BA-Cruciforme

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1

FLAMBEMENT PAR TORSIONET PAR FLEXION-TORSION

D’UNE BARRE COMPRIMÉE

par A. BUREAU

1. – INTRODUCTION

Dans le domaine de la construction métallique, le flambement d’une barre simplementcomprimée est un phénomène bien connu du projeteur. Le phénomène auquel on seréfère le plus souvent est le flambement dit «par flexion» car le mode d’instabilité faitapparaître de la flexion dans la barre.

Dans certains cas particuliers, la résistance au flambement d’une barre peut être gou-vernée par un mode d’instabilité beaucoup moins connu : il s’agit du flambement par

torsion ou par flexion-torsion.Pour chacun des trois modes d’instabilité, la figure 1 montre le déplacement de la sec-tion droite à mi-longueur d’une barre soumise à un effort de compression supposéappliqué au centre de gravité, selon le type de section pour lequel le mode concernépeut représenter un mode potentiel de flambement.

Fig. 1 – Modes de flambement d’une barre simplement comprimée

1

CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIEL

DE LA CONSTRUCTION MÉTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78471 Saint-Rémy-lès-Chevreuse CedexTél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38

Construction Métallique, n° 2-2004

Revue

Construction

Métallique

A. BUREAU – CTICM : Département Construction Métallique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

Rubrique




40 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

2

Face à un phénomène qui peut sembler complexe pour le projeteur, cette note tech-nique a pour principal objet de présenter les expressions qui permettent de calculer lacharge critique de flambement par torsion et par flexion-torsion. Ces expressions sontaccompagnées de commentaires quant à leur application pratique, ainsi que

d’exemples. Précisons que le domaine d’application de cette note technique se limiteaux barres à section constante, soumises à un effort axial de compression constant surleur longueur.

Le lecteur intéressé par le fondement théorique de ces expressions pourra se reporter àla littérature spécialisée, en particulier à la référence [6].

2. – PRINCIPALES NOTATIONS

A : aire de la section transversale

E : module d’élasticité longitudinale (E = 210000 N/mm2 pour l’acier)

G : module d’élasticité transversale (G = 80770 N/mm2 pour l’acier)

i y , i z : rayons de giration par rapport aux axes principaux de la section

I y , I z : moments d’inertie de flexion par rapport aux axes principaux de la section

I t : inertie de torsion

I w : inertie de gauchissement

I 0 : inertie polaire par rapport au centre de cisaillement

N cr.y : effort normal critique de flambement par flexion / yy

N cr.z : effort normal critique de flambement par flexion / zz

N cr.T : effort normal critique de flambement par torsion

N cr.TF : effort normal critique de flambement par flexion-torsion

y 0, z 0 : coordonnées du centre de cisaillement par rapport au centre de gravité.

3. – PRÉSENTATION DE LA FORMULATION

3,1. – Flambement par torsion

La figure 2 donne des exemples de sections sujettes au risque de flambement par tor-sion.




Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 41

3

Fig. 2 – Exemples de sections sujettes au flambement par torsion

L’effort normal critique de flambement par torsion N cr.T d’une barre à section supposéeindéformable est obtenu par :

N cr.T = GI t + (1)

où :

– I 0 est l’inertie polaire par rapport au centre de cisaillement de la section :

I 0 = I y + I z + (y 02 + z 0

2)A

– y 0 et z 0 sont les coordonnées du centre de cisaillement S (ou centre de torsion) de lasection par rapport au centre de gravité (voir fig. 3). Pour une section doublementsymétrique, le centre de cisaillement S est confondu avec le centre de gravité G , on aalors :

y 0 = 0 et z 0 = 0

Fig. 3 – Coordonnées du centre de cisaillement S par rapport au centre de gravité G

– Lk.T est la longueur de flambement à considérer pour le flambement par torsion

En posant :

i y 2 = I y / A et i z

2 = I z / A

et i 02 = i y 2 + i z 2 + y 02 + z 02

i y et i z sont les rayons de giration par rapport aux axes principaux de la section.

π2EI w

L2k.T

A

I 0





4

L’effort normal critique de flambement par torsion peut s’écrire :

N cr.T =

GI t +

(2)

Note : Pour le calcul des propriétés des sections, en particulier celles qui concernent latorsion (position du centre de cisaillement, inertie de torsion, inertie de gauchissement), le lecteur pourra se reporter à l’Annexe G de l’EC3-DAN [3] ou bien àdes notes techniques parues dans la revue Construction Métallique [ 7, 8, 9].

Conditions aux limites et longueur de flambement Lk.T

Tout déplacement latéral des sections d’extrémité de la barre est supposé empêché(u = 0, v = 0). Les sections d’extrémité sont supposées bloquées en rotation autour del’axe de la barre (φ = 0).

La longueur de flambement Lk.T pour le flambement par torsion s’apparente à la lon-gueur de flambement par flexion des fibres les plus éloignées de l’axe de rotation de labarre. Si l’on doit considérer que le gauchissement des sections d’extrémité n’est pasempêché, la longueur de flambement Lk.T doit être prise égale à la longueur d’épure. Enrevanche, si l’on peut admettre un encastrement parfait des deux sections d’extrémitévis-à-vis du gauchissement, la longueur de flambement Lk.T peut être prise égale à lamoitié de la longueur d’épure. Il est rare de pouvoir se placer dans ce dernier cas, etsauf justification étayée de telles hypothèses, on se placera généralement dans le pre-mier cas.

Remarque

Il faut noter que pour certains types de section, dans l’expression de l’effort normal cri-tique de flambement par torsion, le terme de gauchissement (π2 EI w / Lk.T

2) peut être trèsfaible par rapport au terme de torsion uniforme (GI t ). Dans ce cas, l’effort critique variepeu avec la longueur de flambement Lk.T , ce qui n’est pas le cas du flambement parflexion. Pour des barres de faible longueur, le flambement par torsion peut donc devenirdéterminant.

À longueurs de flambement égales pour les 2 modes d’instabilité, le flambement partorsion est d’autant plus à craindre que la longueur de flambement est faible.

Le mode de flambement par torsion «pure» ne peut apparaître que pour des sectionsdont le centre de cisaillement est confondu avec le centre de gravité. Dans les autrescas, le mode d’instabilité de la barre combinera la flexion et la torsion (voir § 3.2).

Le flambement par torsion peut-il représenter un mode d’instabilité prédominant pourun profil en I ?

À longueurs de flambement égales, l’effort normal critique de flambement par flexionpar rapport à l’axe de faible inertie N cr.z d’un profil en I est généralement plus faible quepour le flambement par torsion. Pour des longueurs de flambement relativementfaibles, l’effort normal critique N cr.T peut toutefois prendre des valeurs inférieures à N cr.z ,mais cela correspond à une gamme d’élancements faibles. À titre d’exemple, la figure 4présente l’évolution de l’effort normal critique d’un profilé HEA 200 pour les 3 modes deflambement, en fonction de la longueur de flambement. On constate que le mode deflambement par torsion devient prédominant pour des longueurs de flambement infé-

rieures à 1,40 m. Cependant dans ce domaine, l’écart entre les courbes de N cr.z et deN cr.T reste très faible. Ces courbes ont été tracées à partir de la formule d’Euler pour N cr.y

et N cr.z et de l’expression (1) pour N cr.T .

π2EI w

L2

k.T

1

i 0

2





5

Fig. 4 – Effort normal critique pour un profilé HEA 200

En revanche, si l’on considère le cas d’un maintien latéral à mi-hauteur d’un poteaus’opposant au déplacement transversal de la section, sans s’opposer à sa rotation

autour de l’axe du poteau, le flambement par torsion peut devenir déterminant. Selon lareprésentation schématique de la figure 5, la longueur de flambement par torsion est lalongueur de la barre, alors que la longueur de flambement par rapport à l’axe de faibleinertie est la moitié de la longueur de la barre.

Fig. 5 – Section à mi-hauteur maintenue vis-à-vis du déplacement latéral





6

3,2. – Flambement par flexion-torsion

3,21. – Cas général

La figure 6 donne des exemples de sections sujettes au flambement par flexion-torsion.

Fig. 6 – Exemples de sections sujettes au flambement par flexion-torsion

L’effort normal critique pour le flambement par flexion-torsion N cr.TF est la plus petiteracine de l’équation cubique en N suivante :

(N – N cr.y )(N – N cr.z )(N – N cr.T ) – N 2y 02(N – N cr.z ) – N 2z 0

2(N – N cr.y ) = 0 (3)

où : N cr.y est l’effort normal critique pour le flambement par flexion / yy : N cr.y =

N cr.z est l’effort normal critique pour le flambement par flexion / zz : N cr.z =

N cr.T est calculé par l’expression (1) donnée au paragraphe précédent.

L’équation (3) montre que dans le cas particulier où le centre de cisaillement estconfondu avec le centre de gravité (y 0 = z 0 = 0), les racines de l’équation sont : N cr.y , N cr.z

et Ncr.T . Le problème se ramène simplement au cas du paragraphe précédent.

L’équation (3) peut aussi s’écrire sous la forme :

N 3 +

(N cr.y z0

2 + N cr.z y 02) – (N cr.y + N cr.z + N cr.T )

N 2

+ (N cr.y N cr.z + N cr.z N cr.T + N cr.T N cr.y )N – N cr.y N cr.z N cr.T = 0 (4)

3,22. – Cas d’une section symétrique /yy

En supposant que l’axe yy soit l’axe de symétrie de la section (voir fig. 7), l’effort normalcritique de flambement par flexion-torsion peut être calculé à l’aide de l’expression sui-vante :

N cr.TF = N cr.y + N cr.T –(N cr.y + N cr.T )2 – 4N cr.y N cr.T (5)I y + I z

I 0

I 0

2(I y + I z )

A

I 0

I y + I z

I 0

π2EI z

L2k.z

π2EI y

L2k.y

I 0

A





7Fig. 7 – Exemple de section symétrique /yy

Dans ce cas, le flambement dans le plan de symétrie, donc ici le flambement par rapportà l’axe zz , est déconnecté du mode d’instabilité par torsion. Il y a lieu de retenir le mode

d’instabilité le plus défavorable entre le flambement par rapport à l’axe zz et le flambe-ment par flexion-torsion.

Ce cas ne doit pas être considéré comme un cas particulier du cas précédent. L’expres-sion (5) ne peut être retrouvée à partir des équations (3) ou (4). Le problème de bifurca-tion d’équilibre doit être repris au niveau de l’écriture des équations différentielles, pourfaire apparaître le découplage du flambement par flexion vis-à-vis des autres modes.

Lorsque l’axe de symétrie n’est pas l’axe yy mais l’axe zz , il suffit de remplacer N cr.y parN cr.z dans l’expression (5), voir l’exemple d’application du § 4.2.

3,3. – Calcul de la résistance au flambement

On peut admettre que la vérification de la résistance au flambement par torsion ou parflexion-torsion d’une barre comprimée peut être effectuée selon les règles de calcul uti-lisées pour l’ouvrage étudié (règles CM66 [1], EC3-DAN [2]…), bien que les formules derésistance de ces règles aient été établies et calibrées pour le flambement par flexion.En effet, les méthodes de vérification de résistance au flambement par flexion utilisentgénéralement la charge critique élastique comme référence, par exemple :

– l’effort normal critique N cr pour l’EC3-DAN (§ 5.5.1),

– la contrainte critique σk pour les règles CM66 (§ 3,4).

L’effort normal critique N cr et la contrainte critique σk (= N cr / A) peuvent être déterminésà l’aide des formules présentées précédemment, et il est ensuite aisé de se placer dansle contexte des règles utilisées.

On notera que pour l’Additif 80 aux Règles CM66 [1], le coefficient k 0 dû au flambementest calculé en fonction de l’élancement réduit dont la définition est analogue à l’élance-ment réduit de l’EC3-DAN :

–λ = =

en reprenant la notation de l’Additif 80 aux Règles CM66 (σe : limite d’élasticité).

L’Additif 80 utilise les courbes européennes de flambement. On peut admettre que letableau (A, B ou C) soit choisi en fonction du type de section comme indiqué au § 5,31de l’Additif 80, comme pour le flambement par flexion.

Aσe

N cr

σe

E

λ

π





8

En ce qui concerne l’EC3-DAN [2], la courbe de flambement n’est pas seulement fonc-tion du type de section, mais aussi de l’axe de flambement considéré. Pour le calcul dela résistance au flambement par torsion ou flexion-torsion, on pourra admettre de rete-nir la courbe qui correspond au flambement par rapport à l’axe de faible inertie. C’est

d’ailleurs l’option retenue dans le projet de norme Européenne pr EN 1993-1-1 § 6.3.1.4[5]. On notera au passage, que ce dernier document traite explicitement le mode d’insta-bilité par torsion ou flexion-torsion.

Dans le cas des éléments minces formés à froid, la partie 1-3 de l’Eurocode 3 [4] imposel’utilisation de la courbe b (§ 6.2.3 de la référence [4]).

3,4. – Récapitulatif

TABLEAU 1

Formes de section et modes de flambement

4. – EXEMPLES D’APPLICATION

4,1. – Cas de flambement par torsion

Cet exemple a pour objet de déterminer la résistance au flambement d’un poteau de6 m de hauteur, soumis à un effort axial de compression. Cet élément est constitué de 2





9

profilés laminés (IPE 270 et IPE 300) en acier S235 assemblés par soudage de façon à for-mer une section cruciforme comme indiqué sur la figure 8. On admet que la hauteur duprofilé IPE 270 après oxycoupage et soudage sur l’âme du profilé IPE 300 est conservée.

La résistance au flambement sera calculée selon l’EC3-DAN partie 1-1 [2].

Fig. 8 – Section cruciforme

Caractéristiques de la section (voir Annexe)

Le centre de cisaillement S est confondu avec le centre de gravité G .

Aire de la section : A = 99,76 cm2

Inertie de flexion / yy : I y = 8776 cm4

Inertie de flexion / zz : I z = 6394 cm4

Inertie polaire (/ G ou / S ) : I 0 = 15170 cm4

Inertie de torsion : I t = 36,06 cm4

Inertie de gauchissement : I w = 196550 cm6

Conditions de maintien aux extrémités et longueurs de flambement

Il est admis que les sections aux deux extrémités sont maintenues vis-à-vis du déplace-ment latéral dans toutes les directions. Les sections sont libres en rotation par rapport àleurs axes principaux. Il en résulte que la longueur de flambement par flexion du poteaudoit être prise égale à la longueur d’épure :

Lk.y = 6 m

Lk.z = 6 m

Les sections aux extrémités du poteau ne sont pas libres de tourner autour de l’axe lon-gitudinal du poteau. En revanche, on doit considérer que le gauchissement n’est pasempêché. Par conséquent, la longueur de flambement pour le flambement par torsion

doit aussi être prise égale à la longueur d’épure :

Lk.T = 6 m





10

Efforts normaux critiques

Effort normal critique pour le flambement par flexion par rapport à l’axe fort :

N cr.y = = × 10–3 = 5052 kN

Effort normal critique pour le flambement par flexion par rapport à l’axe faible :

N cr.z = = × 10–3 = 3681 kN

Effort normal critique pour le flambement par torsion :

N cr.T =

GI t +

= 80770 × 360600 + × 10–3 = 2659 kN

L’effort normal critique minimal est donc celui pour le flambement par torsion. Lafigure 9 présente l’évolution de l’effort normal critique de flambement de la barre enfonction de la longueur de flambement. On constate que le mode de flambement partorsion devient prédominant pour une longueur de flambement inférieure à environ7,40 m.

Fig. 9 – Effort normal critique en fonction de la longueur de flambement pour chaque mode

Classe de la section

En application de l’Eurocode 3 partie 1-1 [2], la résistance au flambement dépend de la

classe de la section. La classe peut être déterminée selon le paragraphe 5.3. Il convientde classer chaque paroi qui compose la section, celle-ci étant ici uniformément compri-mée (fig. 8).

π2 × 210000 × 196550 × 106

60002

9976

15170 × 104

π2EI w

L2

k.T

A

I 0

π2 × 210000 × 6394 × 104

60002

π2EI z

L2k.z

π2 × 210000 × 8776 × 104

60002

π2EI y

L2k.y





11

Pour l’acier S235, ε = 1

Profilé IPE 270 Semelle = = 6,62 10ε Classe 1

Âme = = 16,06 33ε Classe 1

Profilé IPE 300 Semelle = = 7,01 10ε Classe 1

Âme = = 17,04 33ε Classe 1

La section est donc de Classe 1

Résistance au flambement

La résistance au flambement est calculée selon l’Eurocode 3 partie 1-1 § 5.5.1 [2] :

N b.Rd = χβAAf y / γ M 1

où : γ M 1 est le coefficient partiel de sécurité γ M 1 = 1,1 (EC3-DAN § 5.1.1 (2))

f y est la limite d’élasticité : f y = 235 N/mm2

pour les sections de Classe 1, 2 ou 3 : βA = 1

χ est le coefficient de réduction minimal pour les différents modes de flambement.Il est fonction de l’élancement réduit et de la courbe de flambement appropriée.

La courbe de flambement à utiliser est déterminée selon le tableau 5.5.3 [2]. Bien qu’ils’agisse ici d’une section en croix reconstituée à partir de profilés laminés, nous choisis-sons de rester dans l’hypothèse de profilés laminés en I pour déterminer la courbe deflambement. Avec h / b 1,2 et t f 40 mm, nous avons :

– courbe a pour le flambement / yy

– courbe b pour le flambement / zz.

Nous pouvons retenir la courbe b pour le flambement par torsion, conformément à cequi est expliqué en 2.3 de cette note.

L’effort normal critique le plus faible étant celui pour le flambement par torsion N cr.T , et

la courbe de flambement la plus défavorable étant celle qui correspond aussi à ce modede flambement, il suffit de calculer le coefficient de réduction pour ce mode :

– élancement réduit :

–λ = = = 0,939 0,2

– coefficient de réduction :

facteur d’imperfection pour la courbe b : α = 0,34

φ = 0,5[1 + α(–λ – 0,2) +

–λ 2] = 0,5[1 + 0,34(0,939 – 0,2) + 0,9392] = 1,066

χ = = = 0,63611,066 + 1,0662 – 0,9392

1φ + φ2 –

–λ 2

1 × 9976 × 235

2659000

βAAf y

N cr.T

121

7,1

d

t w

150/2

10,7

c

t f

106

6,6

d

t w

135/2

10,2

c

t f





12

Nous pouvons donc calculer la résistance au flambement par torsion :

N b.Rd = (0,636 × 1 × 9976 × 235/1,1)/ 1000 = 1355 kN

La résistance minimale au flambement par flexion est ici de 1547 kN, soit un écartd’environ 12 %.

4,2. – Cas de flambement par flexion-torsion

Traitons le cas d’un élément simplement comprimé à section transversale en Té consti-tuée par 2 plats soudés en acier S235 (fig. 10).

Longueur de la barre : 2,40 m

La résistance au flambement sera calculée selon l’EC3-DAN partie 1-1 [2].

Fig. 10 – Section transversale en Té

Caractéristiques de la section

Aire de la section : A = 32 cm2

Position du centre de gravité G par rapport à la fibre inférieure :

z G = 112,2 mm

Inertie de flexion / yy : I y = 673,13 cm4

Inertie de flexion / zz : I z = 487,17 cm4

Position du centre de cisaillement S par rapport au centre de gravité :

z S = 32,8 mm

Inertie polaire / S : I 0 = 1504,57 cm4

Inertie de torsion : I t = 10,83 cm4

L’inertie de gauchissement de ce type de section peut être négligé : I w 0





13

Conditions de maintien aux extrémités et longueurs de flambement

Il est admis que les sections aux deux extrémités sont maintenues vis-à-vis du déplace-ment latéral dans toutes les directions. Les sections sont libres en rotation par rapport à

leurs axes principaux. Il en résulte que la longueur de flambement par flexion du poteaudoit être prise égale à la longueur d’épure :

Lk.y = 2,40 m

Lk.z = 2,40 m

Les sections aux extrémités du poteau ne sont pas libres de tourner autour de l’axe lon-gitudinal du poteau. L’inertie de gauchissement étant négligeable, la longueur de flam-bement pour le mode de flambement par torsion n’intervient pas.

Efforts normaux critiques

Effort normal critique pour le flambement par flexion par rapport à l’axe fort (yy ) :

N cr,y = = × 10–3 = 2422 kN

Effort normal critique pour le flambement par flexion par rapport à l’axe faible (zz ) :

N cr,z = = × 10–3 = 1753 kN

Effort normal critique pour le flambement par torsion :

L’inertie de gauchissement étant négligeable, l’effort normal critique de flambement partorsion se réduit à :

N cr.T = (GI t ) = (80770 × 108300) × 10–3 = 1860 kN

Effort normal critique pour le flambement par flexion-torsion :

La section étant symétrique par rapport à l’axe zz , l’expression (5) peut être utilisée enremplaçant N cr.y par N cr.z soit :

N cr.TF =

N cr.z + N cr.T –

(N cr.z + N cr.T )2 – 4N cr.z N cr.T

On calcule :

= = 1,296

N cr.z + N cr.T = 1753 + 1860 = 3613 kN

et : N cr.TF = 3613 –(3613)2 – = 1221 kN

L’effort normal critique de flambement par flexion-torsion est inférieur de plus de 30 %à l’effort normal critique de flambement par torsion (N cr.T ), et à l’effort normal critiquede flambement par flexion (N cr.z ).

4 × 1753 × 1860

1,296

1,296

2

1504,57

673,13 + 487,17

I 0

I y + I z

I y + I z

I 0

I 0

2(I y + I z )

3200

1504,57 × 104

A

I 0

π2 × 210000 × 487,17 × 104

24002

π2EI z

L2k.z

π2 × 210000 × 673,13 × 104

24002

π2EI y

L2k.y





14

Classe de la section

En application de l’Eurocode 3 partie 1-1 [2], la classe de la section est la classe la plusélevée de celles de la semelle et de l’âme. Il s’agit ici d’une section soudée. La gorge descordons de soudure est négligée dans le calcul de l’élancement de chaque paroi.

Pour l’acier S235, ε = 1

Semelle = = 8,5 9ε Classe 1

Âme = = 14 14ε Classe 3

La section est donc de Classe 3

Résistance au flambement

La résistance au flambement est calculée selon l’EC3-DAN partie 1-1 § 5.5.1 [2] :

N b,Rd = χβAAf y / γ M 1

où : γ M 1 = 1,1 (EC3-DAN § 5.1.1 (2))

A = 32 cm2

f y = 235 N/mm2

pour les sections de classe 1, 2 ou 3 : βA = 1

Le coefficient de réduction χ est déduit de l’élancement réduit calculé avec l’effort nor-mal critique le plus faible (N cr.TF ), et de la courbe de flambement appropriée. Selon letableau 5.5.3 de l’EC3-DAN, nous devons retenir la courbe c pour une section en Té :

– élancement réduit :

–λ = = = 0,785 0,2

– coefficient de réductionfacteur d’imperfection pour la courbe c : α = 0,49

φ = 0,5[1 + α(–λ – 0,2) +

–λ 2] = 0,5[1 + 0,49(0,785 – 0,2) + 0,7852] = 0,951

χ = = = 0,672

Nous pouvons donc calculer la résistance au flambement par flexion-torsion :

N b.Rd = (0,672 × 1 × 3200 × 235/1,1)/ 1000 = 459,4 kN

La résistance minimale au flambement par flexion est ici de 514,3 kN, soit un écartd’environ 11 %.

1

0,951 + 0,9512 – 0,7852

1

φ + φ2 ––λ 2

1 × 3200 × 235

1221000

βAAf y

N cr.TF

140

10

d

t w

(180 – 10)/2

10

c

t f





15

5. – RÉFÉRENCES

[1] Règles de calcul des constructions en acier (Règles CM66 et Additif 80).Éditions Eyrolles.

[2] Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier» et Document d’Application Nationale(EC3-DAN) – Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments.AFNOR. Décembre 1992.

[3] Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier» et Document d’Application Nationale– Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments – Amendement A2.AFNOR. Septembre 2002.

[4] Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier» et Document d’Application Nationale– Partie 1-3 : «Règles générales – Règles supplémentaires pour les profilés etplaques à parois minces formés à froid». AFNOR. Mars 1998.

[5] pr EN 1993-1-1 – Eurocode 3 – «Calcul des structures en acier» – Partie 1-1 : Règlesgénérales et règles pour les bâtiments. Projet Stade 49. Comité Européen de Nor-malisation. Novembre 2003.

[6] S. P. Timoshenko et J. M. Gere – Theory of elastic stability. 2nd edition. McGraw-Hill. 1961.

[7] L. Sokol – Calcul des caractéristiques géométriques de torsion des profils ouverts àparois minces. Revue Construction Métallique n° 1-1989. CTICM

[8] S. Baraka — Caractéristiques torsionnelles des profils à parois minces. RevueConstruction Métallique n° 1-1996. CTICM.

[9] S. Baraka et A. Bureau – Calcul des contraintes dues à la torsion. Revue Construc-tion Métallique n° 1-2000. CTICM.

[10] H. Djalaly – Calcul de la résistance ultime des barres au flambement par flexion-tor-sion. Revue Construction Métallique n° 4-1973. CTICM.





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ANNEXE

Inerties d’une section cruciforme

Moment d’inertie / yy : I y = I y .1 + I z .2

Moment d’inertie / zz : I z = I y .2 + I z .1

Inertie de torsion : I t = I t .1 + I t .2

Inertie de gauchissement : I w = [t 1 b 13 (h1 – t 1)2 + (t 2 b 2

3 (h2 – t 2)2 ]/24

où : I y .1 et I y .2 : moments d’inertie /axe fort des profils de baseI z .1 et I z .2 : moments d’inertie /axe faible des profils de base

I t .1 et I t .2 : inerties de torsion des profils de base

h1 et h2 : hauteurs des profils de base

b 1 et b 2 : largeurs des semelles des profils de base

t 1 et t 2 : épaisseurs des semelles des profils de base.

Documents

BA-Cruciforme