BA3-physique -2009-2010C. Vander Velde 1 IX. Symétries et lois de conservation PHYS-F-305

BA3-physique -2009-2010 C. Vander Velde 1

IX. Symétries et lois de conservation

PHYS-F-305

C. Vander Velde 2BA3-physique -2009-2010

Contenu du chapitre IX IX.1. Introduction

Théorème de Noether (rappel MQ) Types de symétries

IX.2. Les symétries continues Translations (rappel MQ) Rotations (rappel MQ)

IX.3. Les symétries internes Transformations de jauge Rotations dans l’espace des isospins

IX.4. Les symétries discrètes La parité P La conjugaison de charge C L’inversion du temps T CP CPT

IX.5. Résumé


IX.1.Introduction et rappels Théorème de Noether

Les lois de conservation jouent un rôle très important. En effet leur lien avec des propriétés de symétrie, établi par le théorème de Noether, permet d’obtenir certains résultats même en l’absence d’une théorie dynamique complète.

Théorème d’Emmy Noether (1917):

A toute loi de conservation correspond une symétrie et à toute symétrie correspond une loi de conservation.


IX.1.Introduction et rappels Théorème de Noether

Rappels MQ :Ces symétries s’expriment par un groupe de transformation, soit Q, qui permute avec l’Hamiltonien, ce qui veut dire que celui-ci est invariant sous la transformation Q :

Soit le système dans un état mesure physique = valeur moyenne d’un opérateur

q = Q dv

q est une constante invariance de H pour transformation Qdu mouvement [Q, H] = 0 ou H = Q-1 HQ

Loi de conservation symétrie de H


IX.1.Introduction et rappels Types de symétries

Les symétries spatio-temporelles continuesCe sont celles qui correspondent à des transformations dans l’espace-temps et qui dépendent d’un paramètre qui peut varier de manière continue : translations et rotations.

Les symétries internesCe sont celles qui correspondent à des lois de conservation de propriétés des particules elles-mêmes, comme la conservation de la charge électrique.

Les symétries spatio-temporelles discrètesCette fois le paramètre ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs discrètes.


IX.2. Les symétries continues Translations (rappel MQ)

On montre (cours de Mécanique Quantique) :

1. La conservation de l'énergie reflète une invariance des lois de la physique par rapport aux translations dans le temps.

2. La conservation de l’impulsion totale reflète une invariance par rapport aux translations dans l’espace : x → x + a

Comme les symétries continues peuvent être aussi petites que l’on veut, on se restreint à l’étude des transformations infinitésimales : x → x +δx.

On a donc :

H(x +δx) = H(x) ,où est l’opérateur des translations.

Pour une translation suivant x:

Exprime le fait que les lois physiques s’appliquent de la même manière en tout point de l’espace.

DD,H 0

xx x 1 x Dx

xx xih 1 i x / h D 1 iδxp / h p,H 0p pD

x

générateur de ^D


IX.2. Les symétries continues Rotations (rappel MQ)

La conservation du moment angulaire total reflète une invariance par rapport aux rotations dans l’espace (exprime le fait que toutes les directions de l’espace sont physiquement équivalentes)

L’invariance par rapport aux rotations dans l’espace s’exprime par une relation de commutation

,où est l’opérateur des rotations.

Pour une rotation infinitésimale autour de l’axe z:

R,H 0 R

z1 R

zz zih x y ih 1 i / hJ JRy x

Composante z de l’opérateur

moment angulaire total

Si [Rz, H] = 0 [Jz, H] = 0 Jz conservé



On a [J2, Jz] = 0 J conservé

Remarques :

• [Jx(y) , Jz]

• est l’opérateur moment angulaire total :

où L est le moment angulaire orbital et S le spin.

• La conservation de J ne conduit pas à la conservation de L et S

séparément. Pour les particules sans spin L est conservé pour les autres,

en général pas; ceci est dû à la dépendance des forces en le spin.

2 2 2 2x y zJ J JJ

J L S J



Remarques (suite) :

• Il existe des règles pour l’addition de moments angulaires, qu’ils soient

orbitaux, de spin ou total (voir cours MQ + Phys. Nucl.)

http://pdg.lbl.gov/2009/reviews/rpp2009-rev-clebsch-gordan-coefs.pdf

1 2

1 2

1 2

1 2

J = j + jJj j

1 1 2 2 Mm m 1 2J = j - j

j m j m C JM , avec M = m + m 1 2

1 2

1 2

Jj jMm m 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

m ,m

J M C j m j m , où M = m + m et j - j J j + j 1 2

1 2

Jj jMm mC coefficients deClebsch-Gordan

j1 x j2J J ...

M M ...

m1 m2 Coefficients²

.....

.....m1 m2

... ...

Remarque : ne pas oublier de prendre la racine su nombre lu dans les tables !


IX.3. Les symétries internes Transformations de jauge

La conservation de la charge électrique est associée à une symétrie appelée invariance de jauge. Cette loi de conservation est très bien vérifiée expérimentalement :

(e- e ) > 4.6 1026 ans

lQp + Qe-l < 10-20 lQe-l

Cas de l’électrodynamique classique (voir cours de BA2) :Les champs électrique et magnétique peuvent être écrits en fonction d’un potentiel vecteur A et d’un potentiel scalaire définis par :

Ces potentiels ne sont ainsi pas définis de manière univoque. Toute transformation :

laisse les champs inchangés.

δAE B A

δt

f' , A A'= A f, où f = f(x,t) est une fonction arbitraire,

t

(obtenu en mesurant la charge nette déposée sur un cylindre métallique par des atomes)



Cette transformation est appelée transformation de jauge; on dit que l’électrodynamique est invariante pour les transformations de jauge.

On voit, par exemple, que le champ électrique ne dépend pas de la valeur absolue de Ф, seulement de sa variation.

L’invariance de jauge a pour conséquence la conservation de la charge. En effet, imaginons qu’on puisse créer une charge Q en x, la déplacer en x’ et là, la faire disparaître. Soit W l’énergie nécessaire pour créer Q; elle est indépendante de par invariance de jauge; c’est donc aussi l’énergie qui sera récupérée lors de la destruction de Q. Bilan d’énergie :

W – W + Q ((x) - (x')) 0

Il n’y aurait pas conservation de l’énergie dès que le potentiel n’est pas uniforme!



Cas de QFT (voir cours de BA3) :

Cette théorie est aussi invariante pour les transformations de jauge. Celles-ci agissent sur les fonctions d’onde :

Elles laissent invariantes les densités de probabilité. Par exemple, dans le cas de l’expérience de la double fente exposée à un faisceau d’électrons:

iKψ ψ'= ψe , où K est une phasequ'on écrit K = eα

e-

B

C

L'intensité mesurable en C ne dépend que de la différence des phases de en A et B, pas de la phase globale.

Il est aussi possible de définir une invariance de jauge locale, c’est-à-dire où = (x) mais cela fait l’objet de cours plus avancés. On y démontre aussi le lien avec la conservation de la charge.

A


IX.3. Les symétries internes Rotations dans l’espace des isospins

L’isospin des hadronsPeu après la découverte du neutron, Heisenberg avait observé que, mis à part leur charge électrique différente, protons et neutrons se ressemblent très fort et ont presque la même masse (mp = 938.28 MeV/c² et mn = 939.57 MeV/c²). Il proposa de regarder ces 2 particules comme 2 états d’une particule unique, le nucléon. On écrit :

A quoi vous fait penser cette notation?

pN =

n

Cette notation fait penser au formalisme utilisé pour représenter les 2 états de spin des particules de spin 1/2. Par analogie au spin, on introduit l’isospin I; c’est un vecteur à 3 composantes, tout comme S, mais il n’est pas dans l’espace ordinaire mais dans un espace qu’on appelle l’espace des isospins*.

*isospin vient de spin isotopique ; il aurait mieux valu dire spin isobarique.



L’isospin des hadronsOn applique à l’isospin tout le formalisme et les règles d’addition des moments angulaires. On écrit les états d’isospin :

En effet, comme le nucléon a 2 états, il faut lui attribuer un isospin 1/2, de manière à ce qu’il y ait 2 états possibles, I3 = ±1/2. On applique cette notion à tous les hadrons de masses voisines ayant par ailleurs tous les autres nombres quantiques égaux, excepté la charge électrique. Par exemple, il y a 3 pions de masses voisines: -, ° et +; l’isospin du pion est donc 1 de sorte qu’il y ait 3 projections : I3 = -1, 0 et +1:

Le ° est seul; on a donc :

3

1 1 1 1I I et …donc, pour les nucléons: p = et n

2 2 2 2

0= 1 1 = 10 = 11 0 = 00


Rotations dans l’espace des isospins L’isospin des hadrons

Pour les ’s, I = 3/2 :

Pour les K de S = -1, I =1/2 (K-, K°); en effet K+ = K- et S = +1)

De manière générale, pour déterminer l’isospin d’un multiplet, on compte le # de particules du multiplet, soit N. Comme I3 prend toutes les valeurs entre –I et +I, on a :

N = 2 I + 1

La 3ème composante, I3, est liée à la charge de la particule; on attribue I3 = I à la particule du multiplet de charge la plus élevée et pour les autres, par ordre de charge décroissante, on soustrait chaque fois 1.

Remarque : la notion d’isospin est aussi utilisée en phys. nucl. mais l’isospin des noyaux se note T!

IX.3. Les symétries internes

03 3 3 1 3 1 3 3=

2 2 2 2 2 2 2 2



L’isospin des quarksA l’époque d’Heisenberg, le modèle des quarks n’était pas connu. Une fois celui-ci établi, il était normal d’étendre la notion d’isospin aux quarks, la similitude observée entre neutron et proton étant due à celle existant entre quarks u et d. Comment leur attribuer un isospin, ainsi qu’aux autres quarks? Pour cela considérons leur masse : Saveur Masse

(MeV/c²)

u 2

d 5

s 95

c 1300

b 4200

t 174000

Même les masses du u et du d ne sont pas voisines ! En effet, pour rendre compte de la symétrie entre nucléons, il faut considérer la masse effective des quarks à l’intérieur des hadrons; ce calcul n’est pas trivial et dépend des modèles utilisés.



L’isospin des quarksA l’époque d’Heisenberg, le modèle des quarks n’était pas connu. Une fois celui-ci établi, il était normal d’étendre la notion d’isospin aux quarks, la similitude observée entre neutron et proton étant due à celle existant entre quarks u et d. Comment leur attribuer un isospin, ainsi qu’aux autres quarks. Pour cela considérons leur masse : Saveur Masse

(MeV/c²)Masse effective (MeV/c²)

u 2 336

d 5 340

s 95 486

c 1300 1550

b 4200 4730

t 174000 177000

Ces masses effectives sont un peu plus basses dans les mésons que dans les baryons mais en gros, elles sont environ 350 MeV/c² plus élevées que les masses nues. On a maintenant

mu ~ md ≠ ms,mc,mb,mt



L’isospin des quarksA l’époque d’Heisenberg, le modèle des quarks n’était pas connu. Une fois celui-ci établi, il était normal d’étendre la notion d’isospin aux quarks, la similitude observée entre neutron et proton étant due à celle existant entre quarks u et d. Comment leur attribuer un isospin, ainsi qu’aux autres quarks. Pour cela considérons leur masse : Saveur Masse

(MeV/c²)Masse effective (MeV/c²)

I I3

u 2 336 1/2 +1/2

d 5 340 1/2 -1/2

s 95 486 0 0

c 1300 1550 0 0

b 4200 4730 0 0

t 174000 177000 0 0

Dès lors, seuls les quarks u et d forment un doublet et les autres quarks, des singulets I, I3

1 1u =

2 2

1 1d

2 2


Rotations dans l’espace des isospins L’hypercharge et le lien entre Qq et I3

Afin de formuler plus précisément la symétrie d’isospin, on définit un nouveau nombre quantique, l’hypercharge, Y, qui est fonction de nombres définis précédemment, qui définissent le contenu en saveur des hadrons :

Rappelons l’expression de ces nombres quantiques :

Tous les membres d’un multiplet ont même hypercharge, ayant mêmes nombres quantiques excepté la charge électrique.

Y = B+S+C + B+T


1B= #q -#q S= #s -#s C = #c-#c

3

B= #b-#b T = # t -# t



Par commodité, définissons :

La composante I3 d’un hadron s’obtenant en sommant algébriquement les composantes I3 de chaque quark, on a:

A l’aide des relations précédentes et de la définition de Y, on a:

où Qq est la charge totale des quarks (l’isospin concernant les hadrons uniquement, on pose arbitrairement I = 0 pour les leptons).


u dN = #u -#u N = #d -#d

3 qI = Q -Y/2

3 u d

1I N - N

2



Nous avons présenté les diagrammes mettant en évidence les symétries des hadrons en fonction de 2 variables, Q (porté sur une diagonale) et S (porté sur un axe vertical). En fait actuellement, on présente plus souvent ces diagrammes en fonction de la composante d’isospin et de l’hypercharge:




Lois de conservation associées à l’isospin

Interactions fortes

L’hypothèse faite par Heisenberg lorsqu’il a considéré le proton et le neutron comme 2 états d’une même particule, c’est que ces particules sont identiques du point de vue de l’interaction forte. Par conséquent, remplacer un proton par un neutron, c’est-à-dire faire une rotation de 180° autour de l’axe 1 ou 2, dans l’espace des isospins ne change rien :

Il y a invariance de l’interaction forte pour une rotation dans l’espace des isospins I et I3 sont conservés

cf. J et Jz pour les rotations spatiales.




Interactions électromagnétiques

Les # quantiques B, S, C, et T étant conservés dans les I.ém., celles-ci conservent Y et donc I3 , Q étant toujours conservé. Par contre, I n’est pas conservé. Exemples :

En effet, l’isospin ne concernant pas les bosons intermédiaires, dont le photon, il se définit de manière arbitraire égal à zéro (tout comme pour les leptons).

I3 est conservé dans les I. ém., pas I

B

0 0 γ I:1 0




Interactions faibles purement leptoniques

Exemple : µ+ e+ + e + µ

La question ne se pose pas l’isospin étant toujours nul.

Interactions faibles semi-leptoniques

Des règles de sélections établies au chapitre précédent on a:

Exemple : n p + e- +e I3 = 1 I = 0

Exemple : K+ ° + e+ + e I3 = -1/2 I = 1/2

3 q qSi ΔS= ΔC = ΔB= ΔT = 0, ΔI = ΔQ -ΔY/2 = ΔQ = 1

3 qSi ΔS= 1, ΔI = ΔQ -ΔY/2 = ΔS- ΔS/2= ΔS/2= 1/ 2



Lois de conservation associées à l’isospinInteractions faibles hadroniques

Des règles de sélections établies au chapitre précédent on a:

Exemple : - ° + K- I3 = -1/2 I = 1/2

I3 et I ne sont pas conservés dans les I.f.

Remarque : il n’est pas nécessaire de connaître ces règles si on est capable de raisonner en terme de transitions entre quarks

3 qSi ΔS= 1, ΔI = ΔQ -ΔY/2 = 0- ΔS/2 = ΔS/2= 1/ 2



Application : contenu en quarks du °Au chapitre V, nous avons vu que dans le nonet des mésons de spin 0 construits avec les quarks u, d et s, il existait 3 mésons avec Q = S = 0 : °, , ’. D’autre part, il existe 3 combinaisons quark-antiquark avec Q = S = 0 : uu, dd et ss. En faisant appel aux propriétés de l’isospin, il est possible de déterminer le contenu en quarks du °.

L’isospin des quarks s étant nul, la paire lss> = l00> ne peut contribuer au ° : l°> = l1 0> .

Par contre

luu> = l1/2 1/2> l1/2 -1/2> et

ldd> = -* l1/2 -1/2> l1/2 1/2>

le peuvent et le ° est une combinaison linéaire de ces 2 états.

*ce signe sera expliqué p.60 à 62

1 2

1jj

2 2

1



Application : contenu en quarks du °Table de Clebsch-Gordan 1/2 x 1/2

l°> = l1 0>

= √1/2 l1/2 1/2> l1/2 -1/2> + √1/2 l1/2 -1/2> l1/2 1/2>

= √1/2 luu> - √1/2 ldd>

Par contre, dans le cas du et du ’ qui

sont des états l0 0>, l’état lss> et la

combinaison orthogonale à celle du °,

√1/2 luu> + √1/2 ldd> contribuent toutes

2 dans des proportions qui ne peuvent

être estimées ici.


IX.4. Les symétries discrètes Parité : P

Expérience de Wu (1957)Avant 1956, il semblait acquis que l’image de tout processus physique vu dans un miroir représente un processus physique possible.

A l’époque, il existait de multiples évidences expérimentales de l’invariance des I.F. et des I.ém. pour une réflexion mais aucune vérification n’existait pour les I.f.. Lee et Yang proposèrent une expérience qui fut réalisée par Mme Wu; celle-ci observa une violation de cette invariance dans la désintégration du cobalt.

La source radioactive était préalablement placée à l’intérieur d’un solénoïde où régnait une température de 0,01 K, ce qui avait pour effet d’aligner le spin d’une grande proportion des Co sur le champ.



Expérience de Wu (1957)Elle enregistra la direction des e- émis et remarqua que la plupart d’entre eux étaient émis dans la direction opposée au spin du Co. Schématiquement, on obtient la situation de gauche :

SCo

e-

SCo

e-

Son image dans un miroir correspond à un Co dont les e- de désintégration seraient émis préférentiellement dans la direction de son spin, contrairement à ce qui est observé expérimentalement.

= exemple d’un processus faible dont l’image dans un miroir ne se

produit pas dans la nature

Les I.f. ne sont pas invariantes pour les réflexions



L’hélicitéNous avons vu que l’hélicité d’une particule se définissait :

v

S

= +1

v’

S

= -1

p Sλ

p S

Ce qui pour une particule de spin 1/2 donne les valeurs = ±1 suivant que le spin est aligné dans la direction du mvt ou pas.



L’hélicitéParticules de masse non nulle

Pour une particule de masse non nulle, la valeur ±1 de son hélicité dépend du référentiel. Supposons un électron d’hélicité +1, se déplaçant vers la droite avec une vitesse v dans un référentiel donné. Regardons le depuis un référentiel qui se déplace avec une vitesse w > v vers la droite :

l’électron se déplace vers la gauche mais son spin n’a pas changé de sens. Son hélicité est maintenant -1.

Pour les particules massives, l’hélicité n’est pas un invariant de Lorentz.

v

S = +1

w

v’

S = -1


Parité : P L’hélicité

Particules de masse nulle

Il n’y a pas de référentiel w > v = c. Dans tous les référentiels, la particule garde la même hélicité; c’est un invariant de Lorentz. Dans le cas des photons, les 2 états d’hélicité +1et -1 existent, dans la même proportion s’ils sont non polarisés. Il n’en va pas de même des neutrinos que nous supposons de masse rigoureusement nulle (jusqu’à présent ):

Pour tous les neutrinos : = -1; on dit qu’ils ont une chiralité gauche.Pour tous les antineutrinos : = +1, on dit qu’ils ont une chiralité

droite.Il s’agit d’une violation flagrante de l’invariance pour les réflexions. En effet, un neutrino gauche vu dans un miroir est un neutrino droit!

IX.4. Les symétries discrètes

pm = 0 E = p β = =1 v = c

E

S

v

= -1

Sv

= +1



Hélicité du e – expérience de Goldhaber (1958) :Eu152

Electroaimant

Pb

Sm2O3

Scintillateur (NaI) PM

•Capture d’e- de la couche K par de l’Eue- + 152Eu(J=0) 152Sm*(J=1) + e

p + e- n + e

•Le samarium se désexcite en émettant des : 152Sm*(J=1) 152Sm(J=0) + (Q = 960 keV)•Seuls les émis dans la direction opposée au e ont suffisamment d’énergie pour exciter un Sm dans une cible de Sm2O3.

+ 152Sm 152Sm* + 152Sm•Ces qui ont subi une diffusion résonante sont détectés au moyen d’un scintillateur (NaI) et d’un photomultiplicateur.•Le blindage de Pb empêche les issus directement de la source d’être détectés.

B



Hélicité du e – expérience de Goldhaber (1958) : capture

Pour conserver le moment

angulaire (JSm* = 1), les spins

du Sm* et du e doivent être

opposés; ils ont donc même hélicité. désexcitation

Le spin du a même sens

que celui du Sm*. S’il est

émis vers l’avant, il aura

même hélicité que le Sm*

et donc que le e

ou

Sm* = 1

= -1Sm* =

Sm*

= 1

ouSm*

= -1

(vers l’avant) = Sm =



Hélicité du e – expérience de Goldhaber (1958) : diffusion résonante

Pour exciter un Sm, le doit avoir un peu plus de Q = 960 keV. Ce sont seulement les émis vers l’avant qui ont cette énergie car ils emportent une partie de l’impulsion de recul du e. Ce sont donc seulement les qui ont même hélicité que le e qui sont détectés.

mesure de la polarisation des Avant de subir la diffusion résonante, les détectés (et les autres) traversent du Fe magnétisé par un champ magnétique qui peut être choisi dans la direction du mvt ou opposé à celle-ci.


Parité : P Hélicité du e – expérience de Goldhaber (1958) :

mesure de la polarisation des Les traversent plus facilement le Fe si leur spin est opposé à la direction du champ B et, donc, parallèle au spin des électrons du Fe (dans ce cas, l’absorption du par “spin flip” de l’électron est impossible). On mesure le taux de détectés pour les 2 directions de B. On trouve que 100 % des avec E 960 keV sont caractérisés par

Hélicité des autres neutrinos

L’hélicité du e a été mesurée à +1 à partir de l’émission de consécutive à la désintégration du 203Hg, celle des µ et µ, en mesurant la polarisation des µ émis dans la désintégrations des ± (voir plus loin).

= -1

IX.4. Les symétries discrètes

= -1



L’opérateur parité :Plutôt que de travailler avec des réflexions, ce qui obligerait à choisir de manière arbitraire le plan du “miroir”, on considère l’opération de parité:

P : r -r

Cette inversion n’est rien d’autre qu’une réflexion suivie d’une rotation de autour d’un axe perpendiculaire au plan de réflexion. Comme toutes les lois de la physique, y compris celles des I.f. sont invariantes pour les rotations, les conclusions obtenues pour les réflexions s’appliquent aux inversions. Une inversion transforme aussi une main gauche en main droite.

Opérateur parité : où Pa est un facteur de phase

aP r P r

r

-r


Si [H, P] = 0 , états propres de H = états propres de P

Pour le moment nous n’allons considérer que des systèmes qui ont des

I.F. ou des I.ém. qui sont invariantes pour P

et en étudier les conséquences.

•Unitaire P [P r] = r P2 = 1

Si est état propre de P :

P r = r2 = 1 = 1

Transformation discrète


Propriétés de P



Parité intrinsèque et orbitale :Pour une particule a

Dans le système de repos de la particule, (p = 0), et elle forme un état propre de P de valeur propre ξa = Pa, appelée parité (intrinsèque) de la particule.

De plus, lorsque la particule n’est pas au repos et se trouve dans un système lié avec symétrie sphérique (ex: atome d’hydrogène) :

et (en coord. sphériques).

r - r revient à r r’=r; ’= et ’

avec l, le moment orbital

i pr-Et

aPψ(r,t) P ψ(-r,t) avec ψ(r,t) = e

ψ(r,t) ψ(-r,t)

H r H r m

nlm nlr, , r ,Yl

l

nlm a nlm a nlmP r,t P -r,t = ξ -1 r,t

Parité orbitale

(voir appendice)



Parité d’un système :Les parités intrinsèques sont multiplicatives :

Parité des fermions :Jusqu’à présent, notre discussion de l’invariance pour la parité s’est déroulée dans le cadre de la méca. quant. non relativiste et fermion et antifermion, comme l’électron et le positron, sont 2 solutions distinctes de l’équation de Schrödinger; il n’y a donc pas de connexion évidente entre leur parité intrinsèque. En QFT, les particules de spin 1/2 sont solutions de l’équation de Dirac. La solution correspondant à un fermion et à son antiparticule se retrouvent au sein d’un même spineur à 4 composantes, ce qui introduit une relation entre leur parité. En effet, on peut montrer :

a b c d a b c da b c dPψ(r ,r ,r ,r ,t) ξ ξ ξ ξ ψ(-r ,-r ,-r ,-r ,t)

f fξ = -ξ



Parité des fermions : cas des leptons.On a pu vérifier expérimentalement que :

en étudiant la réaction e+ + e- + dans l’état lié dans l’onde S appelé parapositronium. Il s’agit d’une I.ém. dans lesquelles la parité est conservée. Dès lors :

La mesure du moment orbital des émis* (à partir de distributions angulaires) a permis de vérifier que

e- e+ξ ξ 1

lparapos γγ parapos e+ e- e+ e- car l=0 (onde S)ξ = ξ ξ = ξ ξ -1 = ξ ξ

γ γ γl l l2γγ γ e+ e-ξ = ξ -1 = -1 et ξ ξ = -1

e- e+ξ ξ 1

*Description de l’expérience : voir Perkins, p.89



Parité des fermions : cas des leptons.Par contre, il n’est pas possible de mesurer individuellement la parité de l’e- ou de l’e+ parce que dans toutes les réactions dans lesquelles ils apparaissent, telles que :

+ e- + e- ou e- + e- e- + e-

le même facteur faisant intervenir ξe- apparaît dans les 2 membres et ils se simplifient lorsqu’on applique la conservation de la parité. Comme un électron ne peut jamais être créé ou détruit seul dans une I.ém., sa parité ne peut être déterminée. Il en va de même pour

le µ et le . Dès lors on postule de manière arbitraire :

e- µ- τ-ξ ξ ξ 1 e+ µ+ τ+ξ ξ ξ 1



Parité des fermions : cas des quarks et des hadrons.Nous avons vu que les quarks aussi ne pouvaient être crées ou détruits que par paires quark-antiquark lors des I.F. et des I.ém., il est donc impossible aussi de déterminer leur parité intrinsèque et celle-ci est fixée par pure convention :

u d s c b tξ ξ ξ ξ ξ ξ 1

u d s c b tξ ξ ξ ξ ξ ξ 1



Parité des fermions : cas des quarks et des hadrons.Pour un baryon B =a b c, sa parité intrinsèque est donnée par :

Les baryons d’énergie la plus basse, correspondant à Lab = Lc =0, sont donc prédits avec une parité +1. C’est bien le cas des baryons p, n, .

ab c ab cL L L L

B a b c Bξ = ξ ξ ξ -1 -1 = -1 = ξ

ac

b

Lab

Lc

Lab : moment angulaire des fermions a et b dans leur SCM.

Lc : moment angulaire de c et du système ab dans le SCM du

système abc.



Parité des fermions : cas des quarks et des hadrons.Pour un méson M =a b, sa parité intrinsèque est donnée par :

Les mésons d’énergie la plus basse, correspondant à L=0, sont donc prédits avec une parité -1. C’est bien le cas des mésons , K et D. Dans le cas du -, elle a été déterminée expérimentalement à partir de la réaction d’absorption au repos par un noyau de deutérium:

- + d n + n

L L L+1

M a b Mξ = ξ ξ -1 = -1 = -1 = ξ

d npL L

initial d n pξ = ξ ξ -1 = ξ ξ ξ -1 = ξ

Ld = 0 (absorption depuis l’onde S) Lnp = 0 (état lié onde S)



Parité des fermions : cas des quarks et des hadrons.

Dans la plupart des cas, le moment angulaire orbital de l’état final et donc les parités sont obtenues en mesurant les distributions angulaires de l’état final. Dans le cas présent, il est possible de déterminer L à partir d’arguments utilisant le principe d’exclusion de Pauli. En effet, il s’applique pour l’état final nn consitué de fermions identiques : la fonction d’onde totale, produit de la partie espace et de la partie spin, doit être antisymétrique pour l’échange des 2 n.

Partie spin

nn nnL L

final n n initial π πξ = ξ ξ -1 = ξ = ξ ξ = -1

11 1/ 21/ 2 1/ 21/ 2

10 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2

1 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

0 0 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2

} symétrique

antisymétrique



Parité des fermions : cas des quarks et des hadrons.S = 1 symétrique L impair (antisymétrique)

S = 0 antisymétrique L pair (symétrique)

Jinitial = Jd (J = 0) = 1 = Jfinal = Jnn

Si S = 0, Jnn = L = 1 impair ne va pas!

S = 1 et L impair ξ = (-1)L = -1

Parité du photonContrairement à celle des fermions, la parité du peut être déterminée théoriquement. En méca. quant., c’est le potentiel vecteur qui correspond à la fct d’onde du :

A(r,t) = Nε(k)exp i kr-Et γP A(r,t) = ξ A(-r,t)



Parité du photonD’autre part, pour que l’équation de Poisson reste invariante :

et comme la divergence change de signe sous la parité, on a :

Le champ électrique est relié au potentiel vecteur par :

En l’absence de charges, le potentiel scalaire peut être choisi nul et la relation indique que A change de signe sous P, comme E.

0

1E(r,t) = ρ r,t

ε

P E(r,t) = E(-r,t)

AE = - -

t

γP A(r,t) = A(-r,t) ξ = 1



Le puzzle - Si la conservation de la parité est bien vérifiée dans les I.F. et dans les I.ém., nous avons déjà vu quelques exemples de violation dans le cas des I.f. Lors des 1ères observations de mésons K+, des désintégrations à 2 et 3 , de parités différentes avaient été observées et on leur avait attribué des noms différents, la violation de la parité dans les I.f. n’étant pas encore reconnue:

Il était étrange d’avoir 2 particules en tous points identiques, de parité différente; c’est Lee et Yang qui en 1956, émirent l’hypothèse qu’il s’agissait d’une même particule mais que la parité n’était pas conservée dans les I.f. Cest ce qui les amena à proposer l’expérience de Wu.

12 3

2 L+ + 0θ

3 L +L 3 L+ + + -

θ π + π ξ = -1 1 =1 L = 0 car tous les spins sont nuls

π + π + π ξ = -1 1 = -1 1 = 1 idem



La désintégration du pion chargé :Le ± se désintègre quasi exclusivement en µ± et µ ou µ. Comme le spin du pion est nul, ceux du µ et du sont opposés, afin de conserver le moment angulaire total. Dès lors, muon et neutrino (ou antineutrino) ont même hélicité.

Les µ émis dans la désintégration des sont donc polarisés; c’est en mesurant cette polarisation que l’hélicité des neutrinos muoniques a pu être mesurée.

Cette polarisation de la particule émise en opposition au explique pourquoi la désintégration du ± en e± et e ou e est très fortement supprimée alors qu’aucune loi ne l’interdit et que la faible masse de l’électron devrait la rendre plus probable du point de vue cinématique.

Spin

p



La désintégration du pion chargéEn effet, si l’e- avait une masse nulle, il aurait comme le une hélicité -1 et ne pourrait rigoureusement pas être émis dans la désintégration du - qui réclame un e- d’hélicité +1, comme celle de du e.

La masse de l’e- est petite mais non nulle et ce mode de désintégration se produit effectivement mais avec un très petit rapport de branchement :

e e

2 22π e 4e

2 2 2µ π µ

m -mΓ π eν m1.283x10

Γ π μν m m -m



La désintégration du pion chargéLa 1ère fraction donne le rapport des probabilités d’avoir un µ ou un e de la bonne hélicité; cette probabilité est en fait à 1 - ~ m²/2E² = mµ/e²/2m² .

La 2ème fraction est le facteur d’espace des phases.

La valeur mesurée du rapport est en excellent accord :

Ce résultat peut se généraliser à tous les fermions : quand ceux-ci approchent la vitesse de la lumière dans une désintégration à courant chargé, ils sont émis avec une hélicité gauche. L’opposé est vrai pour les antifermions.

4e(1.230 0.004) x10


IX.4. Les symétries discrètes Conjugaison de charge : C

Nous avons vu que les I.F. et les I.ém étaient invariantes pour P alors que pour les I.f., la violation est maximum : l’image d’un d’hélicité -1 dans un miroir est un d’hélicité +1 qui n’existe pas! Toutefois, si on remplace cette image de par son antiparticule, on obtient un d’hélicité +1 qui lui existe. Cette opération de remplacer une particule par son antiparticule est appelée conjugaison de charge, C, et il semblerait que le produit de ces 2 opérations, CP serait une meilleure symétrie pour les I.f.

On a : C Ipart> = Ipart>

C laisse invariante les I.F. et les I.ém.

Dans ce cas, on a : [C,H] = 0



Propriétés de C Comme pour P, C appliqué 2 fois revient à l’état initial :

C² = I

et les valeurs propres de C sont C = ±1

Toutefois, contrairement à P, la plupart des particules ne sont pas des états propres de C. En effet, lorsque tel est le cas :

Particule et antiparticule ne diffèrent que par le signe et sont donc identiques. Seuls le , et les mésons °, ’, °, ... identiques à leur antiparticule sont des états propres de C et leur valeur propre appelée C-parité.

C part = ± part = part



Propriétés de C Pour un système à n particules dont les k 1ères sont états propres:

Un système particule-antiparticule est état propre de C :

suivant que la fct d’onde est symétrique ou antisymétrique pour la permutation des 2 particules.

Pour un système de mésons (S = 0), par exemple :

En effet, interchanger le + et le - revient à inverser leur vecteur position relatif dans la fct d’onde spatiale.

1 2 3 k k+1 n 1 2 3 k 1 2 3 k k+1 nC p p p ...p p ...p = C C C ...C p p p ...p p ...p

C p p = p p = p p

+ - L + -C π π L = (-1) π π L L : moment orbital des 2 pions



Propriétés de C Pour des particules de spin non nul, par exemple des fermions,

il y a en un facteur supplémentaire, (-1)S+1, qui apparaît pour tenir compte de l’échange des 2 particules dans la fct de spin et un facteur C pour la permutation d’une particule et d’une antiparticule . Toutefois, on peut montrer que comme pour 2 fermions identiques, la fonction d’onde doit être antisymétrique (Perkins, p 99) et il faut:

Exemple : l°> = √1/2 luu> - √1/2 ldd>

C = (-1)L+S = 1 car L=0 (état fondamental) et S=0

L+SL+S

f fC f f ;J,L,S = (-1) f f C (-1;J,L, )S

L+S+1 L+S-1 C = -1 C = -1



Détermination de la C-parité du photon

Comme pour la parité, la C-parité du peut être déduite du comportement du champ électrique classique :

Comme toutes les charges changent de signe, le champ électrique et le potentiel scalaire changent aussi de signe. De la relation :

On tire : C = -1

γC: A r,t C A r,t

AE = - -

t



Désintégration ém du ° :Le résultat C = 1 (voir p.63) est confirmé par l’observation de la désintégration: ° 2 si on suppose C conservé dans les I.ém..

En effet :

C I> = C C I> = (-1)² I> = I> C = C = 1

Par contre, la désintégration ° 3 n’a jamais été observée alors qu’aucune autre loi ne l’interdit :

C I> = C C C I> = (-1)³ I> = -I>

Une telle désintégration ne respecterait pas l’invariance pour la conjugaison de charge dans les I.ém. Expérimentalement :

0

-8

0

Γ π 3γR 3x10 α

Γ π 2γ



symétrie des distributions d’énergie des ±

Que ce soit dans la désintégration ém du

ou dans une interaction forte

l’invariance de ces interactions pour C implique que les distributions de quantité de mvt des + et des - soient identiques, ce qui est vérifié expérimentalement à mieux d’1 %.

Interactions faiblesClairement, tout comme P, C n’est pas conservé dans les I.f., puisque C transforme un en un de même hélicité.

+ - 0η π + π + π

+ - 0p + p π + π + π

Remarque : pour une désintégration donnée, on a généralement p+ ≠ p-



L’isospin des antiparticulesLa construction des doublets d’isospin des antiparticules est délicate. Tout d’abord, il faut placer en +I3, l’antiparticule de charge la plus élevée. Ensuite, il faut veiller à ce que les doublets d’antiparticules se transforment de la même manière que les doublets de particules pour des rotations dans l’espace des isospins. Dès lors, on peut voir, par exemple pour le doublet de nucléons, que

p -n

n p

C

Q

1

0

Q

0

-1



L’isospin des antiparticulesEn effet si on se contente de construire le doublet d’antiparticules de la manière suivante :

Et qu’on y applique une rotation d’angle autour de l’axe 2 :

et

p n

n p

C

2-iπσ /2p' p 0 1 p -ne

n' n 1 0 n p

p n

n p

-n p p

p n n

2 2R R

C

C


IX.4. Les symétries discrètesConjugaison de charge : C

L’isospin des antiparticulesPar contre:

Donc : de même :

p n

n p

-n p 0 1 n

p 1 0n p

2 2R R

C

C

p -n

n p

C u -d

d u

C

*utilisé p. 26

*


IX.4. Les symétries discrètes Inversion du temps : T

T : t t’ = -t ~film des réactions passé à l’envers

Est-ce équivalent ? Au niveau macroscopique, c’est généralement faux (variation de l’entropie pour un système en déséquilibre).

Pourtant les I.F. et ém sont bien invariantes pour T.

Les taux de ces 2 interactions sont égaux à condition d’avoir une même énergie dans le système du centre de masse, de corriger pour la densité d’états disponibles cinématiquement dans l’état final et de tenir compte du nombre d’états de spin possibles.

a été vérifié expérimentalement, par exemple pour :

a + b c +d

+π +d p + p

c d

a b

2S 1 2S 1σ a + b c +d σ c +d a + b

2S 1 2S 1


IX.4. Les symétries discrètes CP et sa violation dans les I.f.

Comme à la fois C et P sont conservés dans les I.F. et dans les I.ém, il en va évidemment de même pour CP. Pour les I.f., nous avons vu que CP était une meilleure symétrie que C ou P pris séparément, notamment pour le et son hélicité. Par contre, des violations de CP ont bien été observées dans les désintégrations des K° et des B°. Ces violations sont liées au phénomène de mélange entre la particule et son antiparticule. Nous le développerons dans le cas du système K° - K° et mentionnerons ensuite brièvement le cas du système B° - B°.

Etats propres de CPNous connaissons les mésons neutres de S = ±1 produits avec d’autres particules étranges , dans des interactions fortes :

00 2 2

00

K 498MeV/c = ds S= 1 K 498MeV/c =sd S= 1

ds sd K K



Etats propres de CPSeules les particules identiques à leur antiparticule sont états propres de C, par conséquent, ces états propres d’étrangeté ne sont états propres ni de C ni de CP. Soit K°1 et K°2 les états propres de CP. Rappelons que:

ce qui permet de vérifier que :

00 01

00 02

1CP 1K K K

21

CP 1K K K2

0 00 0

0 00 0

C K = K et C K = K

P K = - K et P K = - K

0 00 0CP K = K et CP K = K



Mélange des étatsSi lors des interactions de production (I.F.) ce sont des états bien définis d’étrangeté qui sont créés, K° ou K°, il n’en va pas de même lors de leur désintégration vu que le seul nombre quantique qui distingue un K° d’un K° est son étrangeté qui n’est pas conservée dans les I.f. Ils peuvent osciller d’un état vers l’autre par une interaction faible du 2ème ordre:

d

d

s

s

W-

W-

u,c,tu,c,tK° K°

d

d

s

s

W-W-

u,c,t

u,c,t

K° K°

00K K



Mélange des étatsUn tel mélange ne peut se produire pour une particule chargée, son antiparticule ayant une charge opposée qui est conservée dans toutes les interactions, de même pour les baryons, même neutres, car le # baryonique est inversé pour l’antiparticule. Par contre le mélange est possible aussi pour le D° et le B° qui sont des mésons neutres qui sont caractérisés par un nombre quantique qui n’est pas conservé dans les I.f. ( le charme et la beauté).

Désintégrations des kaons neutresSupposons dans un premier temps que CP soit conservé dans les I.f. Le K°1 doit se désintégrer uniquement en états de CP = 1 et le K°2 en états de CP = -1. Ils se désintègrent typiquement en 2 ou 3 pions.



Désintégrations des kaons neutres Désintégrations à 2 pions

°°:

en effet L = 0 en vertu de la conservation de J (les spins du K° et des sont nuls).

:

en effet, C permute les 2 pions chargés :

On s’attend donc à ce que ce soit le K°1 et uniquement lui qui se désintègre en 2 pions.

0 0

L2 2

π πP = P -1 =1 C = C =1 CP =1

+ - +

L 2

π π πP = P P -1 = -1 C = C =1 CP =1

+ -

L+ - - +

π πC π π = π π C = -1



Désintégrations des kaons neutres Désintégrations à 3 pions

La situation est plus compliquée car il faut considérer 2 moments angulaires, L12 et L3 (voir schéma). Tenant compte du spin nul du K° et des pions,

On a L = L12 + L13 = 0 L12 = L3

°°°:

+-°:

L12 ≠ 0 est assez peu probable (seulement E ~70 MeV disponibles), confirmé par distributions angulaires des pions.

L12

L3

0(+)

00(-)

12 3L L3 3π πP = P -1 -1 = P = 1

03

πC = C =1 CP = 1

12

0 + -

L

π π πC = C C = -1

12L +1

12CP = -1 = 1 pour L = 0



Désintégrations des kaons neutres Conclusion : si CP est conservé dans les I.f.

Comme il y a plus d’énergie disponible pour la désintégration en 2 , on s’attend à ce que le K°1 ait un temps de vie sensiblement plus court que le K°2:

K°1 ~0.9 10-10 s K°2 ~ 0.5 10-7 s

c = 2.7 cm c = 15.5 m

Dès lors, à q.q. mètres du point de production des K° ou des K°, on s’attend à ne plus observer que des désintégrations à 3 ... si CP est conservé dans les I.f.

0

2

01

0102

K πππ très rare1

K1

K ππ

K πππ

CP

CP

ππ

K°1 = K°S (Short)K°2 = K°L (Long)

Toujours CP = 1

Presque toujours CP = -1



La découverte de la violation de CP – Expérience de Christenson, Cronin, Fitch et Turlay (1964)Cette expérience a permis de mettre en évidence des désint.

Préparation du faisceau de K°L:

0 + -LK π + π CP

faisceau de K°L avec des neutrons et quelques photons qui n’ont pas été absorbés par le Pb

champ magnétique

p – 30 GeV

cible collimateurs de Pb +

-

e-

e+

18 m

n

K°L

°,K°S

Pb


K°L


La découverte de la violation de CP – Expérience de Christenson, Cronin, Fitch et Turlay (1964) Détecteur des désintégrations de K°L:

2 particules sont détectées dans chacun

des bras du spectromètre.

sélectionnent les particules

avec v > 0.75c éllimination

d’une gde partie du bruit de fond.Chambres à dards

séparées par un aimant mesurent direction et impulsion des particules.



Analyse des données:

Lorsque les 2 particules sélectionnées ont des charges opposées, leur masse invariante est calculée ainsi que , l’angle entre la ligne de vol du CM des 2 particules et la direction du faisceau de K°L. Pour le bruit de fond, et notamment pour les désintégrations de K°L à 3 , aucune direction préférentielle n’est attendue alors que s’il s’agit d’une désintégration

K°L 2 , cet angle devrait être centré sur 0.



Analyse des données:

K°L 2

Il contient une petite composante de K°1. Dès lors, on écrit :

avec

m* ~mK°

Des désintégrations de K°L qui violent CP sont effectivement

observées K°L K°2 (CP = -1)

0 0 0s 1 22

0 0 0L 2 12

1 1.K K K

211 1

.K K K21

= ei



Mesure de ReCe mélange peut être mis en évidence assez facilement à partir de l’étude des désintégrations semileptoniques des K°L.

Remarquons que les désintégrations:

sont permises, alors que les désintégrations :

violent la règle de sélection S = Qq . En comptant le nombre de désintégrations N+ de K°L avec un e+ dans l’état final et N-, le nombre de ceux avec un e-, on a une mesure directe de la probabilité d’avoir un K° ou un K° dans la désintégration des K°L.

0 - + 0 + -eL e LK π +e + ν et K π +e + ν

00 - + + -eeK π +e + ν et K π +e + ν

00 + - - +e eK π +e + ν et K π +e +



Mesure de ReDes relations entre K°-K° et K°1-K°2 (p.64) et entre K°S-K°L et K°1-K°2 (p.73), on tire :

en négligeant les termes

d’ordre II², on obtient

l’asymétrie A :

-12 2±N 1±ε 1+ ε

+ -

+ -

N - NA = 2Reε

N + N

(10-10 s)

A

Après les oscillations dues aux désintégrations des K°S, A tend vers une petite valeur positive.

2 Re ~3.3 x 10-3



Modes de violation possibles de CP Violation due au mélange

La violation est alors due à la présence de la petite contribution de K°1 dans le K°L mais la désintégration en 2 de ce K°1 ne viole pas directement CP.

Violation directe

Ce serait le K°2 dominant du K°L qui se désintègrerait en 2 , en violant directement CP.

Sans entrer dans les détails à ce stade, toutes les mesures effectuées jusqu’à présent pour les kaons indiquent que c’est la violation due au mélange qui domine largement. La violation directe observée est très faible (~0.2 %) mais significativement différente de 0.



Violation de CP dans les désintégrations de B°Jusqu’en 2001, la violation de CP n’avait été observée que pour les K°. Depuis une nouvelle génération d’expériences ont fourni leurs résultats et plusieurs exemples de violations de CP ont été observés pour les B°, aussi bien directes que dues au mélange. Les mécanismes de mélange et le formalisme sont les mêmes que pour le K°. Les particules physiques qui jouent le rôle du K°S et du K°L sont appellées B°L et B°H, pour “Light” et “Heavy”. En effet, cette fois leurs temps de vie sont pratiquement identiques ~1.5 x 10-12 s, mais leurs masses diffèrent significativement.

Les techniques expérimentales sont par contre très différentes. En effet, à cause de ce court temps de vie, il n’est pas possible de faire des faisceaux de B°. On réalise des “usines à B” (B-factories):0+ - 0e +e (10.6GeV) B + B



Violation de CP dans les désintégrations de B°Deux de ces usines à B ont été construites vers 2000, spécialement pour étudier la violation de CP. En effet, la violation de CP est une condition nécessaire dans les théories qui tentent d’expliquer l’excès de matière sur l’antimatière dans l’univers.

Installé au SLAC, aux

USA.Expérience Belle à l’accélérateur KEK,

au Japon. ≠ pourquoi?



Violation de CP dans les désintégrations de B°On peut montrer que la violation de

CP est proportionnelle à l’asymétrie mesurée entre les nombres de B° et de B° qui se

désintègrent en J/ K°S

Le B° ou le B° sont identifiés par le signe du lepton émis dans la

désintégration de l’autre B° ou B°



Violation de CP dans les désintégrations de B°

De nouvelles usines à B sont en préparation,

notamment au LHC : LHCb


IX.4. Les symétries discrètes Théorème CPT

Bien que CP soit violé dans les I.f., nous avons de bonne raisons de croire que toutes les interactions, y compris l’I.f. sont invariantes pour l’opération CPT où C, P et T sont effectuées dans n’importe quel ordre. Ce fait est appelé “théorème CPT” car il peut être démontré que cette invariance est une propriété intrinsèque de toute théorie quantique et relativiste des champs dans laquelle les signaux ne peuvent se propager plus vite que la lumière dans le vide.

Une conséquence de ce théorème est que :

où µB est le moment magnétique. Découle déjà de l’invariance pour C mais C pas invariant pour I.f.

Aucune violation du théorème CPT n’a été observée actuellement.

B Bp p pp p pm m *

avec g, facteur de Landé*

0 0

0

K K 18

K

m -m10

m


IX.5. Résumé

pas vu dans le cours


IX.5. Résumé


IX.5. Résumé


Appendice: parité des Ylm

l l-m-m 2lm im

l l-ml

mim im im im

m l-m lm m ml l l

-1 2l+1 l+m ! dY (θ, ) e sinθ sinθ

2 l! 4π l-m ! d cosθ

(voir Cohen - Tannoudji )

Parité:θ π -θ π

sinθ sinθ cosθ cosθ e e e e 1

Y (θ, ) Y (θ, ) -1 -1 Y (θ, ) -1

paritéorbitaled'une par

lticuledans un potentielà symétriesphérique: -1


Appendice: suppression de qqq (J=1/2)

Pourquoi les coins des diagrammes en triangles sont supprimés pour les baryons constitués de quarks u, d ou s, dans le cas des baryons de J = 1/2 alors qu’ils existent pour J = 3/2 ?

uuu, ddd et sss sont des fermions identiques de spin 1/2

La fct d’onde totale doit être complètement antisymétrique, c’est-à-dire changer de signe pour la permutation de 2 q.c.q. des quarks.

1. Toute particule qui existe à l’état libre est un singulet de couleur:

La même pour tous les baryons constitués de 3 quarks

espace spin saveur couleurΨ Ψ Ψ Ψ Ψ

couleurΨ rgb-rbg+gbr-grb+brg-bgr)/ 6 antisymétrique



2. Pour 3 quarks identique (qqq), symétrique

3. Etat de masse la plus basse = état fondamental L = 0

symétrique

4. Fonction d’onde de spin :a) J = 3/2

saveurΨ

espaceΨ

3 3

2 2

3 1/ 3

2 2

3 1/ 3

2 2

3 3

2 2

spin

total

Ψ symétrique

Ψ antisymétrique



4. Fonction d’onde de spin :b) J = 1/2

1 1/ 2

2 2

ou / 2

ou / 2

1 1/ 2

2 2

ou / 2

ou / 2

Pas symétrique pour la permutation de n’importe quelle paire de quark interdit


Références “Introduction to Elementary Particles”,

David Griffiths, 2nd Revised Edition (2008), Wiley-VCH. “Particle Physics”, B.R. Martin and G. Shaw, 3rd Edition (2008), Wiley. Introduction to High Energy Physics, D. H. Perkins,

Cambridge University Press (4th edition), ISBN 0 521 621968

Documents

BA3-physique -2009-2010C. Vander Velde 1 IX. Symétries et lois de conservation PHYS-F-305