AUTOMATIQUE - ga.perso.eisti.frga.perso.eisti.fr/phy/atr/a01/tr.pdf · Exemple : Asservissement de la direction de vol d’un vaisseau spatial, décrit dans le plan de phase : Contrôle

Automatique - Représentation Externe 1. Commande. Modèle d’un processus

TR 1. 1

AUTOMATIQUE

REPRESENTATION EXTERNE


TR 1. 2

0. Préambule

Plan du cours AUTOMATIQUE CONTINUE 1. Commande. Modèle d’un processus 2. Performances d'un Système : Stabilité - Précision - Rapidité 3. Correction d'un Système Asservi Linéaire (SAL) AUTOMATIQUE DISCRETE 4. SALs échantillonnés 5. Correction numérique - Régulateurs standards 6. Performances d'un SAL échantillonné : Stabilité - Précision - Rapidité 7. Synthèse des correcteurs numériques - Réponse pile ANNEXE 8. Logique floue


TR 1. 3

Bibliographie

[1] H. Bühler « Réglages échantillonnés » PPR [5] K. Ogata « Discrete Time Control systems » Prentice [7] M. Rivoire / J.L. Ferrier « Automatique » Eyrolles [8] Y. Sévely « Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés » Dunod [9] Y. Thomas « Signaux & systèmes linéaires » Masson


TR 1. 4

1. Commande. Modèle d’un processus COMMANDE 1. Introduction Automatique : Objectif : contrôler, commander un système. Domaines d'application : - commande de processus industriels (domaines initiaux) - économie, gestion, géophysique, biologie, etc... - Systèmes temps réel, capteurs - actionneurs : Constituants de l'automatique : - Théorie des systèmes. - Asservissement (≡ régulation). - Commande - Commande optimale. - Identification. Automatique Continue : Signaux / systèmes mis en jeu sont continus (≡ à TC). Ex.: régulation de la vitesse d'un moteur. Automatique Discrète : ∃ Signaux / systèmes mis en jeu discrets (≡ à TD). Ex. : séquenceur programmable de perçage de pièces.


TR 1. 5

Représentation Externe : Représentation Fréquentielle Système représenté par sa FT Représentation Interne : Représentation Temporelle Système décrit par son état x dans le plan de phase ( , & )x x

& ( , )x x u= f ( u : entrée)

Exemples de régulation : - Puissance de frappe des touches du clavier d’un ordinateur contrôlée par le retour (feedback) du toucher (perception tactile) - Puissance vocale assujettie au retour (perception auditive). - Direction d’automobile corrigée (perception visuelle) ... Exemple : Asservissement de la direction de vol d’un vaisseau spatial, décrit dans le plan de phase : Contrôle de la direction de vol (l’inclinaison % verticale au sol) d'un vaisseau spatial.


TR 1. 6

On veut θ 0 = θ (θ 0 : direction de consigne) :

fusées de direction

θ

Commande en Boucle Ouverte (non asservie) (BO)

Systèmeu0 θ

→ Déterminer le couple de commande u0 tel que θ = θ 0 Commande directe insuffisante car « aveugle » :

+

+

Perturbations

Systèmeu0 θ


TR 1. 7

Commande en Boucle Fermée (≡ asservie) (BF)

(SB: Système Bouclé) Variations de la sortie prises en compte par un feedback

Exemple de retour le plus simple : (Γ : couple)

Commande en tout ou rien :

vvv

= − <= == >

Γ

Γ

si

si

si

θ θθ θθ θ

0

0

0

0

+

−v

eSystèmeu0 θ

Γ

−Γ θ 0θ

+

+

Perturbations

La commande se fait par l'erreur : e u v= −0 - si pas de perturbation : θ θ= 0 → v = 0 → e u= 0 - si perturbation : θ θ≠ 0 → v ≠ 0


TR 1. 8

Inconvénient : fortes oscillations de θ autour de θ 0 . → amélioration: introduction d'une bande morte (dead zone) [ , ]− +ε ε autour de θ 0 :

vvv

= − < −= − ≤ ≤ += > +

Γ

Γ

si

si

si

θ θ εθ ε θ θ εθ θ ε

0

0 0

0

0

+

−v

eSystèmeu0 θ

Γ

−Γ θ 0θ

θ ε0 −θ ε0 +


TR 1. 9

Equations du système (cas de régulation sans bande morte)

J : moment d’inertie du vaisseau.

RFD : Couples∑ = J &&θ (couple = moment de force)

J e u v&&θ = = − =0 uuu

0 0

0 0

0 0

+ <=

− >

Γ

Γ

si

si

si

θ θθ θθ θ

.θ θ< 0 : 000 θθθ &&&& +

Γ+=→

Γ+= t

Ju

Ju

00

20

2θθθ ++

Γ+

=→ ttJ

u &

.θ θ= 0 : 000 θθθ &&&& +=→= t

Ju

Ju

0020

2θθθ ++

=→ tt

Ju &

.θ θ> 0 : 000 θθθ &&&& +

Γ−=→

Γ−= t

Ju

Ju

0020

2θθθ ++

Γ−

=→ ttJ

u &


TR 1. 10

→ Cycle de régulation (cas où θ 0 = 0) :

0 θ

&θ

Exemple similaire :

Régulation de la direction d’un véhicule automobile : Feedback visuel pour corriger les perturbations (pavé ...) écartant le véhicule de la direction de consigne. - commande analogique : observation de la route en permanence - commande échantillonnée : observation de la route à intervalles de temps réguliers


TR 1. 11

2. Structure générale d'un asservissement Asservissement continu d'un processus continu

x(t)+

-

Capteur

y(t)

Comparateur

r(t)

e(t) = x(t) - r(t) u(t)Contrôleur analogique

Processuscontinu

Correcteur

analogique

x : entrée, ou consigne (commande de l’asservissement) u : commande (du processus) r : retour, ou feedback e : erreur y : sortie Asservissement numérique d'un processus continu

x(t)+

-

Contrôleur Processus y(t)

r(t)

e(t) u(kT)

Calculateur

numérique continuCAN CNA

Correcteuru (t)Ae (kT)q

Capteuranalogique


TR 1. 12

Asservissement échantillonné d'un processus continu

x(t)+

-

Contrôleur Processus y(t)

r(t)

e(t) u*(t)

Calculateur

numérique continue*(t) u (t)

B

CorrecteurBloqueurd'ordre 0

échantillonneur 0B

Capteuranalogique

Asservissement numérique d'un processus numérique

x(k) Processus y(k)numérique

u(k)Calculateur

≡Processus

continuCNA CAN Processusnumérique


TR 1. 13

Fonctionnement d’un asservissement

(l'asservissement obéit à la commande) - Fonctionnement en suiveur (≡ poursuite) : . L’entrée de commande (consigne) varie. . La sortie doit varier dans le même sens que la consigne (elle ne doit pas la contrer, s’y opposer). . Les perturbations peuvent être ignorées pour qualifier en 1ère approximation ce type de fonctionnement. - Fonctionnement en régulation : . L’entrée (consigne) est constante (réglable). . La sortie doit être constante malgré les perturbations. . L’entrée de perturbations doit être contrée. Structure de l’asservissement → commande par la consigne et non par les perturbations.


TR 1. 14

3. Représentation externe

TEMPS CONTINU

TEMPS DISCRET

h(t)x(t)

)(*)()( thtxty =

TL (monolatérale) ↓ (causalité)

X(p) H(p) Y(p) = H(p) X(p)( si CI nulles)

H p Y pX p

( ) ( )( )

= : FT du système

H p TL h t( ) [ ( )]=

H pa p

b p

ii

i

m

ii

i

n( ) = =

=

∑

∑0

0

Réalisabilité (causalité) → n m>

Opérations Temps - Fréquence (p) ddt ↔ ⋅p

∫ ↔ ÷p

z epT=

hkxk

kkk hxy *=

TZ (monolatérale) ↓ (causalité)

X(z) H(z) Y(z) = H(z) X(z)( si CI nulles)

H z Y zX z

( ) ( )( )

= : FT du système

H z TZ hk( ) [ ]=

H za z

b z

ii

i

m

ii

i

n( ) = =

=

∑

∑0

0

Réalisabilité (causalité) → n m≥

Opérations Temps - Fréquence (z)

− ↔ ⋅ −( )z 1

∑ ↔ ÷ −( )z 1


TR 1. 15

4. Relations fondamentales d'un système bouclé (TC)

Système Bouclé à retour unitaire

X(p)+

-Y(p)

E(p)H(p) ≡ Y(p)X(p) H'(p)

R(p)

[ ] [ ]Y p H p E p H p X p R p H p X p Y p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = − = −

Y pX p

H pH p

( )( )

( )( )

=+1

Y pX p

H p( )( )

( )= ′

→ ′ =

+H p H p

H p( ) ( )

( )1

H p( ) : FTBO :

′H p( ) : FTBF : ′ =H p Y p

X p( ) ( )

( )


TR 1. 16

Système Bouclé à retour non unitaire

X(p)+

-Y(p)

R(p)

E(p)H(p)

K(p)

≡ Y(p)X(p) T'(p)X(p)+

-Y(p)

R(p)

E(p)H(p) K(p) K(p)

1≡R(p)

K(p)1R(p)

avec : T p H p K p( ) ( ) ( )=∆

et : ′ =+

T p T pT p

( ) ( )( )

∆

1

[ ] [ ]

−=−=−= )(

)()()()()()()()()()()()( pY

pKpXpKpHpYpKpXpHpRpXpHpY

)(1)(

)(1

)()(1)(

)()(

pTpT

pKpHpKpH

pXpY

+=

+=

E pX p H p

Y pX p T p

( )( ) ( )

( )( ) ( )

= =+

1 11

T p H p K p( ) ( ) ( )= : FTBO )()()(

pEpRpT =

1K p

T p( )

( )′ : FTBF )(

)()()(

1pXpYpT

pK=′


TR 1. 17

Système Bouclé à comparateur +/+ :

X(p)+

+Y(p)

R(p)

E(p)H(p)

K(p)

≡ Y(p)X(p) G(p) ≡ X(p)+

-Y(p)

R(p)

E(p)H(p)

-K(p)

G p H pK p H p

( ) ( )( ) ( )

=−1

Performances d'un système bouclé - Rapidité - Précision - Stabilité Exemple : autofocus de caméra vidéo : - Rapidité : Correction de la mise au point rapide % à la variation de la prise de vue. - Précision : Mise au point précise sinon images floues. - Stabilité: Correction de la mise au point → écarts ou oscillations de la netteté dont l’amplitude doit diminuer avec le temps.


TR 1. 18

Autre exemple : - Système d’antiblocage des roues (ABS) Dilemmes Les performances présentent des dilemmes : Exemple : Précision → Déstabilisation du système. Exemple : Phénomène de larsen 5. Causalité En automatique, les signaux et systèmes mis en jeu sont généralement causaux : l'asservissement se fait en temps réel (≡ on-line).


TR 1. 19

MODELE D'UN PROCESSUS 1. Le signal de commande 1.1. Commande analogique

Erreur yyc −=ε évaluée en permanence

+

-

)(tyc

)(tε

)(ty

Ex. : Le conducteur d’un véhicule a l'oeil rivé sur la route. Le signal de commande u est alors ajusté en permanence par le correcteur pour corriger l'erreur.

+

-

y

Correcteur Processus)(tu

)(tyc

)(tε)(ty

Contrôleur


TR 1. 20

a) Commande la plus simple : TOUT OU RIEN (non linéaire)

0>ε → u mis au maximum 0<ε → u mis au minimum

uε u

ε

b) Commande proportionnelle (commande linéaire) Améliore la commande du type « TOUT OU RIEN » :

Commande proportionnelle : )()( tKtu ε= Réalisation de cette commande : simple amplificateur de gain K

uε u

ε

uεK

t

u

ε

La précision du système croît avec K. Exemple: commande de la vitesse d’un véhicule :

le conducteur actionne d’autant plus la commande d’accélérateur qu’il est loin de sa consigne de vitesse.


TR 1. 21

c) Commande intégrale (commande linéaire)

Pb de la commande proportionnelle:

variation brutale de la consigne cy (ex.: démarrage) → ε varie brutalement

→ εKu = est immédiatement saturé. Exemple de la commande de la vitesse d’un véhicule :

Au lieu d'écraser brutalement l'accélérateur au démarrage → commande u progressive, par une loi de commande intégrale :

∫=t

i

dxxT

tu0

)(1)( ε ( iT : Cte)

E E

+

-

Correcteurintégral u

Processus

tTE

i

εcy

La commande intégrale est progressive mais persévérante : tant que ε ≠ 0, u varie.

La commande intégrale améliore la précision du système ↓<

↑>

uu

00

ε

ε

Loi de commande intégrale associée à une commande proportionnelle :

)()(1)(

0

tKdxxT

tut

i

εε += ∫


TR 1. 22

d) Commande dérivée (commande linéaire) Ex. : L'observation de la température y à un instant donné indique

qu'elle est inférieure de 10°C à la consigne cy → il faut chauffer, mais en tenant compte de la tendance de ε :

si ε il faut plus chauffer que si ε : commande différentielle, dérivée

Loi de commande : )()( tTtu dε&=

Loi de commande différentielle associée à une commande proportionnelle

)()()( tKtTtu d εε += &

Ex. : La commande d'accostage d'un navire (ε = distance au quai) :

t

ε

(vitesse nulle au quai)ε ' = 0

t

(1)

u

(2)(3)

Inversion du moteur

(1) action proportionnelle(2) action dérivée(3) action résultante

0 0

Commande dérivée → correction rapide sans risque de dépassement par rapport à la consigne (ε < 0 serait catastrophique !)

Elle permet d'accroître la rapidité et la stabilité d'un système.


TR 1. 23

e) Commande PID (commande linéaire)

Correcteur standard : corrige stabilité, rapidité et précision d’un processus. Loi de commande PID (Proportionelle + Intégrale + Dérivée) :

)()(1)()(

0

tTdxxT

tKtu d

t

i

εεε &++= ∫

1.2. Commande échantillonnée

Avantage : Souplesse de réalisation du contrôleur.

L'erreur ε est évaluée périodiquement.

Ex. : Le conducteur d’un véhicule jette un coup d'oeil de temps en temps. Exemple : Commande échantillonnée d’un processus continu

ε *εyc+

-

Correcteurnumérique

Bloqueurd'ordre 0

u Processuscontinu

Capteur

ε *

0 T 2Tt

u*

B0

u

0 T 2Tt

y

0 T 2Tt

u*

yr

y

0t

yr

0t

0t

yc

(T : période d’échantillonnage).


TR 1. 24

Loi de commande : algo reliant les échantillons de )(* tu et de )(* tε :

)]([)( ** tftu ε=

Commande PID échantillonnée (commande linéaire)

• Amplification analogique (K) → Amplification numérique (K)

• ∫ (Intégration) → ∑ (Sommation)

• dtd

(Dérivation) → − (Différence) 1.3. Commande numérique

Commande num. = commande échantillonnée + Bruit de quantification Exemple : Commande numérique d’un processus continu

ε *εyc+

-

Correcteurnumérique

u Processuscontinu

Capteur

yCAN CNA

u*


TR 1. 25

1.4. Commande PWM (non linéaire) (analog. ou échantillonnée) L'action u n'est plus modulée en amplitude mais en largeur (durée) Ex. : Processus thermique : commande en tout ou rien

u

0 T 2Tt

τ

A

2. Modèle d'un processus 2.1. Modèle du 1er ordre (intégrateur (≡ passe-bas))

- FT : pkpHτ+

=1

)(

)( pH présente 1 pôle : τ1

0 −=p

- Réponse Fréquentielle :

H p i ki

k

i

k H i H t

c

c c

( )

: [ ( ) ] ( )

:/ :

= =+

=+

≡ = = ↔ =∞

=ω

ωτ ωω

ω ω ω

τ τω τ ωω πν ω ν

1 1

0 0

1

0Gain statique gain à noté

Cte

de temps ( >0)

Pulsation de coupure ( >0)

: pulsation frequence

=2 :


TR 1. 26

2.1.1. Etude fréquentielle

ωωc (-1)

0 dB

| H(i ) |ω dB

(-1) ≡ pente de -20 dB/décade

3 dB

ωωc

0 °

Arg H i[ ( )]ω

-45 °-90 °

(échelle log.)

(échelle log.)(si k > 0)

ωωc

0

| H(i ) |ω

(échelle log.)

kH =0H k kdB dB0 20= = log

≡ pente de -6 dB/octave

2.1.2. Etude temporelle - Réponse Impulsionnelle (RI) :

)()()]([)( 0/1 tektekpHTLth tpt Γ=Γ== −−

τττ

t

h(t)

0 τ

H k0 / /τ τ=

H0 /τ0.05

τ3≈rt


TR 1. 27

- Réponse indicielle :

[ ][ ] )()1()()1(1)()()()( 0/11 tektekp

pHTLtTLpHTLty tpt Γ−=Γ−=

=Γ⋅= −−− τ

t

y(t)

0 τ

063. ( )⋅ ∞y095. ( )⋅ ∞y

tr : temps de réponse à 95 %

y H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1

τ3≈rt

2.1.3. Dualité Temporel - Fréquentiel Temps Fréquence • Constante de temps τ • Pulsation de coupure

τ1] −=Re[pôle τ

ω 1=c

τ petit ≡ ]Re[pôle élevé ≡ système rapide ( cω élevé)

• 0H • 0H


TR 1. 28

2.2. Modèle du 2nd ordre (intégrateur (≡ passe-bas))

- FT :

H p kp m p

k H i H t

m m( )

: [ ( ) ] ( ):=

+ +

≡ = = ↔ =∞

=2

02

0

0

0 02 1

0 0

ω ω

ω ω ωω ω

Gain statique gain à noté

Pulsation propre non amortie ( )

Facteur d' amortissement ( )

>0

>0

- Réponse Fréquentielle :

H i k

mi

( )ωωω

ωω

=

+ −

1 2

0 0

2

2.2.1. Etude fréquentielle

ωω

0

(-2)

0 dB

| H(i ) |ω dB

m≥2

2

m< ≈2

207.

ωω

0

Arg H i[ ( )]ω

0 °-90 °-180 °

6 dB(échelle log.)

(échelle log.)(si k > 0)

(résonance)ω

r

ωr

(-2) ≡ pente de -40 dB/décade

: pulsation de résonance

ωω

00

| H(i ) |ω

(échelle log.)

kH =0

ωr

H k kdB dB0 20= = log

m grandm petit

m≥2

2Pas de résonance

m< ≈2

207. Résonance

Pulsation de résonance : 2

0 21 mr −= ωω

Facteur de résonance : 2121

mmQ

−=

( QQdB log20= )

0 à

maxi

)(

)(

=

=ω

ω

ω

iH

iHQ


TR 1. 29

2.2.2. Etude temporelle - Réponse Impulsionnelle (RI) :

[ ][ ] [ ]y t TL H p TL t TL H p( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ =− −1 1δ 3 cas :

• m > 1 : régime hyper-amorti (apériodique) :

2 pôles réels de H(p) : p m m1

20 0

2 1= − ± −ω ω

( ) )(12

)(12

)( 2121

20

20 tee

mktee

mkty

tttptp Γ

−

−=Γ−

−=

−−ττωω

en posant 1

11p

−=∆

τ et

22

1p

−=∆

τ

ty(t)

0

pôles de H(p)

0

Im(p)

Re(p)

Un mode dû à un pôle réel est non oscillant.


TR 1. 30

• m = 1 : régime critique (apériodique) :

1 pôle double réel de H(p) : p m0 0 0= − = −ω ω

)()()( 20

20

0 ttekttektyt

t Γ=Γ=−− τω ωω avec :

0

1p

−=∆

τ

t

y(t)

0

pôles de H(p)

0

Im(p)

Re(p)

Un mode dû à un pôle réel est non oscillant.

• 0 1< <m : régime sous-amorti (pseudo-périodique) :

2 pôles complexes conjugués de H(p) : (σ ω= m 0 ; ′ = −ω ω0 021 m )

p m i m i1

20 0

201= − ± − = − ± ′ω ω σ ω

( ) ( ) )(sin1

)(sin1

)( 020020

0

ttm

ekttm

ekty

ttm

Γ

′

−=Γ

′

−=

−−

ωωωωτω

en posant )(1

)(1

21 pRepRe−=−=

∆∆

τ

t

y(t)

0 =′

2

0

πω

: pseudo-période

′ω0 : pseudo-pulsation

0T′0T′

pôles de H(p)

0

Im(p)

Re(p)

Un mode dû à 2 pôles complexes conjugués est pseudo-oscillant


TR 1. 31

- Réponse indicielle :

[ ][ ]y t TL H p TL t TL H pp

( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ =

− −1 1 1Γ

3 cas :

• m > 1 : régime hyper-amorti (apériodique) :

2 pôles réels de H(p) : 12

0021 −±−= mmp ωω

Im pRe p

)(1112

11)(1112

11)(222222

2121

tmm

emm

em

ktmm

emm

em

kty

tttptp

Γ

−−−

−+−+=Γ

−−−

−+−+=

−−ττ

en posant : 1

11p

−=∆

τ et

22

1p

−=∆

τ

t

y(t)

0

0 95. ( )⋅ ∞y

tr


y H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1


TR 1. 32

• m = 1 : régime critique (apériodique) : 1 pôle double réel de H(p) : p m0 0 0= − = −ω ω

Im pRe p

( )[ ] ( ) )(11)(11)( 000 ttekttekty

tt Γ

+−=Γ+−=

−− ωω τω

avec : 0

1p

−=∆

τ

t

y(t)

0

0 95. ( )⋅ ∞y

tr


y H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1


TR 1. 33

• 0 1< <m : régime sous-amorti (pseudo-périodique) :

2 pôles complexes conjugués de H(p) : (σ ω= m 0 ; ′ = −ω ω0 021 m )

p m i m i1

20 0

201= − ± − = − ± ′ω ω σ ω

Im pRe p

)(1

)(1

21 pRepRe−=−=

∆∆

τ

( ) ( ) )(sin1

1)(sin1

1)( 0202

0

ttm

ekttm

ekty

ttm

Γ

+′

−−=Γ

+′

−−=

−−

ψωψωτω

21arcsinarccos mm −==ψ ( 21sincos mm −== ψψ )

21arccosarcsin2

mm −==−=∆

ψπϕ

ϕ0ω

0ωm−

0ω′Im p

Re pψ

t

y(t)

0

0 95. ( )⋅ ∞y

tr


1 05. ( )⋅ ∞y

=′

2

0

πω

: pseudo- période

′ω 0 : pseudo- pulsationy H k k( )∞ = ⋅ = ⋅ =0 1 1

0T ′

0T ′


TR 1. 34

2.2.3. Dualité Temporel - Fréquentiel Temps Fréquence

• amortissement m • amortissement m

• Temps de réponse rt • Pulsation 0ω

0] ωmRe[pôles −=

rt petit ≡ ]Re[pôles élevé ≡ système rapide 0ω élevé

• 0H • 0H

2.2.4. Rapidité

Rapidité vue d’après le temps de réponse

6001000

300

50

20

3

1

0.01 0.5 0.7 1 100

m

(échelle log.) 0ωrt

(échelle log.)

A 0ω fixé, le temps de réponse minimal est obtenu pour m = 0.7


TR 1. 35

Rapidité vue d’après le lieu des pôles

Im p

Re p

1p

*1p

2p

rt petit ≡ ]Re[pôle élevé ≡ système rapide


TR 1. 36

2.3. Systèmes d'ordre supérieur à 2

Système dont la FT )( pH , du k ième ordre,admet donc k pôles.

)( pH peut être décomposée en produit de plusieurs FT (éléments simples).

→ Réponse du système = somme des réponses des sous-systèmes.

Réponse plus fortement marquée par les pôles situés près de l'axe imaginaire (pôles dominants) car ils correspondent aux Ctes de

Temps les plus élevées ( )(pôleRe est en τ/1− ).

→ On peut souvent négliger les pôles éloignés de l'axe imaginaire par rapport aux pôles dominants.

Exemple (lieu des pôles) :

3ème ordre (3 pôles) constitué d’un sous-système du 1er ordre

(pôle 2p ) et d’un sous-système du 2nd ordre (pôles 1p et *1p )

Im p

Re p

1p

*1p

2p

Pôle dominant (≡ mode lent) situé le plus près de l’axe imaginaire : 2p

→ 3ème ordre ∼ 1er ordre (pôle 2p ).


TR 1. 37

3. Représentation graphique de la Réponse Fréquentielle )( ωiH

Exemple : Représentation d’un 1er ordre : pkpHτ+

=1

)(

(avec : 0>τ , 0>k ( 1>k ))

Représentation de Bode

Représentation de Nyquist

Représentation de Black

ω0 dB (échelle lo

)(ωiHdB

)(log20)( ωω iHiHdB=

τ1

ω0 ° (échelle log

ϕ ])([ ωϕ iHArg=

-90 °

τ1

0

)]([ pHIm

)]([ pHRe

ω

ω>0ω<0

+=0ω

−=0ω−∞=ω

+∞=ω

Courbe paramétrée en ω

0°ω

)( ωiHdB

-90°ϕ

])([ ωϕ iHArg=

0 dB0=ω

∞=ω Courbe paramétrée en ω

Domaine de variation de p Limité à p i= ω (ω > 0 )

Domaine de variation de p Contour de Bromwich :

0θ

γRe(p)

εp = e iθ (ε 0)

p i= ω>ω( )0

p i= ω<ω( )0

Im(p)

p = r e iθ )( r ∞

Domaine de variation de p Limité à p i= ω (ω ≥ 0 )

Avantage : Visuelle et simple.

Avantage : Générale, puissante.

Avantage : Prédiction du SB à partir de la BO.

Inconvénient : Pas générale (stabilité).

Inconvénient : Plus abstraite.

Inconvénient : Pas générale (stabilité).


TR 1. 38

Passage de la représentation de Bode aux Représentation de Nyquist/Black :

Rappel : passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires

0

)]([ ωiHIm

)]([ ωiHRe

ω

M

ψ

x

y

ϕ

. iyxiH +=)( ω

. )( ωiHM = 22 yx +=

. dBdB iHiHMM )()(log20log20 ωω ===

. )]([ ωϕ iHArg= xyArctg=

. ϕπϕψ =−= 2


TR 1. 39

4. ANNEXE : Représentations de Bode de RF élémentaires

Gain complexe )( ωiH

Module )(log20)( ωω iHiH

dB=

Phase )]([ ωiHArg

0

)(ωωω iiH =

ω0 dB (échelle log.)

)( ωiHdB

(+1)

0ω ω0 (échelle log.)

ϕ

0ω

2/π

0

1)(

ωω

ωi

iH = ω0 dB (échelle log.)

)( ωiHdB

(-1)0ω

ω0 (échelle log.)

ϕ

0ω

2/π−

n

iiH

=

0

)(ωωω


)( ωiHdB (+n)

0ω ω0 (échelle log.)

ϕ

0ω

2/πn

0

1)(ωωω iiH +=


)( ωiHdB

3 dBCourbe asymptotique

Courbe réelle

0ω

(+1)

ω0 (échelle log.)

ϕCourbe asymptotique

Courbe réelle

0ω

2/π4/π

0

1

1)(

ωω

ωi

iH+

= ω0 dB (échelle log.)

)( ωiHdB

-3 dBCourbe asymptotique

Courbe réelle

0ω

(-1)

ω0 (échelle log.)

ϕ

Courbe asymptotique

Courbe réelle

0ω

2/π−4/π−

n

iiH

+=

0

1)(ωωω ω0 dB (échelle log.)

)( ωiHdB

3n dBCourbe asymptotique

Courbe réelle

0ω

(+n)

ω0 (échelle log.)

ϕCourbe asymptotique

Courbe réelle

0ω

2/πn4/πn

Octave :

ff 2→

Décade :

ff 10→

Pente :

(-n) ≡ pente de -20 ndB/décade ≡ pente de -6 n dB/octave

(+n) ≡ pente de +20n dB/décade ≡ pente de +6 n dB/octave

__________

Documents

AUTOMATIQUE - ga.perso.eisti.frga.perso.eisti.fr/phy/atr/a01/tr.pdf · Exemple : Asservissement de la direction de vol d’un vaisseau spatial, décrit dans le plan de phase : Contrôle