C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie II b, p. 257-262, 1998 Solides, fluides : propriMs mkaniques et thermiques/So/ids, fluids: mechanical and thermal properties

Arriit d’un koulement granulaire sur une pente faible Thomas BOUTRJWX, Pierre-Gilles de GENNES

Colkge de France, 11, place M.-Berthelot, 75231 Paris cedex 05, France

(Resu le 6 novembre 1997, accept& le 8 janvier 1998)

R&urn&. Une a&e de sable, de pentes initiales +oi (infkieures 5 l’angle de repos 8,) est alimentke au sommet pa.r une source de dkbit 2Q, 5 partir d’un instant initial t = 0. Nous discutons ici le profil reali& au temps t au moyen des equations de Bouchaud et al. II devrait se dhelopper une a&e plus aigu& (de pentes proches de 0,) sur une demi-largeur horizontale x, = ( 2Dt)“*. Le coefficient de diffusion apparent D est D = Q/( 8, - ei). 0 Acad&mie des SciencesIElsevier, Paris

matkiaux granulaires / avalancties / bcoulements de surface I erosion / skdimentation

Stop flow of a granular material on a weak slope

Abstract. A ridge of sand, with initial angles f Bi (smaller than the angle of repose 0,) is fed by a source of$ux 2Q. We discuss here the theoretical profile achieved after a time t, using the equations of Bouchaud et al. in their original form, and also in a mod$ed form

which might apply for strong Bows. The result is a central heap, steeper than the original ridge, of slope close to 0,. The horizontal span is predicted to be x, = (2Dt)“*, with an apparent d$ksion coefilrient D = Q/( 0, - 0;). 0 Acade’mie des Sciences/Elseviec Paris

granular materials / avalanches / surface jlows / erosion / sedimentation

1. Description du problkme

Les koulements superficiels de mattkiaux granulaires sont importants mais complexes [ 11. Une approche fkonde a &6 proposCe [2] : elle repose sur la skparation du matCriau en deux catkgories : les grains fixes, avec un profil h( x, t) (dans un exemple bidimensionnel) ; et les grains mobiles, avec une densitt locale R( X, t ). La pente locale est tan f? G 8. (On ktudie, pour simplifier, des situations

Note prCsent& par Pierre-Gilles de GENNES.

1251-8069/98/03260257 0 Acadhie des Sciences/Elsevier, Paris 257

T. Boutreux, P.-G. de Cennes

a 19 c; 1). Les equations couplees de Bouchaud, Cates, Ravi-Prakash et Edwards (G equations BCRE >>), pour une pente dhldx = - 8, descendante vers x > 0, ont la forme :

$=yR(B,-8)

dR at= -vg+yR(B-0,)

Elles ne sont strictement valides que pour R < < v/y = d (d est une longueur comparable au diametre des grains). Nous avons ttudie jadis, au moyen des equations (1) et (2), quelques probkmes simples [3,4], et notamment E’alimentation d’un silo (bidimensionnel) depuis une source centrale : en regime permanent (figure la), la pente locale est voisine de B,, et la densite d’especes roulantes R varie lineairement du bord (R = 0) au centre (R = R,).

4

/ / / /

/ / /

/ / /

/ / /

/ /

/ I / /

* / X=0 x /

b)

Figure 1. Alimentation d’un silo bidimensionnel. (a) En rkgime permanent, l’ensemble du profil monte B vitesse constante, et I’angle est proche de l’angle de repos. (b) En rkgime transitoire, si l’angle initial Bi est infkieur B 8, il se

dkveloppe une a&e dont la hauteur ho croh comme t1’2.

Figure 1. Feeding a 2-dimensional silo. (a) In the steady state, the profile rises uniformly, and the slope is close to the angle of repose 0, (b) Transient regimes can exist, with an inirial slope 8, < 0,. A ridge grows with height as t”‘.

Nous voulons Ctudier ici des regimes transitoires, oti l’on part d’un &at initial avec des pentes plus faibles Bi = 8, - 6,, (figure Ib). On pressent que l’ecoulement doit s’arreter B une distance finie de l’arete centrale. Par exemple, si la pente locale est 0, - 6 (avec 6 > 0), et que le regime est stationnaire ( aRl& = 0), on attend, d’apres l’equation (2), que l’espece roulante decroisse exponentiellement R G R, exp( -x/c ), avec :

c = d/6 (3)

Mais il faut ici arriver B une description autoconsistante de c et 6. Dans la section 2, nous y parvenons par une methode purement qualitative, mais qui Cclaire le probleme. Dans la section 3, nous prtsentons une solution plus complete, valable lorsque les Cchelles spatiales x sont tres grandes par rapport a d.

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ArrCt d’un ecoulement granulaire sur une pente faible

Cette discussion, fondle sur les equations (1) et (2), reste toutefois limitee aux debits faibles (R < 6). Dans la limite opposee (R > d), nous proposons une forme amendee des equations BCRE, et nous en tirons des lois d’etalement un peu differentes.

2. Argument simple

Supposons, comme sur la jigure lb, que la zone perturbke a une pente constante 6, - 6, et s’etend jusqu’a une distance x,(t) a determiner. La hauteur au centre est augmentee de h,(t). En analogie avec l’equation (3), nous ecrivons :

x, = d/6 (4)

Par ailleurs, nous avons accumule a l’instant t, une quantite de mat&e correspondant a l’aire hachuree. Cela est une fraction finie de la quantite inject&e (Qt sur un versant, 2Qt au total). 11 sera commode de poser Q = vRo, R,, representant la densite d’espbces roulantes en haut d’un versant. Nous avons done :

;h,x,,,= R,vt (5)

Enfin, h, et x, sont relies par :

En combinant les equations (4)-(6), on arrive a :

$(S,-8)=2R,vt

Les temps t sont tres grands par rapport au temps microscopique y-l. 11 en resulte que 6 doit Ctre petit : 6 < < JO. Alors (7) se simplifie et donne :

112 d

=zz

avec :

x,=vmi (9)

&y+ 0 0

(10)

Enfin la surelevation de l’arete est :

ho = do V?i% (11)

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T. Boutreux, P.-G. de Gennes

Le coefficient D a la dimension d’un coefficient de diffusion. Mais il n’y a pas de processus de diffusion dans le phtnomene physique !

3. Structure des profils

On peut construire, pour x . > 0, une solution en utilisant la variable reduite u = X/V’?%, sous la forme :

(12)

R=R,e@) (P(0) =O) (13)

Dans l’kquation (2) on peut alors negliger le terme dR/dt vis-a-vis du terme v tlR/&x : le rapport de ces deux termes est -x, lvt - ( y& )-“2 < < 1. Cela conduit a :

Par ailleurs, le profil est de la forme :

idz+t?,x=h&)+ adx s

d’oti :

al; dho d dP dt=dt+?%

(14)

(15)

(16)

Le 2e terme du membre de droite de l’equation (16) est d’ordre dlt, et s’avbrera petit devant le premier terme : ici encore le rapport est - ( rrao ) l”.

En le negligeant, on arrive a :

d’oti :

dP due

p(u) _ mdha --vR,dt

(17)

(18)

On arrive a :

(19)

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ArrCt d’un kcoulement granulaire sur une pente faible

oti U, est une constante a determiner. La solution est :

R=R,e’=R,( 1-t)

Les equations (18) et (19) impliquent Cgalement :

Si l’on revient B l’equation (14), on trouve finalement :

g,dA- vmi4n--

(20)

(21)

(22)

solution valable, sauf dans une region tres petite pres du front (u + u,) oti 6 est borne par 8,. Des singular&% de ce genre ont deja CtC rencontrees dans les problemes de silo. On determine la constante U, a partir de l’equation (15), en imposant la condition h( x,,, t ) = - 0, x,,,. 11 s’adre que

le terme s

6 do est une correction d’ordre d, done negligeable, et le resultat est simplement

u, = 1, i.e. x, = VBZ. On retrouve alors les formules (9)-( 11) avec exactement les coefficients cites.

4. Extension aux bcoulements forts

L’erosion d&rite par l’kquation (1) n’est lineaire en R que pour R < d. Pour R > d, l’hypothese la plus simple consiste a postuler que la vitesse d’erosion devient independante de R :

aR= at -vg+v(e-0,) (2’)

La longueur d’attenuation c est alors modifiee :

c+R,f6 (3’)

En ecrivant de nouveau x,,, N c( S ), on arrive a des lois d’echelle inchangees pour x, et h [equations (9), (ll)], mais la structure de l’angle 6(t) est un peu differente de l’equation (8). Dans (8), 6(t) Ctait dejti sensible au debit :

(23)

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T. Boutreux, P.-G. de Cennes

5. Conclusions

Les lois de croissance en V? que now proposons, devraient pouvoir Ctre verifiees par des experiences simples. Dans les regimes de debit faible (R, < 6), elles fourniraient un test des equations BCRE. Dans les regimes de debit fort, elles peuvent suggerer des descriptions plus fines que celles de l’equation (1’).

Insistons encore sur le fait que les lois en d ne sont pas associees a une vraie diffusion : mais plut6t au remplissage d’une aire (l’aire hachuree de lajgure Ib) qui cro?t lintairement avec le temps, en gardant des angles (6, - 6 -6,) independants du temps.

On le voit bien, si l’on passe a une geometric tridimensionnelle, oti le tas est aliment6 a partir de son sommet, avec un debit total Q ; la zone centrale a un rayon r et une surelevation ha, soit un volume :

Qr=;h,?

Ici encore, on attend h, = r( 6, - S) 3 rSO, d’ou :

“S$ 0

(24)

(25)

et les dimensions croissent maintenant comme r1’3. Dans la geometric bidimensionnelle Ctudite dans cette note, la solution trouvee [equations (20), (21)]

est similaire aux resultats calculCs jadis [3] pour le remplissage en regime permanent d’un silo bidimensionnel qui aurait une largeur constante, Cgale a x,,,. Les equations (20) et (21) representent une solution quasi-stutique, x,, variant lentement dans le temps, et R et B &ant toujours a << l’equilibre >x, Cgaux a la valeur qu’ils auraient si x, Ctait constant.

RCfkences bibliographiques

[l] Duran .I., Sabies, poudres et grains, Eyrolles, Paris, 1997, 248 p. [2] Bouchaud J.P., Cates M., Ravi-Prakash J., Edwards S.F., J. Phys. (France) 4 (1994) 1383-1410. [3] de Gennes PG., C. R. Acad. Sci. Paris s&e II, 321 (1995) 501-506. [4] de Gennes PG., Behringer R., Jenkins J. (Eds), in: Powders and grains, A.A. Balkema, Rotterdam, 1997, p, 3.

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