AUTOMATIQUE : Systèmes asservis linéaires continus

AUTOMATIQUE

SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES CONTINUS

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueA. JUTARDM. BETEMPS

3 GMC

Année de création : 1997

n**lf INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYONJf • t y a «W

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génie mécanique construction

3èmeannée

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AUTOMATIQUE

Systèmes Asservis Linéaires Continus

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VEcIlJ laboratoire d'automatique industrielle ,v J

© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1997], INSA de Lyon, tous droits réservés.

De tout temps, les mécaniciens se sont passionnés pour les automates, montages mécaniques déformables, mus par la chute d'un poids ou

la déformation d'un ressort. Leur habilité a rendu possible de fantastiques enchaînements de mouvements donnant à ces ensembles les illusions

d'une vie autonome ; bien qu'hélas disparus à jamais, les automates de Jacques VAUCANSON (1709-1782) sont restés célèbres dans l'Histoire de

la Mécanique et sont toujours cités en exemple. Cependant ces montages, aussi sophistiqués soient-ils, gardent un comportement unique,

programmé définitivement par leurs créateurs, copiant ainsi un geste humain stéréotypé.

Les systèmes automatiques modernes tentent encore de copier l'être humain, mais surtout dans son libre arbitre. En effet, ce sont des

systèmes capables de modifier eux-mêmes leur comportement, en cours de mouvement, en tenant compte des ordres donnés et en réagissant à

l'observation de leur environnement. Dépassant le cadre étroit des automates, les systèmes automatiques comportent des dispositifs qui mesurent les

grandeurs utiles à leur information. Grâce à une boucle de rétroaction, ils contrôlent en permanence leurs fonctionnements et réagissent en temps

réel à toute sollicitation externe volontaire (fonctionnement en asservissement) et/ou à toute perturbation interne et/ou externe (fonctionnement en

régulateur}.

L'atout majeur de l'Automatique réside dans son caractère essentiellement systémique et pluridisciplinaire ; plutôt que de se

cantonner à un secteur particulier, les outils d'Analyse et de Synthèse présentés selon l'approche Systémique dans ce cours

d'Automatique de base pourront être exploités pour des systèmes extrêmement variés relevant de la Mécanique, de VElectricité, de la

Fluidetronique, du Génie Chimique, de la Thermique,... sachant que la partie Contrôle-Commande repose exclusivement à l'heure actuelle sur les

techniques électronique, microélectronique et microinformatique.

Ce cours traite des Systèmes Asservis Linéarisés Continus ; il constitue la première approche et la base de VAutomatique

des systèmes continus. Malgré son caractère général et systémique, ce cours destiné aux étudiants du département Génie

Mécanique Construction tient compte de leur spécificité et du caractère généraliste de leur formation. En ce qui concerne les

composants des systèmes automatiques, le cours syappuie sur les connaissances en Electronique de commande, en Mesure et

capteurs et en Actionneurs développés dans le cours de Mécatronique, déjà professé.

Cours rédigé par Alain Jutard, professeur,en collaboration avec Maurice Bétemps, professeur.


AUTOMATIQUE Systèmes asservis linéaires continus

Bibliographie conseillée

Automatique appliquée - Tome 1 E. DIEULESAINT, D. ROYER Masson 1987

Théorie et calcul des asservissements linéaires J.Ch. GILLE, P. DEC AULNE, M. PELEGRIN Dunod 1992

Automatique. Commande des systèmes linéaires Ph. de LARMINAT Hermès 1993

Les robots, série Technologies de pointe A. JUTARD, M. BETEMPS Hermès 1988

A quoi rêvent les robots ? (B.D.) J.P. PETIT Belin 1982


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AUTOMATIQUE

Systèmes Asservis Linéaires Continus

V : : )

chapitre 1 - systèmes de commande

chapitre 2 - exemples de systèmes asservis

chapitre 3 - transmittance et lieux de transfert

chapitre 4 - stabilité des systèmes bouclés

chapitre 5 - précision et rapidité des systèmes de commande

chapitre 6 - compensation et synthèse des systèmes asservis


NOTES PERSONNELLES

CHAPITRE 1

SYSTÈMES DE COMMANDE

1.1. NOTION DE SYSTÈME

Un système peut être défini comme un ensemble d'éléments exerçant

collectivement une fonction déterminée. Chaque système (ou chaque élément qui le

compose) établit une relation dynamique entre ses grandeurs d'entrée et ses grandeurs

de sortie.


La transformation des entrées dans les sorties est dite dynamique, si les grandeurs de

sortie y. (t) à l'instant t dépendent non seulement de la valeur présente des entrées Uj (t),

mais également de leurs valeurs antérieures YJ (a), avec a < t.

Afin de pouvoir étudier, concevoir et commander les systèmes dynamiques, il convient

de les modéliser en s'appuyant mathématiquement sur les lois de la Physique qui

décrivent les phénomènes mis en jeu (Mécanique, Électricité, Thermique, Magnétisme,

Hydraulique, ..,). Les systèmes physiques décrits par des équations différentielles

linéaires à coefficients constants constituent une classe très importante des systèmes

dynamiques. Les modèles mathématiques représentatifs du comportement des systèmes

s'appuient donc en grande partie sur ce fait.

D'autres systèmes obéissent à des lois plus complexes :

• systèmes à paramètres répartis, décrits par des équations aux dérivées

partielles,

• systèmes non-linéaires, dont certains peuvent être linéarisés autour d'un

point de fonctionnement,

Automatique - S.A.L. chapitre 1 : Systèmes de commande


• systèmes discrets, systèmes stochastiques, etc ...

Remarque : Dans la suite de ce cours, nous n'étudierons queles systèmes linéairesinvariants dynamiques.

1.2. DESCRIPTION EXTERNE DES SYSTÈMES

1.2.1. Réponse impulsionnelle

La description externe d'un système s'appuie sur l'équation (ou les équations)

différentielle qui lie sa sortie à son signal d'entrée :

La résolution de cette équation différentielle permet d'exprimer la sortie y (t)

par une intégrale de convolution :

y(t) = jyu(t).h(t-t)dT

y(t) = u(t)*h(t)



La fonction h(t) représente le modèle du système S ; elle caractérise entièrement

le comportement dynamique du système.

Remarque : si le système S est sollicité par une entrée impulsionnelle[impulsion de Dirac 6 (t) ], alors :

y(t) = 5(t)*h(t) = h(t)

La fonction h(t) représente donc la réponse impulsionnelle du

système étudié.

1.2.2. Fonction de transfert

La fonction de transfert (ou transmittance} d'un système monovariable (une

entrée, une sortie) initialement au repos est la tranformée de Laplace de sa réponse

impulsionnelle :

H(p) = £[h(t)]

Une propriété importante de la transformée de Laplace est de transformer un produit de

convolution dans l'espace-temps en un produit simple dans l'espace de Laplace (ou

espace-fréquence) :

Si y(t) = h(t)*u(t)

alors Y(p) = H(p).U(p)



De la relation précédente, nous déduisons :

H<»^Remarque 1 : La fonction de transfert d'un système linéaire invariant est donc le

quotient de la transformée de Laplace de la réponse du système par la

transformée du signal d'entrée correspondant.

Remarque 2 : La fonction de transfert est indépendante du couple de signaux choisis

pour son calcul ; elle ne dépend que du système et le caractérise

complètement, au même titre que sa réponse impulsionnelle.

Remarque 3 : Dans le cas de systèmes multivariables, la notion de matrice de

transfert se substitue à la fonction de transfert :

[Y(p)J = [H(p)] . [U(p)]

vecteur- Matrice vecteur -colonne de transfert colonnedes sorties, m x r des entréesd'ordre r d' ordre m



1.2.3. Réponses aux entrées canoniques

Lors des tests effectués sur les systèmes dynamiques pour évaluer leurs

performances, on a l'habitude de les solliciter par des entrées dites canoniques, telles

que :

• Pimpulsion-unité 5(t) , d'où la réponse impulsionnelle déjà évoquée :

+<x>

ô(t) telle que JÔ(T) = I

n1 existe que pour t = 0

A(p) = £S(t) = l



• l'entrée en échelon-unité F(t), d'où la réponse d'un système du lier ordre :

F(t) = l pour t >0T(t) = 0 pour t < 0

r(p) = -L

• l'entrée en échelon de vitesse (ou rampe) t. F(t), d'où la réponse en vitesse du

système du lier ordre :

u(t) = t pour t>0

u(P) = l

Remarque : La forme générale des entrées canoniques est :

tm

— . T(t) entrée d'ordre mm!

dont la transformée de Laplace est : —-^ .P



1.2.4. Réponse harmonique (ou fréquentielle)

Si l'on impose à un système de fonction de transfert H(p) une entrée

harmonique, de pulsation co :

u (t) = U . sin co t

La sortie peut se calculer par l'intermédiaire de la transformée de Laplace :

Y<rt=H<rt-^-u

soit y (t) = X--1 Y (p) = y tr (t) + Y (co). sin [co t+q> (co)]

où : • ytr(t) est un terme transitoire qui, pour tout système stable, tend

rapidement vers 0.

• le terme harmonique permanent est tel que :

Y(œ) = |H(jœJ.U

9(o>) = ArgH(jco)

Le nombre complexe H(jco)|exp[j Arg H(jco)] est déduit de la fonction de transfert

H(p) par substitution dans l'expression de celle-ci de l'opérateur complexe jco à

l'opérateur de Laplace p.



Remarque 1 : Le changement de p en jo correspond en fait à la formulation du

problème en transformées de F ourler, plutôt qu'en transformées de

Laplace :

H(p) = £h(t) psjft) ) H(jco) = f rh(t)

Remarque 2 : Ce résultat montre que la connaissance de la fonction de transfertH(p) est équivalente à celle de la réponse en fréquences H(jco) et

réciproquement.

Remarque 3: Cette identité entre l'analyse harmonique, qui décrit le régimepermanent sinusoïdal sur tout le spectre de fréquences (co variant de 0

à l'infini), et l'analyse transitoire (puisque la fonction de transfert est

l'image en Laplace de la réponse impulsionnelle) est tout à fait

remarquable ; elle explique la notion de spectre de fréquences défini

par l'intégrale de Fourier.

1.2.5. Représentation graphique des fonctions de transfert

Le fait que la fonction de transfert H(p) est également la fonction complexeH(jco) autorise la représentation graphique de son évolution, lorsque la pulsation Cô varie

de 0 à l'infini.

L'interprétation de son évolution graphique permettra d'en déduire un certain

nombre de critères de performances, qui seront bien utiles par la suite pour régler

convenablement les systèmes de commande.



Les formes les plus usuelles de représentation des transmittances en

Automatique sont les suivantes :

• Diagramme des pôles et des zéros

Les pôles et les zéros sont fonctions de co ; si l'on s'intéresse à l'analyse harmonique du

système, les points représentatifs de ceux-ci décrivent des lieux, dits lieux d'Evans.

• Plan de Nyquist (ou plan complexe), lieu gradué en co


• Plan de Black, lieu gradué en co

• Diagrammes de Bode


1.3. DESCRIPTION INTERNE DES SYSTÈMES

1.3.1. Variables de phase et variables d'état

Soit un système linéaire invariant décrit par une équation différentielle d'ordre n.

La résolution complète de cette équation :

y(t) = f[u(t)]

nécessite de disposer de n données supplémentaires (la valeur de la variable de sortie et

de ses (n-1) premières dérivées à l'instant initial, par exemple), pour évaluer les n

constantes d'intégration.

Ces n données supplémentaires constituent le vecteur de phase du système,

dont les n composantes sont les variables de phase (la grandeur et ses (n-1) premières

dérivées), défini soit à l'instant initial, soit à un instant quelconque :

x(t) = [y(t),y(t),-y(tX."y (- I )(t)]T

Ces variables de phase sont les coordonnées d'un espace de phase à n dimensions.

Toute courbe, définie dans cet espace par la relation existant entre les n variables de

phase, constitue la trajectoire de phase.

Les composantes du vecteur x(t) ne sont pas forcément la grandeur considérée et ses

(n-1) dérivées successives, à un instant t. Elles peuvent être des variables autres qui

amènent des informations sur l'état dans lequel le système se trouve à un instant donné



t0, afin qu'on puisse en déduire sans ambiguïté son état et sa réponse à une entrée

donnée à tout instant t > t0.

On parle alors de vecteur d'état, dont les n composants sont les variables d'état du

système.

1.3.2. Choix des variables d'état

Le choix des variables d'état est délicat et une grande latitude est laissée à

l'appréciation de celui qui modélise le système. Cependant, le vecteur d'état doit

contenir l'information relative au passé du système jusqu'à un certain instant t0,

information strictement nécessaire à la détermination de sa réponse à une entrée donnée

et de son état aux instants postérieurs.

On peut ainsi dire que le vecteur d'état x(t) constitue la mémoire du système.

Cette propriété est pleinement satisfaite par l'Intégration ; en effet :

t t0 tx(t) = J z(t). dT = J Z(T) . dt -f J z(i)dt

-<x> -oo t0

t

x(t) = x(t0) + Jz(T)dT

to

x(t0) dépend du passé de x(t).

Les variables d'état, douées de mémoire, doivent être en outre des facteurs

d'énergie, cinétique ou potentielle (réservoirs d'énergie), mais ne peuvent être liées à

une énergie de dissipation (effet Joule, par exemple).



En définitive, la désignation des n variables d'état d'un système d'ordre n

équivaut à Videntification de ceux de ses composants qui sont aptes à stocker de

l'énergie.

1.3.3. Equation d'état d'un système

La notion d'état est basée sur la possibilité d'obtenir l'état futur d'un système

par la connaissance de son état présent et de tous les signaux qui agissent sur lui

(entrées).

Il faut donc établir une relation entre l'état présent et l'état futur.

Soit, par exemple, le système S, monovariable linéaire invariant, d'ordre 2 :



Il est régi par une équation différentielle, du type :

•• •y + a, y + a0 y = b0 u

x, = yOn peut poser : _ • _ •

x2 - y - x, (variables de phase)

• •

et écrire l'équation sous la forme : y = b0 u - a0 X j - x2

Soit, sous forme matricielle :

x l ro nrXli roi. H-a -a u r b u

L ao aiJLx2j Lbo_ 2 J

Cette équation matricielle peut alors s'écrire sous la forme générale :

•x = Ax + Bu

où : x est le vecteur d'état, à n composantes,

A la matrice d'état (carrée : n x n),

B la matrice de commande, de type n x m, si le vecteur de

commande u possède m composantes.



1.3.4. Description interne d'un système

On peut donc décrire le système linéaire invariant par son équation d'état :

•x — A x + B u

à laquelle on associe le vecteur de sortie :

y = C x + D u

où C et D sont également des matrices.

Si l'on passe aux transformées de Laplace, l'équation d'état peut s'écrire :

pX(p)-x(t0) = AX(p) + BU(p)

Cette nouvelle équation a pour solution matricielle :

X(p) = [pi - Af1 . x(t0) + [pi - Af1 . B . U(p)

avec I : matrice-unité.


• Vétage de commande comporte un ou plusieurs éléments Basse Puissance :

transducteur, amplificateur de tension, correcteur,...

• Vétage de puissance est constitué par un amplificateur de puissance, un actionneur

(moteur, élément chauffant, vérin,...), un réducteur, une chaîne cinématique,...

La puissance nécessaire au système à commander (de type électrique, mécanique,

thermique, ...) n'est pas fournie par l'élément de commande ; en fait, celui-ci module,

en fonction de la commande, l'énergie empruntée à une source d'énergie qui alimente

l'actionneur (secteur électrique, débit de fuel, huile sous pression,...)

• le système à commander qui correspond à la finalité de l'ensemble du système (mise

en position, vitesse, pression, température,...)


1.4. SYSTÈMES DE COMMANDE

1.4.1. Systèmes de commande en chaîne ouverte

La structure d'un système de commande a déjà été analysée dans le cours de

Mécatronique. On en rappelle ici l'organisation :


Comme tout système, ces systèmes de commande en chaîne ouverte sont

soumis à des perturbations, le plus souvent aléatoires ou tout au moins mal maîtrisées.

Ces entrées parasites affectent alors la sortie, qui n'est plus conforme à celle

désirée (uniquement fonction du signal de commande).

Ceci amène à la nécessité de contrôler la manière dont Vordre a été exécuté et

d'agir éventuellement sur le réglage du système afin que le signal de sortie réponde

pleinement à Tordre donné.

Il faut donc mesurer la variable de sortie et comparer sa valeur (réelle) à la

commande (désirée) ou à une fonction de la commande, afin de détecter tout écart

entre ces deux grandeurs.

1.4.2. Système bouclé ou système asservi

Ce contrôle automatique est obtenu, en modifiant la structure du système par une

boucle de retour comprenant un capteur de mesure et un détecteur d'écart, ou

comparateur (amplificateur différentiel, dans la plupart des applications).



Ce système à contrôle automatique maintient la relation entrée-sortie telle que désirée,

quelles que soient les perturbations.

Ce type de système automatique est appelé indifféremment : asservissement, système

asservi, système à retour, système à rétroaction, système en chaîne fermée, système

bouclé.

Dans le cas où le système doit maintenir la grandeur de sortie à un niveau fixe, quelles

que soient les perturbations, on dit que l'on a affaire à une régulation ; la grandeur

d'entrée (commande) est alors désignée sous le nom de consigne.



CHAPITRE 2

EXEMPLES DE SYSTEMES ASSERVIS

2.1. SYSTÈMES (NATURELLEMENT} BOUCLÉS

Sans vouloir absolument voir des systèmes asservis partout, on constate que de

très nombreuses fonctions naturelles (humaines, animales, équilibres naturels,...) ont une

structure de type bouclé. On peut citer toutes les régulations, très sophistiquées, dont nous

bénéficions en tant qu'êtres humains : circulation sanguine, oxygénation, régulation de

température, équilibre chimique du corps, etc ... En voici quelques exemples.

* Maintien de la station debout chez VHomme

Le maintien de la station debout chez l'Homme s'effectue en créant un certain

tonus aux muscles dits de posture. Cela exige un contrôle car si ce tonus était commandé

en chaîne ouverte, nous serions déséquilibrés par un coup de vent.

Automatique - S.A.L. chapitre 2 : Exemples de Systèmes Asservis


Ce contrôle s'effectue grâce au cervelet, qui reçoit constamment sur le tonus des

muscles de posture des informations sous forme d'influx nerveux issus de détecteurs de

tension situés dans ces muscles. Si le corps s'incline en arrière, ces détecteurs signalent

au cervelet le raccourcissement des muscles postérieurs et l'étirement des muscles

antérieurs du corps ; le cervelet commande une nouvelle répartition de tonus pour

rétablir l'équilibre menacé. En somme, le tonus musculaire est asservi à la valeur qui

maintient la station verticale. Cette régulation étant normalement inconsciente, on peut

parler de contrôle automatique.

Ce contrôle est doublé par l'oreille interne qui est également le siège de

l'équilibration ; cette redondance du couple cervelet-oreille interne permet de

compenser les faiblesses de l'un ou l'autre de ces organes de l'équilibre. Ce système est

purement naturel et inconscient.

* Pilotage humain

Dans le cas du pilotage (automobile, avion) l'homme rentre dans la boucle et

assure lui-même un grand nombre de fonctions : mesure et rétroaction, détection

d'erreur, interprétation (traitement du signal), amplification, pré-amplification de

puissance. Le pilotage humain peut être schématisé selon les diagrammes ci-dessous :



* Acheminement du courrier

Quelques organisations fonctionnelles de nos sociétés sont des exemples de

gradation dans la notion de contrôle. L'acheminement du courrier permet d'illustrer

ceci :

• envoi d'une lettre déposée dans une boite aux lettres : système de

commande en chaîne ouverte (pas de contrôle officiel),

renvoi d'une lettre recommandée : système de commande, à

contrôle éventuel, toujours possible.

• envoi d'une lettre recommandée avec accusé de réception :

système de commande avec boucle de retour, à contrôle certain.



* Moteur à courant continu

Parmi les objets technologiques, on a étudié (cours de Mécatronique - 3ème partie -

chapitre 3) le moteur à courant continu commandé par sa tension d'induit et constaté que

son modèle conduisait à un diagramme fonctionnel de type bouclé ; C'est un système

auto-régulé.

Les quelques exemples que nous venons de citer montrent qu'une observation

attentive de la Nature, du Monde Animal, des institutions humaines, de certains objets

manufacturés plus ou moins sophistiqués, .... nous fait découvrir que la notion de

rétroaction, qui permet le contrôle permanent de l'exécution d'un ordre, est

omniprésente dans notre univers.



Cependant, ces systèmes auto-régulés par essence (en particulier ceux relevant

de la Technique) ne présentent pas toutes les garanties de fonctionnement souhaitées par

leurs concepteurs et leur asservissement doit être spécialement étudié, pour les rendre

tout à fait performants. // faut donc contrôler effectivement la (ou les) grandeur de

sortie, en adjoignant au système un (ou des) capteur de mesure, et utiliser ce (ou ces)

signal pour comparer en permanence Vexécution de Vordre à celui-ci ; le système est

alors prévu pour réagir automatiquement à tout écart constaté.

2.2. QUELQUES EXEMPLES DE SYSTÈMES (VOLONTAIREMENT) ASSERVIS

2.2.1. Asservissement électrique

On a déjà constaté le cas où la boucle de réaction était absolument nécessaire

pour pouvoir utiliser convenablement un amplificateur opérationnel (cours de Mécatronique

- lère partie - chapitre 1). Dans ce cas, leprincipe d'inversion s'applique totalement et la

fonction de transfert de l'ensemble ne dépend que de l'impédance d'entrée et de

l'impédance de bouclage.

2.2.2. Asservissements électromécaniques

Ce type d'asservissement est extrêmement courant. Nombre de systèmes

mécaniques utilisés dans l'Industrie, dont la commande est de nature électronique et/ou



informatique, sont asservis en position, vitesse, force, ..., parfois avec des boucles

imbriquées (positionnement avec contrôle de vitesse, par exemple).

On peut citer :

• Vasservissement des axes d'une machine-outil : contrôle des

déplacements de la table (axes de translation X, Y), de la descente de

l'outil (axe de translation Z) et de sa vitesse de rotation ; contrôle de

trajectoires (contournage),


On peut remarquer que la structure de cet asservissement (boucles imbriquées de

position et de vitesse) est très couramment adoptée dans les commandes automatiques

de systèmes liés à Factionnement de mécanismes.





2.2.3. Asservissement électrohydraulique (commande fluidetronique à huile sous

pression)

Ce type d'asservissement, mettant en jeu de l'huile sous pression (100 à 250

bars), permet d'obtenir des systèmes très puissants et très rapides. L'organe de

commande électrohydraulique est, soit une électrovanne, soit une servovalve. Ce dernier

organe, plus sophistiqué, est lui-même un asservissement électromécanique qui contrôle

la position d'un tiroir hydraulique. Le schéma ci-dessous représente l'asservissement de

la position de la tige d'un vérin, commandé par une servovalve.


2.2.4. Asservissement mécanohydraulique, mettant en jeu des liquides à pression

atmosphérique.

Parmi les rares systèmes automatiques ne s'appuyant pas sur une commande

électronique, on peut citer des dispositifs tels que la commande de la position de la tige

d'un vérin par tringlerie mécanique, agissant sur un tiroir hydraulique, la chasse d'eau,

etc ...

La chasse d'eau, par exemple, est une bonne illustration d'un dispositif automatique,

certes rudimentaire, mais efficace !


Ce système à deux bacs en cascade est régi par des équations non-linéaires (ledébit de sortie du premier bac, dû à la gravité, est proportionnel à ^Hj(t) ) . La

modélisation de cet ensemble nécessite de travailler autour d'un point de


2.2.5. Régulation électrohydraiilique de niveau, à deux bacs ouverts sur l'extérieur.

Ce dispositif permet de maintenir constant le niveau du liquide contenu dans un

bac, malgré le soutirage de ce liquide par la pompe de sortie.


fonctionnement (régime permanent) et d'envisager son évolution dynamique (linéarisée

autour de ce fonctionnement permanent), en cas de perturbations et/ou de modifications

des conditions de commande (changement de consigne, par exemple).

2.3. UN SYSTÈME INTÉRESSANT : Étude en régime établi d'une

RÉGULATION DE VITESSE

Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à un type de système automatique de

commande largement répandu dans le monde industriel : le régulateur de vitesse ;

dans ce chapitre, nous nous contenterons d'établir les relations qui existent entre les

différentes variables en régime permanent, sans rien présager de leur évolutions

transitoires, et de commenter certains résultats. U aspect dynamique sera abordé dans

la suite du cours.

2.3.1. Présentation du système

Soit le tour automatique représenté schématiquement, avec sa commande, sur la

figure ci-après. Honnis la charge inertielle pure Jc (mandrin et pièce à usiner), le moteur

à courant continu commandé par sa tension d'induit est soumis à un couple-résistant

variable Cr dû à l'usinage de la pièce (Cr dépend de l'outil, de la matière à usiner, de lavitesse, des paramètres de coupe). La vitesse de rotation fi du moteur est mesurée par

une génératrice tachymétrique.



Dans une application d'usinage, on désire évidemment obtenir un état de surface

le plus régulier possible. Cette exigence nécessite entre autres de maintenir la vitesse

linéaire de coupe v constante, en dépit des fluctuations inévitables du couple-résistant et

ceci quelque soit le diamètre (2r) de la pièce usinée.

Remarque : Du fait que : v = Cl. r = este

le sytème doit à chaque passe ajuster (augmenter) sa consigne e pour

obtenir la bonne vitesse de rotation.



2.3.2. Première étude en boucle ouverte

Supposons dans un premier temps que la broche du tour soit actionnée en chaîne

ouverte (sans retour tachymétrique) par le moteur, à qui on applique la tension de

commande u.

* Mise en équations

Moteur : u = Ri + e' avec e' = k Q

C = ki

1 ( R ^soit Q = - u C

kl k )

Charge: C = (Jm + JJ + Crdt

en régime établi : Q, = este et C = Cr

1 ( R Ad'où : Û = - u - — Cr

k l k V

* Commentaires

A tension de commande u constante, on voit que les fluctuations de vitesse

enregistrées seront dues aux fluctuations de couple-résistant :

AQ = _ JLACr



Le rapport dépend uniquement des paramètres du moteur d'entraînement.

RPo= F

2.3.3. Cas d'une vitesse régulée

On considère maintenant le système de commande complet, c'est-à-dire avec

exploitation de la mesure de vitesse et comparaison de celle-ci à la valeur de la consigne

(fonctionnement en chaîne fermée).

* Diagramme fonctionnel


* Calcul de la vitesse de rotation £2 = f (e , Cr)

A ROn obtient : Q = e - —. r Cr

k + A k g k (k+Ak g )

* Discussion

Lors d'une passe d'usinage (r et e constants), les fluctuations éventuelles de la

vitesse de rotation (pénalisant la qualité de l'usinage) seront dues uniquement aux

variations du couple-résistant, soit :

A"°" ,( VvAC-kr-nA£2

Le rapport pf = est fonction des paramètres du moteur et de la

génératrice tachymétrique, mais surtout du gain A de l'amplificateur.

Si A est grand :

R kPf ~ Pô • —> 0Hf kAk g

Ko Ak g



On constate donc que le système en boucle fermée est nettement plus efficace

pour lutter contre les aléas du couple-résistant que le système de commande en chaîne

ouverte.

Plus le gain A de l'amplificateur sera élevé, moins le tour sera sensible aux

fluctuations du couple-résistant.

Si A est très grand, alors :

eQ = — = este, à consigne donnée.

kg


CHAPITRE 3

TRANSMITTANCE ET LIEUX DE TRANSFERT

3.1. FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTEME COMPLEXE

3.1.1. Définition

La notion de fonction de transfert (ou transmittancë) d'un système a été définie

dans le premier chapitre de ce cours. Rappelons que, lorsque le système étudié est du

type causal (tous les signaux sont considérés comme nuls pour tout t < 0), on peut le

décrire par la relation :

y(t) = h(t) * u(t) dans le domaine temporel

Automatique S.A.L. chapitre 3 : Transmittancë et lieux de transfert


Y(p) = H(p). U(p) dans le domaine fréquentiel (Laplace)

où H(p) = ££-h(t) est la fonction de transfert du système de réponse

impulsionnelle h(t).

Ces deux fonctions sont caractéristiques du système, tant du point de vue

dynamique que du point de vue statique.

Un système complexe est un système de commande composé de plusieurs

éléments interconnectés entre eux, soit en série, soit en parallèle, soit à l'aide de

comparateurs d'écarts et/ou de sommateurs, etc ...

Ainsi la fonction de transfert H(p) du système global est elle-même une fonction

des transmittances élémentaires G^p) :

H(p) = f[G,(p)]

3.1.2. Algèbre des diagrammes

Les propriétés de linéarité des transferts se traduisent par les transformations de

diagramme suivantes :

Automatique S.A.L. chapitre 3 : Transmittance et lieux de transfert


Remarque 1 : On trouvera en fin de chapitre un tableau récapitulatif des différentes

possibilités de lien entre des systèmes élémentaires, réunis pour

former un système de commande.



Remarque 2 : Notons que cette algèbre des diagrammes ne peut rigoureusement

s'appliquer que si le système SM présente une impédance de sortie (au

sens général) très faible vis-à-vis de l'impédance d'entrée de l'organe

suivant Sj.

3.1.3. Fonction de transfert des systèmes bouclés

D'une façon générale, un système asservi adopte une structure de la forme :

En appliquant les règles de calcul énoncées au paragraphe précédent, ce

diagramme fonctionnel peut se mettre sous la forme :



où : * D(p) est la fonction de transfert de la chaîne directe

* R(p) est la fonction de transfert de la chaîne de retour (capteur)

* les signaux : e(t), e(t), s(t) et m(t) ont pour transformées de Laplace :

E(p),8(p),S(p),M(p).

Nota : Afin de soulager l'écriture dans la suite de ce développement, on

notera : E pour E(p), D pour D(p), etc ...

L'écriture des relations entre les différents signaux, dans ce système complexe

bouclé, permet d'établir :

^ S „ MD = — et R = —

£ S



La grandeur d'erreur (ou écart) résulte de la différence à tout instant entre la

commande et la mesure, image de la sortie donnée par le capteur :

e(t) = e(t)-m(t) soit 8 = E - M

que l'on peut exprimer uniquement en fonction de la grandeur d'entrée :

8 = .E1 + DR

Enfin, on peut exprimer la relation entrée-sortie globale du sytème bouclé, par

la fonction de transfert en boucle fermé Hbf.

H - SH b f ~ï ï

DOn voit que : Hhf = —M bf 1 + DR

La fonction 1 + DR qui apparaît dans les expressions de £ et de Hbf est appelée

sensibilité du système et notée E :

£ = 1 + DR



Cette fonction sensibilité présentera par la suite une très grande importance dans

l'évaluation des performances d'un système asservi.

NOTES PERSONNELLES

Remarque 1

Remarque 2

Dans l'expression de la sensibilité Z, on trouve le produit de fonction

D.R ; celui-ci reçoit l'appellation de fonction de transfert en boucle

ouverte du système :

Hbo = D.R

II faut bien noter que la fonction Hbo est un opérateur mathématique,

commode pour les calculs entrepris sur les systèmes bouclés, mais

qu'il ne représente en aucun cas une réalité physique (fort peu de

S.A.L. peuvent fonctionner en boucle ouverte).

On voit queS M M

3.1.4. En résumé

La modélisation d'un système asservi conduit à l'établissement de différentes

fonctions et/ou relations entre les signaux :

Automatique S.A.L. chapitre 3 : Transmittance et lieux de transfert 3-7


E +NOTES PERSONNELLES

Fonction de transfert de la chaîne directe : D = —

MFonction de transfert de la chaîne de retour : R = —

SM

Fonction de transfert en boucle ouverte : Hbo = —

Fonction de transfert en boucle fermée : H, - = —bf

Sensibilité du système bouclé :

On notera que :

Hto =

= 1 +Hbo

D D DDR + Hbo :

i iE 1 + DR 1 + Hbo



3.2. RKACTIVITE AUX PERTURBATIONSNOTES PERSONNELLES

3.2.1. Influence des entrées perturbantes

II est souvent délicat de localiser avec précision les points d'application des

perturbations qui peuvent modifier le fonctionnement d'un système asservi. Admettons

cependant que cela soit possible et supposons qu'une perturbation w(t) s'introduise dans

la chaîne conformément au schéma de la figure 4 ci-dessous, où la chaîne directe est

décomposée en une partie-amont (à la perturbation) de fonction de transfert D,(p) et une

partie-aval de fonction de transfert D2(p) :

+

Un calcul simple conduit à établir la relation suivante :

s- D"D'D,D2R

E-D,D2R

W



On peut poser : D = D, . D2

NOTES PERSONNELLES

Abo

H*--

d'où

Par rapport aux calculs du paragraphe précédent (3.1.3), on s'intéresse à :

la variation de la sortie due à la perturbation : AS = W = . Hbf . W

comme :

D R 1 Mla partie de l'erreur due à la perturbation est : A£ = —-— . W = — . —— . W

£ D, E

Les expressions des variations de la grandeur de sortie et du signal d'erreur du système

bouclé, dues à la présence de perturbations, montrent que l'influence de celles-ci sera

d'autant plus faible que la fonction de transfert Dj des éléments de la chaîne directe en

amont du point d'application de la (ou des) perturbation présentera un gain élevé.



Dans la pratique, ceci se traduit par la nécessité d'amplifier fortement le signal

dès la sortie du détecteur d'écart :

NOTES PERSONNELLES

A8

3.2.2 Fonctionnement en régulateur

En l'absence de perturbation, on retrouve les résultats déjà trouvés plus haut ; on

dit que l'ensemble de commande asservi est un système suiveur, assujetti à suivre la

commande imposée.

Si la commande est constante sur un grand laps de temps, le système travaille

alors à consigne fixe et on ne s'intéresse donc qu'aux variations des grandeurs autour de

leurs valeurs fixes, définies par leur régime permanent ; on fait alors apparaître un

fonctionnement en régulateur.



NOTES PERSONNELLES

Ce fonctionnement en variations autour du point de fonctionnement défini par le

régime permanent choisi peut être illustré par le diagramme fonctionnel suivant :

w _^®

Consigne constanteAE = 0

que l'on peut mettre sous la forme simplifiée ci-dessous :

AS

W _-H»

-A8

AS



Remarque 1 : En réalité les fonctionnements en suiveur et en régulateur coexistent,

ne serait-ce qu'aux moments des changements de points de consigne.

Le diagramme fonctionnel ci-dessous symbolise ces deux types de

fonctionnement :

Suiveur

Commande D

E

Régulateur

Perturbation D2

S

NOTES PERSONNELLES

Remarque 2 : Que le système fonctionne en suiveur ou en régulateur, ou qu'il ait un

fonctionnement simultané des deux types, il présente la même

sensibilité :

Abo

ce qui induit un même comportement dynamique, en particulier en ce

qui concerne la stabilité (cf. chapitre 4) et ses réponses transitoires aux

Automatique S.A.L. chapitre 3 : Transmittance et lieux de transfert 3 »13


différentes sollicitations, qu'elles soient volontaires (commande) ou

subies (perturbations). Quand un système à retour est soumis à des

perturbationsy sa réaction est celle de tout Vensemble du système.

Ceci est à rapprocher de ce qui ce passe lorsqu'un être vivant est

soumis à une agression : si périphérique soit-elle, tout l'organisme est

en jeu dans sa réaction. Chacun réagit avec toute sa personnalité,

exactement de la même manière que la réponse d'un système asservi

met enjeu tous des organes, combinés dans sa sensibilité.

3.3. CAS DE LA RÉGULATION DE VITESSE : Etude en régime dynamique

3.3.1 Mise en équations

Nous reprenons l'exemple de la régulation de vitesse, qui a été traité,

uniquement en régime établi, au chapitre précédent (paragraphe 2.3). Nous nous proposons

ici d'introduire sa dynamique, c'est-à-dire d'étudier le système dans toute sa plénitude

(régimes permanent et variable) et d'établir ses différentes fonctions de transfert, telles

que définies plus haut.

NOTES PERSONNELLES



NOTES PERSONNELLES

Armoire décommande

\ \ Moteur GR 80

Génératrice

Par rapport à la première mise en équations (paragraphe 2.3.2), seule l'équation du

couple-moteur change car le terme inertiel n'est plus nul à vitesse variable :

soit en posant JT = Jm + Jc

alors £1=k r



Le moteur en charge est régi par une équation du premier ordre, présentant

une constante de temps :

NOTES PERSONNELLES

.1 + Tp k r

Le système peut être représenté par le diagramme fonctionnel suivant :

u 1k

1+Tp

Q



On en déduit :NOTES PERSONNELLES

Akg 1

k ' 1 + Tp

A 1Ak Tp

Le système bouclé est également du premier ordre, mais avec une constante de temps

T telle que :

1 =1 +

Ak < T

d'autant plus faible que le gain A de l'amplificateur est plus important.

L'expression de la vitesse est donnée par :

3.3.2. Fonctionnement en régulation de vitesse

A consigne constante E0 et en l'absence de perturbation, le système tourne à une

vitesse constante, donnée par l'expression :

(régime permanent)k+Ak



Si des perturbations de couple apparaissent, on observe des variations de vitesse

données par :

R 1

NOTES PERSONNELLES

k ( k + A k g ) ' l + TpAC

La fonction de transfert en régulation présente la même dynamique deACr

premier ordre (constante de temps : T ) que le système en asservissement (assujetti à la

consigne e).

Par exemple à chaque passe, au moment du premier contact de l'outil avec la

pièce à usiner, le système subit un échelon de couple-résistant :

AC r(t) = c0r(t)

soit AC r(p) = —P

La réaction du système bouclé sera :

RCL

A k g ) " p ( l



NOTES PERSONNELLES

et l -e

0 T

La diminution de vitesse A£2 sera d'autant plus faible que le gain A de l'amplificateur

(placé en amont de la perturbation) sera plus élevé.

Remarque 1 : Le régime transitoire est de type apériodique, puisque le système

bouclé est du premier ordre. Sa rapidité d'évolution est liée à la

constante de temps T, nettement inférieure à la constante de temps T

du moteur en charge.

Remarque 2 : Après disparition du régime transitoire, on retrouve le fonctionnement

en régime permanent, déjà calculé au chapitre précédent.



3.4. LIEUX DE TRANSFERT DES SYSTEMES A RETOURNOTES PERSONNELLES

3.4.1. Présentation

Un système S est parfaitement caractérisé dans ses comportements statique et

dynamique, tant par la connaissance de sa réponse impulsionnelle h(t) que par celle de

sa fonction de transfert H(p) ; Tune découlant de l'autre par transformation de Laplace,

directe ou inverse. C'est dire que les propriétés et les performances des systèmes

peuvent être étudiées soit dans l'espace-temps, soit dans F espace-fréquence, puisque :

H(jco) EE H(p)

En pratique, les performances d'un système sont souvent appréhendées par uneétude graphique de l'évolution du nombre complexe H(jco), lorsque co varie de 0 à

l'infini ; il s'agit alors de l'analyse harmonique du système ou de sa réponse en

fréquences.

Remarque 1 : Les logiciels d'étude des systèmes (élémentaires ou asservis), qu'il

s'agisse de MATLAB ou de SIMULINK, s'appuient sur les notions

de fonctions de de lieux de transfert. Ce paragraphe a pour but de

donner quelques notions sur ces lieux, en vue d'une meilleure

exploitation (et une meilleure compréhension) de ces supports

logiciels.

Remarque 2 : La définition des différents lieux graphiques utilisés (lieux des racines

et des pôles, plan de Nyquist, Bode, Black) a été donnée au chapitre 1.



Leurs règles de construction sont longuement explicitées dans le

fascicule : Support de conférences, qui accompagne les cours

d'Automatique. Nous n'envisageons ici que la présentation des

méthodes graphiques, qui permettent de déterminer le comportement

des systèmes asservis et le réglage de leurs performances.

NOTES PERSONNELLES

3.4.2. Mise en forme

Soit le système asservi représenté par le diagramme fonctionnel ci-dessous

E

On sait que : Hbf =D

1 + DR

avec Hbo - D . R

et '•bo

La chaîne directe est composée de plusieurs systèmes élémentaires en cascade :

amplificateur différentiel à gain variable, circuit correcteur (comme nous le verrons au

chapitre 6), amplificateur de puissance à gain fixe, actionneur, transmetteur, charge.Chacun de ces éléments Sj peut être représenté par une fonction A,j . Gj (p), où le gain



statique A,j est donné (sauf pour l'amplificateur qui possède un gain A variable) et où la

fonction G{ (p) est soit une constante, soit une fonction de l'opérateur de Laplace p,

selon la nature et la complexité de l'élément considéré.

La fonction de transfert D(p) de la chaîne directe est donc :

En général, on met la fonction de transfert en boucle ouverte :

Hbo(p) = D(p).R(p)

sous la forme canonique :

Hbo(p) = K.G(p)

où K représente le gain statique en boucle ouverte ; réglable en agissant sur le

gain A de l'amplificateur.

G(p) est une fonction de l'opérateur p, qui représente la dynamique du

système, et qui affecte la forme suivante :

NOTES PERSONNELLES



NOTES PERSONNELLESLes £. et les PJ sont respectivement les zéros et les pôles de la fonction G(p)

(respectivement les racines de son numérateur, de degré n, et de son dénominateur, de

degré d).

Remarque : La causalité des systèmes entraîne que la condition : d > n soit

toujours respectée.

Le système asservi considéré a pour fonction de transfert en boucle fermée :

D

On peut écrire :

bt 1 + DR

J_ DRR * 1 + DR

1 Hbo 1 KGD R l + Hbo R 1 + KG

* Cette formulation autorise une représentation du système par le diagramme

fonctionnel suivant, qui fait apparaître un système bouclé à retour unitaire, qui a pour

fonction de transfert en boucle fermée :

H* =M

= "bobf E 1 + HLbo

et H - _ - _ — - -Cl fihr — — • —bf E M E R



NOTES PERSONNELLES

Système à retour unitaire

* La fonction de transfert R(p) de l'élément de retour (capteur), qui intervient

dans l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte, se réduit la plupart du

temps à un nombre réel constant.

Remarque : Dans ce cas, et dans ce cas seulement, le comportement dynamique

du système asservi sera conforme à celui du système à retour unitaire

qui fait correspondre la mesure M à l'entrée E.

Ainsi, on pourra étudier ses performances dynamiques (stabilité, rapidité, régimetransitoire,...) en utilisant les propriétés de la relation biunivoque qui existe entre H*f et

Hbo-



3.4.3. Abaques de HALL et de BLACK

Nous avons vu que, pour tout système asservi à retour unitaire, la connaissance

de l'une des fonctions Hbo ou Hbf entraîne la connaissance de l'autre, par la relation :

H,H _ J-i-bo

Kf —bf 1 + Hbo

II en va de même pour les lieux de transfert : la connaissance du lieu detransfert en boucle ouverte Hbo (jco) du système entraîne la connaissance immédiate de

son lieu de transfert en boucle fermée Hbf (jco).

Rappelons que ces lieux sont gradués en co , de zéro à l'infini.

NOTES PERSONNELLES

Si, pour une pulsation donnée co , le vecteur OM représente Hbo(jco), le vecteur—»

AM représente la fonction-sensibilité E(jco) = 1 + Hbo(jco) ; on voit alors que le—»

vecteur OM', qui représente Hbf (j co), est tel que :

OMOMf = -

AM

Ox, OM' - MA, MO

module

argument



NOTES PERSONNELLES

Hbf(jœ)

-1.5 -0.5 0Rôâl Axis

1 15

Hbo(p) =

L'analyse harmonique qui permet de balayer tout l'espace-fréquence (de 0 à -H»)conduit à la construction du lieu de transfert Hbf (joo) par la seule connaissance de

Hbo(jto).

Ce tracé est amplement facilité si l'on a pris soin d'équiper le plan des lieux :

MO .- a module constant : = A, = este

MA

-> -»

- à argument constant : MA, MO = \|/ = este



Dans le plan complexe (ou plan de Nyquist), ces lieux à module et argument deHbf (jco) constants sont deux familles de cercles conjugués, de points-limites 0 et A.

L'ensemble de ces cercles, tracés dans le plan de NYQUIST, constitue Pabaque de

HALL (donné enfin de chapitre).

Remarque 1 : La construction de l'abaque de HALL est amplement détaillée et

justifiée dans le fascicule d'accompagnement : Support de

conférences.

Remarque 2 : Le point A d'abscisse : -1 revêt une grande importance dans l'étude

graphique des systèmes bouclés, en particulier en ce qui concerne leur

stabilité (c.f. chapitre 4). Pour cette raison, il sera appelle point critique.

Remarque 3 : En pratique, il est plus commode de travailler dans le plan de

Black que dans le plan complexe. On tracera donc les lieux :À,db = 20 log a = este et \|/ = este

dans le plan de Black (défini au paragraphe 1.2.5). L'ensemble des contoursXdb = este et \\t - este

constitue l'abaque de BLACK (donné enfin de chapitre).

NOTES PERSONNELLES



3.4.4. Lieu d'EVANS

Un système asservi à retour unitaire, de fonction de transfert en boucle ouverte

Hbo, a pour fonction de transfert en boucle fermée :

Hbo

l + Hbo S

Son dénominateur E (sensibilité) n'est autre que l'équation caractéristique du

système :

NOTES PERSONNELLES

Comme : Hbo = K . —A

Les racines de l'équation caractéristique :

Z = l + H b o = 0

dépendent du gain statique en boucle ouverte K, des pôles et des zéros de la fonction

G(p).

Le lieu d'EVANS, ou lieu des racines, est le lieu géométrique décrit par les racines de

l'équation caractéristique, lorsque le gain statique en boucle ouverte K varie de zéro à

l'infini.



NOTES PERSONNELLES

L'équation complexe : E = 0 ou G = sera toujours vérifiée, si lesK

deux relations suivantes sont satisfaites.

Condition des arguments :

JT Arg(l - tf p) - £ Arg(l - pr1 p) = (2X +1) TCi=l j=l

Cette équation constitue une condition nécessaire et suffisante permettant de définir

l'apartenance d'un point du plan au lieu d'Evans ; elle conditionne la forme du lieu.

Condition des modules :

• = K

Cette relation n'a aucune influence sur l'allure du lieu ; elle permet simplement

le calcul du gain K en tout point du lieu (le lieu est gradué en K).

Remarque 1 : A chaque racine de l'équation caractéristique 2 = 0 est associée une

branche du lieu. Le nombre de branches est égal au degré de la

sensibilité 2, c'est-à-dire au nombre d de pôles de G(p). Les



Remarque 2

coefficients de l'équation caractéristique étant réels, les racines

complexes de celles-ci sont nécessairement conjuguées. Les branches

engendrées par ces racines complexes conjuguées sont symétriques

par rapport à l'axe réel ; par contre, les racines réelles décrivent des

portions de l'axe réel.

Pour chaque branche du lieu, le point de départ correspond à K = 0.

La condition sur les modules montre que dans ce cas, on doit

nécessairement vérifier :

NOTES PERSONNELLES

De même pour le point d'arrivée (K —>«>), la condition des modules

impose :

Remarque 3

La branche de lieu, décrivant le comportement d'une racine de

V équation caractéristique, lorsque le gain statique K évolue de zéro à

l'infini, part d'un pôle de la fonction du transfert en boucle ouverte

pour aboutir à l'un de ses zéros.

Les règles pratiques de construction du lieu d 'EVANS (directions

asymptotiques, points de rupture, intersections, ...) sont données dans

le fascicule d'accompagnement : Support de conférences.



Exemple : Le tracé du lieu d'Evans ci-dessous est relatif à un système qui

présente la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :

1 - 0,3p

NOTES PERSONNELLES

0,5p + 0,lp2)

00



ABAQUE DE HALL

•*££ = Constante =

= Constante

Lieux gradués en A et c[>

S/ Ma pour affixe

on a : *X = module de //(j

(1) = phase de



ABAQUE DE BLACK

I I î•260£ ^ fe

I Ico coOO O1»

! i I I I [ ! I ! ! I IModule de y en décibels

co coN> o10 ho KO roo 4^ K> o

I ! I K > N O » O > O » O c o c o c o c ô r o J ^ o ^ o o O K J I J X O »



TRANSFORMATION DE DIAGRAMMES FONCTIONNELS

Les diagrammes fonctionnels de systèmes asservis complexes peuvent être simplifiés enutilisant quelques règles simples. Celles-ci sont résumées dans le tableau suivant où lesfonctions de transfert des éléments indépendants sont notées H et les signaux d'entrée et desortie W, X, Y et Z.

Transformation

l.Systèmes encascade

2. Systèmes enparallèle

3. Réduction d'uneboucle

4. Réduction à unsystème bouclé à

retour unitaire

Équation

Y - ( H H ) Xj. VA±l- l- l2/

Y — Hi/\ ~" r~i-}/\

V PT Y + H Y1 — riiTY JL JTL2-/Y

Y TU / V T! U V\— Ali ^YV T~ 112 1 ^

Y = H! (X + H2Y)

Diagrammefonctionnel

V

>H, - > H^ • ->^n l ^ n2 ^

X \T

\ 1 ~

> H-

X , . . v>c^

~T

u

H2<

Diagrammefonctionnel équivalent

Y T-

^ Hi Ho w

X v^Hi±Ho w

X — 1—1 Y

- 2 *" î ±

Y • • Y

+ ^ Y^ 1 ±HiH9

_>(iJJ>(g)^ HjH 2 ->

r I

Ê^


Transformation

5. Réarrangement despoints de sommation

6. Déplacement dupoint de sommation

7. Modification de laposition du point de

retour

Équation

Z Y\7 J_ V 4- V— W ± A ± Y

Z T-TV -\- V— rlA ± Y

Z = H ( X ± Y)

Y TTV— JtlA

Y TTV


W + _ + _-*<&— *$2L_Ï±Y

+ .

^ JI ^ A| +1

^

z

Y

w/xy\ ^^ T,~\s\l ~ JH

^s^"r

Y_J±

^ W

II

Y

—H

X4"

-^

Y

Y


v/Ç?\ w/C^\ ^^*\/\f ^cS'

X

w t/cx z^

x ±T +

y/Oj -^ j j Zj.

X L- 1

y^ Y

— >. u 1

^ra Y>Y ___^__

-rf' TT ^ 11 \

> H Y >

xm


Transformation

8. Modification despositions des pointsde sommation et des

points de retour

Équation

Z = X ± Y

Z = X ±Y


X +x^xw\/\^W

Y f±

Z4

x >«^x Y:!

Y

ZV

->


X +>&

s

< Zfà<•*• kA/^y±Y

v

x +I/O\

^+

Y -fi

x A^ ^v . \ ^^

Z

±

ZT->

4 0$>t — '


CHAPITRE 4

STABLILITÉ DES SYSTÈMES ASSERVIS

4.1, CONDITION GENERALE DE STABILITE

4.1.1. Définition au sens de l'Automatique

Pour l'automaticien, un système est stable si, abandonné à lui-même à partir de

conditions initiales quelconques, il revient à son état d'équilibre. Cette exigence peut se

traduire par une première définition :

Un système linéaire est stable si et seulement si sa réponse impulsionnelle tend vers

zéro lorsque le temps tend vers l'infini.

limh(t) = 0t->°°

Automatique S.A.L. chapitre 4 : Stabilité des systèmes asservis


Soit un système linéaire dont la fonction de transfert se présente sous la forme :

H^ = 7T\d(P)

L'on désigne par zéros du système les racines du numéroteur n(p) et par pôles du

système les racines de son dénominateur d(p). Par décomposition en éléments simples et

recherche des originaux par tranformation de Laplace inverse, on sait que la solution

temporelle h(t) est fonction des pôles de H(p), c'est-à-dire des racines du polynôme

d(p).

On en conclut immédiatement que :

Un système linéaire est stable si et seulement si tous ses pôles sont à partie réelle

strictement négative ;

c'est-à-dire si sa réponse impulsionnelle est une combinaison d'exponentielles dont les

exposants réels sont tous négatifs (exponentielles décroissantes).

L'analyse graphique de la position des pôles de la fonction de transfert dans le

plan complexe permet de visualiser le type de stabilité (ou d'instabilité) qui affecte le

système considéré.

Stabilité : tous les pôles de la fonction de transfert ont leur partie réelle négative

(exponentielles décroissantes)

Stabilité

isymptotique

apériodique



Instabilité : l'un au moins des pôles de H(p) a sa partie réelle positive (au moins

l'une des exponentielles est croissante)



4.1.2. Règle de Routh

Cependant pour tester la stabilité, point n'est besoin de calculer impérativement

les racines du polynôme d(p). Parmi les divers critères algébriques couramment utilisés,

on peut citer le critère de Routh. La règle de Routh peut être formulée comme suit.

Soit le polynôme : d(p) = 1 + aj3 + a2p + ...

Le système est stable si et seulement si les déterminants de tous les blocs délimités sur

le tableau ci-dessous sont positifs. On ne teste évidemment que les n-1 premiers blocs

pour un polynôme de degré n. Les coefficients inexistants (an+i) sont remplacés par 0

dans le tableau.

aj 1 0 0 0 0 0

a3 a2 aj 1 0 0 0

a5 a4 a3 a2 aj 1 0

a7 a6 a5 a4 a3 a2

*9

Il vient les conditions suivantes :

- pour le 1er ordre : al > 0

- pour le 2ème ordre : ^ > 0 a2 > 0



- pour le 3ème ordre : a{ > 0 a^2 - a3 > 0 a3 > 0 ^X)

Quelque soit Tordre, la posïtivité de tous les coefficients a{ est une condition

nécessaire ; jusqu'à Tordre 2, elle est suffisante.

4.2. CAS DES SYSTÈMES ASSERVIS

4.2.1. Critère de NYQUIST

Nous avons déjà vu que la stabilité d'un système asservi dépend des pôles de sa

fonction de transfert en boucle fermée, c'est-à-dire des racines de son dénominateur :

l+Hb o(p) = l + K . G ( p ) = 0

Soit des racines de sa sensibilité : £ = 0

Si Z est le nombre de racines de Z à partie réelle positive et si P est son nombre

de pôles également à partie réelle positive :

* On sait, d'une part, que pour assurer la stabilité, les zéros de Z ne doivent pas être

contenus dans le demi-plan droit ; il faut donc :

Z = Q

* On démontre, d'autre part, que la condition nécessaire et suffisante pour que le

système soit stable est que la relation suivante soit vérifiée (théorème de CAUCHY) :



AArgE(jco)|r=-, = 27iP

Pratiquement, on préfère s'intéresser, non pas à la sensibilité Z du système, mais

à sa fonction de transfert en boucle ouverte :

I = l+H b o = 0

devient Hbo (jco) = K . G (jeo) = -1

II en résulte le critère de NYQUIST :

Un système asservi est stable si et seulement si lorsque son lieu de transfert en boucleouverte, décrit dans le sens des G) croissants, entoure le point (-1, 0) autant de fois que

sa sensibilité possède de pôles à partie réelle positive.

Le point A de coordonnées (-1,0) est appelé point critique du plan ; il jouera un

très grand rôle dans l'étude graphique de la stabilité des systèmes asservis.

Remarque : La démonstration de ce critère, qui s'appuie sur l'étude des fonctions

de la variable complexe et sur le théorème de CAUCHY, sera détaillée

dans le fascicule d'accompagnement de ce cours : support de cours et

de conférences.

Les cas de systèmes présentant des pôles à partie réelle positive (P ^ 0) sont assez

rares : on peut citer parmi ceux-ci le pendule inversé et la fusée :



La stabilité verticale du pendule inversé n'est assurée que par

le déplacement latéral compensateur du point d'articulation.

De même, dans le cas de la fusée, la poussée se situe en-dessous du centre de

gravité ; le système est instable en boucle ouverte. Pour stabiliser l'engin et pour luiimposer une trajectoire, on joue sur la commande de l'angle (3.


4.2.2. Critère du Revers

La plupart des systèmes couramment rencontrés dans l'Industrie ont des

fonctions de transfert en boucle ouverte qui ne possèdent pas de pôle à partie réelle

positive, aussi le critère précédent peut-il être simplifié.

Cette forme réduite du critère de Nyquist, valable uniquement pour les systèmes

asservis dont la fonction de transfert en boucle ouverte est stable, est désignée sous

l'appellation de critère du REVERS, qui s'énonce comme suit :

Un système asservi linéaire est stable si, en décrivant son lieu de transfert en boucle

ouverte dans le sens des fréquences croissantes, on laisse le point critique A (-1, 0) à

sa gauche.


Soit un système asservi présentant une fonction de transfert en boucle ouverte :

Hbo(jco) = K.G(ja))

L'équation caractéristique I(jco) = 0 qui permet de discuter de la stabilité du

système a déjà été transformée une première fois en l'écrivant sous la forme :

HboGœ) = K.G( jœ) = -l

Le critère du Revers exprime la stabilité du système par la situation de son lieu

de transfert en boucle ouverte par rapport à la position du point-critique A de

coordonnées (-1,0). Or la stabilité du système dépend en très grande partie du réglage

adéquat du gain statique en boucle ouverte K ; celui-ci n 'est donc pas connu a priori et,

même, il est à fixer en fonction de critères de performances (dont la stabilité).

De ce constat, on peut transformer l'équation précédente en l'écrivant sous la

forme :

G(jû)) = -l

II s'agit alors de comparer les positions relatives du lieu de transfert en boucle

ouverte G (jœ), gradué en pulsation co de 0 à +°o, et d'un point (correspondant à une

valeur donnée de K) courant sur un lieu dit lieu critique C(K) = K"1, gradué en gain Kde Oà +00.



On voit immédiatement que l'intersection des deux lieux, correspondant

respectivement à co0 sur G (jcô) et à K^ sur C(K), délimite deux zones sur le lieu

critique, telles que :

- si K < KO l'application du critère de Revers indique que le

système considéré est stable.

- si K > KO le système est instable.

Le point d'intersection, défini par K = K0, qui correspond au basculement de

l'état stable à l'état instable, conduit le système à être juste oscillant à la pulsation œ0 ;

c'est-à-dire que la réponse impulsionnelle du système est telle que :

MO = I>i e~ait + A,0sin(û)0t + <Po)i

La pulsation d'oscillation co0 est donnée par la relation :

Arg[Hbo(jcô0)] = -7i



et le réglage de gain est tel que :

K0=|G(jû>0f

Remarque 1 : les systèmes asservis stables pour K < K0 et instable pour tout K > KQ

sont dits systèmes réguliers.

D'autres systèmes, présentant plusieurs intersections du lieu detransfert G (jco) avec le lieu critique, sont dits systèmes à stabilité

conditionnelle.

Remarque 2 : Pour qu'une instabilité puisse apparaître, il faut au moins que

l'argument de la fonction de transfert en boucle ouverte puisseatteindre la valeur - n ; le point critique étant atteint pour :

Arg[G(jco0)] = -7i



Ceci nécessite que Von ait affaire à un système bouclé dont la fonction

de transfert en boucle ouverte soit au moins du 3eme ordre. En effet, les

systèmes du 1er et du 2ème ordre sont tels que :

lim Arg [G(jco)l = —w->°° L J 2 (premier ordre)

lim Arg [G (jco)] = - TE (deuxième ordre)C0->oo L V /J

dans ce dernier cas, cette valeur-limite n'est théoriquement atteinte

que pour K -4 +«° (impossibilité physique).

4.2.3. Le critère du Revers dans les autres représentations graphiques

En pratique, le plan de Black ou les diagrammes de Bode se révèlent plus

commodes d'emploi que la représentation des lieux dans le plan complexe.

* Plan de Black

Le point critique (-1,0) se transforme en un point A de coordonnées : 0 db, -TE.

Le système sera stable si, en

parcourant le lieu dans le sens de co

croissantes, on laisse le point

critique à droite.

Automatique S.A.L.


Pratiquement, il est plus astucieux de regarder si pour un argument de -71, le lieu

de transfert en boucle ouverte se situe au-dessus du point-critique (instable) ou en-

dessous (stable).

* Diagramme de Bode

Du fait de l'éclatement du lieu de transfert en boucle ouverte en deux

diagrammes (module et argument), il n'est plus possible de localiser le point critique

(module : 0 db ; argument : -n).

La règle pratique, proposée pour l'utilisation du plan de Black, est également

préconisée, dans ce cas.



4.3. MARGE DE STABILITÉ

4.3.1. Robustesse d'un système

Lors de la mise en équations d'un système asservi, on constate que dans le

modèle élaboré pour fixer ses performances il subsiste certaines incertitudes, relatives

notamment au processus à automatiser lui-même : modélisation forcément

simplificatrice, actionneurs exagérément sollicités, bruits de capteurs, conditions

d'utilisation extrêmes,...

De ce fait, le réglage des performances qui s'appuie sur la connaissance de lafonction G(jco) doit tenir compte d'un facteur de Robustesse du système, c'est-à-dire

du fait qu'une faible variation AG de la fonction de transfert G ne doit pas détériorer les

performances de l'ensemble et surtout ne doit pas entraîner l'instablité de la boucle.

La robustesse :

P<«>=^G(j<D)

est une fonction mal connue, qui croît généralement avec la fréquence.

Ceci revient à dire qu'il y a une certaine incertitude quant'à la position exacte du

lieu de transfert dans le plan ; incertitude que l'on peut matérialiser par des cercles, dont

le rayon est fonction de la pulsation et de la robustesse du système.



4.3.2. Marge de gain et marge de phase

De tout ce qui précède, on peut en déduire que pour qu'un système bouclé soitstable, il faut :

• qu'il respecte le critère du Revers (ou d'une façon plus générale le critère de

Nyquist).

• que son lieu Hbo (jco) ne s'approche pas trop du point-critique, pour ne pas avoir une

stabilité trop oscillatoire (oscillations certes amorties, mais décroissant de plus en

plus lentement au fur et à mesure que l'on se rapproche du point A).



• que l'incertitude AG sur la fonction G ne fasse pas basculer le lieu de transfert en

boucle ouverte de l'autre côté du point-critique (ce qui rendrait le système instable,

bien que stable théoriquement).

Ces deux derniers points conduisent le praticien à définir des marges de

stabilité (sur le gain et/ou sur la phase) comme bornes extrêmes des gains et des

déphasages parasites (dont on ne peut tenir compte dans la modélisation du système) qui

peuvent intervenir dans le processus et qui garantissent que le lieu de transfert en boucle

ouverte ne pourra jamais atteindre le point-critique.

Pratiquement, les valeurs raisonnables des marges de stabilité se situent pour :

- la marge de gain à : Gm = ±6db (soit rapports 2 ou 14)

- la marge de phase à : 0 = ± .—4




Remarque 1 : Dans la pratique, on préfère définir la qualité de la stabilité d'un

système en terme de marge de phase. En effet, l'argument de la

fonction de transfert étant indépendant du gain statique en boucle

ouverte K, il est plus commode de déterminer (par le calcul ou

graphiquement) la pulsation œ*, qui est telle que :

Arg [Hbo (jœ*)] = Arg[G(jœ*)] = -TT + 0m

et de calculer ensuite le gain statique K* de telle façon qu'il

corresponde à :

K* = G(jœ' )['

Remarque 2 : Pour les systèmes réguliers, marge de phase et marge de gain sont

liées ; par exemple, l'augmentation de l'une entraîne l'augmentation

de l'autre.

4.4. CAS DE LA RÉGULATION DE VITESSE

L'exemple de la Régulation de vitesse, que nous avons choisi pour illustrer les

avancées du cours, n'est pas du tout probant ici !

En effet, la fonction de transfert en boucle ouverte d'un tel système est du

premier ordre seulement. Son argument varie, suivant la fréquence, entre zéro et -n/2.



Son lieu de transfert en boucle ouverte est donc très éloigné du point-critique et

ne peut jamais l'atteindre. Un tel système est stable naturellement, quelque soit la valeur

donnée à son gain statique K. Sa stabilité est du type asymptotique apériodique.

La notion de marge de stabilité est dans ce cas précis inadéquate. Il faudra donc

s'appuyer sur d'autres critères de performances pour régler convenablement ce

dispositif (c.f. chapitre suivant : Précision et rapidité des systèmes de commande).

4.5. CAS D'UN ASSERVISSEMENT DE POSITION

Du fait du passage à la commande de position (qui résulte de l'intégrale de la

vitesse), la fonction de transfert en boucle ouverte type d'un asservissement de position

est :



Hbo(p) = -Tp(l + Tp)

Son argument est tel que :

fn Ârg [Hbo (jco)] = Arg [G(jcô)] - -I - + ArctgTCol

En s'appuyant sur un critère de stabilité, on peut rechercher par exemple lavaleur du gain statique K* qui confère au système une marge de phase 0m de 45°.

La marge de phase imposée sera atteinte pour la pulsation œ* telle que :

Arg[GGœ*)] = -7 i+0 m = -^

nsoit pour : Arctg TOD = —

4

d'où co* = T"1

Pour respecter la définition de la marge de phase, il faut que le gain statique en

boucle ouverte soit tel que :

K* = G(jco*f

ce qui donne ici :

K*=V2/r'



Un asservissement de position classique présentant en boucle ouverte deux pôles

: 0, T"1, respectera une marge déphasé de 45°si son gain statique en boucle ouverte est

réglé à la valeur : V^.T1.

Remarque : Si l'on choisit une marge de phase de 60°, on doit régler le système à :

^* 2 _! ( * 1 -ilK =-T CO =-î=T

3 l V3 )


CHAPITRE 5

PRÉCISION ET RAPIDITÉ DES SYSTÈMES DE COMMANDE

5.1. PERFORMANCES D'UN SYSTÈME

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la stabilité d'un système asservi

était fonction du réglage du gain statique en boucle ouverte ; suivant la valeur de celui-

ci, un même système (par exemple, du 3ème ordre ou plus) peut en effet être stable

apériodique, stable oscillatoire amorti, juste oscillant ou carrément instable.

Tout en se situant dans la plage des valeurs de K qui rendent le système stable,

on conçoit aisément que le choix d'un réglage donné de K aura une incidence sur les

autres performances que l'on est en droit d'attendre d'un système automatique, en

particulier en ce qui concerne la Précision et la Rapidité.

La précision d'un système asservi s'appréhende par Vétude de la grandeur

d'erreur, disponible à la sortie du détecteur d'écart, qui fournit en permanence une

Automatique S.A.L. chapitre 5 : Précision et Rapidité


indication entre ce qui est souhaité (commande) et une image de ce qui est effectivement

réalisé (mesure).

Considérons un système asservi stable au repos. Une sollicitation du système

entraîne une évolution du signal d'erreur dans le temps ; cette erreur sera la somme d'un

terme transitoire et d'un terme permanent. On peut donc distinguer :

• une précision dynamique, caractérisée par l'évolution du signal d'erreur

pendant le régime transitoire ; précision et rapidité sont intimement liées

durant cette phase d'évolution du système.

• une précision statique correspondant à l'erreur permanente observée.

D'une façon générale, le signal d'erreur dépend du système et des entrées

appliquées : commande e(t) et/ou perturbation w(t). Nous avons montré au chapitre 3

(§ 3.2) que :

eW = ïïïbj[E(p) + fW(pî

Si l'on a de sérieuses difficultés à minimiser l'erreur dynamique (bien que l'on

puisse agir sur la rapidité d'évolution du régime transitoire), l'on peut tout à fait

contrôler l'erreur statique en réglant le gain statique en boucle ouverte K, mais

également en agissant sur la forme de la fonction de transfert en boucle ouverte. Cette

seconde approche ouvre des perspectives de réglage des systèmes tout à fait

intéressantes (c.f. chapitre suivant : Compensation et synthèse des systèmes asservis).



5.2. PRÉCISION STATIQUE

5.2.1. Erreur due à l'entrée principale

Dans ce cas, l'erreur répond à la relation :

£(P) = T-ÏT?Ê(P)1 + Hbo(P)

Nous nous intéressons à Verreur statique permanente, que l'on peut obtenir

directement en appliquant le théorème de la valeur finale :

y-, / \

lîm e(t) = lîm pe(p) = limp , .t.»- v PÔF VF' p_ôF i + Hbo(p)

On voit que l'erreur permanente dépend à la fois de la forme de l'entrée

appliquée et du système lui-même, par l'intermédiaire du comportement de sa fonction

de transfert en boucle ouverte lorsque p —> 0.

île Les entrées classiquement appliquées aux systèmes bouclés (dites entrées

canoniques} peuvent se mettre sous la forme générale suivante :

e(t) = A t-.r(t)m!

où m est l'ordre de 1 ' entrée



et A l'amplitude du signal (égale à 1, si l'on considère le signal-unité).

Les entrées les plus courantes correspondent à :

m = 0 échelon-unité : F(t)

m = 1 échelon de vitesse (rampe) : t.F(t)

m = 2 échelon d'accélération : — t2.F(t)

La transformée de Laplace de telles entrées est de la forme générale :

E(P)~

ri»** D'autre part, la plupart des fonctions de transfert en boucle ouverte rencontrées

dans les asservissements peuvent se mettre sous la forme générale :

„ , x v r , . K n(i-^'.p)Hbo(p) = K.G(p) = — .-^ —J-

p n(i-p-;.P)

où K est le gain statique en boucle ouverte

et n le nombre de pôles nuls (ou nombre d'intégrations) de Hbo(/?J.



T£

En observant que Hbo(p) se comporte comme — quand p —» 0, on peut écrire :Pn

n-m

lime(t) = lim A . —t->- p-ô p

n + K

L'exploitation de cette expression, selon l'ordre m de l'entrée appliquée à un système

présentant en boucle ouverte n intégrations et un gain statique K, permet d'établir le

tableau suivant :

Nombre d'intégrations Ecart de position Ecart de traînage Ecart en accélération

de Hbo (p) Entrée en échelon de Entrée en échelon- Entrée en échelon-position rampe accélération

m = 0 m= 1 m = 2

n = 0 A -^°° -^ °°

1 + K

n= 1 0 A -^<~

K

n = 2 0 0 A

K

n = 3 0 0 0


Conséquences :

• Pour annuler l'erreur statique à une entrée d'ordre m, il faut et il suffit que

la fonction de transfert en boucle ouverte du système considéré contienne

(m + 1) intégrations.

• Lorsque l'erreur permanente existe, celle-ci est d'autant plus faible que le

gain en boucle ouverte de l'asservissement est grand.

Le schéma suivant illustre ces différents cas, pour un asservissement sollicité par une

entrée-rampe (échelon de vitesse) :


5.2.2 Ecart dû à une perturbation

Dans ce cas, le terme d'erreur dû à la perturbation s'exprime par :

E = ?-wl + Hbo

e(p) - -)- . ""(P) . W(p)Di(PJ l + Hbo(p)

où Dj(p) représente la fonction de transfert des éléments de la chaîne directe,

situés entre la sortie du détecteur d'écart et le point d'application de la perturbation

(éléments en amont de celle-ci) (c.f. chapitre 3 - § 3.2.1)

Soit Kj le gain de ces éléments et ^ le nombre d'intégrations correspondant.

On peut alors écrire :

pni j£lime(t) = lim p e(p) = lim p . — . W(p)t->~ v ' P Ô F vw

PôF K, p n + K VW

En supposant que la perturbation affecte la forme de l'une des entrées canoniques :

W(P) = T



il vient :

, . , . , . KA pni"m

hme(t) = lim .t-»~ w P-+O K + pn K!

En tenant le même raisonnement que précédemment, on constate que l'existence

ou non d'une erreur permanente due à une perturbation dépend uniquement des

intégrations placées en amont du point d'application de la perturbation.

De même, lorsque l'erreur existe, elle est d'autant plus faible que le gain

statique de la portion de la chaîne directe située en amont du point d'application est

élevé.

5.2.3. Conséquences pratiques

En règle générale, la forme des perturbations est plutôt du type aléatoire et leurs

points d'application dans une chaîne sont difficilement localisables.

De l'étude précédente, on retiendra surtout que la précision statique d'un

asservissement, liée tant au signal de commande qu'aux perturbations possibles, sera

d'autant meilleure que le gain de la chaîne sera plus important immédiatement à la sortie

du détecteur d'écart (d'où la situation donnée à l'amplificateur basse puissance).

Si le système tolère des intégrations supplémentaires (voir § suivant), il faut

également les placer le plus près possible du détecteur d'écart (d'où la place donnée aux

circuits correcteurs, comme on le verra au chapitre suivant).



5.2.4. Dilemme Précision-Stabilité

Si l'on raisonne d'un point de vue de la Stabilité, le réglage optimal conduit à

affecter au système un gain statique en boucle ouverte K*, qui lui confère une certaine

marge de phase choisie a priori.

Si l'on raisonne d'un point de vue de la Précision, l'on voit que :

- celle-ci sera d'autant plus grande que le gain statique K sera plus

élevé ; ceci au détriment de la stabilité (réduction de la marge de

phase, voire basculement dans l'instabilité).

- qu'elle sera absolue (erreur statique nulle), si le système possède

m + 1 intégrations en boucle ouverte. On est donc tenté de rajouter des

intégrateurs dans la chaîne pour atteindre une précision parfaite.

Toutefois, l'augmentation inconsidérée du nombre d'intégrations dans

la chaîne conduit à l'instabilité (en effet, chaque terme en — induitP

7lun déphasage de , quelque soit co).

On voit donc que la tentation d'augmentater sans discernement la précision est

tout à fait illusoire ; la recherche d'un compromis, tenant compte du dilemme

Précision-Stabilité, est absolument nécessaire.



5.3. PRÉCISION DYNAMIQUE - RAPIDITÉ

5.3.1. La Rapidité : une qualité essentielle

On peut difficilement parler de précision dynamique lorsque le signal d'erreur

évolue de l'instant initial, où le système est sollicité par la grandeur de commande (ou

par une perturbation), jusqu'à l'établissement du régime permanent, c'est-à-dire durant

le régime transitoire.

Si on ne peut agir sur la valeur de l'erreur à l'instant initial (l'écart est à cet

instant précis égal au signal d'entrée), on peut néanmoins influé sur le déroulement du

régime transitoire (type de stabilité apériodique ou oscillatoire amortie) et sur sa durée

(rapidité).

Tout est donc lié ; si l'on a évoqué plus haut le dilemme précision-stabilité, on

peut également dire que le couple précision-rapidité résulte d'un compromis dans le

réglage du gain de la chaîne.

On conçoit aisément qu'un système automatique se doit de réagir le plus

rapidement possible à toute sollicitation de la commande et de corriger également très

vite toute déviation due aux perturbations subies.



La rapidité d'un système se mesure par son temps de réponse.

5.3.2. Définition du temps de réponse

Très peu de systèmes sont à réponse instantanée.


La plupart des systèmes physiques évoluent d'un état stable à un autre état stable

selon leurs propriétés intrinsèques et les réglages (de gain en particulier) qui les

affectent.

Ainsi en ce qui concerne la Rapidité, celle-ci répond à la définition suivante :

Le temps de réponse à 5% est le temps au bout duquel, pour une entrée en

échelon de position, le système de fonction de transfert H(p) atteint sa valeur définitive

à 5% près et reste ensuite compris entre 95% et 105%.


• Si le système est du premier ordre, de constante de temps T, un calcul simple montre

que le temps de réponse à 5% est :

Tr «3t

• Dans le cas d'un système du second ordre, deux paramètres dynamiquesinterviennent : la pulsation propre non amortie con et le coefficient d'amortissement

réduit z qui, suivant sa valeur par rapport à l'unité, engendre un régime transitoire

amorti (z < 1) ou un régime apériodique (z > 1).

Le temps de réponse réduit à 5% (Trcon) est donné, en fonction du facteur z,

sur la courbe suivante :


On constate qu'un système, décrit par une fonction de transfert du second ordre,

présente la plus grande rapidité pour un réglage à 0,707 de son facteur d'amortissementréduit.

pour z = 0,707 Trcon = 2,93

5,3.2. Relation entre Rapidité et Bande passante

Soit un système de fonction de transfert H(jco), soumis à une analyse harmonique

(sollicitation sinusoïdale). Le signal de sortie recueilli est lui-même sinusoïdal (aprèsdisparition du régime transitoire).

Si le signal d'entrée est de la forme : E0sincot, le signal de sortie

permanent sera :

s(t) = E01 H(jco) | sin[cot + ArgH (jco)]

La bande passante d'un système peut se définir comme sa faculté à transmettresans atténuation notable les signaux sinusoïdaux qui le traverse :


La bande passante est définie à -3db (atténuation tolérée de 30%). Elle s'étend,

pour les systèmes habituellement traités en Automatique, entre zéro et la pulsation de

coupure coc. Ces systèmes sont dits passe-bas.

D'une façon générale, plus la bande passante d'un système est étendue plus il est

rapide.

Dans le cas d'un système du premier ordre, sa pulsation de coupure est

l'inverse de sa constante de temps :

« c = Y T r = 3 T

Dans le cas d'un système du second ordre, pour un facteur z donné sa bandepassante est proportionnelle à sa pulsation propre non-amortie con, tandis que son temps

de réponse lui est inverse.

5.4. CAS DE LA RÉGULATION DE VITESSE : réglage de performances

5.4.1. selon un critère de Précision

S'agissant de précision statique, on se réfère à la présentation de la régulation

de vitesse du tour automatique (dont nous nous servons comme exemple canonique),

qui a été donné au paragraphe 2.3. du chapitre 3 de ce cours.



En régime établi, on a démontré que :

£l = —^— e--^ rAC rk + Akg k(k + Akg)

A commande constante, on peut poser :

AeQ0 = vitesse imposée par la commande

k +Akg

Lorsqu'un couple-résistant apparaît, la vitesse chute de :

AQ - , R r- ACrk(k + Akg)

Afin de régler le système (par l'intermédiaire du réglage du gain A de

l'amplificateur de commande), on peut par exemple tolérer une variation de vitesse

relative :

AH< x%

«0

pour une variation brutale du couple-résistant ACr donnée.

La donnée de ACr et du pourcentage x permet de remonter à la valeur A, qu'il

faut donner au gain pour respecter le cahier des charges imposé.



Remarque : Le réglage A du gain de l'amplificateur revient à régler le gain

statique K en boucle ouverte, puisque :

AkgK-—g-

k

5.4.2. selon un critère de Rapidité

La constante de temps T du système bouclé est (c.f. paragraphe 33.1. du chapitre 3) :

T1 = -TT— avec T : constante de temps du moteur

1 + —-k

L'ensemble étant du premier ordre, son temps de réponse à 5% est :

Tr = 3T

On voit donc que l'on peut imposer au système un temps de réponse (à une

perturbation de couple) en agissant sur la valeur du gain A de l'amplificateur.

Remarque : II est évident que la valeur du gain A définitivement adoptée doit

résulter d'un compromis entre les exigences de rapidité et de

précision.



CHAPITRE 6

COMPENSATION ET SYNTHESE DES SYSTEMES ASSERVIS

6.1. INSUFFISANCE DE LA COMMANDE PROPORTIONNELLE

Dans une chaîne d'asservissement, le gain des préamplificateurs et des

amplificateurs (placés dans la chaîne directe à la suite du détecteur d'écart) est réglable,

généralement dans d'assez larges proportions. Le réglage de ce gain A donne ainsi la

possibilité d'ajuster la valeur du gain statique en boucle ouverte K du système en

fonction des performances désirées pour l'asservissement.

Pour illustrer notre propos, considérons le cas très classique d'un asservissement

de position, assujettissant la position angulaire 0 d'une charge à une tension de

commande proportionnelle à une position angulaire désirée 8d :

Automatique S.A.L. chapitre 6 : Compensation et synthèse



* sa fonction de transfert en boucle fermée (du deuxième ordre) :

Htf(p) ï y1 1 A 21+ 0+ —0

K F K F

, . . /K"présentant une pulsation propre non-amortie : con = J —

et un coefficient d'amortissement réduit : z = —7=2VKT

La seule possibilité de réglage étant d'agir sur la valeur du gain A (et donc du

gain statique en boucle ouverte K), on voit donc que les performances de ce système

vont dépendre essentiellement du choix effectué, privilégiant soit une bonne stabilité,

soit une grande rapidité, soit encore une bonne précision.

Le tableau de la page suivante résume la situation et les performances atteintes,

dans ces différents cas.

Remarque : Ce tableau est calculé en fonction de certains groupements de paramètres,tels que : KT, Ta)n? Tr /T, de telle façon qu'il puisse être utilisé pour tout système

présentant une fonction de transfert du deuxième ordre.



Ce tableau est assez éloquent par lui-même pour souligner l'insuffisance notoire

de la commande proportionnelle (par réglage du gain des amplificateurs uniquement)

pour conférer à un système asservi des performances acceptables ; le choix d'un

compromis entre les exigences de Stabilité, de Précision et de Rapidité conduirait à un

résultat décevant et plutôt médiocre.

6.2. COMPENSATION PAR CORRECTEUR EN CASCADE

6.2.1. Principe de la correction

Pour pallier l'inconvénient majeur présenté par la seule commande

proportionnelle, on conçoit d'agir également (et conjointement) sur la forme de la

fonction G(p) en vue de déformer, de modeler, le lieu de transfert en boucle ouverte,


Critère privilégié KT z Stabilité Rapidité Précision statique Commentaires

A T can Tr/T Ecart de Ecart deposition tramage

STABILITE Marge de 1,414 0,42 45° 1,19 6,55 0 70% Pas assez rapide,phase traînage tropde 45° important

RAPIDITE Temps de 0,50 0,70 65°30 0,70 4,18 0 200% Traînage prohibitifréponse

minimum

PRECISION Ecart de 10 0,16 18° 3,16 6,33 0 10% Régime transitoiretraînage de trop peu amorti,

10% oas assez rapide


K! G : système initial, stable, peu précis et peu rapide.

K2 G : choix d'une valeur de K satisfaisante pour la précision et la rapidité,

mais rendant le système instable.

K2 G* : déformation du lieu de transfert cumulant les avantages de l'un et

l'autre.

On agit doncy non plus sur le gain K seul, mais également sur la fonction G(p)

afin que le système satisfasse toutes les exigences de performances souhaitées.


afin que celui-ci permette l'obtention des performances désirées par le concepteur de

l'asservissement.

Le schéma ci-dessous montre l'esprit de la démarche entreprise :


Ceci est obtenu par l'adjonction au système d'un organe de traitement de

l'information, appelé compensateur, circuit correcteur ou régulateur, et tel que l'on

substitue à :

Hbo(p) = K G(p)

une nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte :

H;O(P) = K*.G*(P)

avec: K*.G*(p) = K . G(p). C(p)

où C(p) représente la fonction de transfert du circuit correcteur.

6.2.2. Le correcteur P J.D.

Le traitement subi par le signal d'erreur est généralement de trois types :

* Action proportionnelle

Nous en avons vu les limites (c.f. § 6.1).



* Action intégrale

8C(t)-=T/o8(T>dT1 i

ou £C(P) = — £(P)TiP

Le temps TTi est le temps d'action intégrale ou le taux d'action intégrale. Ce

temps Tj est réglable et permet de doser la part d'action intégrale du signal. On voit que

pour minimiser cette part, il faut augmenter Tj.

Ce type d'action est favorable à une amélioration notable de la précision. En

effet, la fonction de transfert en boucle ouverte de l'ensemble devient :

H' M l K "H'rl-p)HbolP) = r— -~ÏÏ"-T; :T* ? nfi-pf'.p)

Ce qui revient à augmenter d'une unité le nombre d'intégrations du système et

donc à annuler l'erreur permanente à une entrée d'ordre immédiatement supérieur (c.f.

chapitre précédent § 5.2.).

Par contre, une action intégrale pure tend à rendre l'asservissement instableje

par un déphasage supplémentaire de - — ; elle doit donc être combinée à d'autres

types d'actions (c.f. chapitre précédent, § 5.2.4).



* Action dérivée

^w-T,i

8 c (p)=T d . P . e (p)

Td est le temps d'action dérivée ou le taux d'action dérivée. Cette action

procure au système une avance de phase (argument de Hbo (jœ) moins négatif), qui

éloigne le lieu de transfert au boucle ouverte du point critique. Ceci a pour

conséquence une augmentation de la stabilité du système asservi (c.f. chapitre 4).

Par contre, elle présente deux inconvénients :

* le gain statique en boucle ouverte diminue. Cet accroissement de la stabilité s'assortit

d'une diminution de la précision statique ;

* le terme "dérivée" procure un gain élevé aux hautes fréquences. Il favorise donc

l'amplification du bruit créé par les signaux parasites (de hautes fréquences) au

détriment du signal utile (basses fréquences) (c.f. Cours deMécatronique. Chapitre 1. § 1.3.2).

On peut pallier ce dernier inconvénient en utilisant une pseudo-dérivée de

fonction de transfert :

T -r\

—-— (filtrage du premier ordre)1 +Tp



* Action combinée des trois types de correction. Régulateur PID

Ces différentes actions sont utilisées par couple (P.L, P.D.) ou les trois en même

temps (P.I.D.), profitant des avantages de chacune d'entre elles et contrecarrant

mutuellement leurs inconvénients.

On est donc amené à réaliser un correcteur de type P.I.D. qui exécute, par

exemple, l'équation suivante :

ec(t) - A |e(t) + 1 jje(t) dT + Td £ e(t)|

et qui présente une fonction de transfert du type :

CC(P),A 1 + T iP + T i T dP 2

e(p) * TlP

Remarque 1 : Pour le calcul et la réalisation de ces différents circuits correcteurs, on se

reportera utilement au chapitre 2 du cours de Mécatronique, intitulé : les

organes de réglage : les correcteurs P.I.D. analogiques. La deuxième

partie de ce chapitre 2 est en particulier consacrée à la réalisation d'un

régulateur analogique industriel universel.

Remarque 2: II existe plusieurs méthodes pratiques pour régler valablement les

diverses actions P, I, D des régulateurs associés à un processus donné.

Ces méthodes sont abondamment décrites dans la littérature spécialisée.

La plus connue est la méthode de ZIEGLER et NICHOLS, qui s'appuie

sur le relevé de la réponse indicielle du processus.



On montre facilement que : C(p) = c = -e(p) 1 + TP

en posant : T = R C2 constante de temps du correcteur

Ca = —- facteur d'avance (ou de retard) de phase

v^2

Suivant la valeur du coefficient a Ton aura affaire soit à un circuit correcteur à avance

déphasé (a > 1), soit à un circuit correcteur à retard déphasé (a < 1).


6.2.3. Compensation par avance ou retard de phase

Pour un asservissement particulier, on peut être amené à calculer un

circuit correcteur spécifique parfaitement adapté au cas traité, plutôt que d'utiliser un

régulateur universel du type PID.

Soit le montage suivant :


* Circuit à avance de phase (a > 1)

a = 2 ; T = 10 ms

Le tracé correspond à : 1/a. C(p)

* Circuit à retard de phase (a < 1)

a = 0,5 ; T = 10ms

Le tracé correspond à : 1/a. C(p)

Automatique S.A.L.


* Correcteur Avance-Retard de phase

On constate que les correcteurs à avance de phase agissent plus efficacement

dans la zone de fréquences du lieu de transfert proche du point critique (plutôt Hautes

Fréquences), alors que l'action des correcteurs à retard de phase se fait plus sentir en

Très Basses Fréquences.

Comme pour le régulateur universel P.I.D., on peut être amené à combiner les

différentes actions, afin de profiter à la fois des avantages de l'avance de phase

(renforcement de la Stabilité) et des avantages du retard de phase (accroissement de la

Précision), puisque les deux types de correction agissent dans des bandes de fréquences

différentes.

Un exemple de réalisation pratique d'un tel correcteur a été donné au

paragraphe 2.2.4. du chapitre 2 du cours de Mécatronique (les organes de réglage :

les régulateurs PID analogiques).

6*2.4. Influence d'une correction sur la Rapidité

Dans ce qui précède, on a souligné l'action bénéfique de l'une ou l'autre des

compensations sur la Stabilité du système concerné ou sur sa Précision.

* D'une façon générale, la correction par avance de phase a tendance à

décaler l'échelle des fréquences vers des phases moins négatives, ce qui revient à

augmenter la fréquence de résonance du système en boucle fermée.

Automatique S.A.L, chapitre 6 : Compensation et synthèse


La bande passante du système asservi compense s en trouve augmentée, d où

une augmentation notable de la rapidité des asservissements dotés d'une correction à

avance de phase.

* La compensation par retard de phase, agissant plutôt vers les basses

fréquences, ne modifie pas d'une façon significative la bande passante du système

corrigé (elle a tendance à la diminuer légèrement) ; la rapidité du système en est donc

peu affectée.



6.3. CAS DE LA REGULATION DE VITESSE

La possibilité de disposer d'actions autres que l'action proportionnelle

(compromis sur la valeur du gain A, afin de ménager à la fois les exigences de rapidité

et de précision, évoqué au § 5.4 du chapitre précédent) donne beaucoup plus de latitude

dans la conception de l'asservissement.

Initialement le système étudié est du premier ordre :

Hbo(p)=-^—bovw 1 + Tp

Akgavec : K = -

k

On peut donc ajouter, sans aucun risque d'instabilité, une action intégrale pure :

1

TiP

Le correcteur intégral, placé en cascade avec l'amplificateur de gain A dans la

chaîne directe, a pour effet d'assurer une précision parfaite à une entrée (commande ou

perturbation) en échelon-unité :

lim AQ = Ot -* oo

pour toute variation brutale ACr du couple-résistant.



En régime permanent, la vitesse de rotation du mandrin du tour sera

rigoureusement constante quelque soient les aléas de Vusinage (profondeur de passe,

points durs,...).

N'ayant pas de souci de stabilité, on peut également agir sur le temps de réponse

du système en rajoutant un correcteur à avance de phase du type :

1 + Tp

l + T*p

Tavec : T* = — < T

a

Le correcteur préconisé sera donc globalement :

C(p) = —-. +T

P avec a>lTiP 1+Ip

a

La fonction de transfert en boucle ouverte du tour devient alors :

w* M K 1HbolP; = 7j7 • ~i j~1 P l + - P l

\ a /

A la constante de temps T du moteur, on a substitué une constante de temps plus

faible.

TT* =~-

a

Automatique S. A.L. chapitre 6 : Compensation et synthèse


En boucle fermée, le système est du deuxième ordre. Les possibilités de réglage

des performances (stabilité, rapidité) sont maintenant plus nombreuses ; on dispose en

effet du :

• gain A de l'amplificateur,

• taux d'action intégrale Ti5

• facteur d'avance de phase a.

En agissant judicieusement sur ces trois réglages, on peut par exemple conférer

au système un temps de réponse minimum (rapidité optimale), ou envisager un réglage

intermédiaire ménageant un compromis réfléchi entre les exigences de Rapidité (par le

choix de a) et celles de Stabilité (par le choix de A) (c.f. le tableau du § 6.1.).

6.4. COMPENSATION PAR BOUCLE DE RETOUR

6.4.1. Principe de la contre-réaction interne

On peut accroître les performances d'un asservissement en créant une boucle

interne de contre-réaction. Ce type de correction est couramment utilisé dans le cas

d'un asservissement de position, où Ton crée une contre-réaction tachymétrique qui

permet un contrôle permanent à la fois de la position et de la vitesse. Cela revient à

asservir en vitesse le moteur qui sert d'actionneur dans la chaîne déposition.



On dispose donc des deux boucles imbriquées, dont les paramètres de réglagesont:

• le gain A de l'amplificateur d ' entrée

* et le taux de contre-réaction tachymétrique X.

Le calcul de ce système donne :

Hbo(P) = .—VnP ÀdB + -i-v

H(P)

H (n) %& 1 l

AP) <p) " r i + Mn JL-JLaA aAB H(p)

où H(p) représente la fonction de transfert de l'ensemble moteur-réducteur-charge.



Dans l'hypothèse où l'on utilise un servomoteur à courant continu, la forme

mathématique de cette fonction de transfert dépend du type de commande adopté :

* Si le moteur est commandé par sa tension d'induit :

H(p) = — avec T = —*-vw k(l + Tp) k2

où : J = Jm + —TT inertie ramenée à l'arbre-moteurn"

ke - kc - k

* Si le moteur est commandé par son courant d'induit :

H<»>-J?Nota : Ces modèles ont été développés dans le cours de Mécatronique, au

chapitre 3 portant sur les moteurs à courant continu, dans la 3ème partie du

cours (Actionneurs électriques).

Remarque : Selon la commande adoptée, l'amplificateur de puissance de gain B (non-

réglable) est soit de type tension-tension, soit de type tension-courant (c.f.

cours de Mécatronique, 1ère partie, chapitres 4 et 5).



6.4..2. Cas d'une commande en tension

Remarque : Dans ce cas, la boucle interne correspond à la régulation de vitesse, qui a

servi de fil conducteur tout au long de ce cours !

La fonction de transfert H(p) de l'ensemble Moteur-Réducteur-Charge est du premier

ordre. Le calcul de la fonction de transfert en boucle fermée : conduit à unee(p)

fonction du deuxième ordre, de :

1• gain statique : -

a

, . . fâkAB• pulsation propre non-amortie : en = IF F F n Y nRJ

• facteur d'amortissement réduit : z = — (k + XdB) /2 V ;VaABRJ

On voit donc, qu'en agissant sur le réglage du gain A, on peut imposer au

système une pulsation œn choisie puis, en réglant cette fois-ci le taux de contre-réaction

tachymétrique X, choisir un facteur d'amortissement z à sa convenance.

Remarque : en agissant sur le taux X, on ne peut qu'augmenter le facteur

d'amortissement z, ce qui peut être gênant pour un système qui paraîtrait

déjà trop amorti...



On peut pallier cet inconvénient, en créant une réaction positive (et non

plus une contre-réaction négative) :

Dans ce cas, œn n'est pas affectée, mais z devient :

z-(k-MB).p^v ;VABRJ

On peut donc ainsi diminuer le facteur z (ce qui rendra l'asservissement

plus nerveux), en veillant cependant à ne pas trop l'affaiblir, voire à le

rendre négatif, ce qui rendrait l'asservissement respectivement trop

oscillatoire et à la limite instable !

Automatique S. A.L. chapitre 6 : Compensation et synthèse


6.4.3. Cas d'une commande en courant

Dans ce cas, la fonction de transfert H(p) de l'ensemble est un intégrateur pur.

La fonction de transfert en boucle fermée de l'ensemble est aussi du deuxième ordre, de

même gain statique -, mais de :a

/âkAB~• pulsation propre non-amortie : con = J

\f nJ

* facteur d'amortissement réduit : z = — À,d J2 VaAJ

Là aussi, on peut régler indépendamment dans d'assez larges proportions les

deux paramètres con et z de la fonction de transfert en agissant sur les valeurs du gain

A et du taux de contre-réaction tachymétrique A,.

6.4.4. En conclusion

On voit donc les effets de ce type de correction dans une boucle de retour

spécifique :

* en augmentant le gain A (donc le gain statique en boucle ouverte K), on augmente la

précision et la bande passante (donc la rapidité) ; mais on diminue le facteur

d'amortissement, accroissant la tendance à l'oscillation de la réponse de

l'asservissement ;



* en jouant sur le taux de contre-réaction tachymétrique X, on peut retrouver un

amortissement correct vis-à-vis du réglage de la stabilité.

D'une façon générale, l'association d'un correcteur P.I.D. placé dans la chaîne

directe avec une boucle interne de retour accroît d'autant plus les possibilités de réglage

et Vobtention de performances optimales de Vasservissement en découplant le choix

de chacun des critères de Stabilité, de Précision et de Rapidité.


Réseaux à Avance de phase :

Diagrammes de Bode tracés pour différents valeurs du facteur d'avance de phase a.


***fJMSB INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYONJ> m L Y & H

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génie mécanique construction

3èmeannée

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^^SUPPORT DE CONFERENCES

AUTOMATIQUE

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MhdlJ laboratoire d'automatique industriellev. 2 x© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1997], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Contenu

• Calcul opérationnel - Transformation de Laplace

• Tables de transformées de Laplace (fonctions usuelles en Automatique)

• Systèmes du premier ordre : quelques exemples de processus

• Systèmes du second ordre : relations et abaques

Ce document d'accompagnement des cours de Mécatronique et

(Âutomatique, dispensés en 3ème année du département de Génie

Mécanique Construction, est un outil de travail indispensable.

Il réunit un certain nombre de résultats, tables, graphes et abaques, dont

l'usage est très fréquent lors de l'établissement d'un projet de système

asservi et/ou de système mécatronique.


TRANSFORMATION DE LAPLACE

1.1.Définition

Soit une fonction du temps f(t), définie pour t>0 et nulle pour t<0 ; à cette fonction f(t), onfait correspondre la fonction F(p) de la variable complexe p, appelée transformée de Laplacede f(t) et définie par la relation :

+00

F(p) = 4f(t)}=Je-"f(t)dt (1.1)0

L'existence de la transformée F(p) suppose naturellement que l'intégrale converge. Par lasuite, on supposera que cette transformée existe.

La correspondance entre f(t) (pour t>0) et F(p) est biunivoque : f(t) est dite transforméeinverse de F(p).

+00

f(t) = {F(p)}=Je')tF(p)dp (1.2)0

Les tableaux, présentés plus loin, donnent les transformées de Laplace de quelquesfonctions usuelles.

Remarque : La variable de Laplace "p" est habituellement notée " s" par les auteurs anglo-saxons.

1.2. Quelques propriétés de la transformée de Laplace

1.2.1. Associativité

Soient 4f(t)}= F(p) et {g(t)}= G(p)

alors: | f (t) + k2-g(t)}= k1 F(p)+ k2 G(p)| (1.3)

ki et k2 sont des constantes.

1.2.2. Dérivation

{dfl—I = p^{f(t)}- f(0+) = pF(p)- f((T ) (1.4)

On peut généraliser à l'ordre n :

1


J^4= pn F(p)- p"'1 f(0+)- P"'2 f (0+)- fn(0+) (1.5)ldt«J

Dans le cas des systèmes asservis, nous aurons souvent à traiter des fonctions qui sontnulles à t=0+, ainsi que leurs dérivées.

On obtient alors :

~7dfi^ldtJ=pF(p) (L6)

p apparaît ainsi comme l'opérateur de dérivation.Toujours dans le cas particulier ou la fonction et ses dérivées sont nulles :

f d n f ]^|dFJ=pnF(p) (L7)

Ce théorème de la dérivation est important car il permet de remplacer une équationdifférentielle par une équation algébrique.

Exemple :

Soient : {y(t)}= Y(p) et ^{x(t)}= X(p)y + 2y + 3y = 4x

La transformée de Laplace des deux membres de cette équation différentielle permetd'écrire (application des relations 1.3 et 1.7) :

(p2+2p + 3)Y(p) = 4X(p)On peut remarquer que le polynôme en p2 correspond à l'équation caractéristique del'équation différentielle.

1.2.3. Intégration

^{Jf(t)dt} = -F(P) (1.8)

1.2.4. Théorème du retard (translation dans le domaine temporel)

Si ^{f(t)}= F(p), alors ^{f(t-1)}= e-TpF(p)

La quantité e~Tp est quelquefois appelée " opérateur retard".

2


Exemple :

Si on considère une canalisation dans laquelle circule, à vitesse constante V, un fluide àune température 0(t) en un point M, on peut écrire qu'au point MI, la température 6i(t)

est telle que pour 6i(t)= 0(t-T) avec T = —.

Soit encore, en transformée de Laplace :e1(p)=c-1*e(p)

1.2.5. Théorème des valeurs finale et initialeLorsqu'on ne connaît pas une fonction f(t), mais que l'on connaît sa transformée de

Laplace F(p), on peut obtenir les valeurs initiales f(0+) et finale f(°°), si elles existent,directement à partir de F(p) par les relations suivantes :

Valeur initiale: f(0+) = limpF(p) I (L1°)p_»oo

Valeur finale: f(°o) = limpF(p) (l 11)p->o v * '

Exemple :

aSoit F(p) = ———— (a et T sont des constantes).

p( l+lp)Les relations (1.10) et (1.11) donnent immédiatement :

f(0+)=0 etf(oo) = a

3


_J_

A partir de la quantité f(t) qui est égale à a(l-e T)(pour t>0), on retrouve bienévidemment le même résultat.

1.2.6. Intégrale de convolution ou théorème du Duhamel

tSoit la fonction f12(t) = Jf1(t-T)f2(T)di; (1-12)

o

Cette expression peut s'écrire symboliquement :

fi.2(t) = fi(t)*f2(t) (1.13)

fi2 est appelée produit de convolution de f\ et f2.

Si l'on pose F12(p) = ^{f12(t)}> on peut écrire :

^{fi(t)*f2(t)} = F12(p) = F1(p).F^)| (1.14)

Cette propriété de la transformation de Laplace, très utilisée en Automatique, estparticulièrement importante car elle transforme un produit de convolution (1.13) en unproduit simple (1.14).

Inversement, si :

G12(p) = G1(p)*G2(p) (1.15)

on démontre que

gi2(t)=gi(t).g2(t) (1.16)

1.3. Exemples d'utilisation en Automatique

1.3.1. Exemple 1

Soit un moteur à courant continu commandé par une tension v(t). On montre que sa vitessede rotation co(t) est liée à v(t) par la relation différentielle :

dcôT——h co = k v (k et T sont des constantes)

On pose : Q(p) = {co(t)} et V(p) = ^r{v(t)}

4


La transformée de Laplace de l'équation différentielle permet d'écrire :

(Tp+l)fl(p) = kV(t)

Soit Q(p) = -J_V(p)

kLa quantité H(p) = -—=7- est appelée fonction de transfert du moteur.

1+ 1 p

fO si t < 0Si on applique au moteur une commande v(t) définie par: v(t) = i . ., appelée

[v0 si t > 0 ^>f échelon", on a :

vw-i

donc:û(p) = H(p)^ = ?

L'utilisation des tables de transformées de Laplace permet d'écrire directement :

tco(t) = k v0 (1 - e~") (pour t>0)

Ce premier exemple montre la facilité de résolution d'une équation différentielle parutilisation de la transformée de Laplace.

1.3.2. Exemple 2

La masse de liquide m(t) dans un réservoir est liée, moyennant quelques hypothèses, audébit d'entrée qe(t) par la relation différentielle :

dmT -j—+m = X qe (t et À, sont des constantes)

On pose ^{m(t)}= M(p) et ^{qe(t)}= Qe(p)

La fonction de transfert de ce réservoir peut donc s'écrire

M(p) TT X

W R (P )~ÎÏTP

D'autre part, le débit d'entrée qe est piloté par une vanne automatique commandée par unetension u(t) et les lois de la mécanique permettent d'écrire :

5


d2qe dqea 2

e + b--77H- cqe = u(t) (a, b et c sont des constantes)

En posant uf{u(t)} = U(p), la fonction de transfert de la vanne est :

Qe(P) I I ( p ) 1

U(p) ~ AP;~c + bp + ap2

La fonction de transfert entre la masse m(t) et la commande u(t) est donc :

^=H(p) = HR(p).Hv(p) = (1 + Tp)(G^bp + ap2)

et l'équation différentielle correspondante :

d3m d2m dmaT-jpr+(bT+a)^r+-(cT+b)—+ cm = Àu

1.3.3. Exemple 3 :4

Soit l'expression F(p) = ———-———-p(l + 2p)(l + 3p)

Elle peut se mettre sous la forme :

-i 16 36F(P) -~+

1 + 2p~ l + 3p

L'original de F(p) s'obtient directement à partir des tables :

_t _£f(t) = 4+8~r-12eT (pourt>0)


TRANSFORMEES DE LAPLACE


f(t) F(p) f(t) F(p)u(t) = l t>0 1 sin((ût} a>u(t) = 0 t<0 p p2 + d)2

u(t-a) = l t>a 1 c-ap sin(r,rf + r/>) (ûcos(f> + psinçu(t-a) = 0 t<a P p2 + û)2

u(t)-u(t-a) 1 (i e~aP) e~at sin(o)t) °>

p (p + a) +co

Dirac 1 sh((ût} ®P -G*

m.t ™ cos(û>0 PP P +o>

tn ntN n! ch(G)t) P ,pn+1

P2-(o2

V7 Vtf rn.vf^+r/)) (ÛCOS(p- COsinCp

2p3/2 p2 + û)2

e~at l e-atcox((m) P + a

p + a (p + a)2 + Cû2

fn-l -~ 1 trns(û)t) p2 - CD2

T»(n-l)!CT (1 + Tp)n (P2™2)2

__L __L 1 t*in(M\ 2®P1 (e TI e T*) (l + TïP)(l + T2p) (p2 + ®2)2

a-T ~ 1 + aP Ae~atcos((ot + 0) ap + fiT C P(1 + Tp) avec ' (p + a)2 + (O2

A = —Ja2û)2+(B-aa)2

0)

0 fi-.aa..6 = -arctan(I- )au)

t 1 sin(û)t) .0)., T arctam — )1-e T p(l + Tp) t p

1 -L -L 1 'Un C-*V* l

1+ T T (T,e '' T2e '> ) p(l + TlP)(l + T2p) V/-z2 , ^ P2

L2~Ll 1 + P + —

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Transformées de Laplace


T + t ~L ! P~Z(ant 1

' - ' r * r *+»>> -^7" *,+ *,+ 1 ô œn G)t

sin(œn^l-z2t-lF)

-\ll-z2

avec Y^—arctanf )z

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RELATIONS ET ABAQUESDES SYSTEMES DU 2& ORDRE

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AUTOMATIQUE : Systèmes asservis linéaires continus