Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2011/12

Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su: I) Il Nucleo AtomicoII) Radioattivita’ e Radiazione III) Il Neutrone, un nucleone specialeIV) Fissione, Energetica ed ApplicazioniV) Reattori Nucleari per la produzione di energiaVI) Fusione Nucleare, Fisica ed ApplicazioniVII) Tecnologie nucleari nella Ricerca ed Industria VIII) Applicazioni nel campo dei sistemi biologici

Testi di riferimento:- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley- Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP- Fundamentals of Nuclear Science and Engineering- J.K.Shultis, CRC- Introduction to Nuclear Science - Jeff C. Bryan, CRC- Practical Applications of Radioactivity and Nuclear Radiations - G.C.Lowenthal & P.L. Airey - Cambridge

Parametri dei nuclei atomici

Parametri base: - numero atomico Z ( carica)- numero di massa A- energia di legame Eb (Mev) - momento angolare intrinseco o spin (I)- raggio del nucleo R (fm) e non sfericita’ dR/R- dipolo di momento magnetico µ (J/T-1)- quadrupolo di momento elettrico Q (Coulomb m2)* massa nucleone ~ 1.67 10-24 g

Ogni modello di nucleo e delle forze che lo tengono assieme deve tener conto della densita’ e dimensione.La densita’ e’ ben espressa dalla relazione di Fermi

€

ρ(r) =ρ0

1+ exp[(r − R) / a] nucleoni / m3

con

€

ρ0 = (A / Z) /ρp0 con ρp

0 = densita' protonica misurata sperimentalmente

€

R =1.12A1/ 3 fm

e spiegare le combinazioni di protoni e neutroni che rendono il nucleo stabile o instabile.

da cui

€

Nuclide R( fm) a( fm) ρ0( fm−3 ) A / A1/3

16O 2.61 0.513 0.156 1.036109 Ag 5.33 0.523 0.157 1.116208 Pb 6.65 0.526 0.159 1.122

a = densita’ spessore superficiale

€

ρ0 = 0.16 ×1045 , nucleoni / m3

Unita’ di massa atomica, amu= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

I modelli base nucleari semplici sono: a) modello Protone-Neutrone, ad es. spiega momento angolaredel nucleo, la radioattivita’ ed altre osservazioni sperimentali

b) modello senza stati di particella individuale. Es. il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula semiempirica.

c) modello a particella individuale con i nucleoni in stati di energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o Shell Model.

d) modello collettivo ( Bohr e Mottelson)

Modello Protone-Neutrone

Heisenberg (1932) ipotizzo’ nucleo formato da Z protoni e A-Z neutroni.

Modello semplice: nucleoni tenuti assieme da forza nucleare a corto range.Si spiega con questo modello: il momento angolare, la radioattivita’ e altreevidenze sperimentali; la forza nucleare ha una natura complessa.

Stabilita’ del nucleo

Ci sono 266 nuclidi stabiliDalla tabella si nota:+ nuclidi stabili con N e/o Z pariP-P 159D-P 53P-D 50D-D 4

Esistono configurazioni di N e Ppari che hanno un maggior numero di nuclidi stabili:8,20,58,82,126 ---> numeri magiciI nuclei con un numero magico di neutroni sono meno disponibili ad assorbire un neutrone di altricon un neutrone in meno od in piu’.Indice che Neutroni e protoni tendono a raggrupparsi ( shell?).

Numero di isotopi stabili per ciascun elemento o numero di protoni Z

Numero di isotopi stabili in funzione nel numero di neutroni N

Modello a goccia di liquidoDensita’ interno nucleo costante e volume proporzionale ad A sono indicatori di Forze Saturate------> analogamente goccia di liquido.

€

m(ZA X) = Zmp + (A − Z)mn −BE / c 2

€

BE = BEv + BEs + BEc + BEa + BE p

€

m(ZAX ) = Zmp + (A − Z)mn −

1c2 {av A − asA

2/ 3 − acZ(Z −1)

A1/3 − aa(N − Z)2

A−

ap

A}

con

€

av =15.85MeV ,as =18.33MeV,ac = 0.71MeV ,aa = 23.20MeV

€

ap = +11.2MeV per O−O, 0.0 MeV per O− E e E−O, −11.2MeV per E - E

valori ottenuti ( 1958,Wapstra) col fit al plot di BE vs A.

Modello a goccia pro: - predice nuclei pesanti fissionabili, - predice modi di decadimento radioattivo, - permette calcolo energetica nuclei instabili, - predice masse isotopi possibili con: - non spiega struttura interna nucleo

€

Z(A) = ( A2

)1+ (m n −mp )c 2 / (4aa )

1+ ac A2/3 / (4aa )

Tutti gli atomi a Z>83sono radioattivi Il modello a goccia utile per predire la variazione di massa nucleare al variare

di A e Z. Per un dato numero di massa A il nuclide piu’ stabile dell’isobaro e’ quello con massa piu’ piccola

€

∂m(ZA X)

∂Z⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

A

= mp −mn +1c 2 2ac

ZA1/2 − 4aa

(A −2Z)A

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

= 0

€

Z(A) = ( A2

)1+ (mn − mp )c 2 / (4aa )

1+ ac A2/3 / (4aa )

~3200 nuclidi di cui 266 nuclidi stabili,il resto nuclidi radioattivi

Tutti gli atomi a Z>83sono radioattivi

Nella FSE se si fosse tenuto conto solo dei termini di volume, superficie e Coulomb, si otterrebbe:

€

Z(A) ≅ (Mn − M H )c 2A1/3

2ac

≈ 0.9A1/3

che e’ molto impreciso nella determinazione del numero di massa.

Infatti il termine che pesa e’ il rapporto

€

ac / 4aa= 0.0078, che corrisponde a ~ 20-30 MeV.

Cio’ significa che la deviazione dalla linea di stabilita’ N=Z=A/2 e’l’effetto coulombiano (favorisce ZA<A/2) che predomina sull’effetto simmetria (ZA=A/2).

Mass defect , mass excessMisura la differenza di massa tra la massa del nucleo ed il suo numero di massa

Indice di quanto e’ legato il nucleo.

€

P = ΔM / AIl Packing fraction e’ indice di stabilita’

(amu)

P< 0 nuclidi stabili

P> 0 nuclide instabile

€

ΔM =MZ ,A

112

M 12C

− A

Mass defect e Packing fraction sono legati alla Binding Energy

Binding Energy = lavoro richiesto per separare il nucleo nei suoicomponenti o energia rilasciata durante la formazione del nucleo

€

M(Z,A) = ZM H + (A − Z)Mn − BE(Z, A) / c 2

€

BA

= Mn −ZA

Mn − M H( )− MA

€

= Mn −1( ) −ZA

Mn −M H( )− Δ

Energia di legame e reazioni nucleari

Nelle reazioni a due corpi

€

i + I = f + F + Q

il Q-value indica l’energia rilasciata o assorbita dalla reazione.

€

Q = [(Mi + MI ) − (M f + MF )]c2 Q>0 esotermicaQ<0 endotermica

in termini di energia cinetica ( conservazione energia totale)

€

Ti + Mic2 + TI + MI c

2 → Tf + M f c2 + TF + MFc 2

€

Q = Tf + TF − (Ti + TI )

Esprimendo le masse in termini di energia di legame si ottiene

€

Q = B( f ) + B(F ) −B(i) − B(I)

Energia di separazione

Misura il lavoro richiesto per separare un SOLO nucleone a dal nucleo

€

Sa = [Ma (A',Z') + M (A − A', Z − Z')− M (A,Z)]c 2

misura anche l’energia rilasciata quando vi e’ cattura dal nucleo

€

Sn = [Mn + M (A −1,Z) − M(A,Z)]c 2 last neutron binding energy

20<A<120 -> Sn ~= Sp ~= 8 MeV, A>120 Sn ~=5-6 MeV.

€

Sn (Neven) > Sn (Nodd) a Z costante, Sp (Zeven ) > Sp (Zodd) a N costante

L’energia di separazione e’ importante nella fissione

Modello a ShellBasato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energeticiassociati con una shell sono tutti occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-vedi gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono poi particolari valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quantoriguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziatodall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N 2,8,(14),20,28.50,82,126

I nucleoni in un nucleo non eccitato formano un gas degenere di Fermi ( sistema quanto-meccanico) con tutti gli stati di energia < livello di Fermioccupati e quelli di energia > liberi.

Il modello a shell si basa sull’idea che :Ciascun nucleone si muova indipendentemente nel nucleo senza interagire con gli altri nucleoni.

Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi, dove cresce rapidamente di decine di MeV.

€

V (r) =V0[1− (r / R)2] = −V0 +12

Mω 2R2

Realisticamente il potenziale nucleare lo si puo’ approssimare qualitativamente con un potenziale tipo oscillatore armonico

La soluzione numerica dell’eq. di Shroedinger , con un potenziale attrattivo con distribuzione di Fermi, mostra che i nucleoni si distribuiscono in certi livelli energetici.Protoni e neutroni si distribuiscono su livelli energetici indipendenti, ed i livelli energetici piu’ alti hanno la stessa energia sia per i protoni che i neutroni.La profondita’ della buca di potenziale per i protoni e’ minore di quella deineutroni causa l’interazione coulombiana.

L’energia di un oscillatore armonico 3D vale

€

EN = hω(N + 3 / 2) −V0 con N = n1 + n2 + n3, n = interi

I livelli energetici, in un oscillatore 3D, che hanno la stessa N appartengono ad una stessa shell.

Nel caso del nucleo bisogna tener conto anche di un forte accoppiamentospin-orbita con un termine da aggiungere alla forma di potenziale 3D

€

Vls = ClslsUn nucleone di momento orbitale l puo’ essere in due stati con momento angolare totale

€

j = l +s = l ±1 / 2

La separazione in energia dei due stati

€

ΔE ls e’ proporzionale a

€

(l +1/ 2)

€

ΔEls = (l +1 / 2)h2Cls

L’ampiezza dello splitting spin-orbita aumenta con l importante per i nuclei pesanti che possiedono grandi l.

Modello collettivo

o modello unificato, sviluppato da Bohr e Mottelson.

Ingloba praticamente le proprieta’ del modello a goccia e a shell.Diversamente dal modello a particelle indipendenti, si ipotizza che nel nucleo ci sia un certo numero di nucleoni “liberi” che si muovono in un campo di potenziale lentamente variabile, dovuto alle deformazioni del nucleo.

La deformazione del nucleo porta a modi di eccitazione che sono classificati come vibrazionali e rotazionali.

Lontano dai numeri magici si manifestano nel nucleo dei moti cooperativi dominanti tra nucleoni, con moti relativi tra nucleoni e core del nucleo.Esistono stati quantici del sistema nucleare come un tutto, che si sovrappongono ai livelli energetici nucleonici.

Stati nucleari eccitati# reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari portano il nucleoin stati eccitati di energia al di sopra dello stato fondamentale, formando lo spettro di eccitazione del nucleo.

Livelli eccitati Singola particellaMoto collettivo rotazionale del nucleo Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modello a shell descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse,

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficie

Nuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari ottupolo l=3quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω l = (k + kC ) /µ

€

k =12

4παD2 R2Termine di superficie

con α coefficiente di tensione superficiale

€

kC = −3Z 2e 2 / R3

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione

da cui l’energia vibrazionale di quadrupolo

€

hωquad ≅ (2− γ) / A MeV

€

µ ≅3D

Rm massa in vibrazione

del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori misurati, es. per il Nickel il primo livello eccitato ha un valore di circa 3.5MeV

€

γ = 0.047Z 2 / A

Ec/ Es nucleo sferico

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω0 = k / mcon k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω0 = k / m ∝ R2 / R3 ∝ R−1/2 ∝ A−1/6

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia: modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’ dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E) = Ce2 αE

con a e C calcolate derivate da considerazionistatistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazionediventa

€

ρ(E)∝ 1T

exp( E − E0

T)

e

€

ΔE =1/ ρ(E)Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livellidi energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Energetica nucleare

€

ΔE = ΔMc 2

In ogni reazione (nucleare, atomica, chimica,..) l’energia emessa puo’ essere calcolata come

Una generica reazione si scrive come

€

A + B → C + D+ ...

€

ΔM = (MA + MB ) − (MC + MD + ...)

da cui si ricava l’energia emessa.

Realisticamente solo per le reazioni nucleari e’ possibile calcolarela energia dalla differenza di massa, perche’ le energie in giocosono molto grandi e quindi la variazione di massa dei costituenti e’ apprezzabile con una risoluzione di 5-6 ordini di grandezza inferioriraggiungibile dalla tecnologia corrente.

Reazioni Nucleari

Due principali tipi di reazioni:

€

X →Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅

€

x + X →Y + y

radioactive decay

binary reaction

€

X(x,y)Yscritta come

In generale in reazioni tipo X(x,y)Y si possono avere:

reazioni elastiche

reazioni inelastiche€

01n+16

32S→1632S+ 0

1n

€

01n+16

32S →(1632S)*+ 0

1n'€

(n,n)

€

(n,n' )

€

01n+16

32S→1632S + γ

€

01n+16

32S→1632S+1

1H

€

(n, p)

€

(n,γ)

Esempi di reazioni nucleari binarie

€

(α, p)reazioni Rutherford, bombardando con nuclei di elio ( alfa) l’azotodell’aria osservo’ la produzione di nuclei di H ( protoni)

€

24He+ 7

14N→ 817O+1

1H o 714N(α, p) 8

17O

€

(α, p)

€

(α,n) Chadwick nel 1932 scopre il neutrone

€

24He+4

9Be→ 612C+ 0

1n o 49Be(α, n) 6

12C

€

(γ,n)

€

γ+ 12H→1

1H+ 01n o 1

2(γ,n)11H

€

(p,γ)

€

γ+ 817O→ 6

12C+24He+ 0

1n o 817O(γ,nα) 6

12C

€

11H+ 3

7Li→48Be + γ o 3

7LI( p,γ )48Be

€

(n, p)

€

(γ,αn)

€

01n+ 8

16O→ 817N+1

1p o 816Li(n,p) 8

16N€

48Be→2

4He+ 24 He

Reazioni a stato finale multiplo

Lo stato finale di una reazione dipende dall’energia disponibile equindi dall’energia della particella incidente. Per neutroni, ad es., di energia ~ MeV, l’urto con un nucleo puo’ essere

€

01n+16

32S→1632 S+0

1n

€

01n+16

32S→1632 (S)*+0

1n*

€

01n+16

32S→1532 P+1

1p

€

01n+16

32S→1532 P+1

1p

Elastico

Anelastico

Cattura

Nel caso di reazioni inelastiche entra in gioco la soglia cinematica

Q-value per una reazione

Conservazione Energia

€

E i + mic2[ ]

i∑ = ʹ′ E i + ʹ′ m ic

2[ ]i∑

€

Q = KE f −KEi = mic2 −mf c

2

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ Mi + MI( ) − M f + MF( )[ ]c 2

Q = Tf + TF − Ti + TI( ) = B f( ) + B F( ) − B i( ) − B I( )

Reazione binaria

Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-valueQ>0 reazione esotermicaQ<0 reazione endotermica

Reazioni di decadimento radioattivo

€

X → Y + y

€

Q = (E y + EY ) = mX − my + mY( )[ ]c 2 > 0

Conservazione di carica e calcolo di Q-value

Le reazioni nucleari conservano la carica

€

01n+ 8

16O→ 716N+1

1pNella reazione bisogna tener conto dell’elettrone che viene espulso insieme al protone

€

01n+ 8

16O→ 716N+1

1p+−10e

nel calcolo del Q-value

€

Q = {mn + M( 816O)− M( 7

16N) − M(11H)}c2

la massa di atomo neutro con nucleo eccitato vale

€

M(ZAX *) = M(Z

AX ) + E* / c 2

€

10B(n,α)7Li*

€

Q = mn + M ( 510B) − M(2

4He)− M(37Li* )[ ]c 2

Es. il calcolo del Q-value della reazione

con

€

M(37Li*) = M(3

7Li) + 0.48MeV / c 2

Nucleo Composto

Per energie dell’ordine del MeV l’interazione di nucleoni o nuclei leggeri con nuclei targhetta avviene con il nucleo totale.

Si forma un NUCLEO COMPOSTO che decade in ~ 10-14 s.

€

p+63C 63Zn + n→64 Zn* → 62Cu + n + p

α+60Ni 62Zn + 2n

La reazione ha due tempi, formazione del nucleo composto eccitato e successivo decadimento.

Energia di soglia

€

x + X → y +YNella reazione con X a riposo

conservazione energia

€

Ex = Ey + EY +Q

€

pY2 = px

2 + py2 + 2 px py cosθ yconservazione momento

in regime nonRelativistico

€

pi = 2miEi

la soluzione

€

Ey =mxmy

(mx + mY )2 cosθy ± [mxmy

(my + mY )2 cosθy ]2 + [ mY −mx

(my + mY ) Ex +mYQ

(my + mY )]

ha diverse soluzioni, dipendendo anche da Q.

Per Q < 0, la particella incidente deve avere un minimo di energiaperche’ la reazione abbia luogo, Energia di soglia

soglia cinematica e soglia coulombiana

Soglia cinematica

€

(Ex )θ y≥

mY (my + mY )Q(my + mY )(mY −mx ) + mxmy sin2θy

€

(Ex )θ y≅ −(+ mx

mX)Q

Soglia Coulombiana

Solo per particelle cariche

€

ExC ≅ − FC dr =1.2 zZ

Ax1/3 + AX

1/3 (MeV )∫

Energia di soglia totale necessaria sara’

€

(Exth )min = max(E x

C ,Exth )