Atelier co-disciplinaire

AC3Le Spatial, un espace de mesureAnne-Cécile Dhers, Education NationaleWilliam Gambazza, Education Nationale

LE SPATIAL,UN ESPACE DE

MESURE

Résumé :

Les programmes de collège et les nouveaux programmes de lycée, pour les sciencesphysiques/chimiques et mathématiques, partagent des compétences communes dont deux trèsimportantes :

• Permettre aux élèves de maîtriser les différentes étapes de la démarche scientifique. • Savoir utiliser à bon escient les nouvelles technologies.

L’histoire des premières mesures astronomiques, du temps de l’antiquité jusqu’à nos jours, où letraitement des données, issues de mesures, est primordial, est particulièrement riche pour ces deuxdisciplines qui peuvent alors se nourrir mutuellement au bénéfice de l’efficacité de la formation desélèves sur de nombreuses notions : trigonométrie, traitement statistique de données expérimentales(moyenne, écart type, …), algorithmique….

L’idée de cet atelier sera de présenter des activités, notamment sur le thème du spatial, qui pourrontêtre proposées aux élèves depuis le collège jusqu’au cycle terminal du lycée.

Plan de l’atelier :

I] Quelle est la distance qui nous sépare de la Lune ?

1- Analyse de données2- Méthodes historiques3- Méthodes actuelles

III] Comment se repérer et se déplacer sur Terre ?

1- Principe du positionnement GPS2- Principe de la navigation GPS

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Mesure de la distance Terre-Lune (Méthodes historiques)

I. ANALYSE DE DONNÉES 1) Combien dure une lunaison ?

En 2014, il y aura 12 lunaisons complètes. On donne ci-dessous les horaires des 13 nouvelles lunesde 2014.

1. Calculer la durée de chaque lunaison, puis la durée moyenne, médiane, minimale, maximale. 2. Tracer ensuite le diagramme en boîte après avoir déterminé les quartiles.3. Que peut-on penser de la durée d'une lunaison sur une année ? On s'aidera du tableur.

Horaire de la Nouvelle Lune :01/01/14 11:0130/01/14 21:3901/03/14 08:02

30/03/14 18:4729/04/14 06:1628/05/14 18:42

27/06/14 08:0926/07/14 22:4225/08/14 14:12

24/09/14 06:1223/10/14 21:5522/11/14 12:31

22/12/14 01:35

2) Approximation de la distance Terre-lune grâce à des photos

Grâce à ses trois photos (ou montage) d'éclipses, on peut voir que l'ombre de la terre est circulaire. Onpeut donc , dans un premier temps, grâce à une simple relation de proportionnalité estimer le diamètrelunaire en connaissant simplement le diamètre terrestre.

1. Grâce à Geogebra et à l'outil “cercle à l'aide de 3 points”, tracer sur les photos les circonférences dela lune et de l'ombre de la Terre.

2. Puis à l'aide de la partie Tableur, après avoir tracé géométriquement les diamètres, calculer lediamètre de la lune.

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II. LA MÉTHODE D'HIPPARQUE Aristarque de Samos (300 – 230 av J.C.) fut un des premiers à essayer de déterminer la distanceentre la Terre et la Lune, en utilisant l’observation des éclipses de Lune. Pour faire ses calculs, il a eu besoin de connaître le rayon de la Terre, rayon qu’Eratosthène calcula en236 av J.C. Nous allons ici nous intéresser plutôt à la méthode proposée par Hipparque en 167 av J.C., qui est unpeu plus précise.

Voici les hypothèses formulées par Hipparque pour calculer la distance Terre – Lune : - La Terre est ronde. - La durée d’une éclipse de Lune est de 2,5 h maximum. - La durée de la lunaison est de 29,5 jours (période synodique). - Le diamètre apparent du soleil est de 0,50 ° soit 30 minutes d’arc. - La parallaxe de la Terre depuis le Soleil est négligeable (γ ≈ 90°)

Schéma de la situation :

Image source : http://jardin-sciences.unistra.fr/uploads/media/Lycee-LadistanceTerreLune.pdf

Activité de mesure du diamètre apparent du SoleilIl est possible faire réaliser cette mesure assez simplement aux élèves. Pour cela, il faut utiliser undispositif basé sur le principe de la camera obscura. La matériel est très simple à trouver et àfabriquer :

✗ un tube de longueur et diamètre quelconques→ carton, pvc, etc ….✗ du papier cartonné (ou une feuille de mousse plastique)✗ du papier millimétré (transparent ou pas)

D'un coté du tube on fixe le papier cartonné percé d'un trou à l'aide d'un compas. La qualité de lamesure passera notamment par la régularité des bords du trou. Une solution pour s'en assurer est dechauffer la pointe de compas préalablement. De l'autre coté, fixer le papier millimétré.

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αδ γ

Lune

Terre

Soleil

Début de l'éclipse

Fin de l'éclipse

β

Diriger ensuite le coté troué vers le Soleil jusqu'à obtenir sur le papier millimétré son image. Relever la taille de l'image (il peut être utile de prendre une photo de cette image pour faire la mesureplus aisément)Mesurer la longueur du tube

Pour obtenir le diamètre apparent, il suffit alors d'appliquer un peu de trigonométrie :

On peut donc écrire : tan (α )= DL= d

let donc que α = arctan( d

l)

Voici quelques exemples de mesures avec différents tubes :

Cette activité peut tout à fait être dirigée en collège en classe de 5ème mais l'utilisation des formulesdevient presque magique. Elle serait plus appropriée au lycée quelque soit la classe dans un TP sur lamesure par exemple car il est aisé d'y ajouter des calculs d'erreurs

Exercice sur la méthode d'Hipparque:

Q1 : Calculer l’angle β sachant qu’il s’agit de l’angle formépar la position entrante et la position sortante de la Lune dansle cône d’ombre de la Terre.

Q2 : En déduire l’angle δ.

Q3 : En utilisant les notations ci-contre, en déduire la distanceTerre-Lune en fonction du rayon de la Terre RT.

Q4 : Sachant qu’Ératosthène a estimé le rayon de la Terre à 6500 km, donner l’estimation d’Hipparque de ladistance Terre – Lune.

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l L

d

Tube percé Soleil

a D

III. LA MÉTHODE DE LALANDE ET LA CAILLE

Lalande et La Caille ont proposé en 1751 une méthode de triangulation pour calculer la distanceTerre – Lune. Cette méthode appelée aussi méthode de la parallaxe consiste à mesurer l’angle souslequel on voit la Lune par rapport au zénith à deux positions éloignées sur la Terre.

Lalande se trouvait à Berlin (Allemagne), alors que La Caille se trouvait au Cap de Bonne Espérance(Afrique du Sud).

Au point B, c’est à dire à Berlin, Lalande mesure un angle z1 entre le zénith et la Lune.

Au point C, c’est à dire au Cap de Bonne Espérance, La Caille mesure un angle z2 entre le zénith et laLune.

On note λ1 = LTB et λ2 = LTC les latitudes respectives de Berlin et du Cap de Bonne Espérance.La parallaxe lunaire correspond à : p = p1 + p2 = BLC

Partie A : Conjecture avec Geogebra

Q1 : Réaliser la figure ci-dessous avecle logiciel Geogebra.

On utilisera les données suivantes :• λ1 = 52,52 ° ; • λ2 = 34.36 ° ;• z1 = 53,52 ° ; • z2 = 34,66 ° ; • RT = 6378 km

Q2 : Mesurer l’angle p ainsi que la distance Terre-Lune (TL).

Partie B : Démonstration

Q3 : Exprimer p, la parallaxe lunaire, en fonction de z1, z2, λ1 et λ2.

Q4 : En appliquant la formule des sinus dans les triangles BTL et CTL, montrer que :

sinTLB + sin TLC= TBTL

sin TBL+ TCTL

sinTCL

Q5 : En assimilant p1 et p2 , exprimés en radians, à leur sinus, montrer que :

TL= RT

sin z1+ sin z 2p

Q6 : Calculer alors TL en prenant les données numériques de la partie A, et comparer avec celui obtenu enpartie A.

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p

T

L

C

B

Mesure de la distance Terre-Lune (Méthode moderne)

I. HISTOIRE DE LA MESURE

Pour mesurer précisément la distance Terre/Lune, Jean Rösch, Directeur de l'Observatoire du Pic duMidi a l’idée d’associer le télescope et les lasers, dont la technologie se développait dans les annéessoixante, pour effectuer des tirs laser vers la Lune.Pour cela, il fallait déposer sur la Lune des réflecteur LASER. C’est alors que les soviétiquesproposent au CNES en 1968 de fournir des réflecteurs lasers pour les rovers lunaires, Lunakhod 1 & 2,devant être déposés sur la Lune au début des années soixante-dix.Le rétroréflecteur français des Lunakhod soviétiques des missions LUNA 17 et 21 était constitué de 14prismes à face triangulaire de 10,6 cm pour une surface totale de 680 cm² et une masse de 3,5 kg.Le 17 novembre 1970, la mission LUNA 17 dépose le Lunakhod 1 dans la région de Mare Imbrium.Dans le contexte de la course à la Lune avec les américains, les soviétiques n’avaient pas mentionnéque la mission contenait un véhicule mobile et les coordonnées du site d’atterrissage ont ététransmises au CNES dans le plus grand secret.Les premiers tirs laser ont eu lieu depuis l’Observatoire du Pic du Midi dans les nuits des 5 et 6décembre 1970. A. Orszag utilisait un puissant laser à rubis, à la limite du savoir-faire de l’époque.Les conditions expérimentales étaient difficiles et les tirs n’étaient possibles que quelques jours parmois.

En effet : le bilan de liaison étant très médiocre (encore aujourd’hui sur 1020 photons émis,1 à 2 photons

sont détectés au retour), et les mesures n’étaient envisageables qu’avec le Lunakhod dans lanuit lunaire

le réflecteur ne pouvant être pointé que par repérage (sur des cratères) dans la partie éclairéede la Lune, donc loin du rover, il fallait finalement placer « en aveugle » le spot laser, de 2 à 3km de diamètre

comme chaque mesure nécessitait 70 à 200 tirs lasers, se déroulant en 10 à 20 minutes, lepointage devait tenir compte du déplacement de la Lune pendant toute la durée des tirs.

En 1965, la durée de chaque impulsion laser était de 50 ns ce qui conduisait à une incertitude d’unedizaine de mètres, précision qui ne cessera ensuite de s’améliorer. En pratique, les tirs n’étaientpossibles que quelques jours par mois quand la Lune présentait un fin croissant éclairé et … par beautemps ! Néanmoins ces premiers tirs furent un succès et les premiers échos de la Lune furent reçus.A ce jour 5 réflecteurs lunaires ont été déposés sur la Lune : les deux franco-soviétiques et ceux desmissions Apollo XI, XIV et XV. Ce dernier de très grande dimension (1m × 0,6m) Le réflecteur d’Apollo XV est le plus utilisé et représente la cible de près de 80% des tirs lasers sur laLune.Source : http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/9358-st-1970-premiere-mesure-de-la-distance-terrelune.php

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II. PRINCIPE DU LASER Dans cette partie on utilise la simulation de Phet sur le Laser.Nous avons choisi de procéder en deux parties et de n’introduire le troisième niveau d’énergie ou lesmiroirs que dans la partie 2 intitulée « comment fonctionne un Laser », avec plusieurs atomes ce quicorrespond mieux au Laser réel. Remarque :Dans la simulation on peut utiliser un mode pas à pas en cliquant sur le bouton pause puis en utilisantle bouton pas.

➢ Comment un atome peut-il émettre un rayonnement ?

Source : http://phet.colorado.edu/fr/simulation/lasers

Questionnement :

On peut demander aux élèves d’émettre des hypothèses sur les conditions pour lesquelles on obtient pourl’atome un phénomène d’absorption, d’émission spontanée ou d’émission stimulée. Ils vérifieront avec lasimulation leurs hypothèses.Dans le cas de la compétition de l’émission spontanée et stimulée on pourra demander quels sont lesparamètres qui vont favoriser une émission ou l’autre.

o Paramètres de l’animation imposés aux élèves : Dans cette partie on demande aux élèves de ne travailler qu’avec deux niveaux d’énergie et de ne pasactiver les miroirs.

o Paramètres modifiables par les élèves :L’élève peut modifier quatre paramètres :

Le flux de photons incidents La longueur d’onde des photons La durée de vie de l’état excité La hauteur du niveau d’énergie 2 de l’atome.

➢ Comment fonctionne un LASER ?o Réalisation de l’inversion de population par pompage

Paramètres de l’animation imposés aux élèves : Dans cette partie on demandera aux élèves de ne pas introduire les miroirs et on ne parlera pas decavité Laser. On leur demande également de ne pas montrer les photons émis de plus hauts niveauxd’énergie et de ne pas activer la vue onde.

Paramètres modifiables par les élèves :En plus des paramètres précédents l’élève pourra cette fois également ajouter un troisième niveaud’énergie et pour la vue lampe voir les flux de photons incidents ou voir une coloration seulement.

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Questionnement :

On demande aux élèves de trouver les conditions pour réaliser une inversion de population : Nbre d’atomes N2 dans le niveau 2 > nbre d’atomes N1 dans le niveau 1

Questionnement :

On pourra ensuite leur demander de justifier l’impossibilité d’une inversion de population pour un système àdeux niveaux en donnant comme l’indique le résultat d’Einstein : entre deux niveaux, la probabilitéd'émission stimulée est égale à celle de l'absorption d'un photon.

o Mise en place de la cavité Laser Questionnement :

On peut maintenant demander aux élèves de finaliser le Laser en ajoutant les miroirs et leur demander deréaliser un Laser fonctionnel et de décrire son fonctionnement et les conditions d’un bon fonctionnement.

III. PRINCIPE DE LA MESURE DE LA DISTANCE TERRE-LUNE

L'expérience « laser-lune » de l'Observatoire de La Côte d'Azur (OCA) a pour but la déterminationprécise de la distance terre-lune et de ses variations. Elle est située sur le plateau de Calern, près deGrasse.Le principe est la mesure de la durée ∆t d'aller-retour d'une impulsion laser émise du sol terrestre vers

un réflecteur lunaire. On en déduit la distance terre-lune D=c×Δt

2.

La valeur moyenne de la distance terre-lune étant d'environ 3,84.108 m, on prévoit un intervalle∆t ≈ 2,56 s entre l'émission d'une impulsion et la réception du signal de retour correspondant.Actuellement, la distance D est déterminée au centimètre près et la précision atteinte sur la mesure de∆t est de δτ ≈ 10-10 s = 100 ps.Schéma du principe de l'expérience laser-lune :

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Réflecteur Laser (mission Appolo XV)

Source schéma : http://www.physics.ucsd.edu/~tmurphy/apollo/basics.htmlSource image réflecteur: NASA, Appolo XV Map and Image Library, image n° AS15-85-11468

Des mesures similaires (lunar laser ranging, LLR) sont faites dans différents observatoires étrangers,notamment le récent projet APOLLO à Apache Point (Apache Point Observatory Lunar Laser-rangingOperation, Nouveau Mexique, USA). Un large réseau d'observatoires utilise le même principe de télémétrie laser pour assurer le suivi précisdes trajectoires de satellites artificiels (satellite laser ranging, SLR), la coordination se faisant àl'échelle internationale (International Laser Ranging Service). Les performances des mesuresobtenues par laser-lune suscitent de nombreux développements et améliorations : voir par exemple àl'Observatoire de La Côte d'Azur la station de télémétrie laser MéO.Source : http://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/XML/db/csphysique/metadata/LOM_CSP_laser-distance-terre-lune.xml

IV. TRAITEMENT DES DONNÉES

Série de Mesure réalisée par le Laser du Calern (janvier 2005)

5120050103015725326116725736740466525301910034003408099 087759+01624 5320a06425120050103020725392986225725357654121001910010002806039 087770+00627 5320a06015120050103022406304561125706733800961301910030002673099 087779+00328 5320a06625120050103023952095778925676801811029201910011002508021 087779+00824 5320a05275120050103025039909520725679857111000301910025003432072 087790+01321 5320a06615120050103032132490010825652723481003301910044003469099 087800+02420 5320a06305120050103033525245455925642558129824001910009002669046 087809+02920 5320a05745120050103034838092553525632821775983301910051003352099 087809+02020 5320a06375120050103040520895745225608858021496201910017002388042 087800+00620 5320a05605120050103041741247603325615762659651301910039003130099 087820+00620 5320a07115120050103044409961121725604209860695301910030003211087 087859+01020 5320a06785120050103045738016220325600637685095001910026001980099 087890+01220 5320a06055120050103053555053251325579266933951201910014002858028 087959+00850 5320a0521….

(extrait ,données complètes dans le tableur)

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Q1 : A l’aide du document expliquant le format des données et à partir des 3 premières lignes de mesure,déterminer la date et l’heure du tir.Démonstration des formules STXT...

Q2 : Ouvrir le fichier AnalyseLIDAR et le compléter.Colonne A : Données brutesColonne B : Durée ∆t d’un aller-retour en secondesColonne C : Le réflecteur visé,Colonne D : calcul de la distance DTL (terre-lune)

Donnée : c = 299 792 458 m/s

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Q3 : Pour une série de mesure effectuée le même jour, observer comment évoluent les valeurs de ∆t. Proposerune explication à vos observations. On pourra surligner les données à étudier.

Q4 : Comment évolue la distance DTL lors des différentes séries de mesure ? Comment peut-on expliquercela ?

Q5 : Le 10 et le 25 janvier 2005 aurait-on pu faire l’observation ? Justifier à l’aide du calendrier lunairefourni.

IV. SYNTHÈSE

La Lune s'éloigne de la Terre de 3,8 cm par an !

Même si la précision de la mesure est importante, la régularité des mesures sur plusieurs années voiredes décennies est également nécessaire, en particulier pour avoir accès à la variation de certainsparamètres sur de longues périodes. On a pu ainsi déterminer, par exemple, que la Lune s’éloigne dela Terre de 3,8 cm par an !Ces mesures de précision permettent d’étudier le mouvement très complexe de notre satellite naturel.Elles donnent également accès à certains paramètres de la structure interne de la Lune et de la Terreainsi qu’aux mouvements fins de notre planète (mouvement des pôles, dérive des continents, ..) etpermet de valider les théories physiques.

Prolongements :• « La lune au secours d’Einstein » : http://www.larecherche.fr/content/recherche/article?

id=20548• http://www-g.oca.eu/cerga/gmc/kids/cd/pdffr/Marees.pdf• http://en.wikipedia.org/wiki/Apache_Point_Observatory_Lunar_Laser-

ranging_Operation#Science_goals• http://www-g.oca.eu/gemini/donnees/las_lune/ptn.htm

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Principe du positionnement GPS

I. PRÉSENTATION DU SYSTÈME GPS

Le système de géolocalisation NavSTAR ((Navigation Satellite Timing And Ranging) ) / GPS (GlobalPositioning System) a été développé par les Etats -Unis pour offrir aux utilisateurs (prioritairementl'armée américaine) la possibilité de déterminer de façon précise leurs coordonnées en tout point de lasurface de la Terre. Les satellites ont été mis sur orbite à partir de 1978 et le système a été déclarétotalement opérationnel en 1994.

Le système NavSTAR / GPS comprend : ➔ Le secteur "spatial" :

La constellation GPS est constituée de 24 satellitesrépartis sur 6 plans orbitaux inclinés de 55° parrapport au plan équatorial. Il peut y avoirtemporairement plus de 24 satellites en état defonctionnement, pour pallier les défaillanceséventuelles et maintenir le caractère opérationneldu système.Les orbites décrites à l'altitude de 20 184 km sontcirculaires et la période de révolution est égale à11 h 58 min.Cette configuration permet, avec 24 satellitesopérationnels, de recevoir simultanément en toutlieu de la surface terrestre et à tout instant, lessignaux émis par un minimum de 4 satellites.

Q1 : Quelle est la vitesse d’un satellite de la constellation GPS ?Donnée : Rayon moyen de la Terre : RT= 6 378,1 km

➔ Le secteur "commande et contrôle"Ce secteur qui dépend de l'armée américaine comporte 5 stations chargées de maintenir le systèmeopérationnel de façon permanente. Il à pour but de fournir le temps de référence, de contrôler etprogrammer le repositionnement éventuel des satellites, de synchroniser les horloges des différentssatellites, ….

➔ Le secteur utilisateur :Un récepteur GPS permet :

➢ d'acquérir les signaux émis par les satellites de la constellation GPS➢ d'identifier les satellites en vue➢ de décoder et d'exploiter les données reçues➢ de calculer la position de l'antenne de réception en coordonnées géographiques dans le

système géodésique WGS 84 (Worls Geodesic System)

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II. COORDONNÉES D’UN POINT ET SYSTÈME GÉODÉSIQUE Qu’est qu’un système géodésique ?Un système géodésique est un système de référence permettant d'exprimer les positions au voisinagede la Terre.La plupart des systèmes reposent sur un ellipsoïde de révolution conventionnel (choisi de manière àapprocher le géoïde) dont les paramètres de définition sont généralement :

son centre O son demi grand axe a son coefficient d'aplatissement f

Modèle du géoïde terrestre Ellipsoïde de référence

Dans un système géodésique ainsi défini, un point estlocalisé par ses coordonnées géographiques (ougéodésiques), exprimées en valeurs angulaires :

– par la latitude λ, angle orienté entre le plan del'équateur et la normale à l'ellipsoïde passantpar le point M

– la longitude Φ : angle orienté entre le planméridien origine (Greenwich) et le plan méridiencontenant le point M

– et la hauteur géodésique h mesurée suivant lanormale à l'ellipsoïde (h est petit à proximité dela surface terrestre).

Comment s’exprime les coordonnées d’un point ?Tous les récepteurs GPS n'utilisent pas la mêmeméthode d'affichage de la latitude et de la longitude. Les principaux formats utilisés sont :

– DMS Degré: Minute: Seconde (49 ° 30 ′ 00 ″ - 123 ° 30 ′ 00 ″ )– DM Degré: Minute (49 ° 30.00 ' - 123 ° 30.00 ') – DD Degré décimal (49.5000 ° - 123.5000 °)

La première valeur correspond à la latitude (angle compris entre 0 et 90°). Le signe moins correspondà la latitude Sud et s’il n’y pas de signe il s’agit de la latitude Nord.La deuxième valeur correspond à la longitude (angle compris entre 0 et 180°). Le signe moinscorrespond à la longitude Ouest et s’il n’y pas de signe il s’agit de la longitude Est.

Q2 : Déterminer les coordonnées de votre établissement à partir du logiciel Google Earth © .

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III. PRINCIPE DU GPS

Pour qu'un utilisateur muni d'un récepteur GPS puisse se localiser avec une précision de quelquesmètres, il faut qu'il soit vu simultanément par au moins 4 satellites et que l'horloge de son récepteurainsi que celles des satellites soient synchronisées avec une extrême précision.C’est à partir de mesure de durées que le récepteur GPS va arriver à se localiser :

Dans le cas d’un satellite :

Un satellite S1, émet un bip à la date t et au niveau du sol le récepteur R reçoit ce bip à la date t’. Siles deux horloges (du satellite et du récepteur) sont parfaitement synchronisées, alors la durée ∆tcorrespond au temps qu’à mis l’onde électromagnétique émise pas le satellite S1 pour parvenir aurécepteur.Q3 : Donner l’expression de la distance d1, à laquelle se trouve le récepteur du satellite S1 en fonction de c(célérité de la lumière dans le vide) et de ∆t.Dans ce cas le récepteur R se trouve, quelque part sur sphère de rayon d1, centrée sur le satellite S1.

Dans le cas de deux satellites :

Si, au même instant, le récepteur R reçoit le signal d’un deuxième satellite S2, de la même manière, ilpeut calculer à quelle distance d2 il se trouve de ce dernier. En tenant compte de la distance d1 qui lesépare également du satellite S1, il apparait alors un lieu de point possible pour la position durécepteur qui correspond à l’intersection des sphères de rayon d1 et d2 (cercle vert).

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Dans le cas de trois satellites :

Si au même instant, le récepteur reçoit également le signal d’un troisième satellite, de la mêmemanière, et à partir de la distance d3 qui le sépare du satellite S3, il pourra définir deux positionspossibles qui résultent de l’intersection de la sphère de rayon d3 avec le lieu des positions possiblesprécédent (intersection des sphères de rayon d1 et d2)

Localisation du récepteur R :

Pour que finalement le récepteur R puisselocaliser sa position, il lui faut recevoir et traiterle signal reçu, au même instant que les 3 autressignaux de trois satellites différents, d’unquatrième satellite. C’est ainsi l’intersection desquatre sphères de rayon d1, d2, d3, d4 qui vadéfinir la position du récepteur R.

Le signal reçu du satellite S4 va égalementpermettre de synchroniser l’horloge duRécepteur et ainsi affiner la position derécepteur R.Ensuite ce n’est qu’à partir de la position dechacun des satellites sur leur orbite (informationcommuniquée au récepteur lors de la réceptiondes signaux provenant des satellites S1, S2, S3 et S4) que le récepteur va pouvoir calculer sescoordonnées géographiques (λ, Φ et h).

IV. NÉCESSITÉ D’UNE MESURE PRÉCISE DU TEMPS Q4 : Calculer la précision sur d, pour les incertitudes suivantes dans la mesure de ∆t.

Incertitude de la mesure de ∆t Incertitude sur d1 ms1 µs1 ns

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Q5 - En déduire la précision sur ∆t nécessaire pour une détermination de d à moins d’1 m ?

Q6 : Rechercher quels sont les types d’horloge qui équipent les satellites de la constellation GPS et lerécepteur GPS.

V. EINSTEIN AU SECOURS DU GPS

L’écoulement du temps dépendant du référentiel, des corrections relativistes s’imposent …◦ Prise en compte de la vitesse de l’horloge du satellite par rapport au récepteur (relativité

restreinte)La relativité restreinte démontre qu’à la vitesse des satellites (VS = 13 946,4 km/h), les horlogesembarquée battent moins vite que sur Terre.En effet, considérons, deux évènements localisés en un même point du satellite, séparés par unedurée (propre) ∆tp mesurée par l’horloge embarquée. La durée ∆tm , qui s’écoule entre ces deux

évènements, mesuré par une horloge liée au sol terrestre vaut : ∆ t m=∆ t p

√1−(VS

c (2

Q7 : Justifier à partir de cette relation que l’horloge à bord du satellite battra moins vite que l’horloge liée ausol terrestre.

Q8 : Calculer le retard t = ∆Tp - ∆Tm accumulé en une journée terrestre (24h) par l’horloge embarquée.

◦ Prise en compte de l’accélération de l’horloge du satellite (relativité générale)

Un photon qui “tombe” vers la terre voit son énergie augmenter. Comme sa vitesse est fixée, ceci setraduit par une légère augmentation de sa fréquence (c’est le déplacement vers le bleu – ou« blueshift »). Cet effet, provoque une nouvelle désynchronisation des horloges des satellites parrapport à l’horloge du GPS sur Terre. En effet, la relativité générale prévoie que les horlogesembarquées battent plus vite et donc prennent une avance de 45,7 µs par jour par rapport à unehorloge liée au sol terrestre. Q9 : En tenant compte des deux effets relativistes précédents, calculer le décalage temporel total ∆T entre unehorloge d’un satellite de la constellation GPS et une horloge liée au sol terrestre.

Q10 : En déduire l’erreur ∆d sur le positionnement du récepteur GPS, si ce dernier ne prend pas en compteles effets relativistes.

D’autres sources d’erreurs (non relativistes) sont également prises en compte pour améliorer lepositionnement du récepteur GPS (traversée de l’atmosphère, coordonnées des satellites, …)

VI. LIENS UTILES – http://lpce.cnrs-orleans.fr/~ddwit/gps/cours-GPS.pdf– http://www.ipgp.fr/~tarantola/Files/Professional/Teaching/Seminar/Lessons/Coll/Corrections-

GPS.pdf– http://www-irma.u-strasbg.fr/~baumann/explis.pdf– http://www.esa.int/SPECIALS/GOCE/SEM1AK6UPLG_1.html

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Principe de la navigation GPS

Les applications utilisant les signaux des satellites GPS sont en plein essor. Elles ne se limitent pasaux véhicules automobiles, puisqu’elles sont par exemple intégrées désormais dans certains appareilsphotographiques. Cependant, dans le cas des véhicules, s’y ajoute le calcul de l’itinéraire optimal entredeux lieux géographiques -optimal au regard de critères tels que distance, temps ou cout total.

Ce calcul fait appel à la théorie des graphes et utilise différents algorithmes dont celui de Dijkstra, quiest un algorithme du type parcours en largeur ou BFS (Breadth First Search). A la différence d’unalgorithme DFS (Depth First Search) où l’on explore un sommet adjacent à celui de départ, puis unautre adjacent au précédent, et ainsi de suite jusqu’à se retrouver bloqué et revenir en arrière, onexamine ici dès le départ tous les sommets adjacents au premier.

L’algorithme de Dijkstra est actuellement enseigné en spécialité maths en terminale ES.

Problématique :Comment un terminal de navigation GPS(1) calcule-t-il l’itinéraire entre le lieu de départ et le lieud’arrivée ? Comment prend-il en compte des critères tels que distance, temps, cout (carburant etpéages d’auto- routes) ? Et comment fait-il pour proposer en quelques secondes un nouvel itinérairealors que l'on vient d’oublier de tourner à droite comme il le suggérait ? On s'intéressera surtout au parcours minimum :

• en distance, • en cout, • en temps...

1. Graphe

Définition / Vocabulaire : Un graphe (orienté ou non) est un graphe pondéré lorsque ses arêtes sont affectées de nombrespositifs.Le poids d’une arête est le nombre positif qui lui est affecté.Le poids d’une chaîne est la somme des poids des arêtes qui la composent.Une plus courte chaîne entre deux sommets donnés est une chaîne de poids minimal parmi toutesles chaînes reliant les deux sommets.

Comparaison du vocabulaire mathématique – vocabulaire usuel• Un graphe pondéré correspond à un réseau routier• un sommet du graphe (ou noeud) correspondra à une ville, une intersection de routes• une arrête du graphe correspond à une route à double sens• un arc correspond à un route à sens unique• un poids (indiqué sur un arc ou une arête) correspond à la distance, le temps,... séparant deux

noeuds (deux villes)

Exemples de graphe :

Q1 : Indiquer tous les chemins possibles et leur longueur allant de A à C.Quel est le chemin minimal ?

Q2 : Indiquer tous les cheminspossibles et leur longueur allant de 1 à 3. Quel est le cheminminimal ?

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3

1

2

4

210 km

420 km

105 km

200 km

420 km

2. Matrice d'adjacence

Soit G un graphe non-orienté qui possède n sommets numérotés de 1 à n. On appelle matriced'adjacence du graphe la matrice [A] = (ai,j) où ai,j est le nombre d'arêtes joignant le sommet i ausommet j.

Exemple : Voici un graphe, et la matrice d'adjacence correspondante :

Q3 : Donner les matrices d'adjacence des graphes donnés aux questions Q1 et Q2 précédentes.

3. Présentation de l'algorithme de Dijsktra

Algorithme de Dijkstra : Recherche d’une plus courte chaîne1. Placer tous les sommets du graphe dans la première ligne du tableau en écrivant le sommet de

départ D dans la première colonne.La deuxième ligne du tableau est obtenue en écrivant le coefficient 0 sous le sommet de départet le coefficient ∞ sous tous les autres sommets.

2. Repérer le sommet X de coefficient minimal Cmin(X).Si X est le sommet d’arrivée aller à l’étape 6 ;sinon commencer une nouvelle ligne et rayer toutes les cases vides sous X.

3. Pour les sommets Y adjacents à X :Calculer P =(p + Cmin(X)) où p est le poids de l’arête reliant X à Y :Si P < Cmin(Y) alors écrire p (X) dans la case correspondante à Y ;sinon recopier le contenu de la ligne précédente.

4. Pour les sommets non adjacents à X, recopier les valeurs de la ligne précédente.

5. S’il reste des sommets non sélectionnés, recommencer à partir de l’étape 2 ;sinon aller à l’étape 6.

6. Le poids de la plus courte chaîne est le nombre minimal lu sur la dernière ligne du tableau.On obtient la plus courte chaîne en écrivant la liste de ces sommets de droite à gauche enremontant le tableau.

Exemple : Un livreur prépare sa tournée. Il doit visiter un certain nombre de ses clients nommés 2, 3, 4, 5, 6 et 7,(pas forcément tous) en partant de 1 pour arriver à 8. Les liaisons possibles sont représentées sur legraphe ci-dessous. Ce graphe est pondéré par la durée en minutes des trajets.

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1

2

3

4

5

6 7 8

1 min

2 min2 min

2 min

2 min

6 min

8 min

1 min4 min

3 min

8 min 9 min

7 min

Application de l'algorithme de Dijkstra :1 2 3 4 5 6 7 8

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

▌ 2 (1) 6 (1) 8 (1) ∞ ∞ ∞ ∞

▌ ▌ 6 (1) 8 (1) 3 (2) ∞ ∞ ∞

▌ ▌ 5 (5) 8 (1) ▌ 11 (5) 12 (5) ∞

▌ ▌ ▌ 7 (3) ▌ 9 (3) 12 (5) ∞

▌ ▌ ▌ ▌ ▌ 9(3) 12 (5) 14 (4)

▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ 10 (6) 14 (4)

▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ 12 (7)Le sommet adjacent à (2) est (5). On recopie donc la ligne 3 sauf pour la colonne 5 : 2 → 5 = 1Les sommets adjacents à (5) sont (3) , (6) et (7).On recopie donc la ligne 4 sauf dans les colonnes (3) , (6) et (7)5 → 3 = 2 ; 5 → 6 = 8 ; 5 → 7 = 9 etcpour la ligne 7 colonne 6 , de 4 à 6, on a 3 donc P = 7+3 = 10 (4) > 9(3) donc on garde 9(3)

durée minimale : 12 minutes . La durée est lue dans la dernière case.Pour trouver le trajet minimal, il faut maintenant remonter le « fil » 8 – vient de 7 – vient de 6 – vient de3 – vient de 5 – vient de 2 – vient de 1.Donc on remet dans l'ordre : 1 → 2 → 5 → 3 → 6 → 7 → 8

Q4 : A vous de jouer avec une situation toulousaine

Nous allons l’appliquer ici sur un exemple concret : un automobiliste part de la marie de Toulouse (M)et veut se rendre à la cité de l’espace (E). Le graphe pondéré ci-dessous donne l’ensemble des trajets possibles, le poids de chaque arêtecorrespondant à la distance entre deux sommets du graphe.

M : MairieG : grand-RondC : côte pavéeP : Pont des demoisellesR : route de RevelS : sortie de la citéE : cité de l'espace

Présentation de l’algorithme :

M G C P S R E

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P = 2 + 1 = 3 < ∞=> Cmin(5) = 3

Pour le plaisir en pensant aux vacances :

Le graphe ci-dessus représente les routes existant entre neuf châteaux de la Loire. Les sommetsreprésentent :

• A = Amboise• B = Blois• C = Cheverny

• D = Chambord• E = Chenonceau• T = Tours

• V = Villandry• R = Azay-le-Rideau• N = Chinon

Sur les arêtes sont indiquées les distances en km.Déterminer à l'aide de l'algorithme de Dijkstra le chemin le plus court pour aller de Chambord àChinon. Quelle est la longueur de ce chemin ?

4. Exemple de programme pour calculatrice

La difficulté réside dans la complexité de l'algorithme et la manipulation de plusieurs listes ou matricessuccessives.L'algorithme proposé ici est codé pour la TI82-TI83. Il sera assez facilement transposable sur d'autrelangage tel javaschool, python (attention pas de matrice avec python)

### Un 0 dans [B] veut dire que les sommets ne sont pas reliés, il n'y a donc pas d'infini dans la matriced'adjacence. La matrice d'adjacence [B] est rentrée avant de faire tourner le programme. ###

EffEcr # Efface l'écranEffListe L1 # Efface la liste 1Input "NB SOMETS : ",N # N est le nombre de sommets, il doit correspondre à la dimension de la

matrice [B]Input "DEPART ? ",C # C est le sommet de départ (Commencement !)Input "ARRIVEE ? ",F # F est le sommet d'arrivée (Fin!)### [B] est la matrice d'adjacence du graphe à optimiser. [A] est une matrice de dimension N*4 où la premièrecolonne correspond aux différents sommets, la deuxième colonne le poids total de chaque sommet, la colonne n°3correspond aux poids mémorisés l'étape précédente et la dernière colonne contient des 0 si le sommet n'a pas étévisité et des 1 sinon.[C] est une matrice N*2 où la première colonne est la liste des sommets et la 2ème colonne correspond ausommet père.La liste L1 correspond au chemin suivi pour revenir de F vers C. ###### Initialisation des variables ###{N,4} → dim([A]){N,2} → dim([C])For (I,1,N)I → [A](I,1)99999 → [A](I,2)99999 → [A](I,3)0 → [A](I,4)I → [C](I,1)0 → [C](I,2)

EndN → dim(L1) # La liste L1 est de dimension N (au plus)C → L1(1) # Le premier sommet visité est C0 → [A](C,2) # Le premier poids est nul

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0 → [A](C,3) # Le premier poids est nul1 → [A](C,4) # Le sommet C est en cours de visiteC → EWhile(E ≠ F) # Tant que l'on n'est pas arrivé99999 → P # Le poids est initialisé à l'infini pour le minimiser ensuiteFor (I,1,N)If ([B](E,I)>0) # Si le chemin entre E et I existethenIf ([A](I,4) = 0) # Si le sommet I n'a pas encore été visité

then[B](E,I) + [A](E,2) → DIf (D > [A](I,3)) # le chemin entre E et I doit être minimal

Then[A](I,3) → D # On conserve le poids de l'étape précédente car il est plus petitIf (D < P)

ThenD → P # On change le poidsI → Z # On récupère l'indice du sommet de poids minimal

EndElseD → [A](I,3) # On enregistre le poids jusqu'au sommet en coursIf (D < P)

ThenD → P # On change le poidsI → Z # On récupère l'indice du sommet de poids minimal

EndE → [C](I,2) # E est un sommet père de I

EndEnd

EndEndZ → E[A](E,3) → [A](E,2) # Longueur à l'étape K1 → [A](E,4) # le sommet E est en cours de visite

End

Disp "DISTANCE ",[A](F,2) # Longueur du chemin

F → X # On remonte la matrice [C] pour retrouver le chemin le plus courtF → L1(1)2 → MWhile (X ≠ C)[C](X,2) → L1(M)L1(M) → XM+1 → M

EndDisp "CHEMIN", L1 # Le chemin à suivre est donné à l'envers !

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