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Axe MSA Bilan scientifique et perspectives ENSM.SE L. Carraro - 17 décembre 07

Axe MSA Bilan scientifique et perspectives

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Axe MSABilan scientifique et perspectives

ENSM.SEL. Carraro - 17 décembre 07

17 décembre 07 2

Plan

Compétences acquises domaines scientifiques compétences transverses

Domaines ou activités accessibles : immédiatement au prix d’adaptations faciles via des efforts conséquents

Conclusion

17 décembre 07 3

Cartographie (domaines scientifiques)

Complexité croissante

spatial

temporel

statique

monodim

linéaire

multidim

non linéaire

multidim

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Cartographie (domaines scientifiques)

Cours 1A

spatial

temporel

statique

monodim

linéaire

multidim

non linéaire

multidim

séries chros

anal. données

plans exp.

régression

proc

essu

s

projet

17 décembre 07 5

Cartographie

Compétences transverses Questionnement sur un problème

– Compréhension– Prise en compte du contexte, des contraintes– Rapport coût/qualité

Communication– écrite– orale

Travail en groupe

17 décembre 07 6Domaines ou activitésaccessibles immédiatement

Etudes de données expérimentales laboratoires (industrie, santé…) mise en évidence de facteurs importants service qualité

Prévisions prévisions de vente ou de consommation finance, assurances prévisions de coûts

17 décembre 07 7Domaines ou activitésaccessibles immédiatement

Aide à la décision construction d’indicateurs probabilisation de décisions sociétés de conseil (finance, risques…)

Appui méthodologique à un autre domaine mécanique, matériaux procédés, environnement santé

17 décembre 07 8Domaines ou activitésaccessibles facilement

Statistical Process Control. Traitement statistique du signal. Séries temporelles multidimensionnelles,

économétrie. Régression non linéaire. Méthodes non paramétriques en petite

dimension.

17 décembre 07 9

Aller plus loin ?

Cours 1A

séries chros

anal. données

spatial

temporel

statique

monodim

linéaire

multidim

non linéaire

multidim

plans exp.

régression

proc

essu

s

géostatistique linéaire géostatistique non linéaire

traitement du signal - filtrage

analyse d’images

Apprentissage statistique :réseaux de neurones

support vector machinesbagging, boosting

calc

ul st

ocha

stiq

uepr

oces

sus,

cham

ps d

e M

arko

v

compression, ondelettes

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Aller plus loin ?

Cours 1A

séries chros

anal. données

spatial

temporel

statique

monodim

linéaire

multidim

non linéaire

multidim

plans exp.

régression

proc

essu

s

géostatistique linéaire géostatistique non linéaire

traitement du signal - filtrage

analyse d’images

Apprentissage statistique :réseaux de neurones

support vector machinesbagging, boosting

calc

ul st

ocha

stiq

uepr

oces

sus,

cham

ps d

e M

arko

v

compression, ondelettes

17 décembre 07 11Filtrage de Kalmanet modèles d’état

Modèle d’état : équation d’état équation d’observationYn : vecteur p*1 observé au temps nXn : vecteur q*1 décrivant le système au temps nEn, Fn : vecteurs de résidus aléatoires

Modèle discret d’équation différentiellebruitée, avec mesure.

!

Xn

= FXn"1 +G#

n

Yn

=HXn

+ Fn

17 décembre 07 12

Cas d’un ARMA(2,1)

!

Xn

=xn

xn"1

#

$ %

&

' ( , En

=)n

)n"1

#

$ %

&

' ( , Yn = x

n

!

Xn

="1

"2

1 0

#

$ %

&

' ( Xn)1 +

1 )*1

0 0

#

$ %

&

' ( En

Yn

= 1 0[ ] Xn

!

xn" #

1xn"1 " #2 xn"2 = $

n"%

1$n"1

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Problèmes traités

Filtrage :E(Xn/Y1,…,Yn) = ?

Prévision :E(Xn+h/Y1,…,Yn) = ?Var(Xn+h/Y1,…,Yn) = ?Loi de Xn+h/Y1,…,Yn) = ?

Algorithme de Kalman, valable en temps continu(ED stochastiques), non stationnaire.

Applications innombrables aux pbs temps réel (cf.aéronautique)

Vers le contrôle…

17 décembre 07 14

Géostatistique

Historique : exploitation minière (or) D. Krige, G. Matheron Modélisation de phénomènes spatiaux :

– Géométrie en 2D ou 3D (ou ND !)– Observations non régulières

Observation d’une fonction y(x) en certainspoints x de l’espace.

Objectif = prévoir y(x) pour des x non observésou inobservables.

17 décembre 07 15

Modèle probabiliste

y(x) est supposé être la réalisation d’un processusgaussien Y(x) tel que :

γ est le (demi-) variogramme du processus

Si Var(Y(x)) = σ2 :!

E Y(x)[ ] =m

E Y(x + h) "Y(x)( )2[ ] = 2 #(h)

!

cov(Y(x),Y(x + h)) = "2 # $(h)

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Lien variogramme-processus

17 décembre 07 17

Simulations en 2D

17 décembre 07 18

Simulations en 2D

17 décembre 07 19

Applications

Tous les domaines qui mettent en œuvre desvariables spatiales non totalementaccessibles : Mines, pétrole, gaz Environnement Halieutique Computer experiments …

17 décembre 07 20Estimation de la longueurmoyenne du hareng écossais

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Carte au toit d’un champpétrolier

17 décembre 07 22

Vers l’apprentissage statistique

Arbres de régression :Principe :

– Première séparation :Parmi tous les prédicteurs et tous les niveaux, trouver

ceux qui séparent la réponse en deux groupes lesplus hétérogènes (déviance)

– Séparations suivantes :Recommencer dans chaque sous-groupe– Elagage de l’arbreRemonter dans l’arbre et couper les branches

homogènes.

17 décembre 07 23

Exemple : données de spam

1 réponse qualitative : spam ou pas spam 57 prédicteurs : fréquence d’apparition de

caractères ou de mots. 4601 observations

NB :X. = ; X..3=!X..1=( X..4=$X..2=[ X..5=#

17 décembre 07 24Arbre avant élagage

17 décembre 07 25Arbre après élagage

17 décembre 07 26Problèmes de stabilité

17 décembre 07 27

Modèles de ruine

Origine : assurances sinistres, conceptionde barrages, fils d’attentes…

Réserve de risque Z(t)au temps t :Z(t) = x + βt - X(t)– x = capital initial– β = taux (constant) de primes d’assurances entrantes– X(t) = montant des sinistres cumulé au temps t

!

X(t) = Xk

k=1

Nt

"

17 décembre 07 28

Hypothèses et premiers éléments

– (Nt)t est un processus de Poisson homogèned’intensité λ

– Les variables Xk sont i.i.d. d’espérance µ

Et par suite :

Donc on doit avoir!

E(X(t) /Nt) = µN

t

!

E(Z(t)) = x +"t # $µt

!

" > #µ

17 décembre 07 29

Vers la théorie de la ruine

Explicitation du lien entre x et P(T<+∞)T = instant de ruine = Inf{t, Z(t)<0}

Difficulté du problème : Théorique (voir martingales) Numérique (processus à sauts) Introduction de la réassurance…

17 décembre 07 30

Conclusion

Axe MSA = des bases solides Compléments méthodologiques :

option maths applis finance, assurance autres…

Compléments applicatifs : tous domaines