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Mod` eles ARCH/GARCH Limites des mod` eles ARIMA et pratique des mod` eles ARCH/GARCH HORMA Boucha¨ ıb & BOUKHNIF Mouhsine 23 f´ evrier 2010 Table des mati` eres 1 Pr´ esentation 2 2 Limites des mod` eles ARIMA 2 3 La mod´ elisation ARCH/GARCH 6 3.1 efinition des mod` eles ARCH ........................... 6 3.2 Propri´ et´ es des mod` eles ARCH ........................... 7 3.3 efinition des mod` eles GARCH .......................... 7 3.4 Propri´ et´ es des mod` eles GARCH .......................... 8 4 Pratique des mod` eles ARCH/GARCH 8 4.1 Application sur le taux de change .......................... 9 4.2 Le mod` ele GARCH (1, 1) .............................. 11 5 Pr´ evision 13 5.1 Pr´ evision des mod` eles GARCH (p, q) ........................ 13 5.2 Pr´ evision du mod` ele GARCH (1, 1) ......................... 14 6 Conclusion 16 1

Arch Garch

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Modeles ARCH/GARCH

Limites des modeles ARIMA et pratique des modeles

ARCH/GARCH

HORMA Bouchaıb & BOUKHNIF Mouhsine

23 fevrier 2010

Table des matieres

1 Presentation 2

2 Limites des modeles ARIMA 2

3 La modelisation ARCH/GARCH 63.1 Definition des modeles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Proprietes des modeles ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Definition des modeles GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Proprietes des modeles GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Pratique des modeles ARCH/GARCH 84.1 Application sur le taux de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Le modele GARCH(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Prevision 135.1 Prevision des modeles GARCH(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Prevision du modele GARCH(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Conclusion 16

1

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1 PRESENTATION 2

1 Presentation

Au niveau du module Methodes de previsions avec Mr K. EL HIMDI, nous nous sommesinteresse le long de ce semestre aux series chronologiques (stationnaires ou non) decrivantdes phenomenes relevant de plusieurs domaines, notamment l’economie et la finance. En ef-fet, ayant comme objectif faire des previsions fiables selon les modeles les plus pertinents, lesmodeles de decomposition de series chronologiques et ceux dits ARIMA (AutoRegressive In-tegrated Moving Average) faisaient alors une partie tres preponderante de notre cours. Pouravoir une vue exhaustive par rapport aux limites et possibilites de developpement des modelesetudies, des etudes de cas ont ete organises par les etudiants sous forme de petits projets.L’etude des modeles (AutoRegressive Conditionnally Hetetoscedastic/ Generalized ARCH)ARCH/GARCH faisait partie de ces projets vue son extreme importance dans la descriptiondes series financieres. L’importance dont nous parlons vient de la capacite de ces modeles aprendre en compte des phenomenes heteroscedastiques, c’est a dire des series a variance variabledans le temps, chose qui etait mal traitee par les modeles ARIMA (dans lesquels on supposeque la variance est constante dans le temps).Ce document traite les modeles ARCH/GARCH, et est structure de maniere a presenter les li-mites des modeles ARIMA, donner les definitions et proprietes des modeles ARCH/GARCH,ensuite voir comment identifier et estimer un modele de la famille ARCH/GARCH. Et enfin,nous verrons l’apport des modeles ARCH/GARCH au niveau des previsions.

2 Limites des modeles ARIMA

Nous allons etudier la serie du taux de change quotidien entre le Dollar US et le DirhamMarocain USD/MAD 1. Notre serie date de 01/09/2004 jusqu’au 12/02/2010, elle comporte1357 observations. Le diagramme sequentiel de cette serie est dans la figure 1 :

Le graphe represente les variations quotidiennes du taux de change entre le Dollar americainet le Dirham marocain USD/MAD, on remarque que generalement le taux de change affichedes variations irregulieres tout en marquant une tendance baissiere depuis debut 2006 jusqu’enmi-2008 (ceci peut etre explique par l’impact de la crise financiere). Cette tendance a connuun reversement, en gagnant des points atteignant des sommets egaux a ceux affiches en debut2006. En 2009 le taux de change a repris son rythme baissier general.

Remarquons notamment que les variations entre observations peuvent parfois etre trop agitespar rapport a d’autres situations ou ces variations sont assez regulieres (ce phenomene va etreexplique dans la suite de cette etude).A partir de l’allure de ce graphe, cette serie n’est pas stationnaire : elle semble presenter, d’unepart une rupture de tendance et d’autre part une volatilite qui varie au cours du temps. Cegraphe sequentiel permet une premiere approche intuitive du phenomene de rupture dans laserie. Il convient de preciser cette intuition en etudiant les correlogrammes de la serie.

1. http ://www.mataf.net/

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2 LIMITES DES MODELES ARIMA 3

Figure 1 – Diagramme sequentiel de la serie du taux de change USD/MAD

Nous allons a ce stade nous interesser aux fonctions d’autocorrelations ACF et d’auto-correlations partielles PACF , pour en tirer des resultats pouvant nous guider a choisir le bonmodele.

Figure 2 – Fonction d’autocorrelations et fonction d’autocorrelations partielles

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2 LIMITES DES MODELES ARIMA 4

La decroissance lente de la fonction d’autocorrelations obtenue ci-dessus met clairement enevidence la non-stationnarite de la serie.Dans l’hypothese ou nous avons affaire a un processus non-stationnaire, nous differencions unepremiere fois, puis nous examinons le correlogramme de la serie differenciee (voir figure 3).

Figure 3 – Diagramme sequentiel de la serie differenciee

Le graphique ainsi obtenu montre l’effet de la differenciation : la serie differenciee ne sembleplus presenter de tendance. Examinerons maintenant les correlogrammes de cette serie (voirfigure 4).

Le graphe de la fonction d’autocorrelations comme celui de la fonction d’autocorrelationspartielles ne presentant pas de pics significatifs aux premiers ordres de decalages, nous pen-serons a une marche aleatoire. Les correlogrammes nous invitent alors a tester l’hypothesede bruit blanc sur la serie differenciee. Revenons maintenant au graphe sequentiel de la seriedifferenciee c’est a dire figure 3 :

Cette figure se caracterise par des variations non constantes au cours du temps. En effet, ilexiste des periodes a faible variation et des periodes a tres grande volatilite (ce qui contredit

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2 LIMITES DES MODELES ARIMA 5

Figure 4 – Fonction d’autocorrelations et fonction d’autocorrelations partielles de la seriedifferenciee

l’hypothese de variance constante des bruits blancs). En outre, cette serie laisse apparaitre unphenomene de memoire, ceci veut dire que si la variance de la serie est importante a un instant� t � alors il y a de fortes chances qu’elle le soit aussi a l’instant qui suit car les momentsde grande variabilite semblent etre regroupes. Toutes ces remarques nous indiquent l’existenced’une heteroscedasticite dans cette serie differenciee, pour s’en convaincre nous allons etudierles proprietes de la serie differenciee et les comparer a ceux d’un bruit blanc (voir figure 5).

La premiere constatation que l’on peut faire est que la serie n’est pas gaussienne, et, en parti-culier, a des queues de distribution trop epaisses (coefficient d’aplatissement �Kurtosis 2 � estegal a 4, 397 qui est superieure a 3). De plus, et comme nous l’avons deja cite la serie eststationnaire, cependant, des periodes de forte volatilite sont observees. Notons aussi que lecoefficient d’asymetrie � Skewness 3 � (etant de l’ordre de −0, 325 n’est pas nulle) ainsi quel’histogramme, affirment tout les deux l’inexistence de symetrie dans cette distribution. Enresume, l’hypothese de bruit blanc est rejetee, ce qui nous emmene alors a penser a d’autresmodelisations de cette serie.

En somme, la modelisation ARIMA s’est montree incapable de modeliser et de prendre enconsideration ce phenomene d’heteroscidasticite. Afin de remedier a cette defaillance Englepropose en 1982 les modeles ARCH (AutoRegressive Conditionally Heteroscedastic) commesolution, puis une generalisation de ces derniers en modeles GARCH ( Generalized ARCH)fut proposee par Bollerslev en 1986. Aujourd’hui la famille des processus ARCH/GARCH

2. Correspond au moment d’ordre 4 standardise, et est egal a 3 dans le cas d’une distribution normale, si ilest superieur a 3 la distribution sera plus aplatie que la normale, et inversement s’il est inferieur a 3

3. Correspond au moment d’ordre 3, et est egal a 0 dans le cas de la loi normale, s’il n’est pas nul alors la loin’est pas symetrique

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3 LA MODELISATION ARCH/GARCH 6

Figure 5 – Histogramme et coefficients de distribution et de dispersion de la serie differenciee

joue un role tres important dans l’analyse et l’etude de series chronologiques notamment lesseries financieres.

Dans la section suivante nous presentons la famille des modeles ARCH/GARCH.

3 La modelisation ARCH/GARCH

L’observation de certaines series chronologiques provenant du monde economique et fi-nancier (taux de change, taux de rendement d’action, indices,...) montre des caracteristiquesspecifiques qui ne sont pas theoriquement prises en compte dans les modelisations ARIMAnotamment celle de Box Jenkins. La premiere caracteristique concernee est le comportementheteroscedastique de la variance (en plus les periodes de grande variabilite sont groupees, tan-dis que les petites variations sont plutot suivies par de petits changements). La deuxiemecaracteristique concerne la distribution probabiliste de la serie (L’apparition de chocs n’est pascompatible avec la loi normale). Alors pour une modelisation plus realiste de ces series, lesmodeles ARCH/GARCH sont les plus utiles.

3.1 Definition des modeles ARCH

Un processus ARCHp est defini par :

Xt = εt

εt|Xt−1, Xt−2... v N (0, σ2t )

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3 LA MODELISATION ARCH/GARCH 7

σ2t = α0 + α1X2t−1 + ...+ αpX

2t−p

La variance conditionnelle depend du temps : si les valeurs precedentes sont grandes (en valeurabsolue), la variance sera grande, et inversement. Ainsi, si on observe un choc dans la serie(valeur anormalement grande), elle sera suivie d’une periode de haute volatilite, dont la dureedepend de l’ordre p du modele ARCH.

Ramarque :La notation ht = α0 + α1X

2t−1 + ...+ αpX

2t−p est souvent utilisee.

3.2 Proprietes des modeles ARCH

Si Xt est un processus ARCH alors :

E[Xt] = 0E[Xt|It−1] = 0 avec It−1 = Xt−1, Xt−2, ...

V (Xt) = α0

1−∑p

i=1 αisi∑p

i=1 αi < 1

V (Xt|It−1) = α0 + α1X2t−1 + ...+ αpX

2t−p

Cov(Xt, Xt+h) = γh = 0 ∀h > 0Cov(Xt, Xt+h|It−1) = 0

Remarque : Un processus ARCH est conditionnellement heteroscedastique mais incondi-tionnellement homoscedastique !

Condition suffisante de stationnarite :∑p

i=1 αi < 1En pratique, la distribution d’un processus ARCH a :

– un skewness non nul (moment centre d’ordre 3) : la distribution est donc asymetrique– un kurtosis (moment centre d’ordre 4) superieur a 3 : la distribution est donc plus aplatie

qu’une gaussienne.

3.3 Definition des modeles GARCH

Un processus GARCHp,q est defini par :

Xt = εt

εt|Xt−1, Xt−2... v N (0, σ2t )

σ2t = α0 + α1X2t−1 + ...+ αpX

2t−p + β1σ

2t−1 + ...+ βqσ

2t−q

avec α0 > 0, αi ≥ 0 ∀i = 1, ..., p et βj ≥ 0 ∀j = 1, ..., q.Un processus GARCH peut etre vu comme un processus ARCH d’ordre infini, et peut ainsirepresenter formellement de facon plus parcimonieuse un processus ARCH comprenant unnombre eleve de parametres.

Ramarque :La notation ht = α0 + α1X

2t−1 + ...+ αpX

2t−p + β1h

2t−1 + ...+ βqh

2t−q est souvent utilisee.

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4 PRATIQUE DES MODELES ARCH/GARCH 8

3.4 Proprietes des modeles GARCH

Si Xt est un processus GARCHp,q alors :

E[Xt] = 0E[Xt|It−1] = 0 avec It−1 = Xt−1, Xt−2, ...

Cov(Xt, Xt+h) = γh = 0 ∀h > 0Cov(Xt, Xt+h|It−1) = 0

Remarque : Un GARCHp,0 est un ARCHp.

Soit Xt un processus GARCHp,q, et soit m = max(p, q). Le processus X2t admet une

representation ARMA(m, q).Un processus GARCH(p, q) est stationnaire si

∑pi=1 αi +

∑qj=1 βj < 1.

Bien entendu, l’absence de correlations n’implique pas que les valeurs Xt d’un processusGARCH soient independantes. En effet, en notant νt = X2

t − σ2t , ce qui peut s’ecrire :

X2t = σ2t + νt

X2t = α0 +

p∑i=1

αiX2t−i +

q∑j=1

βjσ2t−j + νt

Si m = max(p, q), et si on convient que αi = 0 pour i > p et βj = 0 pour j > q alors cettederniere expression s’ecrit de la maniere suivante :

X2t = α0 +

m∑i=1

(αi + βi − βi)X2t−i +

q∑j=1

βjσ2t−j + νt

X2t = α0 +

m∑i=1

(αi + βi)X2t−i +

q∑j=1

βj(σ2t−j −X2

t−j) + νt

X2t = α0 +

m∑i=1

(αi + βi)X2t−i −

q∑j=1

βjνt−j + νt

En consequence de cette derniere presentation, X2t est ARMA(m, q), et νt est un processus

innovation. Ainsi pour identifier un GARCHp,q, nous identifierons tout d’abord le processusARMA(m, q) qui modelise X2

t . Pour identifier p dans le cas ou m = q ou (p ≤ q), il fauteffectuer des tests de significativite des coefficients αq, ..., α1 du modele ARMA(m, q).

4 Pratique des modeles ARCH/GARCH

La theorie des modeles ARCH/GARCH, a ete appliquee aux erreurs d’une regressionlineaire ou a un processus d’innovation d’un modele ARMA. Dans le premier cas, le modele

Page 9: Arch Garch

4 PRATIQUE DES MODELES ARCH/GARCH 9

consiste a considerer un modele de regression lineaire avec erreurs GARCH :{Yt = aXt + εtεt v GARCHp,q

Ce modele est appele modele de regression avec erreurs GARCH. Dans le deuxieme cas, lemodele consiste en un processus ARMA avec un processus d’innovations GARCH :{

φ(B)Xt = Θ(B)εtεt v GARCHp,q

Ce modele est appele modele ARMA-GARCH.

4.1 Application sur le taux de change

En prenant en compte les resultats elabores precedemment dans le cadre de l’etude de notreserie USD/MAD. L’existence d’un lien fort entre ce qui est annonce dans la derniere definitionet ce qui a ete constate au niveau des residus semble coherent.Nous pensons avoir affaire a une serie de modele ARIMA(0, 1, 0) avec un residu qui n’est pasun bruit blanc. Alors pour detecter les effets ARCH/GARCH, qui peuvent eventuellementaffecter ces residus, nous utiliserons le langage � R �.

Figure 6 – Diagramme sequentiel de la serie differenciee

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4 PRATIQUE DES MODELES ARCH/GARCH 10

Analytiquement notre modele s’ecrit : (1 − B)Xt = εt ou Xt represente le taux de changeUSD/MAD et εt represente l’erreur.La figure 6 qui represente les residus εt, montre en effet, les symptomes d’un processus GARCH.Pour confirmer cette intuition, nous effectuerons le test de Jarque Bera ou Multiplicateur deLagrange 4 pour tester l’hypothese H0 : les X2

t sont independants contre H1 : les Xt peuventetre correles (Xt peut suivre un GARCH).Le resultat de JB est 134, 236 et la p − value < 2.2e − 16 pratiquement nulle d’ou le rejet deH0. La presence d’effets GARCH est ainsi confirmee.

Nous pouvons discuter la modelisation de ε2t depuis la figure 7 qui montre l’ACF et PACFde la serie differenciee elevee au carre.

Figure 7 – ACF et PACF de la serie differenciee au carre

Nous proposons deux modeles candidats pour modeliser ε2t :– ARMA(2, 0) correspondant a un ARCH(2).– ARMA(2, 2) correspondant a un GARCH(2, 2).

4. C’est un test d’hypothese qui cherche a determiner si des donnees suivent une loi normale. On a :H0 : les donnees suivent une loi normale Vs H1 : les donnees ne suivent pas une loi normale :

avec JB = n−k6

(S2 + (K−3)2

4) v χ2 a deux degres de liberte

– n = Nombre d’observations– k = Nombre de variables explicatives si les donnees proviennent des residus d’une regression lineaire.

Sinon, k = 0.– S = Coefficient d’asymetrie : Moment d’ordre 3 d’une variable centree-reduite– K = Kurtosis : Moment d’ordre 4 d’une variable centree-reduite.

Une loi normale a un coefficient d’asymetrie = 0 et une kurtosis = 3. On saisit alors que si les donneessuivent une loi normale, le test s’approche alors de 0 et on accepte (ne rejette pas) H0 au seuil α.

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4 PRATIQUE DES MODELES ARCH/GARCH 11

Analytiquement on a :– Si εt est un ARCH(2) alors σ2t = α0 + α1ε

2t−1 + α2ε

2t−2.

– Si εt est un GARCH(2, 2) alors σ2t = α0 + α1ε2t−1 + α2ε

2t−2 + β1σ

2t−1 + β2σ

2t−2

Le langage R nous propose comme modele GARCH(1, 1), nous allons alors faire une com-paraison des trois modeles en se basant sur le critere AIC ; pour plus de visibilite nous allonscreer une matrice des AIC de neuf modeles GARCH a l’aide du programme R ci-dessous, touten admettant que AIC(garch(2, 0)) vaut −4585, 682.Le programme R associe est le suivant :

Figure 8 – Programme R pour la matrice de comparaison selon les AIC

Figure 9 – AIC des neuf modeles

La comparaison de ces resultats nous indique le modele GARCH(1, 1) comme meilleurmodele pour representer les residus εt. En effet, ce modele GARCH(1, 1), est sans doute lemodele de la famille GARCH le plus approprie pour decrire les series financieres. Ce qui re-joints les etudes faites par plusieurs chercheurs du domaine. Nous detaillerons alors ce dernierdans le paragraphe suivant.

4.2 Le modele GARCH(1, 1)

Le modele decrivant notre serie s’ecrit de la facon suivante :

Xt = Xt−1 + εt

avec εt un GARCH(1, 1) c’est a dire :

ε2t = α0 + α1ε2t−1 + β1ht−1 + νt

ou νt est une pure innovation gaussienne, et σ2εt = α0 + α1ε2t−1 + β1σ

2εt−1

ou bien ht = α0 + α1ε2t−1 + β1ht−1

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4 PRATIQUE DES MODELES ARCH/GARCH 12

Estimation des parametres :Compte tenu du caractere non lineaire des modeles GARCH, les parametres de notre modele

GARCH(1, 1) sont estimes par la methode du maximum du vraisemblance.Nous allons etablir cette estimation par le biais des commandes R suivantes :

Creation du modele : g = garch(diff(USD MAD), order = c(1, 1))

Visualisation des parametres : summary(g)

Figure 10 – Resultat de l’estimation

Ainsi notre modele s’enonce explicitement de la maniere suivante :

Xt = Xt−1 + εt

ε2t = 4, 864e−06 + 3, 129e−02ε2t−1 + 9, 666e−01ht−1 + νt

σ2εt = 4, 864e−06 + 3, 129e−02ε2t−1 + 9, 666e−01σ2εt−1

Les parametres obtenus sont positifs et verifient la condition de stationnarite α1 + β1 < 1Les resultats elabores par R sont affiches dans la figure 11.

Commentaires des resultats :L’examen de la figure 11, semble bien soulageant en termes de leptokurticite 5 puisque la

distribution des erreurs est plus symetrique par rapport a ce qui a ete constate au niveaude la modelisation ARIMA (voir figure 5). L’ACF du carre des residus de la modelisationGARCH n’affiche pas de correlations. Cela dit, la normalite des residus de la modelisationGARCH n’est pas totalement assuree. Cette derniere constatation est un peu inquietante dansla mesure ou un des objectifs ultimes d’introduction des modeles GARCH est justement lareduction, eventuellement l’elimination des effets anormaux de la distribution.

5. Phenomene d’epaisseur des queues de la distribution par rapport a une distribution gaussienne

Page 13: Arch Garch

5 PREVISION 13

Figure 11 – Resultat de la modelisation GARCH des residus

5 Prevision

5.1 Prevision des modeles GARCH(p, q)

Partant du processus ARMA(r, s)−GARCH(p, q), nous avons : φ(B)Xt = Θ(B)εtavec εt v GARCH(p, q). Supposant que l’on observe cette serie jusqu’a la date t. La previsiona l’instant t d’horizon h s’ecrit comme l’esperance conditionnellement a l’information It dispo-nible a la date t de la formule suivante :

Xt+h =r∑i=1

φiXt+h−i +s∑j=1

θjεt+h−j + εt+h

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5 PREVISION 14

qui donne

Xt+h = E(Xt+h|It) =r∑i=1

φiE(Xt+h−i|It) +s∑j=1

θjE(εt+h−j |It)

puisque E(εt+h|It) = 0.

Jusqu’a present, la prevision est formellement identique a celle des processus ARIMA avecdes erreurs presentes par des innovations.

En effet, la presence des effets GARCH au niveau des residus affecte juste les intervalles deconfiance puisque l’erreur de prevision varie en fonction des variances heteroscedastiques.Dans le chapitre 6 du cours de Methodes de prevision de Mr K. EL HIMDI, nous sommesconvenu que l’erreur de prevision pour un horizon h s’ecrit comme suit :

et(h) = Xt+h − Xt(h) = εt+h + ψ1εt+h−1 + ψ2εt+h−2 + ...+ ψh−1εt+1

V ar[et(h)] = σ2ε (1 + ψ21 + ψ2

2 + ...+ ψ2h−1)

Cependant, le probleme avec cette formulation est que la qualite de la prevision (que mesurela variance conditionnelle de l’erreur) est independante de la date t a laquelle est realisee laprevision.

5.2 Prevision du modele GARCH(1, 1)

Regardons maintenant l’erreur de prevision dans le cas ou l’erreur suit un modele GARCH :Puisque l’erreur des previsions pour un horizon h dependent des innovations futures, nousconcluons que la variation de l’erreur de prevision est fonction des variations de ces innovationscompte tenu du caractere heteroscedastique de ces dernieres.

V ar(et(h)) = V ar(εt+h) + ψ21V ar(εt+h−1) + ψ2

2V ar(εt+h−2) + ...+ ψ2h−1V ar(εt+1)

Les variances des erreurs n’etant pas les memes, l’exercice devient plus complexe que dans lecas des erreurs conditionnellement homoscedastiques.

Nous savons que :

V ar(εt+1) = E(ε2t+1|It) = ht+1 = α0 + α1ε2t + β1ht

On peut montrer par recurrence que :

E(ε2t+h|It) = α0[1 + (α1 + β1) + ...+ (α1 + β1)h−1] + (α1 + β1)

h−1(α1ε2t + β1ht)

qui converge vers α01−(α1+β1)

quand h tend vers l’infini.

En somme, la modelisation des erreurs par des modeles GARCH, ne change en rien lesprevisions. Par contre, les intervalles de confiance vont changer au fur et a mesure de la volatilitedes erreurs changent dans le temps.

Page 15: Arch Garch

5 PREVISION 15

Prevision GARCH sous R: Pour prevoir les variances des residus GARCH, nous allons, au debut, creer notre modeleGARCH issu de la serie differenciee avec les parametres p = 1 et q = 1, en se servant de lacommande R suivante :

– fit = garchFit(formula = garch(1, 1), data = diff USD MAD, trace = FALSE)Pour etablir des previsions sur un horizon de dix periodes nous allons nous servir de lacommande predict() :

– prevision = predict(fit, n.ahead = 10, trace = FALSE)Cette derniere commande nous produit les resultats de la figure 12 :

Figure 12 – Resultat de la prevision d’horizon 10 du modele GARCH des residus

Dans cette figure (figure 12) meanForecast correspond a la valeur predite de l’erreur ou dela serie differenciee (Xt+1 −Xt), avec un intervalle de confiance egal a[meanForecast±2∗standardDeviation]. En d’autres termes, l’intervalle de confiance de Xt(1)est [Xt +meanForecast± 2 ∗ standardDeviation1].Nous allons alors effectuer les operations necessaires pour construire les intervalles de confiancesur un horizon de 5 jours, sachant que notre prevision pour ces 5 jours est l’observation du12/02/2010 qui etait de 8.2446 Dh le Dollar USD. Voir figure 12 et figure 13.

Figure 13 – Tableau des operations pour construire les intervalles de confiance d’horizon 5jours

Page 16: Arch Garch

6 CONCLUSION 16

Figure 14 – Resultats de la prevision et des intervalles de confiance d’horizon 5 de notremodele

6 Conclusion

En Resume, face a la modelisationARIMA qui ne prend pas en consideration les phenomenesd’heteroscedasticite et de non normalite des residus, la modelisation ARCH/GARCH s’estmontree la plus efficace en matiere de description des series temporelles affectees par ces deuxphenomenes, notamment les series financieres dans lesquelles l’effet de memoire joue un rolephare. Ainsi, dans les marches financiers ou l’information est l’element clef de toutes les tran-sactions, la modelisation ARCH/GARCH s’est bien imposee par rapport a tous les autresmodeles.Neanmoins, les residus de la modelisationARCH/GARCH souffrent parfois de quelques defautsdont la non normalite qui peut etre du a plusieurs origines, a savoir la distribution non gaus-sienne des residus (parfois de Student qui est aussi caracterise par le phenomene de leptokur-ticite). Ajoutons aussi que souvent les modeles GARCH sont a la limite de la stationnarite(noter toutefois que dans notre cas la somme α1 + β1 ≈ 1).Cela dit, plusieurs travaux dans le sens d’ameliorer ces defauts ont abouti a des extensions deces modeles a titre d’exemple on citera : IGARCH, EGARCH, M GARCH, TARCH,...

Page 17: Arch Garch

6 CONCLUSION 17

Annexe :Ci-dessous sont les differentes commandes R utilisees le long de cette etude :

> library(”quadprog”)

> library(”tseries”)

> library(”xlsReadWrite”)

> library(”timeDate”)

> library(”timeSeries”)

> library(”fBasics”)

> library(”MASS”)

> library(fGarch)

> library(”foreign”)

> Xt = read.spss(”USD MAD.sav”, use.value.labels = TRUE, to.data.frame = TRUE)

> Xt = ts(Xt)

> diff Xt = diff(Xt)

> acf(diff Xt)

> pacf(diff Xt)

> JarqueberaTest(diff Xt)

> fit = garchFit(formula =v garch(1, 1), data = diff Xt, trace = FALSE)

> summary(fit)

> plot(fit)

> predict(fit, 5)

References :

1. La modelisation ARCH, cours confie par Mr K. EL HIMDI.

2. Atelier - Series Chronologiques ; modele ARCH − GARCH, cours confie par Mr K. ELHIMDI.

3. http ://www.stat.ucl.ac.be/cours/stat2170/, site du cours STAT2170 : Series chronolo-giques de l’Institut de Statistique - Universite Catholique de Louvain.

4. http ://math.univ-lille1.fr/ jacques/, site de Julien JACQUES professeur de Series Chro-nologiques et maitre de conferences a Polytech′Lille.

5. http ://www.r-project.org/, site du projet R.

6. http ://www.emse.fr/ roustant/enseignement.html, site d’Olivier Roustant professeur al’Ecole Nationale Superieure des Mines Saint-Etienne.