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Asservissement systèmes linéaires continus 1 / 38
ASSERVISSEMENT : SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS
-I- ELEMENTS FONDAMENTAUX ....................................................................................................................................................................... 1
-I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS ..................................................................................................................................................... 1
-I-2- LES SYSTEMES CONTINUS ........................................................................................................................................................................................ 3
-I-3- MODELISATION DES SYSTEMES.............................................................................................................................................................................. 4
-II- TRANSFORMATION DE LAPLACE ................................................................................................................................................................ 6
-II-1- GENERALITES ET DEFINITION ................................................................................................................................................................................ 6
-II-2- ELEMENTS SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE .............................................................................................................................................. 7
-II-2- LA TRANSFORMEE INVERSE ................................................................................................................................................................................. 10
-III- FONCTION DE TRANSFERT ET SCHEMA FONCTIONNEL .................................................................................................................... 11
-III-1- REPONSE D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................................................... 11
-III-2- FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................... 12
-III-3- SCHEMA FONCTIONNEL ....................................................................................................................................................................................... 14
-IV- ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU 1ER ET DU 2EME ORDRE .................................................................................................... 16
-IV-1- SYSTEME DU 1er ORDRE ....................................................................................................................................................................................... 16
-IV-2- SYSTEME DU 2ème ORDRE ..................................................................................................................................................................................... 18
-IV-3- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR DE SA REPONSE INDICIELLE ................................................................................................ 22
-IV-4- PRECISION ET RAPIDITE D'UN SYSTEME .......................................................................................................................................................... 23
-V- ANALYSE HARMONIQUE DES SYSTEMES DU 1ER ET DU 2EME ORDRE ............................................................................................. 25
-V-1- FONCTION DE TRANSFERT ISOCHRONE: ........................................................................................................................................................... 25
-V-2- REPONSE FREQUENTIELLE : ................................................................................................................................................................................. 26
-V-3- SYSTEME DU 1er ORDRE ......................................................................................................................................................................................... 27
-V-4- SYSTEME DU 2ème ORDRE DE CLASSE 0 ............................................................................................................................................................. 29
-V-5- SYSTEME COMPORTANT UN INTEGRATEUR .................................................................................................................................................... 36
-V-6- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR D’UNE REPONSE FREQUENTIELLE ...................................................................................... 36
-I- ELEMENTS FONDAMENTAUX
-I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS
-I-1-1- Introduction
L'origine industrielle de l'automatique explique que ses domaines d'application soient
historiquement mécaniques et électromécaniques. Cependant, l'ensemble des théories et des
techniques de raisonnement développées en automatique en fait une science indépendante de tout
domaine d'application. On fait appel à l'automatique chaque fois que se pose le problème de la
commande d'un système pour lequel on cherche à atteindre de bonnes performances en
termes de temps de réponse, de précision et de stabilité.
Commande des systèmes automatiques: il existe trois grands types de commande:
- systèmes combinatoires: la sortie dépend uniquement de l'état des paramètres
d'entrée. Exemple: distributeur de boissons.
- systèmes séquentiels: la sortie dépend non seulement de l'état des paramètres
d'entrée mais aussi de l'état actuel de la sortie. Exemple: portail automatique
- systèmes asservis: maintien d'un paramètre à une certaine valeur (régulation) ou
suivi d'une loi d'évolution (mémorisée ou non). Exemples: pilote automatique.
-I-1-2- Définitions : Un système asservi est un système qui:
- traite des grandeurs continues sur sa partie opérative.
- est commandé à partir de signaux continus (analogiques) ou numériques.
- reçoit un retour de l'état des grandeurs de sortie,
⇒ Un système est asservi si la commande est
en boucle fermée.
La représentation symbolique est la suivante:
( appelé diagramme fonctionnel du système
asservi )
Chaîne
directe
Chaîne de
retour
S(p)E(p)
r(p)
ε_+
La chaîne directe comporte généralement:
- les organes de puissance (moteur ,charge , et alimentation par exemple)
- les dispositifs de commande (électronique de contrôle d'une alimentation par exemple)
Asservissement systèmes linéaires continus 2 / 38
La chaîne de retour renvoie vers l'entrée une image fidèle de la grandeur de sortie. Elle comporte
un capteur qui transforme la grandeur de sortie en un signal susceptible d’être mesuré (capteur de
position , dynamo tachymétrique,...)
Le comparateur permet d'obtenir `εεεε` grandeur d'entrée de la chaîne directe à partir du signal
d'entrée E et du signal de retour r par différence entre E et r . Cette opération provoque une réaction
négative de la sortie sur l'entrée.(on peut néanmoins obtenir une réaction positive avec certains
montages)
-I-1-3- Intérêt des systèmes asservis
Les actionneurs de la chaîne directe agissent sur la charge mais des perturbations extérieures
peuvent apparaître :
- la charge peut varier
- la chaîne elle-même peut évoluer sous l'influence de facteurs extérieurs.
Un système asservi doit pouvoir réagir à une perturbation de façon telle qu'une variation de la
grandeur de sortie S soit contrôlée en permanence en mesurant l'entrée de la chaîne directe :
εεεε = E - r
Propriétés des systèmes étudiés dans ce cours :
- système monovariable : il ne possède qu'une seule entrée et une seule sortie.
- système déterministe : pour une évolution donnée de l'entrée x(t), il n'existe qu'une
évolution possible de la sortie y(t).
- système continu : la fonction F est une fonction continue du temps t.
- système linéaire : pour toute entrée x1(t) et x2(t) ∀ ∈ℜλ λ1 2, ,
F(λ1x1(t) + λ2x2(t)) = λ1F(x1(t)) + λ2F(x2(t))
- système causal : la valeur de sa sortie y(t0) à un instant t0 ne dépend pas des valeurs de
son entrée x(t) pour t > t0. Ceci revient à dire que la valeur de la sortie ne peut
dépendre des évolutions futures de l'entrée. Cette propriété est toujours vérifiée pour
les systèmes physiques.
- système stationnaire (ou système invariant) est tel que ses caractéristiques ne changent
pas dans le temps (F est une fonction indépendante du temps).
Ces propriétés nous permettent de préciser la classe des systèmes sur lesquels pourront être
appliquées les méthodes que nous allons développer. Cependant, des systèmes ne vérifiant pas l'une
ou l'autre de ces propriétés pourront tout de même être étudiés grâce à ces méthodes.
-I-1-4- Classification des systèmes asservis
On distingue 2 classes de systèmes:
- les systèmes régulateurs: systèmes qui fonctionnent à entrée constante et maintiennent la
sortie constante malgrès les perturbations.
Exemples: régulation de température ,de débit , de vitesse,...la grandeur d'entrée est appelée
consigne.
les perturbations qui affectent le système sont considérées comme entrées principales.
- les systèmes suiveurs: systèmes qui maintiennent l'égalité entre le signal d'entrée et le
signal de sortie ils maintiennent une erreur nulle pour toutes variations du signal de
consigne.
Exemples: asservissement de position d'une antenne radar , asservissement de position et de
vitesse d'une commande numérique.
D'une façon générale , on distinguera les systèmes continus (linéaires ou non linéaires) et les
systèmes échantillonnés ( ou discrétisés). Ce cours est limité à la résolution des systèmes continus
linéaires.
-I-1-5- Performance des systèmes:
Les critères de performance d'un asservissement sont précision , rapidité , stabilité.
O
t
e
s
Stabilité : un système est
stable si pour une valeur
d’entrée constante la sortie
tend vers une constante.
A gauche un système stable
A droite un système instable
O t
e
s
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O t
e
s
Rapidité: un système a une
rapidité satisfaisante s’il se
stabilise à son niveau constant
dans un temps jugé satisfaisant.
A gauche un système rapide
A droite un système lent O t
e
s
perturbation
t
e
s0
Précision: un système est
précis si la sortie suis
l’entrée en toutes
circonstance.
A gauche perturbation
A droite erreur de traînage
t
e s0
-I-2- LES SYSTEMES CONTINUS
-I-2-1- Définition:
Un système est continu si E et S sont des grandeurs analogiques. (numériques pour les systèmes
échantillonnés)
Remarque: le développement des commandes par microprocesseurs fait que les systèmes
échantillonnés ont tendance à devenir prépondérants.
-I-2-2- Linéarité:
Un système est linéaire si les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie s'expriment sous la
forme d'équations différentielles linéaires à coefficients constants. Si la grandeur d'entrée est u = e et
la grandeur de sortie est y = s , un système continu linéaire se traduit par: ∑∑==
=m
q
q
q
n
p
p
p ubya0
)(
0
)(où
y(p)
est la dérivée pième
de y par rapport au temps.
Un système est linéaire lorsque la caractéristique d'entrée-sortie en régime permanent est linéaire
pour toute valeur de l'amplitude d'entrée : s = K e
-I-2-3- Causes de non Linéarité:
En réalité , aucune caractéristique n'est parfaitement linéaire. Citons simplement quelques causes de
non linéarité:
Courbure :
e
s
Saturation :
e
s +s max
-smax
émergence à amplitude élevée de nouveaux
phénomènes
- subie (saturation d’un transistor , butée
mécanique)
- provoquée pour éviter la dégradation d’un
composant
Seuil :
e
s
+emini
-emini
Hystérésis :
e
s
+h/2
-h/2
- dû à des pertes de mouvement
mécaniques ( jeux , fuites )
- provoquée pour éliminer des bruits de
fond.
Dû aux frottements internes ou aux
phénomènes électromagnétiques
Asservissement systèmes linéaires continus 4 / 38
-I-3- MODELISATION DES SYSTEMES
L'approche d'un système qui consiste à l'isoler et à en identifier les entrées et sorties est typique
de la démarche de l'automaticien. Son but est de déterminer le signal de commande optimal à
appliquer au système qui permet d'atteindre les objectifs fixés pour la sortie. Pour cela, il est
nécessaire de connaître le comportement du système. Plusieurs démarches sont possibles,
l'automaticien peut détailler le comportement interne du système en traduisant, sous forme
d'équations, les différents phénomènes physiques mis en jeu. II peut aussi soumettre le système à un
signal d'entrée connu et analyser sa sortie. Quelle que soit la démarche utilisée, il obtiendra un
modèle mathématique qui lui permettra de prévoir l'évolution du système soumis à une entrée
quelconque. Cette phase de modélisation est souvent délicate à réaliser car le modèle doit être
suffisamment précis pour refléter correctement le comportement du système mais il ne doit pas être
trop complexe car sinon il deviendrait inexploitable. Construire un modèle c'est faire des compromis.
-I-3-1- Modèle mathématique d'un système.
Nous nous limitons, dans ce qui suit , à l'étude des systèmes monovariable dont le comportement
est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
Dans l'introduction, nous avons vu que la
représentation de tels systèmes se fait en
utilisant un diagramme fonctionnel. A chacun
des blocs qui apparaît dans le diagramme
correspond une équation différentielle linéaire
indiquant la relation entre l’entrée du bloc et
sa sortie.
yx_+
De manière plus générale encore, un système peut être modélisé par un bloc placé entre une entrée
x(t) et une sortie y(t).La relation entre l'entrée et la sortie est donnée par une équation différentielle
de la forme :( ) ( )
0 0
( ) ( )n m
p q
p q
p q
a y t b x t= =
=∑ ∑ où y(t)(p)
est la dérivée d’ordre p de y(t) par rapport au
temps. Dans cette équation , le nombre n représente l'ordre du système. Les systèmes physiquement
réalisables, vérifient l'inégalité n > m . Nous dirons alors que le système vérifie leprincipe de
causalité c'est-à-dire que la connaissance de l'entrée et de l'évolution antérieure du système suffisent
à déterminer la valeur de la sortie à un instant donné.
-I-3-2- Mise en équations des systèmes.
Afin d'obtenir l'équation différentielle qui régit le comportement d'un système, deux approches
sont possibles :
Si le système est suffisamment bien connu et n'est pas trop complexe, l'équation sera établie à
partir des équations élémentaires associées à chacun des sous ensembles du système. Par exemple,
pour un système électrique, nous écrirons les relations entre le courant et la tension aux bornes de
chaque composant du circuit, puis nous éliminerons progressivement les grandeurs intermédiaires de
ces équations afin d'obtenir l'équation différentielle reliant la sortie du système à son entrée.
Une autre approche consiste à évaluer le degré de l'équation différentielle à partir, par exemple,
de la réponse du système à une entrée connue. I1 reste ensuite à déterminer les coefficients de cette
équation, qui traduisent au mieux le comportement du système. Cette opération s'appelle
identification. Elle est réalisée en minimisant l'écart entre la sortie réelle et celle prévue par
l'équation différentielle.
Des phénomènes physiques de natures très diverses peuvent être utilisés dans un système
automatisé, nous nous contentons d'en présenter quelques-uns. Nous montrons à travers quelques cas
élémentaires simples comment ces phénomènes sont pris en compte et traduits sous formes
d'équations. A chaque fois, les grandeurs physiques mises en jeu sont reliées par la loi de
comportement du système élémentaire étudié. Ces lois permettent d'appréhender le comportement
réel d'un système. Une des difficultés de l'automaticien est d'obtenir un modèle du système réel
suffisamment juste pour refléter le comportement réel sans que ce modèle soit trop complexe car il
serait alors trop lourd à manipuler et donc inexploitable. Un compromis doit être réalisé entre la
précision du modèle et sa simplicité.
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-I-3-3- Phénomènes physiques utilisés dans un système automatisé.
La liste présentée n’est pas exhaustive
Systèmes électriques :
Pour les trois composants usuels d'un système électrique que sont la résistance de valeur R , le
condensateur de capacité C et la bobine d’inductance L , les relation sont :
u = Ri ; u = Ldi
dt ; i = C
du
dt
Pour les moteurs électriques à courant continu ont a deux relations entre le couple et la vitesse de
rotation de l'arbre d'un moteur électrique à courant continu en fonction du courant et de la tension à
ses bornes. I1 faut noter que ces relations simplifiées ne reflètent le comportement des composants
qu'en première approximation.
u = K1.ω ; = K2.i où ω est la vitesse de rotation du moteur et le couple du moteur . Les
composants actifs utilisés en électronique permettent des réalisations très diverses , la plus courante
est sans doute celle de l'amplificateur opérationnel.
Systèmes mécaniques : pour un système mécanique, nous nous limitons ici à des mouvements simples
tels que les mouvements de translation rectiligne et les mouvements de rotation autour d'un axe fixe .
Pour la translation rectiligne, les grandeurs physiques mises en jeu sont des masse M ; des efforts F
, des positions x , des vitesses et des accélérations x•
et x••
. Les composants de base de tels systèmes
sont : - la masse M : F M x=••
,
- le ressort de raideur k : F = k. x ,
- l'amortisseur visqueux de coefficient de frottement f : F f x=•
.
S'il s'agit d'un système mécanique en rotation autour d'un axe le type d'équation est obtenu en
substituant respectivement à l'effort , à la position x , à la masse M et au ressort de raideur k les
grandeurs suivantes : le couple ; la position angulaire θ le moment d’inertie I et le ressort de
torsion de raideur k : = I θ••
; C = k.θ ; C = f. θ•
Système hydraulique: soit un réservoir de section S qui se remplit de fluide. La relation qui relie le
débit de fluide à la variation de hauteur dans le réservoir vaut alors : q = Sdh
dtLa différence de
pression
entre le fond du réservoir (P,) et la surface supérieure du fluide (P0) vaut alors : P1 - P0 = ρ.g.h où ρ
désigne la masse volumique du fluide et g l'accélération de la pesanteur.
La restriction de la section de passage d’un fluide dans une canalisation donne un débit de fluide
proportionnel à la différence de pression de part et d'autre de la restriction : qP P
R
1 0=−
Système thermique : dans un système thermique, un corps de capacité calorifique C, auquel on fournit
un débit de chaleur Q (au moyen d'un échangeur thermique) voit sa température varier selon la
relation : Q = Cd
dt
θ . D'autre part, le débit de chaleur traversant une paroi de résistance thermique R
vaut : Q = θ θ1 2−
R
Exemple : circuit RC.
Considérons le circuit électrique ci-contre . Il est
constitué d'une résistance et d'un condensateur .
L'entrée du système est la tension e , sa sortie s est
la tension aux bornes du condensateur . La tension
aux bornes de la résistance vaut, en fonction des
paramètres choisis, e - s . La résistance est traversée
par le courant i . La loi d'Ohm permet d'écrire :
R
C se
e - s = R.i . De façon analogue, nous obtenons pour le condensateur : i Cds
dt= .
En regroupant ces deux équations, nous obtenons l'équation différentielle qui régit le
fonctionnement de ce système : s + RCds
dte= . Une fois l'équation différentielle établie, nous
disposons d'un modèle du système qui pourra être utilisé pour prévoir l’évolution de la sortie lorsque
l’entrée est soumise à un signal donné.
Asservissement systèmes linéaires continus 6 / 38
-I-3-4- Identification d’un modèle :
Pour illustrer l’autre approche fréquemment
utilisée en automatique, considérons l’exemple d’un
système dont l’entrée x(t) est soumise à un échelon
d’amplitude e(t) = 1 pour t > 0 avec e(t) = 0 pour
t < 0 . Sa sortie évolue selon le graphe ci-contre.
Nous verrons ultérieurement qu’une telle réponse à
un échelon est caractéristique d’un système du
premier ordre. Un tel système est décrit par une
équation de la forme : )()( tKedt
dyty =+τ
0 t
e
s = y ( t )
Il suffit d’identifier les coefficients τ et K pour que le système soit déterminé. Ceci peut être réalisé
par une lecture de la courbe : l’asymptote est une droite horizontale d’ordonné y = K , avec une
tangente à l’origine de pente K/τ ; d’où la valeur de τ = 2,2. Le modèle mathématique du système
étudié est donc : )(5,32,2)( tedt
dyty =+
-I-2-5- Méthodes d'Etude:
L'étude théorique et la vérification d'un système asservi s'effectuent de plusieurs façons :
Méthode temporelle: c'est l'étude de la réponse du système asservi à des signaux; bien définis (impulsion
,échelon , rampe). II est nécessaire de connaître les techniques de résolution des équations
différentielles linéaires.
Méthode fréquentielle: c'est l'étude de la réponse à des signaux sinusoïdaux. On utilisera un outil
mathématique : la Transformée de Laplace (voir plus loin). Elle permet d'étudier le comportement en
fréquence et d'en déduire le comportement temporel.
Le concept essentiel est celui de fonction de transfèrt qui sera développé ultérieurement
Méthodologie : Etude d'un
système asservi
Mise en équation(linéaire si le système
d'équationsdifférentielles est à
coeficients constants)
Mise en équation(linéaire si le système
d'équationsdifférentielles est à
coeficients constants)
Mise sous forme de
schéma blocset fonction de transfert
Réglage et correction en
fonction des performancesouhaité
(rapidité, précision ,stabilité)
Mise en équationdifficile ou impossible
Mise en équationaisée et possible
Transformation
(Laplace)
Identification(méthodes
d'identification)
Synthèse de
correcteurs
-II- TRANSFORMATION DE LAPLACE
-II-1- GENERALITES ET DEFINITION
Heaviside a inventé le calcul symbolique pour simplifier et codifier la résolution de certaines
équations différentielles en électricité. L’idée consistait à traiter l’opérateur de différentiation comme
élément algébrique. Ainsi si l’on pose pd
dt= (symbole de dérivation) , une équation différentielle
simple telle que d
dtx t f t( ) ( )= s’écrira : px t f t x t
pf t( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ =
1
Ce qui fait que1
preprésentera un symbole d’intégration, plus précisément on appellera
1
0p
f t f s ds
t
( ) ( )= ∫ la primitive de f(t) qui s’annule avec t .
Asservissement systèmes linéaires continus 7 / 38
Définition : Soit f(x) une fonction de la variable réelle x , définie pour ∀ x .
On appellera transformée de Laplace de f(x) , la fonction : ∫∞
∞−
−= dx)x(fe)p(F px ,
p étant une variable réelle ou complexe. Dans le cas des asservissements la variable x est le temps t .
En pratique on utilise la transformée de Laplace monolatérale qui s’applique aux fonction causales
( c’est à dire aux fonctions f(t) tel que f(t) = 0 pour t < 0 ) .
Soit f(t) une fonction de la variable réelle t , définie pour ∀ t , et nulle pour t < 0.
F p e f t dtpt( ) ( )= −∞
∫0
p étant une variable réelle ou complexe.
On notera F(p) = [f(t)] ; F(p) ⊂ f(t), signifiant transformée de Laplace de f(t) , F(p) est l’image
de f(t) et f(t) est appelé original de F(p) : [F(p)] ; f(t) ⊃ F(p)
Remarques :
- Si p est complexe, on suppose que Re(p) > nombre donné pour que l’intégrale soit
convergente.
- Si p est un imaginaire pur, il s’agit de la transformée de Fourier très utilisée en
analyse et traitement du signal.
- Il est essentiel de noter que les valeurs de f(t) n’interviennent pas pour t < 0, les
fonctions f(t) sont supposée nulles pour t < 0. En particulier, on ne calculera pas la
transformée de Laplace de la fonction cos(ωωωωt) mais celle de la fonction cos(ωωωωt)u(t)
où la fonction u(t) représente la fonction échelon unité ou fonction existence :
u(t) = 1 pour t > 0 et u(t) = 0 pour t < 0
-II-2- ELEMENTS SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE
On suppose que les fonctions manipulées remplissent toutes les conditions nécessaires.
-II-2-1- PROPRIETES ET THEOREMES
Unicité : à f(t) ⊃ F(p) unique, à F(p) ⊂ f(t) unique.
Linéarité : [λ1f1(t) + λ2f2(t)] = λ1 [f1(t)] + λ2 [f2(t)]
[λ1f1(t) + λ2f2(t)] [ ]1 1 2 2
0
( ) ( )
∞
−= +∫pt
e f t f t dtλ λ
1 1 2 2
0 0
( ) ( )
∞ ∞
− −= + =∫ ∫pt pt
e f t dt e f t dtλ λ λ1 [f1(t)] + λ2 [f2(t)]
Facteur d’échelle: [f(at)] = 1
aF(
p
a)
[f(at)]=
0 0 0
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p
pt pt ae f at dt e f at d at e f da a
τ
τ τ∞ ∞ ∞
−− −= = =∫ ∫ ∫
1
aF(
p
a)
Dérivation:
Dérivé première : df(t)
dt
= pF(p) - f(0
+)
On suppose que :0
( ) (0 )t
Lim f t f+
→
= et Lim f t et
pt ( )
→∞
− = 0 (condition de convergence de
l’intégrale).
On intègre par parties : df(t)
dt
= [ ]f t e dt f t e p f t e dtpt pt pt' ( ) ( ) ( )− − ∞
∞−
∞
= +∫ ∫00 0
on à donc :
f’(t) ⊃ pF(p)-f(0+).
Dérivé seconde : 2
2
d f(t)
dt
= p2F(p) - pf(0
+) – f’(0
+)
On suppose '( ) 0pt
t
Lim f t e−
→∞
= (condition de convergence de l’intégrale).
Asservissement systèmes linéaires continus 8 / 38
On intègre par parties :
[ ]f''(t) = [ ]0
0 0
''( ) '( ) '( ) '(0) '( )pt pt ptf t e dt f t e p f t e dt f p f t
∞ ∞∞− − − = + = − + ∫ ∫ L
[ ]f''(t) = p[ pF(p) - f(0+)] – f’(0)= p
2F(p) - pf(0
+) – f’(0)
Théorème de l’intégration :
f(t) ⊃ F(p) si : f(t)dg(t)
dt= alors :
dg(t)
dt
pG(p) - g(0
+) F(p) g(0 )
G(p)p p
+
⇒ = + .
Théorème du retard : [f(t-τ)] = e-τp
F(p).
On suppose : Connue l’image F(p) de f(t). Soit la fonction g(t) déduite de f(t) en faisant subir à cette
dernière un retard τ ⇔ g(t) est définie pour ∀ t et nulle pour t < τ.
[f(t-τ)u(t-τ)]=
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pt pt ptf t u t e dt f t u t e dt f t u t e dt
τ
τ
τ τ τ τ τ τ∞ ∞
− − −
=
− − = − − + − −∫ ∫ ∫14444244443
Changement de variable T= t - τ =>
t T
dt dT
0 T
= + τ
= < < ∞
d’où :
[ ]pt p(T ) p pT p
0 0
f (t )u(t )e dt f (T)u(T)e dT e f (T)e dT e f (t)
∞ ∞ ∞
− − +τ −τ − −τ
τ
− τ − τ = = =∫ ∫ ∫ L
Théorème de l’amortissement ou décalage fréquentiel : [e-ωt
f(t)] = F(p+ω) avec ω = cte.
[e-ωt
f(t)u(t)]= ( )
0 0
( ) ( )pt t p te e f t dt e f t dt
ω ω∞ ∞
− − − + = ∫ ∫
On pose P = p+ω alors : (p )t Pt
0 0
e f (t)dt e f (t)dt
∞ ∞
− +ω −=∫ ∫ = F(P)=F(p+ω)
Théorème de le valeur initale : Lim Limp
f(t) pF(p)t→ →∞
=0
df(t)
dt
= ∫
∞− =
0
)(' dtetfpt
pF(p) - f(0+) :
si pLim
→∞∫∞
− =0
)(' dtetfpt
0 , alors : pLim
→∞pF(p) - f(0
+) = 0
D’où : pLim
→∞
pF(p) = f(0+) (en fait c’est la partie réelle qui tend vers l’infini)
Théorème de le valeur finale : Lim Limp
f(t) pF(p)t→∞ →
=0
df(t)
dt
= ∫
∞− =
0
)(' dtetfpt
pF(p) - f(0+) : si
p 0Lim
→∫∞
− =0
)(' dtetfpt
0
f '(t)dt
∞
=∫ f(∞) - f(0+)
D’où : p 0Lim
→
pF(p) - f(0+) = f(∞) - f(0
+) =>
p 0Lim
→
pF(p) = f(∞) .
Produit de convolution : on définit le produit de convolution ϕ = f *g de deux fonctions comme étant :
ϕ( ) ( ). ( )t f s g t s ds
t
= −∫0
(s est appelé variable muette)
L’image de la convolution de deux fonction est [ϕ (t)] = Φ(p) = F(p)G(p)
avec : F(p) = [f(t)] et G(t) = [g(t)]
Attention ! : Le produit de deux fonctions f(t)g(t) n’a pas pour transformée le produit des
transformées F(p)G(p)
Asservissement systèmes linéaires continus 9 / 38
-II-2-2- TRANSFORME DE LAPLACE DES FONCTIONS USUELLES :
Transformé de Laplace d’une impulsion :
Soit une famille de fonction définie par : [[ [[f t si t tε εε
ε ε( ) ( )= ∈ = ∉1
0 0, et f si t 0,
On remarque que quel que soit ε : f t dtε ( ) =
−∞
+∞
∫ 1 .
En effet :
0
00
1( ) = 0. . 0. 1
tf t dt dt dt dt
εε
ε
εε ε
+∞ +∞
−∞ −∞
+ + = =
∫ ∫ ∫ ∫
f(t)] =
0 0 0 0
1 1 1 1( ) = 0. . .
pt ppt pt pt pt e e
f t e dt e dt e dt e dtp p
εε ε ε
ε
εε ε ε ε
+∞ +∞ − −− − − − − −
+ = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Or limε
ε
ε→
−−=
0
11
e
p
p
d’où : [fε(t)] = 1 lorsque ε →0 et [δ(t)] = 1 .On note δ(t) la fonction
impulsion ou fonction de Dirac la fonction définie (abusivement) par :
δ(t) = 0 sur ℜ* , δ(0) = +∞ et δ( )t dt =
−∞
+∞
∫ 1
Transformé de Laplace des fonctions polynomiales:
[t.u(t)]=pt
pt pt
2
0 00
te 1 1te dt e dt
p p p
∞∞ ∞−− − −
= + =
∫ ∫
[tn u(t)] =
n ptn pt n 1 pt
0 00
t e nt e dt t e dt
p p
∞∞ ∞−− − − −
= +
∫ ∫ =n
p. [t
n-1 u(t)] d’où : [t
n u(t)]=
n 1
n!
p +
Transformé de Laplace des fonctions exponentielles
[eat.u(t)]= at pt (a p)t
0 0
1e e dt e dt
p a
∞ ∞− − − += =
+∫ ∫ ;
en posant p’= p+a puis en utilisant la transformé d’un échelon unitaire
Transformé de Laplace des fonctions sinusoïdales
[u(t)sinωt]= pt
0
e sin t.u(t)dt
∞
− ω∫ on pose U = sinωt et V’ = e-pt
pt pt pt pt
0 0 00
0
1 1e sin t.u(t)dt e sin t e cos t.u(t)dt e cos t.u(t)dt
p p p
∞∞ ∞ ∞
− − − −
=
ωω = − ω − − ω ω = ω
∫ ∫ ∫
1442443
(1)
[ ]pt pt
00
1
p
1 1e cos t e sin t.u(t)dt u(t)sin t
p p p p p p
∞ ∞
− −
=
ω ω ω ω= − ω − ω = − ω
∫
144424443
L
[ ] [ ] [ ]2
2 2
1u(t) sin t u(t)sin t u(t)sin t 1
p p p p p
ω ω ω ωω = − ω ⇒ ω + =
L L L
=> [ ] 2 2u(t)sin t
p
ωω =
+ ωL
(1) [ ] [ ]pt pt
0 0
e sin t.u(t)dt e cos t.u(t)dt sin t.u(t) cos t.u(t)p p
∞ ∞
− −ω ωω = ω ⇒ ω = ω∫ ∫ L L
[ ] [ ] 2 2 2 2
p p pu(t) cos t sin t.u(t)
p p
ω⇒ ω = ω = =
ω ω + ω + ωL L => [ ] 2 2
pu(t) cos t
pω =
+ ωL
Asservissement systèmes linéaires continus 10 / 38
TABLEAU DES TRANSFORMEES DES FONCTIONS USUELLES
f(t) pour t > 0
F(p)
f(t) pour t > 0
F(p)
t (rampe) 1
2p
δ(t) (impulsion)
1
t
n
n−
−
1
1( )!
1
pn
u(t) (échelon) 1
p
tn
n
pn
!
+1
sinωt ω
ωp2 2
+
eat−
1
p a+
cosωt
p
p2 2+ ω
1−−
e
t
τ
1
1p p( )+ τ
e tat−
cosω
( )p a
p a
+
+ +2 2
ω
t e
n
n
t
n
−−
−
1
1
τ
τ ( )!
1
1( )+ τpn
e tat−
sinω
( )ω
ωp a+ +2 2
1−+ −( )τ
τ
τt
e
t
1
12
p p( )+ τ
1− cosωt
1
1
2
2p
p( )+
ω
ττ
τ( )et
t−
+ − 1
1
12
p p( )+ τ
1
11
2 0
20
−−
−
ze z t
z tωωsin( . )
1
12 1
0 0
2
2+ +
zp p
ω ω
t t e
t
− + +−
2 2τ τ τ( )
1
12 2
p p( )+ τ
avec z < 1
1+− −a
e
tτ
τ
τ
1
1
+
+
ap
p p( )τ
11
11
2 0
20−−
− −−
ze z t
z tωω ϕsin( . )
1
12 1
0 0
2
2p
zp p( )+ +
ω ω
1 12
+−
−−
( )a
t e
tτ
τ
τ
1
12
+
+
ap
p p( )τ
avec : ϕ =−
−Arc
z
ztan
12
avec z < 1
( )( )a e t
t
− − +−
τ τ1
1
12
+
+
ap
p p( )τ
tz
ze z t
z t− +
−− −
−2 1
11
0 0
2 0
20
ω ωω ϕ
ωsin( . )
1
12 12
0 0
2
2p
zp p( )+ +
ω ω
1
1 2
1 2
τ τ
τ τ
−−
− −
( )e e
t t
1
1 11 2( )( )+ +τ τp p
avec : ϕ =−
−2
12
Arcz
ztan
11
2 1
11
22+
−−
− −
τ ττ ττ τ( )e e
t t
1
1 11 2p p p( )( )+ +τ τ
11
11 2
2 0
2
0
2 0−−
− +−
zaz a e
z tω ω
ω.
1
12 1
0 0
2
2
+
+ +
ap
pz
p p( )ω ω
11
1 2
1 2
1 2
2+−
−−
−
−
− −τ
τ τ
τ
τ τ
τ τa
ea
e
t t
1
1 11 2
+
+ +
ap
p p p( )( )τ τ .sin( . )ω ϕ0
21− +z t
avec :
t e e
t t
− − −−
−− −
τ ττ τ
τ ττ τ1 2
1 2
2
2 21
2 11
(
1
1 12
1 2p p p( )( )+ +τ τ ϕω
ω=
−
−Arc
a z
aztan
0
2
0
1
1−
−
−Arc
z
ztan
12
-II-2- LA TRANSFORMEE INVERSE
La transformation inverse consiste a rechercher l’originale d’une fonction à partir de son
expression dans le domaine symbolique. Lorsque la fonction F(p) est sous la forme d’une fraction
rationnelle (en p), la méthode a utiliser est la décomposition en éléments simples, puis il faut
rechercher dans une table des transformées, l’original de chaque élément simple.
Exemple : 3 2
2 2 2 2
p 3p 3 3 6 5 7Y(p)
p (p 1) p p (p 1) p 1
+ += = − + +
+ + +
t ty(t) 3t 6 5te 7e− −⇒ = − + +
Asservissement systèmes linéaires continus 11 / 38
Décomposition en éléments simples : vocabulaire et résultats essentiels.
Un polynôme peut être développé (1ère
forme canonique), ex : 2p 3p 2+ +
ou factorisé (2ème
forme canonique), ex :3p(p 3) (p j)(p j)+ + −
Les polynômes à coefficients réels ont des racines réelles ou complexes conjuguées.
Une fraction rationnelle et le quotient de deux polynômes, exemple2 3
(p 1)(p 2)Q(p)
p(p 1)(p 3)
+ +=
+ +
Les racines du numérateur sont les zéros de la fraction rationnelle (pour l’exemple : -1 et -2), les
racines du dénominateur sont ses pôles (pour l’exemple : 0, -3,j et –j).
Toutes les fractions rationnelles peuvent être décomposées en éléments simples,
pour l’exemple : 2 3 3 2
(p 1)(p 2) a b c d e f
p(p 1)(p 3) p (p 3) (p 3) (p 3) p j p j
+ += + + + + +
+ + + + + + −
Dans le cadre de ce cours les fraction rationnelles que nous aurons a traiter ont un numérateur de
degrés inférieur ou égal a celui du dénominateur (conséquence du principe de causalité). Ce qui suit
ne concerne que ces fractions.
Le nombre d’éléments simple est égal au degrés du dénominateur (pour l’exemple : 6 éléments).
Un pôle multiple donne un nombre d’éléments simples égal au degré n du polynôme correspondant,
ces éléments simples ont un dénominateur de degré décroissant de n à 1.
Voir l’exemple pour le pôle multiple (p+3)3
On fait généralement la somme des éléments simples correspondant à deux racines complexes
conjuguais (pour éviter les nombre complexes) le résultat est une fraction rationnelle dont le
dénominateur est de degrés 2 et le numérateur de degrés 1, pour l’exemple :
2
e f f (p j) e(p j) (e f )p (f e) j
p j p j (p j)(p j) p 1
+ + − + + −+ = =
+ − − + +, ici e = f….
2
e e 2ep
p j p j p 1+ =
+ − +.
La décomposition en éléments simple consiste à rechercher les constantes des numérateurs, il y a
deux méthodes qui seront vues en TD.
-III- FONCTION DE TRANSFERT ET SCHEMA FONCTIONNEL
-III-1- REPONSE D’UN SYSTEME
Les conditions initiales étant fixées, la réponse d'un système correspond à l'évolution de sa sortie
lorsque son entrée est soumise à un signal donné.
-III-1-1- « Rappels ».
Lorsque la modélisation mathématique du système a été réalisée, nous nous trouvons en présence
d'une équation différentielle d'ordre n, qui traduit les relations qui existent entre son entrée x(t) et sa
sortie y(t). Pour déterminer la réponse du système à une entrée x(t) donnée, il faut intégrer cette
équation différentielle que l'on écrit de façon générale sous la forme :
a y t b x tpp
p
n
q
m
( ) ( )( ) ( )
= =
∑ ∑=
0 0
. Nous savons que la solution générale de l'équation complète est la
somme de la solution générale de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de
l'équation complète, c'est-à-dire : y(t) = y0(t) + y1(t) avec :
y(t) : solution générale de l'équation complète ,
y0(t) : solution générale de l'équation sans second membre ,
y1(t) : solution particulière de l'équation complète.
On recherche la solution y0(t) sous la forme : y0(t)=A.ert où A et r sont des constantes à
déterminer. En remplaçant y0(t) dans l'équation sans second membre, on obtient :
a0.A.ert + a1.A.r.e
rt +...+ an.A.r
n.e
rt = 0.
En simplifiant cette équation par A.ert on obtient:
a0 + a1.r+ a2.r2 +...+an.r
n = 0.
Le polynôme obtenu est connu sous le nom de polynôme caractéristique de l'équation
différentielle sans second membre. Notons r1 , r2 , ..., rn , les racines de ce polynôme. Elles peuvent
être réelles ou complexes. Si toutes les racines sont distinctes, la solution générale de l'équation sans
second membre est de la forme : y (t) A e A e .... A e0 1r t
2r t
nr t1 2 n= + + +
où A1 , A2 , ...., An sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
Asservissement systèmes linéaires continus 12 / 38
Les coefficients du polynôme caractéristique étant réels, deux cas se présentent pour chacune des
racines ri :
1) la racine ri est réelle.
2) la racine ri est complexe. I1 existe alors une autre racine rj du polynôme caractéristique
telle que ri et rj soient complexes conjuguées.
Soient par exemple r1 et r2 deux racines complexes conjuguées. Ces deux racines
s'écrivent sous la forme : r1 = α + j.β ; r2 = α - j.β ; où α et β sont deux nombres réels.
Le terme A e A e1r t
2r t1 2+ associé aux racines r1 et r2 s'écrit alors sous la forme :
e (A e A e )t1
j t2
j tα β β+ − . Le module du terme entre parenthèses est majoré par A1+A2. Pour que
A e A e1r t
2r t1 2+ ne devienne pas infini, il faut que e
αt soit borné et donc que le coefficient α soit
négatif . Suivant le signe de α , le terme A e A e1r t
2r t1 2+ qui est réel, se comporte différemment
lorsque t augmente :
- lorsque α est strictement négatif, il tend vers zéro;
- lorsque α vaut zéro, il varie sinusoïdalement (pulsation β);
- lorsque α est strictement positif, il tend vers l'infini. La sortie du système n'est plus
bornée et le système est instable (on sort généralement du domaine linéaire du système).
Nous pouvons conclure que le système étudié est stable si chacune des racines r1 , r2 , ..., rn du
polynôme caractéristique possède une partie réelle strictement négative. Nous avons alors :
lim ( )t
y t→∞
=0 0
Pour un système stable, la solution générale de l'équation sans second membre disparaît au cours
du temps. Cette solution représente le régime transitoire alors que la solution particulière de
l'équation complète représente le régime permanent qui subsistera seul lorsque le régime transitoire
aura disparu.
-III-1-2- Exemple :
Le circuit RC : l'équation différentielle qui régit le fonctionnement
de ce système est : s + RCds
dte=
Etudions la réponse de ce système à un échelon d'amplitude E ,
R
C se
c'est-à-dire à une entrée dont la valeur passe de 0 à E à l'instant initial. Le système est supposé
initialement au repos (s(0) = 0). Il s'agit d'un système d'ordre 1. Le polynôme caractéristique associé
à cette équation ne possède donc qu'une racine, qui vaut : rRC
=−1
La racine est réelle et strictement négative, le système est donc stable. La solution générale de
l'équation sans second membre est de la forme : s(t) = Ae
-t
RC . Puisque l'entrée du système est un
échelon d'amplitude E, une solution particulière de l'équation complète est :
s(t) = E pour t > 0. La solution générale de l'équation complète est :
s(t) = E + Ae
-t
RC Si la valeur de la sortie à l'instant initial
vaut 0, A est tel que s(0) = 0, soit : A = - E. D’où :
s(t) = E - Ee
-t
RC Le premier terme représente le régime
permanent et le deuxième le régime transitoire de la réponse
à un échelon du système. t
e(t)
s(t)
E
-III-2- FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME
-III-2-1- Définition
De très nombreux phénomènes physique sont décrits mathématiquement par des équations
différentielles du type a s t b e tkk
k
n
q
m
( ) ( )( ) ( )
= =
∑ ∑=
0 0
.( s’il y a un terme constant il suffira de faire un
changement de variable pour arriver à une expression de ce type)
Si on prend comme conditions initiales à t = 0 :
e = 0 ainsi que ses dérivées successives
s = 0 ainsi que ses dérivées successives
Asservissement systèmes linéaires continus 13 / 38
Alors : [s(t)(i)
] = piS(p) d’où : a s t b e tk
k
k
n
q
m
( ) ( )( ) ( )
= =
∑ ∑= ⇒
0 0
S p a p E p b pkk
k
n
q
m
( ) ( )
= =
∑ ∑=
0 0
On pose alors : H pS p
E p
b p
a p
b p b p b p b
a p a p a p a
q
m
kk
k
nm
mm
m
nn
nn
( )( )
( )
...
...= = =
+ + + +
+ + + +
=
=
−−
−−
∑
∑
0
0
11
1 0
11
1 0
.
H(p) est appelé fonction de transfert ou transmittance du système (FT en abrégé) avec :
S(p) = H(p).E(P) . Lorsqu’on part du repos, le système est en transformé de Laplace un opérateur de
multiplication par H(p).
La fonction de transfert est caractéristique du système quelle représente mathématiquement. On
peut aussi écrire H(p) sous la forme : H p Kp z p z p z
p p p p p p
KN p
D p
m
n
( )( )( ).....( )
( )( ).....( )
( )
( )=
− − −
− − −=1 2
1 2
où :
- les zi sont les « zéros » de H(p)
- les pi sont les « pôles » de H(p)
L’ordre de la fonction de transfert est donnée par le degré du dénominateur . S’il existe une
racine nulle d’ordre α , un terme en pα
apparaît au dénominateur, α est appelé classe de la fonction
de transfert.
Remarque :
Si les conditions initiales ne sont pas toutes nulles, on montrerait que :
S p KN p
D pE p K
N p
D p( )
( )
( )( )
( )
( )= + 0
Le numérateur du second terme, de degrés n-1 ne dépend que des conditions initiales.
-III-2-2- Exemple
Moteur à courant continu : Soit le schéma du moteur à courant continu ci-dessous :
Notation :
Cm : couple moteur
ω : vitesse angulaire
Ke : constante électrique
I∆ : moment d’inertie
Cf : couple de frottement visqueux
Km : constante mécanique
RL
i
u ω I
Cm
ECf
Les équations de la mécanique donnent :
Cm = Km.i ; Cm - Cf = I∆.dω/dt ; Cf = f. ω Les équations électriques donnent :
u - E = Ri + Ldi/dt ; E = Ke.ω
On se propose de déterminer ω / u
Transformés de Laplace des équation précédente :
Cm = Km.I ; Cm = (f + p I∆)Ω
U - E = (R + pL)I ; E = Ke.Ω
Des deux premières expressions, on tire : I = (f + p I∆)(Ω/Km)
Des deux autres , on tire : U = KeΩ + (R + pL)I
D’où l’expression : U = KeΩ + (R + pL) (f + p I∆)(Ω/Km) ce qui donne finalement :
Ω
∆ ∆U
Km
LI p Lf RI p Rf KeKm)=
+ + + +2 ( ) (
Pour les petits moteurs , on admet que L ≈ 0 ⇒ =+ + +
=+
Ω
∆U
Km
Lf RI p Rf KeKm)
K
Tp( ) ( 1
T est la constante de temps.
Si on veut la relation entre la position angulaire θ et la tension d’entrée u, on pourra écrire que:
ω = dθ/dt ⇒ Ω = pθ ⇒ θ = Ω /p . Donc : ⇒ =+
Θ
U
K
p Tp( )1
Application : asservissement de position d’une électrode
Asservissement systèmes linéaires continus 14 / 38
-III-2-3- Interprétation physique de la fonction de transfert
Etude temporelle
Réponse impulsionnelle :
Soumettons le système à une entrée en impulsion: e(t) = δ(t) , [δ(t)] = E(p) = 1 , sa réponse
appelée réponse impulsionnelle aura pour transformé de Laplace S(p) = 1.H(p) = H(p).
Donc : la fonction de transfert d’un système est la transformé de Laplace de sa réponse
impulsionnelle h(t).
Réponse à un échelon unitaire ou réponse indicielle:
Soumettons le système à une entrée en échelon unitaire: e(t) = u(t) , E(p) = 1
p
La transformée de Laplace de la réponse unitaire q(t) est : [q(t)]=1
pH(p) . Donc :
- la réponse impulsionnelle est la dérivé de la réponse unitaire : h tdq t
dt( )
( )= ;
- la fonction de transfert est la dérivée de la réponse unitaire ;
- il est possible de caractériser un système par sa réponse unitaire q(t) ou sa réponse
impulsionnelle h(t) ;
Etude harmonique
Soumettons le système à un essai harmonique : e(t) = u(t)e0sinωt . Si le système est linéaire On
montre que la réponse forcée ou réponse harmonique est une fonction sinusoïdale de même
fréquence que l’entrée s(t) = u(t)s0sin(ωt+Φ) , mais dont :
- l’amplitude est celle de l’entrée multipliée par le module de H(jω) : As
eH j= =0
0
( )ω
- la phase est en avance (algébrique) sur l’entrée de l’argument de H(jω) : Φ = arg H(jω)
La courbe de gain A(ω) et la courbe de phase Φ(ω) représente les variations du module et de la
phase du nombre complexe H(jω) déduite de la transformation p = jω .
Contrairement au système défini par une impulsion, difficile à réaliser expérimentalement de façon
parfaite, les courbes précédentes sont réalisable facilement et permettent d’étudier les propriétés et
les performance des systèmes considéré.
-III-3- SCHEMA FONCTIONNEL
-III-3-1- Conventions :
L’étude théorique d’un système linéaire est facilitée en remplaçant les équations différentielles
par une représentation graphique qualifiée de schéma fonctionnel.
Dans celui-ci, les variables sont représentées par des arcs ou branches et les fonctions de transfert
par des blocs. Les arcs sont toujours orientés dans le sens entré-sortie.
Application :
Soit le schéma électrique ci-contre on peut écrire:
iv v
RI p
V p V p
R
e s e s=−
⇒ =−
1 1
( )( ) ( )
v R iC
idt V p RpC
I ps s= + ⇒ = +∫2 21 1
( ) ( ) ( )
On obtient le schéma fonctionnel d’une chaîne
d’action et d’une chaîne de retour, ce qui fait
apparaître une rétro-action négative.
R1
C
vsve
R2
i
-1/R1
1
I(p)Ve(p)
Vs
R2+1/pC_+
Vs(p)
-III-3-2- Relations fondamentales
Soit le schéma théorique ci-contre :
Compte tenu de l’exemple précédent , on peut
écrire les relations :
- chaîne directe S(p) = F(p)ε(p)
- retour r(p) = R(p)S(p)
- écart e(p) = E(p) - r(p)
F(p)
R(p)
S(p)E(p)
r(p)
ε_+
ε
Asservissement systèmes linéaires continus 15 / 38
En combinant ces relations on obtient :
S(p) = F(p)ε(p) = F(p)[E(p) - r(p)] = F(p)[E(p) - R(p)S(p)]
⇒ S(p)[1 + R(p)F(p)] = F(p)E(p)
Ce qui donne la fonction de transfert en boucle fermé (FTBF) : H pS p
E p
F p
F p R p( )
( )
( )
( )
( ) ( )= =
+1
Et aussi : )(
1)(
)(
)()(H ;
)()(1
1
)(
)( 1-
pFpR
pS
pEp
pRpFpE
p+==
+=
ε
Remarques :
- si R(p) = 1 on dit que le retour est unitaire
- si l’on ouvre virtuellement la chaîne de retour à l’entrée du comparateur (voir la
croix sur le schéma), on obtient une boucle ouverte , ce qui revient à mettre en série
la chaîne directe et la chaîne en retour. On en déduit alors la fonction de transfert en
boucle ouverte (FTBO) : G pr p
E pF p R p( )
( )
( )( ) ( )= =
-III-3-3- Règles de transformation : algèbre des schémas blocs
F1(p)
S(p)F
2(p)
E(p)
Transmittances en série
F = F1.F2 F
1(p)F2(p)
S(p)E(p)
F1(p)
S(p)
F2(p)
E(p)
Transmittances en
parallèle
F = F1 + F2
F1(p)+F2(p)
S(p)E(p)
F(p)
Déplacement d’un point
de prélèvement
F(p)
1/F(p)
F(p)
F(p)
F(p)
F(p)
Déplacement d’un point
de sommation
F(p)
F(p)
F(p)
F(p)
1/F(p)
Application : asservissement de position d’une électrode :
Données :
- Moteur :
- vitesse angulaire ωm entre 0 et 8rd/s
- tension u entre 0 et 24V
- constante de temps T = 1,5s
- on admet qu’en régime permanent
d/dt = 0 ⇒ p = 0 ωm = Km.u
- K = 100 ; µ = 2 ; L = 2,4m
- diamètre primitif du pignon d = 40
Entrée : e ; Sortie : y (déplacement de
l’électrode) . On se propose de
rechercher la FTBF H(p) = y / r
µ ωm
Cm
u
Réducteur
Pignon-
crémaillère
K
+E/2
-E/2
y
e
L
r
On peut écrire : e = (E/L)(r - y) = 10(r - y) ; u = Ke .
Asservissement systèmes linéaires continus 16 / 38
On a : pour le moteur : Up
Up
UTp
K m
m5,11
31
5,11
248
1 +=
+=
+=Ω ; pour le réducteur: Ωr = Ωm/µ =
0,5Ωm et Θr = Ωr / p ; pour la crémaillère: y = (d/2)θr = 0,02 θr . On peut alors tracer le schéma
fonctionnel correspondant :
E/Lr
y
_+e
Km/1+Tp
uK 1/µ
θ
1/p d/2yr
Sachant que ε = r - y , on recherche d’abord la FTBO ( y / ε )
On obtient : 1 1 3,33
( )(1 ) 2 (1 1,5 )
mKy y E dK G p
r y L Tp p p pε µ= = = =
− + +, G(p) étant la FTBO
yr
y
ε_+
G(p)S(p)E(p)
_+
On peut en déduire la FTBF ( y/ r) , en effet on sait que ε = r - y et l’on peut écrire :
y = (y/ε)ε = G(p)ε = G(p)(r - y ) . D’où :G(p)+1
G(p)=H(p) )())(1( ⇒=+ rpGpGy .
Pour notre exemple on a : 3,33
H(p)=3,33+p(1+1,5p)
. On a montrer à partir de cette exemple une
relation importante dans le cas d’un retour unitaire : FTBFFTBO
FTBO=
+1
-IV- ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU 1er et du 2ème ORDRE
-IV-1- SYSTEME DU 1er ORDRE
Un système du 1er
ordre est défini par une équation différentielle du 1er
ordre : Tds t
dts t Ke t
( )( ) ( )+ =
D’où si s(0) = 0 la transmittance : H pK
Tp
S p
E p( )
( )
( )=
+=
1
- T est la constante de temps du système
- K est le gain du système
L’équation caractéristique D(p) = 1 + Tp = 0 n’admet qu’un seul pôle : p = -1/T , ce pôle est à partie
réelle négative : donc le système est stable.
Un système du premier ordre est toujours stable.
-IV-1-1- Réponse indicielle
e(t) = u(t) = 1 si t > 0 E pp
( ) =1
. D’où S pp
K
Tp
A
p
B
Tp( ) .=
+= +
+
1
1 1
A p= →lim 0 de p.S(p) = K
B pT
= → −lim1
de (1+ Tp).S(p) = -KT
⇒ = −+
= −+
S pK
p
KT
TpK
p p T
( )1
1 1
1. D’où la réponse indicielle : s t K e
tT( ) ( )= −
−
1
Propriétés caractéristiques:
Tangente à l’origine : s tK
Te s
K
T
tT' ( ) ' ( )= ⇒ =
−
0
Constante de temps : s T K e( ) ( )= −−
11
, d’où s(T) = 0,63K
Temps de réponse à 5% : c’est le temps au bout duquel on a :s s t
s
( ) ( )
( )
∞ −
∞≤ 5%
soit s t s K e et
T
tT
tT( ) ( ) ( )= ∞ = = − ⇒ = ⇒ ≈
− −
0,95 0,95K 1 0,05 3
ωm ωr ε
)5,11(
33,3
pp +
Asservissement systèmes linéaires continus 17 / 38
Représentation graphique :
t
e(t)
s(t)
T 3T
0,63
0,95
1
Ci-dessus avec gain unitaire K = 1
t
e(t)
s(t)
T 3T
0,63K
1
K
0,95K
Ci-dessus avec gain K ≠ 1
Remarques :
- Pour e1(t) = A.u(t), il suffit de faire s1(t) = A.s(t)
- Test du comportement d’un 1er
ordre : en général on étudie son comportement en
cherchant sa réponse (calculatoire ou expérimentale), aux entrées de type échelon ou rampe.
- Erreur ( ou écart ) de position : c’est la sortie du comparateur en régime permanent.
K1)t(rlim)t(et
−=−=ε∞→
. Cet écart est fini et n’est nul que pour K = 1
Cet écart est constant si le Gain K est constant, c’est à dire si le système fonctionne parfaitement.
Cet écart n’est donc pas vraiment une « erreur» et n’a pas beaucoup de sens pour un système non
bouclé.
-IV-1-2- Réponse d’un 1er Ordre à une Rampe
TpT
C
p
A
p
B
Tp
C
p
BAp
p
a
Tp
KpS
p
apEatte
1
1.
1.
1)()()(
2222+
++=+
++
=+
=⇒=⇒=
avec A = -KaT ; B = Kk ; C = KaT2
d’où : S p aKp
T
p
T
p T
s t aK t T TetT( ) ( ) ( )= − +
+
⇒ = − +
−1
12
- si t aKt→ ∞ → s(t) - aKT : asymtote de pente aK
ds t
dtaK e
ds
dt
tT
( ) (= −
= = ⇒
−
1 00)
0 à t tangente horizontale
te(t
) pen
te a
0-aKT
-aT
K<1=> pente < aK=1 =
> pente
= a
K>1=
> p
ente
> a
ε
-IV-1-3- Exemples de systèmes du 1er ordre
Systèmes électriques :
R
C s(t)e(t)
H pRCp
( ) =+
1
1
: K = 1 ; T = RC R
L
e(t)s(t)
H pL
Rp
( ) =
+
1
1
K = 1 ; TL
R=
Erreur de Traînage ou de Poursuite : εt C’est l’écart entre l’entrée en Rampe et la sortie en
régime permanent. Si : e(t) = a.t.u(t) on a :
- Si K > 1 εt = -∝ écart divergeant
- Si K = 1 εt = kT écart constant
- Si K < 1 εt = +∝ écart divergeant
Asservissement systèmes linéaires continus 18 / 38
Systèmes mécaniques :
Lancement d’un volant d’inertie
J avec un couple Cm , frottement
visqueux f dans le guidage
H pfJ
fp
( ) =
+
1
1
Barre de torsion de raideur k
avec frottement visqueux f
dans le guidage
H pkf
kp
( ) =
+
1
1
JCm f
ω
Kf
=1
TJ
f=
Cm f θk
Kk
=1
Tf
k=
-IV-2- SYSTEME DU 2ème ORDRE
-IV-2-1- Etude préliminaire
Un système du 2ème
ordre est défini par une équation différentielle du 2ème
ordre :
1 2
0
2
2
2
0ω ω
d s t
dt
z ds t
dts t Ke t
( ) ( )( ) ( )+ + =
D’où si s(0) = 0 et ds
dt
(0)0= la transmittance : H p
S p
E p
K
zp
p( )
( )
( )= =
+ +12
0
2
0
2ω ω
C’est la 1ère
forme canonique avec : - K est le gain statique
- z est le facteur d’amortissement réduit
- ω0 est la pulsation propre non amortie
la deuxième forme canonique est obtenue par factorisation: )1)(1(
')(
21 pTpT
KpH
++=
Etude des pôles de la fonction de transfert
L’étude de la réponse d’un système du 2ème
ordre passe par l’étude des pôles de la fonction de
Transfert. C’est à dire la recherche des racines du dénominateur : D(p)
D pz
p pz z
( ) = + + − =−
12 1 1 1
0 0
2
2
2
0
2
0
2
2
0
2ω ω ω ω ω
discriminant : ' =∆
D’où les trois cas : z2 - 1 > 0 ; z
2 - 1 = 0 ; z
2 - 1 < 0
* z2 > 1 : 2 racines réelles négatives p z z1 2 0
21/ = − ± −
ω
* z2 = 1 : 1 racine double réelles p z1 2 0/ = −ω
* z2 < 1 : 2 p z j z1 2 0
21/ = − ± −
ω
-IV-2-2- Réponse indicielle
-IV-2-2-1- Cas des racines réelles négatives = régime apériodique sans dépassement
On pose : Tp z z p z z
1
12 2
22
1
1
1
1=
−
− −=
−=
+ −=
1 et T
1
0 0ω ω( ) ( ) ;
D p p p p p pT
pT
( ) ( )( ) ( )( )= − − = + +1 1 1 1
0
2 1 2
0
2
1 2ω ω
⇒ = + + = =D pT T
T p T p Tp p
( ) ( )( )1
1 11 1
0
2
1 2
1 2 2
1 2 0
2ω ω
avec : T1
H pK
T p T pK
A
T p
B
T p
K
T T
T
T p
T
T p( )
( )( )=
+ +=
++
+
=− +
−+
1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 2
1
1
2
2
Réponse indicielle : S p E p H pK
T T
T
p T p
T
p T p( ) ( ) ( )
( ) ( )= =
− +−
+
1 2
1
1
2
21 1→voir 1
er ordre
s tK
T TT e T e
tT
tT
( ) ( ) ( )=−
− − −
− −
1 2
1 21 11 2
Asservissement systèmes linéaires continus 19 / 38
ds t
dt
K
T Te e
ds
dt
tT
tT( )
)( )
=−
−
⇒ =
− −
1 2
1 20
0
Le comportement du système est :
- non oscillant
- amorti
O t
s ( t )
1
K K 1
e(t)
-IV-2-2-2- Cas d’une racine réelles double = régime apériodique critique
H pK
p( )
( )=
+10
2
ω
si on pose T = 1/ω0 : H pK
Tp( )
( )=
+12
D’où la réponse indicielle :
S p E p H pK
p TpK
p
T
Tp
T
TpK
p T p T T p( ) ( ). ( )
( ) ( ) ( ) ( )= =
+= −
+−
+
= −
+−
+
1
1
1 1
1 1
1
1
12 2 2
⇒ = − −
= = − +
= − +
− − − −
s t K et
Te s t K
t
Te K e
tT
tT
tT
tT( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 0ω
Le comportement du système est : non oscillant ; amorti ( c’est l’apériodique le plus rapide )
-IV-2-2-3- Cas des racines complexes conjuguées = régime oscillatoire avec dépassement
On pose a = ω0.z et ω ω= −0
21 z ⇒ p1 = - a - jω et p2 = - a + jω
⇒ p1 .p2= a2 + ω2 =z z
2
0
2
0
2 2
0
21. ( )ω ω ω+ − =
22
20
20
)ap(
K
)jap)(jap(
K)p(H
ω++
ω=
ω−+ω++
ω=⇒
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
z=1z=1,1
z=1,2
z=1,4 z=1,
z=2
z=4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Temps en s
K = 1
ωo = 0,5
Allure des réponses selon la valeur de z
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0, 0, 0, 0, 1 1, 1, 1, 1, 2 2, 2, 2, 2, 3
Temps en s
z=1z=1,1
z=1,2z=1,4
z=1,
z=2
z=4
K = 1
ωo = 0,5
Zoom à l’origine
Asservissement systèmes linéaires continus 20 / 38
D’où la réponse indicielle : [ ]
S p E p H pK
p p aK
A
p
Bp C
p a( ) ( ) ( )
( ) ( )= =
+ += +
+
+ +
ω
ω ω
0
2
2 2 2 2
p.S(p)(p=0) = KA [ ]
⇒ =+
= =AK
K a
ω
ω
ω
ω
0
2
2 2
0
2
0
21
( )[ ]p a S p K Bp C
B z j z CK z j z
K z z
z j z
z z
B z z B
Bz C z C z a
p z j z+ + = +
⇒ − − − + =− − −
+ −=
− − −
+ −
⇒− − = − ⇒ = −
− + = − ⇒ = − = −
=− − −
2 2
1
0 0
2 0
2
0 0
2
2
0
2
0
2 2
0 0
2
2 2
0
2
0
2
0 0 0
0 0
2
11
1
1
1
1 1 1
2 2
ω
ω ωω ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω( ) ( )
( )( )
( )
⇒ = −+
+ +
= −
+
+ +−
+ +
S p K
p
p a
p aK
p
p a
p a
a
p a( )
( ) ( ).( )
1 2 12 2 2 2 2 2
ω ω ω
ω
ω
D’où : s t K e ta
e tat at
( ) cos sin= − −
− −1 ω
ωω avec : a = ω0z et ω ω= −0
21 z
ds t
dtK
ze t
ds
dtZ
at( )sin
( )=
−⇒ = ∀λ ∈
−ωω
λπω
10
2
La tangente à l’origine est toujours horizontale
Le comportement du système est oscillant amorti :
- 2 exponentielles enveloppe d’équations : y t Ke
z
z t
( ) = ±−
−
11
0
2
ω
- pseudo-pulsation réelle : ω ω= −0
21 z
- pseudo-période Tz
=−
2
10
2
π
ω
Caractérisation de l’amortissement : le dépassement
Le dépassement D est l’amplitude du 1er maximum par rapport à la valeur en régime permanent
(s(∝) = K). Il est l’un des critères d’amortissement.
Le dépassement est obtenu pour une demi période : T/2 = π/ω . Pour K = 1 on a :
s T e e ea
z
z
z
z( / )2 1 1 1
0
0
2 21 1= + = + = +−
−
−
−
−π
ω
ω π
ω
π
D’où pour K = 1:D s T e
z
z= − =
−
−( / )2 1 12
π
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Temps en s
K = 1
a = 0,7
ωo = 1z = 0,1
z = 0,2
z =
0,95
z =
0,3
z =
0,5
z =
0,7
Allures des réponses indicielles selon la valeur de z
Asservissement systèmes linéaires continus 21 / 38
Remarque :
Pour z > 0,7 , on
constate qu’il n’existe
qu’un seul dépassement
de la valeur K. On
considérera que le
système est non
oscillant car les
oscillations ne sont pas
visibles.
00,05
0,10,15
0,20,25
0,30,35
0,40,45
0,50,55
0,60,65
0,70,75
0,80,85
0,90,95
11,05
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
K = 1
Dépassement en fonction de
-IV-2-3- Réponse d’un 2ème ordre à une rampe
Si e(t) = V.t.u(t) ⇒ =E pV
p( )
2 ⇒ ]
pp
z21
DCp
p
B
p
A[KV
p
V.
pp
z21
K)p(S
)p(S
20
2
0
22
20
2
0
1
44 344 21ω
+ω
+
+++=
ω+
ω+
=
On obtient une réponse du type :s t KV tz
s t( ) ( )= − +
2
0
1ω
Comme pour la réponse indicielle , la décomposition de S1(p) dépend de la valeur de z
Comportement du système à une entrée en rampe :
z ≥ 1 : la réponse ressemble à celle d’un 1er
ordre.
Z < 1 : la réponse transitoire est oscillante autour de l’asymptote ; puis ressemble à celle d’un
1er
ordre en régime permanent.
Dans tous les cas , pour K = 1 ,
l’asymptote est parallèle à la
rampe d’entrée.⇒ erreur de
traînage constante : εω
t
zV=
2
0
t
e(t)
=Vt.u
(t)
0
z<1z=1
z>1
Asymptotey(t)=KV(t-2z/ω0)
s(t)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Temps en s
K = 1
a = 0,7
ωo = 1
z = 0,1
z = 0,2
z = 0,95
z = 0,3
z = 0,5
z = 0,7
Zoom à l’origine
Asservissement systèmes linéaires continus 22 / 38
-IV-3- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR DE SA REPONSE INDICIELLE
-IV-3-1- Système du 1er ordre
La réponse est : s t K etT( ) ( )= −
−
1
La connaissance de K et T est donc suffisante
pour identifier la fonction :
- gain : K = )t(e
)t(s ∞→
- constante de temps 3 possibilités :
- T
K)0('s =
- tr5% = 3T
- s(T) = 0,63K t
e(t)
s(t)
T 3T
0,63K
1
K
0,95K
En cas de difficulté pour tracer la tangente à l’origine on utilise la propriété suivante :
Pour un système du 1er
ordre , la tangente à
la courbe à l’instant t1 quelconque coupe
l’asymptote de s(t) en un point situé T plus
loin .
s t K etT( ) ( )= −
−
1 ; Tt
eT
K)t('s
−=
L’équation de la tangente est de la forme :
y = bteT
KT
t
+−
au point de contact entre la
tangente et la courbe on peut écrire :
)e1(K)t(s Tt1−
−= = bteT
K1
Tt1
+−
t
e ( t )
s( t )
T
1
K
0 ,9 5 Kt 1
TT
D’où : b = ]e)T
Tt(1[K T
t1
1−+− l’équation de la tangente est donc :
]e)T
Tt(1[Kte
T
Ky T
t1T
t 11 −− +−+= , l’intersection avec l’asymptote de s(t) y = K est obtenue pour
]e)T
Tt(1[Kte
T
KK T
t1T
t 11 −− +−+= T
t1T
t 11
e)T
Tt(1te
T
11
−− +−+=⇒
0e)T
Tt(te
T
1T
t1T
t 11
=+
−⇒−−
Ttt 1 +=⇒ ( c.q.f.d.)
-IV-3-2- Système du 2ème ordre
-IV-3-2-1- Système apériodique
Les notions permettant l’identification complète des système du 2ème
ordre apériodique ne sont pas
au programme elle ne pourra donc être qu’approximative.
s tK
T TT e T e
tT
tT
( ) ( ) ( )=−
− − −
− −
1 2
1 21 11 2
le tracé obtenu résulte de la différence de deux
fonctions :
21
Tt
11
TT
)e1(KT)t(s
1
−
−=
−
et 21
Tt
22
TT
)e1(KT)t(s
2
−
−=
−
,
dont les dérivées à l’origine sont égales .
O t
s(t)
s1(t)
-s2(t)
En considérant que T2 < T1 , on peut considérer qu’après le point d’inflexion s1(t) représente à peut
près l’allure de s(t) et on peut déperminer T1 en utilisant la méthode décrite pour les système du 1er
ordre avec difficulté pour tracer la tangente à l’origine . On détermine ensuite T2 en exprimant s(t)
pour une valeur de t bien au delà de l’inflexion , alors 2Tt
e−
sera négligeable et s(t) étant pris sur la
courbe )TT
eT1(K)t(s
21
Tt
11
−−=
−
.
Asservissement systèmes linéaires continus 23 / 38
-IV-3-2-2- Système pseudo-périodique
E est connu ; K est donné par l’asymptote ;
)e1(KE)e1(KE)2/T(s2z1
za
−
π−
ωπ−
+=+=
2 2
z z
1 z 1 z1
D KE(1 e ) K.E KEe
− π − π
− −⇒ = + − =
permet de calculer z ;
T/2 mesuré sur le graphe ⇒ ω = 2π/T
220
20
z1T
2
z1
z1
−
π=
−
ω=ω⇒−ω=ω
permet de calculer ω0 .
-IV-4- PRECISION ET RAPIDITE D'UN SYSTEME
-IV-4-1- Précision d’un système asservi
-IV-4-1-1- Généralités
On souhaite que la sortie y(t) évolue en fonction du temps conformément à la consigne x(t).
Afin d'évaluer la précision du système, on définit, à un instant donné, l'écart (ou erreur) εεεε(t) entre la
valeur de la consigne e(t) et celle du retour r(t) en régime établi.
Le comportement idéal, système dit précis, correspond à un écart tendant vers 0. En réalité cet écart
n'est pas rigoureusement nul:
- l'entrée varie dans le temps d'où des problèmes de poursuite.
- présence de perturbation d'où des problèmes de régulation.
Remarque : pour un système asservi l'écart joue un rôle fonctionnel, il assure la commande de la
boucle, et par amplification l’énergie de la chaîne d'action.Un écart nul implique une commande
nulle et l'arrêt de la fourniture d'énergie à l'actionneur. Il s'agit donc d'un cas limite pour un système
en fonctionnement. L'écart se stabilise en pratique à la valeur minimale suffisante pour entretenir le
fonctionnement du système.
Définitions
- On appelle erreur statique ε0 ou εs ( ou stationnaire du premier ordre ) , la valeur
asymptotique lorsque t→∞ de e(t) – r(t) , pour une entrée en échelon unitaire.
- On appelle erreur de traînage ε1 ou εt ( ou stationnaire de deuxième ordre ) la valeur
asymptotique lorsque t→∞ de e(t) – r(t) , pour une entrée en rampe unitaire.
-IV-4-1-2- Erreur en régime permanent
Cas général:
Si le système est stable on peut appliquer le théorème de la valeur finale:0pt
)p(plim)t(lim→∞→
ε=ε
Avec le système représenté ci-contre :
)p(B)p(A1
)p(E)p(S)p(B)p(E)p(R)p(E)p(
)p(B)p(A1
)p(A)p(E)p(S
+=−=−=
+=
ε
A(p)
B(p)
S(p)E(p)
r(p)
ε_+
D’où : )p(B)p(A1
)p(pE lim)p(plim)t(lim
0p0pt +==ε
→→∞→
ε et donc l'écart en régime permanent ne dépend
donc que de l'entrée E(p) et de la fonction de transfert en boucle ouverte: FTBO A(p) . B(p)
Ecrivons l'expression de la FTBO sous la forme: BO 1
1
K 1 b p ...FTBO(p) .
p 1 a p ...α
+ +=
+ +
Avec: - αααα: classe du système en boucle ouverte = nb d'intégration (≠ de l'ordre du système !)
- K: gain de la BO du système.
Remaque : au voisinage de zéro la FTBO est donc équivalente à : BOK
pα
1
p 0t p 0 BO
p E(p)lim (t) lim p (p) lim
p K
α+
α→→∞ →
ε = =+
ε . Pour que l'écart en régime permanent soit faible il faut
donc que le gain K du système soit grand. Cela s'oppose à la condition de stabilité.
Conclusion: les conditions de stabilité et de précision sont contradictoires compromis à établir.
0.5 1.0 1.5 2.00.0
0,8K.E
K.E
1,2 K.E
1,4K.E
Temps
D1 = s(T/2)- K.E
T/2
Asservissement systèmes linéaires continus 24 / 38
a) Réponse à une entrée en échelon (échelon de position), écart statique
L'écart en régime permanent est aussi appelée écart de position, il est noté: εεεεs
Soit une entrée en échelon de position d'où E(p) =1/p ⇒p 0t p 0 BO
plim (t) lim p (p) lim
p K
α
α→→∞ →
ε = =+
ε
Etude en fonction de la classe du système:
- si α = 0 (classe zéro, système sans intégration): l'erreur de position en régime
permanent vauts
t BO
1lim (t)
1 K
→∞
ε = ε =+
. Cette erreur est d'autant plus faible que le gain
K du système est grand.
- si αααα > 0 (une intégration mini): l'erreur de position en régime permanent est nulle.
Conclusion:
- pour avoir une précision statique nulle en régime permanent, il faut au moins une intégration
dans la boucle ouverte (dans la chaine directe ou dans celle de retour).
- si le système ne présente pas d'intégration la précision statique vaut et elle décroît quand la
constante de gain de boucle ouverte K croît.
- la précision statique est proportionnelle au niveau de la consigne.
b) Réponse à une rampe (échelon de vitesse), écart de poursuite
On parle aussi d'erreur de traînage, elle est notée εt.
d'où E(p) =1/p2 ⇒
1
p 0t p 0 BO
plim (t) lim p (p) lim
p K
α−
α→→∞ →
ε = =+
ε
Etude en fonction de la classe du système:
- si α = 0 (système sans intégration): l'erreur de traînage tend vers l'infini.
- si α = 1 (une seule intégration): l'erreur de traînage vaut εt = 1/KBO . Elle est d'autant
plus faible que le gain KBO du système est grand.
- si α > 1 (plus d'une intégration): l'erreur de traînage tend vers 0, elle est donc nulle
en régime permanent.
c) Réponse à une entrée parabolique (échelon d'accélération), précision en accélération
Elle est notée εa
On parle aussi d'erreur de traînage, elle est notée εt.
d'où E(p) =1/p3 ⇒
2
p 0t p 0 BO
plim (t) lim p (p) lim
p K
α−
α→→∞ →
ε = =+
ε
Etude en fonction de la classe du système:
- si α = 0 (système sans intégration): tend εa vers l'infini.
- si α = 1 (une seule intégration): tend εa vers l'infini.
- si α > 1 (plus d'une intégration): εa = 1/KBO Elle est d'autant plus faible que KBO grand.
Conclusion
A partir de la FTBO: pour diminuer l'écart en régime permanent, il faut augmenter la classe du
système c'est à dire le nombre d'intégration de la FTBO et augmenter le gain en boucle ouverte (d'où
risque d'instabilité). Une intégration dans la boucle ouverte suffit pour annuler l'écart statique.
-IV-4-1-3- Influence d’une perturbation
Cas général: soit le système de la figure ci-contre. Il s'agit d'un système à retour unitaire soumis
à une perturbation z(t).
)p(Z)p(B)p(A1
)p(B
)p(B)p(A1
)p(E)p(
++
+=ε
Le 1er
terme représente l’erreur due aux
variations de l’entrée (erreur de poursuite)
,
A(p) B(p)S(p)E(p)
r(p)
ε_+
_+
Z(p)
Le deuxième l’erreur due à la perturbation . En considérant que l’entrée est nulle on étudie que
l’erreur due à la perturbation.
a) Perturbation en échelon unitaire: dans ce cas là on a Z(p) =1/p
)p(B)p(A1
)p(B lim
p
1.
)p(B)p(A1
)p(pB lim)t(lim
0p0pt +=
+=ε
→→∞→
au voisinage de p = 0 A(p) est équivalent
à Ap
KAα
où KA et αA sont le gain et la classe du bloc A(p).de même pour B(p) qui est équivalent à
Bp
KBα
. L’erreur en régime permanent s’écrit alors : A
B A
B
p 0t A B
K plim (t) lim
p p K K
α
α α→→∞
ε =+
Asservissement systèmes linéaires continus 25 / 38
Le tableau ci-contre résume les résultas.
L’erreur en régime permanent provoqué par une
perturbation en échelon unitaire est nulle s’il
existe au moins une intégration en amont de la
perturbation.
-IV-4-2- Rapidité d’un système asservi
Généralités:
Contrairement à la précision qui concerne le régime établi, la rapidité concerne le régime
transitoire. En effet les performances du régime transitoire sont essentielles pour obtenir une
commande conforme aux besoins de l'utilisateur. Les qualités demandées sont ici la rapidité et
l'amortissement: un système asservi est de qualité s'il est rapide et bien amorti.
Amortissement:
On caractérise le niveau d'amortissement en régime transitoire par les dépassements successifs Di
(quand ils ont lieu) de la réponse indicielle et notamment par la valeur du premier dépassement D1.
Ceux-ci doivent être les plus faibles posssibles.
Exemple d'un second ordre oscillant:
Rapidité:
Un critère de rapidité est le temps de réponse, en général on prend le temps de réponse à 5%.
Un autre critère est la bande passante (voir analyse harmonique).
Système du 1er
ordre : tr5% = 3τ Système du 2
ème ordre : utilisation d’un abaque des temps réduis
-V- ANALYSE HARMONIQUE DES SYSTEMES DU 1er et du 2ème ORDRE
Un système est déterminée par le type même de l'équation différentielle:
- équation différentielle du 1er
ordre système1er
du ordre.
- équation différentielle du 2ème
ordre système du 2ème ordre.
Lorsque les grandeurs sont quelconques , on parle de fonction de transfert isomorphe.
L’étude en à été faite pour les entrées en échelon et en une rampe dans le chapitre précédent.
Lorsque les grandeurs sont périodiques , on parle de fonction de transfert isochrone.
On procède a une analyse fréquentielle ou harmonique: on impose une variation sinusoïdale à la
grandeur d'entrée e(t) et l'on observe l'évolution de la grandeur de sortie s(t) en régime permanent
(r(t) au bout d'un certain temps) . On étudie alors l'amplitude et le déphasage de s(t).
-V-1- FONCTION DE TRANSFERT ISOCHRONE:
Rappels : ez est définie par la série entière : e
z z z
q
z
n
zq n
n
= + + + + + ==
∞
∑11 2
2
0! !......
!..
! cette définition reste
valable si z est un nombre complexe, ∑∞
=
θ θ=+
θ++
θ+
θ+=⇒
0n
nq2j
!n
)j(..
!q
)j(......
!2
)j(
!1
j1e
tsinjtcose : Donc sinjcos)!1n2(
)1(j)!n2(
)1(
)!1n2(
)j(
)!n2(
)j( ...
!q
)j(.....
!4!3j
!2!1j1e
tj
0n
1n2n
0n
n2n
0n
1n2
0n
n2q432j
ω+ω=θ+θ=+
θ−+
θ−=
+
θ+
θ=+
θ+
θ+
θ−
θ−
θ+=
ω∞
=
+∞
=
∞
=
+∞
=
θ
∑∑
∑∑
αA= 0 αA= 1,2,..
αB= 0
BA
B
KK1
K
+
0
αB= 1,2,..
AK
1
0
Asservissement systèmes linéaires continus 26 / 38
Fonction de transfert isochrone
Soit le système général d’ordre n linéaire dont le comportement est régi par l’équation
différentielle : ∑∑==
=m
0q
)q(q
n
0r
)r(r )t(xb)t(ya . Si on soumet l’entrée à un signal sinusoïdal :
x(t) = X0sinωt , la réponse du système en régime permanent sera elle aussi sinusoïdale , de même
pulsation , mais déphasée d’un angle ϕ . La sortie y(t) est donc de la forme
y(t) = Y0sin(ωt + ϕ) . Déterminer y(t) revint donc à déterminer Y0 et ϕ . Une méthode
couramment utilisée pour déterminer Y0 et la phase ϕ consiste à utiliser les nombre complexes . Soit
xx X e
e
j t
j t et y dé finie par
y = Y0
=
+
0
ω
ω ϕ( )l’entrée x(t) et la sortie y(t) correspondent alors à la partie
imaginaire de x et y . En remplaçant x(t) et y(t) par les variables complexes x et y on obtient :
∑∑==
ω=ωm
0q
n
0r
rr x)j(by)j(a . H(jω) s’écrit :
∑
∑
=
=
ω
ω
==ωn
0r
rr
m
0q
)j(a
)j(b
x
y)j(H
H jy
x
Y e
X e
Y e e
X e
Y e
X
Y
Xj
b j
a j
j t
j t
j t j
j t
j q
q
q
m
p
p
p
n( ) (cos sin )
( )
( )
( )
ω ϕ ϕ
ω
ω
ω ϕ
ω
ω ϕ
ω
ϕ
= = = = = + =
+=
=
∑
∑
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Les valeurs de l’amplitude Y0 et du déphasage ϕ entre l’entrée et la sortie se déduisent du module
et de l’argument de H(jω) [ ]
Y
= Arg
0 =
X H j
H j
0 ( )
( )
ω
ϕ ω.
Dans la pratique la fonction de transfert isochrone H(jω) est obtenue en remplaçant p par jω dans
la fonction de transfert H(p). Si , à une grandeur d'entrée e(t) = e0sin ωt correspond la grandeur de
sortie s(t) = s0 sin(ωt + ϕ), la fonction de transfert isochrone liant les 2 grandeurs est le rapport des
amplitudes complexes :H jS j
E j( )
( )
( )ω
ω
ω= . On recherche la transformée de Laplace de l'équation
différentielle et l'on remplace p par jω.
Exemple: Soit ad s t
dtb
ds t
dtcs t ke t
2
2
( ) ( )( ) ( )+ + = , on obtient ap
2S(p) + bpS(p) + cS(p) = k E(p)
puis a(jω)2S(jω) + b(jω)S(jω) + cS(jω) = kE(jω) , et donc :H j
k
a j bj c( )
( )ω
ω ω=
+ +2
-V-2- REPONSE FREQUENTIELLE :
-V-2-1- DEFINITIONS
Comme H(jω) est un nombre complexe , on est amené à étudier la variation du module de H
)j(H ω , en fonction de ω mais aussi le déphasage φ de s(t) par rapport à e(t) .
En pratique , au lieu de H, on s'intéresse au gain logarithmique G défini par G = 20 log H où G
est exprimé en décibels (dB).
Définition du décibel: Il est défini comme étant 10
0
logP
P , avec : P0 = 1mW pour une résistance de
charge de 600Ω et une tension U0 = 0,7775 V (ou l2mW sous 50Ω)
W10600
)7775,0(
R
U
R
UUIUP 3
2
0
20
0
00000
−≈====
Par exemple : 7.1m V sous 50Ω correspond à -30dB. En effet :
PU
RW mW= = ≈ =
−− −
2 3 26 37 110
5010 10
( , . ) P donc : 10 10
10
130
0
3
log logP
PdB= = −
−
Si l'on raisonne en amplitude , alors on peut définir le gain en décibel comme 20
0
logU
U
quelques résultats à retenir : UU
G dB ;U
G dB= ⇒ = − = ⇒ = −0 0
23
26 U
Asservissement systèmes linéaires continus 27 / 38
Définition de la décade: une décade = un rapport de 10 en fréquence ou en pulsation .
Définition d’un octave: un octave = un rapport de 2 en fréquence ou en pulsation.
Exemple : réponse temporelle de p01,01
1)p(H
+= pour E(t) = sin (250t)
-V-2-2- Représentations graphiques :
II existe 3 représentations de la fonction de transfert H(jω) :
- le lieu de BODE ;
- le lieu de NYQUIST ;
- le lieu de BLACK .
Lieu de BODE : deux diagrammes sont utilisés conjointement:
- le diagramme des gains :
- en ordonnée : G = 20 log |H(jω)| en dB
- en abscisse : log ω en rd/s
- le diagamme des phases: (semi-log)
- en ordonnée : arg [ H(jω)] = φ en rd ou degrés.
- en abscisse : log ω
Intérêt de cette représentation: si la fonction de transfert peut se mettre sous forme de produit
A(jω).B(jω) , ceci se traduit par la somme des lieux respectifs de A et de B dans les 2 diagrammes.(
En effet , le log d'un produit se traduit par une somme de log ). Si l’on multiplie , seulement par un
facteur K , ceci se traduit par une translation dans le diagramme des gains de la valeur 20log|K| .
Lieu de NYQUIST : c’est l’ensemble des extrémités du vecteur image de H(jω) le plan complexe
lorsque ω varie de 0 à l’infini . La courbe est orientée dans le sens des ω croissants.
Lieu de BLACK: il traduit l'évolution du module en fonction de l'argument de 20LogH(jω):
- en ordonnée: 20LogH(jω)en dB ;
- en abscisse : ϕ en degrés.
II est orienté dans le sens des ω croissants.
Intérêts de cette représentation: - Comme pour le diagramme de Bode , une variation de
gain K se traduit par une translation dans le diagramme.
- On montre qu'il permet de déduire la FTBF à partir de la
FTBO pour les systèmes à retour unitaire.
-V-3- SYSTEME DU 1er ORDRE
H pK
TpH j
K
j T( ) ( )=
+⇒ =
+1 1ω
ω
H jK j T
j T j T
K j T
j T
K j T
T( )
( )
( )( )
( )
( )
( )ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω=
−
+ −=
−
−=
−
+
1
1 1
1
1
1
12 2 2 2 2
Module : H jK
Tj T
K T
T
K
T( )
( )ω
ωω
ω
ω ω=
+− =
+
+=
+11
1
1 12 2
2 2
2 2 2;
Argument : φ = -arctan(Tω)
φ
-jTω
1
0 ,0 0 0 ,0 2 0 ,0 4 0 ,0 6 0 ,0 8 0 ,1 0
-1 ,0
-0 ,5
0 ,0
0 ,5
1 ,0
T em p s
A m p litu d e
S (t)
E (t)
Asservissement systèmes linéaires continus 28 / 38
Lieu de BODE
Diagramme de gain : G = 20 log |H(jω)| = 201
2log
( )
K
T+ ω (en dB)
ω → 0 ⇒ T2 ω2 → 0 ⇒ G → 20logK = cte
ω → ∞ ⇒ T2 ω2 → ∞ et G =20
120 20(log
2log
( )log log )
K
T
K
TK T
+→ = −
ω ωω
Lorsque ω → ∞ la courbe de gain admet une asymptote de pente -20dB/décade
La courbe du rapport d’amplitude présente donc deux asymptote :
- G = 20logK
- G = 20(log K T− log )ω
Les asymptotes se coupent en ω = ωc tel que log(Tωc) = 0 ⇒ ωc = 1 / T ( pulsation de cassure )
En ce point φ = -45° ; atténuation = -3dB
On appelle pulsation de coupure la pulsation à partir de laquelle le signal est atténué de 3dB.
Pour les système du 1er
ordre : pulsation de coupure = pulsation de cassure.
Remarque : un système du 1er
ordre est un filtre passe bas jusqu’à sa pulsation de cassure.
Diagramme de phase : la phase est donnée par l’argument de H(jω)
Argument(H(jω) = φ = -arctan(Tω)
Pour ω = 0 : φ(ω) = Arctan(0) = 0 ; Pour ω → ∞ : φ(ω) → -Arctan(∞) = -90°
Pour ω = ω0 = 1/ T: φ(ω0) = Arctan(-T/T) = Arctan(-1) = - 45°
Pour ω = ω0/2 = 1/ 2T: φ(ω0/2) = Arctan(-T/2T) = Arctan(-1/2) = - 26,56°
Pour ω = 2ω0 = 2/ T: φ(ω0) = Arctan(-2T/T) = Arctan(-2) = - 63,43°
Le diagramme asymptotique à la forme d’une marche d’escalier avec un saut de déphasage à la
pulsation de cassure.
Exemple : p01,01
1)p(H
+=
T
2Log
T
1Log
T2
1Log
(20logk)-1dB
(20logk)-3dB
20Logk
1dB
Logω
GdB
Pente = -20dB/décade
T
2Log
T
1Log
T2
1Log
-26,56°
Logω ϕ
-63,43°
-π/4
-π/2
010 110 210 310 410
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5Gain
010 110 210 310 410
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Pulsation
Phase
Pulsation
-π/4
-π/2
100 = 1 / 0,01
Asservissement systèmes linéaires continus 29 / 38
Lieu de BLACK:
Le diagramme de Black-Nichols est la représentation dans le plan (GdB, φ ) de H(jω)
La courbe peut se tracer point par point en utilisant les valeurs particulières trouvées précédemment.
Exemple : p01,01
1)p(H
+=
Lieu de NYQUIST :
Le diagramme de Nyquist
est la représentation dans le plan
complexe de H(jω).La courbe peut se
tracer point par point en utilisant les
valeurs particulières précédentes.
H jK
j T( )ω
ω=
+1
)Tj1(
)Tj1(K
)Tj1)(Tj1(
)Tj1(K222ω−
ω−=
ω−ω+
ω−=
2222
22
T1
)TKj
T1
K
T1
)Tj1(K
ω+
ω+
ω+=
ω+
ω−=
Exemple : p01,01
1)p(H
+=
-V-4- SYSTEME DU 2ème ORDRE DE CLASSE 0
-V-4-1- SYSTEMES APERIODIQUES
Lieu de BODE : on utilise la propriété énoncée au paragraphe –IV-2- la fonction de transfert d’un
système apériodique peut se mettre sous la deuxième forme canonique et donc sous la forme d’un
produit A(jω).B(jω) , ceci se traduit par la somme des lieux respectifs de A et de B dans les 2
diagrammes. Si l’on multiplie , seulement par un facteur K , ceci se traduit par une translation dans le
diagramme des gains de la valeur 20log|K| .
-90°- -70°-60° -50°-40°-30°-20°- 0 -
-30
-
-10
0
Phas
Gain
-5
-3
-45°
T2
1=ω
T
1=ω
20Logk
-26,56°
ϕ
GdB
-45° -90°
ω = 0
ω → ∞
ω
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,
Partie réelle
Partie imaginaire
GdB
T
1=ω
K/2 ω = 0
ϕ
ω → ∞
Partie imaginaire
Partie réelle
-K/2
Pente = -20dB/décade
)T/1(Log 1
20logk Pente = -20dB/décade
Log
ω
ϕ
-π/4
Logϕ
-π/4
-π/2
)T/1(Log 2
)T/1(Log 1
20logk GdB Pente = -20dB/décade
Logω ϕ
-π/2
-π
)T/1(Log 2
Pente =
-40dB/décade
-π/2
Asservissement systèmes linéaires continus 30 / 38
Exemple : )001,01(
1.
)1,01(
1
)001,01)(1,01(
1)(
pppppH
++=
++=
Cas des systèmes apériodiques critiques :
2)Tp1(
K)p(H
+=
On utilise les résultats précédants en
prenant T1 = T2 = T , on obtient alors
des diagramme dont l’allure est donnée
ci-contre
Lieu de BLACK et de NIQUIST:
Le diagramme de Black-Nichols est la représentation dans le plan (GdB, φ ) de H(jω)
La courbe peut se tracer point par point en utilisant les valeurs particulières trouvées précédemment.
Exemple : )001,01)(p1,01(
1)p(H
++=
Diagramme de Niquist Diagramme de black
010 110 210 310 410-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Pulsation
Gain
-200
-150
-100
-50
0
50Phase
010 110 210 310 410Pulsation
-π/2
-π
1/0,1 1/0,001
Pente –20dB / décade
Pente –40dB / décade
)T/1(Log
20Logk GdB Pente =
-40dB/décade
Logω ϕ
-π/2
-π
Gain dB
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
-0.0
REEL
IMAG
-180° 0
0
-90°
ω→∝
Phase
Asservissement systèmes linéaires continus 31 / 38
-V-4-2- SYSTEMES PSEUDO-PERIODIQUES
Etude préalable
En remplaçant p par jω dans H(p) = K
zp p1
2 1
0 0
2
2+ +
ω ω
on obtient : H jK
zj
( )ω
ωω
ωω
=
+ −12 1
0 0
2
2
En mettant le dénominateur sous la forme a + jω on a : H jK
jz
( )
( )
ωω
ω
ω
ω
=
− +12
2
0
2
0
.
Amplitude : 1 1
2 2a jb a b+=
+ :A(ω) = H j
K
jz
K
z( )
( ) ( )
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
− +
=
− +12
14
2
0
2
0
2
0
2
22 2
0
2
en posant u =ω
ω0
pulsation réduite on obtient :A(u) = ( )
K
u zu( )1 22 2 2
− +
On montre que pour z < 0,7 A(ω) admet un maximum appelé résonance . La pulsation
correspondante est appelée pulsation de résonance et est notée ωr : 2
0r z21−ω=ω
L’amplitude maximum est
alors : AK
z zr( )ω =
−2 12
.
Plus z est petit , plus l’amplitude
de résonance est grande. Ceci
est caractérisé par une grandeur
Q appelée facteur de surtension
ou facteur de résonance qui est
le rapport entre l’amplitude de
résonance et l’amplitude en
régime statique.
QH j
H z z= =
−
(
( )
ω
0
1
2 12
Facteur de surtension
en fonction du facteur
d’amortissement 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,20,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Q
z
Pour z > 0,7 : Q = 1 , il n’y à pas de résonance . Dès que z < 0,1 Q prend des valeurs importante.
Phase : rappel :arg arctan1
a jb
b
a+
= − [ ]
ωω−
ωω
−=ωωϕ⇒
20
2
0
1
z2
arctan)j(HArg=)(
En posant : u =ω
ω0
pulsation réduite on obtient =ϕ ω( ) arctan−−
2
12
zu
u
Diagramme de BODE
Amplitude en db : Adb = = 20log10ϕ ω ω( ) ( )H j = 20log(( )
K
u zu( )1 22 2 2
− +)
= 20logK - 10log ( )[ ]( )1 22 2 2
− +u zu
- lorsque ω tend vers 0, u tend vers 0 et: Adb = 20log K = Cte
Adb tend vers une
droite horizontale.
- lorsque ω tend vers l’infini, u tend vers l'infini et ( )[ ]( )1 22 2 2
− +u zu →u4
⇒ Adb ⇒ 201og K - 401og u
Adb tend asymptotiquement vers une droite de pente négative ( la représentation d'une fonction
log en coordonnées semi-logarithmiques est une droite). La pente est exprimée par décade, une unité
de l'axe des pulsations correspondant à une puissance de dix de ces mêmes pulsations:- 40db/décade
. L'intersection des deux droites s'effectue en un point tel que:
201og K = 201og K - 401ogu ⇒ u =1 ⇒ ω = ω0 La pulsation correspondante est ω avec: ω = ω0
Asservissement systèmes linéaires continus 32 / 38
Diagramme asymptotique de gain: Ce diagramme donne une bonne idée de la courbe de réponse
en fréquence
- pour 1es fréquences faibles: droite 20logK
- pour les fréquences autour de ω0: la valeur de l'amplitude dépend de z (résonance ou non).
- pour les fréquences plus élevées: droite de pente - 40db/décade.
Diagramme de phase: La phase est donnée par l'argument de H(jω).
pour ω = 0 : φ(ω) = Arctan(0) = 0 ; pour ω tendant vers l'infini: φ(ω) →-Arctan(0-) = -π
autour de ω = ω0 :
(ω0-) = - Arctan(∞) = −π
2
et φ(ω0+) = - Arctan(-∞) = −π
2
Le diagramme asymptotique
à la forme d'une marche d'escalier
avec un saut de déphasage à la
pulsation propre non amortie:
Exemple 1:
Système de gains statiques unitaires de fonction de transfert : 2p01,0zp1,01
1)p(G
++=
La pulsation propre non amortie est égale à l0 rd/sec.
Soit 5 systèmes d'amortissements différents : z = 0,01 ; z = 0,2 ; z = 0,7 ; z = 1 ; z = 5
La pulsation de cassure est ω0 = ωn = l0 rd/sec ; 1e gain à basse fréquence est :
Adb = 20logK = 20log1 = 0db dans tous les cas.
On remarque que:
- pour les amortissements de valeur 0,7 ou l , l'allure des courbes est identique à celle des
systèmes du premier ordre (Mais attention, la pente est de -40Db/décade pour l'amplitude
et le déphasage maximum est de -180° pour la phase).
- pour les amortissements de valeur plus importante (z = 5), il apparaît une perte de signal
importante même à basse fréquence (- 3Db et - 45° pour l rd/sec).
- pour les amortissement plus faibles (z = 0,2 et 0,01) apparaît le phénomène de résonance,
c'est à dire une augmentation de l'amplitude du signal de sortie aux abords de la pulsation
propre non amortie En effet, nous avons vu que ωr = ωn2z21− . La valeur de la
pulsation de résonance est proche de celle de la pulsation propre non amortie pour les
valeurs faibles de z.
0ω
20Logk GdB
Pente =
-40dB/décade
Logω ϕ
-π/2
-π
010 5 110 50 210 500 310
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Pulsation
Gain
-200
-150
-100
-50
0
50
Phase
− π
− π/2
Log ω0
Asservissement systèmes linéaires continus 33 / 38
Le phénomène de résonance est parfois recherché par exemple lorsque l'on désire, en
électronique, capter une station radio: on utilise un circuit résonnant du second ordre de coefficient
d'amortissement très faible (< 0,05) donc de coefficient de surtension supérieur à 10 et on fait
travailler ce circuit autour de la fréquence que l'on désire capter.
La résonance ne correspond pas à un rendement du système supérieur à 1 qui est physiquement
impossible. Le fait de dire que "l'amplitude du signal de sortie est plus grande que celle du signal
d'entrée" impose d'abord que les grandeurs physiques soient identiques, ce qui n'est pas le cas
général, et surtout ne permet pas d'affirmer que le bilan énergétique est supérieur à 1 (d'ailleurs la
première affirmation est vraie pour tout système de gain statique supérieur à 1 même en l'absence de
résonance, le gain d'énergie provenant alors d'une source extérieure au système).
Le phénomène de résonance est particulièrement redouté en génie civil : les ouvrages comme un
pont par exemple, peuvent entrer en résonance à certaines fréquences et sont alors sollicités
mécaniquement d'une manière importante. Ceci est vrai pour toutes les structures, même complexes,
la résonance apparaissant pour les systèmes linéaires d'ordre supérieur à deux.
En commande d'axe on cherchera à limiter la résonance qui est liée à un régime oscillatoire et à un
dépassement important nocifs pour la mécanique (Rappel: le facteur de surtension qui caractérise
l'importance de la résonance augmente lorsque z diminue) .
Un réglage courant en avant projet consiste à choisir Q =1,3 correspondant à un facteur
d'amortissement z = 0,43.
Exemple 2 : 2p01,0p086,01
100)p(G
++= . Le gain statique est ≠1 ; la pulsation propre non amortie est
ω0 = l0 rd/s ; le coefficient d'amortissement est z = 0,43 ; gain à basse fréquence
= 20LogK = 20Log100 = 40db ; déphasage de -90° pour ω0 = l0 rd/s.
z < 0,7: système possédant une résonance en ωr = ω0 1 2 10 1 2 0 432 2
− = −z ( , ) = 7,9 rd/s
Amplitude à la résonance: A H jK
z zr( ) ( )
( )ω ω= =
−=
−2 1
10
0,86 1 0,432 2
= 12,87
=−
=⇒ )
z1z2
K(Log20Gdb
222,19dB
déphasage à la résonance: °−=
−−=
−−
−−=ωϕ 55,61
z
z21arctan
)z21(1
z21z2arctan)(
2
2
2
r
coefficient de surtension : Qz z
=−
=−
1
2 1
1
0 86 1 0 432 2
, ( , )=1,28
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
010 2 5 110 2 50 210Pulsation
Gain
-200
-150
-100
-50
0
50
Phase
Asservissement systèmes linéaires continus 34 / 38
Diagramme de BLACK-NICHOLS
Le diagramme de Black-Nichols est la représentation dans le plan ( GdB , φ ) de H(jω)
Adb = 20Log(( )
K
u zu( )1 22 2 2
− +) ; =ϕ ω( ) arctan−
−
2
12
zu
u
Exemple : Système de gains statiques
unitaires de fonction de transfert :
2
p01,0zp2,01
1)p(G
++=
Systèmes avec: z = 0,02 ; z = 0,1
; z = 0,4 ; z = 0,7 ; z = 1
Adb = 20Log(( )
K
u zu( )1 22 2 2
− +)
=ϕ ω( ) arctan−−
2
12
zu
u
Il existe autant de réponse que de
valeurs de z :valeurs remarquables
ω Amplitude Adb Phase φ
ω = 0 20logK 0
ω = ωr 20log(K
z z2 12
−)
Dépend
de z
ω = ω0 20log(
K
z2)
- 90°
ω →∞ − ∞ - 180°
Diagramme de NYQUIST : c’est la représentation de la fonction complexe :
H jK
jz
( )
( )
ωω
ω
ω
ω
=
− +12
2
0
2
2
0
2
Le lieu de H(jω) dans le plan complexe est le lieu du point M de
coordonnées polaire : r(ω) = H j( )ω = ( )
K
u zu( )1 22 2 2
− + et =ϕ ω( ) arctan−
−
2
12
zu
u
Exemple : 2
p01,0zp2,01
1)p(G
++= avec : z = 0,1 ; z = 0,4 ; z = 0,7 ; z = 1
Points remarquables :
- pour ω = 0 , H(jω) = K réel pur (r = K et φ = 0): A fréquence très faible, le déphasage
est nul et l'amplitude est K.
- pour ω = ωn , H(jω) = K/2zj = jK/2z imaginaire pur (φ = -90°): La pulsation de
cassure ωn est située à l'intersection de la courbe de réponse avec l'axe des imaginaires.
0
-10
-20
-30
-40
10
20
30
-50
-60
0°-20°-40°-60°-80°-100°-120°-140°-160°-180°
AdB
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
REEL
IMAG
-1
Asservissement systèmes linéaires continus 35 / 38
- pour ω = ωr , (cas ou z < 0.7), on obtiendra le module maximum.
- pour ω tendant vers l'infini, H(jw) tend vers zéro par valeurs négatives: A haute fréquence,
le gain tend vers 0: point (0,0) sur le diagramme (ce point n’est jamais atteint puisqu'il
correspond à une pulsation infinie). La phase tend vers -π
Pulsation remarquables.
Les systèmes du second ordre possèdent plusieurs pulsations remarquables qui ne sont pas
toujours pur notées de la même manière par les différents auteurs il agit donc de bien 1es différentier
pouvoir les reconnaître.
ω0 : pulsation propre non amorti. C'est la pulsation à laquelle le système
= ωn oscillerait si le coefficient z était nul (système non amorti). C’est également la pulsation de
cassure sur le diagramme asymptotique de Bode, pour laquelle le déphasage est de - 90° .
ωp : pulsation propre. C'est la pulsation des oscillations transitoires de la réponse indicielle.
Elle dépend de z: ω ωp z= −0
21
ωr : pulsation de résonance . C’est la pulsation pour laquelle le module de la fonction de transfert
est maximum. Elle dépend aussi de z et n’existe que si z < 0,7.ω ωr z= −0
21 2
ωc : pulsation de coupure à 3 dB .C'est 1a pulsation pour laquelle la réponse harmonique du système
est atténuée de 3dB . Une atténuation de 3 dB correspond à une atténuation du signal de sortie
d’environ 30%. On rencontre aussi la pulsation de coupure à 6dB (atténuation de 50%). On
montre que la pulsation de coupure à 3dB dépend également de z et est égale
à :ω ωc z z= − + −0
2 2 21 2 1 1 2( )
On aboutit à la même conclusion que pour les systèmes du premier ordre: un système du second
ordre est un filtre passe bas.
Attention: ne pas confondre la fréquence de cassure et la fréquence de coupure à 3dB.
Système du 1er
ordre: fréquence de cassure et fréquence de coupure à 3dB identiques: ωc =1/T
Systèmes du second ordre: fréquence de cassure ωn et fréquence de coupure à 3dB: ωc·
Le graphe ci-dessous met en évidence le fait que, pour les valeurs faibles de l'amortissement
z , les pulsations ω, ωp et ωr sont proches 1 une de l'autre. Pour z = 0.43 ; ωp = 0.9ωn et ωr = 0.8ωn .
Pour z = 0.2, ωp ; ωp = 0.98ωn et ωr = 0.96ωn .Pour z = 0, ωp = ωn = ωr· On retrouve bien la
propriété suivante: pour z > 0.7, il n'existe pas de résonance et ωr n a pas de valeur.
La figure ci-dessus décrit graphiquement l'évolution de ωc/ω0 en fonction de z . Pour une valeur
donnée de la pulsation propre non amortie, la pulsation de coupure diminue lorsque z augmente, ce
qui signifie que la bande passante diminue lorsque z augmente. Nous avons montré que pour les
systèmes du premier ordre, la bande passante et la rapidité étaient liées. Il en est de même pour les
systèmes du second ordre, mais d'une manière plus subtile: pour un amortissement z constant, nous
savons que le système est d'autant plus rapide que sa fréquence propre est grande la figure ci-après
montre que pour un amortissement z constant la fréquence de coupure ( et donc la bande passante),
est d'autant plus grande que la fréquence propre est grande. Finalement la rapidité et la bande
passante évoluent dans le même sens.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
ω0
0,5ω0
ωc
ωp
ωr
z
Asservissement systèmes linéaires continus 36 / 38
-V-5- SYSTEME COMPORTANT UN INTEGRATEUR
Exemple : )p01,01(p
6)p(H
+= , lorsque ω→0 il y a une asymptote de pente –20dB/décade pour le gain
et une asymptote ϕ = -90° pour la phase .
-V-6- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR D’UNE REPONSE FREQUENTIELLE
-V-6-1- Système du 1er ordre :Tp1
K)p(H
+=
La constante de temps T est
déterminée à partir de la
pulsation de cassure. Cette
dernière est obtenue sur le
diagramme de phase pour
un déphasage de –π/4,
la constante de temps est
alors l’inverse de cette
pulsation.
Le gain statique K est obtenu
à partir de la limite du gain
GdB lorsque ω→0 :
20G
10K = Ici :
8,110K 205
≅= et T = 0,01
p01,01
8,1)p(H
+=⇒
-110
010
110
210
310
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
PULS
GAIN
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80PHAS
010 110 210 310 410
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5Gain
010 110 210 310 410
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Pulsation
Phase
Pulsation
-ππππ/4
Τ=1/ωc= 1 / 100 =0,01
Asservissement systèmes linéaires continus 37 / 38
-V-6-2- Système du 2ème ordre de classe 1
)Tp1(p
K)p(H
+= ; T est
déterminée à partir de la
pulsation de cassure. Cette
dernière est obtenue sur le
diagramme de phase pour
un déphasage de –3π/4 , la
constante de temps est alors
l’inverse de cette pulsation
ici : T = 1/5 = 0,2.
Le gain statique K est obtenu à
partir du gain GdB pour une
valeur particulière de ω : ici on
peut prendre ω = 1 ( si cette
dernière est suffisament loin de
la pulsation de cassure on
prend G(1) = 20LogK sinon
voir ci après ) . Ici G(1) = 10
-110 010 110 210
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
PULS
GAIN
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80PHAS
-3π/4
G(1)
ωωωω=1/T
20Log)j2,01(j
K
+= 20Log
2,0j
K
−⇒10 ≅ 20LogK –0,167⇒ K = 10
9,83/20 ≅ 3,1 )p2,01(p
1,3)p(H
+=⇒
-V-6-3- Système du 2ème ordre de classe 0 aperiodique
)pT1)(pT1(
K)p(H
21 ++=
Comme précédemment on
détermine les constantes de
temps T1 et T2 en inversant
les pulsations ω1 et ω2
correspondant aux déphasage
de –π/4 et –3π/4.
K est déterminé à l’aide de
G = GdB pour ω→0:
K = 10G/20
Ici : K = 10-10/20 ≈ 0,316
T1 ≈ 1/4,3 ≈ 0,233
T2 ≈1/190 ≈ 0,0053
)p0053,01)(p233,01(
316,0)p(H
++=
-V-6-4- Système du 2ème ordre
de classe 0 raisonnant
2
200
p1
pz2
1
K)p(H
ω+
ω+
=
La pulsation propre non
amortie ω0 est obtenue pour
un déphasage de –π/2 .
K est obtenu à partir de GdB(0)
z est obtenu à partir de Q :
Q = 2z1z2
1
−
Ici : ω0 = 200 rd/s
K = 105/20
≈ 1,8
20LogQ =30dB ⇒ z = …..
25 p10.5,2zp01,01
8,1)p(H
−++=
010 110 210 310-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Pulsation
Gain
-ππππ /4
1/0,1ωωωω1
-200
-150
-100
-50
0Phase
010 110 210 310
-3π/4π/4π/4π/4
ωωωω2
0 10 5 1 10 50 2 10 500
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Pulsation
Gain
-200
-150
-100
-50
0
50
Phase
− π/2− π/2− π/2− π/2
ωωωω0000
20LogQ
Asservissement systèmes linéaires continus 38 / 38
-V-6-5- Systèmes du 2ème ordre de classe 0 pseudo-periodiques non raisonnant (0,7<z<1)
Dans ce cas 20Log2z<6db
2
200
p1
pz2
1
K)p(H
ω+
ω+
=
ω0 est obtenue pour
un déphasage de –π/2 .
K est obtenu à partir de GdB(0)
z est obtenu à partir de :
20
2
20
00
0
j1
jz2
1
K)j(H
ωω
+ωω
+
=ω
jz2
K
1jz21
K)j(H 0 =
−+=ω
z2
KLog20)j(H 0 =ω
z2Log20LogK20)j(H 0 −=ω
Ici : ω0 = 10 rd/s ; K = 1 ; 20Log2z ≈ 5 ⇒ z ≈ 0,89 D’où :2
p01,0p18,01
1)p(H
++=
-V-6-6- Système du 3ème ordre de classe 1 apériodique
Voir le –IV-6-3- pour les constante de temps et le –IV-6-2- pour le gain.
-V-6-7- Système du 3ème ordre de classe 1 pseudo-périodique raisonnant
)p1
pz2
1(p
K)p(H
2
200 ω
+ω
+
=
ω0 est obtenue pour un
déphasage de –π.
K est obtenu à partir du gainpour une
valeur particulière de ω , ici ω=1
par exemple ,G(1) ≈ 20LogK
( si la bosse de raisonnance est
suffisament loin de ce point).
Q est obtenu entre l’asymptote à
l’origine et la tangente
(// à l’asymptote)à la bosse de
résonance.z est obtenu à partir de Q
Ici : ω0 = 8 rd/s
20LogQ = 8 ⇒ z = …G (1) ≈ 19dB ⇒ K = ….D’où :
)j1
jz2
1(j
K)j(H
2
200 ω
+ω
+
= = …
010 2 5 110 2 5 210
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
PULS
GAIN
PHAS
010 2 5 110 2 5 210
-280
-260
-240
-220
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
20LogQ
ωωωω0000
50
10 51
10 52
10 5
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
PULS
GAIN
-200
-150
-100
-50
0
PHAS
20Log2z
−π/2
