Autocorrelation Spatiale Des Erreurs Et Erreurs de Mesure

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Autocorrelation Spatiale Des Erreurs Et Erreurs de Mesure

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  • _____________________ Rgion et Dveloppement n 40-2014 __________________

    AUTOCORRLATION SPATIALE DES ERREURS ETERREURS DE MESURE : QUELLES INTERACTIONS ?

    Julie LE GALLO* et Jan MUTL**

    Rsum - Dans cet article, nous drivons les distributions asymptotiques de lestimateur des Moindres Carrs Ordinaires (MCO) et de lestimateur des Moindres Carrs Gnraliss (MCG) dans un modle comportant une autocor-rlation spatiale des erreurs et une erreur de mesure affectant la variable expli-cative. Nous spcifions analytiquement la forme du biais asymptotique relatif et de lefficience asymptotique relative entre les deux estimateurs compte tenu de la structure du modle. Ceci nous permet de montrer que la prsence simulta-ne de lautocorrlation spatiale et dune erreur de mesure sur la variable ex-plicative conduit un arbitrage entre le biais et la variance. Une estimation par les MCG permet de rduire le biais mais de faon trs limite. Cependant, il existe de nombreuses combinaisons de paramtres pour lesquelles cette rduc-tion du biais se fait au dtriment dune perte defficience.

    Mots-cls - AUTOCORRLATION SPATIALE, ERREURS DE MESURE, PROPRITS ASYMPTOTIQUES

    Classification JEL - C13, C21

    *CRESE, Universit de Franche-Comt, France, [email protected] ** EBS Business School, Allemagne, [email protected]

  • 38 Julie Le Gallo et Jan Mutl

    1. INTRODUCTION

    Les modles en coupe transversale sur donnes gorfrences sont trs sou-vent caractriss par un phnomne dautocorrlation spatiale (Anselin, 1988 ; Le Gallo, 2002 ; LeSage et Pace, 2009 ; Le Gallo, 2014). Cette dernire peut tre la consquence dinteractions spatiales ou deffets de pairs entre individus gographiquement proches ou encore provenir dun problme de spcification du modle, comme la prsence de variables omises spatialement autocorrles ou une mauvaise spcification de la forme fonctionnelle. Les mthodes destimation et dinfrence des modles comportant une autocorrlation spatiale sous la forme dune variable endogne dcale ou dune autocorrlation spatiale des erreurs sont maintenant bien tablies (voir Arbia, 2014 ; Dub et Legros, 2014 ; Elhorst, 2014 ; Fisher et Nijkamp, 2014 pour des manuels rcents).

    Dautres problmes conomtriques sont frquents dans les modles en coupe transversale. Ainsi, une variable explicative peut tre endogne si elle est corrle avec le terme derreur. Lendognit des variables explicatives peut avoir plusieurs sources : biais de simultanit, variables omises corrles avec les variables prsentes dans le modle ou encore erreurs de mesure. Si les con-squences de lendognit de variables explicatives sont bien connues, la pr-sence simultane dautocorrlation spatiale et de variables endognes na que rcemment fait lobjet dtudes spcifiques. Ainsi, Fingleton et Le Gallo (2007, 2008) proposent une mthode destimation base sur les moments gnraliss pour des modles comportant la fois des variables explicatives endognes et une autocorrlation spatiale sous la forme dune variable spatiale dcale et/ou dune autocorrlation spatiale des erreurs. Les proprits asymptotiques de cette mthode destimation sont drives par Drukker et al. (2013). A travers des simulations, Fingleton et Le Gallo (2009) montrent que le modle de Durbin spatial est mme de limiter les biais lis la prsence de variables endognes. Enfin, Jin et Lee (2013) et Liu et Lee (2013) sintressent au cas o de nom-breux instruments existent.

    Dans cet article, nous nous attachons au cas spcifique de lendognit pro-venant dune erreur de mesure. Ces dernires sont frquentes en conomtrie applique. Par exemple, Temple (1998) a montr que les paramtres estims dans les modles de convergence et notamment la vitesse de convergence taient trs sensibles aux problmes derreurs de mesure sur les donnes de revenu par tte. Lorsque lerreur de mesure affecte uniquement la variable d-pendante, elle est absorbe par le terme derreur et na pas deffet sur la conver-gence des estimateurs des paramtres inconnus. Cependant, lorsquune variable explicative est mesure avec erreur, alors les estimateurs des MCO obtenus en utilisant la variable observe sont affects dun biais dattnuation : ils sont asymptotiquement sous-estims. Les autres coefficients du modle peuvent galement tre affects : cest le biais de contamination (Greene, 2011).

    La question des erreurs de mesure dans le cadre des modles dconomtrie spatiale reste aujourdhui trs largement inexplore. Le Gallo et Fingleton (2012) ont analys les effets dune erreur de mesure sur le biais et lefficience de diffrents estimateurs dans des modles dconomtrie spatiale. Sur la base

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    de simulations de Monte-Carlo, ils ont montr que les erreurs de mesure combi-nes un processus spatial sur les erreurs, peuvent tre, de faon quelque peu paradoxale, mieux traites par une mthode destimation ignorant lautocorrlation spatiale. Ces rsultats font cho ceux obtenus par Dagenais (1994) qui, dans un cadre de sries temporelles, montre thoriquement que dans certaines circonstances, le biais de lestimateur des Moindres Carrs Ordinaires (MCO) pouvait mme tre amlior par la prsence de corrlation srielle dans les termes derreurs.

    Dans ce contexte, lobjectif est de revenir sur les proprits asymptotiques des estimateurs en prsence derreurs de mesure dans un cadre spatial. Nous nous concentrons dans cet article sur le cas dune autocorrlation spatiale affec-tant les termes derreurs dune rgression. Notre objectif est alors de driver les probabilits limite et la distribution asymptotique des estimateurs des MCO et des Moindres Carrs Gnraliss (MCG) en prsence dautocorrlation spatiale des erreurs et derreur de mesure sur la variable explique afin dvaluer com-ment ces deux effets interagissent.

    Cet article est organis de la faon suivante. Dans une premire partie, nous prsentons le modle et les hypothses. Ensuite, nous drivons les distributions asymptotiques des estimateurs des MCO et des MCG. Enfin, nous comparons les biais et lefficience asymptotiques de ces deux estimateurs laide de repr-sentations graphiques. La dernire section conclut et offre quelques perspectives de recherche futures.

    2. LE MODLE ET LES HYPOTHSES

    Dans un premier temps (2.1.), nous prcisons la spcification et les hypo-thses du modle avec autocorrlation spatiale des erreurs. Dans un second temps, nous introduisons une erreur de mesure sur la variable explique (2.2.).

    2.1. Le modle avec autocorrlation spatiale des erreurs

    Sans perte de gnralit, on considre un modle de rgression linaire avec une seule variable explicative :

    yn XnE uu (1) o n est le nombre dobservations en coupe transversale ; yn est le vecteur de dimension (n,1) comportant les observations sur la variable explique ; Xn est le vecteur de dimension (n,1) comportant les observations sur la variable expli-cative et un est le vecteur de dimension (n,1) des termes derreurs. Les termes derreurs suivent un processus spatial autorgressif (SAR) lordre 1 :

    un OWnun Hn (2) o Wn est une matrice carre de dimension n et qui reprsente la structure de connectivit entre les observations.

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    On pose les hypothses suivantes :

    Hypothse 1 - sur Hn Les lments de Hn sont identiquement et indpendamment distribus avec des moments absolument finis dordre 4GH pour un GH ! 0 . En outre, E Hn VH2 ! 0 .

    Hypothse 2 - sur Wn Les lments de la matrice de poids Wn sont non-stochastiques avec :

    (a) wii ,n 0(b) Les sommes absolues en ligne et en colonne des matrices Wn et

    In OWn 1 sont uniformment bornes en valeur absolue, i.e. aij d k dfi 1

    n , o k ne dpend pas de n (mais peut dpendre des pa-ramtres du modle, i.e. O ) et aij dnotent les lments des matrices Wn et In OWn 1.

    (c) O d kO 1/ Omax (Wn), o Omax (.) dnote la valeur propre maximale en valeur absolue de Wn .

    Lhypothse (2a) est une normalisation typique en conomtrie spatiale. Les hypothses (2b) et (c) sont satisfaites dans la plupart des applications empi-riques et sont vrifies si, par exemple, la matrice de poids Wn est standardise en ligne et si O d kO 1 respectivement. Ces hypothses sont typiquement imposes dans les modles spatiaux (Kelejian et Prucha, 1999) et limitent ltendue de lautocorrlation spatiale entre les units en coupe transversale. Elles sont satisfaites si la matrice de poids est creuse (i.e. chaque observation na quun nombre limit dobservations voisines). On note que de (2c), on d-

    duit que la matrice In OWn 1 est inversible.2.2. Erreurs de mesure

    On considre maintenant la situation o la variable non-stochastique Xn est en fait non-observable mais mesure avec erreur. La variable observe est la somme de la variable Xn non observe et dun terme derreur [n :

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    (3)

    On suppose galement que les erreurs de mesure sont spatialement autocor-rles :

    [n UMn[n Xn (4) Nous faisons alors les hypothses suivantes :

    Hypothse 3 - sur XnLa variable exogne Xn est non-stochastique et compose dlments uni-formment borns en valeur absolue.

    Hypothse 4 - sur [n(a) Les innovations Xn dans les erreurs de mesure sont desprance nulle et

    sont identiquement et indpendamment distribus avec des moments abso-lument finis dordre 4GX pour un GX ! 0 . En outre, les lments de Xn et de Hn sont indpendants et E Xi ,n2 VX2 .

    (b) La matrice de poids Mn et le paramtre spatial dcal correspondant U satisfont lhypothse 2.

    (c) V[2 : plimnof n1[n'[n existe et est fini et existe et est strictement positif et fini.

    Notons que lexistence et le fait que V[2 est born est une consquence des hypothses (4a) et (b) et du lemme de Chebyschev. En outre, dans la mesure o les lments de Xn sont borns, cela implique que existe et est fini. Ce-pendant, afin de garantir lidentification asymptotique du modle avec erreurs de mesure, il est ncessaire de supposer en outre que est inversible.

    3. PROPRITS ASYMPTOTIQUES DES ESTIMATEURS DES MCO ET DES MCG

    Nous considrons dans cette section les proprits en chantillon (3.1.) et les proprits asymptotiques (3.2.) des estimateurs des MCO et des MCG en pr-sence dautocorrlation spatiale et derreurs de mesure sur la variable explica-tive.

    3.1. Les estimateurs des MCO et des MCG

    Dans la mesure o Xn nest pas observ, le modle estim est :

    (5)

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    o . Selon quon considre lautocorrlation dans les termes derreurs ou non, on peut estimer ce modle par les MCO ou par les MCG. Les estimateurs des MCO et des MCG ont les formes suivantes :

    (6a)

    (6b)

    avec :u,n E unun' VH2 In OWn 1 In OWn' 1. Notons quil sagit bien de lestimateur des MCG purs et non ralisables car

    le paramtre O est inconnu. En pratique, il faudrait galement estimer ce para-mtre. Cependant, nous considrons ici quil est connu afin dtudier les pro-prits asymptotiques de lestimateur des MCG dans le meilleur des cas.

    Ces deux estimateurs sont biaiss en prsence derreurs de mesure puisque les conditions sur les moments sous-jacentes ne sont plus vrifies. Dans le cas de lestimation par les MCO en effet, la condition sur les moments basant lestimation est : . Cependant, compte tenu de la prsence

    derreurs de mesure, nous avons :

    (7)

    o V[ ,n2 : n1E [n'[n .Un rsultat analogue peut tre prouv pour lestimateur des MCG.

    3.2. Proprits asymptotiques

    Dans cette partie, nous drivons les proprits asymptotiques de lestimateur des MCO et des MCG.

    Tout dabord, afin de simplifier les expressions pour les rsultats asympto-tiques de lestimateur des MCO, bas sur la condition , nous sup-

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    posons que la matrice des variances-covariances de cette condition converge et imposons lhypothse suivante :

    Hypothse 5

    existe.

    Nous aurons besoin par la suite des lments suivants :

    m1 : limnof1ntr In UMn' 1 In UMn 11 (8a)

    m2 limnof1n

    Xn' In UMn' 1 .diag In UMn' 1 In UMn 11 (8b)

    Ces quantits sont des fonctions des donnes et ne dpendent que du seul pa-ramtre U qui mesure lautocorrlation spatiale dans les erreurs de mesure. Si U 0, alors m1 1 et m2 x limnof(1/ n) xii 1

    n .Ensuite, afin de garantir lexistence et lidentification asymptotiques de

    lestimateur des MCG, nous ajoutons lhypothse suivante :

    Hypothse 6

    V[ *2 plimnof 1n[n':u,n1 [n existe et est fini et

    existe, est fini et est inversible.

    En outre la quantit

    existe et est finie.

    Nous observons que :

    (9)

    En consquence, lhypothse 6 implique que VX*2 : plimnof(1/ n)Xn' :u,n1 Xn

    existe et est fini. La dernire partie de lhypothse 6 est ncessaire pour per-mettre lcriture de la matrice des variances-covariances de lestimateur des MCG.

  • 44 Julie Le Gallo et Jan Mutl

    Enfin, compte tenu de ces proprits, nous pouvons dmontrer les thormes suivants1 :

    Thorme 1 Distribution asymptotique de lestimateur des MCO

    Sous les hypothses 1 6, on a :

    n EMCO E od N 'MCO,:MCO (10a) Le biais asymptotique est donn par :

    (10b)

    La matrice de variance-covariance asymptotique est donne par :

    (10c)

    o VH2 , ont t dfinis auparavant et avec V X2 : limnof(1/ n)Xn' Xn .

    Nous donnons galement un thorme similaire pour lestimateur des MCG :

    Thorme 2 Distribution asymptotique de lestimateur des MCG

    Sous les hypothses 1 6, on a :

    n EMCG E od N 'MCG,:MCG (11a) Le biais asymptotique est donn par :

    (11b)

    La matrice de variance-covariance asymptotique est donne par :

    (11c)

    o V[*2 et ont t dfinis prcdemment et .Nous retrouvons le fait quen prsence derreurs de mesure sur une variable

    explicative, le coefficient associ est affect dun biais dattnuation. Ces diff-

    1 Pour des raisons de place, les dmonstrations des thormes 1 et 2 ne sont pas reportes ici. Elles sont disponibles sur demande auprs des auteurs.

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    rentes formules nous permettent de comparer les biais et RMSE asymptotiques des estimateurs des MCO et MCG.

    4. COMPARAISON DES BIAIS ET EFFICIENCES ASYMPTOTIQUES

    4.1. Formulations analytiques

    A laide des rsultats tablis dans la section prcdente, nous pouvons dri-ver la forme du biais asymptotique relatif entre lestimateur des MCO et celui des MCG des fins de comparaison. Ce biais relatif scrit :

    (12)

    La premire partie de cette expression sinterprte comme la variance rela-tive de la variable observe avant et aprs la transformation lie la procdure des MCG. La seconde partie de cette expression sinterprte comme la variance relative de lerreur de mesure avant et aprs la transformation lie la proc-dure des MCG. Compte tenu de la structure du modle, nous pouvons donner des formulations analytiques chacun des lments de lexpression (12).

    On pose sX2 limnof n1X'X (lexistence de cette quantit est implique

    par lhypothse 4). On a alors :

    (13)

    Les calculs prcdents impliquent que :

    V[2 V v2 limnof1ntr In UMn' 1 In UMn 1 V v2 sMM (14)

    De faon analogue, pour les variables transformes :

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    (15)

    et V[*2 V v2 limnof1ntr In UMn' 1 In OWn' In OWn In UMn 1 sMW (16)

    Au final, le biais asymptotique relatif nest dtermin que par les forces rela-tives de lautocorrlation spatiale dans les erreurs de mesure et lautocorrlation spatiale dans lquation initiale.

    La quantit est uniquement une

    fonction de la variance explicative et du paramtre de dcalage spatialO , tous deux tant connus. Il est possible de calculer lquivalent de cette expression en chantillon fini. Supposons par exemple que les variables explicatives sont in-dpendantes entre observations, i.e. E XnXn

    ' V X ,n2 In , alors :

    (17)

    si les esprances et les plim existent. Dans ce cas :

    (17)

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    Au final, le biais asymptotique relatif scrit :

    biaisMCGbiaisMCO

    sX2 +V v2.sMM

    sX2 .sWW +V v2sMW

    sMWsMM

    (18)

    On est alors en mesure de calculer ce ratio pour diffrentes valeurs de O , Uet du rapport signal-sur-bruit ssb sX2 /V v2 .

    Des calculs similaires nous permettent de calculer lefficience relative des deux estimateurs 2 :

    :MCG:MCO

    ssb1 2sMW 2ssb sMWMMWM / sMM

    ssb2 sW1W1 / sMM 1 (19) o ssb, sMW et sMM ont t dfinis prcdemment et :

    sMWMMWM : limnof1ntr In UMn' 1 In OWn In UMn 1

    In UMn' 1 In OWn In UMn 1 (20a)

    sW1W1

    : limnof

    1ntr In OWn 1 In OWn' 1 (20a)

    4.2. Reprsentations graphiques

    Afin danalyser le biais asymptotique relatif entre les deux estimateurs et lefficience asymptotique relative entre les deux estimateurs, nous avons calcul les expressions (18) et (19) pour diffrentes valeurs des paramtres.

    Plus prcisment, nous avons gnr n = 400 points dans un carr de ct unitaire, points dont les coordonnes suivent une loi uniforme. Sur la base de ces 400 points, nous avons ensuite construit une matrice de poids o les poids sont gaux linverse de la distance au carr entre les points. Par souci de sim-plification, cette matrice de poids correspond la fois Wn et Mn . Les ex-pressions (18) et (19) ont ensuite t gnres pour des valeurs de O et allant de 0,1 0,9 par incrment de 0,1 et pour deux valeurs du signal-sur-bruit (ssb) : 10 et 50. Le premier cas correspond une situation o la part de la variance provenant de la variable non observe est relativement peu importante par rap-port la variance provenant de lerreur de mesure. Dans le second cas, la va- 2 Pour des raisons de place, ces calculs ne sont pas reports ici. Ils sont disponibles sur demande auprs des auteurs.

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    riance provenant de lerreur de mesure est trs faible par rapport la variance provenant de la variable non observe.

    La Figure 1 reprsente toutes les courbes de niveau du biais relatif pour n = 400, sbb = 50 et pour toutes les valeurs possibles de O , lautocorrlation spatiale des erreurs de lquation initiale, en abscisse et de , lautocorrlation spatiale de lerreur de mesure, en ordonne. La courbe A reprsente toutes les valeurs de O et de pour lesquelles le biais relatif est gal 1, en dautres termes il sagit de toutes les situations pour lesquelles le biais de lestimateur des MCO et celui des MCG sont gaux. Lorsque le signal-sur-bruit est impor-tant, il existe peu de combinaisons de valeurs de O et de pour lesquelles le biais relatif est unitaire. Pour toutes les autres valeurs (autres courbes que A), le biais de lestimateur des MCG est infrieur celui des MCO mais la diffrence est faible dans la mesure o les autres courbes de niveau reprsentent des va-leurs de 98%, 96%, 94%, 92% et 90%. Ainsi, dans un modle avec autocorrla-tion spatiale des erreurs et erreurs de mesure, ne corriger que lautocorrlation spatiale via une estimation par les MCG nest en mesure que de rduire lgre-ment le biais de lestimateur. Rappelons en outre quil sagit de lestimateur des MCG, pour lequel on suppose O connu, alors quen pratique, il faudrait gale-ment estimer ce paramtre.

    La Figure 2 reprsente le biais relatif pour un signal-sur-bruit plus faible, sbb = 10, correspondant au cas o lerreur de mesure sur la variable explique est importante. Dans ce cas, les combinaisons de paramtres de O et de pour lesquelles le biais de lestimateur des MCG est moins important que celui des MCO sont plus nombreuses.

    Cette situation est inverse ds lors quon considre lefficience relative entre les deux estimateurs (Figures 3 et 4). Lorsque le signal-sur-bruit est important (Figure 3), il existe des combinaisons de paramtres pour lesquelles lestimateur des MCG est moins efficient que lestimateur des MCO (courbes B et C pour des niveaux de 1,05 et 1,1). Il sagit de cas o il existe une forte autocorrlation spatiale dans lerreur de mesure. Lorsque le signal-sur-bruit diminue (Figure 4), lestimateur des MCG voit les cas dans lesquels il est plus efficient que lestimateur des MCO se rduire fortement. La courbe de niveau unitaire, cen-trale dans la Figure 3, se dcale en effet vers la droite dans la Figure 4.

    En dautres termes, nombreuses sont les combinaisons de paramtres entre O et de pour lesquelles lestimateur des MCO est plus efficient que celui des MCG. Au final, ces reprsentations graphiques illustrent un arbitrage entre le biais et la variance : on peut essayer de rduire le biais en corrigeant par lautocorrlation spatiale au prix dune rduction de lefficience de lestimateur.

  • Rgion et Dveloppement 49

    Figure 1

    Figure 2

    A

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    Figure 3

    Figure 4

    C

    B

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    4. CONCLUSION

    Dans cet article, nous avons driv les distributions asymptotiques de lestimateur des MCO et de lestimateur des MCG purs dans un modle com-portant une autocorrlation spatiale des erreurs et une erreur de mesure affectant la variable explicative. Nous avons galement driv la forme du biais asympto-tique relatif et de lefficience asymptotique relative compte tenu de la structure du modle. Ceci nous a permis de montrer que la prsence simultane de lautocorrlation spatiale et dune erreur de mesure sur la variable explicative conduit un arbitrage entre le biais et la variance. Une estimation par les MCG permet de rduire le biais mais de faon trs limite. Cependant, il existe de nombreuses combinaisons de paramtres pour lesquelles cette rduction du biais se fait au dtriment dune perte defficience.

    Les interactions entre autocorrlation spatiale et erreurs de mesure sont ainsi complexes et mritent des recherches supplmentaires. Il serait ainsi intressant de mener le mme type danalyse lorsque lautocorrlation spatiale prend la forme dune variable endogne dcale pour analyser les proprits dune esti-mation par les variables instrumentales. Plus gnralement, il est ncessaire de se poser la question dune mthode destimation convergente en prsence dautocorrlation spatiale et dune erreur de mesure. Une voie possible serait de se baser sur les moments de second ordre dune autre variable explicative dans le cadre de systmes triangulaires, comme suggr par Lewbel (2012) dans un cadre a-spatial.

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    SPATIAL ERROR AUTOCORRELATION AND MEASUREMENT ERRORS: HOW DO THEY INTERACT?

    Abstract - In this paper, we derive the asymptotic distributions of the Ordinary Least Squares and the (unfeasible) Generalized Least Squares estimators in a spatial error model with measurement error on an explanatory variable. We specify analytically the forms of the relative asymptotic bias and the relative asymptotic efficiency between the two estimators given the structure of the model. This allows showing that the joint presence of spatial autocorrelation and measurement error leads a bias-efficiency trade-off. Estimation with GLS allows decreasing the bias but in a limited way. However, there exists a high number of parameter combinations for which this reduction of the bias comes at the cost of an efficiency loss.

    Key-words - SPATIAL AUTOCORRELATION, MEASUREMENT ERRORS, LARGE SAMPLE RESULTS