Applicazioni Del Calcolo Integro-differenziale

7/24/2019 Applicazioni Del Calcolo Integro-differenziale

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A9 Alcune applicazioni del calcolo integro-differenziale

A9.1 - RIEPILOGO SUI METODI DI INTEGRAZIONE

Sono stati visti due metodi alternativi per leffettuazione di integrali di campi vettoriali su linee esuperfici:

- Metodo basato sulla formula risolutiva. Tale metodo ha il vantaggio che, una volta parametrizzatala curva o la superficie, la formula risolutiva fornisce immediatamente un integrale unidimensionalenel parametro, nel caso dellintegrale di linea, e un integrale doppio nei due parametri, nel caso delflusso. Lo svantaggio che talvolta lo svolgimento dei calcoli pu risultare un po lungo, in

particolare nel caso del flusso, dove occorre effettuare due derivate vettoriali della parametrizzazione e svolgerne il prodotto vettoriale.

- Metodo basato sulle simmetrie. Tale metodo si basa sul fatto che in alcuni casi il problemaintegrale riconducibile a delle simmetrie note. Ad esempio, la circuitazione lungo unacirconferenza sul piano xy evidentemente un problema a simmetria cilindrica: infatti immediatoriconoscere che il versore tangente coincide con il versore del sistema di riferimento cilindrico,essendo tale circonferenza la seconda linea coordinata del sistema di coordinate cilindriche;

pertanto, in questo caso il parametro associato alla linea viene a coincidere con la coordinataazimutale . Analogamente, il flusso attraverso una superficie sferica un problema a simmetriasferica, e si riconosce facilmente che il versore normale alla superficie coincide con il versoreradiale , mentre i parametri sono le coordinate angolari e .Infine, per completarelapplicazione del metodo occorre esprimere lelemento di linea o di superficie in funzione dellecoordinate (ad esempio, si ha per lelemento di circonferenza, perlelemento di superficie sferica). Per completare il calcolo dellintegrale occorre naturalmenteesprimere anche le componenti del campo vettoriale, che generalmente variano con le coordinate,nel sistema di riferimento adottato.

i

r i

= Rdd = ddsinR S 2 d

Nelleffettuazione di integrali di linea, di flusso e di volume, occorre inoltre tener presente che:

Quando si effettua un integrale di linea, invertendo il senso di percorrenza della linea (cioscambiando fra loro i valori minimo e massimo del parametro negli estremi di integrazione),il risultato dellintegrale uguale al precedente ma con segno invertito. Nel caso dellacircuitazione, quando il verso di percorrenza della linea non esplicitamente menzionato si

assume per convenzione che esso sia antiorario . Una cosa analoga avviene per il flusso, dove il valore dellintegrale ha segno opposto a

seconda che si scelga di orientare la normale come uscente da una o dallaltra faccia dellasuperficie. Quando si effettua il flusso attraverso una superficie che ha per contorno unalinea chiusa orientata, il verso della normale risulta determinato in modo univoco dal versodi percorrenza della linea, coerentemente con la regola della vite . Infine, quando sieffettua il flusso attraverso una superficie chiusa , si assume sempre, convenzionalmente, chela normale sia diretta verso lesterno della superficie stessa.

Spesso, nella pratica, pu essere richiesto di effettuare la circuitazione attraverso una linea

spezzata, cio una linea costituita, ad esempio, da linee o segmenti congiunti fra loromediante punti angolosi. In tal caso, per effettuare la circuitazione occorre parametrizzare eintegrare separatamente ciascun elemento della spezzata, ed infine sommare fra loro


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ciascuno degli integrali cos ottenuti. Ad esempio, la formula per la circuitazione lungo unalinea chiusa spezzata la seguente:

dove Ns il numero di elementi della spezzata, i li-esimo tratto della spezzata e i la sua parametrizzazione. Una cosa del tutto analoga avviene quando si deve effettuare il flussoattraverso una superficie costituita da pi facce, separate luna dallaltra da spigoli (si pensiad esempio alla superficie di un poliedro). Anche in questo caso, occorre parametrizzareseparatamente ciascuna delle facce e per ciascuna di esse effettuare un integrale, e alla finesommare gli integrali su ciascuna faccia. Ad esempio, la formula per il flusso attraverso unasuperficie chiusa siffatta :

i

N

i

i 1

d d

=

= A A

n n1

F

i

N

iiS S

dS dS =

= A i A i i

dove N F il numero di facce, S i li-esima faccia e il versore ad essa normale.nii

Leffettuazione di integrali di volume non presenta particolari difficolt, sia nel caso diintegrando scalare che vettoriale. Lunico accorgimento che bisogna avere quello diesprimere lelemento di volume e il campo scalare (o le componenti del campo vettoriale)nel sistema di riferimento pi adatto. Ad esempio, se il problema ha simmetria rettangolare conveniente utilizzare un riferimento cartesiano, e quindi si ha dV = dx dy dz; se il problemaha simmetria sferica, conviene adottare un sistema di coordinare sferiche e porredV = R 2sin dr d d.

Oltre ai due metodi generali di risoluzione descritti sopra, una terza possibile strategia di risoluzioneconsiste nellapplicazione di teoremi e relazioni integro-differenziali note. Ad esempio, il calcolo diuna circuitazione pu essere ricondotto al calcolo di un flusso mediante lutilizzo del teorema diStokes. Per applicare tale teorema occorre per calcolare il rotazionale di un vettore e quindicalcolare il flusso di questultimo attraverso una superficie concatenata con la linea, operazione chenel caso pi generale pi complessa rispetto al calcolo di un integrale di linea. E quindi chiaroche occorre limitare luso di questo teorema solo ai casi in cui la sua applicazione effettivamenteconveniente, ad esempio quando il rotazionale del campo vettoriale originario assumeunespressione particolarmente semplice che rende vantaggiosa la sua integrazione. Un caso tipicoin cui questo avviene quando richiesto di calcolare unintegrale di linea di un campo definitosolo sul piano xy. In questo caso, infatti, il rotazionale di A si riduce a:

y xz

x y

A A =

A i

mentre la superficie concatenata con una linea sul piano xy la superficie piana delimitata dallalinea stessa che ha come normale (ozi zi , se la linea viene percorsa in senso orario). Il teorema diStokes sul piano xy (chiamato anche formula di Green ) assume quindi la forma:

y xx y

S

d dx dyx y

A A d A A S

= + = A


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La formula scritta sopra permette quindi di ricondurre un integrale unidimensionale lungo una lineachiusa del piano (orientata in senso antiorario) ad un integrale doppio esteso alla superficie Sracchiusa da tale linea. Naturalmente, se si vuole effettuare una circuitazione in senso orario occorrecambiare il segno del secondo membro dellequazione.Poich la formula di Green un caso particolare del teorema di Stokes, anchessa applicabile

soltanto se il dominio di definizione del campo ha delle ben determinate caratteristiche di regolarit:se S la superficie piana racchiusa dalla linea, la formula di Green applicabile solo se lintegraleesteso alla superficie S esiste, cio se le 2 derivate parziali esistono in ogni punto di S .La formula di Green si pu estendere anche a regioni S del piano delimitate da 2 curve chiuse 1e 2 (regioni forate). In tal caso si ha:

1 2

y x

S

d - d dx y

A AS

= A A

Un altro teorema integro-differenziale che in molti casi pu essere utilizzato per semplificare ilcalcolo integrale il teorema di Gauss. Esso permette infatti di ricondurre il calcolo di un flussoattraverso una superficie chiusa al calcolo di un integrale esteso al volume racchiuso da talesuperficie. Lutilizzo di questo teorema spesso vantaggioso, perch il calcolo di un flusso in alcunicasi pu risultare piuttosto oneroso, mentre il calcolo di un integrale di volume di una funzionescalare (la divergenza del campo A), unoperazione in molti casi abbastanza agevole.

Naturalmente, occorre ricordare che anche questo teorema applicabile solo se il dominio didefinizione di A sufficientemente regolare: in pratica, occorre che la grandezza sia definitain tutto il volume V racchiuso dalla superficie.

A

Per quanto riguarda gli integrali di linea, esistono 2 ulteriori metodi, applicabili per solo in casi

particolari:

a) Se richiesto di effettuare lintegrale di un campo vettoriale lungo una linea definita sul piano xyche rappresenta il grafico, o una parte di grafico, di una funzione di una variabile del tipo y = f (x)oppure x = g (y), possibile risolvere lintegrale direttamente nelle variabili x e y, senza necessit di

parametrizzare la linea. Infatti, si ricordino le propriet del calcolo differenziale per funzioni di unavariabile:

- ( ) ( )dx x f dy x f y == - ( ) ( )dy y g dx y g x ==

Si hanno quindi le 2 seguenti formule risolutive:

- Caso y = f (x):

( )( ) ( )( )[ ] +=+=C

x

x y x

C y x dx x f x f xV dx x f xV dyV dxV d

2

1

)(,,V

- Caso x = g (y):

( )( ) ( )( )[ ] +=+=C

y

y

y x

C

y x dy y x g V dy y g y x g V dyV dxV d 2

1

,)(,V


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b) Se il campo V conservativo, quindi la forma differenziale d V esprimibile come ildifferenziale esatto di una funzione scalare U, cio risulta:

dU d = V Allora si pu calcolare lintegrale nel seguente modo:

( ) ( )122

1

P U P U dU d C

P

P C

== V in virt del fatto che lintegrale di linea di un campo conservativo non dipende dalla forma dellalinea, ma solamente dagli estremi di integrazione.

A9.2 ESEMPI DI CALCOLO DI INTEGRALI DI CAMPI VETTORIALI

Esempio 1 (tratto dal compito complessivo del 15/04/2004)

Sia dato il seguente campo vettoriale:

y33

x33 )yx( )y-(x iiF ++=

Si calcoli la circuitazione di F lungo la linea rappresentata in figura (si consiglia di far uso deiteoremi noti e di adottare un sistema di coordinate cilindriche, o polari piane).

1

1

x

C

A B

Soluzione: Applicando il teorema di Stokes nel piano xy (formula di Green), si ha:

( )dS3yx3dSy

F x

FdSd 22xyz +=

== S S S

iFF

Passando alle coordinate cilindriche ( x 2 + y 2 = 2, dS= d d ) si ha infine:

83

4

2

3dd3dd3d

1

0

2/

0

1

0

43

1

0

/2

0

2

=

===

F

Si noti che grazie allapplicazione della formula di Green stato possibile pervenire alla soluzionecon pochi e semplici passaggi. Naturalmente, si sarebbe potuto risolvere lintegrale anche

parametrizzando separatamente ciascuna delle 3 linee che costituiscono , nel modo seguente:

[ 1,0 0

:AB

==

t y

t x ]

==

2 ,0

sin

cos :BC

t

t y

t x [ ]1,0

0 :AB

==

t t y

x

Verificare per esercizio che applicando questultimo metodo si ritrova il medesimo risultato.


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Esempio 2 (dal compito intermedio del 31/05/2005)Si calcoli il flusso del vettore attraverso la superficie esterna del

cubo di lato unitario [z

2yx

2 z3 6xyz z3x iiiA +=1)x0( , 1)y0( , 1)z0( ].

Soluzione: Per la risoluzione dellintegrale di flusso, conviene applicare il teorema delladivergenza:

=V S

V S ddn AiA

Poich risulta:

6z6z6xz-6xzz

Ay

A

xA zyx =+=

+

+

= A

Si ottiene infine:

=

==V

1

0

1

0

1

0

1

0

2

32z

6dz6zdydxdVA

Si noti che grazie allapplicazione del teorema di Gauss stato possibile pervenire alla soluzionecon pochi e semplici passaggi. Se si volesse risolvere lintegrale senza ricorrere a tale teorema, sidovrebbe invece parametrizzare separatamente ciascuna delle 6 facce della superficie cubica ecalcolare il flusso attraverso ognuna di essa, con notevole dispendio in termini di tempo di calcolorichiesto.

Esempio 3 (dal compito complessivo del 11/06/2002)Dato il campo vettoriale v = (2xz 2 + 2y) + (4yz + 3x) + (2xxi yi

2z + 2y 2) se ne calcoli la

circuitazione lungo la circonferenza C del piano xy avente raggio R.zi

Soluzione: si ricava facilmente:

zzyx

iiii

iii

v =

+

=

=

yv

x

v

z v

xv

z

v

yv

vvv z y x

x y x z y z

z y x

z y x

Pertanto applicando il teorema di Stokes si ha:

2zzn

RdS dS d S S C

=== iiiviv

in cui per ovvie ragioni di comodit stata scelta come superficie concatenata alla curva chiusa C , ilcerchio del piano xy, avente normale positiva uscente . zi

Esempio 4Dato il campo vettoriale:

V= 2x + xyxi yisi calcoli lintegrale di V sullarco di parabola y = 2x 2 di estremi A(0,0) e B(1,2).


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Soluzione:

La curva sulla quale richiesto di integrare V pu essere parametrizzata nel modo seguente:

[ ]1,0 2 2

==

t t y

t x

Tuttavia, se osserviamo che si tratta di una curva definita sul piano xy e coincidente con il grafico diuna funzione di una variabile del tipo y = f (x), possiamo risolvere lintegrale direttamente nellevariabili x e y senza bisogno di ricorrere al parametro t. Infatti:

+=+=C C

y xC

xydy xdxdyV dxV d 2V

Sostituendo in tale integrale la relazione y=2x 2 e ricordando che:

( ) xdxdx x f dy 4== si ottiene infine:

[ ]5

1358

15

8

82422

1

0

510

2

1

0

1

0

41

0

1

0

2

=+=

+=

=+=+= x

x

dx x xdx xdx x x xdxd C

V

Esempio 5 (dal compito del 5/07/2001)Dato il campo scalare = x 2 e ay , calcolare lintegrale di linea del gradiente di sullarco di

parabola y = x 2 di estremi A(1,1) e B(3,9).

Soluzione: Per le propriet del gradiente, che sempre un campo vettoriale conservativo, risulta:

)19()()( 9 === ee A Bd d a B

A

B

A

i

A9.3 - ESERCIZI DI RIEPILOGO

Esercizi su integrali di linea, di flusso, di volume

1) Sia dato il campo vettoriale : yx y)x( y)-(x iiV ++=

Si calcoli lintegrale di linea

dV nei seguenti casi:

a) la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario

b) il cerchio di raggio 1 centrato in (1, 0) percorso in senso antiorario


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c) la semicirconferenza superiore del cerchio di raggio 1 centrato in (1, 0) percorsa in sensoorario

d) la semicirconferenza inferiore del cerchio di raggio 1 centrato in (1, 0) percorsa in senso

orarioe) il segmento che unisce il punto (0, 1) con il punto (1, 0)f) il segmento che unisce il punto (0, 2) con il punto (1, 0)

2) Sia un campo di forze.yx y)x( y)-(x iiV ++=

Trovare il lavoro fatto per spostare un oggetto puntiforme lungo la linea bordo del quadrato S divertici (-1, -1) , (1, -1), (1, 1) e (-1, 1).

Oss.Integrare lungo il quadrato significa spezzare lintegrale curvilineo in quattro integrali con quattro diverse parametrizzazioni, una per

ogni lato del quadrato. Si risolva lesercizio proposto sopra sia con tale metodo che utilizzando la formula di Green, e si verifichi che

i due risultati coincidono.

3) Sia y22x22

yxx

yxy

iiV+

++

= (campo di Biot-Savart)

a) Si calcoli la circuitazione di V lungo la circonferenza unitaria centrata nellorigine.

b) Dire se sarebbe possibile effettuare il medesimo calcolo utilizzando la formula di Green.

4) Sia S quella parte della superficie (paraboloide) z = x 2 + y 2 che giace sopra il disco unitario del

piano xy.

Si calcoli il flusso attraverso S nei seguenti casi:

a) zyx zyx iiiV ++=

b) xx iV =

c) y 1 iV =

d) z z iV =Suggerimento: per parametrizzare S si osservi che il disco unitario nel piano descritto da ( ,)con 0


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6) Trovare il flusso del campo attraverso la calotta sferica S definita da:x-y yx iiV +=

x2 + y 2 + z 2 = 1 , con 1z22 .

Esercizi su integrali con lausilio dei teoremi di Stokes e di Gauss

1) Utilizzando il teorema della divergenza, si calcoli il flusso attraverso la superficie sferica

x2 + y 2 + z 2 = 1 nei seguenti casi:

a) V = ( x, 2y, 3z)

b) V = (x, y 2, 0)

c) V = (0, y 2, 0)

2) Utilizzando il teorema della divergenza, si calcoli il flusso del campo V = (x, y, z) attraverso la

superficie esterna del cubo definito da 0


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A9.4 APPLICAZIONI NOTEVOLI DEL CALCOLO INTEGRO-DIFFERENZIALE

a) Calcolo del campo magnetico lungo lasse di una spira

E noto che il campo magnetico prodotto nel punto P da un elemento di filo percorso dallacorrente I' vale (prima legge di Laplace

d ):

. P

d '

I'

r'

rr-r'

( )h2

I sin 4

d d

=

r

H ir r

dove il versore che individua la direzione del campo d H ortogonale al piano individuato dai

vettori d e r - r', ed ha verso concorde conhi

d = i d x (r - r' ). In formule:

( )( )h d

d =

r rir r

Nel caso di un filo rettilineo indefinito lungo lasse z percorso dalla corrente I lequazione scrittasopra si riduce a (legge di Biot-Savart ):

I 2 r

=H i

La legge di Laplace potr venire integrata per ottenere il campo magnetico totale prodotto da unaspira di corrente. Se tale spira circolare con raggio R e posizionata sul piano xy (vedi figura), e P un punto posizionato lungo l'asse della spira, si ha:

( )h2 2I Rd

4 R d

z

=+

H i

essendo in questo caso d Rd = i , 2 2R z = +r r e = 0, poich risulta ( )d r r .


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R d '

.PdH

spira

sul piano di r ed r'

r - r'

r'

r

P

dH

R 2 + z 2z

L'integrale da svolgersi per ottenere il campo complessivo H quindi della forma:

( )2

h2 2

0

I R

4 R d

z

=+i

H

Innanzitutto, osserviamo che il campo non pu avere componente in direzione i perch per

definizione ortogonale a e quindi ahi d i . Inoltre, trattandosi dell'integrale di un vettore essosi pu suddividere in due componenti, lungo i versori i e del sistema di riferimento cilindrico

(che utile adottare). Tuttavia, nel caso particolare non necessario svolgerlo per esteso perch si possono sfruttare alcune considerazioni basate sulla simmetria del problema (vedi figura precedente). Infatti, facile notare che le componenti radiali dei vari contributi si elidono tra loromentre quelle assiali si sommano. Considerando allora solo queste ultime, si ottiene evidentementeche il campo totale H deve essere diretto lungo :

zi

zi

zH=H i

Per determinare il campo totale, quindi sufficiente integrare lungo la spira la sola componenteassiale del campo magnetico elementare d H . Mediante semplici considerazioni geometriche (vedifigura), facile verificare che risulta:

z zH cos

2d d d

= =

H i H

2 2

R sin

R d d

z = =

+H H =

( )2 2 2 2

I Rd R

4 R R

z z

=+

+


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Integrando lungo la spira lespressione ottenuta sopra si ha:

( )

2

z z z2 22 2 0

I R R dH

4 R R

d

z z

= =

+ + H i i

e infine, mediante semplici calcoli:

( )2

z3/ 22 2

I R

2 R z

=+

H i

b) Legge di Gauss

E' noto che il vettore di spostamento elettrico prodotto da una carica puntiforme vale:

r 2q

4 =D i

r

Si supponga di volere calcolare il flusso di D attraverso una qualsiasi superficie chiusa S che

racchiude la carica q.

S

.q

ddS

in

D

Se l'angolo formato tra la normale alla superficie infinitesima dS e D (figura), il flussoelementare attraverso dS vale:

n 2q cos

4d dS dS

= =D i

r

si riconosce che dS ' = dS cos la proiezione di dS su un piano normale a D. Ma D direttoradialmente, quindi perpendicolare alla superficie sferica centrata in q e passante per dS: quindievidente che dS rappresenta lelemento infinitesimo di tale superficie .


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Per ottenere il flusso complessivo, occorre integrare il flusso elementare lungo lintera superficie S;si osservi inoltre che, essendo inversamente proporzionale ad 2r , conviene effettuare lintegrale

sfruttando la definizione di angolo solido . Si ricordi che:

si definisce angolo solido ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio da una

superficie conica formata dalle semirette passanti per uno stesso punto (denominato vertice

dellangolo solido) e per i punti di una curva chiusa semplice non contenente il vertice.

Inoltre, detta S larea della superficie ottenuta come intersezione fra il cono ed una sfera di raggior centrata nel vertice dellangolo solido, il rapporto S/r 2 indipendente da r e rappresenta quindiuna misura dell ampiezza dellangolo solido :

S

2

[srad]S r =

Lo steradiante [srad] (nome derivante dal greco stereos , solido) l'unit di misura del Sistema

Internazionale per l'angolo solido, il corrispondente tridimensionale del radiante. Lo steradiante

definito come langolo solido sotteso, al centro di una sfera di raggio r , da una porzione della

superficie della sfera avente area r 2

. Poich l'area dell'intera sfera equivale a 4 r 2, ne segue che

l'angolo solido sotteso da tutta la sfera pari a 4 srad. In base a quanto appena detto, si pu

definire langolo solido d sotteso dallelemento infinitesimo dS di superficie sferica, espresso incoordinate sferiche:

2= sin d d [srad]

dS d

r =

Nellesempio considerato, la superficie S deve essere qualunque , tuttavia, sfruttando le

considerazioni svolte in precedenza, si pu ricavare facilmente lampiezza dellangolo solido d


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sotteso allelemento infinitesimo dS di superficie sferica centrata in q e passante per dS. Tale

angolo vale:

2 2= cos

dS dS d

=r r

quindi il flusso elementare pu esprimersi nella forma:

q dd =

4

Poich, come si detto in precedenza, langolo solido sotteso ad una superficie sferica corrisponde

a 4 [srad], si ottiene infine:

4

n

0

q q = dS = 4 = q4 4

d

= D i Quindi il flusso di D attraverso una qualunque superficie chiusa uguale alla carica in essa

contenuta.

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