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Baccalauréat L 2004 mathématiques–informatique L’intégrale de mars à novembre 2004 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus Nouvelle-Calédonie mars 2004 .......................... 3 Pondichéry avril 2004 .................................... 7 Amérique du Nord juin 2004 ........................... 13 Antilles-Guyane juin 2004 .............................. 16 Asie juin 2004 ........................................... 21 Centres étrangers juin 2004 ............................. 26 Métropole juin 2004 .................................... 30 La Réunion juin 2004 ................................... 34 Liban juin 2004 ......................................... 38 Polynésie juin 2004 ..................................... 42 Antilles-Guyane septembre 2004 ....................... 46 Métropole septembre 2004 ............................. 50 Amérique du Sud novembre 2004 ...................... 55 Nouvelle-Calédonie novembre 2004 ................... 59

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  • [ Baccalaurat L 2004 \mathmatiquesinformatique

    Lintgrale de mars novembre 2004

    Pour un accs direct cliquez sur les liens bleus

    Nouvelle-Caldonie mars 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    Pondichry avril 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Amrique du Nord juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    Antilles-Guyane juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    Asie juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    Centres trangers juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

    Mtropole juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    La Runion juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    Liban juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    Polynsie juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    Antilles-Guyane septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    Mtropole septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    Amrique du Sud novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    Nouvelle-Caldonie novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    2

  • [ Baccalaurat Mathmatiquesinformatique \NouvelleCaldonie mars 2004

    Le candidat doit traiter les deux exercices.

    EXERCICE 1 9 pointsUn particulier amnage la maison quil vient dacheter : il y fait installer un nouveauchauffage au gaz. Il ralise un modle de la future facture sur la base des informati-ons que lui fournit son installateur ; celui-ci lui donne les prix HT (hors taxe). Pourobtenir les prix TTC (toutes taxes comprises), il doit ajouter au prix HT le montantde la TVA (taxe sur la valeur ajoute) ; cette TVA est exprime en pourcentage duprix HT : elle est de 5,5 % pour les fournitures (radiateurs, thermostat, chaudire) etde 19,6 % pour la main-duvre. Le prix unitaire de la main-duvre est compt lheure.Le tableau, fourni en annexe 1, rendre avec la copie, prsente des lments dela feuille de calcul dun tableur sur laquelle le particulier a ralis son modle defacture.Dans tout lexercice, les rsultats seront arrondis au centime.

    1. partir des informations fournies sur le tableau en annexe :

    a. calculer le montant de la TVA pour un radiateur de 1,20 m ;

    b. calculer le prix HT du thermostat ;

    c. calculer le prix HT de la chaudire ;

    d. complter les cellules C2, B4 et B5 du tableau par les valeurs numriquesmanquantes.

    2. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2, avant de la recopier automa-tiquement vers le bas jusqu la ligne 5, pour obtenir les montants de TVA ?

    Complter les cellules C3 et C4 du tableau par les valeurs numriques man-quantes.

    3. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule E2, avant de la recopier automa-tiquement vers le bas jusqu la ligne 5 pour obtenir les prix unitaires TTC ?

    4. Calculer le prix TTC de lheure de main-d?uvre et complter la cellule E6 dutableau par la valeur numrique manquante.

    5. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule G2, avant de la recopier automa-tiquement vers le bas jusqu la ligne 6 pour obtenir les prix TTC ?

    Complter alors la colonne G du tableau par les valeurs numriques man-quantes.

    6. a. Linstallateur fait une temise de 4 % sur le prix HT de la chaudire : quel-les sont alors les cellules du tableau dont le contenu numrique va chan-ger ?

    b. De quel montant la facture finale va-t-elle baisser ?

    c. Ce montant sera-t-il le mme si la remise de 4 % est faite sur le prix TTCde la chaudire ?

    Justifier la rponse.

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    EXERCICE 2 11 points

    Les questions 2 et 3 sont indpendantes de la question 1.Un service forestier sest occup du reboisement dune colline. Un an aprs les pre-mires plantations, il cherche valuer la qualit de ce reboisement et choisit, pource faire deux points dobservation sur la colline aux alentours desquels il relve lestailles dun chantillon de jeunes arbres.

    1. Reprage des deux points dobservation

    Sur le graphique 1 en annexe 2 ( rendre avec la copie), on dispose dun plande la colline sur lequel on a seulement report les courbes de niveau (espacesde 20 mtres). Chaque courbe de niveau reprsente les points de mme altitu-de.

    Cette colline culmine laltitude 410 mtres, lieu reprsent par une croix surle graphique 1.

    Deux axes placs sur les bords du dessin permettent de reprer chaque point: les deux axes sont gradus en cinquantaine de mtres partir du bord in-frieur gauche ; laxe horizontal du dessin sera appel axe des abscisses et laxevertical du dessin, axe des ordonnes.

    On lit ainsi sur le graphique que le point A dabscisse 150 et dordonne 100est situ une altitude comprise entre 300 et 320 mtres.

    a. Placer le point B dabscisse 250, sachant que son altitude est de 360 mtreset quil est situ du ct le plus pentu de la colline.

    b. Tracer sur le dessin un chemin permettant de joindre le point A au pointB sans jamais redescendre.

    c. Sur le graphique 2, on a reprsent le profil de la colline selon une cou-pe Sud-Nord (les points S et N, indiqus sur le dessin, sont la mmealtitude de 285 mtres). Ce profil comporte deux erreurs. Les reprer surle graphique 2 : on entourera les points mal placs et on argumentera larponse.

    (On pourra tracer la droite (NS) sur le graphique 1)

    2. Les donnes prs du point A

    On a relev les tailles (en cm) de quarante-quatre arbres autour du point A ; lasrie ci-dessous les donne, classes par ordre croissant :

    210 215 215 215 218 219 220 225 225 227 230230 230 232 232 233 234 234 236 236 236 236236 240 240 245 245 245 245 245 248 248 250250 250 250 252 252 253 254 254 256 259 260

    a. Calculer laide de la calculatrice la moyenne de cette srie.

    b. Calculer la mdiane et les quartiles de cette srie, puis tracer le diagram-me en bote correspondant.

    3. Comparaison des observations en A et B avec les rsultats attendus. On a rele-v les tailles en cm de cinquante-six arbres prs du point B : la taille moyenneobserve est de 220 cm ; dix arbres ont une taille infrieure 200 cm et la taillemaximum est de 250 cm.

    a. Quelle est la taille moyenne de lchantillon des cent arbres observs au-rour des points A et B ?

    Nouvelle-Caldonie 4 mars 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    b. Une tude portant sur la mme varit darbres permet de penser queles tailles peuvent tre considres comme des donnes gaussiennes demoyenne = 240 cm et dcart-type = 10 cm.

    Dterminer la plage de normalit contenant 95 % de la population seloncette tude.

    Expliquer pourquoi on peut conclure que les tailles releves sur les centarbres ainsi observs ne sont pas en conformit avec les rsultats deltude.

    Nouvelle-Caldonie 5 mars 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Annexe 1

    A B C D E F G1 dsignation

    delarticle

    prixunitaire

    (HT)

    TVA 5,5 %

    TVA 19,6 %

    prixunitaire

    TTC

    quantits prixtotalTTC

    2 radiateur1,20 m

    49,00 4

    3 radiateur0,80 m

    37,00 2

    4 thermostat 17,34 35 chaudire 66,75 16 main-

    duvre25,50 65

    8 total

    Annexe 2

    N

    S

    +

    +400

    A

    300

    50

    50

    Graphique 1. Plan de la colline (courbes de niveau)

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b b

    b

    280

    300

    320

    340

    360

    380

    400

    420

    S N

    Graphique 2. Profil de la colline (coupe SudNord)

    Nouvelle-Caldonie 6 mars 2004

  • Dure : 2 heures

    [ Baccalaurat Mathmatiques-informatique \Pondichry avril 2004

    EXERCICE 1 9 points

    On a recens en 2004, dans une ville moyenne, les jeunes de 10 15 ans pratiquantrgulirement un sport collectif (football, handball) ou individuel (tennis, judo).On suppose que chaque jeune ainsi recens ne pratique quun seul sport.La ville a t dcoupe en quatre secteurs : nord, sud, est, ouest.Les rsultats sont regroups dans le tableau donn en annexe 1.

    1. a. On veut calculer les totaux par ligne. Quelle formule doit-on crire dansla cellule F2 pour obtenir en la recopiant vers le bas jusquen F6 le nom-bre total de jeunes par ligne ?

    b. On veut calculer par secteur, les frquences des jeunes pratiquant unsport individuel ou collectif, relativement la population recense.

    Quelle formule doit-on crire dans la cellule B7 pour obtenir, en la reco-piant vers la droite jusquen F7, ces frquences ?

    Dans les questions suivantes, les pourcentages seront arrondis au dixime.

    2. Complter le tableau donn en annexe 1 (cette annexe sera rendue avec lacopie).

    3. Peut-on dire que moins dun tiers des adolescents ayant rpondu cette en-qute semblent tre plus attirs par un sport individuel que par un sport col-lectif ? Justifier la rponse par un calcul.

    4. En supposant que chaque anne le nombre dadolescents pratiquant un sportcollectif augmente de 5% et que le nombre dadolescents pratiquant un sportindividuel diminue de 10%, calculer :

    a. le nombre dadolescents qui pratiqueront un sport collectif en 2005 danscette ville ;

    b. le nombre dadolescents qui pratiqueront un sport individuel en 2005dans cette ville ;

    c. le pourcentage dvolution entre 2004 et 2005 du nombre dadolescentsqui pratiqueront un sport dans cette ville.

    EXERCICE 2 11 points

    La distance darrt dune voiture est gale la distance parcourue pendant le tempsde raction du conducteur augmente de la distance de freinage.Dans cette tude, on suppose que pour une voiture donne et son conducteur :

    la distance parcourue pendant le temps de raction est fonction de la vitesseet dpend de deux tats possibles du conducteur : conducteur en forme ouconducteur fatigu ;

    la distance de freinage de la voiture est fonction de la vitesse et dpend dedeux tats possibles de la route : route sche ou route mouille.

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Les rsultats demands seront obtenus par lecture graphique, avec la prcision permi-

    se par les graphiques donns.

    Partie A : tude de la distance parcourue pendant le temps de raction en fonctionde la vitesse (Annexe 2)

    1. La distance parcourue pendant le temps de raction est-elle proportionnelle la vitesse ? Justifier la rponse.

    2. Le conducteur en forme roule 50 km/h.

    a. Quelle distance parcourt-il pendant son temps de raction ?

    b. Par combien, environ, est multiplie cette distance lorsque ce conduc-teur roule 100 km/h ?

    3. Le conducteur fatigu parcourt 50 mtres pendant son temps de raction.

    quelle vitesse roule t-il ?

    Partie B : tude de la distance de freinage en fonction de la vitesse (Annexe 3)

    1. La distance de freinage est-elle proportionnelle la vitesse ? Justifier la rpon-se.

    2. Le conducteur roule 50 km/h sur une route sche.

    a. Quelle est sa distance de freinage ?

    b. Par combien, environ, est multiplie cette distance lorsque le conduc-teur roule 100 km/h ?

    3. Le conducteur roule 130 km/h. Par combien, environ, est multiplie la di-stance de freinage entre un arrt sur route sche et un arrt sur route mouille?

    Partie C : tude de la distance darrt en fonction de la vitesse (Annexe 4)

    On rappelle que :

    la distance darrt dune voiture est gale la distance parcourue pendant le temps de

    raction du conducteur augmente de la distance de freinage.

    1. Le conducteur en forme roule 50 km/h sur une route sche.

    a. En utilisant les rsultats obtenus dans les parties A et B, donner sa di-stance darrt.

    b. Comment utiliser le graphique donn en annexe 4, pour retrouver cettedistance darrt ?

    2. Le conducteur souhaite pouvoir sarrter, quel que soit son tat et celui de laroute, en moins de 100 mtres. quelle vitesse maximum doit-il rouler ?

    Pondichry 8 avril 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Document complter et rendre avec la copie

    Rsultats du recensement

    A B C D E F

    1 Nord Sud Est Ouest TOTAL

    2 Football 150 125 75 250

    3 Handball 50 75 30 85

    4 Tennis 35 30 15 50

    5 Judo 70 50 20 100

    6 TOTAL 305 280 140 485 1210

    7 Frquence en %

    Pondichry 9 avril 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    ANNEXE 2 (exercice 2)

    tude de la distance parcourue pendant le temps de raction en fonction de lavitesse selon ltat du conducteur

    condu

    cteur

    fatigu

    conducteu

    r en forme

    0 10 50 90 130

    5

    10

    50

    dis

    tan

    cep

    arco

    uru

    ep

    end

    ant

    lete

    mp

    sd

    er

    acti

    on

    enm

    tre

    s

    vitesse en kilomtres par heure

    Pondichry 10 avril 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    ANNEXE 3 (exercice 2)

    tude de la distance de freinage en fonction de la vitesse selon ltat de la route

    rout

    e sc

    he

    rout

    em

    ouill

    e

    0 10 50 90 130

    5

    10

    50

    100

    150

    vitesse en kilomtres par heure

    dis

    tan

    ced

    efr

    ein

    age

    enm

    tre

    s

    Pondichry 11 avril 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    ANNEXE 4 (exercice 2)tude de la distance darrt en fonction de la vitesse

    route

    sche

    rout

    em

    ouill

    e

    conducteur fatigu

    conducteur en forme

    0 10 50 90 130

    510

    50

    510

    50

    100

    150

    vitesse en kilomtres par heure

    dis

    tan

    ced

    efr

    ein

    age

    enm

    tre

    sd

    ista

    nce

    par

    cou

    rue

    pen

    dan

    tle

    tem

    ps

    de

    rac

    tio

    nen

    mt

    res

    Pondichry 12 avril 2004

  • [ Baccalaurat Mathmatiques-informatique \Amrique du Nord juin 2004

    Exercice 1 8 points

    -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    O

    Ouest

    Sud

    500

    500

    Nord

    Est

    A

    D

    R

    S2 200

    2 400

    2 6002 800

    3 0003 200

    3 4003 600

    3 800

    La carte prsente le trajet aller-retour que projette deffectuer un groupe dalpinistes.Le but de la randonne est de gravir le sommet S. Le premier jour, ils se donnentrendez-vous au point D, dpart dun tlphrique qui les conduit au point A. Ils d-cident ensuite de gagner pied le refuge R o ils passeront la nuit. Ils prvoient pourle lendemain de faire lascension de R S, puis le retour direct pied de S D.On rapporte lespace un repre orthonormal dorigine O, dont laxe Ouest-Est estcelui des abscisses, laxe Sud-Nord celui des ordonnes, laxe des cotes (ou altitu-des) ntant pas reprsent. Les carrs du quadrillage ont, sur le terrain, 500 mtresde ct. Des lignes de niveau, dont laltitude est indique en mtres, permettentdimaginer le relief. Par exemple, le point S a pour coordonnes (7 000 ; 3 000 ; 3 800).

    1. a. Quelles sont les coordonnes des points D et A ?

    b. Calculer la diffrence daltitude (appele dnivele) entre D et A.

    c. Le tlphrique met 10 minutes pour aller de D A. Calculer sa dnivelemoyenne par heure (en mtres par heure).

    2. On dsire calculer la longueur du cble dutlphrique (suppos tendu).Pour cela, on pourra saider du par-alllpipde rectangle reprsent, le pointA tant situ la verticale du point A, lamme altitude que D.Utiliser deux fois de suite le thormede Pythagore pour dmontrer que la lon-gueur DA est, au mtre prs, gale 2 693mtres.

    D

    C

    A

    A

    2 0001 500

    1 000

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    3. Les alpinistes quittent le tlphrique en A et se dirigent vers le refuge R. Don-ner les coordonnes du point B le plus bas du trajet de A R.

    4. Le lendemain, pour des raisons de scurit, les alpinistes doivent quitter lerefuge trs tt de faon arriver au sommet S au plus tard 10 heures. Ilsprvoient daccder S en slevant, en moyenne, dune altitude de 200 mtrespar heure. quelle heure doivent-ils quitter le refuge R ?

    5. Ayant atteint comme prvu le sommet 10 heures, ils sapprtent redescend-re en perdant en moyenne 300 mtres daltitude par heure. quelle heureseront-ils au point D ? (Donner la rponse en heures et minutes).

    Exercice 2 12 points

    Dans une ville existent deux salles de spectacles ayant programm chacune 40 con-certs durant la saison 2004/2005. La salle G est spcialise dans la musique classiqueet la salle J dans le jazz.

    1. Pour la salle G, les rsultats en nombre de spectateurs prvus sont indiquspar un histogramme. Par exemple, le grant pense que 6 concerts vont attirerentre 500 et 700 spectateurs durant la saison 2004/2005.

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Salle GUn concert

    100 500 700 900 1 100 1 300 1 500

    a. Calculer, en utilisant les milieux de classes, la moyenne mG de cette sriestatistique.

    b. On considre que les donnes de cette srie sont gaussiennes (cest--dire quelles suivent approximativement une loi normale). La plage denormalit 95% est [302 ; 1 438]. En utilisant cet intervalle, retrouver lamoyenne mG et calculer lcart type G de la srie.

    2. Les statistiques concernant la salle J sont donnes sur une feuille de calcul ra-lise laide dun tableur. On rappelle que C3, par exemple, dsigne ladressede la cellule situe lintersection de la colonne C et de la ligne 3.

    Les cellules A5 A11 contiennent les classes de nombres de spectateurs, tou-tes damplitude 200.

    Amrique du Nord 14 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Les cellules B5 B11 contiennent les milieux des classes. Les cellules C5 C11contiennent les nombres de concerts correspondant aux classes de la colonneA.

    A B C D E12 classes milieux

    desnombre

    despectateurs spectateurs

    3 classes concerts 2004/2005 2005/200645 [0 ; 200[ 100 4 4006 [200 ; 400[ 300 87 [400 ; 600[ 500 48 [600 ; 800[ 700 29 [800 ; 1 000[ 900 6 5 400

    10 [1 000 ; 1 200[ 1 100 10 11 00011 [1 200 ; 1 400[ 1 300 6 7 8001213 somme 40 30 400 31 0201415 moyenne 775,516

    a. Le grant veut obtenir, en utilisant le tableur, le nombre moyen de spec-tateurs par concert pour la saison 2004/2005. Dans la cellule D5 figure400 qui reprsente le nombre de spectateurs susceptibles davoir assistaux quatre concerts relatifs la premire classe.

    Quelle formule le grant a-t-il saisi dans D5, sachant quelle doit tre re-copie jusqu D11, pour obtenir les nombres concernant les autres clas-ses. Inscrire les rsultats des cellules D6 D11 ?

    b. Quelle formule le grant a-t-il saisi dans D13 ? Quelle formule doit-il sai-sir dans D15 pour avoir le nombre moyen de spectateurs par concertdans la salle J ? Inscrire ce nombre dans la cellule D15.

    3. Trouver, pour la srie concernant la salle J, les classes respectives contenant lamdiane et les quartiles du nombre de spectacles.

    4. Pour relancer la frquentation lors de la saison 2005/2006, le grant dcidede proposer des abonnements pour plusieurs concerts dans lanne. Il espreaugmenter de 10% le nombre de spectateurs de chaque concert de moins de800 spectateurs.

    a. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule ES (recopie jusqu E8) afinde trouver le nombre de spectateurs espr en 2005/2006 pour ces 4 pre-mires classes ? Inscrire les quatre rsultats dans le tableau.

    b. Quelles formules faut-il saisir dans les cellules E13 et E15 afin dobtenir lenombre de spectateurs espr pour 2005/2006 et la moyenne par concert?

    c. Calculer dans cette hypothse la variation relative en pourcentage entrela moyenne attendue en 2004/2005 et celle espre en 2005/2006. Le r-sultat sera arrondi 0,1% prs.

    Amrique du Nord 15 juin 2004

  • [ Baccalaurat gnral Antilles-Guyane \Mathmatiques-informatique - srie L - juin 2004

    La calculatrice est autorise.Le candidat doit traiter les DEUX exercices

    Les annexes 1 et 2 sont rendre avec la copie

    EXERCICE 1 8 points

    Un magasin vend deux types de tlphones mobiles : des modles standards notsS et des modles miniatures nots M.Ce magasin propose deux types de forfait mensuel : un forfait dune heure not A etun forfait de deux heures not B.Le service commercial effectue une enqute sur un chantillon de 2 000 clients ayantachet dans ce magasin un tlphone et un seul et ayant opt pour un seul des for-faits proposs.Sur les 2 000 clients interrogs, 1 200 ont achet le modle S et 960 ont choisi le forfaitA.Parmi les les clients ayant achet le modle S, 32% ont pris le forfait A.

    Partie A - tude de lenqute

    1. Le tableau de lannexe 1, rendre avec la copie, fait apparatre le nombre declients interrogs selon le modle de tlphone et le type de forfait choisis.Complter le tableau.

    2. a. Quel est le pourcentage de clients interrogs qui ont choisi le forfait A ?

    b. Quel est le pourcentage de clients interrogs qui ont choisi le modle M?

    c. Quel est le pourcentage de clients interrogs qui ont choisi le modle Met le forfait A ?

    d. Parmi les clients interrogs ayant choisi le modle M, quel est le pour-centage de clients interrogs qui ont opt pour le forfait A ?

    Partie B - Comparaison des deux forfaits

    Le forfait mensuel A cote 27( et le forfait mensuel B cote 45(. Loprateur facture0,50 ( chaque minute au del du forfait.On sintresse la consommation dun client ayant souscrit un forfait A au cours dumois suivant lachat du tlphone et on appelle t le nombre de minutes consom-mes au-del du forfait.

    1. Quel serait le montant de la facture paye par ce client sil avait tlphon 15minutes au-del du forfait A pendant ce mois ?

    2. Exprimer en fonction de t le prix payer par ce client ayant dpass son forfaitde t minutes.

    3. Soit p la fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 50] par

    p(t)= 27+0,5t .

    Reprsenter la fonction p dans le repre fourni en annexe.

    4. Dterminer graphiquement partir de combien de minutes de consommati-on au-del du forfait A ce client aurait intrt souscrire un forfait B.

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    EXERCICE 2 12 points

    Trois amis Bertrand, Claire et Dominique dbutent dans trois entreprises diffren-tes.Au premier janvier de lanne 2000, Bertrand et Claire dbutaient avec un salairemensuel de 1 500 (, tandis que Dominique commenait avec un salaire menseul de1 400 (.Ils se proposent de comparer lvolution de leurs salaires mensuels.On a donn en annexe 2, rendre avec la copie, un tableau obtenu laide duntableur.Une fois que tous les calculs auront t effectus, les rsultats seront arrondis 102.

    Partie A - volution du salaire mensuel de Bertrand

    partir de lanne 2001, au premier janvier de chaque anne, le salaire mensuelde Bertrand augmente de 2,5%. On note bn , le salaire mensuel de Bertrand au 1er

    janvier de lanne (2000 +n), n tant un entier naturel. On a donc b0 = 1500.

    1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule A3 du tableau de lannexe 2, pourobtenir, par recopie automatique vers le bas, les diffrentes annes ?

    2. Calculer le salaire mensuel de Bertrand en 2001 puis en 2002.

    3. Quel est le coefficient multiplicatif correspondant cette augmentation de2,5% par an ?

    4. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 du tableau de lannexe 2, pourobtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Bertrandjusquen 2008 ?

    5. Montrer que, pour tout entier naturel n, bn = 1500 (1,025)n .

    6. a. Complter la colonne C du tableau de lannexe 2, jusquen 2008.

    b. En supposant que le salaire mensuel de Bertrand volue de la mmefaon aprs 2008, dterminer partir de quelle anne son salaire men-suel dpassera 2 000 (. Justifier.

    Partie B - volution du salaire mensuel de Claire

    partir de lanne 2001, au premier janvier de chaque anne le salaire mensuel deClaire augmente de 40 (.On note cn , le salaire mensuel de Claire au 1er janvier de lanne (2000 +n), n tantun entier naturel. On a donc c0 = 1500.

    1. Calculer le salaire mensuel de Claire en 2001 puis en 2002.

    2. Exprimer cn+1 en fonction de cn . Que peut-on en dduire pour la suite (cn) ?Justifier.

    3. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 du tableau de lannexe 2, pourobtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Clairejusquen 2008 ?

    4. En compltant la colonne D du tableau de lannexe 2. dterminer partir dequelle anne le salaire mensuel de Bertrand dpasse celui de Claire.

    Antilles-Guyane 17 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Partie C- volution du salaire mensuel de Dominique

    On appelle dn le salaire mensuel de Dominique au 1er janvier de lanne (2000+n), ntant un entier naturel.On a donc d0 = 1400.On note un = dn +1000.On admet que la suite (un ) est une suite gomtrique de raison 1,02.

    1. a. Montrer que un = 2400 (1,02)n .

    b. Exprimer dn en fonction de n.

    c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule E3 du tableau de lannexe 2pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, le salaire de Domini-que jusquen 2008 ?

    d. Complter la colonne E du tableau de lannexe 2 jusquen 2008.

    2. On suppose que jusquen 2015, chacun des salaires des trois amis continueradvoluer comme avant 2008. partir de quelle anne le salaire de Dominiquesera-t-il le plus lev des trois ?

    Antilles-Guyane 18 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Annexe 1 rendre avec la copie

    Tableau

    Modle S Modle M TotalForfait A 960Forfait B

    Total 1 200 2 000

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495001234567891011

    12131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960

    dpassement en minutes

    pri

    xen

    euro

    s

    Reprsentation graphique de la fonction p

    0 10 20 30 40 500

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    Antilles-Guyane 19 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Annexe 2 rendre avec la copie

    A B C D ESalaire de Salaire de Salaire de

    1 Anne n Bertrand Claire Dominiquebn cn dn

    2 2000 0 1 500 1 500 1 4003 2001 14 2002 25 2003 36 2004 47 2005 58 2006 69 2007 7

    10 2008 8 1 827,60 1 811,9811121314

    Antilles-Guyane 20 juin 2004

  • [ Baccalaurat Mathmatiques-informatique \Asie juin 2004

    Exercice 1 11 points

    La principale source de radioactivit naturelle, laquelle lhomme est expos, est ungaz radioactif appel le radon.Il schappe des sous-sols volcaniques et granitiques ainsi que de certains matriauxde construction et stagne dans des endroits mal ventils.La concentration de radon lintrieur des habitations sexprime en Becquerel parmtre cube

    (

    Bq m3)

    .

    Partie A

    Au cours dune exprience, on a relev chaque jour, en fin de journe, la concentrati-on de radon. La reprsentation graphique indique les relevs pendant une semaine.

    Co

    nce

    ntr

    atio

    nd

    era

    do

    nen

    (

    Bqm

    3)

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    0 1 2 3 4 5 6 7 8

    Dcroissance radioactiveb

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    Par exemple, la fin de la deuxime journe, la concentration en radon est denviron1 000

    (

    Bq m3)

    .

    1. laide de la reprsentation graphique :

    a. Expliquer pourquoi. dans cette situation, la dcroissance nest pas linaire.

    b. Dterminer la journe au cours de laquelle la concentration de radondevient infrieure la moiti de celle releve le premier jour.

    2. Le tableau suivant prsente les donnes numriques mesures lors de lexprience.Dans un tableur, on a saisi les donnes concernant la concentration du gaz ra-don.

    On a calcul le coefficient muItipIicatif entre deux mesures conscutives.

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Jour Concentration Coefficientde radon en

    (

    Bq m3)

    multiplicatifI 1 2002 996 0,833 840 0,844 696 0,835 576 0,836 480 0,837 408 0,85

    a. Quel est le pourcentage dvolution de la concentration de radon entrele jour 1 et le jour 2.

    b. Les donnes numriques ne permettent de choisir un modle de d-croissante exponentielle. Justifier ce choix.

    c. Quelle est, en pourcentage, la diminution de la concentration du radondurant la premire semaine ?

    Partie B

    1. partir du jour 7, on suppose que la dcroissance se poursuit avec 0,84 com-me valeur du coefficient multipIicatif.

    a. Quelle serait la concentration de radon le jour 8 ? On arrondira le rsultat lentier le plus proche.

    b. On modlise cette dcroissance par une suite (un ), o un reprsente laconcentration en radon au jour n +7. On a alors u0 = 408. De quel typede suite sagit-il ? Justifier que un = 408 (0,84)n .

    2. Le tableau ci-dessous est extrait dun tableur :

    A B C D E F G H I1 n 0 1 2 3 4 5 62 un 4083

    Les colonnes sont repres par les lettres A, B, C, . . . et les lignes sont represpar des numros 1, 2, 3, . . .

    On veut crire en cellule C2 une formule qui permette dobtenir par recopievers la droite les termes de la suite jusqu u6.

    a. Parmi les formules suivantes, recopier celle(s) qui convient (ou convien-nent)

    =$B$2*0,84 =408*(0,84)C1 =408*0,84 =B2(0,84) C1.

    b. Proposer une formule inscrire en C2 de telle sorte quelle reste valablesi on modifie la valeur de la cellule B2.

    c. Complter le tableau laide de votre calculatrice (les rsultats serontarrondis lentier le plus proche).

    3. Le Conseil Suprieur dHygine Publique de France a mis un avis sur la noci-vit de ce gaz dans les habitations : en dessous de 200

    (

    Bq m3)

    , il est consi-dr comme sans danger. Dterminer le jour partir duquel la concentrationde radon sera infrieure 200

    (

    Bq m3)

    .

    Asie 22 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Exercice 2 9 points

    Une station mto a relev les tempratures minimales et maximales quotidiennesdu mois daot des annes 2002 et 2003.Le tableau 1 contient les donnes releves au jour le jour durant le mois daotde lanne 2003, et le tableau 2 donne les tempratures maximales de ce mois or-donnes par ordre croissant.

    date temprature temprature tempraturemaximale minimale maximale

    1 29,2 13,9 19,62 32,4 16,3 19,93 34,7 18,1 24,64 36,3 18,6 25,85 37,1 19,1 26,36 37,4 19,2 28,37 38,4 20,1 28,48 35,7 17,1 28,69 37,9 16,8 29,2

    10 37,7 18,4 29,711 37,5 17,9 30,212 38,7 19,2 30,213 38,2 20,4 30,714 28,4 18,1 30,915 29,7 17,7 31,116 30,2 15,3 31,317 31,4 17,3 31,418 26,3 16,9 31,619 30,2 13,7 31,920 25,8 17,6 32,421 28,3 14,9 34,722 31,1 12,7 35,723 31,3 11,5 36,324 31,6 14,6 37,125 31,9 15,2 37,426 30,9 15,2 37,527 30,7 13,9 37,728 28,6 14,4 37,929 24,6 15,4 38,230 19,6 14,1 38,431 19,9 9,4 38,7

    Tableau 1 Tableau 2

    Source : station mto de Savigny-les-Beaune, aot 2003.

    1. a. Dterminer la mdiane, les premier et troisime quartiles ainsi que lcartinterquartile de la srie des tempratures maximales du mois daot delanne 2003, Justifier les rsultats.

    b. Construire, sur le graphique, le diagramme en bote correspondant lasrie des tempratures maximales du mois daot 2003. Les extrmitsde chaque diagramme correspondent aux minimum et maximum de lasrie considre.

    Asie 23 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    2. Etude des diagrammes en bote

    a. Donner la mdiane et lintervalle interquartile de la srie des tempratu-res minimales daot 2002. Exprimer par une phrase la signification dechaque rsultat.

    b. Comparer les deux sries des tempratures minimales des annes 2002et 2003.

    c. Pour chacune des deux phrases suivantes, indiquer, en argumentant, sielle est vraie ou fausse.

    Au moins 75 % des jours du mois daot 2002 ont une tempraturemaximale infrieure ou gale 26 C.

    Plus de 75 % des jours du mois daot 2003 ont une temprature ma-ximale suprieure ou gale 26 C.

    3. Donner quelques informations dduites de la comparaison des diagrammes.

    Asie 24 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    22

    23

    24

    25

    26

    27

    28

    29

    30

    31

    32

    33

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    Tem

    pr

    atu

    res

    Temprature Temprature Temprature Temprature

    minimale minimale maximale maximale

    aot 2002 aot 2003 aot 2002 aot 2003

    Asie 25 juin 2004

  • [ Baccalaurat gnral Centres trangers groupe 1 \preuve anticipe Mathmatiques - juin 2004

    Mathmatiques-informatique - srie LLa calculatrice est autorise.

    Le candidat doit traiter les DEUX exercicesLes annexes 1 et 2 sont rendre avec la copie

    EXERCICE 1 10 points

    Un industriel a achet chez un fabricant, en 1999, une machine M neuve pour unprix de 45 000 (.

    1. On appelle valeur de reprise le prix de rachat par le fabricant de la machine Musage pour lachat dune nouvelle machine M neuve. Cette valeur de reprisediminue chaque anne de 20% de la valeur quelle avait lanne prcdente.

    On note Rn cette valeur de reprise, exprime en euro, n annes aprs lachatde la machine neuve. On admet que, lorsque la machine vient dtre achete,sa valeur de reprise est gale au prix dachat.

    Ainsi, R0 = 45000.

    a. Vrifier que R1 = 36000.

    b. Donner lexpression de Rn+1 en fonction de Rn .

    c. En dduire la nature de la suite (Rn ), puis exprimer Rn en fonction de n.

    2. Chez le fabricant, le prix de vente de la machine M neuve, exprim en euro,augmente de 1 000 ( chaque anne. On note Pn ce prix lanne 1999+n. P0tant gal 45 000, exprimer Pn+1 en fonction de Pn , puis Pn en fonction de n.

    3. Cinq ans se sont couls. On suppose que lindustriel projette dacheter nou-veau une machine M neuve, identique celle achete en 1999, tout en reven-dant cette dernire au fabricant.

    Ces transactions seffectuant dans les conditions des questions 1. et 2., quellesomme, en euro, lindustriel doit-il dbourser ?

    4. On constate quaprs 10 annes coules, lindustriel serait oblig de dbour-ser environ 50 168 ( pour acheter une machine M neuve, dans les conditionsdes questions 1. et 2..

    a. Donner le dtail des calculs aboutissant ce rsultat.

    b. Quel serait alors le pourcentage daugmentation entre la dpense en 1999et la dpense en 2009 ?

    5. On dcide dutiliser un tableur pour savoir au bout de combien dannes lasomme dbourser par lindustriel pour une nouvelle machine M dpasserasa dpense de 1999, savoir 45 000 (. Pour cela, on cre une feuille de calculen adoptant la prsentation suivante :

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    A B C D EAnnes Nombre

    dannesPrix de Valeur de Somme

    1 coules vente reprise dbourser2 1999 0 45 000 45 0003 2000 1 36 0004 2001 25 2002 36 2003 47 2004 58 2005 69 2006 7

    10 2007 811 2008 912 2009 10 50 168

    a. Quelle est la formule saisir en C3 avant de la recopier vers le bas ?

    b. Quelle est la formule saisir en D3 avant de la recopier vers le bas ?

    c. Quelle est la formule saisir en E3 avant de la recopier vers le bas ?

    d. Vrifier que cest seulement au bout de 8 annes coules que lindustrieldevra dbourser plus de 45 000 (.

    EXERCICE 2 10 points

    la fin des dlibrations dun examen comportant trois preuves, un professeurrelve les rsultats de ses 30 lves aux preuves no 1, no 2 et no 3. Ces notes sontregroupes dans le tableau suivant :

    Notes sur 20 Effectifspreuve no 1 preuve no 2 preuve no 3

    5 0 3 06 6 0 07 5 5 28 8 0 19 1 8 6

    10 3 0 311 0 3 512 2 4 013 0 0 214 1 1 615 2 4 316 2 2 2

    1. Dans cette question, on sintresse la srie statistique E1 forme des notes lpreuve no 1.

    a. Dterminer, pour cette srie statistique, le minimum et le maximum.

    b. Dterminer la mdiane. Justifier.

    c. Dterminer les 1er et 3e quartiles. Justifier.

    Centres trangers 27 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    d. Tracer le diagramme en bote correspondant cette srie E1, sur la feuillefournie en annexe, avec le minimum et le maximum pour valeurs extr-mes.

    2. On sintresse maintenant la srie statistique E2 forme des notes lpreuveno 2.

    a. Dresser le diagramme en bote correspondant cette srie, sur la feuil-le annexe, avec le minimum et le maximum pour valeurs extrmes. Onprcisera les valeurs utilises.

    b. Calculer la moyenne arithmtique de la srie E2.

    c. Donner la valeur de lcart-type de la srie E2.

    3. Quels commentaires pouvez-vous faire en comparant les deux diagrammesen bote correspondant aux sries E1 et E2.

    4. On note E3 la srie statistique forme des notes lpreuve no 3. On admet quelcart-type de la srie E3 est 2,7.

    a. Calculer la moyenne arithmtique de la srie E3,

    b. Calculer le pourcentage dlves ayant une note infrieure ou gale 9dans lpreuve no 3.

    c. Quels commentaires pouvez-vous faire en comparant les rsultats delpreuve no 2 avec ceux de lpreuve no 3 ?

    5. Sachant que la moyenne arithmtique lpreuve no 1 est 9,13 et que cettepreuve no 1 est affecte du coefficient 3 et les preuves no 2 et no 3 du coeffi-cient 1, quelle est la moyenne arithmtique, sur 20, des notes des 30 lves cet examen ?

    Centres trangers 28 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Annexe ( rendre avec la copie)

    Exercice 2

    Srie statistique E1 - Diagramme en bote

    0 10 20

    Srie statistique E2 - Diagramme en bote

    0 10 20

    Centres trangers 29 juin 2004

  • [ Baccalaurat gnral Mtropole \Mathmatiques-informatique - srie L - juin 2004

    La calculatrice est autorise.Le candidat doit traiter les DEUX exercices

    Lannexe 1 est rendre avec la copie

    EXERCICE 1 EXPLOITATIONS AGRICOLES 9 points

    Le tableau (incomplet) ci-dessous donne la rpartition des 800 chefs dexploitationagricole dune rgion selon leur ge et laire de la Surface Agricole Utile (S.A.U.) deleur exploitation.Laire est exprime en hectares (ha) et lge en annes.

    tranche dgeS.A.U.

    [0 ; 10[ [10 ; 30[ [30 ; 50[ [50 ; 100[ TOTAL

    [15 ; 25[ 2 1 5 3[25 ; 35[ 21 16 28 84[35 ; 45[ 40 33 59 148[45 ; 55[ 17 53 123[55 ; 65[ 110 60 70 57 297TOTAL 190 180 270 800

    Partie A

    1. Complter le tableau (on recopiera sur la copie les colonnes compltes cor-respondant une Surface Agricole Utile de [10 ; 30[ et de [30 ; 50[).

    2. Les pourcentages demands dans cette question seront arrondis 0,1%.

    a. Parmi les chefs dexploitation agricole, quel est le pourcentage de ceuxdans la tranche dge [25 ; 35[ ?

    b. Parmi les chefs dexploitation agricole, quel est le pourcentage de ceuxgs de strictement moins de 45 ans et possdant au moins 30 ha de Sur-face Agricole Utile ?

    c. Parmi les chefs dexploitation agricole de 55 ans ou plus, quel est le pour-centage de ceux qui ont une Surface Agricole Utile de moins de 10 ha ?

    d. Parmi les chefs dexploitation agricole de Surface Agricole Utile de moinsde 10 ha, quel est le pourcentage de ceux gs de 55 ans ou plus ?

    Partie B

    1. a. Combien de chefs dexploitation agricole ont strictement moins de 45ans ? Strictement moins de 55 ans ?

    b. Expliquer pourquoi lge mdian des chefs dexploitation agricole est n-cessairement entre 45 et 55 ans.

    Pour dterminer lge mdian, la rpartition des ges dans la classe [45 ; 55[est donne par le tableau suivant :

    GE 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54EFFECTIF 18 21 24 31 30 31 30 27 28 20

    Combien de chefs dexploitation ont 45 ans ou moins ?

    Justifier que lge mdian est de 51 ans.

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    c. Les premier et troisime quartiles de la srie des ges sont 42 et 58.

    Construire le diagramme en bote de cette srie en prenant compte desvaleurs extrmes 18 et 65.

    On choisira comme chelle 2 mm pour une anne.

    2. Le diagramme en bote des ges des chefs dexploitation de 50 ha 100 ha etcelui des chefs dexploitation de moins de 10 ha sont reprsents ci-dessous.

    24 42 47 54 65

    exploitations de

    50 100 ha

    18 43 57 60 63

    exploitations de

    moins de 10 ha

    Un journaliste a crit : Dans leur ensemble les chefs dexploitation de 50 100 ha sont plus jeunes que les chefs dexploitation de moins de 10 ha.

    Commenter cette affirmation en utilisant ces diagrammes en botes.

    EXERCICE 2 PROGRAMME DENTRAINEMENT 11 points

    Aline, Blandine et Caroline dcident de reprendre lentranement vlo chaque sa-medi pendant 15 semaines. laide dun tableur, chacune a tabli son programmedentranement. Elles parcourent 20 km la premire semaine et souhaitent effectuerensemble une sortie la quinzime semaine.Lannexe reproduit ltat final de la feuille de calcul utilise. La valeur de certainescellules a t masque.

    Partie A : Programme dentranement dAline

    La distance parcourue par Aline chaque semaine est reprsente sur le graphiquede lannexe et certaines distances figurent dans la colonne B du tableau.On note U (n) la distance parcourue la n-ime semaine. Ainsi U (1) = 20 et U (15) = 118.

    1. En utilisant des valeurs de la colonne B et le graphique :

    a. Conjecturer la nature de la suite des nombres U (n). (Justifier la rponsedonne)

    b. Exprimer alors U (n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1et 15.

    2. Calculer la distance parcourue par Aline la dixime semaine.

    3. Quelle formule, recopiable vers la droite, a-t-elle saisie dans la cellule B23 pourcalculer la distance moyenne parcourue par chacune au cours des entrane-ments ?

    Mtropole 31 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Partie B : Programme dentranement de Blandine

    Blandine parcourt 20 km la premire semaine. Elle veut augmenter chaque semainedun mme pourcentage la distance parcourue de telle sorte que la distance par-courue la quinzime semaine soit, lunit prs, 118 km. Pour cela elle a testdiffrents pourcentages crits dans la cellule C3.

    1. Quelle formule a-t-elle saisie dans la cellule C7 puis recopie vers le bas deC8 C20, sachant que les rsultats se sont actualiss automatiquement lors-quelle a modifi le pourcentage daugmentation hebdomadaire ?

    2. Les essais lui ont permis de trouver quune augmentation hebdomadaire de13,5% convient.

    On note V (n) la distance parcourue par Blandine la n-ime semaine.

    a. Quelle est la nature de la suite des nombres V (n) ? (Justifier la rponsedonne).

    b. Exprimer V (n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1 et 15.

    c. Quelle distance Blandine parcourt-elle la dixime semaine ?

    3. Calculer le pourcentage daugmentation de la distance parcourue entre la pre-mire et la quinzime semaine.

    Partie C : Programme dentranement de Caroline

    Caroline parcourt 20 km la premire semaine, Pour calculer les distances parcouruesles semaines suivantes, elle a saisi dans la cellule D7 la formule := D6*(1+$D$3)+$D$2 et la recopie vers le bas de D8 D20.

    1. La valeur figurant dans la cellule D7 a t masque. Quelle est cette valeur ?

    2. Quelle est la formule contenue par la cellule D8 ?

    3. On note W (n) la distance parcourue par Caroline la n-ime semaine. La suitedes nombres W (n) est-elle arithmtique ? Est-elle gomtrique ? Justifier lesrponses.

    4. Calculer la distance moyenne parcourue par Caroline au cours de ses entra-nements.

    Mtropole 32 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Lanne 2004

    Annexe

    A B C DProgramme dentra- Programme dentra- Programme dentra-

    1 nement dAline nement de Blandine nement de CarolinePourcentage 4

    daugmentation3 13,50% 5%

    Distance U (n) parcou- Distance V (n) parcou- Distance W (n) parcou-4 rue par Aline rue par Blandine rue par Caroline

    la semaine n (en km) la semaine n (en km) la semaine n (en km)56 semaine 1 20 20 207 semaine2 27 22,78 semaine 3 30,2509 semaine 4

    10 semaine 5 48 33,190 41,55111 semaine 6 37,671 47,62812 semaine 7 62 42,757 54,01013 semaine 8 69 48,529 60,71014 semaine 9 55,060 67,74615 semaine 1016 semaine 11 82,88917 semaine 12 97 80,53518 semaine 13 99,58619 semaine 14 111 103,747 108,58520 semaine 15 118 117,753 117,9932122 Distance totale 1035 841,849 957,856

    parcourue23 Distance

    moyenne 69 56,123

    semaine

    dis

    tan

    ceen

    km

    Distance parcourue par Aline

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    Mtropole 33 juin 2004

  • [ Baccalaurat Mathmatiques-informatique \La Runion juin 2004

    Dure : 2 heures

    La calculatrice est autorise.Le candidat doit traiter les DEUX exercices

    Lannexe 1 est rendre avec la copie

    EXERCICE 1 9 points

    Le tableau ci-dessous donne les chiffres de la population franaise de 1970 2000 :

    Anne Population1970 50 770 0001975 52 658 2531980 53 731 3871985 55 062 5001990 56 614 4932000 59 411 758 50

    5152535455565758596061626364

    1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

    b

    bb

    bb

    b

    Population franaise (en millions)

    Ces donnes sont illustres par le graphique ci-dessus.

    1. Daprs le graphique, la croissance vous semble-t-elle linaire sur la priode19702000 ?

    Sinon, quelle anne faudrait-il ignorer pour que lon puisse considrer lacroissance comme linaire ?

    2. Dans cette question, on fera lhypothse que la croissance de population estlinaire sur la priode 19702000.

    a. Calculer laccroissement annuel moyen sur cette priode.

    b. Calculer quelle serait la population en 2005 et en 2010 si cette hypothsede linarit se maintenait.

    3. Dans cette question, on fait dsormais lhypothse que le taux de croissanceannuel est constant pendant ces 30 annes. On a calcul quune valeur appro-che 0,01 % prs de ce taux est alors gale 0,53 %.

    a. Comment peut-on qualifier ce type de croissance ?

    b. Si ce taux de croissance se maintenait au-del de lan 2000, quelle seraitla population en 2005 ? en 2010 ?

    4. On veut raliser une feuille de calcul automatise permettant de faire les esti-mations de la population dun pays fictif au-del de lan 2000, dabord dans lecas dune croissance linaire (estimation 1), ensuite dans le cas dune crois-sance exponentielle (estimation 2). Voici ce que lon souhaite obtenir :

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    A B C1 Accroissement annuel Taux daccroissement annuel2 430 000 0,50 %34 Anne Estimation 1 Estimation 25 2000 85 000 000 85 000 0006 2001 85 430 000 85 425 0007 2002 85 860 000 85 852 1258 2003 86 290 000 86 281 3869 2004 86 720 000 86 712 793

    10 2005 87 150 000 87 146 35711 2006 87 580 000 87 582 08812 2007 88 010 000 88 019 99913 2008 88 440 000 88 460 09914 2009 88 870 000 88 902 39915 2010 89 300 000 89 346 911

    La cellule B5 contient la population de lan 2000, la cellule B2 contient laccroissementannuel dans le cas dune croissance linaire, la cellule C2 contient le tauxdaccroissement annuel dans le cas dune croissance exponentielle.

    On a construit cette feuille de calcul de sorte que les rsultats sactualisentautomatiquement si lon modifie les donnes en B2, C2 et B5.

    La cellule C5 contient la formule = B 5.

    a. Quelle formule a-t-on crite dans la cellule B6 pour que, recopie vers lebas, elle donne les rsultats voulus ?

    b. Quelle formule a-t-on crite dans la cellule C6 pour que, recopie vers lebas, elle donne les rsultats voulus ?

    c. Quelles seront les formules obtenues, grce la recopie automatique, enB15 et en C15 ?

    EXERCICE 2 11 points

    On a relev les taux de pollution au benzne du 1er janvier au 30 avril 2002, en troisendroits de Paris et de sa proche banlieue. Au total, 5 807 relevs ont t pris encompte.Le graphique ci-aprs reprsente lensemble des rsultats mesurs (le taux est cal-cul en microgrammes par mtre cube) :

    La Runion 35 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

    0

    25

    50

    75

    100

    125

    150

    175

    200

    225

    250

    275Pollution au benzne (5 807 relevs)

    Cette statistique a t rsume par ce tableau :

    en g/m3

    Minimum 0Premier dcile (D1) 0,6

    Premier quartile (Q1) 1Mdiane 2,2

    Troisime quartile (Q3) 5,4Neuvime dcile (D9) 8,6

    Maximum 32,8

    On rappelle que :

    Le premier dcile D1 est la plus petite valeur de la srie telle quau moins 10 %des valeurs soient infrieures ou gale D1.

    Le neuvime dcile D9 est la plus petite valeur de la srie telle quau moins90 % des valeurs soient infrieures ou gale D9.

    1. partir des donnes du tableau ci-dessus, reprsenter la srie statistique parun diagramme en bote (ou bote moustaches). On prendra pour chelle5 mm pour reprsenter 1 g/m3.

    2. Voici quatre affirmations. En vous aidant des donnes prcdentes (graphiqueet tableau), prciser - en justifiant clairement votre rponse - si celles-ci sontvraies, fausses, ou si les donnes ne permettent pas de trancher.

    Affirmation A : La srie tudie ici peut tre qualifie de distribution norma-le.

    Affirmation B : Environ la moiti des valeurs mesures sont infrieures 2,2g/m3.

    Affirmation C : Environ 80% des valeurs sont comprises entre 0,6 g/m3 et8,6 g/m3.

    Affirmation D : Plus de 10% des valeurs dpassent 10 g/m3.

    La Runion 36 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    3. Les 5 807 relevs ont t raliss dans trois villes diffrentes (Paris, Neuilly-sur-Seine et Vitry-sur-Seine) pendant les quatre premiers mois de 2002. Le tableausuivant indique la rpartition de ces relevs :

    JANVIER FVRIER MARS AVRIL TOTALPARIS 708 465 591 703 2 467

    NEUILLY 606 652 592 700 2 550VITRY 0 0 269 521 790TOTAL 1 314 1 117 1 452 1 924 5 807

    Les rsultats des trois questions ci-dessous devront tre donns en pourcen-tages, arrondis 0,1%.

    a. Parmi lensemble des relevs, quelle est la proportion de ceux qui ont teffectus Neuilly pendant le mois de mars.

    b. Parmi lensemble des relevs effectus en mars, quelle est la proportionde ceux qui ont t raliss Neuilly ?

    c. Parmi les relevs effectus Neuilly, quelle est la proportion de ceux quiont t raliss en mars.

    4. On veut maintenant comparer les taux de pollution au benzne relevs Neuil-ly, pendant les quatre premiers mois de lanne 2002, 4 h du matin dune partet 19 h dautre part.

    Ces relevs ont t reprsents par les deux diagrammes en bote ci-dessous(celui du haut correspond aux relevs de 4 h du matin, et celui du bas auxrelevs de 19 h). Laxe est gradu en g/m3. Les petites barres verticales (ex-trmits des moustaches) correspondent au 1er et au 9e dciles ; les pointsextrmes reprsentent le maximum et le minimum.

    0 5 10 15 20

    b

    b b

    b

    Taux de benzne en g/m3

    Rpondre aux questions suivantes, en justifiant clairement les rponses

    a. Si un taux de 14 g/m3 a t relev, peut-on savoir quelle heure ?

    b. Entre quelles valeurs se situent les 50% centraux des taux de pollutionrelevs 19 h ?

    c. 25% environ des taux relevs 4 h sont au-dessus dune certaine valeur; quelle est cette valeur ?

    d. Quel est le relev, du matin ou du soir, qui donne les valeurs les plusdisperses ?

    La Runion 37 juin 2004

  • [ Baccalaurat Mathmatiques-informatique \Liban juin 2004

    EXERCICE 1 8 points

    Une souris descend dans une canalisation (schmatise par la figure ci-dessous)aboutissant aux sorties 0, 1, 2, 3. On suppose quelle progresse vers larrive en sedirigeant au hasard chaque niveau vers la droite ou vers la gauche pour accder auniveau infrieur. Un parcours possible peut donc se coder GGD, o G signifie allervers la gauche et D aller vers la droite, chacun des trois niveaux. On sintressealors au numro de la sortie de la souris.

    Entre

    Niveau 0

    Niveau 1

    Niveau 2

    Sortie 0 1 2 3

    Partie A tude thorique

    Trouver tous les chemins possibles (ventuellement laide dunn arbre) et complteralors le tableau des frquences thoriques (tableau 1 de lannexe de lexercice 1)

    Partie B Simulation laide dun tableur

    laide dun tableur, on effectue une simulation de 100 progressions de la sourisdans la canalisation : on obtient ainsi les frquences correspondant chacune dessorties possibles de la souris. On note alors la frquence correspondant la sortieno 1 obtenue.En effectuant 50 simulations, on obtient 50 frquences correspondant la sortieno 1. (Ces frquences sont releves dans le tableau 2 de lannexe de lexercice 1)

    1. On admet que la srie des 50 frquences a pour moyenne m = 0,364 et pourcart-type s = 0,051, rsultats donns avec trois chiffres aprs la virgule.

    Calculer le pourcentage de valeurs de la srie situes dans lintervalle

    [m 2s ; m +2s].

    Ce rsultat correspond-il ce que lon peut attendre dune srie gaussienneou normale ? Justifier.

    2. On effectue ensuite deux sries de 50 simulations, lune correspondant 500 pro-gressions de la souris, lautre 1 000 progressions et on obtient 50 frquencesde la sortie no 1 pour chaque srie.

    Le graphique de lannexe de lexercice 1 reprsente les diagrammes en bote(ou botes moustaches) de ces deux sries.

    Dessiner, sur le mme graphique, le diagramme en bote qui correspond lasrie des 50 simulations effectues dans la question 1. en calculant tous leslments ncessaires pour construire ce type de bote.

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    3. a. laide des trois diagrammes, dterminer la srie qui semble donner lesfrquences les plus proches de la frquence thorique.

    b. Que faudrait-il faire pour sen approcher encore davantage ?

    EXERCICE 2 12 points

    Partie A volution dune population de bactries

    Dans un laboratoire de microbiologie, on tudie la croissance dune population debactries de la faon suivante : au dpart, on injecte dans un milieu nutritif unequantit p0 de bactries et on la laisse se dvelopper ; on mesure ensuite toutes lesheures son dveloppement en relevant la quantit pn de bactries prsentes dans lemilieu au bout de la n-ime heure (n tant un entier naturel).En reliant les points de coordonnes

    (

    n, pn)

    releves dans les colonnes A et B dutableau de lannexe de lexercice 2, on obtient ainsi la courbe de croissance de cettepopulation, note C .On note p la fonction numrique dfinie sur lintervalle [0 ; 10] et reprsente par lacourbe C .

    1. Les microbiologistes dfinissent le temps de latence de la population commele temps ncessaire pour que la population atteigne la valeur 200.

    Dterminer graphiquement ce temps de latence un quart dheure prs. (Lalecture sera justifie par des tracs en pointills ; on fera apparatre tous lestracs et toutes les constructions utiles.)

    2. La population de bactries prend alors son essor et se multiplie grande vi-tesse.

    Dans la colonne C du tableau, on veut calculer le pourcentage daugmentationde la population dune heure lautre.

    Parmi les trois formules suivantes :

    =(B3/B2-1)*100 = B3/$B$2-1 = B3/B2-1

    donner celle que lon doit insrer dans la cellule C3 (cellule lintersection dela colonne C et de la ligne 3) pour obtenir le premier pourcentage daugmentation,sachant que cette formule sera recopie vers le bas et que les cellules de la co-lonne C sont en format pourcentage.

    Complter alors la colonne C de la ligne 9 la ligne 12 par les valeurs que don-nerait un tableur en arrondissant les rsultats affichs deux chiffres aprs lavirgule.

    3. Lorsque la nourriture ne suffit plus satisfaire lensemble de la population, lacroissance ralentit. On considre quil y a surpopulation ds que le pourcen-tage daugmentation de la population est infrieur 1%.

    Au bout de combien de temps peut-on parler de surpopulation ? Justifier larponse.

    Partie B : Comparaison avec un modle mathmatique

    On veut comparer lvolution de la population des bactries vue en partie A aveccelle dune population thorique dont leffectif au bout de la n-ime heure est notun (n tant un entier naturel). On suppose que, pour cette population, u0 = 73 etque leffectif augmente de 67% toutes les heures.

    Liban 39 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    1. Calculer u1, u2, u3. (On arrondira le rsultats lunit)

    2. Donner la nature de la suite (un ) puis complter les cellules vides de la co-lonne D du tableau de lannexe de lexercice 2. (On arrondira les rsultats lunit).

    3. Sur la figure 2 de lannexe de lexercice 2, on a reli les points de coordonnes(n ; un ) et on a trac sur le mme graphique la courbe C de la partie A.

    Utiliser le graphique et le tableau pour donner :

    a. lintervalle de temps o le modle thorique considr sous-value laralit.

    b. lheure partir de laquelle le modle thorique (un ) sloigne avec lobservation(

    pn)

    .

    4. a. Exprimer le terme un en fonction de n et de u0.

    b. Quelle expression de pn en fonction de n (valable pour tout entier n in-frieur ou gal 6) peut-on proposer en utilisant le modle considr?

    Annexe 1

    Tableau no 1

    Sortie no 0 1 2 3Nombre de chemins possiblesFrquences thoriques en %

    Tableau no 2

    0,250 0,260 0,290 0,290 0,300 0,300 0,310 0,310 0,320 0,3200,320 0,320 0,330 0,330 0,330 0,340 0,340 0,340 0,340 0,3500,350 0,350 0,350 0,350 0,360 0,360 0,370 0,370 0,370 0,3700,380 0,380 0,380 0,390 0,390 0,390 0,390 0,400 0,400 0,4100,410 0,420 0,420 0,420 0,430 0,430 0,450 0,460 0,470 0,470

    0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49

    50 simulationsde 1000 progressions

    50 simulationsde 500 progressions

    Liban 40 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    Tableau de lexercice 2

    A B C D1 n Population (pn) Pourcentage daugmentation Suite (un )2 0 73 733 1 82 12,334 2 149 81,715 3 341 128,866 4 612 79,47 5687 5 982 60,46 9488 6 1 587 60,61 1 5849 7 1 644

    10 8 1 659 4 41611 9 1 668 7 37512 10 1 670 12 317

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    1400

    1600

    1800

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10temps en heures

    po

    pu

    lati

    on

    (pn

    )

    C

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    1400

    1600

    1800

    2000

    2200

    2400

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10temps en heures

    po

    pu

    lati

    on

    (pn

    )

    C

    Suite (un )

    Liban 41 juin 2004

  • [ Baccalaurat MathmatiquesinformatiquePolynsie juin 2004 \

    Dure : 2 heures

    La calculatrice est autorise.Le candidat doit traiter les DEUX exercices

    Lannexe 1 est rendre avec la copie

    EXERCICE 1 9 points

    Les parties A et B sont indpendantesLinfirmire dun lyce dcide de mener une enqute sur la qualit des repas servis la cantine scolaire de son tablissement.

    Partie A

    Elle ralise cette enqute lors du repas de midi du 26 septembre 2003 auprs des150 lves des classes de premire. Elle dispose des renseignements suivants :

    105 mangent au lyce ce jour-l ;

    131 ne sont pas allergiques au lait ;

    3 sont allergiques au lait et ne mangent pas au lyce ce jour-l.

    1. Complter le tableau donn en annexe et donner le nombre dlves de pre-mire qui mangent au lyce ce 26 septembre et ne sont pas allergiques au lait.

    2. Linfirmire fait des propositions de repas aux lves participant lenqute enprcisant que tout menu doit comporter obligatoirement une entre, un platprincipal, un accompagnement, un fromage et un dessert. Ces propositionssont donnes ci-dessous :

    Entre uf

    Plat principal Viande (portion de 120 g)Poisson (portion de 120 g)Frites (portion moyenne)

    Accompagnement Lgumes verts (portionmoyenne)

    Ptes (portion moyenne)Fromage blanc (portion

    de 100 g)Fromage Gruyre (portion de 30 g)

    Bleu (portion de 30 g)1 petit suisse

    Dessert Fruit (150 g)

    Chaque lve compose son menu.

    Quel est le nombre de menus diffrents que lon peut obtenir partir des pro-positions faites par linfirmire ?

    Partie B

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    Dans une circulaire du Ministre de lducation Nationale relative la restaurationscolaire, il est crit : Lapport minimal de calcium (...) est rarement assur (...). Lerepas de midi doit donc apporter pour les adolescents 300 400 mg de calcium.(B.O. Spcial no 9 du 28 juin 2001)Linfirmire dcide de dtecter les ventuelles carences en calcium. Elle mne uneautre enqute dans laquelle elle interroge les lves de premire qui ont mang aulyce le 26 septembre 2003 midi et qui ne sont pas allergiques au lait. partir dumenu choisi par chacun deux, elle calcule lapport en calcium correspondant. Ellenote les rsultats de cette enqute dans le tableau donn ci-dessous. On appelleraS1 la srie statistique ainsi forme.

    Apport encalcium 106 173 190 192 198 231 259 315 317 341 407 409(en mg)Nombredlves 1 2 7 6 11 16 21 7 3 6 6 3

    1. Parmi les lves participant cette enqute, quel est le pourcentage de ceuxpour lesquels lapport en calcium lors de ce repas est conforme la recom-mandation ministrielle ?

    2. Donner la moyenne et lcart-type de la srie statistique S1.

    3. Jugeant la moyenne de lapport en calcium trop faible, linfirmire dcide dedistribuer chaque lve un verre de lait. Elle suppose que tous les lvesboivent ce verre de lait et ajoute lapport en calcium correspondant, soit 120mg, aux rsultats prcdents, elle obtient une nouvelle srie S2 dapports encalcium.

    Comment dduire des valeurs calcules pour la srie S1 la moyenne et lcart-type de la srie S2 ?

    4. En fait, aprs leur dpart, linfirmire saperoit que 15 lves nont pas bu leurverre de lait, mais elle ne sait pas lesquels.

    Dterminer lapport moyen en calcium. Peut-on donner lcart-type ?

    EXERCICE 2 11 points

    Partie A

    (Toutes les rponses seront arrondies au dixime)La Chine, les tats-Unis et la France sont parmi les principales destinations de va-cances dans le monde. Le graphique ci-dessous montre lvolution du nombre detouristes trangers arrivs dans ces trois pays durant les quatre annes de la priode1998-2002.

    uu u u

    u

    r rr

    rr

    qp qpqp qp

    qp

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    1998 1999 2000 2001 2002 2003

    Annes

    No

    mb

    red

    eto

    uri

    stes

    tra

    nge

    rs(e

    nm

    illio

    ns)

    (en

    mill

    ion

    s)

    qp Chine

    r tats-Unis

    u France

    Polynsie 43 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    (Source : Organisation Mondiale du Tourisme)

    1. Le nombre de touristes trangers arrivant en Chine na cess daugmenter de1998 2002.

    a. Cette croissance est-elle linaire ? Justifier.

    b. Calculer laugmentation moyenne annuelle de ce nombre durant la pri-ode 1998-2002.

    2. Pour les tats-Unis, on constate une forte baisse du nombre de touristes tran-gers durant la priode 2000-2002.

    a. Montrer que le pourcentage moyen annuel de cette baisse durant cettepriode de deux ans est 9,3%.

    b. Sachant que la baisse entre 2000 et 2001 a t denviron 10,6%, calculerle nombre de touristes trangers arrivs aux tats-Unis en 2001.

    c. Calculer le pourcentage daugmentation du nombre de touristes tran-gers arrivs aux tats-Unis entre 1999 et 2000.

    d. Calculer le nombre de touristes qui auraient d arriver aux tats-Unisen 2002 si le pourcentage daugmentation annuel calcul la questionprcdente stait maintenu durant les deux priodes 2000-2001 et 2001-2002.

    Partie B

    Dans une rgion de France trs frquente par les touristes, M. Martin vient dacheterun chteau du XVIIe sicle. Afin de financer des travaux, il envisage douvrir au publicsa proprit, et tudie le projet suivant : prsenter un spectacle dans le parc de sonchteau pendant la saison touristique.Aprs une rapide enqute, il semblerait qu 10 ( lentre pour ce spectacle, il pour-rait compter sur 50 spectateurs par jour, mais que, si le prix baissait, le nombre despectateurs augmenterait : ainsi, par exemple, chaque baisse du prix dentre de0,50 ( il y aurait 12 spectateurs supplmentaires.Il dcide dtudier srieusement le problme et souhaite trouver le prix dentre fixer pour que sa recette soit maximale. Pour cela, il utilise un tableur et commencele tableau donn en annexe.

    1. Quel serait le nombre de spectateurs si le prix dentre tait de 9 ( ? Quelleserait alors la recette ?

    2. Quelles formules doit-on crire dans les cellules B6, C6 et D6 afin que les deuxconditions suivantes soient ralises simultanment ?

    si on change les valeurs crites dans les cellules E1 et E2, la feuille decalcul est ractualise automatiquement ;

    on veut effectuer une recopie automatique de ces formules vers le bas.

    3. M. Martin veut savoir quel prix fixer lentre de son spectacle pour que sarecette soit maximale.

    a. Trouver ce prix et prciser alors la recette et le nombre de spectateurs.

    b. On veut reprer la recette maximale laide de lordinateur. Quelle for-mule, recopiable vers le bas, peut-on proposer dans la cellule E6 pourrpondre cette question ?

    Polynsie 44 juin 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    ANNEXE

    rendre avec la copie

    EXERCICE 1

    lves mangeant lves ne mangeant Totalau lyce pas au lyce

    lves allergiquesau lait

    lves non allergiquesau laitTotal

    EXERCICE 2

    A B C D E F1 Montant de chaque baisse du prix dentre (en () 0,502 Augmentation correspondante du nombre de spectateurs 1234 Nombre de Prix dentre Nombre de Recette Comparaison

    baisses en ( spectateurs en ( des recettes5 0 10 50 5006 1 9,50 62 589789

    101112131415161718

    Polynsie 45 juin 2004

  • [ Baccalaurat Mathmatiques-informatique \AntillesGuyane septembre 2004

    EXERCICE 1 8 points

    tude dune loi du march

    Dans cet exercice on dsire tudier une loi de march relative une revue intituleMOTSen fonction du prix de labonnement annuel.On considre la fonction f dfinie sur lintervalle [0 ; 200] par

    f (p) =50p +12500.

    On admet que cette fonction donne le nombre dabonns en fonction du prix p eneuros, de labonnement annuel cette revue MOTS.

    Partie A - Nombre dabonns

    1. Lorsque labonnement est fix 50 (, quel est le nombre dabonns ?

    2. Quelle est limage de 52 par f ? Que reprsente cette image ?

    3. Justifier que toute augmentation de 2 ( du prix de labonnement annuel faitdiminuer de 100 le nombre dabonns cette revue MOTS.

    4. Le nombre dabonns la revue MOTS est de 5 000, quel est alors le prix delabonnement annuel ?

    5. En utilisant la fonction f , justifier que pour ce produit plus un produit estcher, plus la demande diminue.

    Partie B - tude de la recette

    On appelle recette le montant total des abonnements annuels la revue MOTSperu par lditeur de la revue.

    1. Le prix de labonnement est gal 50 (. Calculer la recette correspondante.

    2. Le prix de labonnement est fix 40 (. Calculer la recette correspondante.

    3. Le nombre dabonns est gal 5 000. Calculer la recette.

    4. Le prix de labonnement est gal p euros. Exprimer la recette en fonction dep et f (p).

    5. On dfinit la fonction R sur lintervalle [0 ; 200] par

    R(p) =50p2 +12500p.

    Vrifier que R(p) est gal la recette correspondant un prix de labonnementgal p euros.

    6. Le graphique de la fonction R est donn ci-dessous. En utilisant ce graphiqueet en laissant apparatre tous les tracs ncessaires, rpondre aux questionssuivantes :

    a. Quel est le prix de labonnement annuel cette revue MOTS qui rendla recette maximale ? Quel est alors le montant de la recette ?

    b. Donner lensemble des solutions de linquation R(p)> 500000.

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    7. Calculer le nombre dabonns qui correspond la recette maximale.

    0

    100000

    200000

    300000

    400000

    500000

    600000

    700000

    800000

    0 50 100 150

    Recettes

    Prix de labonnement en euros

    EXERCICE 2 12 points

    criture de mots

    La langue franaise comporte 26 lettres de lalphabet plus les lettres avec accents outrma soit 36 caractres qui permettent dcrire les mots.Un mot est une liste de caractres distincts ou non ayant un sens ou non, par exem-ple cab et eta sont deux mots.Un mot simple est un mot dont les caractres sont tous distincts. Par exemple cabest un mot simple mais cca nest pas un mot simple.La longueur dun mot est le nombre de caractres qui le composent : par exemple,le mot littraire a pour longueur 10.

    Partie A - Nombre de mots possibles de longueur donne

    On souhaite calculer : le nombre N de mots possibles de longueur infrieure ou gale 5. le nombre S de mots simples possibles ayant une longueur donne infrieure ougale 5.On dcide dutiliser un tableur.La feuille de calcul correspondant et travail est donne ci-dessous. Complter cetableau au fur et mesure.

    AntillesGuyane 47 septembre 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    A B C1 Longueur du mot Nombre de mots possibles Nombre de mots simples possibles2 1 36 363 2 1 296 1 2604 35 46 57 Total

    1. Calcul de N

    a. Justifier les rsultats des cellules B2 et B3.

    b. On admet que les rsultats de la colonne B sont les premiers termesdune suite gomtrique. Montrer que la raison de cette suite est gale 36.

    Donner le premier terme.

    c. Quel type de croissance cette suite traduit-elle ?

    d. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 pour que par recopie onobtienne les termes de la suite jusqu la cellule B6 ?

    e. Complter la colonne B jusquen cellule B6.

    f. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B7 pour obtenir N ? CalculerN .

    2. Calcul de S

    a. Justifier les rsultats des cellules C2 et C3.

    b. Justifier que lon peut saisir dans la cellule C3 la formule suivante

    = C2*(36 - A2) pour que par recopie jusquen la cellule C6 on obtienne lesnombres demands.

    c. Complter la colonne C.

    d. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C7 pour obtenir le nombredemand S ? Calculer S.

    Partie B

    Un texte de Charles Perrault est crit en quatre langues

    Les amours de la rgle et du compas

    Toutefois nos amours, rpliqua le compas

    Produiront des enfants qui vaincront le trpas

    De nous deux sortira la belle architecture

    Et mille nobles arts pour polir la nature, [. . . ]

    Le compas aussitt sur un pied se dressa,

    Et de lautre, en tournant un grand cercle traa.

    La rgle en fut ravie et soudain se vint mettre

    Dans le milieu du cercle, et fit le diamtre.

    Son amant lembrassa, layant sa merci

    Tantt slargissant et tantt raccourci

    Et lon vit natre de leurs doctes postures

    Triangles et carrs et mille autres figures

    A love story between a ruler and a compass

    Hovewer, our love, replied the compass

    Will produce children who will overcome death

    From us both a beautiful architecture will come out

    And a thousand noble arts to enhance nature

    Immediately, the compass stood on his foot

    Whilst he drew a great circle with the other one

    The ruler was delighted and suddenly came to lie

    In the center of the circle and draw a diameter Her

    lover kissed her, having her at his mercy

    Either widening or shortening

    And came to birth, from their learned posture

    Triangles ans squares and a thousand other figures

    AntillesGuyane 48 septembre 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    Gli amori della riga del compasso

    Tuttavia, i nostri amori, replic il compasso

    Produrranno figli che vinceranno il trapasso,

    Da noi due uscira la bellarcittetura,

    E mille nobili arti per raffinare la natura.

    Subito el compasso su in piede si raddrizz,

    E dellaltro, girando, un gran cerchio disegn.

    La riga ne fu meravigliata, e ad une tratto venne a

    collocarsi

    Nel mezzo del cerchio, e fece il diametro.

    Siccome era in babia dellamante, questo la bacio,

    Ora allargandosi, ora accorciato,

    E dalle loro dotte posture, si video nascere

    Triangoli e quadrati e mille altre figure

    Die Liebschaften des Lineals und des Kompass

    Immerhin wird unsere Liebe Kinder erzeugen,

    Erwiderte der Kompass, die den Tod berwinden

    werden.

    Aus uns beiden werden schne Architktur und tau-

    sende vornehme

    Knste entstehen, um die Natur zu verfeinern.

    Sogleich erhob sich der Kompass auf einen Fu

    Und mit dem anderen entwarf er einen groen

    Kreis.

    Das Lineal war entzckt und bildete den Durch-

    messer.

    Sien Liebhaber umarmte es, es war ihm ausgelie-

    fert.

    Bald dehnte er sich aus, bald zog er sich zusam-

    men.

    Aus ihren gelehten Haltungen entwickelten sich

    Quadrate und Dreiecke und tausende andere Ge-

    stalten.

    Le tableau donne le nombre de mots dune longueur donne dans chacune des lan-gues.

    Longueur du

    mot

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

    Nombre

    de mots en

    franais

    6 32 9 7 14 19 4 6 4 1 1 1 104

    Nombre

    de mots en

    anglais

    8 10 24 16 13 8 12 7 3 1 1 1 104

    Nombre

    de mots en

    italien

    10 19 11 9 15 10 8 7 3 3 1 3 99

    Nombre

    de mots en

    allemand

    0 7 29 8 7 11 7 11 6 2 2 3 93

    Construire les diagrammes en bote des quatre sries statistiques correspondant auxquatre langues.

    AntillesGuyane 49 septembre 2004

  • [ Baccalaurat Mathmatiques-informatique \Mtropole septembre 2004

    EXERCICE 1 8 points

    On sintresse au jeu Keno de la Franaise Des Jeux. Lune des faons de jouer estla suivante : dans une grille contenant une fois chacun les nombres de 1 70, onchoisit 10 numros. Un tirage au sort de 20 numros a lieu : une grille est gagnantedans lun des deux cas suivants :

    soit aucun des numros sortis na t trouv ;

    soit au moins cinq numros sortis ont t trouvs.

    Dans lannexe 1 on trouve un extrait tir des rgles figurant au dos des bulletins.Sur 10 000 bulletins, on a obtenu les rsultats suivants :

    nombre denumros trou-vs

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    effectif 254 1253 2521 2922 1962 822 220 41 5 0 0

    Par exemple, le nombre de bulletins o on a trouv exactement deux bons numrosest de 2 521.

    1. a. Combien y a-t-il de bulletins gagnants ?

    b. Quel pourcentage cela reprsente-t-il ?

    c. Ce pourcentage est-il proche du 1 sur 7,4 annonc dans le tableau delannexe ?

    2. Sur lchantillon observ, combien un bulletin contient-il de bons numrosen moyenne ?

    3. Dterminer, en expliquant votre dmarche, la mdiane ainsi que le premier etle troisime quartile de la srie rsume par le tableau.

    4. Construire le diagramme en bote correspondant.

    5. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

    Justifier la rponse en utilisant uniquement les indicateurs de la srie.

    a. Au moins la moiti des bulletins comporte au plus 2 bons numros.

    b. 25% au plus des bulletins comportent 4 bons numros ou davantage.

    c. Au moins 50% des bulletins comportent de 2 4 bons numros.

    6. Les 10 000 joueurs ont mis 3 ( chacun : ils ont donc dpens 30 000 (. Cal-culer le total des gains redistribus.

    EXERCICE 2 12 points

    Les parties 2 et 3 sont indpendantes de la partie 1.

    Partie 1

    Pour stocker des fichiers photos dans un appareil numrique ou sur un disque durdordinateur, on utilise des algorithmes de compression : un fichier compress prendmoins de place en mmoire, mais sa qualit est galement moins bonne.Le tableau ci-dessous donne la taille (en milliers doctets ou Ko) dun fichier en fonc-tion du niveau de compression pour les 5 premiers niveaux. La taille initiale du fi-chier est 689 Ko et correspond au niveau de compression 0.

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    niveau decompression 0 1 2 3 4 5taille dufichier (Ko) 689 542 427 335 263 206

    1. De quel pourcentage la taille du fichier a-t-elle diminu aprs une compressi-on de niveau 1 ? Donner le rsultat arrondi 0,1%.

    On constate que, pour chaque niveau de compression, la taille du fichier estmultiplie par un coefficient voisin de 0,786. On peut donc approcher la tailledu fichier aprs une compression de niveau n par le nombre T vrifiant larelation :

    Tn+1 = 0,786Tn avec T0 = 689.

    2. Quelle est la nature de la suite des nombres Tn ?

    3. Calculer les valeurs exactes de T1, T2 et les comparer aux tailles relles.

    4. Exprimer Tn en fonction de n.

    En dduire une valeur approche entire de T10.

    5. laide de la calculatrice, dterminer le niveau minimal de compression quilfaudrait utiliser pour que la taille du fichier compress soit infrieure 40 Ko.

    Partie 2

    Pour le tirage papier de photographies numriques, trois agences proposent les ta-rifs suivants :

    Agence B : les 50 premires photos sont 0,53 ( pice, les 50 suivantes sont 0,45 ( pice et les suivantes 0,38 ( pice.

    Agence C : pour un tirage de 1 39 photos : toutes les photos sont 0,35 ( pi-ce ;

    pour un tirage de 40 59 photos : toutes les photos sont 0,33 (pice ;

    pour un tirage de 60 99 photos : toutes les photos sont 0,31 ( pice ;

    pour un tirage de 100 photos et plus toutes les photos sont 0,25 ( pice.

    Agence D : 2,90 (forfaitaire plus 0,25 (par photo.

    1. Calculer le prix du tirage de 60 photos dans chacune des agences.

    2. Pour calculer le prix de revient des tirages dans les diffrentes agences, on autilis un tableur. On a reproduit dans lannexe 1 une partie dcran.

    On veut que les formules entres puissent tre recopies vers le bas et sactualisentautomatiquement si on change les valeurs des lignes 3 6.

    a. Quelle formule crit-on dans la cellule C9 ? Jusquo peut-on la recopier?

    b. Quelle nouvelle formule crit-on dans la cellule C48 ?

    c. Quelle formule recopier jusquen B58 faut-il crire en B9 ?

    d. On recopie cette formule jusqu la cellule B58 : quest-elle devenue enB50 ?

    e. Quelle nouvelle formule faut-il crire dans la cellule B59 ?

    Mtropole 51 septembre 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    Partie 3

    Le graphique donn en annexe 2 reprsente le prix du tirage pour les trois agences.Avec la prcision permise par le graphique :

    1. Dterminer la courbe associe chaque agence.

    2. Dterminer le prix, dans chacune des agences, du tirage de 80 photos.

    3. Dterminer, pour chaque agence, combien de photos on peut obtenir pour30 (.

    Mtropole 52 septembre 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    ANNEXE 1

    Exercice 1

    Numros jous Vos chances Numros Vos chances de Gain Gain pour une Gain pour unepar grille totales de trouvs par gagner X fois la mise mise de 1,5 ( mise de 3 (

    gagner grille10 numros 1 sur 7,4 10 1 sur 2 147 181 200 000 300 000 ( 600000 (

    9 1 sur 47 238 2 500 3 750 ( 7 500 (8 1 sur 2 571 100 150 ( 300 (7 1 sur 261 10 15 ( 30 (6 1 sur 44 5 7,5 ( 15 (5 1 sur 12 2 3 ( 6 (0 1 sur 39 2 3 ( 6 (

    Exercice 2 Partie 2

    A B C D12 Agence B Agence C Agence D3 0,53 0,35 2,904 0,45 0,33 0,255 0,38 0,316 0,257

    Nombre Prix Prix Prix8 de photos avec avec avec

    lagence B lagence C lagence D9 1 0,53 0,35 3,15

    10 2 1,06 0,70 3,4011 3 1,59 1,05 3,65. . . . . . . . . . . . . . .47 39 20,67 13,65 12,6548 40 21,20 13,20 12,9049 41 21,73 13,53 13,1550 42 22,26 13,86 13,4051 43 22,79 14,19 13,6552 44 23,32 14,52 13,9053 45 23,85 14,65 14,1554 46 24,38 15,18 14,4055 47 24,91 15,51 14,6556 48 25,44 15,84 14,9057 49 25,97 16,17 15,1558 50 26,50 16,50 15,4059 51 26,95 16,53 15,6560 52 27,40 17,16 15,9061 53 27,85 17,49 16,1562 54 28,30 17,82 16,4063 55 28,75 18,15 16,65

    Mtropole 53 septembre 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    ANNEXE 2

    Exercice 2 partie 3

    Prix du tirage

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

    nombre de photos

    pri

    x(e

    n(

    )

    Courbe

    2

    Cour

    be1

    Courb

    e 3

    La courbe 3 est constitue de quatre segments.

    Mtropole 54 septembre 2004

  • [ Baccalaurat L Amrique du Sud \preuve anticipe mathmatiquesinformatique

    novembre 2004

    DURE DE LPREUVE : 1 H 30 COEFFICIENT 2

    EXERCICE 1 12 points

    t 2003, une canicule exceptionnelle sinstalle sur la France.Monsieur Dupont dsire creuser un puits, au fond de son jardin. Une rserve natu-relle deau souterraine se situe 9 mtres. Il demande des devis pour le forage.Devis no 1 : Forfait de prise en charge, visite sur le terrain : 40 ( TTC.Prix forfaitaire du mtre for : 150 ( TTC.Devis no 2 : Pas de forfait de prise en charge, mais le prix du mtre est fonction dela profondeur atteinte : le premier mtre cote 135 ( TTC ; chaque mtre suivantcote 3% de plus que le prcdent.Nous allons tudier ces deux devis pour valuer le cot du forage dun puits de9 mtres.

    Partie A : tude du devis no 1

    1. On note u0 le forfait de prise en charge de 40 ( et un (pour n > 1) le cot totalde n mtres fors.

    Ainsi u0 = 40 et u1 = 190.

    Calculer u2 et u3.

    2. a. quel type de croissance correspond la dpense du forage ?

    b. Justifier que un = 40+150n.

    3. Calculer alors le cot dun forage de 9 mtres.

    Partie B : tude du devis no 2

    1. On note v1 le cot du premier mtre for et vn le cot du n-ime mtre for.

    Ainsi v1 = 135. Montrer que v2 = 139,05.

    2. a. quel type de croissance correspond la dpense du forage ?

    b. Justifier que vn = 135 (1,03)n1 .

    3. Calculer alors le cot du 9e mtre du forage (arrondi au centime).

    4. Pour calculer le cot total du forage, nous utilisons le tableur ci-dessous :

    A B C D E F G H I J12 n 1 2 3 4 5 6 7 8 93 cot du 135 139,05

    n-ime mtre4 cot total de 135 274,05

    n mtres fors5

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    a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 pour obtenir dans chaquecellule, aprs une recopie automatique jusquen J3, le cot du n-imemtre for ?

    b. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D4 pour obtenir dans chaquecellule, aprs une recopie automatique jusquen J4, le cot total de nmtres fors ?

    c. Complter ce tableau, donn en annexe. Les montants seront arrondisau centime.

    d. Quel est le cot dun forage de 9 mtres ?

    EXERCICE 2 8 points

    Les donnes chiffres de cet exercice proviennent du service Formalits admini-strativesdune commune de 51 137 habitants de lEst de la France. Ce service estouvert du lundi matin au samedi douze heures et reoit, entre autres, les demandesde cartes nationales didentit (C.N.I.).

    Partie A :

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    0 5 10 15 20 25 30A B C Dr

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    1011121314151617181920

    Demandes de C.N.I. par jour du 1er au 31 janvier 2003

    1. Combien de demandes ont t dposes le 3 janvier ? le 12 janvier ?

    2. quel jour de la semaine correspondent les points A, B, C et D situs sur laxedes abscisses. Justifier votre rponse.

    3. Un agent de ce service affirme que le mercredi est un jour daffluence particu-lire.

    Quen pensez-vous ?

    Amrique du Sud 56 novembre 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    Partie B :

    On a extrait du graphique prcdent les nombres de demandes de C.N.I. traitespar jour, pour chacun des jours o le service est ouvert le matin et laprs-midi (leslundis, mardis, mercredis, jeudis et vendredis) au cours du mois de janvier 2003 :

    5 ; 11 ; 7 ; 8 ; 17 ; 6 ; 11 ; 12 ; 8 ; 20 ; 10 ; 11 ; 3 ; 6 ; 9 ; 10 ; 11 ; 5 ; 7 ; 6 ; 4 ; 5.

    1. Calculer le nombre moyen de demandes de C.N.I. traites par jour de cettesrie (le rsultat sera arrondi lentier le plus proche).

    2. Dterminer la mdiane m, le premier quartile Q1, le troisime quartile Q3 decette srie.

    3. Construire le diagramme en bote de cette srie sur la feuille annexe.

    4. On estime que lorganisation du service est efficace si pendant au moins lamoiti des jours o le service est ouvert le matin et laprs-midi, le nombre dedemandes traites journellement est dans lintervalle [6 ; 11].

    Lorganisation est-elle satisfaisante ? Justifier votre rponse.

    Amrique du Sud 57 novembre 2004

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L mathmatiques-informatique

    Annexe rendre avec la copie

    Annexe de lexercice 1

    A B C D E F G H I J12 n 1 2 3 4 5 6 7 8 93 cot du 135 139,05

    n-ime mtre4 cot total de 135 274,05

    n mtres fors5

    Annexe de lexercice 2

    Diagramme en bote de la question 3. de la partie B :

    Amrique du Sud 58 novembre 2004

  • [ Baccalaurat L NouvelleCaldonie \Mathmatiquesinformatique novembre 2004

    EXERCICE 1 10 points

    Le tableau suivant donne le nombre dutilisateurs dinternet dans le monde (en mil-lions) pour les annes 19952000.

    Anne 1995 1996 1997 1998 1999 2000Nombre dutilisateurs (en millions) 34 56 92 145 243 414

    On souhaite utiliser un tableur pour analyser ces donnes. On a labor le tableaufourni en annexe 1 rendre avec la copie.

    Partie A

    1. Expliquer comment il est possible de remplir la colonne A sans avoir saisirtoutes les valeurs contenues dans les cellules.

    2. Dans la cellule C3, on a calcul le quotient du nombre dutilisateurs dinterneten 1996 par le nombre dutilisateurs dinternet en 1995. Que reprsente cequotient ? Quelle est la formule saisir dans la cellule C3 pour effectuer cecalcul et obtenir par recopie les nombres de la colonne C ?

    3. a. Quelle est laugmentation en pourcentage du nombre dutilisateurs dinternetentre 1995 et 1996 ? Entre 1996 et 1997 ? (On donnera des pourcentagesarrondis lunit.)

    b. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 pour obtenir, par reco-pie vers le bas, les pourcentages de variation du nombre dutilisateursdinternet au fil des annes ?

    c. Complter la colonne D du tableau de lannexe 1 rendre avec la copie.

    d. La croissance du nombre dutilisateurs dinternet entre 1995 et 2000 est-elle exponentielle ?

    Justifier la rponse.

    Partie B

    1. Pour tudier la croissance du nombre dutilisateurs dinternet dans le monde,on choisit de la modliser par une suite gomtrique (un ) de premier termeu0 = 34. II sagit de trouver une valeur de la raison de cette suite gomtrique,qui permette cette modlisation. Cette valeur sera saisie dans la cellule I1.

    Quelle formule doit-on saisir dans la cellule F3 pour calculer u1, en utilisant lecontenu de la cellule I1, de faon obtenir, par recopie vers le bas, les termesu2, u3, u4 et u5 ?

    Les valeurs peuvent tre ainsi ractualiss automatiquement si on change lenombre contenu dans la cellule I1.

    Dans la suite de lexercice, on prendra 1,645 pour valeur de la raison de lasuite (un).

    2. Calculer u1 , u2, u3, u4 et u5 , puis complter la colonne F du tableau de lannexe1 rendre avec la copie (on donnera les rsultats arrondis lunit).

  • Mathmatiques-informatique Baccalaurat L math