Apprentissage des mathématiques - résolution de problèmes au

Roland Charnay - 2010 1

� Les mathématiques fournissent des outils pouragir, choisir et décider dans la vie quotidienne

� La pratique des mathématiques développe legoût de la recherche et du raisonnement,goût de la recherche et du raisonnement,l’imagination et les capacités d’abstraction, larigueur et la précision. (socle commun)


Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à� Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible àl'école primaire des automatismes en calcul.

� Il faut aussi comprendre des concepts et destechniques (calcul, algorithme) et les mémoriserafin d'être en mesure de les utiliser.techniques (calcul, algorithme) et les mémoriserafin d'être en mesure de les utiliser. (socle commun)

� L’acquisition des mécanismes en mathématiquesest toujours associée à une intelligence de leursignification. (programme)


� La maîtrise des principaux éléments demathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement parla résolution de problèmes, notamment à partir desituations proches de la réalité. (socle commun, 2006)

La résolution de problèmes joue un rôle essentiel� La résolution de problèmes joue un rôle essentieldans l’activité mathématique. Elle est présente dans tousles domaines et s’exerce à tous les stades desapprentissages. (programmes, 2008)


� Fractions : addition (même dénominateur)

� CM2 � pas évoqué en 6e / exigible en 5e

� Décimaux : valeur approchée

� CM2 � 6e (mais hors socle)

� Calcul posé� Calcul posé

� Commentaire 6e : Les nombres doivent rester de taille raisonnable, aucune virtuosité technique n’est recherchée

� Division décimale d’un décimal par un entier

� CM2 � 6e avec ce commentaire : Le dividende comporte au maximum 2 chiffres après la virgule


� Règle de trois

� CM1 et CM2 � 6e sous la forme : Passage par l’unité (ou « règle de trois »)

� Pourcentage

� CM2 � 6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves � CM2 � 6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « … % de » et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique n’est nécessaire

� Echelles

� CM2 � 5e (mais hors socle) et rien en 6e


sur les difficultés des


sur les difficultés des élèves

� Un document officiel affirme que 91 % des élèvesmaîtrisent les compétences de base

� Près d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les"compétences nécessaires pour profiter pleinementdes situations pédagogiques de sixième" (pour plusde 2/3 des items considérés des évaluations 6e).de 2/3 des items considérés des évaluations 6e).

� Deux domaines particuliers de difficultés� le calcul mental :

� 72 % de réussite aux questions "de base"� Exemples : le quart de 100 (68 %)

36 divisé par 4 (56 %)

� la résolution de problèmes


� Elèves français dans la moyenne

� Taux élevé d'élèves à résultats faibles

� Taux faible d'élèves à résultats élevés

Des élèves plus angoissés que les autres face � Des élèves plus angoissés que les autres face aux mathématiques

� Un taux élevé de "non réponse"

� Une faiblesse particulière lorsqu'il faut "prendre des initiatives, expérimenter (faire des essais, critiquer, recommencer…)"


Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure :


Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches.


Evaluation 6Evaluation 6ee

Xavier range les 50 photos de ses dernières Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y aa) Combien y a--tt--il de pages complètes ?il de pages complètes ?


a) Combien y aa) Combien y a--tt--il de pages complètes ?il de pages complètes ?

b) Combien y ab) Combien y a--tt--il de photos sur la page il de photos sur la page incomplète ?incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. Il y a ……… pages complètes. 54 %54 %

Il y a ……… photos sur la page incomplète. Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %57 %

� Division de 50 par 6� Division (stabilisée au CM1)

� Utilisation des multiples de 6� Table de multiplication (CE2)� Table de multiplication (CE2)

� Addition ou soustraction de 6 en 6� Addition (CE1/CE2)

� Schématisation des pages et des photos� Dénombrement (CP)


Pourquoi des élèves qui disposent de connaissances permettant de résoudre ce problème…

Un nombre élevé de calculs "sans signification"

Peu de démarches "originales"

problème…

- ne pensent pas…

- n’osent pas…

- ne se croient pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question ?



Connaissances et compétences Connaissances


compétences

en lecture (ordre des informations, place de

la question)

sur le contexte

sur les concepts mathématiques

(sens)

relatives au raisonnement

en calcul

Connaissances

sur ce qui est attendu

sur ce qui est permis

sur ce qui marche souvent

sur "l'accueil"

des erreurs

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309


300300 400400 500500 600600

300300 309309309309309309309309 400400 367367367367367367367367 500500 582582582582582582582582 600600


Deux exemples…

� 150 personnes lèvent leurs deux mains. Combien y a-t-il de mains levées ?Combien y a-t-il de mains levées ?

� 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?


Un mot à double sens

� Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvéeséprouvées

� Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur


� Une situation initiale avec un but à atteindre... demandant au sujet d'élaborer une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but

� Il n'y a problème que dans un rapport � Il n'y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n'est pas disponible d'emblée, mais possible à construire.

� C'est dire qu'un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet.

Jean Brun, Math Ecole n° 441, 1999Roland Charnay - 2010 21


� Ne pas confondre lecture d'énoncé et résolution de problème

� Plusieurs supports de présentation

Situation réelle� Situation réelle

� Situation représentée : dessin, schéma, document

� Situation communiquée oralement

� Situation communiquée par un énoncé écrit


� Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en problèmes aux apprentissages en cours

� Eviter les aides « de surface »


� Favoriser la diversité

� Exploiter la diversité� Exploiter la diversité

� Aider à progresser vers les résolutions expertes


Largeur de la bibliothèque : 1 m (ou 100 cm)

établie dans la question 3

CE2 – Cap Maths


établie dans la question 3

Deux stratégies de résolution

� Déterminer le nombre total d'encyclopédies qui peuvent être placées, puis le nombre de celles qui peuvent être ajoutées


peuvent être ajoutées

� Déterminer d'abord la "place" déjà occupée, puis la "place" restante, puis le nombre d'encyclopédies qui peuvent être mises sur cette "place".

Plusieurs procédures pour la 2 e stratégie

� Un schéma , support de calculs (résolution "pratique")

66 1212 1818 2424 3030 3636 4242 4848 5454 6060 6666 7272 7878 8484 9090 9696


48 + 6 = 54 + 6 = 60 + 6 = 66 + 6 = 72 + 6

� Addition

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48

48 + 6 = 54 + 6 = 60 + 6 = 66 + 6 = 72 + 6 = 78 + 6 = 84 + 6 = 90 + 6 = 96

� Multiplication et addition

6 x 8 = 48 4 8 6 + 6 + 6 + 6 = 24+ 5 2 24 + 24 = 4810 0

�Multiplication et soustraction


6 x 8 = 48 10 0 6 x 8 = 48- 4 8 6 x 9 = 54

5 2

� Multiplication et proportionnalité6 x 8 = 48 48 x 2 = 96 8 x 2 = 16

Correction

� Aboutir au corrigé, à LA solution

� Conséquence :

Mise en commun

� Inventorier les « résolutions »

� Débattre de leur � Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible

� Débattre de leur validité

� Les comparer

� Conséquence : la diversité est possible


� Pas de trace écrite cette fois-ci

Un montage de différentes � Un montage de différentes « résolutions » correctes

� Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève


Aider à progresser…Aider à progresser…� Prise de conscience au cours de la mise

en commun

� Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence


des « résolutions » en apparence différentes

� Choix des variablesExemples :

60 images, 5 par page250 images, 6 par page

Un exemple de dispositif d’enseignement


MATERIEL DE L'ENSEIGNANT

�� une feuille de


�� une feuille de points

(nombre de points connu des élèves)

�� une feuille cache

La question

Trouver combien de points sont cachés ?


Carte avec 20 points- 5 visibles

- 16 visiblesComplément ou soustraction

Complément


Carte avec 34 points

- 4 visibles- 20 visibles- 15 visibles

Complément ou soustractionComplément ou soustractionComplément

Question : Compléter de

11 à 34


Vérification de la réponse : Soustraire 11 de 34


Le rôle des situations expérimentales REEL / ANTICIPATION

RéelFavorise

l’ appropriation de la

Anticipation

Incite à l'expérience mentale


situation et du problème

mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures

� 2 pour aller à 47 � plutôt soustraction

� 36 pour aller à 40� plutôt complément

20 pour aller à 50� plutôt ?


� 20 pour aller à 50� plutôt ?

� 52 – 4 � plutôt soustraction

� 61 – 58 � plutôt complément

� 60 – 35 � plutôt ?

Documents

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