Mag'MathsLe magazine qui fait chauffer les neurones

Avril 2015 numéro spécial de la 6DCollège Jean-Monnet à Briis-sous-Forges

Le saviez vous ?Révolution dans le monde del’aéronautique : un avion solaire,Solar Impuls, a commencé un tourdu monde prévu en 25 jours etavec environ 5 heures d'autonomieentre chaque étape. Au total, ilaura parcouru 35 000 km.

Le chiffre du jour828 m : c'est le nombre demètres de la plus haute tour dumonde : Burj Khalifa, qui setrouve à Dubaï. Elle a 200étages.

ÉDITO

Bienvenue à bord de ce vol « Mag'Maths »

Vous aimez voyager ? Vous aimez fairedes mathématiques ? Alors, ce numéro spé-cial est fait pour vous !

En effet, quel est le point commun entrele Titanic et la Tour Eiffel ? Ce sont les cal-culs qui ont permis la construction de cesbeaux bâtiments touristiques. Ainsi, Mathset Voyages ne font qu'un, comme nous vousle prouverons dans ce numéro !

Prêt pour le décollage ? Attachez vosceintures pour ce voyage extraordinaire aupays des maths !

La classe de 6D a eu la chance de rencon-trer Filippo Santambrogio, un mathémati-cien d'origine italienne :

nous vous dévoilons tout !

SommaireÉditoLes ponts de KönigsbergPlongée dans l'Antiquité : EuclideCuisine du mondePlongée dans l'Antiquité : PythagoreInterview exclusiveLa BDLe code de CésarVoyage numérique avec le TitanicRemue-méninges et énigmes

Interview exclusive

2 Mag'Maths Avril 2015

LES PONTS DE KÖNIGSBERG

Le problème consiste à déter-miner s'il existe ou non une pro-menade dans les rues de König-sberg permettant, à partir d'unpoint de départ au choix, de pas-ser une et une seule fois parchaque pont, et de revenir à sonpoint de départ, étant entenduqu'on ne peut traverser le Pregelqu'en passant sur les ponts.

Petite histoire avant de fairele jeu :

La ville de Königsberg (au-jourd'hui Kaliningrad) estconstruite autour de deux îles si-tuées sur le Pregel et reliéesentre elles par un pont. Sixautres ponts relient les rives dela rivière à l'une ou l'autre desdeux îles, comme représentés sur

le plan ci-dessous. Au XVIIIesiècle, les habitants avaientl'habitude de se promener le di-manche en essayant de résoudrele problème ; n'y arrivant pas, ilsdemandèrent à Euler (mathémati-cien célèbre de cette époque) deles aider.

Lors de notre rencontre avecFilippo Santambroggio, nous avonscherché une solution à ce pro-blème et nous en avions trouvéune, mais Filippo nous a fait re-marquer qu'elle n'était pas par-faite car on ne revenait pas aupoint de départ.

Il nous a alors aidé à trouvercomment obtenir une solution bienmeilleure : passer une et une seulefois par chaque pont, et revenir àson point de départ.

Indication :

LES PONTS DE PARIS

Saurez-vous résoudre le mêmeproblème avec les ponts de Paris ?

ÉNIGME

Je m'appelle Dominique Mar-tin, je suis médecin-chef du ser-vice des urgences du Centre Hos-pitalier Universitaire St Paul.

J'adore voyager et juste-ment je suis en voyage.

J'aime bien m'occuper enfaisant des petites énigmes,énigmes dans lesquelles inter-viennent mes enfants : j'ai 2 en-fants, Emma et Tom.

Emma, la cadette est née 4ans après Tom et la somme desâges de mes deux enfants estégale à 18 ans.

Quels âges ont mes enfants ?

Réponse :

Emma a 7 ans et Tom a 11 ans.

On peut rajouter un pont mais le mieux est de rajouter deux ponts. Pourquoi ?

Un voyage dans le tempsavec EUCLIDE

Euclide est un célèbre ma-thématicien grec qui se spécialisedans la géométrie. Il est né en330 avant J.-C. et il meurt en 270

avant J.-C. à Alexandrie.

Il étudie à Athènes puis tra-verse la Méditerranée pour allerenseigner à Alexandrie sur l'invi-tation du Pharaon Ptolémée.

Il écrit une encyclopédie de13 livres qui s'appelle Les élé-ments, c'est l'ouvrage le plus édi-té après la Bible.

Le nom de division eucli-dienne est un hommage rendu à cegrand mathématicien. C'est le nomdonné aux divisions apprises àl'école : divisions des nombres en-tiers avec un quotient et un reste.

Source : Wikipédia, Vikidia

Voyage euclidienVoici un problème concernant

le voyage d'Euclide lorsqu'il vientenseigner à Alexandrie.

Euclide part d'Athènes à 6heures du matin pour se rendre auPirée (port d'Athènes), il met 3heures pour cette étape. Il prendun bateau pour se rendre enCrète, le trajet dure 7 heures. Ily fait escale pendant 3 jours et 4heures puis reprend la mer pourcette fois aller à Alexandrie.Cette dernière étape du voyagedure 9 heures.

À quelle heure est-il arrivé ?Réponse :Euclide est arrivé à 5h du matin.

Recette de cuisine pourréussir un voyage

en EuropeIngrédients

(pour 9 personnes)- 1 poignée de décalage horaire- 5 billets de 500 €- 4 cuillerées d'avion- les 3 quarts de la tour de Pise- 500 g de Tour Eiffel- 1 plaquette de chocolat Suisse- 1 kg de corrida bien relevée- 2 portions de Big Ben- 1 drapeau de la Roumanie- 100 g de pralines belges

Recette- Prenez 5 billets de 500 € pour partir en voyage- Ajoutez 2+2 cuillerées d'avion pour le trajet- Mélangez avec 1 poignée de décalage horaire

- À l'atterrissage saupoudrez les 5x100 g de morceaux de Tour Eiffel- Survolez la tour de Pise et attrapez les 3 quarts de celle-ci- Incorporez la plaquette de chocolat Suisse- Hachez en 3 parts égales le drapeau de la Roumanie- Prenez un bol et mettez-y 50x2 g de pralines belges- Ajoutez au mélange la corrida bien relevée avec 1+1 portions de Big Ben- Mettez la préparation au four pendant 1+0 heure à 200°

PROBLÈMEEn sachant que la recette

est pour 9 personnes, calculerla quantité des ingrédientspour les voyageurs d'un avioncontenant 1 376 personnes.

Mathématiciens célèbresdes pays rencontrés

dans la recette

Italie : Giuseppe PeanoFrance : Évariste GaloisRoumanie : Ion BarbuSuisse : Léonhard EulerAngleterre : Alan TuringEspagne : Juan de OrtegaBelgique : Pierre Deligne

Sur la pistedu Dr Frankenstein

énigme logiqueC'est affreux ! Le Dr Frankenstein a

quitté l'Angleterre laissant derrière lui sonhorrible monstre.

Il s'est rendu au Kazakhstan, il a com-mis un crime et il s'est réfugié dans son la-boratoire et a recréé un autre monstre en-core plus horrible que Frankenstein.

Et le Dr Frankenstein est reparti se ré-fugier en Mauritanie. Là-bas, le Dr Franken-stein n'a pas fait un mais deux crimes et nes’est pas arrêté là. Et il s'est réfugié à Ma-dagascar, sans toutefois créer de monstre.Il s'est rendu au Mozambique où le Dr Fran-kenstein crut pouvoir encore échapper à lapolice mais cette fois-ci les policiers trou-vèrent la solution de l'énigme : pourquoi a-t-il choisi ces pays pour commettre sescrimes ?

Réponse :

Les pays ont le même nombre de lettres : 10 lettres.

Les éléments

La Grèce du temps de Pythagoreet d'Euclide

Mag'Maths Avril 2015 3

PYTHAGORE

un mathématicien voyageur

Pythagore de Samos : nais-sance vers 580 avant J.-C. à Sa-mos et mort vers 495 avant J.-C.à Métaponte à 85 ans. C'est l'un

des mathématiciens et philo-sophes les plus connus de nosjours notamment grâce à sonthéorème (une affirmation mathé-matique qui peut être démontrée).

Il voyage pendant 20 ans enÉgypte, dans la Chaldée, en Inde,en Crète, à Sparte, en Sicile, àRome, à Carthage, à Massalia(Marseille) et en Gaule. Il vivaitsur l'île de Samos. Très jeune en-core, il fait preuve d'intelligenceet de sagesse incroyable.

LA TERRE,EST-ELLE RONDE ?

Pythagore a été le premier àpenser que la Terre était ronde !

La Terre était représentéecomme sur la gravure ci-contre,selon Pythagore.

Ses idées ont été reprisespar son disciple Philolaos de Cro-tone, le premier homme à avoiraffirmé que la Terre était mobile.

Source : Wikipédia, Gallica bibliothèque numérique, futura-sciences.

L'INTERVIEW DEFILIPPO SANTAMBROGIO

Bonjour Filippo Santambrogio,d'où venez-vous ?

− De Milan, dans l'Italie du Nord.C'est là qu'habitent mes parents,et une bonne partie de ma famille.

Qu'est-ce qui vous a donné en-vie de vous installer en France ?

− J'ai commencé à fréquenter laFrance par le hasard des collabo-rations scientifiques pendant mathèse de doctorat. J'ai bien aiméParis, et j'ai vu que le monde aca-démique français offrait beau-coup d'opportunités. Dans le mé-tier de chercheur ce n'est passimple de choisir la ville dans la-quelle on travaillera, et je me suisdit que c'était mieux d'atterrirdans une ville que j'aimais et jeconnaissais bien, même si àl'étranger, plutôt que dans uneville italienne qui n'aurait signifiérien pour moi.

Quel est votre rôle à l'universi-té d'Orsay ?

− Je suis enseignant-chercheur,et plus précisément professeurdes universités : cela signifie queje donne des cours, je fais de larecherche, j'encadre des étu-diants (stagiaires de licence, demaster, et doctorants), et je par-ticipe à l'organisation de sémi-naires, de colloques, et de forma-tions (notamment des Master 2spécialisés).

Que préférez-vous dans lesmaths ?

− Question difficile… j'aime sur-tout quand les maths que je

connais peuvent être un outil pourdécrire des problèmes qu'on sepose dans la vie réelle. Pour faireun exemple, je me suis plusieursfois demandé quelle serait la ma-nière la meilleure de traverserune rue : vaut-il mieux traversertout droit et terminer le déplace-ment sur le trottoir, pour réduirele risque de se faire renverser, auprix d'un chemin plus long, ou tra-verser en diagonale vers notredestination finale, avec un cheminplus court mais plus dangereux ?Et, si la réponse est intermé-diaire, quelle est la forme opti-male du chemin à suivre ?

Quelle est votre nationalité ?

− J'ai deux nationalités : je suisitalien de la naissance, et françaispar naturalisation depuis un an.

Qu'avez-vous fait pour arriverjusque là ?

− Pour être prof à Orsay ? Ça aété long, mais finalement pas tantque ça : j'ai fait des études demaths à l'École Normale Supé-rieure de Pise, (sorte d'antenneitalienne de l'ENS française,créée par Napoléon), y compris undoctorat. Je suis venu en Francepour des séjours de 3 et 6 moispendant le doctorat et ensuitepour un post-doctorat à l'ENS deCachan. J'ai participé auxconcours de recrutement des en-seignants-chercheurs et j'ai eu unposte de Maître de Conférences àl'Université Paris-Dauphine en2007, et puis un poste de profes-seur à Orsay en 2010.

Quel est votre théorème préfé-ré ?

− Vous aimez les questions diffi-ciles… j'ai une affection toute

particulière pour le théorème dePythagore, depuis que, tout petit,je faisais plein de tentatives in-fructueuses pour deviner la lon-gueur de la diagonale des petitscarreaux de mon cahier. Mes ten-tatives étaient, dans l'ordre, 1, 2,1.5, 1.375... je serais jamais arrivéà la racine de 2 tout seul…

Combien de pays avez-vous visi-té ?

− J'ai fait le calcul, j'en ai compté39, sur 4 continents. Pour l'ins-tant je n'ai jamais été au sud del'équateur, par contre. De cespays, beaucoup je les ai visitéspour des raisons mathématiques,et j'ai donné des cours ou sémi-naires dans 22 d'entre eux.

Quelle est votre figure géomé-trique préférée ?

− L'hexagone, peut-être… il a detrès belles propriétés d'optimali-té : si vous devez paver le planavec des figures de surface iden-tique, et vous voulez minimiser lalongueur des interfaces, c'estavec des hexagones réguliers qu'ilfaut le faire. Et c'est ce que fontles abeilles, d'ailleurs. On pourraitse demander si la France a cetteforme pour une raison similaire :-)

Combien d'années d'étudesavez-vous fait pour devenir unvrai mathématicien ?

− Je crois qu'on devient des« vrais mathématiciens » après ledoctorat. Il faut donc un« bac+8 », du coup 20 ansd'études… mais ce n'est pas fini :pour être professeur à l'universi-té, il faut un diplôme supplémen-taire, une espèce de « super-doc-torat » : l'habilitation à dirigerdes recherches. Je l'ai passée 3

ans après ma thèse de doctorat.

Savez-vous comment les mathsont-elles été inventées ?

− Peut-être… je crois qu'elles ontété inventées d'abord pour desraisons pratiques (commerciales,notamment : il fallait calculer lesprix, déterminer les surfaces desparcelles de terre…). Mais lesmaths modernes nécessitent de lanotion de démonstration, pasjuste des calculs et formules. Etça, ça date des Grecs, avec Eu-clide, Pythagore…

Quelle est votre formule mathé-matique préférée ?

− Celle-ci : (a - b)² = a²+ b²− 2abÇa a plein de conséquences ; ainsi,pour tout a et b, on a :

2ab ≤ a²+ b²

Comment êtes-vous devenu ma-thématicien ?

− Difficile à dire, mais ce que jepeux sûrement dire, c'est que cen'était pas par hasard : je croisque je voulais être mathématiciendepuis mon collège (avant, àl'école primaire, je pensais plutôtfaire ingénieur). Après, ce sontles olympiades de maths qui m'ontconvaincu complètement, et quim'ont poussé en particulier à par-tir étudier à Pise

Comment les mathématiciensfont-ils pour calculer aussivite ?

- On ne calcule pas vite du tout,c'est un faux mythe. Considérezque dans les articles de maths, ra-rement on trouve des chiffres audelà de 4 ou 5… (sauf dans la nu-mérotation des pages). Faire desmaths est très différent quefaire des calculs.

Interview exclusive

4 Mag'Maths Avril 2015

MOTS CODÉSPour trouver la phrase codée, résolvez les mul-

tiplications et regardez les lettres correspondantesdans la légende : le nom d'un monument célèbre ap-paraîtra.

Exemple : 10x4=40 et 40=A donc 10x4 correspond àla lettre A.

Légende :40=A 90=B 53=C 27=D 28=E 15=F 95=G 3=H 12=I 8=J 55=K 63=L 93=M 11=N 23=O 48=P 25=Q 42=R 6=S 36=T 4=U 44=V 10=W 83=Y 97=X 1=Z

Phrase codée :2x3 6x6 8x5 9x4 2x2 4x7 3x9 7x4 7x9 4x109x7 2x6 9x10 4x7 6x7 6x6 7x4

LE CHIFFRE DE CÉSAR

Le chiffrement par décalage, plus connu sous lenom de chiffre de César, est une méthode de chif-frement très simple utilisée par Jules César dansses correspondances secrètes, ce qui explique lenom « chiffre de César ».

C'est une des méthodes de cryptographie lesplus anciennes.

Il s'agit de remplacer des lettres par deschiffres.

LE TITANIC

Le Titanic était le plus grand bateau du monde.

Il devait partir de Southampton (Angleterre),aller à Cherbourg (France) puis ensuite à Queens-town (Royaume-Uni) puis traverser l'Atlantique etaurait dû arriver à New-York (États-Unis).

En effet, dans la nuit du 14 avril 1912, il per-cute un iceberg sur le flanc tribord à 23h40.

Il coule malheureusement, en faisant plus de1 400 morts.

Seulement 800 passagers ont réussi às'échapper à bord des canaux de sauvetage.

LES TRAJETS SUR LA TERRELa Terre

étant ronde il estplus rapide deprendre un trajet quiest un grand cercle(trajet en rouge) aulieu d'un trajet cor-respondant à un pa-rallèle (trajet en vio-

let) : le trajet repéré en violet est moins rapide quele trajet repéré en rouge.

Le Titanic devait accomplir le trajet en rougepour aller au plus court.

Rédaction de la 6D : Loup Pressoir de Person, Alexis Walle, Alexis Magnin, Evan Saulas, Maxence Lamy-Voiturier,Marie Nowicki, Marina Louveau, Coralie Réault, Emma Lhomme, Héloïse Marchand, Lison Lecreux, Camille Terrien,Déborah Lobbé-Poirier, Ariane Brunel, Hugo Bosquillon, Julien Huc, Mattéo Jalmain, Océane Caro, Tom Autier-Miconi,Sélène Laignel, Mathis Lanaro, Ewann Le Goff, Romane Balaska, Marianne Farez, Diane Guyomard, François Hugues

Rédacteurs en chef : M. Suquet, Mme Pavy, Mme Delclaux Imprimeur : Collège Jean-Monnet à Briis-sous-Forges

Directeur de publication : M. Chabanon, principal du collège

La Tour Eiffel en questions- Quel est mon âge ?- Quel est mon poids ?- Combien de temps a-t-il fallu pour me construire ?- Combien y avait-il d'ouvriers à ma construction ?- Quelle est ma hauteur ?