Autour des Mathematiques

des Sciences de la Vie et de la Terre

Exemples de modelisation deterministe

Michel PierreEcole Normale Superieure de Cachan

and Institut de Recherche Mathematique de RennesBretagne, France

29-30 Septembre 2010

Table des matieres

1 Introduction - Plan 1

2 Un apercu des Programmes de SVT (transparents) 2

3 Modeles d’equations differentielles ordinaires (E.D.O.) 173.1 Cinetique chimique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Vitesse de reaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Une loi de comportement : la loi d’action de masse. . . . 183.1.3 Principe des etats stationnaires (Chapman, 1913) . . . . 213.1.4 Autres reactions non elementaires . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Analyse compartimentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1 Principe - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2 Une application a la propagation d’une epidemie. . . . . . 25

3.3 Rappels mathematiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Systemes de reaction-diffusion. 284.1 Introduction d’une variable spatiale. . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Le traitement d’une piscine : une modelisation a complexite va-

riable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Un modele simple de reaction-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Loi d’action de masse et loi de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Les mathematiques des systemes de reaction-diffusion . . . . . . 32

1 Introduction - Plan

Les notes qui suivent reprennent pour l’essentiel le premier expose des Journeesde formation sur la modelisation mathematique en Sciences de la Vie et de laTerre (SVT) organisees a la demande de l’Inspection Generale de Mathematiquesles 29 et 30 septembre 2010 a l’Antenne de Bretagne de l’ENS Cachan.

1

Cet expose etait plus specialement consacre a la modelisation deterministeconduisant a des equations differentielles ordinaires, puis a des equations auxderivees partielles.

Il etait precede d’un apercu rapide sur le programme de SVT dans les classesde Seconde, 1ere et Terminale, presente sous forme de transparents, qui sontreproduits ci-apres.

2 Un apercu des Programmes de SVT (transpa-rents)

On trouve dans les transparents suivants des extraits des programmes de deSVT

– de Seconde generale et technologique,– de 1ere S– et de Terminale scientifique

Les programmes complets peuvent etre trouves a l’adresse suivante :

http://eduscol.education.fr/cid45770/programmes-lycee.html

2

Autour des Mathematiquesdes Sciences de la Vie et de la Terre

1. Un apercu des programmes de SVT:Seconde generale et technologique

1ere S - Terminale Scientifique

Programme SVT en Seconde generale et technologique(BO 29 avril 2010)

Le programme s’articule autour de trois grandesthematiques

I La Terre dans l’Univers, la vie et l’evolution duvivant

I Enjeux planetaires contemporains

I Corps humain et sante

Theme 1: La Terre dans l’Univers, la vie et l’evolution du vivant. Quelques

phrases du programme

I La Terre est une planete rocheuse du systeme solaire. Lesconditions physico-chimiques qui y regnent permettentl’existence d’eau liquide et d’une atmosphere compatible avecla vie....Experimenter, modeliser, recenser...

I De nombreuses transformations chimiques se deroulent al’interieur de la cellule: elle constituent le metabolisme. Il estcontrole par les conditions du milieu et par le patrimoinegenetique ...Mettre en oeuvre un raisonnement experimentalpour...

I La biodiversite, resultat et etape de l’evolution. La diversitesdes alleles est l’un des aspects de la diversite. La derivegenetique est une modification aleatoire de la diversites desalleles....

Theme 2: Enjeux planetaires contemporains. Quelques mots-clef et phrases.

I Lumiere solaire-Photosynthese - Combustibles fossiles -Recenser, extraire et organiser...

I L’augmentation rapide, d’origine humaine, de laconcentration du dioxyde de carbone dans l’atmosphere ...Representer un cycle du carbone simplifie

I Utiliser l’energie des vents, des courants marins, desbarrages hydroelectriques, revient a utiliser indirectementde l’energie solaire. Construire une argumentation (denature manipulatoire et/ou documentaire...

I cf. Notre departement Mecatronique et leurs recherchessur les energies renouvelables

Theme 3: Corps humain et sante: l’exercice physique. cf. notre departement

Sciences du Sport et Education Physique

I Au cours d’un exercice long et/ou peu intense, l’energie estfournie par la respiration qui utilise le dioxygene et lesnutriments. L’effort physique augmente la consommation dedioxygene...Concevoir et/ou mettre en oeuvre un protocoleexperimental...

I Au cours de l’effort, un certain nombre de parametresphysiologiques sont modifies: frequence cardiaque, volumed’ejection systolique, frequence ventilatoire...Concevoir et/oumettre en oeuvre un protocole experimental...

I Des pratiques inadaptees ou dangereuses (exercice tropintense, dopage,...) augmentent la fragilite du systememusculo-articulaire et/ou provoquent des accidents.Comprendre la difference entre l’usage etherapeutique d’unemolecule et l’usage detourne qui peut en etre fait;

Le Volume horaire pour ce programme avec les troisthemes:

1 h Cours et 1,5 h TP par semaine

Le programme de SVT En 1ere S (2hC+2hTP)

Sciences de la Terre: L’ensemble du programmeest centre sur la dynamique du globe: il s’appuie surla connaissance de la structure et de la compositionchimique de la planete.

Sciences de la vie: L’ensemble du programmes’articule autour des relations existant entre legenotype d’un organisme et son phenotype

Sciences de la Terre: des mots-clefs

Tectonique des plaques - cinematique globale desplaques- dynamique interne de la Terre - modeles dela Terre- seismes - refraction des ondessismologiques -...Structure et composition chimique de la Terreinterne - Composition chimique des roches, dunoyau - magmatisme - Convection du manteauterrestre -...La machinerie thermique de la terre

Sciences de la vie : quelques activites envisageables

I Analyse d’un exemple comme la drepanocytose ou laphenylcetonurie. Comparaison de la structure des proteines enrelation avec l’exemple etudie.

I Etude experimentale de la catalyse enzymatique. Simulationde l’action catalytique d’une enzyme.

I Complexite des relations entre genes, phenotypes etenvironnement (Exemple d’un cancer, predisposition familiale, role

de l’environnement et de l’alimentation).

I La morphogenese vegetale et l’etablissement du phenotype.

I La regulation de la glycemie et les phenotypes diabetiques.

I La part du genotype et la part de l’experience individuelledans le fonctionnement du systeme nerveux.

Programme SVT de Terminale Scientifique: 2h Cours,1h30 TP

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE- Approche du temps en biologie et geologie.- Parente entre etres vivants actuels et fossiles. Phylogenese.Evolution.- Stabilite et variete des genomes et evolution (meiose et

fecondation, brassage genetique, derive genique...).- La mesure du temps dans l’histoire de la Terre et de la Vie.- La convergence lithospherique et ses effets.- La Procreation.- L’Immunologie.- Couplage des evenements biologiques et geologiques au cours dutemps.

Programme SVT de Terminale Scientifique (suite)

ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE

Theme 1. Du passe geologique a l’evolution futurede la planete: les climats passes, les variations duniveau de la mer.Theme 2. Des debuts de la genetique aux enjeuxactuels des biotechnologies.

Theme 3. Diversite et complementarite desmetabolismes.

A propos du theme 1:

I La mesure du temps dans l’histoire de la terre et de la vie(datations relatives et absolues). La datation absolue des objets

naturels en sciences de la Terre est une illustration pratique du

principe de la decroissance radioactive etudiee en sciences physiques

et de la fonction exponentielle etudiee en mathematiques...

I Les climats: alternance de periodes glaciaires et interglaciaires.Variations du niveau de la mer: formation et destructions descalottes polaires

Theme 3. Diversite et complementarite des metabolismes

I Du carbone mineral aux composants du vivant: laphoto-autotrophie pour le carbone. Chez les vegetauxsuperieurs, le CO2 de l’air penetre dans les feuilles par lesstomates et atteint les chloroplastes des celluleschlorophyliennes, lieu de la reduction photosynthetique duCO2. Le bilan des transformations (=ensemble de reactionschimiques catalysees par des enzymes) peut s’ecrire

6 CO2 + 12 H2O → C6H12O6 + 6 O2 + 6 H2O.

I ...Toute cellule vivante, isolee ou non, animale ou vegetale(autotrophe et non autotrophe) regenere son ATP en oxydantdes molecules organiques par processus respiratoire oufermentaire. Dans le cas d’une molecule de glucose, larespiration cellulaire peut etre traduite par le bilan

C6H1206 + 6 O2 + 6 H2O → 6 CO2 + 12 H2O.

N.B. : La classe hors du lycéeUn déplacement de la classe hors du lycée (travail sur le terrain, dans un laboratoire, dans un musée…) pourra être éventuellement organisé.Il aura pour objectif de mettre en application les méthodes initiées en classe de première mais également de :- servir de support à un questionnement à partir duquel sera traité un aspect du programme ;- valider un modèle proposé et présenté en classe, et servir d’exercice d’évaluation ; - fournir l’occasion d’une ouverture de la discipline.

20 LeB.O.N°530 AOÛT2001

SCIENCES DE LA VIE ET DE LA TERRE

HORS-SÉRIE

ACTIVITÉS ENVISAGEABLES NOTIONS ET CONTENUS

- La première étape est l’oxydation du glucose en pyruvate ; elle s’accompagne de la production de composés réduits R'H2 (proches des composés RH2 fabriqués au cours de la photosynthèse). Elle se déroule dans le hyaloplasme. L’énergie libérée permet par couplage la synthèse de deux molécules d’ATP par molécule de glucose oxydé.

C6H12O6+2 R' 2 CH3COCOOH+2 R'H2

- La deuxième étape se déroule dans la matrice des mitochondries. C’est une série de décarboxylations oxydatives, à partir du pyruvate, qui s’accompagne de la production de composés réduits et de synthèse d’ATP.2 CH3COCOOH+10 R'+6 H2O 6 CO2+10 R'H2

Étude d’électronographies de mitochondries.

- La dernière étape se déroule dans les crêtes de la membrane interne des mitochondries. C’est l’oxydation par le dioxygène, des composés réduits produits dans les étapes précédentes. Elle est couplée à la production d'une importante quantité d’ATP.12 R'H2+6 O2 12 R'+12 H2O

Etude expérimentale de la fermentation alcoolique. Par contraste avec l’oxydation complète du substrat liée aux mitochondries, une oxydation incomplète est possible par fermentation. Elle produit un déchet organique, reste du substrat réduit non totalement oxydé lors du processus dégradatif. Cette fermentation permet un renouvellement peu efficace mais réel des intermédiaires métaboliques, ce qui autorise dans le cas de la fermentation alcoolique, une vie sans oxygène.

Limites : Les fermentations autres que la fermentation alcoolique ne sont pas au programme.

Bilan structural et fonctionnel d’une cellule vivanteToute cellule vivante est constamment soumise à un bilan d’entrée et de rejet de matière, qu’accompagnent des conversions énergétiques.

A partir de documents, construction de schémas La cellule eucaryote est formée de compartiments dans lesquels se déroulent des réactionsfonctionnels mettant en place les relations fonctions- métaboliques particulières, catalysées par des enzymes spécifiques. La mitochondriestructures au sein d’une cellule et le chloroplaste proviennent probablement de bactéries qu’une cellule hôte ancestrale(utilisation des connaissances antérieures). aurait adoptées comme endosymbiotes.

Le noyau, par l'information génétique qu'il contient, dirige la synthèse des protéines, et donc des enzymes nécessaires au métabolisme de la cellule.

2 ADP+2 Pi 2 ATP

2 ADP+2 Pi 2 ATP

32 ADP+32 Pi 32 ATP

3 Modeles d’equations differentielles ordinaires(E.D.O.)

Le but de cette section est d’indiquer quelques exemples et principes demodelisation de problemes issus des sciences de la vie et de la terre qui conduisenta des systemes d’equations differentielles ordinaires (EDO). On trouve frequem-ment des EDO dans ces domaines d’application.

3.1 Cinetique chimique.

Nous commencons par quelques principes generaux de la modelisation dela cinetique des reactions chimiques par des equations differentielles ordinaires.Ces reactions chimiques ont l’interet, d’une part d’apparaıtre tres souvent dansles applications, d’autre part, de permettre de bien degager la demarche d’unemodelisation.

En guise d’exemple de depart, rappelons le bilan chimique de la respirationcellulaire comme indique dans les dernieres pages du programme de SVT deTerminale S rappele ci-dessus :

C6H12O6 + 6O2 + 6H2O −→ 6 CO2 + 12H2O. (1)

Ici, le symbole C6H12O6 designe la molecule de glucose, les autres symbolesetant bien connus (O2=dioxygene, H2O=eau, CO2=dioxyde de carbone). Nousretiendrons surtout que cette equation est equilibree au sens qu’il y a autantde ’matiere’ a droite qu’a gauche de la fleche : on y retrouve le meme nombred’atomes (6C, 24H, 24O). On dit que l’equation est stochiometrique et c’est,par convention, toujours le cas dans l’ecriture des reactions chimiques.

Nous allons commencer par ecrire le bilan cinetique de matiere inscrit dansl’equation ci-dessus. Comme il ne depend que des quantites de molecules en jeu,et non de la nature meme de ces molecules, nous allons abstraire l’equation enappelant Ai, i = 1...4 ces diverses molecules. Nous remarquons que 6 moleculesde H2O apparaissent de chaque cote de la fleche : si ceci a une importancequant a la comprehension fine du phenomene chimique (voir par exemple plusloin la loi d’action de masse), pour le seul bilan de matiere, on peut tout a faitsoustraire 6H2O de chaque cote et simplifier l’equation comme suit :

C6H12O6 + 6O2 + 6H2O −→ 6 CO2 + 12H2O

A1 + 6A2 + 6A3 −→ 6A4 + 12A3.ou

A1 + 6A2 −→ 6A4 + 6A3.

3.1.1 Vitesse de reaction.

Nous designons par ai(t) la concentration de la substance Ai au temps t. Ils’agit donc d’une quantite de matiere par unite de volume, souvent exprimeepar les chimistes en Moles par litre.

On appelle vitesse de reaction de la reaction ci-dessus la variation instan-tanee de la concentration de A1...qui est aussi la variation instantanee de laconcentration de 6A2 ou -au signe pres- celle de 6A3 ou celle de 6A4 puisque,

17

chaque fois qu’une molecule de A1 disparaıt, 6 molecules de A2 disparaissentaussi , et 6 molecules de A3 et de A4 apparaissent. Ainsi, on peut ecrire :

da1

dt(t) =

16da2

dt(t) = −1

6da4

dt(t) = − 1

6da3

dt(t). (2)

Notons qu’on obtient la relation

d

dt

[a1(t) +

16a2(t) +

16a4(t) +

16a3(t)

]= 0, (3)

ou encore, ∀t ≥ 0,

a1(t) +16

[a2(t) + a4(t) + a3(t)] = a1(0) +16

[a2(0) + a4(0) + a3(0)] , (4)

qui exprime exactement la conservation de la quantite totale de matiere.Il est important de noter que le systeme (2) ne fournit que trois equations,

alors qu’il y a quatre inconnues. Il nous font donc des informations supplemen-taires pour pouvoir calculer les fonctions ai(t).

3.1.2 Une loi de comportement : la loi d’action de masse.

Pour pouvoir ”completer” le systeme d’equations, il faut ajouter au bilande matiere ce qu’on appelle une loi de comportement qui prend en compte defacon plus fine le phenomene chimique proprement dit et qui depend cette foisdes molecules en jeu, de l’environnement de la reaction, de la temperature am-biante, etc... Nous n’allons d’ailleurs pas le faire pour l’equation modele (1) cequi serait trop complique a ce stade. On peut, en effet, se referer aux com-mentaires du programme de SVT des Terminales scientifiques pour apprecier lacomplexite de la chimie de la respiration cellulaire : elle n’entre pas dans le cadrede qu’on va appeler maintenant une reaction elementaire, qui, par definition,est une reaction qui satisfait au principe d’action de masse, a savoir que :

la vitesse de reaction est proportionnelle a la concentration desreactifs.

On appelle reactifs les substances chimiques qui se trouvent a la gauche dela fleche de la reaction et produits ceux qui se trouvent a la droite.

Commencons par une reaction extremement simple, qui va conduire a uneloi d’action de masse dite d’ordre un, soit

Ak−→ C .

Notant a(t), c(t) les concentrations, le bilan cinetique est donne parda

dt(t) = −dc

dt(t) ce qui implique a(t) + c(t) = a(0) + c(0). La loi d’action de

masse s’ecrit alors

da

dt(t) = − ka(t), (5)

18

avec k une constante strictement positive. On l’appelle constante de vitesse.Remarque : En toute rigueur, cette constante depend de la temperature am-biante et est donnee par la loi d’Arrhenius : k = k0 exp(−E0/RT ) ou T est latemperature absolue et k0, E0, R sont des constantes positives avec des signifi-cations precises que nous omettons. Ainsi, on voit deja que la validite de la loid’action de masse requiert que la reaction se passe a temperature constante.

Bien sur, l’equation (5) est facile a integrer et sa solution est donnee para(t) = a(0)e−kt. On en deduit c(t) = −a(t) +a(0) + c(0) = c(0) +a(0)[1− e−kt].On constate

limt→+∞

a(t) = 0, limt→+∞

c(t) = a(0) + c(0).

Donc, asymptotiquement, tout le reactif A se transforme en le produit C.

Continuons maintenant avec une situation un peu moins simple ou nousallons obtenir un loi d’ordre deux. Il s’agit de la reaction :

A+Bk−→ C .

Notant a(t), b(t), c(t) les concentrations respectives, le bilan cinetique prend laforme

da

dt=db

dt= −dc

dt.

Maintenant, la loi d’action de masse va exprimer que la vitesse de reaction estproportionnelle a la fois a la concentration de A et a la concentration de B, soit

da

dt= − kab. (6)

Avec cette equation supplementaires, on obtient donc trois equations a trois

inconnues. Puisqued(b− a)dt

= 0 =d(a+ c)dt

, on a que

b(t) = a(t) + b0 − a0, c(t) = −a(t) + c0 + a0

ou on note a0, b0, c0 les donnees initiales en t = 0 de a(·), b(·), c(·). Ainsi, pourconnaıtre les trois fonctions, il suffit de resoudre l’equation en a qui s’ecrit

da

dt= −k a (a+ b0 − a0).

C’est deja une equation non lineaire. Mais, elle reste encore assez elementaire pourpouvoir etre integree explicitement. Si b0 − a0 6= 0, on ecrit

−kdt =da

a(a + b0 − a0)=

1

b0 − a0

»da

a− da

a + b0 − a0

–=

1

b0 − a0d

„ln

a

a + b0 − a0

«.

Soit

−k(b0 − a0)dt = d

„ln

a

a + b0 − a0

«⇒ a(t)

a(t) + b0 − a0=

a0

b0e−k(b0−a0)t.

On fait un calcul analogue si b0 − a0 = 0 et on obtient

Si a0 6= b0, a(t) = a0a0 − b0

a0 − b0ek(b0−a0)t; si a0 = b0, a(t) =

a0

1 + a0kt= b(t).

19

On en deduit le comportement asymptotique quand t → +∞ de toutes les fonctions.Ainsi

Si a0 > b0, limt→∞

a(t) = a0 − b0; si a0 < b0, limt→∞

a(t) = 0; si a0 = b0, limt→∞

a(t) = 0.

Noter que, si a0 6= b0, la vitesse de convergence est exponentielle, alors qu’elle est en

1/t pour a0 = b0.

Nous allons maintenant examiner une succession de reactions dont on sup-posera que chacune est elementaire.

A+Bk1k−1

Xk2−→ C . (7)

Ici, la 1ere reaction est reversible, c’est-a-dire que les reactions dans les deuxsens ont lieu simultanement, mais avec des vitesses differentes. Nous notonsmaintenant plus simplement a′(t), b′(t), x′(t), c′(t) les derivees en temps desconcentrations respectives (avec des notations evidentes). Le bilan de matieres’ecrit : a′ = b′;x′ = −a′ − c′. En fait, on va retrouver ce bilan en ecrivantsystematiquement la loi d’action de masse (d’ordre un et deux) pour chacunedes trois equations, avec les constantes de vitesse indiquees dans l’equation chi-mique. On obtient :

a′ = −k1ab + k−1xb′ = −k1ab + k−1xx′ = k1ab − k−1x− k2xc′ = k2x

(8)

Concernant la resolution de ce systeme, plusieurs questions se posent :

1. D’abord, existe-t’il une solution pour tout temps ?

2. Ensuite, comment la calculer ? Il n’est plus raisonnable d’esperer une so-lution explicite comme dans les deux cas simples precedents ; en revanche,on pourra esperer la calculer numeriquement.

3. Peut-on affirmer que les solutions a, b, x, c restent positives au cours dutemps ? On s’y attend dans la mesure ou les fonctions inconnues repre-sentent des concentrations. Si ce n’etait pas le cas, il faudrait remettre encause le modele.

On rappellera un peu plus loin (voir Theoreme 1 et corollaire 1) les outilsmathematiques qui permettent de repondre (positivement) a ces questions.

On verra aussi que, lorsque les constantes de vitesse k2, k−1 sont tres grandes,il est possible d’approcher ce systeme par un autre plus simple qu’on peutresoudre explicitement.

Continuons les exemples avec un autre modele qui joue un role capital dansles Sciences de la Vie : la catalyse enzymatique et le fameux modele de Michaelis-Menten (1913). L’equation chimique correspondante s’ecrit :

E + Sk1k−1

Xk2−→ E + P (9)

20

Cette equation est tres semblable a la precedente, sauf qu’on retrouve l’enzymeE ”intact” a la sortie : sa presence est obligatoire pour la reaction, mais il n’estpas transforme. En appliquant a nouveau la loi d’action de masse a chaqueequation, on obtient le systeme

e′ = −k1es + k−1x + k2xs′ = −k1es + k−1xx′ = k1es − k−1x − k2xp′ = k2x .

(10)

3.1.3 Principe des etats stationnaires (Chapman, 1913)

Le principe des etats stationnaires permet de ”remplacer” un systeme donnepar un systeme plus simple lorsque certaines constantes de vitesse sont tresgrandes. Expliquons le principe sur l’exemple de la reaction (7) et du systeme(8). On suppose que le complexe intermediaire X est tres reactif. Ceci peut setraduire par le fait que les constantes de vitesse k2 et k−1 sont tres grandes.Dans ce cas, les chimistes considerent que t→ x(t) atteint son etat stationnairepresque immediatement et qu’il est donc raisonnable d’ecrire que x′(t) = 0 dansle systeme (8). Ainsi, on peut ecrire

x =k1

k−1 + k2ab,

ce qui permet d’eliminer x dans le systeme (8). Cette elimination de x est tout afait en accord avec la situation experimentale ou le complexe n’est pas reellementperceptible ni mesurable. Continuant les calculs, on obtient :

a′ = k1ab

[−1 +

k−1

k−1 + k2

]= − k1k2

k−1 + k2ab = b′

c′ =k1k2

k−1 + k2ab

(11)

On est ramene a un systeme du meme type que (6) qui suit donc une loi d’ordredeux pour le bilan de reaction A + B

K−→ C avec une nouvelle constante devitesse

K =k1k2

k−1 + k2.

Bien sur, le calcul ci-dessus n’est pas rigoureux mathematiquement. On peutmeme penser qu’il est contradictoire puisqu’on ecrit x′(t) = 0 et parallelementx(t) = Ka(t)b(t) avec a, b variant avec t. Pourtant, ce calcul represente touta fait la realite. Il faut simplement reformuler correctement la bonne questionmathematique et prouver le bon resultat qui est le suivant :

Exercice 1 : Montrer que la solution du systeme (8) tend vers la solution dusysteme (11) lorsque k−1 + k2 → +∞ de telle facon que lim k−1/k2 = α ∈]0,∞[ existe. (On comprend alors que la vraie valeur de K est donnee parK = k1/(α+ 1))

Application a la catalyse enzymatique. Cette approximation des etats station-naires est souvent faite pour la catalyse enzymatique (9-10). Les calculs sont les

21

suivants (on suppose x(0) = 0) :

x′ = 0 ⇒ x =k1

k2 + k−1es

e′ + x′ = 0 ⇒ e+ x = e0 + 0

⇒ x =k1

k2 + k−1s(e0 − x).

En notant KM =k2 + k−1

k1la constante de Michaelis, on obtient

x[1 +s

KM] =

s

KMe0 ou x =

e0s

KM + s.

On retient que la reaction limite est S −→ P avec comme cinetique

p′ =k2e0s

KM + s= −s′.

Noter qu’il ne s’agit pas ici d’une reaction elementaire au sens que la cinetiquene satisfait pas la loi d’action de masse. La loi n’est pas lineaire comme pour(5), mais homographique.

Remarque : Cette simplification est tres utilisee pour modeliser les phenomenesde catalyse enzymatique dans les Sciences de la Vie. Un exemple (parmi une foul-titude d’autres) concerne la quantification de l’elimination de l’alcool ethylique(de concentrations s) dans le corps humain : si s est petit, alors on a a peu presune loi d’ordre un, soit s′ ' −λ1 s avec λ1 constante. En revanche, apres unesoiree arrosee ou s est donc grand initialement, on voit qu’il y a un phenomemede saturation : s′ ' −λ2 ou λ2 constante ; en d’autres termes, la vitesse d’eli-mination ne prend plus en compte le taux eleve d’alcoolisation.

3.1.4 Autres reactions non elementaires

Nous venons de voir un exemple d’une reaction simple S −→ P , mais quin’est pas elementaire au sens qu’elle ne satisfait pas la loi d’action de masse.Beaucoup de reactions de la chimie sont dans ce cas et chaque situation re-quiert des etudes experimentales et une grande expertise pour en etablir la loicinetique. Il peut y avoir une grande part d’empirisme ou on essaie de ”de-viner” ces lois et on les verifie ensuite experimentalement. Une methode plussystematique consiste a faire comme au paragraphe precedent, c’est-a -dire aessayer de decomposer la reaction consideree en une succession de reactionsdont l’analyse chimico-cinetique permet de considerer qu’elles satisfont a la loid’action de masse. On applique alors le principe des etats stationnaires auxequations intermediaires ou les substances en jeu sont a courte duree de vie,comme on a fait ci-dessus, pour obtenir des lois verifiables experimentalement.

Juste pour donner un exemple des resultats parfois etonnant d’efficaciteque cette approche peut donner, citons l’exemple de la synthese du bromured’hydrogene a partir de l’hydrogene et du brome en phase gazeuse , soit :

H2 +Br2 −→ 2HBr.

22

Bodenstein et Lind etablissent de facon empirique en 1906 ( voir [L]) la loi sui-vante pour l’evolution des concentrations a, b, c respectivement de H2, Br2, HBr

c′(t) =k1a√b

1 + k2c

b

Il s’avere que cette loi a ete ”justifiee” plus tard a partir de la succession desreactions supposees elementaires suivantes ou apparaissent les radicaux instablesBr·, H

.

:Br2 −→ Br· +Br·

Br· +H2 −→ HBr +H·

H.

+Br2 −→ HBr +Br·

H.

+HBr −→ H2 +Br·

Br· +Br· −→ Br2 .

On ecrit le systeme 5 × 5 pour ces reactions en appliquant la loi d’action demasse. On applique le principe des etats stationnaires aux radicaux instablesH

.

, Br·, c’est-a-dire qu’on ecrit que la derivee de leur concentration est nulle eton les elimine dans le systeme. On retrouve alors miraculeusement la loi devineeen 1906.

3.2 Analyse compartimentale.

3.2.1 Principe - Exemples

L’analyse compartimentale est une autre approche de la modelisation quiconduit a des systemes d’equations differentielles ordinaires. Elle est beaucouputilisee en pharmacologie, medecine, dynamique des populations, biochimie,etc...Par compartiment, on entend une substance homogene identifiee, qui asa cinetique propre et discernable, et qui echange de la matiere avec l’exterieurou d’autres compartiments. Voici deux exemples qui illustrent bien la notion decompartiments :

– Exemple 1 : Regulation de la glycemie dans le sang.

glucosedu sang

glycogenedu foie

insulinedu pancreas

apportexterieur

23

On definit classiquement les trois compartiments ci-dessus pour modeliserla regulation de la glycemie dans le corps humain. La fleche du comparti-ment ”glucose” vers le compartiment ”glycogene” correspond au fait que,dans certaines circonstances, le glucose va se stocker sous forme de gly-cogene ; la fleche dans l’autre sens correspond a une restitution du glucosea partir des reserves de glycogene. De meme, on sait que l’insuline faitdiminuer le glucose dans le sang. Inversement, en cas d’insuffisance deglucose, un signal est donne pour stopper la production d’insuline. Ici, ilfaut bien sur tenir compte aussi des apports de glucose venant de l’ex-trieur (via l’alimentation en general). Reste a ecrire les lois quantitativesqui regissent effectivement tous ces echanges (voir [BB] pour une 1ere ap-proche).

– Exemple 2 : Propagation d’une epidemie.

Sains(Susceptibles)

S(t)

Infectes

I(t)

Gueris(immunises)

G(t)

Morts(immunises)

M(t)

Nous reviendrons sur cet exemple particulier un peu plus loin. Donnonsd’abord le principe general de la modelisation par analyse compartimentale : soitAi, i = 1, ..., n les compartiments ; on designe par qi(t) la quantite de substance(ou de matiere) au temps t dans le compartiment Ai.

Comme pour la cinetique chimique, on commence par ecrire la loi d’echangede matiere. A chaque instant, la variation instantanee de matiere dans le com-partiment Ai, soit dqi

dt , est egale au flux de matiere Fij entrant dans Ai depuis lecompartiment Aj auquel on retranche le flux de matiere Fji sortant de Ai versle compartiment Aj ; et on ajoute l’echange (positif ou negatif) Fi,0 = Fi,0(t)avec l’exterieur. Cela donne donne l’equation suivante pour tout i = 1, ..., n :

dqidt

=j=n∑

j=1,j 6=i

Fij −j=n∑

j=1,j 6=i

Fji + Fi,0. (12)

Notons deja qu’on obtient la loi de conservation de la quantite totale de matiereen faisant la somme de ces equations :

d

dt

(i=n∑i=1

qi(t)

)=∑i,j,i 6=j

Fij −∑i,j,i 6=j

Fji +i=n∑i=1

Fi,0 =i=n∑i=1

Fi,0.

Par integration en temps, on obtient alorsi=n∑i=1

qi(t) =i=n∑i=1

qi(0) +∫ t

0

i=n∑i=1

Fi,0(s)ds. (13)

24

En particulier, si les apports exterieurs sont nuls (∑i Fi,0 = 0), on obtient la

conservation exacte de la masse totale.

Pour completer le systeme (12), il est necessaire d’ajouter des lois de com-portement pour les flux Fij (comme nous l’avons fait dans la modelisation de lacinetique chimique). La loi standard -et au demeurant assez naturelle- consisteaussi a dire que le flux de matiere Fij qui vient du compartiment Aj pour en-trer dans le compartiment Ai est proportionnel a la quantite de matiere dans lecompartiment de depart Aj , soit donc

Fij = fij(q)qj , avec fij ≥ 0, (14)

ou fij est une fonction qui reste a preciser selon les cas (on pourrait aussiconsiderer qu’elle depend de la variable temps t). On peut alors recrire le systeme(12) sous la forme suivante : ∀i = 1, ..., n

dqidt

=j=n∑

j=1,j 6=i

fijqj − j=n∑j=1,j 6=i

fji

qi + Fi,0. (15)

3.2.2 Une application a la propagation d’une epidemie.

Nous ne detaillerons pas l’exemple 1 de la glycemie. Nous renvoyons parexemple au livre [BB] (de niveau DEUG B 1re annee) ou une approche progres-sive en est faite et ou de nombreux autres exemples peuvent etre trouves avecleur modelisation mathematique.

Revenons en revanche a l’exemple 2 qui, dans le cadre de cette formation,a fait l’objet d’une seance de travaux pratiques dont les details peuvent etretrouves a l’adresse suivante :http://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/Formation_IPR10/FichiersPresentations/

TP.html

Nous notons S(t) le nombre a l’instant t des individus sains (on dit aussisusceptibles), I(t) le nombre des individus infectes, G(t) le nombre des individusgueris et supposes immunises et M(t) le nombre des individus morts (et qui doncne transmettent plus la maladie). On prend un modele continu dans lequel onconsidere que ces ”nombres” sont en fait a valeurs dans [0,∞[. Ceci est tout a faitraisonnable quand on travaille sur des populations suffisamment nombreuses.

On dispose ainsi de quatre compartiments S, I,G,M et il reste a etablirles lois de comportement de type (14) en prenant en compte le contexte d’uneepidemie. Les lois suivantes sont considerees comme naturelles et deja significa-tives pour un premier modele :

–M ′(t) = aI(t), G′(t) = bI(t),

ou a ∈]0,∞[ est le taux de mortalite et b ∈]0,∞[ le taux de guerison. Ils’agit donc de lois lineaires simples, mais realiste en premiere approche ou,dans une epidemie en cours, la variation instantanee du nombre de morts,ainsi que du nombre d’individus gueris, est directement proportionnelleau nombre d’infectes.

– Il faut ensuite donner une loi sur le mode d’infection. Par analogie avec lacinetique chimique, on peut adopter une sorte de ”loi d’action de masse”

25

ou le taux d’infection des individus sains est proportionnel a la fois aunombre d’individus en question et au nombre d’infectes (en quelque sorteproportionnel au nombre de rencontres entre eux), soit

S′(t) = −r S(t) I(t),

ou r > 0 est le taux de contagion. Ceci respecte au moins les deux idees debase que, s’il n’y a pas d’infectes dans le voisinage, alors S′(t) = 0. Et aussi,s’il n’y a plus d’individus sains, alors de meme S′(t) = 0 (il n’y a pas degeneration spontanee d’individus sains). Bien sur, cette ”verification” estminimaliste et on pourrait imaginer que bien d’autres lois plus complexesgerent en fait cette epidemie. Nous renvoyons a la discussion correspon-dante sur les reactions ”elementaires” ou pas en cinetique chimique.

– Finalement, il reste a ecrire la variation instantanee I ′(t) des infectes. Ellese deduit des lois precedentes : la variation de la population des infectesa une contribution positive r S(t) I(t) venant des ’nouveaux’ infectes, etun contribution negative venant de ceux qui guerissent et de ceux quimeurent, soit −G′(t)−M ′(t). Au total

I ′(t) = rS(t)I(t)− (a+ b)I(t).

On termine donc avec le systemeS′ = −r S II ′ = r S I − (a+ b) IM ′ = a IG′ = b I .

(16)

Noter la conservation de la population totale (en incluant les morts) :

d

dt[(S + I +M +G)(t)] = 0, soit (S + I +M +G)(t) = (S + I +M +G)(0).

Remarque : des simulations numeriques permettent de calculer les solutions dece systemes et d’examiner le comportement de la propagation de l’epidemieen fonction des divers parametres. Ceci fait l’objet d’un TP associe a cetteformation qu’on peut retrouver a l’adresse deja donnee ci-dessus.

Reste la question mathematique d’existence pour tout temps d’une solu-tion a ce systeme, et qui de plus reste positive au cours du temps. C’est uneconsequence immediate des resultats theoriques du paragraphe suivant.

3.3 Rappels mathematiques.

Rappelons le celebre theoreme de Cauchy-Lipschitz pour les systemes diffe-rentiels. On en trouve des demonstrations dans beaucoup de livres, citons parexemple [LA], [A]. On designe par ‖ · ‖ une norme dans Rn.

Theoreme 1 (Cauchy-Lipschitz) On considere le systeme

(E)q′(t) = F (q(t)) + g(t)q(0) = q0 ∈ Rn, (17)

ou F : Rn → Rn est continuement differentiable et g : [0,∞) → R

n continue.Alors, il existe T > 0 et q : [0, T [ → R continuement differentiable, solution

26

de (E) sur [0, T [. Cette solution est unique. Il existe un plus grand intervalled’existence [0, T ∗[, avec 0 < T ∗ ≤ +∞, et verifiant (principe des majorations apriori), soit [

supt∈[0,T∗[

‖ q(t) ‖< +∞]

=⇒ [T ∗ = +∞] .

De plus, si F est quasi-positive, alors : [q0 ≥ 0]⇒ [∀t ≥ 0, q(t) ≥ 0].

Definition : On dit que : Rn → Rn est quasi-positive si

∀i = 1...n, ∀q ∈ [0,∞)n, Fi(q1, . . . , qi−1, 0, qi+1, . . . , qn) ≥ 0.

Pour n = 2, cela correspond au dessin suivant pour le vecteur (F1, F2) qui doitetre rentrant (au moins au sens large) dans le quadrant positif, ce qui signifie :

∀q1, q2 ≥ 0, F1(0, q2) ≥ 0, F2(q1, 0) ≥ 0.

6q2

-q1

(F1 ≥ 0F2

)

@@I

(F1

F2 ≥ 0

)

Le theoreme de Cauchy-Lipschitz s’applique exactement a la situation dusysteme (15), ainsi qu’a tous les systemes consideres en cinetique chimique. Onpeut, par exemple, enoncer le corollaire suivant :

Corollaire 1 Dans le systeme (15), on suppose que les fonctions fij : Rn → Rn

sont continuement differentiables et que les fonctions Fi,0 : [0,∞[→ [0,∞[ sontcontinues et positives. Alors, pour toute donnee initiale q0 ≥ 0 ∈ Rn, il existeune solution q : [0,∞[→ [0,∞[n globale, positive et continuement derivable de(15).

Remarque : On obtient, avec la meme demonstration, l’existence globale desolutions positives pour les systemes (8), (10).

Demonstration du corollaire 1 : Verifions que les hypotheses du Theoreme1 sont satisfaites. Les fonctions

Fi(q) =∑j,j 6=i

fij(q, t)qj −∑j,j 6=i

fji

qi

27

sont continuement differentiables et quasi-positives puisque

Fi(q1, ..., qi−1, 0, qi+1, ...qn) =∑j,j 6=i

fij(q, t)qj + Fi,0 ≥ 0.

La donnee Fi,0 est continue et positive. Il y a donc existence locale de solutionspositives sur un intervalle maximum [0, T ∗[. Supposons T ∗ < +∞. D’apres (13),et d’apres la positivite de chacun des qi, on a l’estimation supt∈[0,T∗[ ‖q(t)‖ <+∞. On a donc une contradiction, ce dont on deduit T ∗ = +∞.

4 Systemes de reaction-diffusion.

4.1 Introduction d’une variable spatiale.

Il y a beaucoup de situations ou une bonne modelisation necessite d’intro-duire une variable spatiale. Ainsi, les concentrations deviennent des fonctionsdu temps t et d’une variable d’espace x (c = c(t, x)) qui varie dans un domaineΩ de R2,R3 ou plus generalement de Rd. La modelisation conduit alors a desequations aux derivees partielles ou interviennent aussi les derivees par rapporta la variable spatiale.

Nous allons surtout nous interesser ici aux phenomenes de reaction-diffusion.La partie reactive est celle qui correspond a l’etude du paragraphe precedent :a nouveau, on peut penser aux reactions chimiques de substances ou a despopulations qui interagissent entre elles. Mais, il faut y ajouter un phenomenede diffusion de ces substances ou de ces populations dans un milieu spatialambiant.

On peut, par exemple, reprendre le modele de propagation d’une epidemie in-troduit ci-dessus, mais ou les fonctions S, I,G,M dependent aussi d’une variablespatiale pour prendre en compte le deplacement des populations qui, comme onle sait, peut influencer considerablement la propagation d’une epidemie. Nousrenvoyons a l’expose fait dans le cadre de cette formation ou cette extension estprise en compte.http://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/Formation_IPR10/FichiersPresentations/

ducrot.html

Ci-dessous, nous evoquons l’exemple assez intuitif du traitement chimiqued’une piscine ou on imagine facilement la necessite de la prise en compte d’unevariable spatiale, sans pourtant qu’elle soit toujours necessaire.

Dans d’autres situations, l’introduction de la variable spatiale s’avere indis-pensable pour comprendre les phenomenes importants. Citons par exemple lesmodeles de morphogenese : c’est Alan Turing qui en 1952 [T] a mis en evidencel’apparition d’instabilites creees par la diffusion spatiale et qui expliquent desetats asymptotiques non homogenes en espace. Comme type de morphogenese,on peut penser a la peau des zebres, des tigres ou des girafes dont l’explication nepeut passer que par l’introduction d’une variable spatiale dans la representationde la pigmentation de la peau. On connaıt maintenant beaucoup de systemessimples de reaction-diffusion dont l’etat asymptotique est tout a fait similaire aces diverses alternances morphogenetiques.

28

4.2 Le traitement d’une piscine : une modelisation a com-plexite variable.

Pour s’impregner de ce que peut etre une modelisation spatio-temporelle,on peut penser au traitement d’une piscine. On sait que, pour lutter contrel’apparition de bacteries, de virus, d’amibes, d’algues, etc, on doit apporter desproduits chimiques. Ces produits sont deposes a certains endroits de la piscineet on comprend qu’il est necessaire qu’ils diffusent dans toute l’eau en presencepour agir efficacement. Ainsi, une modelisation complete doit prendre en comptela variable spatiale. Les phenomenes en jeu sont en fait tres complexes : si l’eauest brassee, ce qui est souvent le cas, il faut aussi prendre en compte des termesdus au transport des produits par l’eau ; il faudrait donc etre capable de decrirecompletement le mouvement de l’eau dans la piscine et introduire les equationsde Navier-Stokes dans le modele.

On devine aussi que la temperature de l’eau va jouer un role important, a lafois dans la vitesse des reactions chimiques, mais aussi pour les mouvements deconvection naturelle de l’eau generes par les gradients thermiques. Il faudraitdonc ajouter des equations de la thermodynamique pour surveiller l’evolutionde la temperature et y inserer les echanges thermiques air-eau...etc...

En fait, l’art de la modelisation est de savoir prendre en compte les phenome-nes importants, et de negliger les autres pour aboutir a un modele mathematiqueplus simple, donc utilisable, et qui reste cependant significatif. Ainsi, dansl’exemple de la piscine, on pourra oublier les variations de temperature etprendre des modeles a temperature constante : ceci est tout a fait justifie surdes periodes ou justement on fait en sorte que la temperature reste constante.On pourra meme oublier la variable spatiale : en effet, les reactions chimiquessont souvent lentes et, pour les modeliser, on peut considerer que la piscine aeu le temps d’etre suffisamment brassee (ou ”touillee”) et que les produits sontrepartis de facon homogene dans l’ensemble de la piscine...on revient donc a desconcentrations qui ne dependent que du temps ...et au paragraphe precedent...C’est ce qu’on fait, par exemple, pour modeliser l’evolution de la concentra-tion de chlore dans une piscine et pour expliquer que, paradoxalement, il fautajouter du chlore quand ”ca sent le chlore”. En effet, l’action du chlore sur lesmicro-organismes est assuree par l’acide hypochloreux HOCl. Il reagit sur lesmatieres azotees (comme l’uree) presentes dans l’eau selon la succession suivantede reactions chimiques :

HOCl +NH3 −→ NH2Cl +H2Oacide hypochloreux +ammoniaque monochloramine +eauHOCl +NH2Cl −→ NHCl2 +H2Oacide hypochloreux +monochloramine dichloramine +eauHOCl +NHCl2 −→ NHCl3 +H2Oacide hypochloreux +dichloramine trichloramine +eauetc . . .

L’etude cinetique conduit a la courbe suivante pour l’evolution du chlore resi-duel sous forme d’acide hypochloreux.

29

m d

t

O Chlore injecte

Chlore total

Cette etude ne necessite pas la variable spatiale et aurait donc pu etre placeedans le paragraphe precedent. Nous l’avons laissee la pour justement soulignertoute la relativite d’une modelisation : dans le cas de la piscine, on peut com-prendre beaucoup sans variable spatiale. Elle devient cependant utile si on sou-haite modeliser les etats transitoires ou les produits ne sont pas encore ”ho-mogeneises” dans l’ensemble de la piscine. La variable spatiale apporte alors iciun raffinement de la modelisation.

4.3 Un modele simple de reaction-diffusion

Nous allons maintenant montrer comment coupler la loi d’action de massevue au paragraphe precedent avec la prise en compte de la variable spatiale.Pour cela, nous reprenons la reaction chimique simple

A+Bk→ C . (18)

Sans variable spatiale, on sait que la loi d’action de masse conduirait au systeme a′(t) = −kabb′(t) = −kabc′(t) = kab .

Si maintenant a, b, c dependent aussi d’une variable spatiale, un modele stan-dard dont nous expliquons l’origine un peu plus loin, consiste a remplacer”mecaniquement” a′ par ∂ta− da∆a ou ∂t designe la derivee partielle par rap-port a t, ou ∆ =

∑di=1 ∂

2xixi

est l’operateur Laplacien par rapport a la variablex = (x1, ..., xd) qui varie dans un ouvert Ω ⊂ R

d et da ∈]0,∞[ est le coefficientde diffusion. Et on fait de meme pour b′, c′. On obtient le systeme d’equationsaux derivees partielles suivant : ∂ta− da∆a = −kab

∂tb− db∆b = −kab∂tc− dc∆c = kab.

(19)

30

En general, les coefficients de diffusions da, db, dc ∈]0,∞[ sont distincts, car lesdivers produits chimiques ne diffusent pas tous a la meme vitesse.

Bien sur, ici, les donnees initiales en t = 0 sont des fonctions de la variablex qui decrivent la repartition initiale spatiale des trois substances :

∀x ∈ Ω, a(0, x) = a0(x) ≥ 0, b(0, x) = b0(x) ≥ 0, c(0, x) = c0(x) ≥ 0. (20)

Pour ”fermer” le systeme, il est indispensable de decrire ce qui se passeau bord du domaine spatial Ω : on comprend, en effet, que l’evolution de laconcentration des substances va etre tout a fait differente selon qu’elles peuventdisparaıtre ou non au bord du domaine.

Une condition classique consiste a ecrire que le milieu est isole et que doncaucune des substances ne traverse la frontiere du domaine. On ecrit alors quele flux de matiere est nul a travers le bord ∂Ω de Ω ; selon le modele de Fickexplique ci-dessous, ce flux s’exprime par la derivee dans la direction normaleau bord, soit ∂na = ∇a · n ou ∇a est le vecteur gradient, ∇a = (∂x1a, ..., ∂xd

a)et n est le vecteur unitaire normal au bord et dirige vers l’exterieur. On obtientainsi les conditions dites de Neumann au bord :

∀t > 0,∀x ∈ ∂Ω, ∂na(t, x) = ∂nb(t, x) = ∂nc(t, x) = 0. (21)

Les conditions dites de Dirichlet au bord sont egalement souvent utilisees :

∀t > 0,∀x ∈ ∂Ω, a(t, x) = b(t, x) = c(t, x) = 0.

Si a, b, c designe par exemple des densites de populations, cette condition ex-prime que la frontiere de Ω est un milieu hostile et que la densite de populationy est nulle (ce qui, au passage, ne l’empeche pas de s’y echapper...on peut fuirle milieu hostile en passant a l’exterieur). D’ailleurs, contrairement au cas desconditions de Neumann, la population totale diminue en general dans le cas deconditions de Dirichlet au bord.

4.4 Loi d’action de masse et loi de Fick

Nous allons donner maintenant quelques elements d’explication de l’opera-tion mecanique qui consiste a remplacer a′ par ∂t − da∆ dans le modele.

En fait, comme explique un peu plus loin, la variation instantanee de laconcentration a = a(t, x) d’une substance A est donnee par

∂ta+ div(a~va)

ou ~va = ~va(t, x) ∈ Rd designe la vitesse de la particule de la substance A

qui se trouve au point x au temps t et div designe l’operateur divergence : si~v(t, x) = (v1(t, x), ..., vd(t, x)) ∈ Rd, div(~v) =

∑di=1 ∂xi

vi. Ainsi, la conservationde la masse de A s’ecrirait a l’aide de la fameuse equation, dite equation decontinuite :

∂ta+ div(a~va) = 0 pour (t, x) ∈]0,∞[×Ω. (22)

Ici, en l’occurrence, la masse de A n’est pas conservee, mais suit la loi d’ac-tion de masse qui exprime que la variation instantanee de concentration estproportionnelle aux concentrations des deux reactifs a, b, soit

∂ta+ div(a~va) = −kab pour (t, x) ∈]0,∞[×Ω. (23)

31

A nouveau, nous avons une inconnue de plus, a savoir la vitesse ~va. pour obtenirune nouvelle equation, a cette ”loi de conservation”, il faut ajouter une loi decomportement sur le flux de matiere a~va. Une loi classique simple est la loi deFick qui s’ecrit

a~va = −da∇a,ou da ∈]0,∞[ est appele coefficient de diffusion et ∇a =gradient de a =(∂x1a, ..., ∂xd

a). Cette loi exprime que le deplacement des particules se fait dansle sens oppose au gradient de a, c’est-a-dire des regions ou la concentration deA est le plus dense vers celles ou elle l’est le moins : on s’attend ainsi intuiti-vement a un phenomene de diffusion : les pics eventuels de concentration vontetre ’ecrases’ et aller remplir les ’trous’. Ainsi, l’equation (23) devient

0 = ∂ta− da div(∇a) = ∂ta− da∆a.

Le calcul est le meme pour les concentrations b, c dans la reaction (18), ce quiconduit donc au systeme (19) qu’on complete ensuite par les donnees initiales(20) et par les conditions au bord (21).

Expliquons maintenant pourquoi la variation instantanee de la concentrationa est donnee par ∂ta + div(a~va). Suivons au cours du temps un ensemble biendefini de particules de la substance A. Notons ω(t) ⊂ Ω le domaine variableoccupe par cet ensemble de particules et calculons la variation instantanee de laquantite de substance A se trouvant dans ω(t), soit

∫ω(t)

a(t, x)dx. Alors, sousdes hypotheses de regularite que nous supposons satisfaites,

d

dt

∫ω(t)

a(t, x)dx =∫ω(t)

[∂ta+ div(a~va)] (t, x)dx. (24)

Dire que la quantite de matiere de A est conservee reviendrait a dire que cettederivee est nulle pour tout ω(t) ⊂ Ω et pour tout t > 0, et on obtiendrait doncl’equation de continuite (22) qui exprime exactement que la variation instan-tanee de a est nulle. Ici, cette variation instantanee suit la loi d’action de masseet on obtient (23).

Le calcul de la derivee (24) en un point t0 se fait en changeant de variablepour ramener l’integrale sur ω(t), pour t voisin de t0, a une integrale sur ω(t0).Une demonstration peut par exemple etre trouvee dans [HP], Th. 5.2.2. A titreindicatif, donnons ici une demonstration directe dans le cas monodimension-nel ou ω(t) =]α(t), β(t)[ avec α, β des fonctions continuement derivables. Onsuppose aussi a continuement differentiable. Alors

d

dt

∫ β(t)

α(t)

a(t, x)dx = β′(t)a(t, β(t))− α′(t)a(t, α(t)) +∫ β(t)

α(t)

∂ta(t, x) dx

=∫ β(t)

α(t)

[∂ta+ ∂x(av)] (t, x) dx,

cette derniere expression utilisant que v(t, β(t)) = β′(t), v(t, α(t)) = α′(t).

4.5 Les mathematiques des systemes de reaction-diffusion

Pour les systemes de reaction-diffusion du type (19-20-21), de facon ana-logue au theoreme 1 de Cauchy-Lipschitz enonce au paragraphe precedent, on

32

peut prouver l’existence locale en temps de solutions ”regulieres” lorsque lesdonnees initiales a0(·), b(·), c(·) sont bornees (et mesurables). Les solutions res-tent egalement positives au cours du temps : en fait, l’introduction de diffusionsne perturbe pas la positivite.

Nous avons vu au corollaire 1 qu’il y avait aussi toujours existence globaledans les systemes differentiels traites ici. Pour les systemes correspondants dereaction-diffusion, la question d’existence globale est en revanche une questiondifficile : elle est ouverte en general. Un etat de l’art peut etre trouve dans ([P]) :on y trouve qu’il y a existence globale pour le systeme (19-20-21). Cependant,l’existence de solutions globales regulieres est encore ouverte pour un systemeaussi simple que le suivant qui correspond a la reaction chimique

A1 +A2

k1k2

A3 +A4,

et qui s’ecrit ∂ta1 − d1∆a1 = k2a3a4 − k1a2a3

∂ta2 − d2∆a2 = k2a3a4 − k1a2a3

∂ta3 − d3∆a3 = k1a2a3 − k2a3a4

∂ta4 − d4∆a4 = k1a2a3 − k2a3a4,

ce a quoi on ajoute conditions initiales et conditions au bord de Ω.

References

[A] J.M. Arnaudies, Equations differentielles de fonctions de variable reelleou complexe, Ellipse, 2000

[BB] J.P. et F. Bertrandias, Mathematiques pour les sciences de la vie, de lanature et de la sante, Presses Universitaires de Grenoble, 1997.

[HP] Antoine Henrot et Michel Pierre, Variation et optimisation de formes.Une analyse geometrique. Springer, Math.&Appli. 48, 2005.

[LA] J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudies, Cours de mathematiques, Tome 4 :equations differentielles, integrales multiples, Dunod, 1974.

[L] S. Logan, Introduction a la cinetique chimique. Cours et exercices corriges,Dunod, 1998.

[P] Michel Pierre, Global Existence in Reaction-Diffusion Systems withControl of Mass : a Survey, Milan Journal of Mathematics, Vol. 78, Heft2 (2011).

[T] A.M. Turing, The chemical basis of morphogenesis, Phil. Trans. Roy. Soc.B, bf 237 (1952), pp 83-99.

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