Automatique: Systèmes Linéaires Continus

Automatique: Systèmes Linéaires

Continus

Automatique : Systèmes linéaires

Sommaire:

Définitions

Notion de système en BO et en BF

Représentation d’un système linéaire

Réponse d’un système linéaire

Caractéristiques des systèmes asservis

Correction des systèmes asservis


Définitions:

Un système dynamique est un procédé de nature quelconque (physique,

biologique, ...) qui évolue sous l’action des signaux d’entrées et dont l’évolution est

caractérisée par des signaux de sorties.

Signal : Grandeur physique générée par un appareil ou traduite par un capteur

(température, vitesse, position etc.). On distingue :

Signal d’entrée : indépendant du système, il se décompose en commandable (consigne) et non commandable (perturbations) .

Signal de sortie : dépendant du système et du signal d’entrée; ce signal doit être observable pour évaluer les objectifs de commande.


Définitions:

Automatique : c’est une science et une technique qui permet de maîtriser le

comportement d’un système (traduit par ses grandeurs de sortie), en agissant de

manière adéquate sur ses grandeurs d’entrée.

Il existe deux domaines d’intervention de l’automatique :

Dans les systèmes à événements discrets. On parle d’automatisme (séquence

d’actions dans le temps).

Exemples : les distributeurs automatiques, les ascenseurs…

Dans les systèmes continus pour asservir et/ou commander des grandeurs

physiques de façon précise et sans aide extérieure.

Exemples : la régulation de la vitesse de rotation d’un MCC, le pilotage

automatique d’un avion…


Définitions:

Classification des automatismes

On peut classer les automatismes selon la nature des signaux d'entrée et sortie

signaux discontinus

binaires plusieurs niveaux

systèmes logiques

combinatoires et

séquentiels

Méthodes:

algèbre de Boole

GRAFCET

Matérialisation de la

commande:

logique cablée,

automates

programmables

systèmes

échantillonnés

commande numérique

des systèmes continus

Méthodes:

équations de

récurrence,

transmittance en z

Matérialisation de la

commande:

calculateurs, PID

numériques

signaux continus

Système à temps continu

Régulations et asservissements

Méthodes:

équations différentielles, fonctions de

transfert, étude harmonique

Matérialisation de la commande:

comparateurs, sommateurs, intégrateurs,

réseaux correcteurs, régulateurs PID


Notion de système en Boucle Ouverte (BO), en Boucle Fermée (BF):

Un système est en boucle ouverte lorsque la commande est élaborée sans

aucune information sur les grandeurs de sortie : il n’y a pas de contre réaction

(feedback).

Exemple : réglage de la température d’un four en agissant sur le débit du

combustible assurant la production de la chaleur.

Une commande en boucle

ouverte ne permet pas de :

régler précisément le niveau

de sortie contre l'effet des

perturbations


Notion de système en Boucle Ouverte (BO), en Boucle Fermée (BF):

Un système est dit en boucle fermée (système asservi) si la commande est

fonction de la consigne ( la valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. Pour

observer les grandeurs de sortie, on utilise des capteurs; c’est l’information

générée par ces capteurs qui va permettre d’élaborer la commande.

Exemple : Commande du niveau dans un bac:

Pour régler le niveau

on doit agir sur

l'organe de réglage

(la vanne) en

fonction de l’écart

entre la valeur

désirée et la valeur

réelle mesurée.


Nécessité de la boucle fermée :

La commande en boucle fermée (contre réaction) est capable de:

Stabiliser un système instable en BO;

Améliorer les performances d’un système;

Compenser les perturbations externes;

Compenser les incertitudes internes au processus lui-même.

Un système de commande peut réaliser deux fonctions distinctes :

L’asservissement c’est à dire la poursuite d’une consigne variable dans le

temps (exemples: table traçante, machine-outil usinant une pièce selon un

profil donné, missile poursuivant une cible…)

La régulation c’est à dire la compensation de l’effet de perturbations sur la

sortie (la consigne restant fixe), (exemples: régulation de la vitesse, de

température…)


Structure générale d’un système asservi :

Un système asservi peut être modélisé par le schéma fonctionnel appelé schéma bloc

suivant:

La loi de commande u(t) qui sera adressée au système via un organe de puissance et

un actionneur, sera conditionnée par la nature du système et l’image de la sortie r(t)

fournie par un capteur qui sera comparée à la consigne e(t).

Comparateur

Signal d’erreur

Sortie


Représentation d’un système linéaire : par Equation Différentielle

Un système est dit linéaire invariant si l’équation liant la sortie à l’entrée est

une équation différentielle à coefficients constants.

Seuls les systèmes pour lesquels m ≤n, se rencontrent dans la pratique

(systèmes physiques réel), n est l’ordre du système linéaire.

Exemple : Modélisation d’un moteur à courant continu:



Equation électrique: liant la tension u aux bornes de l’induit et le courant

d’induit i s’´ecrit :

où R est la résistance de l’induit du moteur, L son inductance et e la force

électromotrice, qui est proportionnelle à la vitesse de rotation ω du rotor :

Equation mécanique : rendant compte des couples agissant sur le rotor (on ne

tient pas compte du couple de charge sur l’arbre du moteur) :

Où γ est le couple moteur, f le coefficient de frottement visqueux et J le

moment d’inertie du rotor.

Le couple γ est proportionnel au courant d’induit i :



Les coefficients Ke et Km sont proches; on pose :

on obtient:

on dérive:

en combinant les équations:

On obtient une équation différentielle d’ordre 2 reliant la sortie ω(t) à l’entrée

u(t) :


Représentation d’un système linéaire : par Fonction de Transfert

La réponse d’un système linéaire, est obtenue par résolution de l’équation

différentielle. Pour simplifier l’étude, on utilise la Transformée de Laplace (TL)

Soit une fonction f définie pour t≥ 0. On définit sa Transformée de Laplace

(TL) F par :

Cette transformée est une fonction de la variable complexe p appelée variable de

Laplace.

En pratique, les transformées de Laplace ne seront pas calculées mais on

utilisera la table des transformées de Laplace.



Propriétés de la Transformée de Laplace

linéarité

Dérivation

Intégration

Retard

Théorème de la valeur finale

Théorème de la valeur initiale

Translation de la variable de Laplace



Table de transformées de Laplace (s désigne aussi la variable de Laplace)

échelon unité



On appelle Fonction de Transfert ou Transmittance d’un système linéaire le

rapport entre la transformée de Laplace de la sortie sur celle de l’entrée.

Rappelons la forme générale d’une équation différentielle linéaire d’ordre n :

la TL de cette équation donne:

Fonction de Transfert:



Autres formes d’écriture de la Fonction de Transfert:

où est le gain statique du système et α le nombre d’intégrateurs purs

aussi appelé type (ou classe) du système.

On factorise le numérateur N(p) et le dénominateur D(p) de la Fonction de

Transfert, on obtient:

où les τ et τ’ sont assimilés à des constantes de temps.

Soit encore sous la forme:

où les zi et les pi sont respectivement les zéros et les pôles du système.


Réponse temporelle des systèmes linéaires:

Le calcule de la réponse d’un système linéaire, peut être obtenue par:

Résolution de l’équation différentielle (systèmes d’ordre 1 et 2).

Inversion de la Transformée de Laplace de la sortie S(p)=G(p)E(p); pour

déterminer s(t).

Domaine temporel Domaine symbolique

Variable : t Variable : p

Équationdifférentielle

Fractionrationnelle

e(t) → s(t) = ? E(p) → S(p) = ?

Transformée de Laplace

1

Rés

olu

tio

n :

S(p

) =

?

2

Transformée inverse3


Réponse temporelle des systèmes linéaires : 1er et 2nd ordre

Une bonne connaissance des systèmes du premier et du second ordre est

fondamentale en automatique. On peut en effet fréquemment assimiler un système

réel à un système équivalent d’ordre un ou deux.

Systèmes du premier ordre:

Un système du premier ordre est décrit par:

Où τ et K sont des constantes réelles non nulles ; τ est la constante de temps du

système et K son gain statique.

La Fonction de Transfert de ces systèmes est :


Réponse temporelle des systèmes linéaires : 1er ordre

Réponse indicielle: réponse à un échelon :

On applique à l’entrée un échelon d’amplitude E0 : e(t) =E0U(t)

La sortie du système est telle que :

Décomposition en élément simple :

réponse indicielle:

échelon unité



Réponse indicielle:

On définit Le temps de réponse à 5% , noté tr5%, correspond au temps nécessaire à la réponseindicielle pour atteindre sa valeur finale à ±5% près

Le paramètre qui caractérise la réponse d’un système linéaire est le temps de montée tm de 10% à 90% de la valeur finale, qui vauttm≈2,2τ

Pente à l’origine: KE0/τ

Temps de réponse tr5%=3τ



Réponse à une rampe: L’entrée est une rampe de pente a : e(t) = atU(t). Sa

Transformée de Laplace est:

La sortie est donnée par:

t

s(t)e(t)

K = 1 K < 1 K > 1

a

Si K = 1, la sortie s(t) suit l’entrée avec un retard constant (τ). La différence entre la sortie et l’entrée est appelée erreur de traînage et vaut aτ.



Réponse impulsionnelle: L’entrée est donnée par: e(t) =E0.δ(t); où δ(t) est

l’impulsion de Dirac (impulsion unité, sa transformée de Laplace est TL[(t)]=1)

La réponse est donnée par:

0

(t)

t


Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre

Système du second ordre :

Forme générale:

ξ est le coefficient d’amortissement du système, ωn sa pulsation naturelle ou

pulsation propre et K son gain statique.

Fonction de transfert:

La solution de l’équation différentielle dépend des racines de l’équation

caractéristique (pôles de G(p)) associée :




deux cas à distinguer:

, les deux pôles sont réel négatifs:

les deux pôles sont complexes conjugués, à partie réel négative:

Réponse indicielle: Réponse à l’échelon

Pour (on parle de système à fort amortissement)

La sortie est donnée par:




Réponse à l’échelon pour:

On a:

KE0

temps

sortie




Réponse à l’échelon pour (système à faible amortissement)

La réponse temporelle est :

régime pseudo-périodique



Réponse indicielle :

Les caractéristiques de la réponse indicielle d’un système second ordre à faible

amortissement sont:

A l’origine, la tangente est horizontale

Pseudo-pulsation ou pulsation amortie:

Pseudo-période:

Le dépassement maximal D1 par rapport à la valeur finale et l’instant de ce

dépassement, noté t1:

Le meilleur compromis amortissement-rapidité est obtenu pour ξ =√2/2≈ 0,7. Le

premier dépassement est alors de 5% de la valeur finale : l’instant du premier

dépassement correspond ainsi au temps de réponse à 5% du système.



Réponse indicielle :

L’abaque suivante donne le temps de réponse réduit en fonction de l’amortissement

Réponse indicielle d’un système du second ordre pour différentes valeurs du coefficient d’amortissement




Correspondance entre

premier dépassement

(D1%) et le coefficient

d’amortissement,

pour un système du

second ordre

D1=5%

tr5%=t1


Réponse harmonique des systèmes linéaires:

La réponse harmonique d’un système est sa réponse à une sinusoïde permanente,

e(t) = Um.sin(ω.t).

Dans l’analyse harmonique, l’expression de la fonction de transfert est G(p = jω)

La réponse harmonique est illustrée par des diagrammes mettant en

correspondance le module et l’argument de G(jω).

Diagramme de Bode:

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes:

le module (ou le gain) en décibels (dB), quand la pulsation ω varie :

l’argument (ou la phase), généralement exprimé en degrés (deg)

L’échelle en abscisse du diagramme de Bode est logarithmique

G(p)e(t) = Em sin (.t) s(t) = Sm sin (.t + )


Réponse harmonique des systèmes linéaires :

Diagramme de Black:

Le diagramme de Black représente le gain en fonction de la phase

lorsque ω varie.

Diagramme de Nyquist:

Le diagramme de Nyquist est le lieu de G(jω) dans le plan complexe, lorsque ω

varie.

Systèmes du premier ordre:


Diagramme de Bode:

On a:

Réponse harmonique


Réponse harmonique des systèmes linéaires : 1er ordre

Comportement asymptotique de la réponse harmonique :



Diagramme de Bode: système 1er ordre : τ=0,01s et K=10



Diagramme de Black:

Une étude asymptotique facilite le tracé de la représentation de Black

sens des croissants




La représentation de Nyquist consiste à tracer Im[G(jω)] en fonction de Re[G(jω)]

on a:

avec :

On montre que:

Le lieu est donc un demi-cercle de rayon K/2 et de centre (K/2;0).




sens des croissants


Réponse harmonique des systèmes linéaires : 2nd ordre

Systèmes du second ordre:


Diagramme de Bode:

Comportement asymptotique de la réponse harmonique

Réponse harmonique


Réponse harmonique des systèmes linéaires : 2nd ordre

Diagramme de Bode: (ωn=100 rad/s et K=10)


Réponse harmonique des systèmes : 2nd ordre

Diagramme de Bode

Si le coefficient d’amortissement ξ est inferieur à 0,7; on constate l’apparition

d’un phénomène de résonance :

La pulsation de résonance: inférieure à ωn

Le gain en dB passe par une valeur maximale supérieur au gain statique

Le coefficient de surtension (ou de résonance), quotient du gain maximal

sur le gain statique est:



Diagramme de Black : (ωn=100 rad/s et K=10)



Diagramme de Nyquist : (ωn=100 rad/s et K=10)


Caractéristiques des systèmes asservis:

Le schéma général d’un asservissement est:

On représente les différents blocs du système par leur fonction de transfert et les

signaux par leur transformée de Laplace:

avec: G(p) est la FT du procédé. C(p) est la FT du correcteur. C(p)G(p) est la FT de la chaine directe (ou chaine d’action). H(p) est la FT de la chaine de retour (ou chaine de contre-réaction).



La Fonction de Transfert en boucle ouverte (FTBO) : c’est la transmittance

entre le signal d’erreur et le signal de retour quand la chaine de retour n’est pas

connectée au comparateur:

FTBO(p)=C(p).G(p).H(p)

La Fonction de Transfert en boucle fermée (FTBF) :

On a: S(p)=G(p)C(p)ε(p)= G(p)C(p)[E(p)-H(p)S(p)]



Cas du retour unitaire :

Il s’agit d’un cas particulier que l’on rencontrera souvent puisque même

dans le cas où le retour n’est pas unitaire, on peut se ramener au cas d’un

retour unitaire H(p)=1;

La Fonction de Transfert en boucle fermée (FTBF) est:



Transformation d’un cas général en retour unitaire :

cas général

même système avec retour unitaire


Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité

Définition:

Un système est stable si et seulement si à tout signal borné en entrée,

correspond un signal borné en sortie.

En automatique, on définit la stabilité par une des propositions suivantes :

Un système linéaire est stable lorsque :

sa réponse à un échelon prend une valeur finie en régime permanent,

sa réponse à une impulsion tend vers 0,

sa réponse à une sinusoïde est une sinusoïde d'amplitude finie.

Critère algébrique de stabilité (pôles):

Un système linéaire (en boucle ouverte ou fermée) est stable si et seulement

si les pôles de sa Fonction de Transfert sont à partie réelles strictement

négatives.



Critère de Routh-Hurwitz:

Soit le polynôme dénominateur

de la Fonction de Transfert du système.

Le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer si les racines de

l’équation caractéristique D(p)=0 sont à partie réelles négatives ou non, sans

calculer explicitement ces racines.

Critère de Routh-Hurwitz) : Le système est stable si les coefficients ai, ∀i=

1,…n sont de même signe et du même signe que les éléments de la première

colonne du tableau suivant (dit tableau de Routh) :




tableau de Routh) :

Le tableau a au plus n+1 ligne (n: ordre de D(p)).




Exemple 1: Etudier la stabilité du système suivant en boucle fermée

Il ya deux changements de signe dans la première colonne de ce tableau (deux pôles instables); le système en boucle fermée à retour unitaire est instable.




Exemple 2: Etudier la stabilité du système en boucle fermée

D’après le critère de Routh, la condition de stabilité impose:



Critère géométrique de stabilité:

Permet de conclure sur la stabilité d’un système en BF à partir de la

représentation graphique du gain et du déphasage en BO.

Point critique:

Supposons que pour une pulsation ω, on a: FTBO(j ω)= -1; le

dénominateur le la FT en BF est: FTBO(j ω)+1=0;

Ce point -1, correspond en BO au gain nul (0dB) et un déphasage de

-180°, c’est le point critique (qui correspond à la limite de stabilité).

Le critère graphique consiste à étudier la position de la courbe de

réponse harmonique en BO par rapport ou point critique (-180°,0dB).

FTBO(p)=C(p).G(p).H(p)



Critère de revers:

• Critère de revers dans le plan de Nyquist:

Un système est stable en BF, si en parcourant le lieu de Nyquist en BO dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique -1 à sa gauche



• Critère de revers dans le plan de Black :

Un système est stable en BF, si en parcourant la courbe de Black en BO dans le

sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique -1 à droite



• Critère de revers dans le plan de Bode :

Soit ω0, la pulsation au gain unité pour laquelle la courbe de gain en BO

coupe l’axe 0dB

soit ωc, la pulsation critique pour laquelle la courbe de phase en BO passe

par (-180˚)

Le système est stable en boucle fermée si : ω0 < ωc, c’est-à-dire si la

courbe de gain de FTBO passe en dessous du 0dB pour la pulsation

critique ωc



• Critère de revers dans le plan de Bode :



Marges de stabilité:

Pour que la stabilité d’un système asservi soit assurée en toutes circonstances

(dérive des paramètres, perturbations,…), il faut que sa courbe de réponse

harmonique en BO passe suffisamment loin du point critique.

on définit la marge de gain par:

on définit la marge de phase par:

Le système est stable en boucle fermée si la marge de phase ou la marge de gain du système en boucle ouverte est positive.




Marges de stabilité dans le plan de Black et dans le diagramme de Bode d’un

système stable en BF.



Marges de stabilité: Amortissement et marge de phase

Pour les systèmes dont le comportement en BF est comparable à celui d’un second ordre oscillant bien amorti, on peut estimer le coefficient d’amortissement du système en BF par:


Caractéristiques des systèmes asservis: Précision

la précision d’un système asservi est déterminée par l’écart entre la consigne

et l’image de la sortie (mesure) pour une consigne donnée.

Pendant le régime transitoire, on parlera de précision dynamique

Pendant le régime permanent, on parlera de précision statique.

Précision statique

La précision statique est donnée par:

Expression générale de l’erreur:

La FTBO peut se mettre sous la forme:



Précision statique

Un système qui possède au moins un intégrateur (α ≥ 1) en BO a une erreur de position nulle. Un système qui possède au moins deux intégrateurs (α ≥ 2) en BO a une erreur de traînage nulle.



Précision statique due à une perturbation:

Soit un système linéaire mis sous la forme suivante:

L’effet de la perturbation sur la sortie peut être calculé en étudiant le schéma

bloc en considérant que l’entrée de consigne nulle E(p) = 0.

On a:



Précision statique due à une perturbation

On suppose que:

On déduit l’erreur due à une perturbation en échelon P(p)=P0/p

La dernière colonne du tableau montre que l’erreur statique engendrée par uneperturbation assimilable à un échelon est nulle s’il existe au moins une intégration en amontde la perturbation.



Précision dynamique (rapidité):

La précision dynamique, est évaluée par la rapidité avec laquelle la sortie arrive

au régime permanent.

On parle d’une bonne précision dynamique, Si c’est rapide et sans ou avec peu

d’oscillations.

Pour quantifier la précision dynamique, on cherche à évaluer le temps de

réponse à 5%.

D’une façon générale : l’amélioration de la rapidité (propriété temporelle) d’un

système passe par l’élargissement de sa bande passante (propriété fréquentielle).


Correction des systèmes asservis:

Problématique de l’asservissement:

Caractéristiques du système à commander:

Système mal amorti;

Système lent;

Système peu précis;

Système présentant une

tendance à la dérive

(vers l’instabilité).

Objectif de l’asservissement:

Amener le système à suivre un comportement fixé par un cahier de charges

Comment faire? Utiliser un dispositif supplémentaire: le correcteur en

boucle fermée.

sSystèmeActionneur

Capteur

u

r




Un correcteur est un système qui élabore la commande u(t) d’un système en

fonction de l’erreur mesurée entre sortie et consigne




Réponse oscillatoire mal amortie, Ecart entre la consigne et la sortie

en régime établi.

Réponse oscillatoire bien amortie, Ecart statique nulle.



Exigences de l’asservissement:

Cahier de charges:

Les exigences sont exprimées sous formes d’un cahier de charges. La synthèse

d’un correcteur doit satisfaire au mieux ces exigences.

Eléments du cahier de charges:

Stabilité: on analyse la stabilité par les critères de Routh et Revers


Si les marges de stabilité sont faibles; alors le système en BF est proche

de l’instabilité; réponse oscillatoire mal amortie, fort dépassement.

On règle les marges de stabilité aux valeurs satisfaisantes:

Forme de la réponse indicielle en BF:

Apériodique (FTBF, doit avoir des pôles réels),

Oscillatoire (FTBF, doit avoir des pôles complexes conjugués)



Exigences de l’asservissement:

Eléments du cahier de charges:

Précision en régime permanent:

Pour avoir une bonne précision, deux solutions:

Augmenter le gain en basse fréquences du système non bouclé,

Introduire des intégrateurs (si nécessaire),

Mais, risque de rendre le système instable en BF

Rapidité:

Pour augmenter la rapidité du système en BF, il faut élargir la bande

passante en BF,

Augmenter la bande passant en BF, c’est augmenter la pulsation de coupure

à 0dB ω0 de la fonction de transfert en boucle ouverte:

FTBO(p)=C(p)G(p)H(p)



Correcteurs usuels:

Il y’a des correcteurs qui modifient le gain du système en BO (précision,

rapidité), d’autres qui agissent sur la marge de phase (stabilité, rapidité).

Correcteurs qui modifient le gain:

Correcteur proportionnel (P),

Correcteur proportionnel intégral (PI),

Correcteurs qui modifient la marge de phase:

Correcteur proportionnel dérivé (PD),

Correcteur à avance de phase,

Correcteurs qui modifient le gain et la marge de phase:

Correcteur proportionnel intégrateur, dérivateur (PID)



Correcteur proportionnel P:

Le correcteur est un gain:

La commande est proportionnelle

à l’erreur :

Une augmentation du gain entraine: amélioration de la précision en BF; augmentation de la bande passante (augmentation de la rapidité) en BF; diminution de la marge de phase (dégradation de la stabilité) en BF.

Dilemme stabilité-précision:un gain faible donne un système stable

mais peu précis

un gain fort donne un système plus précis

mais moins stable



Correcteur proportionnel P:

Réalisation électronique:



Correcteur intégral I:

FT du correcteur: ; ; Ti est la constante de temps d’intégration

La commande :

un correcteur intégrateur permet: d’améliorer la précision; mais: diminution de la bande passante; et réduction de la marge de phase.

Diminution des pentes de -20 dB/décade



Correcteur PI:

Correcteur utilisé en industrie:

où Ti est la constante de temps d’intégration et Kp est le gain du correcteur. Le signal de commande est fonction de l’erreur et de son intégrale:

Un correcteur PI: Augmentation importante du gain en basses fréquences (amélioration de la précision), La phase du système corrigé n’est modifiée qu’en basses fréquences, La marge de phase n’est pas modifiée si

ωi<<ω0, avec ωi=1/Ti.



Correcteurs PI: Placement

Si le système ne possède pas trop de réserve de marge de phase (M ≈ 45°), on place le correcteur PI à une décade en avant de la pulsation de coupure ω0 à 0dB de la FTBO, pour ne pas trop réduire M : ωi ≈ ω0 /10.

Si le système possède une marge de phase suffisante (M >45°), on peut placer le correcteur plus près de ω0 (jusqu’à ω0 /4).

Exemple: calculer les paramètres d’un correcteur PI, afin de remplir le cahier des charges: Erreur statique de position nulle; Bande passante à 0dB: ω0 =0,4rad/sMarge de phase M >45°.

Lieu de Bode du système: G(p)=1/(1+5p)(1+5p)




à la pulsation de coupure ω0désirée, la marge de phase est : M=53°>45°, pour ne pas détruire la marge de phase, on impose:

ωi =1/Ti≈ ω0 /10.

Ti=25s

On trace le diagramme de Bode

de:

Le gain correspondant à la pulsation ω0 est -14dB, il faut

augmenter le gain de +14dB, c’est

le rôle du gain Kp du correcteur PI: Lieu de Bode de: C(p)G(p); pour Kp=1




Diagramme de Bodecomplet de la boucle ouverte corrigée: C(p)G(p)

On obtient une marge de phase: M=48° en ω0=0,4rad/s, ce qui satisfait deux points du cahier des charges.



Correcteurs PI: Autre méthode de réglage (compensation)

ω

ωω0

-90°

-180°

0

20logKp

GH(dB)

CGH(dB), pour Kp=1CGH(dB)

1/ τ1 1/ τ2

M désiréeArg[CGH]

On suppose que le système est de classe zéro et possède deux pôles réels associes aux constantes de temps τ1 et τ2, avec τ1>> τ2, On choisit de compenser le pole dominant par le zéro du correcteur PI, soit: Ti = τ1, Spécifier les contraintes du cahier des charges en terme de marge de phase désirée M (typiquement 45°), Repérer la pulsation ω0 à laquelle le système a pour phase -180+M, Ajuster le gain Kp pour que le gain en dB de la boucle ouverte soit nul à la pulsation ω0,

-1

-2



Correcteurs PI: Autre méthode de réglage (compensation)

Exemple: G(p)=15/(1+0,01p)*(1+0,1p) avant correction M=59°, Ti = 0.1s, marge de phase désirée M =45°, 20logKp=3,17dB

sans correcteur avec correcteur, pour Kp=1



Correcteurs PI:




Correcteurs proportionnel dérivé (PD):

Fonction de Transfert du correcteur:

où Td est la constante de temps de dérivation et Kp est le gain du correcteur. La commande est :

Effets du correcteur PD: Ajoute une phase maximale de 90° en hautes fréquences (amélioration de la stabilité par avance de phase), Amplification en hautes fréquences, donc augmentation de la bande passante (amélioration de la rapidité),



Correcteurs proportionnel dérivé (PD):

Un correcteur PD permet: De stabiliser un système ne possédant pas assez de marge de phase ; D’augmenter le gain en HF (donc la rapidité) sans déstabiliser le système;

Mais: ne permet pas d’améliorer la

précision,

amplifie les bruits de mesure

Le correcteur PD n’est pas réalisable physiquement deg[num]>deg[den]. En pratique on coupe la bande passante HF en limitant le gain, c’est le correcteur à avance de phase.



Correcteurs à avance

de phase:

Fonction de Transfert du correcteur:

Caractéristiques du correcteur: l’avance de phase maximale:

à la pulsation correspondante:

à cette pulsation, le gain est:

Action proportionnelle

Action dérivée



Correcteurs à avance de phase:

Algorithme de réglage:

Repérer la bande passante désirée ω0 à 0dB du système corrigé;

Calculer a pour avoir l’avance de phase désirée:

Calculer Td pour que la zone de fréquences concernée par l’avance de

phase maximale se situe autour de la pulsation de coupure ω0 à 0dB de la FTBO à corriger, c.à.d:

Calculer le gain Kp, en imposant un 0dB pour la BO corrigé en ω0.




Exemple: faire le réglage d’un correcteur à avance de phase, afin de remplir le cahier des charges: Erreur statique de position nulle; Bande passante à 0dB: ω0 =0,8rad/s;Marge de phase M =45°.

Fonction de transfert du système à régler

Le système est caractérisé par: Pulsation de coupure à 0dB est =0,37rad/s; Marge de phase est=33°;




Etapes de réglage: Pulsation de coupure désirée: ω0=0,8rad/s ;Marge de phase initiale: Mi=180°+Arg[G(jω0 )]=-7°; Avance de phase nécessaire pour avoir la marge de phase finale (désirée):m= Mf- Mi=45°-(-7°)=52°; Paramètre a du correcteur:

Paramètre Td en imposant ω0=ωm(avance de phase maximale):

a=0,12




Tracé de Bode de:

Gain Kp en imposant un gain 0dB en ω0:




Vérification sur le lieu de Bodede la boucle ouverte corrigée:C(p)G(p);

Bande passant de 0,8rand/s;Marge de phase de 45°

Réponse indicielle





Réponse indicielle



Correcteurs proportionnel intégrateur dérivateur (PID):

Le correcteur PID combine les trois actions de base et permet de bénéficier des avantages du correcteur PD et PI.


Signal de commande:

Si: Ti>4Td; le correcteur possède

deux zéros réels:

avec:



Correcteurs proportionnel intégrateur dérivateur (PID):

Effets du correcteur PID: Avance de phase en hautes fréquences; Amplification en hautes fréquences;

Gain infini en bases fréquences; Retard de phase en basses fréquences,

Fréquences moyennes: peu d'influence du correcteur PID,

Remarque: le correcteur PID théorique est physiquement irréalisable, en plus il a l’inconvénient du correcteur PD qui amplifie les hautes fréquences (sensibilité aux bruits). En pratique, on introduit un filtre passe-bas en hautes fréquences (c.à.d.: on filtre l’action dérivée). C’est le correcteur PID réel.

Effet du correcteur PD en hautes fréquences

Effet du correcteur PI en basses fréquences



Correcteurs PID réel :

Correcteur PID réel:

a=1/N




Placement-dimensionnement:Une méthode de placement simple consisteà dimensionner d’abord la cellule P.I. puis lacellule P.D. On fixe la pulsation wi dans ledomaine des basses fréquences par rapportà wd (wi<<wd). On évalue le comportementdu système en boucle ouverte avec la celluleP.I. puis on dimensionne la cellule P.D.adéquate.1. Fixer wm = w0 et wi = wm /102. Evaluer la phase et le module du

système en boucle ouverte avec lacellule P.I.

3. Calculer l’avance de phase m àapporter pour respecter la marge dephase du cahier des charges.

w

w

|K|dB

- 20 dB/dec

+ 20 dB/dec

wiN.wdwd wm

+90°

-90°

Ti




Placement-dimensionnement:4. Calculer a:

5. Calculer Kp pour avoir le gain de la boucle ouverte corrigée à w0 égale à 0dB. Réalisation:

TdN=1/a

Documents

Automatique: Systèmes Linéaires Continus