Approches non intrusives des éléments finis stochastiques Application en mécanique non linéaire de la rupture B. Sudret (1), M. Berveiller (1,2), M. Lemaire

Approches non intrusives des éléments finis stochastiques

Application en mécanique non linéaire de la rupture

B. Sudret(1), M. Berveiller(1,2), M. Lemaire(2)

(1) EDF R&D, Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants (MMC)(2) Institut Français de Mécanique Avancée (IFMA/LaMI)Séminaire « Mécanique numérique probabiliste » 19 Janvier 2005

2/27« Mécanique probabiliste

numérique »19 Janvier 2005

• classification des méthodes

• une approche simple : la simulation de Monte Carlo

Sommaire

Propagation des incertitudes en mécanique

Méthode des éléments finis stochastiques• méthode de projection

• méthode des moindres carrés

Application à l’étude de nocivité d’un défaut dans une tuyauterie



• modèle analytique• code aux éléments finis• …

• déplacements• déformations• contraintes• endommagement

• géométrie• propriétés matériaux• chargement

Propagation des incertitudes : principe

Paramètresd’entréeX

Modèle de calcul Réponse XS



Propagation des incertitudes : principe

RéponseParamètresd’entréeX

Modèle de calcul XS

Réponse aléatoire

X S

Variables aléatoires

X()

?déterminé à partir :- d’une analyse statistique- du jugement d’expert- …



Une brève classificationAnalyse de sensibilité

Variabilitéde la réponse

Analyse de fiabilité

Pf

seuil

Probabilité de défaillance

Éléments finis stochastiques

Représentatio

ncomplète

(EFS)

Modèle mécano-

probabiliste

Modes dedéfaillance

(ex: critère de ruine)Modèle mécanique

Matériau

Géométrie

Chargement

Données aléatoires



Simulation de Monte Carlo

Tirage des variables

aléatoires d’entrée (1) ( ), , nx x

Tendance centrale : ( )

1

1ˆ

simNi

Sisim

S xN

2( )2

1

1ˆ ˆ

1

simNi

S Sisim

S xN

Probabilité de défaillance ( )

1

1ˆ 1simN

if Df

isim

P xN

Réponse

( )ixS



Propriétés de la simulation

Avantages• méthode universelle (problèmes statiques, dynamiques, non linéaires)• ne nécessite pas d’implémentation spécifique

Simulation représenter une v.a réponse S par l’ensemble de

ses réalisations S (i)

Remarque

Alternative :• caractériser l’ensemble des moments statistiques• décomposer S() sur une base de l’espace des v.a

Inconvénients• nécessite un gros volume de calcul

~ 102 pour évaluer (, ), 10k+2 pour évaluer Pf = 10-k

• donne un résultat qualitatif de la densité de la réponse

(histogramme)





Sommaire







10

j

Mi ij k k

j

u u

Géométrie

Physiquedu problème

Prop. matériaux

ChargementX

(variables/champsaléatoires)

Discrétisationspatiale

ui = i-ème d.d.l

Discrétisationprobabiliste

1, MX F

v. a. gaussiennescentréesréduites

Chaospolynomial

Coefficients à déterminer

Principe des éléments finis stochastiques



Chaos polynomial- Définition

1i i

1, ,α =

Famille de v.a gaussiennes centrées réduites indépendantes

Séquence d’entiers

1

( )i i

i

H

Polynôme d’Hermite multidimensionnel

Chaos de degré p, d’ordre M : ensemble des polynômes d’Hermite multidimensionnels, de degré <= p basé sur M gaussiennes

Dimension : pM pP C

Exemple : M = 2 , p = 3 : P = 10

2 2

1 2 1 1 2 2

3 2 2 31 1 2 1 1 2 2 2

' 1, , , 1, , 1,

3 , 1 , 1 , 3

s



Méthode de projection

Inconnues du problème

Base orthogonale du chaos polynomial

Réponse(déplacement,déformation,contrainte)

Orthogonalité des j :

Numérateur :

Dénominateur : analytique



Évaluation de l’intégrale

Intégration en M dimensions possible par :

• Méthode de Monte Carlo brute

• Méthode de Monte Carlo accélérée (hypercube latin)

• Quadrature de l’intégrale



Quadrature d’une intégrale simple

Poids d’intégration

Pointsd’intégration

Calculé par la théorie des polynômes orthogonauxpour la fonction poids

1 1 1

1 1 1

... , , , ,

M

M M M

M

j j M

K K

i i i i j i ii i

E S S x x x d x

S X



Quadratures des intégrales multiples

• Requiert KM calculs déterministes à effectuer avec son code préféré

• Possibilité d’utiliser des schémas d’intégration optimisés en grande

dimension (« cubatures » de Smolyak)

1, ,

Mi iX • Nécessite la transformation des variables d’entrée en gaussiennes

centrées réduites

Produit tensoriel de schémas d’intégration uni-dimensionnels

1 1 1

1 1 1

... , , , ,M M M

M

K K

j i i i i j i ii i

E S S X





Sommaire







2

1( ) ( )

11 0

=n P Mi i

j j k ki j

S Y S

Méthode des moindres carrés

Minimiser au sens des moindres carrés l’écart entre solution exacte et approchée sur le chaos polynomial:

Évalué par le code EF

Inconnues sur lesquellesportent la minimisation

Valeurs des j auxpoints de collocation

… conduit à un système linéaire !

Nombre de points de collocation

du plan d’expérience

2( ) ( )

1

=n

i i

i

S Y S



Système linéaire

Notations :

2

1( )( )

1

Minn

T ii T T

i

Y x S S Y

Ψ Ψ Ψ

0 1( ) , , ( )T

P Base du développement

0 1, ,T

PS S S Inconnues

(0) ( ), ,TnY Y Y Réponse exacte pour

( )i

( )iij j Ψ : matrice (n,P) de terme générique



Particularités du système

• Le membre de gauche ne dépend pas du problème posé, mais uniquement les points de collocation choisis et de la taille du chaos

• Le calcul additionnel pour obtenir les coefficients d’une autre variable de sortie se réduit à un produit matrice / vecteur

il peut être inversé une fois pour toutes

• Le système est de taille petite (P~10-100). Par contre il est mal conditionné nécessité d’un solveur adapté

T Ψ Ψ



Choix des points de collocation optimaux

Basé sur les racines des polynômes d’Hermite :

• Si l’on choisit un chaos de degré p (degré maximal des polynômes

de Hermite), on utilise les racines de Hp+1

• On construit tous les M-uplets de ces racines, soient Mp+1

• On choisit parmi ces possibilités n<< Mp+1 points de collocation :

ceux qui sont le plus près de l’origine

Réfs : Webster, Isukapalli

… Études paramétriques en cours (n=2P – 4P)





Sommaire







Application en mécanique de la rupture

Traction (t+f)

a = 15 mm

Pression (P=15.5 MPa)

Critère de défaillance pour l'amorçage du défaut

0,2J JRésistance à la déchirure ductileForce fissurante

Evolution de la probabilité d’amorçage du défaut en fonction de la contrainte de traction

t = 62,5 mm

Ri = 393,5 mm



Maillage du tuyau fissuré

Fissurecirconférentielle



Loi de comportement

0

0

n

E E

Loi de Ramberg - Osgood



Paramètres incertains

Décomposition de J sur le chaos polynomial

1 4

10

P

k k j ji

J J

35 coefficients

34 3P C

Méthode des moindres carrés



Probabilité d’amorçage

0,2ProbfP J J



Probabilité d’amorçage (échelle log)

0,2log log ProbfP J J



Approches non intrusives : - deux méthodes permettant de calculer les coefficientsdu développement à partir d’une batterie de calculs déterministes outil générique probabiliste externe au code

Conclusions

Utilisation du chaos polynomial pour représenter la réponse aléatoire d’un système mécanique

… surface de réponse stochastique

Plan d’expérience (points de collocation / points de quadratures) fourni de facto

Précision des résultats supérieure à l’approche « Galerkin » des EFS

• tendance centrale (moyenne, écart-type)• queues de distribution (probabilité de dépassement de seuil)

Possibilité de distribuer facilement les calculs

Documents

Approches non intrusives des éléments finis stochastiques Application en mécanique non linéaire de la rupture B. Sudret (1), M. Berveiller (1,2), M. Lemaire