Automatique_linéaire_analogique

7/21/2019 Automatique_linaire_analogique

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____________________ _____________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique 1

AUTOMATIQUE

Systmes linaires analogiques

B. Bergeon, Professeur

septembre 2007.


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INTRODUCTION: QU'EST-CE QUE L'AUTOMATIQUE ?................................ 5

I. METHODOLOGIE GENERALE DE SYNTHESE DE LOI DE COMMANDE. . 7

I.1 Dfinitions .................................................................................................................................................... 7

I.2 Mthodologie gnrale. ..............................................................................................................................7

II. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION DES SYSTEMES ATEMPS CONTINU.............................................................................................. 9

II.1. Equation diffrent ielle............................................................................................................................. 9

II.2. Transmittance isomorphe (en p).......................................................................................................... 11

II.3. Transmittance isochrone (en j ) ......................................................................................................... 14

II.4. Schmas fonctionnels et calculs de transmittance. ........................................................................... 16 4.1- Systmes lmentaires : ......................................................................................................................16 4.2 Cas de systmes en cascade.................................................................................................................. 17 4.3 Cas de systmes en parallle. ...............................................................................................................17 4.4 Cas de systmes boucls ....................................................................................................................... 18

III. ANALYSE DE SYSTEMES.........................................................................19

III.1 Signaux transitoires. .............................................................................................................................19

1.1. limpulsion de Dirac [ ! (t)]................................................................................................................... 19 1.2 Lchelon de Heaviside ........................................................................................................................ 20 1.3 La rampe ................................................................................................................................................ 21

III.2 Stabilit des systmes. ...........................................................................................................................21

III.3 Reprsentations frquentielles. ........................................................................................................... 21 3.1 Le plan de Bode ....................................................................................................................................22 3.2 Le plan de Black.................................................................................................................................... 22 3.3 Le plan de Nyquis t ................................................................................................................................ 23

III.4 Systmes stables du 1 er ordre. .............................................................................................................. 23 4.1 Rponses transitoires ............................................................................................................................23 4.2 Rponse frquentielle ...........................................................................................................................26

III.5 Systmes stables du 2 nd ordre. .............................................................................................................28 5.1 Les rponses transitoires ....................................................................................................................... 29 5.2 Rponse frquentielle ...........................................................................................................................32

III.6 Systmes composs et retard. ........................................................................................................... 34 6.1 Intgrateur et 1 er ordre ........................................................................................................................... 34 6.2 Second ordre avec numrateur .............................................................................................................36 6.3 Systme retard .................................................................................................................................... 38 6.4 Rponses frquentielles dun systme retard ................................................................................... 39

IV. IDENTIFICATION. ......................................................................................41


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IV.1 Principe. .................................................................................................................................................. 41

IV.2 Identification par rponse indicielle. .................................................................................................. 41

IV.3 Identification par rponse frquentielle............................................................................................. 48

V. SPECIFICATION DE LOIS DE COMMANDE,.............................................51

V.1 La commande en boucle ferme............................................................................................................51 1.1 Fonctions de transfert de boucle ferme ..............................................................................................51 1.2 Abaque de Black-Nichols .....................................................................................................................52

V.2 Stabilit en boucle ferme. .....................................................................................................................54 2.1 Equation caractristique, ples.............................................................................................................54 2.2 Critre du revers .................................................................................................................................... 54 2.3 Marges de stabilit ................................................................................................................................ 56

V.3 Spcifications de performance en boucle ferme. .............................................................................. 56

3.1 Spcifications de poursuite. .................................................................................................................. 56 3.2 Rgulation.............................................................................................................................................. 58 3.3 Admissibilit des commandes ..............................................................................................................60

VI. CONCEPTION DE REGULATEURS..........................................................61

VI.1 Le rgulateur Proportionnel ................................................................................................................ 61

VI.2 Le rgulateur actions Proportionnelle et Intgra le (PI) ............................................................... 62 2.1 Structure, transmittance et rponse harmonique .................................................................................62 2.2 Prcision statique ..................................................................................................................................64 2.3 Mthodes frquentielles de rglage .....................................................................................................64

VI.3 Le rgulateur Proportionnel et pseudo-intgral...............................................................................66 3.1 Rponse harmonique ............................................................................................................................. 66 3.2 Prcision statique ..................................................................................................................................67

VI.4 Le rgulateur Proportionnel et Drive, avance de phase. ............................................................. 68 4.1 Commande retour tachymtrique ......................................................................................................68 4.2 Correcteur avance de phase ...............................................................................................................69 4.3 Mthode frquentielle de rglage......................................................................................................... 70

VI.5 Le rgulateur action Proportionnelle, Intgrale et Drive (PID).............................................. 72 5.1 Structure et transmittance .....................................................................................................................72 5.2 Rponse harmonique ............................................................................................................................. 73

5.3 Rglage des paramtres. ....................................................................................................................... 74 5.4 Implantation des rgulateurs PID......................................................................................................... 76

VI.6 Rglages empiriques de Ziegler-Nichols. ........................................................................................... 77


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INTRODUCTION: QU'EST-CE QUE L'AUTOMATIQUE ?

L'Automatique est une science pour l'ingnieur.

L'objectif de cette science est donc de fournir des outils conceptuels etmthodologiques utilisables pour :

L'analyse des systmes,

La synthse de commandes des systmes.

Ce cours ne concerne que l'analyse et la synthse de commandes de systmesdynamiques, linaires, stationnaires, monovariables, c'est dire de systmes donton peut reprsenter le comportement par une quation diffrentielle (ou unequation rcurrente) linaire coefficients constants.

D'une faon gnrale, un systme possde une entre, et une sortie.Un tel systme peut tre reprsent par un schma fonctionnel comme sur lafigure 1 ci-dessous.

Figure 1: Schma fonctionnel.

L'entre et la sortie du systme sont des grandeurs physiques dpendantes dutemps, gnralement appeles signaux.

La sortie du systme est le signal fabriqu par le systme en rponse au signald'entre. Ainsi, les flches figurant sur le schma fonctionnel de la figure 1dcrivent une relation de causalit.

entre

SYSTEME

sortie


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Systme EquationDynamique Diffrentielle, rcurrenteLinaire Vrifie le thorme de superpositionStationnaire A coefficients constants

monovariable Une entre, une sortie

Exemple : Considrons le systme constitu :- d'une antenne parabolique de rception de signaux hertziens de satellite,

- d'un moteur lectrique courant continu, qui, par l'intermdiaire d'un rducteurde vitesse, peut faire pivoter l'antenne autour d'un axe.

On s'intresse l'orientation (dans un plan pour simplifier le problme) de l'axe del'antenne vers un satellite gostationnaire.

Le signal d'entre est alors la tension d'alimentation u(t) du moteur, le signal desortie tant l'angle " (t) que forme l'axe de l'antenne avec un rfrentiel fixedonn.

Figure 2 : Schma d'antenne parabolique orientable par moteur lectrique.

!

u

r R

"


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La relation de causalit : une tension lectrique applique au moteur provoque sarotation et donc une modification de l'orientation de l'antenne.

Sur un tel exemple, un problme typique d'Automatique serait de dterminer unestructure de commande capable :

- de positionner l'antenne dans la direction demande par l'utilisateur;

- de maintenir aussi bien que possible cette orientation malgr d'ventuels coupsde vent.

I. METHODOLOGIE GENERALE DE SYNTHESE DE LOI DECOMMANDE.

I.1 Dfinitions

Un systme est un triplet (entre, relation de causalit, sortie); constitu aussibien par un procd physique (une machine, un phnomne physique, ...) que parune reprsentation abstraite d'un tel procd.

Un modle est une reprsentation abstraite d'un systme ou d'un phnomnephysique : par exemple, la loi d'Ohm est un modle mathmatique du systmeconstitu d'un conducteur lectrique qui, soumis une diffrence de potentiellectrique, est parcouru par un courant lectrique.

Une loi de commande est un algorithme de calcul du signal que l'on doitappliquer l'entre d'un systme pour que sa sortie se comporte de la manirespcifie dans un cahier des charges.

Un organe de commande est un appareil physique permettant de raliserl'algorithme de calcul appel loi de commande.

I.2 Mthodologie gnrale.

La loi de commande est dtermine partir de la connaissance que l'on a dusystme rgler (contenue dans le modle) et des spcifications issues du cahierdes charges.


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Figure 3: Mthodologie gnrale de l'Automatique.

L'tape de ralisation technologique consiste traduire l'algorithme labor en unorgane de commande capable de gnrer les signaux d'entre du procd.

Par exemple, un moteur lectrique est gnralement command par l'intermdiaired'un amplificateur lectronique de puissance. Le signal de commande labor parl'organe de commande est alors la tension d'entre de cet amplificateur, c'est doncun signal lectrique. Cet organe de commande pourra tre ralis sous la formed'un circuit lectronique.

A la fin de ce cours d'Automatique nous aborderons l'tude de quelques mthodeslmentaires d'laboration de loi de commande.

Le chapitre II sera consacr l'tude d'outils mathmatiques ncessaires l'criture de modles des systmes utilisable pour la synthse de loi decommande.

Systme rgler

Modle

Identi-fication

Commande

Organe decommande

Elaboration dela loi de

commande

Cahier des charges

Ralisationtechnologique


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II. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION DESSYSTEMES A TEMPS CONTINU

Un systme est dit temps continu si les signaux d'entre et de sortie de ce

systme sont (ou sont reprsentables par) des fonctions continues du temps.

II.1. Equation diffrentielleL'objectif fondamental des sciences (en particulier des sciences physiques) est defournir des reprsentations abstraites de systmes ou de phnomnes. On a parlde l'exemple de la loi d'Ohm. D'une faon gnrale, les modles mathmatiquesissus des "lois de la nature" sont sous forme d'quations diffrentielles.

Les prtendues "lois de la nature" ne sont videmment pas des expressionsd'obligations que la nature devrait suivre sous peine de punition, mais bien desexpressions de reprsentation de phnomnes naturels. A ce titre, les "loisgnrales" de la physique ou de la chimie, faisant l'objet des cours de physique etde chimie, sont en fait des modles des phnomnes physiques concerns.Il est important de noter, ce niveau d'analyse, qu'une "loi de la nature" ne sersume pas une simple expression mathmatique. La loi d'Ohm, par exemple, neconsiste pas seulement en U = R I , mais bien en l'nonc complet des conditionsdans lesquelles cette expression rend compte de phnomnes observs et mesurs.

Exemple de l'antenne.Un modle du systme constitu d'un moteur lectrique courant continu et deson amplificateur de puissance, entranant en rotation une antenne parl'intermdiaire d'un rducteur de vitesse, peut tre obtenu en utilisant lesconnaissances issues de la mcanique et de l'lectricit :

- le couple moteur C(t) est proportionnel au courant d'induit i(t)

C(t) = k i(t)

- le courant d'induit dpend de la tension de commande u(t) et de la vitesseangulaire de rotation ! (t)

i t ( )=u t ( )! "# t ( )

$

- la vitesse de rotation et le couple moteur sont lis par :

J d ! t ( )

dt = C t ( )

o J est le moment d'inertie, ramen sur l'arbre du moteur, de l'induit du moteur,des poulies, de la courroie et de l'antenne.

- enfin, la position angulaire " (t) de l'antenne par rapport au rfrentiel peuts'crire :


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" t ( )=r

R# $ ( )

0

t

% d $ + " 0( )

ou encore :

d " t ( )dt

=r

R# t ( )

L'ensemble de ces relations permettent d'crire l'quation diffrentielle :

J ! d 2 " t ( )

dt 2 + k #

d " t ( )dt

= k r

Ru t ( )

Cette quation diffrentielle constitue un modle du systme "antenneparabolique orientable par moteur lectrique".Ce modle ne reprsente correctement le fonctionnement global du systme que si

certaines hypothses implicites sont vrifies :- les effets capacitifs des conducteurs sont ngligeables,- les effets auto-inductifs des bobines d'induction sont ngligeables,- les frottements secs et visqueux des parties mcaniques mobiles sontngligeables,- la courroie entrane l'antenne en rotation sans glissement sur les poulies,- etc...

D'une faon gnrale une quation diffrentielle linaire peut s'crire :

a n

d n

s t

( )dt n + an ! 1

d n ! 1

s t

( )dt n ! 1 + . .. + a1

ds t

( )dt + s t ( ) =

bm

d m e t ( )dt m

+ bm ! 1

d m! 1e t ( )

dt m! 1 + .. . + b0 e t ( )

(1.)

Dans le cas o lquation diffrentielle nest pas linaire, on peut obtenir unedescription de la tendance autour dun point de fonctionnement par la procdurede linarisation.

Soit lquation diffrentielle non linaire :d dt

x t ( ) = f x t ( ), u t ( )[ ]

On cherche caractriser le comportement autour dun point de fonctionnementparticulier dfini par u 0 et x 0.

On peut crire au voisinage de ce point :u t ( ) = u 0 + ! u t ( ) x t ( )= x 0 + ! x t ( )


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o # x et # u reprsentent des petites variations de x et de u autour de x0 et u0.On peut alors crire :d dt

x t ( ) ! f x0 , u0( )+ " f " x u0 , x0 # x t ( )+" f " u u0 , x0

# u t ( )

Mais comme :d dt

x t ( ) = f x0 , u0( )+ d dt ! x t ( )

On dduit :d dt

! x t ( ) =" f " x u 0 , x 0

! x t ( ) +" f " u u0 , x0

! u t ( )

Qui est une quation diffrentielle linaire qui caractrise le systme linairetangent au point x 0, u 0.

Exemple.

Le systme :

d

dt x t ( ) = x 2 t ( )+ 2 u t ( )

admet le linaris tangent :

d

dt

! x t ( ) = 2 x 0 ! x t ( )+ 2 ! u t ( )

II.2. Transmittance isomorphe (en p )Pour simplifier l'tude de ce type d'quation diffrentielle, nous introduisons unoutil mathmatique, la transformation de Laplace, qui permet d'effectuerl'analyse du systme et de calculer explicitement certains types de solution parl'intermdiaire du calcul symbolique.

La transformation de Laplace est une opration mathmatique sur des fonctionsrelles f(t) qui vrifient :

f(t) = 0 si t < 0 . (2.)

Par dfinition, on crit alors la transforme F(p) de la fonction f(t) comme :

f t ( ) L ! " ! F p( ) (3.)

F p( )= f t ( )0

" # e$ pt dt (4.)


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Cette transformation possde les proprits importantes suivantes :

1. Elle est linaire par rapport l'addition et la multiplication par un nombre rel :

f t ( ) L ! " ! F p( ) (5.)

g t ( ) L ! " ! G p( ) (6.)! f t ( )+ g t ( ) L " # " F p( )+ G p( ) (7.)

et : si # est un nombre rel,

! " f t ( ) L # $ # " F p( ) (8.)

2. On peut calculer la transforme de Laplace de la drive d'ordre n (entier)quelconque d'une fonction f(t) par la relation suivante :

d n

dt n f t ( ) L ! " ! p nF p( ) # pn # 1 f 0 +( )# p n# 2 f ' 0 +( )# ... # f n # 1( ) 0 +( )

(9.)

Cette dernire relation se simplifie ds que les conditions initiales ( f(0+ ), f'(0 + ), f''(0 + ), ..., f n(0+ )) s'annulent :

d n

dt n f t ( ) L ! " ! p nF p( )

(10.)

3. Le thorme des valeurs initiales et finales :

limt " 0

f t ( )= lim p "#

pF p( ) (11.)

limt "#

f t ( )= lim p " 0

pF p( ) (12.)

Ces relations n'ont de sens que si ces limites existent !

Transmittance isomorphe (fonction de transfert) :Soit un systme dcrit par l'quation diffrentielle linaire coefficientsconstants:


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an

d n s t ( )dt n

+ an " 1

d n " 1 s t ( )dt n " 1

+ ... + a1

ds t ( )dt

+ s t ( )=

bm

d m e t ( )

dt m

+ bm " 1

d m " 1e t ( )

dt m " 1

+ ... + b0

e t ( )

(13.)

Supposons que :- les signaux d'entre et sortie e(t) et s(t) admettent des transformes de

Laplace, respectivement E(p) et S(p) ;- les conditions initiales sont toutes nulles :

d i

dt i e t ( ) t = 0 = 0; ! i ,0 < i < m

d i

dt i s t ( ) t = 0 = 0; ! i, 0 < i < n

(14.)

on peut alors appliquer la transformation de Laplace sur l'quation diffrentielle,en utilisant la proprit 2 ci-dessus :

an pnS p( )+ . .. + a1 pS p( ) + S p( )= bm p

m E p( )+ .. . + b0 E p( ) (15.)

d'o on peut exprimer le rapport :

S p( ) E p( )

=bm p

m+ . .. + b0

an pn + . .. + a1 p + 1 (16.)

que l'on appelle transmittance isomorphe ou fonction de transfert en p.

Exemple de l'antenne.Le systme dcrit par l'quation diffrentielle peut tre reprsent par la fonctionde transfert :

! p( )U p( )

=r

" R

1

p 1 + J # k "

p$

% & &

'

( ) )

dans laquelle " (p) reprsente la transforme de Laplace de la position angulaire,et U(p) la transforme de Laplace de la tension de commande du moteur.


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II.3. Transmittance isochrone (en j ! )Dans le cas particulier o le systme linaire est soumis des signaux d'entresinusodaux permanents , on utilise la transformation dite transformationcomplexe , qui est une gnralisation tout type de systme linaire de lareprsentation complexe des circuits lectriques en courant alternatif (voir coursd'lectricit de 1 re anne).

En effet, une quation diffrentielle linaire coefficients constants, de la formegnrale ci-dessus, admet une solution gnrale du type :

s t ( )= S " ( )cos " t + # ( ) (17.)

si le signal d'entre e(t) est de la forme :

e t ( )= E " ( )cos " t ( ) (18.)

En posant :

E j " , t ( )= E " ( )exp j " t ( ) ; (19.)

S j " , t ( )= S " ( )exp j " t + # ( ) ; (20.)

et en remarquant :

d i

dt i E j ! , t ( )= j ! ( )i E j ! , t ( )

d i

dt i S j ! , t ( )= j ! ( )i S j ! , t ( )

(21.)on peut rcrire l'quation diffrentielle :

an

d n

s t ( )dt

n + a

n ! 1d

n ! 1s t ( )

dt n ! 1 + . .. + a1

ds t ( )dt

+ s t ( ) =

bm

d m e t ( )dt m

+ bm ! 1

d m! 1e t ( )

dt m! 1 + .. . + b0 e t ( )

(22.)

sous la forme particulire :

an

j ! ( )n S j ! , t ( )+ .. . + a1 j ! ( )S j ! , t ( )+ S j ! , t ( )=

bm j ! ( )m E j ! , t ( )+ .. . + b0 E j ! , t ( ). (23.)

De plus, on peut crire :

E j " , t ( )= E j " ( )exp j " t ( ); (24.)


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S j " , t ( )= S j " ( )exp j " t ( ); (25.)

o:

E(j ! ) = E( ! ) (26.)

S(j ! ) = S(! ) exp( j $ ) . (27.)

L'quation diffrentielle devient alors :

an

j ! ( )n S j ! ( )+ . .. + a1 j ! ( )S j ! ( )+ S j ! ( )=

bm j ! ( )m E j ! ( )+ ... + b0 E j ! ( ). (28.)

On peut alors former le rapport :

S j ! ( E j ! ( )

= F j ! ( ) (29.)

qui dfinit la transmittance isochrone (ou fonction de transfert en j $ ).Cette fonction de transfert s'crit :

S j ! ( ) E j ! ( )

=

bm j ! ( )m + . .. + b0

an

j ! ( )n + . .. + a1 j ! ( )+ 1 (30.)

Exemple de l'antenne.Le systme dcrit par l'quation diffrentielle peut tre reprsent par la fonctionde transfert :

! j " ( )U j " ( )

=r

# R

1

j " 1 + J $ k #

j " %

& ' '

(

) * *

dans laquelle " (j ! ) reprsente la transforme complexe de la position angulaire,et U(j ! ) la transforme complexe de la tension de commande du moteur.

Il est vident que la quantit F(j ! ) est une fonction complexe de la variableimaginaire j ! . Cette fonction complexe peut s'crire sous la forme polaire,mettant en vidence un module et un argument :

F j ! ( ) = F j ! ( ) exp jArg F j ! ( )( )[ ] (31.)

avec:


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F j ! ( ) =S j ! ( )

E j ! ( ) =

S ! ( ) E ! ( ) (32.)

et Arg F j ! ( )( ) = Arg S j ! ( )( )" Arg E j ! ( )( ) = # (33.)

Le module de la transmittance isochrone reprsente donc le rapportd'amplitude du signal sinusodal de sortie sur le signal sinusodal d'entre,l'argument de la transmittance isochrone reprsente le dphasage du signalde sortie par rapport au signal d'entre.

On voit d'aprs l'expression (31) de la transmittance isochrone que son module etson argument sont fonctions de j ! , donc, pour un systme dynamique linaire enrgime sinusodal permanent : le rapport d'amplitude des signaux d'entre etde sortie dpendent de la pulsation (donc de la frquence) , ainsi que le

dphasage du signal de sortie par rapport au signal d'entre.L'expression (28), compare l'expression (15) du paragraphe II.2, montre qu'ilexiste une grande similitude entre les transmittances isomorphe et isochrone : lescoefficients sont les mmes (ce sont en fait les coefficients de l'quationdiffrentielle), mais la variable n'est pas la mme . Cela traduit le fait que cesdeux formes de transmittances reprsentent le mme systme (mmescoefficients), mais dans des conditions exprimentales (signaux d'entre)compltement diffrentes (et incompatibles) :

- signaux transitoires (nuls avant l'origine arbitraire du temps) en ce quiconcerne la variable de Laplace p;

- signaux sinusodaux permanents (tablis depuis un temps infini) en ce

qui concerne la variable imaginaire j .

II.4. Schmas fonctionnels et calculs de transmittance.Plutt que de manipuler les quations diffrentielles ou les transmittances, onprfre utiliser une reprsentation graphique des signaux et systmes.

les signaux sont reprsents par des flches les systmes sont reprsents par des botes

4.1- Systmes lmentaires :

additionneur/soustracteur-comparateur :

% (t) = e 1(t) + e 2(t) e 3(t)

e2(t)

e1(t)%(t)

- e 3(t)


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gain statique (amplificateur)

s(t) = A e(t)

intgrateur

s t ( ) = e t ( ) ! dt

S(p) = E(p)/p

gain dynamique

S(p) = G(p) E(p)

G(p) est ici le nom du systme dont la transmittance est G(p).

4.2 Cas de systmes en cascade.Soit le systme compos de :

On peut alors crire : X 3 p( ) X 1 p( )

=

X 3 p( ) X 2 p( )

X 2 p( ) X 1 p( )

= G2 p( )G1 p( )

4.3 Cas de systmes en parallle.Soit le systme dcrit par le schma :

Ae(t) s(t)

1p

e(t) s(t)

G(p)e(t) s(t)

s(t)G1(p)

G2(p)

e(t)

G2(p)G1(p)x1(t) x2(t) x3(t)


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On a alors :

S p( )= G1 p( ) E p( )+ G 2 p( ) E p( )= G1 p( )+ G 2 p( )[ ] E p( )

4.4 Cas de systmes boucls

S p( )= G p( )" p( )" p( )= C 1 p( ) E p( )# C 2 p( )S p( )S p( )= G p( ) C 1 p( ) E p( )# C 2 p( )S p( )[ ]1 + G p( )C 2 p( )[ ]S p( )= G p( )C 1 p( ) E p( )

Do

H p( )= S p( ) E p( )

=G p( )C 1 p( )

1 + G p( )C 2 p( )

Exemple de lantenneLe schma fonctionnel :

La transmittance :

! ( p)U ( p)

=k

r R

k " p + J # p 2=

r" R

1

p 1 + J # k "

p

G(p)C1(p)

C2(p)

%(t)e(t) s(t)

-

K

&

1

J

1

p

r

R

1

p

'

" u

r! R p 1 +

J " k ! p

" u


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III. ANALYSE DE SYSTEMES

III.1 Signaux transitoires.On appelle ainsi des signaux :

- nuls avant lorigine du temps (t = 0)- dfinis pour tout t ! 0- admettant une transforme de Laplace.Les signaux transitoires lmentaires sont :

1.1. limpulsion de Dirac" t ( )

Ce nest pas une vraie fonction, mais une distribution que lon construit commeune limite de fonction :

Soit la fonction paramtre en " dfinie par la figure 4:

t

! " (t)

1/ "

"

Figure 4: fonction " # t ( )

! "

t ( ) =

0 si t < 0

1

" si 0 # t # "

0 si t > "

$

% & &

' & &

(

) & &

* & &

alors :!

" t ( )

#$

$dt = 1

et la transforme de Laplace vaut :

! " p( ) = # " t ( ) e$ pt 0%

& dt

=

1 $ e $ p"

p"

On dfinit limpulsion de Dirac comme la limite de cette fonction lorsque " tendvers zro :

! t ( ) = lim"

#

0

! "

t ( )


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Cest donc un signal :- nul pour t < 0- nul pour t > 0- infini pour t = 0- daire (ou surface, ou poids) gale 1 :

! t ( )"#

#dt = lim

% & 0!

% t ( )

"#

#

$ dt = 1

On le reprsente par :

ou

1 1

Figure 5: reprsentations de limpulsion de Dirac unitaire

Sa transforme de L aplace :

L ! t ( )( )= lim" # 0

$" p( ) = lim

" # 0

1 % e% p "

p" = 1 (34.)

1.2 Lchelon de HeavisideIl est dfini par :

! t ( ) =0 si t " 01 si t > 0

# $ %

& ' (

1

t

! (t)

Figure 6 : lchelon de Heaviside unitaire

Sa transforme de Laplace :

L ! t ( ){ } = ! t ( )0

"

# e$ pt dt =1

p (35.)


21/78


1.3 La rampeEst dfinie par :

r t ( ) =0 si t ! 0t si t > 0

" # $

% & '

t

r(t)

Figure 7: la rampe unitaire

Sa transforme de Laplace :

L r t ( ){ }= t 0

!

" e# pt dt =1

p2 (36.)

III.2 Stabilit des systmes.

Un systme dynamique linaire est dit asymptotiquement stable si et seulementsi sa rponse une impulsion de Dirac tend vers zro lorsque le temps tendvers linfini .Si le systme est reprsent par une transmittance isomorphe, alors : il est asymptotiquement stable si et seulement si tous les ples de cettetransmittance ont leur partie relle strictement ngative ; il est instable si un ou plusieurs ples ont leur partie relle positive ou nulle.

III.3 Reprsentations frquentielles.

Il sagit de reprsenter graphiquement les variations dune fonction de transfertisochrone, en fonction de la pulsation des signaux dentre et de sortie.

F(j $ )S(j $ ) E(j $ )


22/78


3.1 Le plan de BodeOn trace sparment le module (en dB) et largument, en fonction de la pulsationen chelle logarithmique :

Figure 8: plan de Bode

3.2 Le plan de BlackOn trace une seule courbe, gradue en pulsation, dans un plan o laxe dabscisseest gradu en degrs (argument) et laxe dordonne en dB (module) :

Figure 9: plan de Black

F j " ( )dB

" F j # ( )

log "

log " " F j # ( )

F j " ( )dB


23/78


3.3 Le plan de NyquistCest le plan complexe en coordonnes polaires :

Figure 10: plan de Nyquist

III.4 Systmes stables du 1 er ordre.On appelle ainsi un systme linaire dcrit par une quation diffrentielle du 1 er ordre :

! d

dt s t ( ) + s t ( ) = k e t ( ) k > 0( ) (37.)

Un tel systme est stable si & est strictement positif.

4.1 Rponses transitoiresLorsque le signal dentre e(t) est un signal transitoire :- de transforme de Laplace E(p)et si les conditions initiales sont nulles :s(0) = 0on peut crire la transmittance isomorphe (fonction de transfert en p) du systme :

F p( ) = S p( E p( )

=k

1 + ! p

k est le gain statique ( est la constante de temps

remarque : Cest un cas particulier de la forme gnrale donne au chap II 2,avec m = 0, n = 1, b 0 = k, a 1 = ( .

rponse impulsionnelleSi le signal dentre est une impulsion de Dirac daire un, sa transforme de

Laplace vaut 1, et on a :

Im

Re

F j " ( )


24/78


Figure 11: rponse impulsionnelle dun systme du 1 er ordre

S ! p( )=k

1 + " p1

s! t ( ) = L #1 k

1 + " p

$

% & &

'

( ) )

s! t ( ) =k "

e# t " * t ( )

Les points remarquables :s 0( ) =

k

!

s ! ( ) = k e

" 1

! = 0,37

k

!

s #( ) = 0 si ! > 0

rponse indicielleSi le signal dentre est un chelon de Heaviside de hauteur 1, on a :


25/78


E p( )=1

p

S ! p( )=k

1 + " p

1

p

s ! t ( )= L#1 k

1 + " p

1

p

$

% &

'

( )

s ! t ( )= k 1 # e# t " $

% &

' ( )

! t ( )

* t = ( , on calcule :s(& ) = k [1 e -1] = 0,63 k

* si t ! " , alors s t ( )! k

Figure 12 : rponse indicielle dun systme du 1er ordre ( k = 3, & = 2 s)

rponse la rampeSi le signal dentre est une rampe de pente 1 :

E p( )=1

p2

S r p( )=k

1 + ! p

1

p2

s r t ( )= L"1 k

1 + ! p

1

p2

#

$ %

&

' (

s r t ( )= k t " ! 1 " e" t ! #

$ %

& ' (

) * +

, - . / t ( )


26/78


Si k = 1, alors lorsquet ! , la rponse tend vers une asymptote dquation y = t - & .

Figure 13: rponse dun systme du 1 er ordre ( k = 3, & = 2 s) une rampe de pente1.

4.2 Rponse frquentielleLa transmittance isochrone dun systme du premier ordre scrit donc :

F j ! ( )= k 1 + j " !

=k

1 + j !

! c

(38.)

Le paramtre ! c s'appelle pulsation transitionnelle (ou de coupure).Le module de cette fonction complexe de la frquence scrit :

F j ! ( ) = S j ! ( )

E j ! ( )=

k

1 +!

! c

"

# $ $

%

& ' '

2

Largument scrit :

! F j " ( )= # Arc tan"

" c

$

% & &

'

( ) )

Ces fonctions sont traces ci-dessous dans les plans de Bode, Black et Nyquist,avec les valeurs numriques :

k = 10& = 0,1 s. ou ! c = 10 rad/s.


27/78


Frequency (rad/sec)

P h a s e

( d e g

) ; M a g n

i t u

d e

( d B )

TextEnd

Bode Diagrams

0

5

10

15

20

10 0 10 1 10 2-80

-60

-40

-20

Figure 14: diagramme de Bode dun systme du 1 er ordre

Open-Loop Phase (deg)

O p e n - L o o p

G a

i n ( d B )

TextEnd

Nichols Charts

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Figure 15: diagramme de Black dun systme du 1er

ordre


28/78


Figure 16: diagramme de Nyquist dun systme du 1 er ordre

Sur ce dernier diagramme (Nyquist), on a trac la fonction pour $ entre 0 et + " .

III.5 Systmes stables du 2 nd ordre.On appelle systme du 2 nd ordre un systme linaire dcrit par une quationdiffrentielle du 2 nd ordre, du type :

1

! n2

d 2

dt 2

s t ( ) +2 " ! n

d

dt s t ( ) + s t ( ) = k e t ( ) (39.)

Dans cette quation on appelle :- k le gain statique ( k > 0 gnralement),- ' le coefficient damortissement, ( ' > 0 si le systme est stable).- !

n la pulsation propre non amortie (!

n > 0).

Si le signal dentre e(t) admet une transforme de Laplace, et si :- t < 0( ) ! e t ( ) = s t ( )= 0( ) - t = 0( ) ! s t ( ) =

d

dt s t ( )= 0

" # $

% & '

alors on peut crire la fonction de transfert du 2 nd ordre (forme canonique):

F p( ) = k 1 +

2 ! " n

p +1

" n2 p

2 (40.)


29/78


Les ples de cette fonction de transfert sont les racines de lquationcaractristique :

1 +2 ! "

n

p +1

" n

2 p2

= 0 (41.)

On doit donc calculer le discriminant :

! = 4" 2

# n

2 $ 4

# n

2= 4

" 2 $ 1#

n

2

%

& ' '

(

) * * (42.)

dont le signe ne dpend que de la valeur absolue de ) :! si " > 1, # > 0 et les 2 ples sont rels ;

! si " = 1, # = 0 et les 2 ples sont rels et confondus ple double( );! si " < 1, # < 0 et les 2 ples sont complexes conjugus .

Dans tous les cas, on peut crire les ples sous la forme :

p 1 = !

" # n +

# n " 2 ! 1

p 2 = ! " # n ! # n " 2 ! 1

(43.)

Si ' > 0, les ples sont partie relle ngative et le systme est stable .

5.1 Les rponses transitoires. cas de 2 ples rels ! > 1( ) La rponse impulsionnelle (e(t) = ! (t)) est loriginale de la fonction de transfert.Celle-ci se dcompose en somme de 2 fonctions de transfert du 1 er ordre (pardcomposition en lments simples, voir cours de mathmatiques) :

F p( ) = k ! n2 " 2 # 1

1

p + ! n " # " 2 # 1( ) #

1

p + ! n " + " 2 # 1( )

$

% &

& &

'

( )

) )

(44.)

do lexpression temporelle de la rponse impulsionnelle :

s!

t ( ) =k " n

2 # 2 $ 1e

$" n # $ # 2 $ 1( )t $ e$" n # + # 2 $ 1( )%

& '

(

) * + t ( ) (45.)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

Figure 17: rponse impulsionnelle pour k = 10, $ n = 10 rad/s et ) = 1,5 (systme

hyperamorti).


30/78


La rponse indicielle se dduit en intgrant la rponse impulsionnelle par rapportau temps :

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figure 18: rponse indicielle pour k = 10, ! n = 10 rad/s et ' = 1,5 (systme hyper-amorti).

Le systme du 2 nd ordre est quivalent dans ce cas la mise en cascade de 2systmes du 1 er ordre :

cas de 2 ples rels confondus ! = 1( ) La fonction de transfert scrit :

F p( ) = k

1 +1

! n

p"

# $ $

%

& ' '

2

La rponse impulsionnelle ( e(t) = ( (t) ) est loriginale de la fonction de transfert,soit :s

! t ( ) = k " n

2t e

# " n t $ t ( ) (46.)

10

1 + 0,3 p + 0,01 p2

101 + 0.0382p

11 + 0.262p

!


31/78


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Figure 19: rponse impulsionnelle pour k = 10, ! n = 10 rad/s et ' = 1

La rponse indicielle sobtient en intgrant la rponse impulsionnelle par rapportau temps :

0 0.1 0 .2 0.3 0 .4 0.5 0.6 0 .7 0.8 0 .9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figure 20: rponse indicielle pour k = 10, ! n = 10 rad/s et ' = 1

cas de 2 ples complexes conjugus 0 < ! < 1( ) La rponse impulsionnelle ( e(t) = ( (t) ) est loriginale de la fonction de transfert.On peut lcrire directement partir de la table des transformes de Laplace :

s!

t ( ) =k " n

2 1 # $ 2e

# $" n t sin 1 # $ 2

" n t ( )[ ]% t ( ) (47.)


32/78


0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Figure 21: rponse impulsionnelle pour k = 10, ! n = 10 rad/s et ' = 0,5

La rponse indicielle sobtient en intgrant la rponse impulsionnelle par rapportau temps :

p

Figure 22: rponse indicielle pour k = 10, ! n = 10 rad/s et ' = 0,5

D est le 1 er dpassement. Il sexprime par :

D k %( ) = 100 e! " #

1 !#

2

(48.)T p est la pseudo-priode propre qui vaut l'inverse de $ p qui est la pulsation propreamortie. Elle sexprime par :!

p = !

n 1 " # 2

5.2 Rponse frquentielleLa transmittance isochrone dun systme du second ordre scrit donc :

F j ! ( ) = k 1 +

2 " ! n j !

# ! 2

! n2

(49.)


33/78


Le module de cette fonction complexe de la frquence scrit :

F j ! ( ) = S j ! ( ) E j ! ( )

=k

1 " ! 2

! n2

#

$ % %

&

' ( (

2

+2 ) !

! n

#

$ % %

&

' ( (

2 (50.)

Largument scrit :

! F j " ( )= # Arc tan2$ " " n

1 # " 2

" n2

%

&

' ' ' '

(

)

* * * *

(51.)

Ces fonctions sont traces ci-dessous dans les plans de Bode, Black et Nyquist,avec les valeurs numriques :

k = 1) = 0,1 ; 0,7 ; 2$ n = 1 rad/s.

-80

-60

-40

-20

0

20

10 -1 10 0 10 1 10 2

-200

-150

-100

-50

0

10 -1 10 0 10 1 10 2

log10( ! )

log10( ! )

Argument

Module

" = 0,1" = 0,7

" = 2

" = 0,1" = 0,7

" = 2

Figure 23: diagramme de Bode de systmes du 2 nd ordre pour diffrentes valeursdu coefficient damortissement ) .


34/78


-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

! = 0,1

! = 0,7

! = 2

Argument

Module

Figure 24: diagramme de Black de systmes du 2 nd ordre pour diffrentes valeursdu coefficient damortissement ) .

III.6 Systmes composs et retard.6.1 Intgrateur et 1 er ordreSoit le systme de transmittance

G p( ) =

k 1 + ! p( ) p

qui correspond au schma fonctionnel :

Sa rponse impulsionnelle est gale la rponse indicielle du systme du 1 er ordre( dmontrer).

La rponse frquentielle :

k 1 + ! p( )

1

p


35/78


G j ! ( )= k 1 + j "! ( ) j !

Posons ! c = 1/ ( et ! i = k :

G j !

( )=

1

1 + j !

! c

"

# $ $

%

& ' ' j

!

! i

(52.)

On calcule le module (en dB) et largument (en degrs) :

G j ! ( )dB

=1

j !

! i dB

+1

1 + j !

! c dB

! G j " ( )= !1

j "

" i

+ !1

1 + j "

" c

On obtient donc le diagramme de Bode en additionnant, pour chaque valeur de! : les valeurs de module de lintgrateur (+) et du 1 er ordre (*) ; les valeurs dargument de lintgrateur (+) et du 1 er ordre (*) .

Figure 25: diagramme de Bode de systme du 1er

ordre avec intgrateur.


36/78


Figure 26: diagrammes de Black de systme du 1 er ordre seul (+) et avecintgrateur

6.2 Second ordre avec numrateurSoit un systme du type :

G p( ) = k 1 + ! p( )

1 +2" # n

p +1

# n2 p

2

sa rponse frquentielle peut se calculer partir de la reprsentation suivante :

G j ! ( )= k 1 + j "! ( ) 11 + j

2 # ! n

! $ ! 2

! n2

(53.)

et on peut exprimer les valeurs de module (en dB) et dargument (en degrs) :


37/78


G j ! ( )dB = 20log 10 k + 1 + j "! dB +1

1 + j 2#

! n! $

! 2

! n2

dB

% G j ! ( )= Arc tan " ! ( ) + % 1

1 + j 2# ! n

! $! 2

! n2

Le diagramme de Bode sobtient donc en additionnant, frquence par frquence,les courbes :- de module- dargument :

Figure 27: diagramme de Bode de systme du 2 nd ordre avec numrateur :

G j ! ( )=10 1 + j

!

0,1

"

# $

%

& '

1 + j ! ( ! 2


38/78


Figure 28: diagramme de Black de systme du 2 nd ordre avec numrateur

6.3 Systme retardConsidrons le systme reprsent par lquation :

s t ( ) = e t ! " ( ) Cest un systme dont le signal de sortie linstant t reproduit le signal dentretel quil tait linstant t-) .

Si les conditions requises sont remplies, on peut calculer les transformes deLaplace et calculer la fonction de transfert :

S p( ) = e ! p " E p( )S p( ) E p( )

= e! p" (54.)

On peut donc reprsenter le retard par le schma fonctionnel :

Rponses temporelles dun systme retard

e-e(t) s(t)


39/78


1 er ordre et retard :Le systme reprsent par le schma fonctionnel :

est galement reprsent par la fonction de transfert :

G p( ) = k e! p"

1 + # p

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 29: Rponse indicielle pour ) = 1 s, & = 1 s et k = 1 .

2 nd ordre et retardLe principe est le mme.

6.4 Rponses frquentielles dun systme retardEn remplaant p par j ! , la transmittance isochrone dun retard est e j )! .

Le module vaut 1 pour toutes les valeurs de ! :e

! j "# = 1, $ # ;

largument est directement proportionnel la pulsation ! :! e

" j #$ = " # $ .

k 1 + ! p

e! p "

e(t) s(t)


40/78


-441 -398 -354 -311 -267 -224 -181 -137 -94 -51 -7

-16.1

-14.5

-12.9

-11.3

-9.7

-8.0

-6.4

-4.8

-3.2

-1.6

-0.0

Figure 30: Lieu de Black dun systme du 1 er ordre avec retard : k =1, & =1 s , ) =1 s.


41/78


IV. IDENTIFICATION.

IV.1 Principe.Lobjectif de lidentification est de dterminer un modle du systme. On peut

chercher un modle pour diffrentes raisons, mais, dans le cadre de ce cours, onsintresse surtout la dtermination dun modle pour la conception de systmede commande.Un tel modle doit tre le plus simple possible, mais doit reprsenter le mieuxpossible le comportement mesurable du systme.

Le modle est obtenu par traitement des signaux issus de mesures sur les entres et sorties dusystme rel. Ces signaux sont toujours perturbs par des bruits, introduits par les appareils demesure (capteurs) ou rsultants de processus internes au systme, qui nest en fait jamaisparfaitement linaire. La qualit du modle linaire obtenu est donc fortement dpendante du soinque lon apporte effectuer les mesures et filtrer les signaux utiliss.

La procdure consiste : soumettre le systme des signaux dexcitation connus, en vrifiant que

ces signaux natteignent pas les limites de saturation du systme ; relever soigneusement la rponse ces signaux ; interprter la forme des signaux pour choisir une structure de modle

(ordre, retard) ; dduire de mesures sur les signaux des valeurs numriques des

paramtres du modle ; valider le modle en vrifiant, si possible laide de signaux

dexcitation diffrents, que les rponses exprimentales du systme et lesrponses simules du modle sont suffisamment proches.

En ce qui concerne les signaux dexcitation, on utilisera ici essentiellement lessignaux transitoires (surtout chelon) ou sinusodaux.

IV.2 Identification par rponse indicielle.Les conditions dapplication sont :

le systme peut admettre un signal en chelon de hauteur suffisante,sans que les actionneurs entrent en saturation ;

la rponse du systme prsente un rgime permanent mesurable.

On commence par dterminer le gain statique en mesurant la valeur finale de lasortie et en la divisant par la hauteur de lchelon dentre :

K =t ! "lim s t ( )

t ! "lim e t ( )

Selon lallure de la rponse, on choisit la structure puis les paramtres dumodle :

1 er ordre avec (ou sans) retard :

rponse en exponentielle, pente lorigine non nulle ;la structure :


42/78


G p( ) = K e! p"

1 + # p (55.)

les paramtres se mesurent directement comme indiqu

Figure 31: Rponse dun systme du 1 er ordre avec retard : K=1.5, ) =2 s, & =2 s .

2 me ordre hyperamorti :Dans ce cas, le systme a 2 ples rels et il faut identifier les 2 constantes detemps correspondantes, ( 1 et ( 2.Pour cela on trace la courbe (de prfrence sur papier semi-logarithmique, voirfigure 34) :

log[s( * ) s(t)] = f(t)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time secs! "


43/78


Exemple :

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Time(secs) Figure 32: rponse indicielle dun systme identifier

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time(secs)

Figure 33: mme rponse, avec zoom sur laxe dabscisse.

On remarque sur la figure 33, la tangente lorigine horizontale.


44/78


Figure 34: reprsentation logarithmique.

on mesure, dans la partie linaire (voir figure 34) t 1, t2, S 1, S 2, S 0 et S ex ;Alors :

! 1

= 0,43t 2

" t 1

log S 1 " log S 2

! 2

=

S ex

" S 0

S ex

! 1

(56.)

( 1 = 28.9888 s;

( 2 = 0.8225 s

2 me ordre critique :Sur la rponse ci-dessous, on dtermine les instants t 1, t2 et t 3 tels que :s t 1( )s !( )

= 1 "2

e

s t 2( )s !( )

= 1 "3

e2

s t 3( )

s !

( )

= 1 "4

e3

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Log(S2) = 0,894

Log(S1) = 0,9385

Log(Sex) = 1,0125

Log(Sinf - s(t))

t1 t2


45/78


On calcule ) , $ n t1 et $ n t2 au moyen de labaque de la figure 36.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time(secs)

1,5 (1 - 2/e)

1,5 (1 - 3/e 2)

1,5 (1 - 4/e 3)

t1 t2 t3

Figure 35: rponse indicielle dun systme identifier

Figure 36 : abaque


46/78


2 me ordre oscillant :

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time(secs)

S max

Tp

Figure 37: rponse oscillante dun systme identifier

On dfinit le dpassement ou premier dpassement rduit D comme :

D =S

max ! S

"

S "

De la relation entre le dpassement rduit et le facteur damortissement :

D = exp ! " #

1 ! # 2$

% & &

'

( ) )

on dduit la courbe-abaque ci-dessous, sur laquelle on peut mesurer ) .

La valeur de $ n est dduite de la mesure de la pseudo priode T p :

! n =2 "

T p 1 # $ 2


47/78


Figure 38: Courbe-abaque : D = f( ) ).


48/78


IV.3 Identification par rponse frquentielle.Dans le cas o on ne peut pas appliquer un chelon sur lentre du systme et si : le systme peut admettre des signaux de type sinusodal de frquence variable ; on dispose dappareils de mesure damplitude et de phase de signauxsinusodaux ;alors on cherche tracer exprimentalement les lieux de rponse en frquence dusystme, par exemple dans le plan de Bode. Le rapport damplitude de la sortiepar rapport lentre donne, pour chaque frquence le module de la transmittanceisochrone ; le dphasage de la sortie par rapport lentre donne largument de latransmittance isochrone.

La premire tape consiste dterminer le gain statique (sil existe) en appliquantdes signaux de frquence trs basse : lorsque les valeurs de rapport damplitude etde dphasage ne changent plus lorsque lon diminue la frquence.Ensuite il faut dterminer la plage de frquences utiles. Au del de la bandepassante du systme, plus on augmente la frquence du signal dentre, pluslamplitude du signal de sortie diminue, en sorte que le rapport signal sur bruit sedtriore : aprs avoir atteint la limite admissible pour lamplitude du signaldentre il ne sert plus rien de continuer daugmenter la frquence.Les diffrentes mesures effectues permettent de placer des points dans le plan deBode. On se reportera au polycopi de travaux pratiques et en particulier lanotice dutilisation de lanalyseur LabVIEW (ou de lEnertec) pour ce quiconcerne la mise en pratique de ces mesures.

systme

analyseur

Gnrateursinus defrquence

ariable

iagrammesde Bode ou

lack

Figure 39: schma fonctionnel de mise en uvre danalyse frquentielle.

Il faut ensuite procder une analyse des courbes ou des mesures pour

dterminer, dune part une structure de modle, puis des valeurs de paramtres.Pour cela on se reportera aux diffrentes courbes de Bode tudies au chapitreprcdent, en utilisant au mieux les courbes de module et dargument.


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1 er ordre

Figure 40: rponse frquentielle dun systme du 1 er ordre identifier

On peut lire :20 log K = 24 dBdonc K = 15et $ c = 5 rad/s

do la transmittance :

H j ! ( )=15

1 + j !

5

-20

-10

0

10

20

30

40

10 -1

10 0 10 1 10 2

-80

-60

-40

-20

0

10 -1 10 0 10 1 10 2

- 45

5

24 db

-20 dB/dec


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2 me ordre

-20

-10

0

10

20

30

40

10 -1 10 0 10 1 10 2

-150

-100

-50

0

10 -1 10 0 10 1 10 2

24 dB

37,5 dB

-40 dB/dec5 rad/s

-90

Figure 41: rponse frquentielle dun systme du 2 nd ordre identifier

On peut lire :20 log K = 24 dBdoncK = 15 ;

$ n = 5 rad/s

do la transmittance :

H j ! ( )= 151 + 0,04 j ! " 0,04 ! 2

(57.)

H( j ! n) dB = 37,5

H( j ! n) = 75

" # = K2 H( j ! n) = 152 * 75 = 0,1


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V. SPECIFICATION DE LOIS DE COMMANDE,V.1 La commande en boucle ferme

1.1 Fonctions de transfert de boucle fermeLa structure gnrale dun systme de commande comporte :

la partie oprative : cest le systme rgler ; les actionneurs : ce sont les organes de puissance de la PO (moteurs,vrins, ) ;

les capteurs : ce sont les organes qui mesurent les variables rgler duSAR ;

le rgulateur : cest le systme qui labore (calcule) la commande.

Partiecommande Partie

oprative

actionneur

capteur

perturbationsconsignes

Figure 42: reprsentation gnrale dun systme de commande

Dans le cas o lensemble actionneur-partie oprative peut tre reprsent par unmodle linaire, par exemple une fonction de transfert F(p), le rgulateur (quiconstitue la partie commande) est en gnral linaire.Lensemble peut alors tre reprsent par le schma fonctionnel :

Figure 43: Schma fonctionnel gnral d'une boucle de commande.

dr +

-

% u

yC2 FC1

Km


52/78


Les blocs C 1 et C 2 reprsentent le rgulateur (dit deux degrs de libert), Krepsente le capteur et d une perturbation.

Les fonctions de transfert de boucle ferme :

H p( )= Y p( ) R p( )

= F p( )C 1 p( )C 2 p( )1 + F p( )K p( )C 2 p( )

S p( ) = Y p( ) D p( )

=1

1 + F p( )K p( )C 2 p( )

(58.)

1.2 Abaque de Black-NicholsIl existe un outil graphique permettant de dduire la rponse frquentielle de laboucle ferme partir de la rponse frquentielle de la boucle ouverte : cestlabaque de Black-Nichols.

Il faut dabord obtenir un schma fonctionnel de la boucle ferme dit retourunitaire , sur lequel le gain de la chane de retour est normalis 1 :

e

Figure 44: Schma fonctionnel d'une boucle de commande retour unitaire.

Dun point de vue purement formel, ce schma est quivalent au prcdent si etseulement si la fonction de transfert 1/K est stable.

La fonction de transfert entre e et y scrit :

T p( ) = Y p( E p( )

=F p( K p( C 2 p(

1 + F p( )K p( )C 2 p( )

Cest une transmittance de la forme :

T p( ) = Z p(1 + Z p( )

Soit la forme en j $ :

T j ! ( ) = Z j ! ( )

1 + Z j ! ( )

Pour chaque valeur de $ , on a une relation entre 2 nombres complexes du type :

dr

+

-

y

FC1K

K C2u%


53/78


t = z

1 + z.

Soit : z = x e j !

= x cos ! + j sin ! [ ], alors :t = Cste =

x

1 + x 2 + 2 x cos !

dfinit une courbe dans le plan de Black : cest le lieu des z (boucle ouverte) pourlesquels le module de t (boucle ferme) est gal la constante donne.De mme :

! t = Cste = " # Arc tan x sin "

1 + cos "

$

% & &

'

( ) )

dfinit une courbe dans le plan de Black : cest le lieu des z (boucle ouverte) pourlesquels largument de t (boucle ferme) est gal la constante donne.On peut donc tracer dans le plan de Black un ensemble de courbes correspondant diffrentes valeurs de module et dargument de la boucle ferme : cest labaquede Black-Nichols ci-dessous. Il sert dterminer, partir du lieu de Black de

Z(j ! ), le module de T(j ! ). (Les courbes dargument sont rarement utilises).

Figure 45: Abaque de Black (ou de Black-Nichols, ou de Nichols)


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V.2 Stabilit en boucle ferme.2.1 Equation caractristique, plesSoit le systme en boucle ferme reprsent par le schma fonctionnel :

Figure 46: schma fonctionnel gnral dun systme en boucle ferme.

o G(p) est une fraction rationnelle :

G p( )= B p( ) A p( )

alors la transmittance de boucle ferme scrit :

T p( )= B p( )

A p( )+ B p( )

Les ples de cette fonction de transfert sont donc les racines de lquationcaractristique :Pour que la boucle ferme soit stable il est donc ncessaire et suffisant quetous les ples de cette fonction de transfert soient dans le demi-plan complexe

gauche (partie relle ngative). A p( )+ B p( )= 0

2.2 Critre du reversIl existe un critre, bas sur la rponse frquentielle de la boucle ouverte,permettant de caractriser la stabilit de la boucle ferme : cest le critre gnralde Nyquist qui se rduit au critre du revers dans le cas de boucle ouvertestable .

Soit le systme de transmittance (isochrone) G(j $ ), que lon suppose stable (pasde ple partie rlle positive) ; on peut tracer sa rponse frquentielle dans le plande Nyquist; alors, lorsque lon parcourt le lieu de Nyquist dans le sens despulsations croissantes :

si on laisse le point critique (-1, 0) gauche , la boucle ferme eststable ;

si on passe par le point critique (-1, 0), la boucle ferme est justeoscillante ;

si on laisse le point critique (-1, 0) droite , la boucle ferme estinstable.

Remarque : le cas o on passe sur le point critique exprime en fait la condition de

Barkhausen utilise en lectronique pour la ralisation doscillateurs !

G(p)+ -


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Figure 47: critre du revers dans le plan de Nyquist.

Ce critre du revers sapplique galement dans le plan de Black .

0 dB

0-180

instable

stable

juste oscillant

!

Figure 48: critre du revers dans le plan de Black.

Le point critique (-1, 0) est le point correspondant un module de 0dB et unargument de 180 ( 360). On lexprime : lorsque lon parcourt le lieu deBlack dans le sens des pulsations croissantes :

!

Im

Re-1

instable

stable justeoscillant


56/78


si on laisse le point critique (0dB, -180) droite , la boucle ferme eststable ;

si on passe par le point critique (0dB, -180) , la boucle ferme est juste oscillante ;

si on laisse le point critique (0dB, -180) gauche , la boucle ferme

est instable.

2.3 Marges de stabilitOn value la distance de la boucle ferme l'instabilit en mesurant en boucleouverte: la marge de phase : distance en ou en radians entre l'intersection du lieu deboucle ouverte avec l'axe 0 dB, et le point critique; la marge de gain : distance en dB entre l'intersection du lieu de boucle ouverteavec l'axe 180 , et le point critique

V.3 Spcifications de performance en boucle ferme.

Nous allons dcrire un certain nombre d'objectifs typiques que doit atteindre unsystme de commande automatique. Ces objectifs dfinissent un ensemble despcifications utilisables pour la synthse de la loi de commande.

Le premier groupe de spcifications dcrit de quelle faon l'utilisateur dsire ques'effectue le suivi de consigne , sous l'hypothse d'absence de perturbation, nousparlerons de spcifications de poursuite .

3.1 Spcifications de poursuite.La premire spcification, la plus importante, doit tre naturellement la stabilitde la boucle ferme : voir chapitre prcdent.

En ce qui concerne les spcifications de poursuite, nous distinguerons :- la prcision,- la rapidit.

3.1.1 Prcision.La prcision d'un systme de commande traduit sa capacit minimiser un cartentre une valeur dsire de la variable rgler (consigne) et la valeur de lavariable rgler.On dfinit quelquefois les notions de prcision statique et de prcisiondynamique . Dans le cadre de ce cours nous parlerons plutt de prcision enrgime stationnaire .On appelle erreur stationnaire d'ordre n la limite, lorsque le temps t tend versl'infini, de l'erreur entre la consigne r( t) et la sortie rgler y(t) lorsque le signalde consigne rn(t) est une fonction polynomiale du temps, de la forme gnrale :

r n t ( ) =t

n ! 1

n ! 1( )!" t ( )

La transforme de Laplace d'un tel signal de consigne s'crit :


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Rn(p) = 1/p n

Pour n = 0, on reconnait l'impulsion de Dirac, pour n = 1 l'chelon de Heaviside,pour n = 2, la rampe, etc ...

Considrons le cas d'une boucle ferme retour unitaire, dont L(p) est la fonctionde transfert de boucle ouverte.La fonction de transfert de poursuite (entre la consigne et la sortie) s'crit :

H p( )= L p( )1 + L p( ) (59.)

donc la fonction de transfert entre l'erreur % (t) et la consigne :

S p( ) =1

1 + L p( ) (60.)

permet d'crire l'expression de la transforme de Laplace de l'erreur de consigne :

! ( p ) = 11 + L( p )

1 p n .

Le thorme de la valeur finale permet d'exprimer l'erreur stationnaire d'ordre n :

limt

"#$ t ( )= lim

p" 0

p $ p( )

(61.)

L'expression d'une spcification de prcision consistera en une valeur maximaleadmissible d'une erreur stationnaire d'ordre choisi.

3.1.2 Rapidit.La rapidit d'un systme caractrise la vitesse de convergence de la variable desortie vers la valeur de consigne la suite d'une modification de celle-ci.

La rapidit peut donc tre value partir de la rponse un chelon de consigne: un systme est d'autant plus rapide que le temps mis par la variable de sortiepour atteindre son rgime d'quilibre en rponse un chelon de consigne est pluscourt.On distingue alors :

- le temps de monte : c'est le temps mis par le signal pour passer de 10 % 90 % de sa valeur finale.

Ce temps de monte est surtout utilis pour les systmes du premier ordre : le temps de montevaut alors 2,2 fois la constante de temps. Dans le cas de systmes d'ordre plus lev, ce temps de

monte n'est pas significatif, surtout cause d'ventuelles oscillations du rgime transitoire.


58/78


- le temps de raideur : c'est le temps au bout duquel le signal atteint pourla premire fois sa valeur finale.

Ce temps de raideur n'a d'intrt que pour caractriser la rapidit de la rponse l'chelon au dbut

du rgime transitoire, seulement dans le cas de rponse de type oscillatoire. Pour un systme dupremier ordre, par exemple, le temps de raideur est toujours infini ...

- le temps de rponse 5 % : c'est le temps mis par le signal de sortiepour s'approcher dfinitivement moins de 5 % de la valeur finale.

C'est videmment l'indicateur de rapidit le plus gnral et le plus significatif : il caractriseparfaitement la vitesse laquelle la sortie converge vers sa valeur finale, indpendamment del'ordre du systme, du caractre apriodique ou oscillatoire de la rponse l'chelon, etc...

On peut galement spcifier la rapidit de la rponse une consigne par la bandepassante de la boucle ferme .

3.2 RgulationLa fonction de rgulation traduit la capacit dun systme de commande rejeterdes perturbations sur la grandeur rgler.Considrons le systme command dcrit par le schma fonctionnel :

Figure 49: schma fonctionnel de systme command en boucle ferme.

La fonction de transfert entre la perturbation d et la sortie rgler, y, scrit :

S p( ) = Y p( D p( )

=1

1 + F p( )K p( )C 2 p( ) (62.)

Ou encore, si on appelle L(p) la fonction de transfert de la boucle ouverte :

L p( = F p( K p( C 2 p( 63.)

on retrouve la fonction de sensibilit de la relation (60).

dr +

-

yFC1

KK C2


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3.2.1 Etude asymptotique.On peut lutiliser pour caractriser linfluence en rgime asymptotique deperturbations polynomiales, de la forme :

d n t ( ) = D t n ! 1

n ! 1( )!" t ( )

Cest dire, en transforme de Laplace : Dn p( ) =

D pn

Alors :

y p( )=1

1 + L p( ) D

pn

limt "#

y t ( )= lim p " 0

DS p( ) pn

$ 1

On exprimera alors la spcification de rgulation sous la forme dune valeurmaximale admissible de leffet de la perturbation sur le rgime asymptotique de lasortie.

3.2.2 Etude frquentielle.On dfinit galement des spcifications sur la rapidit du rejet de perturbation. Enparticulier cette spcification sexprime sous la forme de bande passante de laboucle ferme : il sagit alors dexprimer la plage de frquence dans laquelle lemodule de la fonction de sensibilit est petit.La transmittance isochrone de la sensibilit scrit :

S j ! ( ) =1

1 + L j ! ( ) (64.)

Soit L j ! ( ) = l ! ( )e j " ! ( ) (65.)On peut alors exprimer le module de la fonction de sensibilit :

S j ! ( ) =1

1 + l 2 ! ( ) + 2 l ! ( )cos " ! ( ) (66.)

Ce module est petit tant que le module de la boucle ouverte, l( $ ), est grand.

Remarque.Quand l( $ ) devient petit, le module de la sensibilit tend vers 1, cest dire quela perturbation affecte directement la sortie : il ny a plus deffet de rgulation.Cest toujours le cas en hautes frquences puisque la boucle ouverte est composede systmes physiques, donc de type passe-bas.

Lallure gnrale du module de cette fonction de sensibilit peut tre trace dansle plan de Bode :


60/78


Log $ 0 dB

$ 0

Figure 50: exemple de fonction de sensibilit.

La pulsation $ 0 correspond peu prs la bande passante du systme.

3.3 Admissibilit des commandesLhypothse fondamentale faite dans ltude des systmes linaires est lalinarit : cette hypothse ne peut tre vrifie sur les systmes rels que si lescommandes appliques aux actionneurs restent infrieures aux niveaux desaturation. Il faut donc veiller, lors de la ralisation du systme de commande,

ce que les gains de la boucle restent raisonnables.Un autre point de vue important est que le modle que lon utilise pour laralisation du systme de commande (rgulateur) nest fidle la ralit que dansla plage de frquences pour laquelle lidentification a pu tre faite, cest direcelle dans laquelle le rapport signal/bruit est suffisant : cest peu prs la bandepassante naturelle du systme rgler. Il est donc dangereux de fixer des gainsimportants pour augmenter de faon draisonnable la rapidit du systme.

Les spcifications de stabilit, et de performance (en poursuite et en rgulation)doivent donc tre fixes de manire rester compatibles avec cette contraintedadmissibilit des commandes.


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VI. CONCEPTION DE REGULATEURS

VI.1 Le rgulateur ProportionnelOn appelle ainsi le systme de rgulation en boucle ferme constitu seulement

dun comparateur et dun amplificateur, selon le schma de la figure 51.

Figure 51: Rgulateur Proportionnel

La commande e(t) applique lactionneur scrit :

e t ( ) = K r t ( ) ! s t ( )[ ]= K " t ( ) (67.)

Une telle commande proportionnelle ne peut pas rsoudre le dilemmestabilit/prcision statique. En effet, la seule action possible dun correcteurproportionnel sur le lieu de Black de boucle ouverte est une translation verticale.Une amlioration de la prcision statique demande une augmentation du gainstatique de boucle ouverte, donc de K, ce qui peut produire une diminution de lamarge de phase, voire une dstabilisation de la boucle ferme.Prenons lexemple dun systme rgler reprsent par un premier ordre et unretard, de fonction de transfert :

F p( ) = F 0exp ! Tp( )

1 + " p (68.)

On peut calculer lerreur statique de boucle ferme, en appliquant, par exemple,un chelon unitaire sur lentre de consigne :

r t ( ) = r ! t ( ) alors :limt ! "

# t ( )= lim p! 0

S p( )

= 11 + K F 0

Il faut donc augmenter K pour amliorer la prcision statique.Pour analyser la stabilit de la boucle ferme, on peut utiliser le critre du reversdans le plan de Black-Nichols :

dK F(p) y

r % e

-


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Figure 52: dilemme stabilit/prcision statique

On ne peut donc pas augmenter le gain K au del de la valeur K osc sansdstabiliser la boucle ferme. On est mme contraint se limiter K osc /2 si onveut conserver une marge de gain de 6 dB.La meilleure prcision statique possible est donc limite :

limt ! "

# t ( )=1

1 + F 0

K osc

2

(69.)

VI.2 Le rgulateur actions Proportionnelle et Intgrale(PI)

La structure de la boucle ferme de commande est reprsente la figure 53 :

Figure 53: schma fonctionnel de commande par PI

2.1 Structure, transmittance et rponse harmoniqueUn rgulateur actions Proportionnelle et Intgrale (PI) labore une commandeconformment la relation :

e t ( )= K " t ( )+1

T i" # ( )d #

0

t

$ %

& '

(

) * (70.)

20 log(K osc)

-180 0

0dB

20 log(F 0)

CPI(p) F(p) yr % e

-

d


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La transmittance sobtient facilement :

C PI p( )= K 1 + T i p

T i p (71.)

Le schma fonctionnel est reprsent la figure 54.

Figure 54: Schma fonctionnel du rgulateur PI

Pour tudier la rponse harmonique (diagramme de Bode), on utilise latransmittance isochrone :

C PI j ! ( ) = K 1 + j T i !

j T i ! (72.)

En faisant le changement de variable u = T i ! , on peut tracer le diagramme de

Bode de1 + ju

j u, en fonction de la pulsation rduite u:

Frequency (rad/sec)

P h a s e ( d e g ) ; M a g n i t u d e ( d B )

TextEnd

Bode Diagrams

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 -2 10 -1 10 0 10 1-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

Figure 55: diagramme de Bode de1 + ju

j u en pulsation rduite.

K

1

T i p

%(t) e(t)


64/78


On peut relever les valeurs particulires suivantes :

en u = 1 :C PI j 1( ) dB = 20log K + 3! C PI j 1( ) = " 45 (73.)

en u ! 0 :C PI j u( ) dB ! "# C PI j u( )! $ 90

(74.)

en u = 3 :C PI j 3( ) dB ! 20log K + 1"

C PI j 3( )! #

20

(75.)

en u ! 12 C PI j 12( ) dB ! 20log K " C PI j 12( ) ! # 5

(76.)

en u ! " :C PI j "( ) dB # 20log K

$ C PI j "( )# 0

(77.)

2.2 Prcision statiqueOn peut calculer lerreur statique de boucle ferme, en appliquant, par exemple,un chelon unitaire sur lentre de consigne :

r t ( ) = r ! t ( ) alors :limt ! "

# t ( )= lim p! 0

S p(

= lim p! 0

1

1 + K 1 + T i p

T i pF p( )

$

%

&

&

& &

'

(

)

)

) )

= 0

(78.)

Lerreur statique est donc nulle.

2.3 Mthodes frquentielles de rglageLe correcteur PI permet dapporter du gain en basses frquences, sans augmenterle dphasage en hautes frquences. Le rglage consiste donc dterminer lesvaleurs des paramtres K et T

i telles que la boucle ouverte vrifie les marges de

phase ou de gain.


65/78


Soit par exemple une marge de phase dsire de 60 : il faut1 chercher (par calcul ou mesure sur un lieu de Bode exprimental) $ 0 telle que

! F j " 0( ) # $ 100 2 la relation (75) permet de calculer T i =

3

! 0

, pour que le dphasage du PI

soit de 20 la pulsation $ 0 ;

3 calculer (ou mesurer sur un lieu de Bode exprimental) le moduleF j ! 0( ) , pour calculer le gain K :

K =1

F j ! 0( )

On vrifie alors aisment que la pulsation au gain unit est $ 0 et que la marge dephase est de 60C PI j ! 0( )F j ! 0( ) " 1

# C PI j ! 0( )F j ! 0( )[ ]" $ 120

Autre exemple : une marge de phase dsire de 45 :1 chercher (par calcul ou mesure sur un lieu de Bode exprimental) $ 0 telle que

! F j " 0( ) # $ 115

2 la relation (75) permet de calculer T i =

3

! 0


soit de 20 la pulsation $ 0 ;3 calculer (ou mesurer sur un lieu de Bode exprimental) le moduleF j ! 0( ) , pour calculer le gain K :

K =1

F j ! 0( )

On vrifie alors aisment que la pulsation au gain unit est $ 0 et que la marge dephase est de 45 :

C PI j ! 0( )F j ! 0( ) " 1# C PI j ! 0( )F j ! 0( )[ ]" $ 135

Mthode pour une marge de gain dsire (M G)dB: il faut1 chercher (par calcul ou mesure sur un lieu de Bode exprimental) $ 0 telle que

! F j " 0( ) # $ 175


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2 la relation (76) permet de calculer T i =12

! 0


soit de 5 la pulsation $ 0 ;3 calculer (ou mesurer sur un lieu de Bode exprimental) le moduleF j ! 0( ) dB, pour calculer le gain K :

K dB = 20 log K = ! F j " 0( ) dB ! M G( )dB

On vrifie alors aisment que la marge de gain est de (M G)dB:

C PI j ! 0( )F j ! 0( )dB " # M G( )dB$ C PI j ! 0( )F j ! 0( )[ ]" # 180

VI.3 Le rgulateur Proportionnel et pseudo-intgralIl sagit dun rgulateur de transmittance :

C PpI p( ) = K 1 + T i p1

b+ T i p

, o b > 1 (79.)

On peut lcrire aussi :

C PpI p( ) = K b 1 + T i p1 + b T i p

, o b > 1

3.1 Rponse harmoniqueEn posant u = T i! , on obtient :

C PpI j u( )= K b 1 + j u1 + j bu

, o b > 1

et on peut tracer le diagramme de Bode de b 1 + j u1 + j bu

, b > 1( ), en pulsation

rduite (figure 56).

On remarque que lorsque b ! " , le rgulateur proportionnel pseudo-intgral

tend vers le proportionnel intgral.


67/78


Frequency (rad/sec)

P h a s e

( d e g

) ; M a g n

i t u

d e

( d B )

TextEnd

Bode Diagrams

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

10 -2 10 -1 10 0 10 1

-50

-40

-30

-20

-10

0

Figure 56: diagramme de Bode de b 1 + j u1 + j bu

, b = 2, 3, K , 10( ).

3.2 Prcision statique

Lerreur finale de la rponse un chelon unitaire scrit :

limt ! "

# t ( )= lim p! 0

S p(

= lim p! 0

1

1 + K 1 + T i p1

b+ T i p

F p( )

$

%

& & & & & & &

'

(

) ) ) ) ) ) )

=1

1 + b K F 0

La prcision est donc dautant meilleure que b est grand.


68/78


VI.4 Le rgulateur Proportionnel et Drive, avance dephase.

4.1 Commande retour tachymtrique

ExempleConsidrons lexemple de lantenne orientable, et son modle que lon crit sousla forme :

F p( ) =! p(U p( )

=F 0

p 1 + " p( ) (80.)

La position angulaire de laxe de lantenne est mesure par un potentiomtrediviseur de tension, et on place une dynamo tachymtrique sur laxe de rotationde lantenne. On dispose de mesures de position " et de vitesse $ . On souhaiteutiliser ces 2 mesures pour raliser une commande selon le schma fonctionnel dela figure 57 :

Figure 57: commande retour tachymtrique.

La fonction de transfert de r vers " scrit :

H p( )=! p( ) R p( )

=

K F 0

p 1 + "

p( )1 + K

F 0 p 1 + " p( )

1 + T d p( )

=K F 0

p 1 + " p( )+ K F 0 1 + T d p( )

(81.)

que lon peut mettre sous forme canonique :

H p( )=1

1 +1 + K T d F 0

K F 0 p +

!

K F 0 p 2

(82.)

-

K F 01 + ! p

1

p

T d

r + "


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On doit donc trouver les valeurs de K et T d pour que le comportement dynamiquede cette boucle ferme corresponde au cahier des charges.Si le cahier des charges contient des spcifications sous forme :dune valeur souhaite de pulsation propre $ nd ,dune valeur souhaite de facteur damortissement ) d ,

on doit raliser le rglage :

! K F

0

=1

" nd 2

# K =" nd

2!

F 0

1 + K T d

F 0

K F 0

=2 $ d " nd

# T d

=2 $ d ! " nd % 1

! " nd 2

(83.)

4.2 Correcteur avance de phaseSouvent, il nest pas possible de mesurer la drive de la sortie : on est alorsamen calculer cette drive, sous une forme ralisable.L

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Automatique_linéaire_analogique