Approche hybride pour la commande prédictive en … · Modélisation et simulation Principe de la commande prédictive Choix d’un formalisme pour la commande Obtention du modèle

Approche hybride pourla commande prédictive en tension

d’un réseau d’énergie électrique

Sylvain Leirens

Équipe Automatique des Systèmes Hybrides, Supélec–IETR

Jeudi 2 février 2006

GDR MACS - Groupe SDH 1 / 27

Contexte

Réseaux électriques : de la production à l’utilisation

Conduite des réseaux de transportRéglages de la tension et de la fréquenceNouvelles contraintes, libéralisation du secteur électriqueMaillage, interconnexions


Contexte

Réseaux électriques : de la production à l’utilisation

Conduite des réseaux de transportRéglages de la tension et de la fréquenceNouvelles contraintes, libéralisation du secteur électriqueMaillage, interconnexions


Quel est le problème ?

Instabilité en tensionDéfinitionAspects dynamiques lentsApproche quasi-statique

Phénomène : écroulement de tension

Objectifs





0 50 100 150 200 250 300 350 4000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 200 400

1.6

1.8

2

2.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000

2

4

6

x 10−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 200 4000

5

10

15

20

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.7

0.8

0.9

1

(s)

(p.u

.)

0 200 400

0.1

0.15

0.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

Ef

l1l2l3

xPxQ

P Q nt

1 2

3

4

(P, Q)

1

Objectifs





0 50 100 150 200 250 300 350 4000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 200 400

1.6

1.8

2

2.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000

2

4

6

x 10−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 200 4000

5

10

15

20

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.7

0.8

0.9

1

(s)

(p.u

.)

0 200 400

0.1

0.15

0.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

Ef

l1l2l3

xPxQ

P Q nt

1 2

3

4

(P, Q)

1

Objectifs


Vue globale de l’approche proposée


L’approche proposée étape par étape

1 L’approche proposée : 1ère partieModélisation et simulationPrincipe de la commande prédictiveChoix d’un formalisme pour la commandeObtention du modèle de prédiction

2 L’approche proposée : 2ème partieOptimisation mixteVue globaleMise en œuvre : cas d’étude

3 Conclusions & perspectives


Modélisation et simulation

Systèmes hybrides et réseaux électriquesVue synoptiqueAspects dynamiques, hybrides : où, pourquoi ?Commutations autonomes/commandées

Generateurs

Charges

Transformateurs

Compensateurs

Lignes

1

Simulation d’un réseau électriqueSystèmes algébro-différentiels non-linéaires et hybridesMatlab–Simulink, Dymola... et les autres


Modélisation et simulation

Systèmes hybrides et réseaux électriquesVue synoptiqueAspects dynamiques, hybrides : où, pourquoi ?Commutations autonomes/commandées

Generateurs

Charges

Transformateurs

Compensateurs

Lignes

1

Simulation d’un réseau électriqueSystèmes algébro-différentiels non-linéaires et hybridesMatlab–Simulink, Dymola... et les autres


Commande prédictive

PrincipeUtilisation explicite d’un modèle pour prédire lecomportement futur du systèmeCalcul d’une séquence de commandes minimisant unefonction de coût (critère) sur un horizon fini glissantSeule la 1ère commande est appliquée au système

Dit autrement...

... c’est résoudre un problème d’optimisation souscontraintes à chaque instant d’échantillonnage



PrincipeUtilisation explicite d’un modèle pour prédire lecomportement futur du systèmeCalcul d’une séquence de commandes minimisant unefonction de coût (critère) sur un horizon fini glissantSeule la 1ère commande est appliquée au système

Dit autrement...

... c’est résoudre un problème d’optimisation souscontraintes à chaque instant d’échantillonnage



Graphiquement...

Temps

Consignes futures

Sorties predites

k k + N

Horizon de prediction

Tempsk k + N

Commandes futures

Passe Futur

Commandeappliquee

glissant

k + 1

k + 1

1

Temps

Consignes futures

Sorties predites

k k + N


Tempsk k + N

Commandes futures

Passe Futur

Commandeappliquee

glissant

k + 1

k + 1

1

Intérêt, propriétésApproche algorithmique (ne requiert pas de solutionexplicite du problème de commande)Prise en compte de contraintes présentes et futures,anticipation



Graphiquement...

Temps

Consignes futures

Sorties predites

k k + N


Tempsk k + N

Commandes futures

Passe Futur

Commandeappliquee

glissant

k + 1

k + 1

1

Temps

Consignes futures

Sorties predites

k k + N


Tempsk k + N

Commandes futures

Passe Futur

Commandeappliquee

glissant

k + 1

k + 1

1

Intérêt, propriétésApproche algorithmique (ne requiert pas de solutionexplicite du problème de commande)Prise en compte de contraintes présentes et futures,anticipation


Choix d’un formalisme pour la commande

Systèmes ‘Mixed Logical Dynamical’ (MLD)

Systèmes affines par morceaux (PWA)Partitionnement de l’espace d’état-commande continuengendré par x et uc

Mode : appartenance à une partition χ + combinaisonparticulière des commandes discrètes ud

Ensemble de modèles affines et de contraintes

x(k + 1) = A ix(k) + B iuc(k) + ai

y(k) = Cix(k) + Diuc(k) + c i

avec (x(k), uc(k)) ∈ χj tel que

χj =

{(x, uc)|Fjx + Gjuc

≤<

f j

}Non-linéarités dures (saturations) et souples(approximation affine), commandes mixtes


Obtention du modèle de prédiction

Approche de modélisationModèles élémentaires (bibliothèque)Séparation en deux sous-réseaux (linéaire/non-linéaire)Mise en équation systématique de la partie transport

Reseau detransport

Generateurset charges

Entrees de Sorties

Lignes, transformateurset compensateurs

Producteurs etconsommateurs

commande (tensions,...)

1


Obtention du modèle de prédiction

LinéarisationCalcul formel (hors ligne)Calcul numérique (en ligne)Obtention d’un modèle de prédiction affine (PWA)

Modele

non-lineaire

Linearisation

formelle

Resolution

non-lineaire

Calcul du

modele d’etat

Hors ligne

En ligne

Variables au point

de fonctionnement

Equationsnon-lineaires

Point de

fonctionnement

Mode

Jacobiens

formels

Matrices du

modele affinecourant

Equationsnon-lineaires


Résumé de la 1ère partie


Optimisation mixte

FormulationSéquence de commandes (horizon N)

UN = (uT (0) uT (1) · · · uT (N − 1))T

Fonction de coût

JN(x(0), UN) =N−1∑k=0

L(x(k), u(k)) + F (x(N))

avec (norme quadratique)

L(x(k), u(k)) = ‖y(k)− yr‖Qy + ‖u(k)‖Qu

F (x(N)) = ‖x(N)− xr‖Qf

Contraintes du modèle PWA


Optimisation mixte


UN = (uT (0) uT (1) · · · uT (N − 1))T

Fonction de coût

JN(x(0), UN) =N−1∑k=0

L(x(k), u(k)) + F (x(N))



F (x(N)) = ‖x(N)− xr‖Qf



Optimisation mixte


UN = (uT (0) uT (1) · · · uT (N − 1))T

Fonction de coût

JN(x(0), UN) =N−1∑k=0

L(x(k), u(k)) + F (x(N))



F (x(N)) = ‖x(N)− xr‖Qf



Optimisation mixte

Formulation – suiteProblème d’optimisation (mixte)

PN(x(0)) : JoN(x(0)) = min

UN

JN(x(0), UN)

sous les contraintes du modèle PWA

Réécriture (UN = (UcN , UdN))

JoN(x(0)) = min

IN

(minUcN

JN(x(0), (UcN , IN))

)avec la séquence de modes

IN ={

i(0), i(1), · · · , i(N − 1)}


Optimisation mixte

Formulation – suiteProblème d’optimisation (mixte)

PN(x(0)) : JoN(x(0)) = min

UN

JN(x(0), UN)

sous les contraintes du modèle PWA

Réécriture (UN = (UcN , UdN))

JoN(x(0)) = min

IN

(minUcN


)avec la séquence de modes

IN ={

i(0), i(1), · · · , i(N − 1)}


Optimisation mixte

Énumération exhaustivePour une séquence de modes IN donnée

J∗N(x(0), IN) = min

UcN


pN sequences de modes

de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

1


Optimisation mixte

Énumération partielle

Idée clé : connaissant un sous-optimum du problème,évaluer des coûts partiels afin de couper les branches quine peuvent pas conduire à l’optimum

Décomposition

1 Stratégie de descente (meilleur d’abord)

2 Critère d’élimination de branches

∀P < N, J∗N�x(0), IN

�≥ J∗P

�x(0), I(N)

P

�

Coût d’un chemin dans l’arbre

Problèmes non-faisables


Optimisation mixte



Décomposition



∀P < N, J∗N�x(0), IN

�≥ J∗P

�x(0), I(N)

P

�




Optimisation mixte



Décomposition



∀P < N, J∗N�x(0), IN

�≥ J∗P

�x(0), I(N)

P

�




Optimisation mixte



Décomposition



∀P < N, J∗N�x(0), IN

�≥ J∗P

�x(0), I(N)

P

�




Optimisation mixte

Énumération partielle – illustration


de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

4


Optimisation mixte



de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

4


de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

48

5

6

7


Optimisation mixte



de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

4


de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

48

5

6

7


de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

48

5

6

79

10


Optimisation mixte



de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

4


de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

48

5

6

7


de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

48

5

6

79

10


de prediction

0

N − 1

Horizon

p modes

2

1

3

48

5

6

7

3

9

10

1


Optimisation mixte

Discussion

Énumération exhaustive

+ (très) simple à mettre en œuvre

– explosif

– dimension fixe (nuc × N) des sous-problèmes

Enumération partielle

+ exploration intelligente, recherche de sous-optima

+ dimension variable (nuc → nuc × N) des sous-problèmes

– le parcours complet de l’arbre n’est pas exclu


Vue globale détaillée


Cas d’étude : réseau à 4 nœuds

Description du réseau

V1 V2g1 g2

V3

tr

l1

l3 l2

c

ch

sc V reft

sch

1 2

3

4V4

V refg

1

Modèle dynamique de charge

TP xP + xP = Pch0(V αs

ch − V αtch

)Pch = (1− schpch)

(xP + Pch0V αt

ch

)



Description du réseau

V1 V2g1 g2

V3

tr

l1

l3 l2

c

ch

sc V reft

sch

1 2

3

4V4

V refg

1

t

Vch

t

Pch

Vch0

Pch0

P+ch

V +ch

t0

t0

1

Modèle dynamique de charge

TP xP + xP = Pch0(V αs

ch − V αtch

)Pch = (1− schpch)

(xP + Pch0V αt

ch

)



Exemples de simulation (défaut ligne l3 à t = 30s)

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 200 400

1.6

1.8

2

2.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000

2

4

6

x 10−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 200 4000

5

10

15

20

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.7

0.8

0.9

1

(s)

(p.u

.)

0 200 400

0.1

0.15

0.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

Ef

l1l2l3

xPxQ

Pch Qch nt



Exemples de simulation (défaut ligne l3 à t = 30s)

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 50 100 150 200 250 300 350 4000.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 200 400

1.6

1.8

2

2.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000

2

4

6

x 10−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 200 4000

5

10

15

20

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.7

0.8

0.9

1

(s)

(p.u

.)

0 200 400

0.1

0.15

0.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

Ef

l1l2l3

xPxQ

Pch Qch nt

0 200 400

1.6

1.8

2

2.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000

1

2

3

4x 10

−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 200 4000

2

4

(s)

(p.u

.)

0 200 400

0.9

0.95

1

(s)

(p.u

.)

0 200 400

0.18

0.19

0.2

(s)

(p.u

.)

0 200 4000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

Ef

l1l2l3

xPxQ

Pch Qch nt



Objectifs de la commande (rappel)Stabiliser les tensions aux nœuds du réseauMinimiser l’utilisation des moyens d’action sur le réseauPrendre en compte des priorités sur les actions à mener

Mise en œuvre de la commandeModèle de prédiction PWA (nombre de modes p = 16)

état x = (xP xQ nt)T

commandes uc = (∆nt V refg )T et ud = (sc sch)

T

sortie y = (V2 V3 V4 pertes l1 pertes l2 pertes l3 Ef )T

Fonction de coût (avec yr = (1.03 0.98 1 0 0 0 1.55)T )

JN(x(0), UN) =N−1∑k=0

‖y(k)− yr‖Qy + ‖u(k)‖Qu + ‖∆u(k)‖Q∆u



Objectifs de la commande (rappel)Stabiliser les tensions aux nœuds du réseauMinimiser l’utilisation des moyens d’action sur le réseauPrendre en compte des priorités sur les actions à mener

Mise en œuvre de la commandeModèle de prédiction PWA (nombre de modes p = 16)

état x = (xP xQ nt)T

commandes uc = (∆nt V refg )T et ud = (sc sch)

T

sortie y = (V2 V3 V4 pertes l1 pertes l2 pertes l3 Ef )T

Fonction de coût (avec yr = (1.03 0.98 1 0 0 0 1.55)T )

JN(x(0), UN) =N−1∑k=0

‖y(k)− yr‖Qy + ‖u(k)‖Qu + ‖∆u(k)‖Q∆u



Exemples de résultats (Ts = 30 s, N = 2)

0 50 100 150 200 250 3000.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 100 200 300

1.6

1.8

2

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000

1

2

3x 10

−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 100 200 3000

1

2

3

4

(s)

(p.u

.)

0 100 200 300

0.9

0.95

1

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000.17

0.18

0.19

0.2

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

0 100 200 3000.9

0.95

1

1.05

1.1

(s)

(p.u

.)

Vgref

0 100 200 3000

1

2

3

(s)

sc

0 100 200 3000

0.5

1

(s)

sch

Ef

l1l2l3

xPxQ

Pch Qch nt



Exemples de résultats (Ts = 30 s, N = 2)

0 50 100 150 200 250 3000.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 50 100 150 200 250 3000.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

(s)

(p.u

.)

V2V3V4

0 100 200 300

1.6

1.8

2

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000

1

2

3x 10

−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 100 200 3000

1

2

3

4

(s)

(p.u

.)

0 100 200 300

0.9

0.95

1

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000.17

0.18

0.19

0.2

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

0 100 200 3000.9

0.95

1

1.05

1.1

(s)

(p.u

.)

Vgref

0 100 200 3000

1

2

3

(s)

sc

0 100 200 3000

0.5

1

(s)

sch

Ef

l1l2l3

xPxQ

Pch Qch nt

0 100 200 300

1.6

1.7

1.8

1.9

2

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000

1

2

x 10−3

(s)

(p.u

.)

pertes lignes

0 100 200 300

−0.5

0

0.5

(s)

(p.u

.)

0 100 200 300

1

1.05

1.1

(s)

(p.u

.)

0 100 200 300

0.2

0.205

0.21

0.215

0.22

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000.8

0.9

1

1.1

1.2

(s)

0 100 200 3000.9

0.95

1

1.05

1.1

(s)

(p.u

.)

0 100 200 3000

1

2

3

(s)0 100 200 300

0

0.5

1

(s)

Vgref sc sch

Ef

l1l2l3

xPxQ

Pch Qch

nt



Tests effectuésInfluence du choix des paramètres de réglage (horizon deprédiction, pondérations)Bénéfice de l’anticipation (défaut)Incertitudes de modélisation (charge)

Performances des algorithmes (nœuds évalués)

Réseau à 9 nœuds : complexité, perte de générateur





106 réseau à 4 noeuds

2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

4

Horizon N

Nom

bre

de s

ous−

prob

lèm

es Q

P r

ésol

us

minmoymax

Fig. 7.20 – Nombre de nœuds évalués en fonction de l’horizon de prédiction

N énum. complète (pN ) énum. partielle %2 256 51 203 4096 238 5.84 65536 741 3.35 > 106 1842 0.186 > 107 5530 0.033

Tab. 7.2 – Performances de l’algorithme d’énumération partielle

testé différentes approches pour initialiser l’algorithme : utiliser le coût optimal ou la séquenceoptimale de l’instant précédent. Il n’est pas apparu de gain significatif. D’autre part, faire lechoix d’initialiser avec le coût optimal précédent suppose de prendre le risque de ne pas trouverde solution de coût inférieur et de devoir recommencer l’optimisation.

Afin de tenter de répondre à la question “ période d’échantillonnage versus horizon de pré-diction ”, des essais ont été effectués avec :

– Ts = 10 s, Td + Tm = 10 s et N = 6 ;– Ts = 30 s, Td + Tm = 10 s, α = 3(6) et N = 2.

Les résultats sont quasi identiques.Comme nous l’avons observé en section 7.4.1, le modèle de prédiction est de bonne qualité.

Afin de ne pas effectuer de calculs inutiles, on peut n’actualiser le modèle que si le point defonctionnement a suffisamment varié. Dans les tests qui ont été effectués, les performances sontsimilaires en réutilisant le modèle jusqu’à une variation de 75% du point de fonctionnement. Audelà, les performances se dégradent, le modèle doit être recalculé.

(6)Td + Tm est un sous-multiple de Ts, cf. section 6.3, page 77.

Version provisoire

Temps de calcul prop. au nombre de nœuds évalués






106 réseau à 4 noeuds

2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

4

Horizon N

Nom

bre

de s

ous−

prob

lèm

es Q

P r

ésol

us

minmoymax

Fig. 7.20 – Nombre de nœuds évalués en fonction de l’horizon de prédiction

N énum. complète (pN ) énum. partielle %2 256 51 203 4096 238 5.84 65536 741 3.35 > 106 1842 0.186 > 107 5530 0.033

Tab. 7.2 – Performances de l’algorithme d’énumération partielle

testé différentes approches pour initialiser l’algorithme : utiliser le coût optimal ou la séquenceoptimale de l’instant précédent. Il n’est pas apparu de gain significatif. D’autre part, faire lechoix d’initialiser avec le coût optimal précédent suppose de prendre le risque de ne pas trouverde solution de coût inférieur et de devoir recommencer l’optimisation.

Afin de tenter de répondre à la question “ période d’échantillonnage versus horizon de pré-diction ”, des essais ont été effectués avec :

– Ts = 10 s, Td + Tm = 10 s et N = 6 ;– Ts = 30 s, Td + Tm = 10 s, α = 3(6) et N = 2.

Les résultats sont quasi identiques.Comme nous l’avons observé en section 7.4.1, le modèle de prédiction est de bonne qualité.

Afin de ne pas effectuer de calculs inutiles, on peut n’actualiser le modèle que si le point defonctionnement a suffisamment varié. Dans les tests qui ont été effectués, les performances sontsimilaires en réutilisant le modèle jusqu’à une variation de 75% du point de fonctionnement. Audelà, les performances se dégradent, le modèle doit être recalculé.

(6)Td + Tm est un sous-multiple de Ts, cf. section 6.3, page 77.

Version provisoire

Temps de calcul prop. au nombre de nœuds évalués



Conclusions

Originalité, contributions...Approche hybride pour les réseaux électriques (tension)

Mise en équation systématique, calcul formel pour lalinéarisation

Optimisation mixte par énumération partielle pour lacommande prédictive (classe des systèmes PWA)

... et faiblesses de l’approche proposéeModélisation des charges

Grands systèmes


Conclusions

Originalité, contributions...Approche hybride pour les réseaux électriques (tension)

Mise en équation systématique, calcul formel pour lalinéarisation

Optimisation mixte par énumération partielle pour lacommande prédictive (classe des systèmes PWA)

... et faiblesses de l’approche proposéeModélisation des charges

Grands systèmes


Quelques perspectives

Nouvelles méthodes, nouveaux besoinsMesures synchroniséesDélais de commande acceptablesEstimation en ligne de paramètresOutils de simulation et d’optimisation

Quelques idées pour continuerOptimisation, critèrePrise en compte de moyens de stockageÉvolution vers les grands réseaux (centralisé/décentralisé)

Le mot de la fin





Le mot de la fin





Le mot de la fin



Documents

Approche hybride pour la commande prédictive en … · Modélisation et simulation Principe de la commande prédictive Choix d’un formalisme pour la commande Obtention du modèle