportee par sa ver-sion reelle par rapport aux ondelettes de Daubechies incite adeterminer sa version complexe.

Manuscrit refu Ie 22 septembre 2006Accepte le 18 avril 2007

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