Aufgabensammlung Physik

Aufgabensammlung Physik2GIG

Commission Nationale de l’Enseignement Général – Physique

2016 – 2018

MENJE

Commission Nationale de l’Enseignement Général – Physique, 2018

Autoren: Alain DONDELINGER, Jean-Marc FRANTZ, Jean-Paul GEDGEN, Marco GOFFINET,Stéphane SCHLOESSER, Jacques WEYDERT

Herausgeber: Roland ETIENNE

Layout und Satz: Alain DONDELINGER

1. Auflage – Version 20180830

Inhaltsverzeichnis

1 Kreisförmige Bewegung 1

2 Impuls und Impulserhaltung 5

3 Gravitation 13

4 Rotation starrer Körper 19

5 Mechanische Schwingungen 255.1 Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Fadenpendel (mathematisches Pendel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Wellen 33

7 Überlagerung von Wellen – Interferenzen 39

Fallbeschleunigungen 43

i

1 Kreisförmige Bewegung

Aufgabe 1.1 ??

Eine punktförmige Masse m = 200 g wird in einer gleichförmigen Kreisbewegungan einem Faden der Länge l = 40 cm in einer vertikalen Ebene geschleudert. DieGeschwindigkeit der Masse an ihrem oberen Bahnpunkt beträgt v = 2,0 m/s, am unterenBahnpunkt v′ = 4,44 m/s.

Berechne den Wert der zentripetalen Zugkräfte F und F′ welche der Faden am oberenBahnpunkt bzw. am unteren Bahnpunkt auf die Masse ausübt.

F = 0,038 N; F′ = 11,8 N

Aufgabe 1.2 ??

Eine punktförmige Masse m = 500 g wird in einer gleichförmigen Kreisbewegung aneinem 100 cm langen Faden in einer vertikalen Ebene geschleudert. Der Faden reißtbei einer Belastung von 25 N. Welche maximale Bahngeschwindigkeit darf die Massehaben?

vmax = 6,34 m/s

Aufgabe 1.3 ?

Berechne die zulässige Höchstgeschwindigkeit eines Autos (m = 1000 kg), welchesdurch eine kreisförmige Kurve (Radius R = 120 m) fährt und dabei eine maximaleZentripetalkraft von 300 N entwickeln darf. vmax = 21,6 km/h

Aufgabe 1.4 ?

Berechne die Drehzahl N eines Dreharms (Länge l = 15 m) an dessen Ende eine Zentri-petalbeschleunigung im Wert der 10-fachen Fallbeschleunigung herrscht.

N = 24,4 min−1

1

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Aufgabe 1.5

Eine Waschmaschinentrommel hat einen Durchmesser von 50 cm und dreht mit einermaximalen Schleuderdrehzahl von 1600 Umdrehungen pro Minute.

a) Mit welcher Geschwindigkeit läuft die Trommelwand um? v = 41,9 m/s

b) Berechne die Radialbeschleunigung an den Trommelwänden bei . Vergleiche mitder Fallbeschleunigung. aZ = 7011 m/s2 = 715 · g

c) Mit welcher Kraft müsste ein Wassertropfen (m = 1 g) vom Stoffgewebe an derTrommelwand mindestens festgehalten werden, um haften zu bleiben? F = 7,0 N

Aufgabe 1.6

Die Erde benötigt für eine Umdrehung um ihre eigene Achse 23 h 56 min Stunden.

a) Wie schnell bewegt sich ein Punkt am Äquator (R = 6370 km)? v = 463 m/s

b) Berechne die Winkelgeschwindigkeit dieses Punktes! ω = 7,29 · 10−5 rad/s

c) Welche Zentripetalkraft wird benötigt, um am Äquator eine Masse von 1 kg fest-zuhalten? F = 0,03 N

Aufgabe 1.7

Berechne die Winkelgeschwindigkeit, mit der die Erde rotieren müsste, damit am Äqua-tor die Körper abgeschleudert werden. Wie lange würde dann ein Tag dauern?

ω = 1,24 · 10−3 rad/s; T = 5063 s = 1,406 h

Aufgabe 1.8

Eine Weltraumstation soll die Form eines riesigen, hohlen Rades erhalten. In der Radnabesollen Anlegestellen und Kontrollraum untergebracht werden, die Wohnräume für dieBesatzung sollen sich in der »Felge« befinden. Um dort Gravitation vorzutäuschen, wirddie Station in Rotation versetzt.

a) Berechne die Geschwindigkeit v sowie die Winkelgeschwindigkeit ω die die Sta-tion haben muss, wenn ihr Radius 90 m beträgt und die Bahnbeschleunigung10 m/s2 betragen soll. v = 30 m/s, ω = 0,33 rad/s

2

1 Kreisförmige Bewegung

b) Berechne die Periode (Umlaufzeit). T = 18,8 s

Aufgabe 1.9

Ein Stein der Masse m = 0,3 kg wird eine 50 cm lange Schnur gebunden und wird dannmit wachsender Geschwindigkeit in einer waagerechten Ebene herumgeschleudert.

a) Bei welcher Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit und Drehfrequenz reißt dieSchnur, wenn sie eine Kraft von 15 N aushält?

b) Wie weit fliegt der Stein, wenn die Kreisebene 1,6 m über dem Boden liegt.

Aufgabe 1.10

Eine Milchkanne (m = 0,5 kg) wird in einem senkrechten Kreis (r = 1 m) geschwun-gen.

a) Wie groß muss die Geschwindigkeit am höchsten Punkt mindestens sein, damitkeine Milch ausfließt.

b) Welche Kraft muss man bei dieser Geschwindigkeit am tiefsten Punkt der Bahnausüben?

Aufgabe 1.11

Ein Auto durchfährt eine nicht überhöhte, ebene Kurve, deren Krümmungsradius 100 mbeträgt. Die Masse des Autos beträgt m = 900 kg, die Reibungszahl zwischen Auto undStraße beträgt µ = 0,6.

a) Mit welcher Geschwindigkeit darf das Auto höchstens fahren, damit es in derKurve nicht ins Rutschen kommt?

b) Ist diese Geschwindigkeit von der Masse des Autos abhängig?

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Aufgabe 1.12

Ein Radfahrer (m = 100 kg, einschließlich Fahrrad) durchfährt mit einer Geschwindig-keit v = 27 km/h eine Kurve, deren Krümmungsradius r = 15 m beträgt.

Berechne:

a) den Betrag der Zentripetalkraft;

b) den Winkel, um den er sich nach innen neigen muss;

c) die erforderliche Haftreibungskraft zwischen Reifen und Straße.

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2 Impuls und Impulserhaltung

Aufgabe 2.1 ?

Berechne den Impuls einer abgefeuerten Gewehrkugel (m = 30 g) welche den Gewehr-lauf mit der Geschwindigkeit v = 500 m/s verlässt. Wie groß wäre die vom Rückstoßdes Schusses produzierte Geschwindigkeit des Gewehres (m = 5 kg), wenn dieses freibeweglich gelagert wäre? V = 3 m/s

Aufgabe 2.2

Welche Kraft übt eine Kugel (m = 5 g) auf eine Zielscheibe aus, wenn sie mit v = 400 m/sauf die Scheibe auftrifft und dort in 2 · 10−4 s vollständig abgebremst wird? F = 10 kN

Aufgabe 2.3

Ein leerer Wagen der Masse m = 50 kg bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v =0,4 m/s auf einer reibungsfreien, horizontalen Bahn. Zu einem gegebenen Zeitpunktwird der Wagen mit einem Erz geladen. Das Erz der Masse M = 150 kg fällt vertikal inden Wagen. Berechne die Geschwindigkeit des beladenen Wagens. v′ = 0,1 m/s

vm

M

5

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Aufgabe 2.4 ? ? ?

Ein Hochgeschwindigkeitsboot wird durch einen, aus dem Boot geschossenen undder Bewegungsrichtung entgegengerichteten, Wasserstrahl angetrieben. Die Geschwin-digkeit des Strahlwassers beträgt 40 m/s relativ zum Boot. Es werden so 12 TonnenWasser pro Minute aus dem Boot geschossen. Dieses Wasser wird unten am Bootrumpfsenkrecht zur Bewegungsrichtung durch Pumpen in das Boot eingesogen.

a) Welche Rückstoßkraft F wird dabei auf das Boot ausgeübt? F = 8 kN

b) Welche Leistung P müssen die Pumpen mindestens haben? P = 160 kW

Aufgabe 2.5

In welchem Verhältnis stehen die Impulse (p1 und p2) zweier Körper (m1 und m2)zueinander, die gleiche kinetische Energien haben? p1

p2=√

m1m2

Aufgabe 2.6

In welchem Verhältnis stehen die kinetischen Energien (Ekin,1 und Ekin,2) zweier Körper(m1 und m2) zueinander, die gleiche Impulse haben? Ekin,1

Ekin,2= m2

m1

Aufgabe 2.7

a) Ein Neutron der Masse mn stößt mit der Geschwindigkeit v mit einem ruhendenProton der Masse mp zusammen. Man stellt fest, dass das Proton mit der Ge-schwindigkeit v weggeschleudert wird, und das Neutron nach dem Stoß praktischzur Ruhe kommt. Welche Beziehung zwischen mn und mp kann man aus dieserBeobachtung herleiten?

HeliumkernNeutron

v2

v

v1

(a)

(b)

6

2 Impuls und Impulserhaltung

b) Ein Neutron der Masse mn stößt mit der Geschwindigkeit v = 1,0 · 106 m/s miteinem ruhenden Heliumkern (Masse mα) zusammen. Der Heliumkern wird in Rich-tung der Geschwindigkeit~v weggeschleudert, seine Geschwindigkeit beträgt dannv1 = 4,0 · 105 m/s. Das Neutron prallt zurück und fliegt mit einer Geschwindigkeitv2 = 6,0 · 105 m/s in die Richtung, aus der er gekommen ist. Welche Beziehungkann man zwischen den Massen mn und mα aufstellen?

Aufgabe 2.8 ??

Ein Mann (mM = 75 kg) hält einen Stein (mS = 2,0 kg) und sitzt auf einem Wagen(mW = 50 kg) der sich mit der Geschwindigkeit v = 0,5 m/s in positive Richtung bewegt.Nun wirft er den Stein mit einer Geschwindigkeit v′S = −6,0 m/s relativ zur Fahrbahn,entgegen der Fahrtrichtung, ab. Alle Reibungskräfte sind zu vernachlässigen.

a) Berechne die Geschwindigkeit V ′ des Wagens nach dem Wurf. V ′ = 0,604 m/s

b) Berechne die Geschwindigkeit V ′S/W des Steines relativ zum Wagen nach demWurf. V ′S/W = −6,604 m/s

c) Wieso kann man diese Aufgabe nicht mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes derMechanik lösen? Die Muskelkraft des Mannes verrichtet eine zusätzliche (aberunbekannte) Arbeit.

Aufgabe 2.9 ??

Ein Junge gleitet mit seinem Schlitten einen 5 m hohen Hang hinab. Durch Reibunggehen 20% seiner potentiellen Energie verloren. Die Gesamtmasse von Schlitten undJunge beträgt beträgt m1 = 50 kg. Am Ende des Hanges stößt der Schlitten gegen einenzweiten Schlitten, der in Fahrtrichtung des ersten steht. Die Gesamtmasse des zweitenSchlitten, samt zweitem Kind das auf ihm sitzt, beträgt m2 = 30 kg. Beim Zusammenstoßverkeilen sich beide Schlitten miteinander und bewegen sich gemeinsam fort.

Berechne die gemeinsame Geschwindigkeit V beider Schlitten gleich nach dem Zusam-menstoß. V = 5,54 m/s

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Aufgabe 2.10 ??

Aus einer Höhe von h = 1,5 m fallen pro Sekunde 25 Stahlkugeln auf eine horizontaleFläche einer Waagschale. Die Masse jeder Kugel beträgt m = 0,1 g. Nach dem Aufprallspringen die Kugeln elastisch, also ohne Verlust von Bewegungsenergie, von der Schaleab.

Welche durchschnittliche Kraft F zeigt die Waage an? F = 0,0271 N

Aufgabe 2.11 ? ? ?

Auf einer reibungsfreien, geradlinigen Eisenbahnstrecke steht eine (anfangs bewegungs-lose) M = 100 t schwere Lokomotive. Ein erster Waggon der Masse m = 20 t stößt mitder Geschwindigkeit v = 33,0 km/h mit der Lokomotive zusammen.

a) Berechne die Geschwindigkeit v1 dieses Gespanns. v1 = 5,5 km/h

b) Berechne die Geschwindigkeit v2, wenn ein weiterer Waggon (gleiche Masse m,gleiche Geschwindigkeit v) mit dem System zusammenstößt. v2 = 9,43 km/h

c) Berechne die Geschwindigkeit vn des Systems, das durch n angehängte Waggonsentsteht. Welche maximale Geschwindigkeit kann dieses System erreichen?

vn = v∞ = 33 km/h

Aufgabe 2.12 ? ? ?

Ein Sandsack der Masse m2 = 500 g hängt ruhend an zwei Fäden und kann pendelartigum eine horizontale Achse schwingen. Sein Abstand zur Achse beträgt 75 cm. EineKugel der Masse m1 = 0,5 g) wird horizontal mit einem Gewehr in den Sack geschos-sen und bringt den Sack dazu mit einem Winkel von α = 4,0° aus seiner Ruhelageauszuschwenken.

a) Welche Geschwindigkeit v1 hatte das Geschoss? v1 = 190 m/s

b) Welcher Prozentsatz η der mechanischen Energie bleibt als mechanische Energiebei dem Zusammenprall von Kugel und Sandsack erhalten? η ≈ 0,1

8

2 Impuls und Impulserhaltung

Tabelle 2.1: Messwerte zu Aufgabe 2.14

v1(m/s) v2(m/s) v′1(m/s) v′2(m/s)

Reihe 1 4 16 28 6Reihe 2 20 3 8 8

Aufgabe 2.13 ??

Zwei Massen m1 = 100 g und m2 = 200 g gleiten reibungsfrei auf einer horizontalenBahn mit den Geschwindigkeiten v1 = 4,0 m/s und v2 = −2,0 m/s und stoßen elastischzusammen.

a) Berechne die Geschwindigkeiten v′1 und v′2 der Massen nach dem Stoß.v′1 = −4,0 m/s; v′2 = 2,0 m/s

b) Welche gesamte kinetische Energie haben die Massen vor und nach dem Stoß?Evor = Enach = 1,2 J

Aufgabe 2.14 ??

Zwei Massen m1 = 5 kg und m2 = 12 kg gleiten reibungsfrei auf einer horizontalenBahn und stoßen zusammen. v1, v2, v′1 und v′2 sind ihre respektiven Geschwindigkeitenvor und nach dem Stoß. Ein Schüler macht mehrere Messungen und hält seine Werte infolgender Messtafel fest.

Überprüfe ob es sich dabei um reale oder frei vom Schüler erfundene Messwerte handelt.Begründe.

Aufgabe 2.15 ??

Eine Stahlkugel (Masse m1) trifft zentral und elastisch mit der Geschwindigkeit u1 aufeine ruhende Glaskugel (Masse m2 = 1

3 m1). Nach dem Stoß bewegt sich die Glaskugelmit v2 = 9,0 m/s.

Berechne die Geschwindigkeit u1 der Stahlkugel vor dem Stoß, sowie ihre Geschwindig-keit v1 nach dem Stoß. u1 = 6,0 m/s;v1 = 3,0 m/s

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Aufgabe 2.16 ??

Ein Wasserstoffmolekül mit der Masse m1 = 3,34 · 10−27 kg prallt mit einer Geschwindig-keit u1 = 2000 m/s senkrecht und elastisch gegen die Wand des Gefäßes in dem es sichbefindet. Man betrachtet die Masse m2 der Gefäßwand unendlich mal größer als die des

Moleküls, so dassm1

m2= 0 ergibt. Selbstverständlich nehmen wir die Geschwindigkeit

der Gefäßwand als u2 = 0 m/s an.

a) Bestimme die Impulsmenge ∆p die das Molekül während des Stoßes an die Wandabgibt. ∆p = 1,34 · 10−23 kg m/s

b) Welche Energiemenge ∆E gibt es an die Wand ab? ∆E = 0 J

Aufgabe 2.17

Zwei gleichartige Moleküle stoßen zentral und elastisch mit den Geschwindigkeiten u1und u2 zusammen und bewegen sich danach mit v1 bzw. v2 weiter.

Zeige, dass v1 = u2 und v2 = u1 ist.

Aufgabe 2.18

Wagen 1 (m1 = 4,0 kg) bewegt sich mit u1 = 2,0 m/s auf einer horizontalen, geradlinigenBahn und stößt elastisch gegen einen sich in dieselbe Richtung bewegenden Wagen 2(m2 = 10 kg), dabei bleibt Wagen 1 stehen.

a) Bestimme die Geschwindigkeit u2 von Wagen 2 vor dem Zusammenstoß.

b) Bestimme die Geschwindigkeit v2 von Wagen 2 nach dem Zusammenstoß.

Aufgabe 2.19 ??

Berechne die Geschwindigkeit nach einem unelastischen Frontalzusammenstoß vonzwei Autos gleicher Masse (m = 1000 kg) und gleichem Absolutwert der Anfangsge-schwindigkeiten (v = 72 km/h). vend = 0 m/s

Welche Energie wird bei diesem Zusammenprall zur Verformung der Fahrzeuge umge-wandelt? ∆E = 4 · 105 J

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2 Impuls und Impulserhaltung

Aufgabe 2.20

Ein Hammer der Masse m = 200 g trifft mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s auf einenNagel der in einem Holzblock eingeschlagen werden soll. Um den Nagel in den Blockzu treiben ist eine durchschnittliche Kraft von 2500 N notwendig.

Wie lange dauert der Vortrieb des Nagels in das Holz? ∆t = 4 · 10−4 s

Aufgabe 2.21 Auffahrunfall

Ein Mann der Masse m = 80 kg wartet in seinem Wagen an der roten Ampel. Plötzlichwird der Wagen (mit dem Mann) durch ein auffahrendes Fahrzeug auf eine Geschwin-digkeit von 5,0 m/s beschleunigt. Angenommen, der Aufprall dauert ∆t = 0,3 s:

a) Berechne die Impulsänderung ∆p des Mannes;

b) Berechne die mittlere Kraft, die auf den Mann wirkt.

Aufgabe 2.22

Ein 3,0 kg schwerer Körper rutscht über eine reibungsfreie, horizontale Ebene. Zu Beginnbewegt er sich mit der Geschwindigkeit v1 = 50 m/s nach links. Er stößt dann mit einerFeder zusammen, komprimiert diese und bleibt kurzzeitig bewegungslos. Durch dieKraft der komprimierten Feder wird der Körper wieder nach rechts beschleunigt. DerKörper verlässt die Feder mit einer nach rechts gerichteten Geschwindigkeit v2 = 40 m/s.Der Kontakt zwischen Körper und Feder dauert ∆t = 0,020 s.

a) Berechne die Impulsänderung ∆p des Körpers.

b) Berechne die mittlere Kraft, die auf den Körper wirkt.

Aufgabe 2.23 Golfball

Ein Golfball der Masse m = 51 g verlässt den Schläger mit einer Geschwindigkeit von80 m/s. Der Kontakt zwischen Golfschläger und Ball dauert ∆t = 0,006 s. Berechne:

a) den Impuls des Balls nach dem Abschlag;

b) die mittlere Kraft, die auf den Ball gewirkt hat.

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Aufgabe 2.24 Abbremsen einer Kugel

Eine 5,0 g schwere Kugel bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 100 m/s auf einenHolzklotz zu. Beim Aufprall auf dem Klotz wird die Kugel auf einer Strecke von 6,0 cmbis zum Stillstand abgebremst.

a) Berechne die Zeit, die bis zum Stillstand der Kugel vergeht.

b) Welche Impulsänderung erfährt der Holzklotz?

c) Bestimme die mittlere Kraft, die auf den Holzklotz gewirkt hat.

Aufgabe 2.25 Weltraummanöver

Ein Astronaut vollführt Wartungsarbeiten an seiner Raumstation. Er schwebt entlang derStation mit einer Geschwindigkeit v1 = 1,00 m/s. Er möchte seine Bewegungsrichtungdann um 90° ändern und auf v2 = 2,00 m/s erhöhen.

Seine Gesamtmasse beträgt 100 kg, inklusive seines Raumanzugs und seines Raketen-gürtels, der einen Schub von 50 N ausüben kann.

a) Bestimme die Richtung und den Betrag der Impulsänderung ∆~p, die für dasbeschriebene Manöver notwendig ist.

b) Bestimme die kürzeste Zeit die der Astronaut für das Manöver braucht sowie dieRichtung, in die die Rakete zeigen muss.

c) Bestimme die Zeit, die der Astronaut für das Manöver braucht, wenn er zuerst biszum Stillstand abbremst, seine Rakete dann um 90° dreht und anschließend aufv2 = 2,00 m/s beschleunigt.

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3 Gravitation

Für alle Aufgaben dieses Kapitels gilt die universelle Gravitationskonstante:γ = 6,67 · 10−11 N m2/kg2.

Aufgabe 3.1 ?

Wie groß ist die Gravitationskraft zwischen zwei Schiffen, von denen jedes eine Massevon 20 000 t hat, und deren Schwerpunkte d = 100 m auseinander liegen? F = 2,67 N

Aufgabe 3.2 ?

Zwei Männer von je 80 kg stehen 1 m voneinander entfernt. Berechne die Gravitations-kraft, mit der sie einander anziehen.

Aufgabe 3.3 ??

Die Masse eines Mannes beträgt m = 80 kg. Berechne die Gewichtskraft des Mannes.Leite daraus die Masse der Erde mithilfe des Gravitationsgesetzes ab.

Aufgabe 3.4 ??

Welche Masse M und mittlere Dichte ρ der Erde kann man aus der universalen Gravita-tionsformel errechnen, wenn man als Erdradius R = 6370 km einsetzt?

ME = 5,97 · 1024 kg; ρ = 5,51 g/cm3

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Aufgabe 3.5 ??

Betrachten wir die Erde als Kugel deren Radius R = 6370 km beträgt. Wie hoch müssenwir uns über die Erdoberfläche begeben, damit die Schwerkraft nur noch 99% ihresWertes am Erdboden hat? z = 32,1 km

Aufgabe 3.6 ??

Ein Satellit umkreist die Erde in der Ebene des Äquators in der gleichen Zeit, die dieErde für eine Umdrehung um ihre eigene Achse braucht. Drücke die gravitationelleAnziehungskraft FG der Erde auf den Satelliten als Funktion der Satellitenmasse m, Erd-beschleunigung g, Erdradius RE und der Entfernung r zwischen Satellit und Erdzentrumaus: FG = FG(m, g, RE, r).

Berechne den Radius r der Satellitenkreisbahn ohne dafür die universale Gravitations-konstante zu benutzen. r = 42 100 km

Aufgabe 3.7 ??

Man gibtMErde

MMond= 81 und

RErde

RMond= 11

3 .

a) Wissend, dass gErde = 9,81 m/s2 ist berechne gMond. gMond = 1,63 m/s2

b) Wie groß wäre die Gewichtskraft eines Körpers auf dem Mond, dessen Gewichts-kraft auf der Erde 1000 N beträgt? FG,Mond = 166 N

Aufgabe 3.8 ??

Berechne die Bahngeschwindigkeit v und die Umlaufzeit T eines Satelliten, der sichin der Höhe z = 10 000 km auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt. Man gibt: ME =5,97 · 1024 kg und RE = 6370 km.

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3 Gravitation

Aufgabe 3.9

In folgender Tabelle sind die Umlaufzeiten und die Bahnradien der vier größten Jupiter-monde (Galileische Monde) angegeben.

T (Tage) r (km) v (m/s) T2 r3 T2/r3

Io 1,77 422000Europa 3,55 671000Ganymede 7,15 1071000Callisto 16,69 1884000

a) Vervollständige die Tabelle und bestätige die Gültigkeit des 3. Kepler’schen Geset-zes.

b) Berechne die Masse des Jupiter.

Aufgabe 3.10

Zwischen Erde und Mond liegt ein Punkt, an dem die Gravitationskräfte der beidenHimmelskörper auf einen Probekörper der Masse m sich gegenseitig aufheben. Der Pro-bekörper wird an diesem Punkt von der Erde und vom Mond gleich stark angezogen.

Welchen Abstand hat dieser Punkt vom Mittelpunkt der Erde? vom Mittelpunkt desMondes?

Gegeben ist die Entfernung Erde – Mond: 384 000 km

Aufgabe 3.11

Folgende Tabelle gibt einige Daten der fünf mit bloßem Auge sichtbaren Planeten an.

T (Tage) m (·1024 kg) Radius (km)

Merkur 88 0,3 2420Venus 225 5 6200Mars 687 0,6 3400Jupiter 4330 1900 71400Saturn 10755 570 60400

a) Berechne den Bahnradius der Planeten (MSonne = 2 · 1030 kg).

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b) Berechne die Bahngeschwindigkeit der Planeten.

c) Mit welcher Kraft werden die einzelnen Planeten von der Sonne angezogen ?

d) Berechne die mittlere Dichte der Planeten. Welche Schlussfolgerung kann mandaraus für die Zusammensetzung der Planeten schließen?

e) Berechne die Fallbeschleunigung auf den einzelnen Planetenoberflächen.

Aufgabe 3.12 ??

Ein Satellit soll die Erde in der Äquatorebene umkreisen und zu einem Umlauf genau 23Stunden und 56 Minuten benötigen.1

a) In welcher Höhe über der Erdoberfläche muss der Satellit kreisen?

b) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit dieses Satelliten?

Aufgabe 3.13 ? ? ?

Unter Vernachlässigung der Erddrehung, berechne die Arbeit, die nötig ist um eineMasse m = 1,0 kg in eine Höhe von 400 km zu bringen:

a) unter der vereinfachten Annahme, dass das Gewicht des Körpers bei der Bewe-gung konstant bleibt, W1 = 3,92 · 106 J

b) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Gewicht des Körpers bei der Bewe-gung nicht konstant bleibt, W2 = 3,69 · 106 J

c) um wieviel Prozent weicht der reale Wert vom Näherungswert ab? 5,91%

Man gibt: g = 9,81 m/s2 und Erdradius RE = 6370 km.

1 Da die Umlaufdauer genau der Rotationsperiode der Erde enspricht bleibt der Satellit immer überdemselben Punkt der Erdoberfläche. Man spricht von einem geostationären Satelliten.

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3 Gravitation

Aufgabe 3.14 ? ? ?

Berechne die Arbeit welche nötig ist einen Körper der Masse m = 1,0 kg vollständig ausdem Bereich der Erdanziehungskraft zu bringen. Mit welcher Geschwindigkeit müssteman den Körper vertikal hochschießen, wenn man alle Reibungskräfte vernachlässigt?Man nennt diese Geschwindigkeit die Fluchtgeschwindigkeit vF. Ist sie von der Masse desKörpers abhängig? Begründe.Man gibt ME = 5,98 · 1024 kg und RE = 6370 km.

Aus Wr = γMEm(

1RE− 1

r

)wird mit r −→ ∞ folgender Ausdruck W∞ =

γMEmRE

W∞ = 6, 25 · 107 J = 12 mv2 ergibt als Fluchtgeschwindigkeit vF = 11200 m

s ' 3111 kmh .

Dieser Wert ist unabhängig von der Körpermasse.

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4 Rotation starrer Körper

Aufgabe 4.1

Ein Vollzylinder und ein Hohlzylinder, die beide den gleichen Radius R und die gleicheMasse m haben, werden am höchsten Punkt (Höhe h) einer geneigten Ebene nebenein-ander gelegt und losgelassen.

Welcher der beiden Zylinder kommt zuerst unten an?

Tipp: Berechne zuerst ihre Geschwindigkeit am untersten Punkt der Ebene.

Aufgabe 4.2

Eine Walze (Radius r = 0,2 m, Trägheitsmoment J = 0,24 kg m2) kann sich reibungslosum ihre waagerechte Symmetrieachse drehen.

Um die Walze ist eine Schnur gewickelt, an deren Ende ein Körper der Masse m = 0,25 kghängt.

a) Stelle den Energiesatz für diese Anordnung auf.

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b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Translationsgeschwindigkeit v desKörpers und der Winkelgeschwindigkeit ω der Walze?

c) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit ω dreht die Walze, wenn der Körper um 5,0 mgesunken ist und die Walze anfänglich in Ruhe war?

Aufgabe 4.3

Es wird behauptet, dass ein gleitender Quader und eine rollende Kugel unterschiedlicheZeiten benötigen, um ein und dieselbe geneigte Ebene herunterzukommen. Beweisediese Aussage, indem du zuerst die Geschwindigkeiten am Fuß der geneigten Ebenemiteinander vergleichst.

Aufgabe 4.4

Eine Kugel von 4,0 cm Durchmesser rollt ohne zu gleiten mit einer Geschwindigkeitv = 1,8 m/s. Ihre Masse beträgt m = 0,25 kg.

a) Berechne die kinetische Energie der Kugel.

b) Wie hoch würde sie auf einer geneigten Ebene (α = 15°) steigen, wenn Verlustedurch Reibung vernachlässigt werden können?

c) Wie hoch würde ein quaderförmiger Holzklotz der gleichen Masse und der glei-chen Geschwindigkeit steigen? Erkläre den Unterschied.

Aufgabe 4.5

Warum zieht ein Springer, der mit einem Salto vom Sprungbrett ins Wasser springt,Arme und Beine an den Körper?

Aufgabe 4.6

Erkläre die Funktionsweise der Pirouette eines Eiskunstläufers.

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4 Rotation starrer Körper

Aufgabe 4.7

Am Nordpol der Erde wird ein Drehschemel aufgestellt. Der Schemel ist relativ zur Erdein Ruhe. Auf dem Schemel sitzt ein Mann mit ausgestreckten Armen. Was geschieht infolgenden Fällen, wenn der Mann die Arme an den Körper zieht:

• bei ruhender Erde;

• bei rotierender Erde?

Aufgabe 4.8

Auf gemeinsamer Welle sitzen zwei reibungsfrei drehbare Scheiben.

• 1. Scheibe: Trägheitsmoment J1, Winkelgeschwindigkeit ω1 > 0;

• 2. Scheibe: Trägheitsmoment J2, Winkelgeschwindigkeit ω2 = 0.

Die zweite Scheibe wird an die erste gepresst. Dadurch sinkt die Winkelgeschwindigkeitder ersten Scheibe. Schließlich rotieren die beiden Scheiben mit der gleichen Winkelge-schwindigkeit.

a) Berechne diese gemeinsame Winkelgeschwindigkeit.

b) Um wie viel steigt beim Ankoppeln die innere Energie der beiden Scheiben?

Aufgabe 4.9 ??

Ein Schwungrad rotiert mit f = 20 Hz um seine Achse. Sein Trägheitsmoment in Bezugzu dieser Achse beträgt J = 60 kg m2. Es wird dann durch ein konstantes Drehmomentin einer Minute bis zum Stillstand abgebremst.

a) Wie groß ist das Drehmoment? M = 126 N m

b) Welche Leistung wird durch das Bremsen in Abwärme umgesetzt? P ≈ 7900 W

c) Wie oft dreht sich das Rad während dem Abbremsvorganges? N = 600

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Aufgabe 4.10

Ein Maxwell-Rad besteht aus einer einfachen Stahlscheibe von R = 6,0 cm Radius undeiner Dicke von d = 8 mm. Die Scheibe ist von einer zylinderförmigen Stahlachse(r = 6 mm, l = 10 cm) in der Mitte durchbohrt. Man gibt die Dichte des Stahl mitρ = 7,8 g/cm3 an. Auf der Achse ist zu beiden Seiten der Scheibe in gleichem Sinneje eine Schnur aufgewickelt, deren Enden so befestigt sind, dass das Rad nach demLoslassen frei abrollt.

Abbildung 4.1: Maxwell-Rad

a) Wie groß ist das Trägheitsmoment des Maxwell-Rades? J = 1,27 · 10−3 kg m2

b) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω des Rades nachdem es, nach demLoslassen, um ∆h = 60 cm abgesunken ist? Benutze den Energieerhaltungssatz.ω = 84,5 rad/s

Aufgabe 4.11

Ein Schüler der auf einem Drehschemel sitzt hält mit seinen Händen zwei Hantelndicht an seinem Körper, so dass der Abstand zwischen Hanteln und Drehachse desSchülers je r1 = 10 cm beträgt. In dieser Stellung wird der Schüler in Rotation versetzt,die Winkelgeschwindigkeit beträgt dann ω1 = 2π rad/s. Der Schüler streckt dann seineArme aus, so dass sich der Abstand der Hanteln zur Drehachse auf r2 = 70 cm erhöhtund sich die Winkelgeschwindigkeit auf ω2 = 3

2 π rad/s verringert.

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4 Rotation starrer Körper

Berechne das Trägheitsmoment JSys des Gesamtsystems Schüler und Drehschemel, indemdu die Veränderung des Trägheitsmoments durch Ausstrecken der Arme vernachlässigst.JSys = 2,86 kg m2

Aufgabe 4.12 ?

Ein massiver homogener Zylinder hat eine Masse von m = 10 kg und einen Durchmesserd = 24 cm.

Berechne seine gesamte Bewegungsenergie Ekin;ges = Ekin;rot + Ekin;transl, wenn er mitkonstanten 30 Umdrehungen pro Minute reibungslos über den Boden rollt.

Aufgabe 4.13 ? ? ?

Das Max-PLANCK-Institut für Plasmaphysik in Garching bei München erforscht dieMöglichkeit zur Fusion von Deuterium- und Tritium-Kernen (Wasserstoffisotopen) zuHeliumkernen. Dazu ist es notwendig, kurzzeitig über hohe elektrische Leistungenverfügen zu können.Die notwendige Energie wird in Garchingen mit einem Schwungrad in Form von kineti-scher Energie gespeichert. Das Schwungrad läuft zwischen zwei Generatoren, mit derenHilfe ein Teil der kinetischen Energie des Schwungrades in elektrischer Form abgerufenwerden kann. Man gibt das Trägheitsmoment des Schwungrades einschließlich Gene-ratoren und Wellen mit J = 1006 t m2 an. Die maximale Drehzahl des Schwungradesbeträgt 1650 Umdrehungen pro Minute, die minimale Drehzahl beträgt 1275 Umdre-hungen pro Minute. Die Beschleunigungszeit vom minimalen auf den maximalen Wertbeläuft sich auf ∆t1 = 6,0 min.

a) Welche Energie W steht zur Verfügung, wenn das Schwungrad von ωmax auf ωminabgebremst wird? Wie viele ruhende Fahrzeuge von je m = 1,0 t könnte man mitdieser Energie auf v = 100 km/h beschleunigen? E = 6,05 GJ; 15700 Fahrzeuge

b) Welche durchschnittliche Leistung P ist verfügbar, wenn die kinetische EnergieW in der Zeit ∆t2 = 5,0 s entnommen wird? Wie viel Prozent der elektrischenLeistung eines Kraftwerks von 662 MW entspricht das?

c) Welches durchschnittliche Drehmoment M1 muss während der Beschleunigungs-zeit ∆t1 ausgeübt werden? M1 = 1,10 · 105 N mMit welchem durchschnittlichen Drehmoment M2 muss während der Abbremszeit∆t2 gebremst werden? M2 = 7,90 · 106 N m

23

5 Mechanische Schwingungen

5.1 Federpendel

Aufgabe 5.1 ?

Eine Punktmasse führt eine Sinusschwingung aus. Die Amplitude beträgt 10 cm und dieFrequenz 20 Hz. Wie groß sind die Elongation, die Geschwindigkeit und die Beschleuni-gung ∆t = 0,1 s nach dem Nulldurchgang?

Aufgabe 5.2 ?

Erhöht man die an einer Schraubenfeder hängende Masse von 300 g auf 500 g so dehntsich die Feder um weitere 12 cm. Berechne die Schwingungsdauer T, wenn man dieseFeder als Federpendel mit einer angehängten Last von 1,0 kg benutzt .

k = 16,4 N/m; T = 1,55 s

Aufgabe 5.3 ?

Berechne die Federkonstante k eines Federpendels dessen Feder sich bei einer angehäng-ten Masse von 20 g um 10 cm verlängert. Welche Schwingungsdauer T hat das Pendelbei einer angehängten Masse von 50 g? k = 1,96 N/m; T = 1,0 s

Aufgabe 5.4 ?

Berechne die Masse, welche man ein Federpendel (k = 10 N/m) hängen muss, damitseine Periode T = 1,57 s beträgt. m = 0,625 kg

25

2GIG

Aufgabe 5.5 ?

In einen Reisebus steigen 20 Personen von je 75 kg. Dabei senkt sich die Karosserie um10 cm.

a) Berechne die Gesamtfederkonstante des Busses.b) Wie groß ist die Schwingungsdauer des leeren und des besetzten Wagens, wenn

die Masse des mitschwingenden Wagenteils m = 3000 kg beträgt.

Aufgabe 5.6 ??

An eine Schraubenfeder wird eine Masse von m = 2,5 kg gehängt.

a) Wie groß ist die Federkonstante k, wenn die Schraubenfeder für eine Schwingung∆t = 1 s benötigt?

b) Welche Masse müsste man anhängen um die Frequenz der Schwingung zu ver-doppeln?

Aufgabe 5.7 ??

Eine Punktmasse führt eine harmonische Schwingung aus.

a) Zeichne die Diagramme über den zeitlichen Verlauf von Elongation, Geschwindig-keit und Beschleunigung.

b) An welchen Punkten der Bahn erreicht die Masse die größte Geschwindigkeit? Anwelchen Punkten der Bahn erreicht sie die größte Beschleunigung?

Aufgabe 5.8 ??

Eine Punktmasse führt eine Sinusschwingung aus. Die Amplitude beträgt 10 cm und dieFrequenz 20 Hz. Wie groß sind die Elongation, die Geschwindigkeit und die Beschleuni-gung ∆t = 0,1 s nach dem Nulldurchgang?

26

5 Mechanische Schwingungen

Aufgabe 5.9 ??

Die Schwingungsdauer eines Federpendels beträgt T = 1,57 s, die Amplitude xmax =12 cm. Der Wert der schwingenden Masse beträgt m = 300 g.

a) Berechne die Dehnungskonstante k der Feder. k = 4,8 N/m

b) Berechne die Gechwindigkeit v der Masse beim Durchgang durch die Gleichge-wichtsposition. v = ω · xmax = 0,48 m/s

c) Berechne die Beschleunigung a der Masse beim Durchgang durch die Gleichge-wichtsposition und zum Zeitpunkt der größten Elongation.

a = −xmaxω2 sin(ωt)⇒ a(x = 0) = 0 m/s2; a(x = xmax) = −1,92 m/s2

Aufgabe 5.10

Ein Körper (m = 500 g) hängt vertikal an einer Feder und schwingt frei in dieserRichtung. Am Punkt seiner äußersten Auslenkung (s0 = 12 cm) besitzt er eine Beschleu-nigung von a0 = 60 cm/s2. Berechne den Wert der Federkonstante D.

D = 2,5 N/m

Aufgabe 5.11

Ein Federpendel der Masse m = 0,100 kg wird um 5 cm aus seiner Gleichgewichtspositi-on ausgelenkt und dann ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Es schwingt dannmit einer Periodendauer T = 1,2 s.

a) Bestimme die Federkonstante der benutzten Feder.b) Stelle die (numerische) Bewegungsgleichung x = f (t) der Schwingung auf.c) Bestimme die Position, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zum Zeit-

punkt t = 0,25 sd) Wann durchquert die Masse zum ersten Mal die Position x = 2,0 cm in positiver

Richtung?

27

2GIG

Aufgabe 5.12

Zum Zeitpunkt t = 0 durchquert eine schwingende Masse (m = 0,150 kg) ihre Gleichge-wichtsposition in negativer Richtung mit der Geschwindigkeit v = 2,00 m/s. Die Federhat eine Federkonstante k = 95,0 N/m.

a) Bestimme die Kreisfrequenz, die Frequenz und die Periodendauer des Federpen-dels.

b) Bestimme die Amplitude xmax der Schwingung.c) Stelle die (numerische) Bewegungsgleichung x = f (t) der Schwingung auf.d) Zeichne das x-t-Diagramm der Bewegung für 0 ≤ t < 2T.

Aufgabe 5.13

Ein Körper der Masse m kann reibungslos über eine horizontale Ebene gleiten. Er ist aneiner Feder der Federkonstanten k = 48 N/m befestigt. Seine Elongation, die in Bezugzur Gleichgewichtsposition gemessen wird, wird mit folgender Bewegungsgleichungbeschrieben:

x(t) = Xmax · sin(8t− π)

Um das Pendel zum Schwingen zu bringen, gibt man ihm eine Energie von 0,24 J.

Bestimme:

a) die Masse m des Körpers;

b) die Amplitude Xmax der Bewegung;

c) die maximale Geschwindigkeit vmax;

d) die Elongation x, für die die kinetische Energie genau halb so groß ist wie diepotentielle Spannenergie;

e) die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a an diesem Punkt.

28

5 Mechanische Schwingungen

Abbildung 5.1: Bewegung des Federpendels aus Aufgabe 1

Aufgabe 5.14

Die Bewegung eines horizontalen Federpendels ist in Abbildung 5.1 dargestellt.

a) Bestimme die Frequenz f und die Kreisfrequenz ω dieses Pendels.

b) Schreibe die Gleichung der potentiellen Spannenergie in Funktion von k, Xmax, ωund t. Bestimme die Masse m und die Federkonstante k, wenn du weißt, dass diepotentielle Spannenergie zum Zeitpunkt t = 0 den Wert ES = 3,7 mJ hat.

5.2 Fadenpendel (mathematisches Pendel)

Aufgabe 5.15

Die Frequenz eines Fadenpendels soll f = 1 Hz betragen. Bestimme die Periodendauerdes Pendels sowie die Länge, die es haben muss.

29

2GIG

Aufgabe 5.16

In welchem Verhältnis stehen die Pendellängen zweier Fadenpendel, wenn sich dieFrequenzen wie 1:2 verhalten?

Aufgabe 5.17

Am 10 m langen Seil eines Krans hängt eine Last von 2 Tonnen und schwingt mit einerAmplitude xmax = 0,5 m. Wie groß ist die Periodendauer?

Aufgabe 5.18

Ein Fadenpendel macht 30 Schwingungen pro Minute. Um wie viel Zentimeter mussman es verkürzen, damit es 90 Schwingungen pro Minute macht?

l2 = 19 · l1

Aufgabe 5.19

Ein Astronaut auf dem Mond stellt fest, dass wenn er die Pendellänge seines Pendels um1,11 m verlängert, die Schwingungsdauer des Pendels sich von 3,0 s auf 6,0 s verdoppelt.Ermittle aus diesen Werten die Fallbeschleunigung auf dem Mond.

gMond = 1,62 m/s2

Aufgabe 5.20

Um wieviel Prozent verändert sich die Frequenz f eines Fadenpendels, wenn seineLänge l um 0,1 % vergrößert wird? 0, 05%

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5 Mechanische Schwingungen

S

m

la

Abbildung 5.2: Hemmungspendel nach GALILEI.Die Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht!

Aufgabe 5.21 ? ? ?

Ein Fadenpendel mit der Fadenlänge l = 64 cm ist so aufgehängt, dass sich a = 28 cmvertikal unter dem Aufhängepunkt ein Stift S befindet, an dem der Faden anschlägt undbei seiner Schwingbewegung entsprechend geknickt wird (siehe Abbildung 5.2). Wiegroß ist die Schwingungsdauer des Pendels?

T1

2= π

√lg und

T2

2= π

√l−a

g mit T = T1 + T2 erhalten wir T = 1,40 s

Aufgabe 5.22 ? ? ?

Kann ein im Wasser schwimmender Holzquader harmonische Schwingungen ausführen?Und eine Holzkugel?

Hinweis: Besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der rücktreibenden Kraft undder Eintauchtiefe?

31

6 Wellen

Aufgabe 6.1

Berechne die Wellenlängen λ folgender Wellen:

a) UKW, f1 = 90,1 MHz

b) Mikrowelle, f2 = 2,1 GHz

c) Wechselstrom, f3 = 50 Hz

Aufgabe 6.2

Die Ausbreitung einer Transversalwelle beginnt zum Zeitpunkt t0 = 0 s am Punkt x0 =0 m. Sie breitet sich dann in positiver x-Richtung ungedämpft mit der Geschwindigkeitc = 3,0 m/s aus. Die Elongation der Welle am Punkt x0 ist null (y = 0 m) und ihrWert wächst in der unmittelbar folgenden Zeit an. Die Amplitude der Welle beträgtymax = 10 cm und die Periode T = 4,0 s.

a) Berechne die Wellenlänge λ. λ = 12 m

b) Zu welchem Zeitpunkt tb beginnt das sich am Ort xb = 120 m befindende Teilchenzu schwingen? tb = 40 s

c) Welche Elongation yc hat dieses Teilchen zum Zeitpunkt tc = 50 s?yc = ymax · sin 2π

T (tc − xbc ) = 0 m

33

2GIG

Aufgabe 6.3

Die Ausbreitung einer Transversalwelle beginnt zum Zeitpunkt t0 = 0 s am Punktx0 = 0 m mit dem Elongationswert y = 0 m und ihr Wert wächst dann in der unmittelbarfolgenden Zeit an. Sie breitet sich dann in positiver x-Richtung ungedämpft mit derGeschwindigkeit c = 5,0 m/s aus. Die Amplitude der Welle beträgt ymax = 12 cm unddie Wellenlänge λ = 50 cm.

a) Berechne die Frequenz f und die Periode T eines Schwingers der Welle. f = 10 Hz

b) Zu welchem Zeitpunkt tb erreicht die Welle den Ort xb = 15 m? tb = 3,0 s

c) Schreibe die Wellengleichung. y(x; t) = 0,12 m · sin[2π(10t− 2x)]

d) Berechne die Elongationen y1, y2 und y3 am Ort x = 8,0 m zu den Zeiten t1 =5,000 s, t2 = 5,250 s und t3 = 5,333 s.

y1 = 0 m, y2 = 0 m und y3 = 0,104 m.

Aufgabe 6.4

Wie ändert sich die Wellenlänge, wenn bei sonst gleichen Bedingungen die Frequenz,bzw. die Ausbreitungsgeschwindigkeit verdoppelt wird?

Aufgabe 6.5

Eine Meereswelle besitzt eine Wellenlänge von 300 m und eine Periodendauer von 15 s.Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Welle.

Aufgabe 6.6

Auf der Meeresoberfläche wird eine Sprengladung gezündet. Wie weit ist der Beobachtervom Explosionszentrum entfernt, wenn er den Schall der Explosion ∆t = 12 s nach demLichtblitz hört?

34

6 Wellen

Aufgabe 6.7

Die Schallwellen, die durch Sprache oder Musik hervorgerufen werden, liegen in einemFrequenzbereich von 50 Hz bis 5000 Hz.

a) Welchem Wellenlängenbereich entspricht dies in der Luft (c = 340 m/s)?

b) Welchem Wellenlängenbereich entspricht dies im Wasser (c = 1480 m/s)?

c) Welche Wellenlängen ergeben sich für beide Medien für 440 Hz?

Aufgabe 6.8

Auf einem Seil werden Wellen erzeugt, indem es an der Stelle x = 0 mit der Frequenz fund der Amplitude ymax bewegt wird. Die Wellenlänge beträgt λ. Zur Zeit t = 0 befindetsich bei x = 0 ein Wellental.

a) Gib die Ort-Zeit-Funktion y(t) für ein Teilchen bei x = 0 allgemein an, und für dieWerte f = 4,0 Hz, ymax = 6,0 cm,λ = 32 cm.

b) Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht dieses Teilchen?

c) Berechne y, v, und a für dieses Teilchen für t = 2,2 s.

d) Gib die Gleichung für die gesamte Welle allgemein und für die in Frage (a) ange-gebenen Werte an.

e) Berechne die Elongation für folgende Fälle: x = 0, t = 0x = λ/2, t = 0x = 0, t = T/4x = λ/4, t = T/4x = 3λ/4, t = T/4

f) Skizziere die Momentbilder der Welle für t = 0 und t = T/4.

g) Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

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2GIG

Aufgabe 6.9

Eine eindimensionale Transversalwelle beginnt zur Zeit t = 0 im Ursprung des Koordi-natensystems und breitet sich mit der Geschwindigkeit c = 5,0 cm/s in Richtung derpositiven x-Achse aus. Die Wellenlänge beträgt λ = 0,5 m, die Amplitude 12 cm.

a) Berechne die Frequenz f und die Periodendauer T. f = 0,1 Hz; T = 10 s

b) Gib die Gleichung der Welle an.

c) Wann hat die Welle den Ort x = 15 m erreicht? ∆t = 300 s = 5,0 min

d) Welche Elongation hat die Welle an diesem Ort zu den Zeiten t1 = 3,01 s, t2 =3,025 s und t3 = 3,04 s?

Aufgabe 6.10

Eine Metallspitze S1 schwingt sinusoidal in vertikaler Richtung mit einer Frequenz von30 Hz und einer Amplitude von 2,0 cm. Zum Zeitpunkt t = 0,0 s befindet sich die Spitzean ihrem tiefsten Punkt.

a) Schreibe die Bewegungsgleichung von S1 in einem nach oben gerichteten Koordi-natensystem Oy.

b) S1 ist mit einer elastischen Schnur der Länge l = 52,0 cm verbunden, auf dersich durch die Schwingungen der Metallspitze Wellen mit der Geschwindigkeitc = 2,4 m/s ausbreiten. Stelle die Bewegungsgleichung eines Punkts M auf, dersich 20,0 cm von S1 befindet. Vergleiche die Bewegungen von M und S1.

c) Am anderen Ende der elastischen Schnur befindet sich eine zweite MetallspitzeS2, die identisch mit S1 ist, nur dass sie sich zum Zeitpunkt t = 0,0 s am höchstenPunkt befindet. Stelle die Bewegungsgleichung von S2 auf.

d) Stelle die Bewegungsgleichung von M auf, wenn dieser Punkt nur der Welle vonS2 ausgesetzt wäre.

e) Stelle die Bewegungsgleichung von M unter dem Einfluss der beiden Wellen (vonS1 und S2) auf.

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6 Wellen

Aufgabe 6.11

Eine punktförmige Quelle S ruft auf einer glatten Wasseroberfläche Wellen hervor, derenAmplitude 3 mm beträgt. Die Quelle schwingt mit einer Frequenz von 100 Hz und dieWellen breiten sich mit einer Geschwindigkeit von 40 cm/s auf der Wasseroberflächeaus.

a) Stelle die Bewegungsgleichung von S und anschließend die von M auf, wenndu weißt, dass M sich d = 1,4 cm von S befindet, und dass die Quelle sich zumZeitpunkt t = 0,0 s an ihrem tiefsten Punkt befindet.

b) Vergleiche die Bewegungen von S und M.

c) Bestimme die Elongation eines Punktes P, der 5,0 mm von der Quelle entfernt ist,zum Zeitpunkt t = 0,035 s.

Aufgabe 6.12

Fortschreitende Wellen haben eine doppelte Periodizität: zum einen die zeitliche Periodizitätmit der Periode T, und zum anderen eine räumliche Periodizität, die der Wellenlänge λentspricht.

a) Zeige (mathematisch, indem du die Periodizität der Wellengleichgung y(t, x)für beide Variablen t und x untersuchst), dass die zeitliche Periode T und dieräumliche Periode λ ist.

b) Eine Vibrationsquelle im Punkt O, die mit der Frequenz f = 50 Hz schwingt, lässtauf einer elastischen Schnur Wellen der Amplitude Ymax = 5,0 mm entstehen, diesich mit der Geschwindigkeit c = 8,0 m/s ausbreiten.

(i) Stelle die Bewegungsgleichung der Vibrationsquelle auf, wenn du weißt, dasssie sich zum Zeitpunkt t = 0,0 s in ihrer Gleichgewichtsposition befindet undsich nach unten bewegt.

(ii) Stelle die Wellengleichung der Welle auf der Schnur auf.

(iii) Stelle die Bewegungsgleichung eines Punkts M auf, der sich in einer Entfer-nung von x = 24 cm von der Quelle in O befindet.Vergleiche die Bewegungen von M und O.Bestimme die Elongation und die Geschwindigkeit von M zum Zeitpunktt = 0,0825 s.

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7 Überlagerung von Wellen – Interferenzen

Aufgabe 7.1 ??

In einer gleichen Schwingungsebene breiten sich in positiver Richtung zwei Transver-salwellen aus. Sie haben gleiche Wellenlängen, Frequenz und Amplitude. Man gibtλ = 4,0 cm, f = 2,0 Hz und Ymax = 2,0 cm. Der Gangunterschied zwischen beidenWellen beträgt ∆x = n · λ mit n ∈ IN.

a) Zeichne beide Wellen für den Zeitpunkt t =T2

im Bereich [0; 2λ]. Konstruieredurch Addition der Elongationen beider Wellen die resultierende Welle.

b) Schreibe die Wellengleichungen beider Wellen.

c) Ermittle die Wellengleichung der resultierenden Welle y0.

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Anhang

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Fallbeschleunigungen

Tabelle 1: Fallbeschleunigung an verschiedenen Orten . . .

(a) . . . auf der Erde

Ort g/(N/kg)

Äquator 9,787Pole 9,832Europa 9,81Altitude von 100 km 9,52Altitude von 1000 km 7,33Mt Blanc (4807 m) 9,79Mt Everest (8846 m) 9,77

(b) . . . auf anderen Himmels-körpern

Ort g/(N/kg)

Mond 1,62Merkur 3,7Venus 8,87Mars 3,93Jupiter 25,9Saturn 9,28Uranus 9,0Neptun 11,6Pluto 0,57Sonne 274

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Anhang

Diese Sammlung enthält 99 Aufgaben.

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