Automate Cellulaire A.C et complexité 2D A.C : Conways Game of Life 1D A.C : Automate Cellulaire de Wolfram

Automate Cellulaire

A.C et complexité

2D A.C : Conway’s Game of Life

1D A.C : Automate Cellulaire de Wolfram

UNSA – Maîtrise Informatique - Option SAC

Automate Cellulaire

Simulation informatique qui émule les lois de la nature

Cellules = "agents" répondant à des stimuli selon des

règles simples, mais collectives

2-d : Game of Life (Conway 1970)

1-d : Automate Cellulaire (Wolfram 1980)


Automate Cellulaire et Complexité

Avant 1980, on pensait que les équations mathématiques étaient le meilleur moyen de modéliser la nature

En 1980, Stephen Wolfram proposa des modèles basés directement sur de simples programmes informatique

Même si les règles sont très simples, le comportement peut être complexe et imiter des phénomènes naturels


Conway's Game of Life: un automate cellulaire

Le Jeu de la Vie montre comment un automate cellulaire simple, gouverné par des règles de transition simples peut exhiber des "propriétés émergentes" :

Un haut degré de complexité semble être plus que la simple somme de ses composants

On est tenté de faire un parallèle avec la vie réelle, ou les particules obéissant aux lois de la physique ont, au cours de l'évolution, permis l'émergence d'un monde complexe


Conway's Game of Life: un automate cellulaire

Inventé par le mathématicien Conway 1970

Les "individus vivent" sur une grille rectangulaire (2D)

Un case est vide ou occupée (automate à 2 états)

Une case a 8 voisinsVoisinage de Moore

1 2 3

4

567

8


Conway's Game of Life 2 ou 3 voisines pour survivre, 3 pour naître

A chaque génération l'état de chaque case à la génération suivante est fonction de son état et de celui des 8 cellules qui

l'entourent

n états, v voisins

nn^(v+1) = 22^(8+1) = 2512 règles

NaissanceSi 3 voisins sont vivants, naissance dans un site vide

DécèsIsolation : moins de 2 voisins vivants (0 ou 1)

Sur-population : plus de 3 voisins vivants (4,5,6,7 ou 8)


Conway's Game of Life

Survie : 2 ou 3 voisins

3



Mort : 4 voisins ou plus

4



Mort : 0 ou1 voisin

0



Naissance : 3 voisins

3



Un exemple à la main …

1

4

3

3

3

3

3

33

3

1

1

111

1

1

1

1 1 1




8 4

4

4

4

2

2 2

2 2

2

22

2

2

2 23

3

3

3

1

1 1

1




2

2

22

2

2

2 2 1

11

1

4

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2 2

2




1

1 1

1

3

3

3 3

3

3

33

3

3

3

3

8

4

44

4

5

5

5

5




2

22

2

2 2

2

2

22

2

2

2 2

2

2

0

4

44

4 3

3

3

33

3

3

3



Un oscillateur et d'autres exemples ...

1

2

3

1

3

1

2

22

2

1

1

000

1

1

1

0 0 0



Période 3 !


Un double oscillateur : temps/espace










The glider gun


Eco-système Proie / Prédateur

Comportement des loups• Reproduction : 2 loups adultes côte à côte• Nourriture : le loup mange un mouton, s'il y en a un

à côté de lui• Le loup choisit la nourriture avant la reproduction

Comportement des moutons • Reproduction : 2 moutons adultes côte à côte• Nourriture : Le mouton mange de l'herbe, s'il y en a

à côté de lui• Le mouton choisit la reproduction en priorité

Mort d'un animal• Atteint la limite d'âge• Dépasse la durée maximal de jeûne


Un Calculateur Universel

Peut-on créer des courants de glisseurs et les faire interagir

entre eux pour obtenir des portes logiques et,ou, non, comme

dans un circuit électronique ?

Les éléments de base pour construire un ordinateur universel

(c’est-à-dire capable de calculer toute fonction calculable) sont

donc présents

Il est donc possible de faire calculer les nombres premiers à

une configuration, ou les coefficients du binôme ou tout ce

qu’un ordinateur sait calculer


Un Calculateur Universel

Un automate qui permet de construire des circuits composé de "fils" dans lesquels se propagent des signaux composés chacun d'un électron et de sa trace

4 états : vide , fil , électron , trace

Règles de transitions : •Une cellule vide reste vide•Un électron devient trace•Une trace devient fil•Un fil devient un électron si le nombre d'électrons parmi les huit cellules voisines est 1ou 2, sinon le fil reste un fil


Un peu d'électronique ...


Porte logique OU


Porte logique XOR


Automate auto-réplicatif de Langton

Automate proposé en 1978• 8 états• voisinage de 5 cellules

La 'machine' de base est une boucle de 86 cellules– formant un conduit de circulation de données fermé

(cellules bleues)– entouré par une gaine (cellules rouges)

comprend également un bras de projection qui permet sa duplication



Le conduit permet la circulation de l'information sous forme de signaux : couples de cellules (bleu clair-noir ou jaune-noir)qui constituent en fait le matériau génétique de la structure (génome) et en permet la reproduction

Au moment ou les signaux rencontrent la jonction avec le bras de projection, ils sont dupliqués. Une copie est renvoyée dans la boucle, et l'autre copie se propage le long du bras. C'est l'équivalent de la transcription du processus biologique



En arrivant au bout du bras, les signaux sont transformés en instructions. C'est l'équivalent de la translation du processus biologique

Le bras s'étend selon ces mêmes instructions pour former

une autre structure similaire à la première et contenant le même patrimoine informationnel permettant la réplication




Où Est L'intérêt ?

Permet, à partir de règles simples, de faire émerger des

phénomènes complexes

Le « jeu de la vie » est considéré comme une référence

par les chercheurs s'intéressant à la vie artificielle

– il montre que des règles très simples peuvent permettre de

mettre en évidences des fonctionnements non triviaux

– pouvant simuler la richesse et la diversité de la vie

– même si personne ne prétendra que le Jeu de la Vie est aussi

riche que la vie


1-D Cellular Automata Le Jeu de la Vie est encore trop compliqué pour être étudié de façon

approfondie

Stephen Wolfram introduit un AC plus simple (1982)

Automate Cellulaire de dimension 1– 1 dimension spatiale

– 2 états possibles par cellule

– Voisinage de rayon 1 (état dépend de son propre état et de celui de ses deux

voisins)

– 28 = 256 Règles de transitions :

règle 22 =00010110

111 110 101 100 011 010 001 000

0 0 0 1 0 1 1 0


Avantage de l’automate cellulaire 1-D Dynamique visible sur une image 2-D 256 règles de transition seulement

– On peut examiner la dynamique pour toutes les règles– K = # états r = rayon du voisinage– # automates = k^k^(2r+1)

Un tel système peut-il engendrer des comportements complexes ?

Le réponse est « oui ». Les règles conduisent à un état– statique– périodique– chaotique– intermédiaire, un état "complexe", l’état de la vie biologique


Règle 4 (0000100)

010 donne 1, sinon 0

Règle très simple

Configuration limite– contient des ‘1’ isolés– Obtenue en 1 cycle


Règle 110 (01101110)

001,010,011,101,110 donne 1 sinon 0

Une des plus complexes Membre de la Classe 4 de Wolfram Nombreux glisseurs (gliders) qui se propagent

périodiquement Entre l’ordre et le chaos


Règle 30 (00011110)

001, 100, 010, 011 donne 1 sinon 0

Génère des configurations avec un haut degré d’aléatoire

Exploité en cryptographie


Un automate cellulaire en action


Propriétés

Auto-organisation• Émergence de formes (pattern)• Même si l’état initial est aléatoire, les règles

« forcent » l’émergence

Comportement « Life-like »• Disparition (die)• Stable• Cyclique avec une période fixe• Expansion à vitesse constante• Expansion et contraction irrégulières


Classification de Wolfram Classification proposée par Stephen Wolfram (1984)

– Classe 1 – état limite homogène (indépendant état initial)

– Classe 2 – état limite périodique (effet local des modifications)

– Classe 3 – chaotique

– Classe 4 – complexe (capable de computation universelle)

Existe-t-il un paramètre qui détermine l’appartenance à chaque classe ?


Classe 2 : état limite périodique

Voisinage : 6# Etats : 3Règle : 111443344111

Motifs périodiques (petite période) ou stable

http://www.irdp.ch/math-eco/articles/automa7.htm


Classe 4 : complexe (computation universelle)

Voisinage : 3 # Etats : 4Règle: 0201313201

Beaucoup de cellules « meurt »Quelques motifs périodiquesCapacité de calcul universel : game of life Dynamique irréversible


Classe 3 : chaos

Voisinage : 3 # Etats : 5Règle: 012344444014

Motifs apériodiques – chaotiquesPrédiction difficileMotifs fractals (self-similar)


On the Edge of Chaos

Concept introduit par Christopher Langton– Etat le plus « créatif » d’un système dynamique– Aller-retour permanent entre ordre et chaos

Problème : trouver un paramètre qui caractérise la transition entre l’ordre et le chaos

Langton propose le paramètre :– Probabilité qu’une cellule devienne active à la

génération suivante


On the Edge of Chaos

0Pas de développement

near 0une cellule « meurt » rapidement

0 << < 0,3classe 2 – motifs périodiques

Point "critique" ~ 0,3classe 4

~ 0,5classe 3


Intérêts Montre que même si notre univers nous

apparaît complexe, cela n'entraîne pas que ses lois le sont nécessairement

Principe du rasoir d'Occam :– minimiser ce qu’on fait intervenir dans une

explication– exploration du minimum générant la complexité

Travail scientifique aussi important que bien d’autres qui ne sont pas toujours aussi

amusantes et esthétiques!


Applications

Cellular automata applications are diverse and numerous. Fundamentally, cellular automata constitute completely known universes. Our Universe is submitted to the laws of physics. These laws are only partly known and appear to be highly complex. In a cellular automaton laws are simple and completely known. One can then test and analyse the global behaviour of a simplified universe, for example :

1. Simulation of gas behaviour. A gas is composed of a set of molecules whose behaviour depends on the one of neighbouring molecules.

2. Study of ferromagnetism according to Ising model : this model (1925) represents the material as a network in which each node is in a given magnetic state. This state - in this case one of the two orientations of the spins of certain electrons - depends on the state of the neighbouring nodes.

3. Simulation of percolation process. 4. Simulation of forest fire propagation. 5. In a different field, cellular automata can be used as an alternative to differential equations9. 6. Conception of massive parallel computers. 7. Simulation and study of urban development10. 8. Simulation of crystallisation process. 9. (...)

In a more daily field, cellular automata can be used as graphic generators11. The several images below, generated with Capow, show some graphic effects.

But it is undoubtedly in the field of artificial life that cellular automata are most known.

Documents

Automate Cellulaire A.C et complexité 2D A.C : Conways Game of Life 1D A.C : Automate Cellulaire de Wolfram