Bienvenue à la Faculté des Sciences et des …Remarque : Dans le cas de géométrie aléatoire, reformulation possible du problème pour travailler dans un espace V déterministe

JFMS 2008 Mars 2008

Methodes elements finis stochastiques

Anthony Nouy

GeM (Institut de Recherche en Genie Civil et Mecanique)Universite de Nantes / Ecole Centrale Nantes / CNRS

Modelisation - Simulation

Objectif de la modelisation et de la simulation numerique :Construire des modeles physiques pertinents et obtenir des predictions numeriques

fiables de leur reponse, utilisables dans une phase de conception ou une prise de decision

Modèle

expérimentalModèle

discrétiséModèle

conceptuel

Prédictions

Analyse

Identification

Recalage

Approximation

Estimation d'erreur

AdaptativitéRésolution

(solveurs)

Réel

Observations

Mesures

• Introduction • Modele conceptuel • Modele discretise • Methodes de calcul • Developpements recents et Perspectives 2




AnalyseRé

Modèle

expérimental

Identification

Recalage

el

Observations

Mesures

Modèle

discrétisé

Prédictions

Approximation

Estimation d'erreur

AdaptativitéRésolution

(solveurs)

VERIFICATIONVALIDATION





dictions

AnalyseRé

Modèle

expérimental

el

Observati

Modèle

discrétisé

Pré

solution

(solveurs)


La chaıne Validation-Verification doit prendre en compte les incertitudes⇒ necessite des outils de quantification et de propagation des incertitudes



dictions

AnalyseRé

Modèle

expérimental

el

Observati

Modèle

discrétisé

Pré

solution

(solveurs)


VALIDATION : Construction d’un modele et controle de sa predictibilite

• Bonnes proprietes mathematique et qualitative : existence et unicite de solution,restitution des observations

• Dependance aux donnees : modele selectionne en fonction des donnees

• Definition de quantites d’interet et tolerances : modele choisi en fonction de ce quel’on cherche a predire + Tolerances en fonction de la qualite des observations.



dictions

AnalyseRé

Modèle

expérimental

el

Observati

Modèle

discrétisé

Pré

solution

(solveurs)


VERIFICATION : Criteres pour une bonne simulation numerique

• Proprietes de l’approximation : convergence vers le modele conceptuel

• Resolution efficace : couts de simulation raisonnables, compatibles avec les temps deconception ou l’urgence d’une prise de decision.

• Maıtrise de l’erreur : vers l’adaptativite ”Goal-oriented” de l’approximation


Plan de la presentation

1 Introduction

2 Modele conceptuel

3 Modele numerique discretiseDiscretisation stochastique et deterministeDiscretisation des champs stochastiques

4 Methodes de calculQuantites d’interetIntegration directeRepresentation sur bases de fonctionsCalcul des decompositions

5 Developpement recents et Perspectives



1 Introduction

2 Modele conceptuel





Modele conceptuelExemple de mecanique du solide

div(σ) + f = 0 sur Ω

σ = C(ǫ(u)) sur Ω

u = 0 sur Γ1

σ · n = g sur Γ2

σ · n + k(u) = h sur Γ3

Quelques sources d’incertitudes

Chargements (termes sources) : f , g , h

Materiaux (comportement) : C

Liaison (comportement) : k

Geometrie : Ω, Γi

g

f

Γ2

Γ1

h

Γ3Ω


Modele conceptuelLes incertitudes et leur modelisation

On discerne deux types d’incertitudes

Epistemique : manque de connaissance (reductible)

Intrinseque : non reductible

Et differents types de modelisation :

Intervalles : arithmetique specifique.

Fuzzy sets, Theorie possibiliste

Theorie evidence : probabilite de base + notions de plausibilite et de credibilite

Theorie probabiliste (stochastique) : la theorie la plus aboutie et la plus utilisee


Modele conceptuelFormalisme probabiliste

Modelisation probabiliste des incertitudes

Definition d’un espace de probabilite adapte

(Θ,B, P)

Θ : Espace des evenements elementaires (θ ∈ Θ : evenement elementaire)B : σ-algebreP : mesure de probabilite sur B

Probleme generique

Trouver θ → u(θ) tel que l’on ait presque surement

u(θ) ∈ V(θ), A(θ)u(θ) = b(θ)

A(θ) : operateur aleatoireV(θ) : espace fonctionnel aleatoireb(θ) : second membre aleatoire


Modele conceptuelAnalyse mathematique

Formulation semi-variationnelle

u(θ) ∈ V, a(u(θ), v , θ) = b(v ; θ) ∀v ∈ V

Exemple : Probleme d’elasticite

g

f

Γ2

Γ1

h

Γ3Ω

V = v ∈ (H1(Ω))2; v = 0 sur Γ1

a(u, v ; θ) =

∫

Ω

ǫ(v) : C(θ) : ǫ(u) dx +

∫

Γ3

v · k(θ) · u ds

b(v ; θ) =

∫

Ω

v · f (θ) dx +

∫

Γ2

v · g(θ) ds +

∫

Γ3

v · h(θ) ds

Remarque : Dans le cas de geometrie aleatoire, reformulation possible du probleme pour

travailler dans un espace V deterministe [Xiu 2006, Nouy 2007, Canuto 2007, Nouy 2008]


Modele conceptuelAnalyse mathematique

Formulation variationnelle

Introduction d’un espace de variables aleatoires ad-hoc S

u ∈ V ⊗ S, A(u, v) = B(v) ∀v ∈ V ⊗ S

A(u, v) =

∫

Θ

a(u, v ; θ)dP(θ) := E(a(u, v ; θ)) B(v) =

∫

Θ

b(v ; θ)dP(θ) := E(b(v ; θ))

→ Analyse rigoureuse du probleme : probleme bien pose au sens d’Hadamard (existenceet unicite de solution, dependance continue aux donnees)

[Holden 1996, Babuska 2005, Oksendal 1998, Frauenfelder 2005] ...

→ Construction de solutions approchees : base des methodes de Galerkin

→ Estimation d’erreur a priori [Benth 1998, Babuska 2005, Frauenfelder 2005] et a

posteriori [Ladeveze 2006, Mathelin 2007]



1 Introduction

2 Modele conceptuel





Modele discretiseRepresentation des incertitudes

Deux visions des incertitudes :

Vision non-parametrique : espaces probabilises d’operateurs, ... vers l’erreur demodele (augmente le domaine de predictibilite du modele probabiliste)

[Soize 2000, Soize 2005]

Vision parametrique (classique, adoptee ici) : V, A, b dependant de parametresaleatoires

Discretisation des incertitudes

Nombre fini de variables aleatoires ξ = (ξ1, . . . , ξm) de loi de probabilite connue Pξ .

V(θ) ≡ V(ξ(θ)), A(θ) ≡ A(ξ(θ)), b(θ) ≡ b(ξ(θ))

Reformulation du probleme sur un nouvel espace probabilise (Θ, B, Pξ) de dimension finie(Θ ⊂ R

m) :u(ξ) ∈ V(ξ), A(ξ)(u(ξ)) = b(ξ)


Modele discretiseDiscretisation deterministe

Discretisation (approximation) au niveau deterministe :

spatial (elements finis, differences finies, ...)

temporel (schema d’integration, approximation, ...)

Pour aboutir a ...

Probleme discretise

u(ξ) ∈ Rn, A(ξ)(u(ξ)) = b(ξ)


Modele discretiseExemple : probleme d’elasticite

Introduction d’un espace d’approximation Vn

Vn = v(x) =n∑

i=1

ϕi (x)vi (elements finis, ...)

Approximation de Galerkin :

un(ξ) ∈ Vn, a(un(ξ), vn, ξ) = b(vn; ξ) ∀vn ∈ Vn

Probleme discretise

u(ξ) = (u1(ξ) . . . un(ξ))T ∈ Rn, A(ξ)u(ξ) = b(ξ)

(A)ij = a(ϕj , ϕi ; ξ) =

∫

Ω

ǫ(ϕi) : C : ǫ(ϕj) dx +

∫

Γ3

ϕi · k · ϕj ds

(b)i =

∫

Ω

ϕi · f dx +

∫

Γ2

ϕi · g ds +

∫

Γ3

ϕi · h ds


Modele discretiseRetour sur la discretisation des incertitudes

Dans une vision parametrique : deux types de parametres

variables aleatoires : naturellement discret

processus (ou champs) stochastiques : necessite une discretisation


Champs stochastiquesDefinition et discretisation

Champ stochastique κ(x , θ) ≈ collection de variables aleatoires indexees par x ∈ Ω.

Caracterisation theorique par l’ensemble des lois de probabilite finies :

∀n, ∀x1, . . . xn ∈ Ω, Pκ(x1,·),...,κ(xn,·)

Discretisation

representation en fonction d’un ensemble denombrable de variablesaleatoires puis selection d’un nombre fini de variables aleatoires

Pour la classe des processus du second ordre, deux representations classiques :

Decomposition de Karhunen-Loeve (≈ ”discretisation spatiale”)

Decomposition sur le chaos polynomial (≈ ”discretisation des variables aleatoires”)

Remarque : Dans le cas de processus stochastiques κ(t, θ), t ∈ I ⊂ R, meme demarche


Champs stochastiquesDecomposition de Karhunen-Loeve

Champ stochastique du second ordre :

κ(x , θ) ∈ L2(Ω × Θ)

Caracteristiques du second ordre :

Esperance : µκ(x) = E(κ(x , ·))Covariance : Cκ(x , y) = E(κ(x , ·)κ(y , θ)), avec κ(x , θ) = κ(x , θ) − µκ(x)

Probleme aux valeurs propres integral :

∫

Ω

Cκ(x , y)V (y) dy = σV (x)

Operateur symetrique compact : C : V ∈ L2(Ω) →∫

Ω

Cκ(·, y)V (y) dy ∈ L2(Ω)

spectre σi∞i=1 denombrable positif borne ayant comme seul point d’accumulation 0

σ1 > . . . > σi > . . . > 0

ses fonctions propres Vi (x)∞i=1 forment une base hilbertienne de L2(Ω)

< Vi , Vj >L2(Ω)= δij


Champs stochastiquesDecomposition de Karhunen-Loeve

Decomposition de κ sur la base des fonctions propres de l’operateur de covariance :

κ(x , θ) = µκ(x) +∞∑

i=1

Vi (x)λi (θ), λi =< κ, Vi >L2(Ω)=

∫

Ω

κ(x , ·)Vi (x) dx

Les λi sont des variables aleatoires centrees decorrelees :

E(λiλj) = σ2i δij

Troncature (discretisation)

κ(x , θ) ≈ κ(m)(x , θ) = µκ(x) +m∑

i=1

Vi (x)λi (θ)

Decomposition optimale au sens de L2, convergente :

‖κ − κ(m)‖L2(Ω×Θ) =∞∑

i=m+1

σ2i −→

m→∞0


Champs stochastiquesCalcul de la decomposition de Karhunen-Loeve

En pratique, approximation du probleme aux valeurs propres

V (x) =n∑

i=1

ϕi (x)vi = ϕ(x)v

κ(x , θ) =n∑

i=1

ϕi (x)κi (θ) = ϕ(x)κ(θ)

Cv = σDv

[C]ij =

∫

Ω×Ω

ϕi (x)Cκ(x , y)ϕj(y) dxdy , [D]ij =

∫

Ω

ϕi (x)ϕj(x) dx

C = DCκD, Cκ : matrice de covariance de κ

Decomposition approchee :

κ(x , θ) ≈ ϕ(x)

(

E(κ) +m∑

i=1

viλi (θ)

)

, λi (θ) = vTi Dκ(θ)


Champs stochastiquesExemple de decomposition de Karhunen-Loeve

κ(x , θ) : champ stochastique de fonction de covarianceexponentielle carre

Cκ(x , y) = exp(−|x − y |22l2

)

Exemple 1D : Ω = (0, 1), l = 1/2

Mode V1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

Mode V2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Mode V3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Mode V4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Mode V5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Mode V6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Mode V7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Mode V8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4




Cκ(x , y) = exp(−|x − y |22l2

)

Exemple 2D : Ω ⊂ (0, 2) × (0, 2), l = 1/2

Ω

Mode V1 Mode V2 Mode V3 Mode V4

Mode V10 Mode V20 Mode V30




Cκ(x , y) = exp(−|x − y |22l2

)

Exemple 3D : Ω ⊂ (0, 2) × (0, 2) × (0, 1), l = 2

Ω

Mode V1 Mode V2 Mode V3 Mode V4

Mode V10 Mode V20 Mode V30


Champs stochastiquesConvergence de la decomposition de Karhunen-Loeve

Influence de la longueur de correlation

0 5 10 15 20 25 3010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

l = 0.1l = 0.5l = 1l = 2

Influence de la dimension spatialel = 0.1

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

10−1

100

1D2D3D

l = 0.5

0 5 10 15 20 25 3010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

1D2D3D

l = 2

0 5 10 15 20 25 3010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

1D2D3D


Champs stochastiquesConvergence de la decomposition de Karhunen-Loeve

Influence de la longueur de correlation

0 5 10 15 20 25 3010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

l = 0.1l = 0.5l = 1l = 2

Influence de la dimension spatialel = 0.1

0 5 10 15 20 25 3010

−4

10−3

10−2

10−1

100

1D2D3D

l = 0.5

0 5 10 15 20 25 3010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

1D2D3D

l = 2

0 5 10 15 20 25 3010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

1D2D3D

Si on souhaite une bonne precision sur l’approximation du champ⇒ travail en grande dimension stochastique


Champs stochastiquesDecomposition sur le chaos polynomial

Theoreme [Wiener 1938]

Toute variable aleatoire λ ∈ L2(Θ, dP) peut etre decomposee sur une base de polynomesorthogonaux de variables gaussiennes centrees reduites independantes ξ = ξi∞i=1

λ(θ) =∑

α∈J

λαHα(ξ(θ))

J = α = (α1, . . . , αi , . . .) ∈ NN; |α| =

∞∑

i=1

αi < ∞

Hα(ξ) =∞∏

i=1

hαi(ξi) polynomes d’Hermite multidimensionnels

Autrement dit : les fonctions Hα(ξ) forment une base orthogonale de l’espaceL2(Θ, dP)

< Hα, Hβ >= E(Hα(ξ)Hβ(ξ)) = δαβ


Champs stochastiquesDecomposition sur le chaos polynomial

Consequence : un champ stochastique du second ordre peut donc etre decompose sur lechaos polynomial

κ(x , θ) =∑

α∈J

κα(x)Hα(ξ)

Approximation sur le chaos polynomial de degre p en dimension m

κ(x , θ) ≈ κ(m,p)(x , θ) =∑

α∈Jm,p

κα(x)Hα(ξ(θ))

Jm,p = α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm; |α| =

m∑

i=1

αi 6 p

‖κ(x , θ) − κ(m,p)(x , θ)‖L2(Θ) −→m,p→∞

0


Champs stochastiquesProblemes bien poses

Exemple de formulation variationnelle

A(u, v) :=

∫

Θ

κ∇u · ∇v dxdP(θ) = B(v)

Condition suffisante pour que A soit continue et coercive, et donc pour existence de

solution [Babuska 2005, Frauenfelder 2005, Matthies 2005, Soize 2006]

0 < κ0 6 κ(x , θ) 6 κ1 < +∞ presque partout, presque surement

Discretisation du champ stochastique (Karhunen-Loeve, chaos polynomial), formevariationnelle approchee

A(m)(u, v) :=

∫

Θ

κ(m)∇u · ∇v dxdP(θ) ≈ A(u, v)

Attention : les decompositions de Karhunen-Loeve et sur le Chaos polynomial convergentdans L2 et non dans L∞ ⇒ les problemes approches peuvent ne pas etre bien poses.


Champs stochastiquesCas particulier : champ de translation

Translation stochastic field

κ(x , θ) = F−1κ Φ(γ(x , θ))

γ(x , θ) : champ stochastique gaussien centre reduitΦ : fonction de distribution gaussienne centree reduite.κ : processus ayant pour fonction de distribution marginale Fκ,ayant les proprietes souhaitees

Etapes de discretisation :

Decomposition de Karhunen-Loeve de γ et troncature :

γ ≈ γ(m) =m∑

i=1

γi (x)ξi(θ), ξ = ξ1, . . . , ξm : (gaussiennes centrees reduites)

Renormalisation des γi afin d’avoir γ(m) centre reduit

κ(m) = F−1κ Φ(γ(m)) a toujours comme loi marginale Fκ

⇒ probleme bien pose apres discretisation



1 Introduction

2 Modele conceptuel






1 Introduction

2 Modele conceptuel





Quantites d’interet et methodes de calcul

Probleme discretise

u(ξ) ∈ Rn, A(ξ)(u(ξ)) = b(ξ)

Ayant defini une quantite d’interet J(u), on peut s’interesser a differentes quantitesd’interet au sens probabiliste :

Moments statistiques : E(J(u)), E(J(u)2), ...

Probabilite d’evenements particuliers : P(J(u) > J0)Representation complete de la solution

Moments statistiques

Jp

E(J)

Probabilites d’evenements

Jp

P(J>J )0

Description complete

Jp


Quantites d’interet et methodes de calcul

Probleme discretise

u(ξ) ∈ Rn, A(ξ)(u(ξ)) = b(ξ)

Selon l’objectif, differentes approches de calcul dediees :

Moments statistiques : integration directe (Monte-Carlo, quadrature, ...)

Probabilite d’evenements particuliers : integration directe (grande probabilite),methodes fiabilistes (faible probabilite)

Representation de la solution :• Developpement en serie : Taylor, Neumann,• Decomposition sur bases de fonctions : surface de reponse, chaos, ...



1 Introduction

2 Modele conceptuel





Integration directe

Quantites d’interet s’exprimant sous la forme : E(f (u))

- f (u) = J(u)2 −→ E(J(u)2)

- f (u) = IJ(u)>J0 −→ P(J > J0)

E(f (u(ξ))) =

∫

Θ

f (u(x))dPξ(x) (Probleme d’integration)

Methodes d’integration

E(f (u)) ≈N∑

k=1

f (u(xk))ωk

xk : points d’integration, ωk : poids d’integration

⊕ Avantages : Necessite la resolution de N problemes deterministes pour obtenir lesu(xk )

⊖ Difficultes : N souvent tres grand (grand cout de calcul), choix a priori d’unemethode d’integration adaptee a f ?


Integration numeriqueMonte-Carlo

[Caflish 1998]

E(f (ξ)) =

∫

Θ

f (x)pξ(x) dx ≈N∑

k=1

f (xk)ωk

xk realisations pseudo-aleatoires de ξ, ωk = 1N

N = 100

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N = 1, 000

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N = 10, 000

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Erreur ≈ O( 1√N)

⊕ Avantages : approche generale, convergence independante de la dimensionstochastique

⊖ Inconvenients : grand nombre de simulations (cout de calcul eleve)


Integration numeriqueQuasi Monte-Carlo

[Niederreiter 1992, Caflish 1998]

E(f (ξ)) =

∫

Θ

f (x)pξ(x) dx ≈N∑

k=1

f (xk)ωk

xk low discrepancy sequences, ωk = 1N

N = 100

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N = 1, 000

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N = 10, 000

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Convergence de l’erreur ≈ O( log(N)m

N)

⊕ Avantages : meilleur taux de convergence asymptotique que Monte-Carlo

⊖ Inconvenients : Pour N donne : deterioration en grande dimension stochastique m


Integration numeriqueQuadratures de Gauss : dimension 1

∫

R

f (x)pξ(x) dx ≈ Qn(f ) =n∑

k=1

ωk f (xk )

xk : les n racines du (n)eme polynome orthogonal pour la mesure pξ

ωk : obtenus par integration des interpolants de Lagrange aux points xk

Polynome d’Hermite de degre 5⇒ Quadrature de Gauss-Hermite Q5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Polynome de Legendre de degre 8⇒ Quadrature de Gauss-Legendre Q8

−1 −0.5 0 0.5 1−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Integration exacte des fonctions f polynomiales de degre (2n − 1)


Integration numeriqueQuadratures de Gauss : dimension m

∫

Rm

f (x)pξ(x) dx ≈ QN(f ) =N∑

k=1

f (xk)ωk

Tensorisation des quadratures 1D (associees aux mesures pξi)

QN = Q(1)n1 ⊗ . . . ⊗ Q

(m)nm

QN(f ) =

n1∑

k1=1

. . .

nm∑

km=1

ω1,k1 . . . ωm,km f (x1,k1 , . . . , xm,km)

Exemple : Qj : quadrature de Gauss-Legendre a j points

Q3 ⊗ Q3

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Q6 ⊗ Q6

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Q10 ⊗ Q10

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Integration numeriqueQuadratures de Gauss : dimension m

∫

Rm

f (x)pξ(x) dx ≈ QN(f ) =N∑

k=1

f (xk)ωk

Tensorisation des quadratures 1D (associees aux mesures pξi)

QN = Q(1)n1 ⊗ . . . ⊗ Q

(m)nm

QN(f ) =

n1∑

k1=1

. . .

nm∑

km=1

ω1,k1 . . . ωm,km f (x1,k1 , . . . , xm,km)

Integre exactement les polynomes xp11 ...xpm

m tels que ∀i , pi 6 2ni − 1

⊕ Avantages : precision d’autant plus elevee que les fonctions sont regulieres⊖ Inconvenients : croissance exponentielle du nombre de point avec la dimension m

(”curse of dimension”)

Tensorisation de quadratures a n points : N = nm


Integration numeriqueQuadratures de Smolyak, quadratures creuses

En grande dimension stochastique m, utilisation de quadratures creuses pour limiter le

nombre de points d’integration [Smolyak 1963, Matthies 2005]

Construction d’une quadrature de Smolyak de niveau n

QN =∑

n6|k|6n+m−1(−1)n+m−1−|k|(

n − 1|k| − n

)

Q(1)k1

⊗ . . . ⊗ Q(m)km

Necessite plusieurs quadratures par dimension : Q(i)1 , . . . , Q

(i)n

Exemple : Q(i)j : quadrature de Gauss-Legendre a j points

n = 3

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n = 6

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n = 10

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Integration numeriqueQuadratures de Smolyak, quadratures creuses

Choix des quadratures 1D :

quadrature de Gauss

quadratures imbriquees (ex : Clenshaw-Curtis) : conduit a une grille creuse

Si les quadratures 1D integrent les polynomes jusqu’au degre p, alors QN integreexactement les polynomes xp1

1 ...xpmm tels que

∑

i pi 6 p

⊕ Avantages : croissance polynomiale du nombre de points avec la dimension m

N = O( 2n

n!mn)

⊖ Inconvenients : pour m faible, nombre de points plus eleve qu’une quadrature pleine



1 Introduction

2 Modele conceptuel





Representation d’une fonction de variables aleatoires

Representation d’une fonction u(ξ) des variables aleatoires de base ξ

Dimension infinie

Wiener’s homogeneous chaos [Wiener 1938] : hermite polynomials (mesuregaussienne), charlier polynomials (mesure de Poisson)

Quelques extensions : [Friedrichs 1957, Segal 1976]

Dimension finie

Chaos polynomial [Ghanem 1991, Xiu 2002]

Chaos generalise [Soize 2004] : mesures de probabilite arbitraires

Elements finis [Benth 1998, Deb 2001, Babuska 2005, Wan 2005]

Ondelettes [Le Maitre 2004, Le Maitre 2004]

Interpolants de Lagrange [Babuska 2007]


Representation d’une fonction de variables aleatoiresDecomposition sur bases hilbertiennes

Representation d’une fonction u(ξ) des variables aleatoires de base ξ de loi Pξ

Pour des problemes ”gentils”, representation de fonctions du second ordre :

u ∈ L2(Θ, dPξ)

Espace de Hilbert L2(Θ, dPξ) = v : Θ → R;E(u2) =

∫

Θ

u(x)2dPξ(x) < ∞

< u, v >L2= E(u(ξ)v(ξ)) =

∫

Θ

u(x)v(x)dPξ(x), ‖u‖L2 =√

E(u(ξ)2) =√

< u, u >L2


Representation d’une fonction de variables aleatoiresDecomposition sur bases hilbertiennes

Representation d’une fonction u(ξ) des variables aleatoires de base ξ de loi Pξ

Pour des problemes ”gentils”, representation de fonctions du second ordre :

u ∈ L2(Θ, dPξ)

Espace de Hilbert L2(Θ, dPξ) = v : Θ → R;E(u2) =

∫

Θ

u(x)2dPξ(x) < ∞

< u, v >L2= E(u(ξ)v(ξ)) =

∫

Θ

u(x)v(x)dPξ(x), ‖u‖L2 =√

E(u(ξ)2) =√

< u, u >L2

Introduction d’une base hilbertienne de L2(Θ, dPξ)

Base de fonctions orthonormees Hα(x)α∈I :

< Hα, Hβ >= E(HαHβ) = δαβ , < u, Hα >= 0 ∀α ⇒ u = 0

Toute fonction u ∈ L2(Θ, dPξ) s’ecrit sous la forme :

u(ξ) =∑

α∈I

uαHα(ξ)


Choix des bases de fonctionsChaos polynomial : cas d’une variable aleatoire (dimension 1)

Construction d’une base hilbertienne de fonctions polynomiales de L2(Θ, dPξ)

u(ξ) =∑

α∈N

uαhα(ξ)

hα : polynomes orthogonaux pour la mesure Pξ :

< hα, hβ >=

∫

R

hα(x)hβ(x)dPξ(x) =

∫

R

hα(x)hβ(x)pξ(x)dx = δαβ


Choix des bases de fonctionsChaos polynomial : cas d’une variable aleatoire (dimension 1)


u(ξ) =∑

α∈N

uαhα(ξ)

hα : polynomes orthogonaux pour la mesure Pξ :

< hα, hβ >=

∫

R

hα(x)hβ(x)dPξ(x) =

∫

R

hα(x)hβ(x)pξ(x)dx = δαβ

Exemples de polynomes orthogonaux

loi de ξ support Θ densite pξ(x) famille de polynomes

Gaussienne R1√2π

exp(−x2/2) Hermite

Uniforme [−1, 1] 12

LegendreGamma R

+ 1Γ(a)

xa−1exp(−x) Laguerre

Beta [−1, 1] (1+x)a−1(1−x)b−1

B(a,b)2a+b−1 Jacobi


Choix des bases de fonctionsChaos polynomial : cas de m variables aleatoires


u(ξ) =∑

α∈J

uαHα(ξ), ξ = (ξ1, . . . , ξm)

Variables aleatoires independantes [Ghanem 1991, Xiu 2002]

Θ = Θ1 × . . . × Θm, Pξ = Pξ1 ⊗ . . . ⊗ Pξm

L2(Θ, dPξ) = L2(Θ1, dPξ1) ⊗ . . . ⊗ L2(Θm, dPξm)

→ Construction d’une base par produit tensoriel : soit h(i)j j∈N une base hilbertienne de

L2(Θi , dPξi), on pose

Hα(x) = h(1)α1

(x1) . . . h(m)αm

(xm), α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm (multi-indice)


Choix des bases de fonctionsChaos polynomial : cas de m variables aleatoires


u(ξ) =∑

α∈J

uαHα(ξ), ξ = (ξ1, . . . , ξm)

Variables aleatoires independantes [Ghanem 1991, Xiu 2002]

Θ = Θ1 × . . . × Θm, Pξ = Pξ1 ⊗ . . . ⊗ Pξm

L2(Θ, dPξ) = L2(Θ1, dPξ1) ⊗ . . . ⊗ L2(Θm, dPξm)

→ Construction d’une base par produit tensoriel : soit h(i)j j∈N une base hilbertienne de

L2(Θi , dPξi), on pose

Hα(x) = h(1)α1

(x1) . . . h(m)αm

(xm), α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm (multi-indice)

Variables aleatoires dependantes [Soize 2004]

Hα(x) = h(1)α1

(x1) . . . h(m)αm

(xm)

(

pξ1(x1) . . . pξm(xm)

pξ(x)

)1/2


Choix des bases de fonctionsHermite Polynomial Chaos : illustration en dimension 2

ξ = (ξ1, ξ2) variables gaussiennes independantes : ξ1, ξ2 ∈ N(0, 1)Hα(ξ) : Polynomes d’Hermite 2D

H(1,1)(x1, x2)

H(1,3)(x1, x2)

H(2,2)(x1, x2)

H(8,2)(x1, x2)

H(4,4)(x1, x2)

H(10,0)(x1, x2)


Choix des bases de fonctionsLegendre Polynomial Chaos : illustration en dimension 2

ξ = (ξ1, ξ2) variables uniformes independantes : ξ1, ξ2 ∈ U(−1, 1)Hα(ξ) : Polynomes de Legendre 2D

H(1,1)(x1, x2)

H(1,3)(x1, x2)

H(2,2)(x1, x2)

H(8,2)(x1, x2)

H(4,4)(x1, x2)

H(10,0)(x1, x2)


Choix des bases d’approximation stochastiqueDifferents choix de troncature en dimension m

Base d’approximation de dimension finie

u(ξ) ≈∑

α∈Im,p

uαHα(ξ), Im,p ⊂ I

Approximation produit tensoriel total

Im,p = α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm;maxi αi 6 p

Card(Im,p) = (p + 1)m

Croissance exponentielle avec m, polynomiale avec p

p m

0 2 4 8

2 9 81 6, 5614 25 625 390, 6258 81 6, 561 43, 046, 721

Approximation reduiteChaos polynomial de degre p en dimension m

Im,p = α = (α1, . . . , αm) ∈ Nm; |α| =

∑m

i=1 αi 6 p

Card(Im,p) = (m+p)!m!p!

Croissance polynomiale avec m et p

p m

0 2 4 82 6 15 45

4 15 70 4958 45 495 12, 870


Choix des bases d’approximation stochastiqueIllustration des limites du chaos polynomial

Chaos polynomial tres bien adapte au cas de solution ”smooth”.

Dans le cas de solutions moins regulieres ?

Exemple : probleme non-lineaire

ξ

Solution u(ξ) =

cξ if − ξ0 < ξ < ξ0

cξ0 if ξ > ξ0

−cξ0 if ξ 6 −ξ0

ξ gaussienne

Solution exacte u(ξ)

−2 −1 0 1 2−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ξ

u(ξ)






ξ

Solution u(ξ) =

cξ if − ξ0 < ξ < ξ0

cξ0 if ξ > ξ0


ξ gaussienne

Hermite polynomial chaos p = 3

−2 −1 0 1 2−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ξ

u(ξ)

referencechaos p = 3






ξ

Solution u(ξ) =

cξ if − ξ0 < ξ < ξ0

cξ0 if ξ > ξ0


ξ gaussienne


−2 −1 0 1 2−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ξ

u(ξ)







ξ

Solution u(ξ) =

cξ if − ξ0 < ξ < ξ0

cξ0 if ξ > ξ0


ξ gaussienne


−2 −1 0 1 2−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ξ

u(ξ)







ξ

Solution u(ξ) =

cξ if − ξ0 < ξ < ξ0

cξ0 if ξ > ξ0


ξ gaussienne


−2 −1 0 1 2−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ξ

u(ξ)







ξ

Solution u(ξ) =

cξ if − ξ0 < ξ < ξ0

cξ0 if ξ > ξ0


ξ gaussienne


−2 −1 0 1 2−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

ξ

u(ξ)


Convergence lente dans L2 pour des solutions peu regulieres⇒ necessite d’un ordre eleve pour l’approximation

⇒ Remede : construction de bases moins regulieres de L2 (adaptativite eventuelle)


Choix des bases d’approximation stochastiqueAutres bases d’approximation

Ondelettes (Chaos de Wiener-Haar) [Le Maitre 2004, Le Maitre 2004]

Elements finis [Deb 2001, Wan 2005]

→ Approximation polynomiale par morceaux sur une partition de Θ (borne)

⊕ Avantages : representation de solutions non regulieres, approximation adaptativepossible

⊖ Inconvenients : dimension des espaces d’approximation



1 Introduction

2 Modele conceptuel





Definition et calcul de l’approximation

u(ξ) =∑

α

uαHα(ξ)

Plusieurs alternatives pour definir la decomposition

Projection L2

Regression

Projection de Galerkin

Pour chaque definition, strategies de calcul associees.


Approche par projection L2

u(ξ) ≈∑

α∈Im,p

uαHα(ξ) ∈ Rn ⊗ SP

Definition de l’approximation par projection L2

uα =< u, Hα >L2(Θ,dPξ)= E(u(ξ)Hα(ξ)) =

∫

Θ

u(x)Hα(x)dPξ(x)

Calcul numerique : probleme d’integration numerique

uα ≈N∑

k=1

u(xk)Hα(xk )ωk



Approche par projection L2

u(ξ) ≈∑

α∈Im,p


Definition de l’approximation par projection L2

uα =< u, Hα >L2(Θ,dPξ)= E(u(ξ)Hα(ξ)) =

∫

Θ

u(x)Hα(x)dPξ(x)

Calcul numerique : probleme d’integration numerique

uα ≈N∑

k=1

u(xk)Hα(xk )ωk


⊕ Avantages : Resolution de N problemes deterministes pour obtenir les u(xk)

⊖ Inconvenients : N souvent tres grand (grand cout de calcul), choix a priori d’unemethode d’integration adaptee a u ?

References : [Le Maitre 2001, Le Maitre 2002, Reagan 2003, Keese 2003]


Approche par regression

Recherche d’une approximation d’une quantite d’interet J(ξ) ≈∑α∈Im,pJαHα(ξ)

Choix d’un ensemble de points xkNk=1 (plan d’experience) et de poids associes :

MinJα,α∈Im,p

N∑

k=1

ωk(J(xk ) −∑

α∈Im,p

JαHα(xk))2

Resolution d’un systeme lineaire :

∑

α∈Im,p

(

N∑

k=1

ωkHβ(xk )Hα(xk)

)

Jα =N∑

k=1

ωkHβ(xk )J(xk), β ∈ Im,p



Recherche d’une approximation d’une quantite d’interet J(ξ) ≈∑α∈Im,pJαHα(ξ)

Choix d’un ensemble de points xkNk=1 (plan d’experience) et de poids associes :

MinJα,α∈Im,p

N∑

k=1

ωk(J(xk ) −∑

α∈Im,p

JαHα(xk))2

Resolution d’un systeme lineaire :

∑

α∈Im,p

(

N∑

k=1

ωkHβ(xk )Hα(xk)

)

Jα =N∑

k=1

ωkHβ(xk )J(xk), β ∈ Im,p

⊕ Avantages : N calculs deterministes independants pour l’evaluation des J(xk )Nk=1

⊖ Inconvenients : probleme souvent mal conditionne, necessite un plan d’experiencetres riche (N grand)

Reference : [Berveiller 2006]



Differents choix de plans d’experience

Pseudorandom samplings (Classique ou Latin Hypercube)

Quasi-random samplings

Gauss-Quadrature points (quadratures completes ou creuses)

Remarque : Si les poids de la regression sont les poids de la quadrature, c’est unemethode de projection approchee. C’est la cas avec (pseudorandom samplings + poidsuniformes) ou (quadrature points + poids associees).

∑

α∈Im,p

〈Hβ , Hα〉N Jα = 〈Hβ , J〉N

, β ∈ Im,p

ou 〈·, ·〉N

est un produit scalaire approche.

Objectif → diminuer la taille du probleme de regression (methode adaptative pour lechoix de la base d’approximation), necessite moins de points et meilleur conditionnement


Approche de Galerkin

Definition de l’approximation de Galerkin :

un,P ∈ Vn ⊗ SP , A(un,P , vn,P) = B(vn,P ) ∀vn,P ∈ Vn ⊗ SP

u ∈ Rn ⊗ SP , E(vTA(u)) = E(vTb) ∀v ∈ R

n ⊗ SP

Remarque : Si A est symetrique coercive, elle definit une norme ‖ · ‖A ⇒ Projection ausens de l’operateur :

uh,P = minvh,P∈Vh⊗SP

‖u − vh,P‖A

Cependant, le produit scalaire n’ayant pas la structure d’un produit tensoriel de produitscalaire, pas de methode de resolution directe comme pour projection L2


Approche de Galerkin

Definition de l’approximation de Galerkin :

un,P ∈ Vn ⊗ SP , A(un,P , vn,P) = B(vn,P ) ∀vn,P ∈ Vn ⊗ SP

u ∈ Rn ⊗ SP , E(vTA(u)) = E(vTb) ∀v ∈ R

n ⊗ SP

⊕ Avantages : Maıtrise de l’approximation (estimation d’erreur a priori, a posteriori),stabilite vis-a-vis des erreurs d’integration

⊖ Inconvenients : Necessite une modification (possiblement mineure) des codesdeterministes et le developpement de techniques de resolution dediees

References : [Ghanem 1991, Ghanem 1996, Babuska 2005, Matthies 2005] ...


Approche de GalerkinStructure du systeme a resoudre

u(ξ) =∑

α∈IP


∑

β∈IP

E(AHαHβ)uβ = E(bHα), ∀α ∈ IP

Systeme de taille n × P a resoudre

Aα1α1 Aα1α2 . . . Aα1αP

Aα2α1

. . ....

.... . .

...AαPα1 . . . . . . AαPαP

uα1

uα2

...uαP

=

bα1

bα2

...bαP

blocks eventuellement creux (heritage du caractere creux de A)

creux par block (herite des proprietes d’orthogonalite des fonctions de base)


Approche de GalerkinIllustration du ”caractere creux” par block

Exemple : Approximation sur chaos polynomial d’Hermite de degre p en dimension m

block (α, β) : Aαβ = E(AHαHβ), avec A(ξ) =∑

|γ|6pK

AγHγ(ξ)

m = 3, p = 4, dim(SP) = 35

pK = 1 pK = 2 pK = 3





|γ|6pK

AγHγ(ξ)

m = 5, p = 6, dim(SP ) = 462

pK = 1 pK = 2 pK = 3





|γ|6pK

AγHγ(ξ)

m = 5, p = 6, dim(SP ) = 462

pK = 1 pK = 4 pK = 5

Dans le cas ou A est ”fortement non-lineaire” en ξ,Pas si creux que ca !


Approche de GalerkinProblemes discretises bien poses

Forme bilineaire : A(u, v) :=

∫

Θ

κ∇u · ∇v dxdP(θ)

κ(x , θ) =∑

γ∈I

κγ(x)Hγ(ξi(θ)∞i=1)

Propriete : avec une base d’approximation Hα(ξimi=1)α∈Im,p (chaos dimension m,

degre p)

E(AHαHβ) =∑

γ∈Im,2p

E(HγHαHβ)Aα (par orthogonalite des Hα)

Aucun crime variationnel n’est realise en choisissant

κ(m,2p)(x , θ) =∑

γ∈Im,2p

κγHγ(ξimi=1)

⊕ Galerkin : prise en compte du champ stochastique exact ⇒ probleme discretise bienpose

⊖ Projection L2, Regression : probleme discretise possiblement mal pose



1 Introduction

2 Modele conceptuel





Developpements recents et perspectives

Amelioration des solveurs, parallelisme

[Ghanem 1999, Pellisetti 2000, Matthies 2005, Keese 2005, Powell 2007]

Reduction de modele

Decomposition de Karhunen-Loeve approchee de la solution

[Matthies 2005, Doostan 2007]

Decomposition spectrale generalisee

[Nouy 2007, Nouy 2008]

Stochastic Reduced Basis[Nair 2001, Sachdeva 2006]

Estimation d’erreur, bases adaptatives

[Ladeveze 2006, Mathelin 2007, Frauenfelder 2005]

Vers le non-lineaireadaptativite, bases reduites, parallelisme massif ...

Encore beaucoup a faire, comme pour les elementsfinis dans les annees 60


Vers une meilleure maıtrise de la modelisation et du calcul

dictions

AnalyseRé

Modèle

expérimental

el

Observati

Modèle

discrétisé

Pré

solution

(solveurs)


Objectif : Vision integree de la chaıne validation-verification.Controler les erreurs a tous les niveaux

Sources d’erreur Maıtrise de l’erreurMesure Nombre et qualite des mesuresModele Meilleure physique, modelisation des incertitudes

Approximation Representation incertitudes, adaptativiteResolution Methodes robustes, solveurs precis



1 Introduction

2 Modele conceptuel





Quelques references bibliographiques I

Probabilistic modelling and discretization of uncertaintiesStochastic process, chaos representation and identification

[Wiener 1938, Loeve 1997, Loeve 1978, Puig 2002, Desceliers 2005,Ghanem 2006]Non-parametric modeling

[Soize 2000, Soize 2005]

Decomposition of random variables : classical basis

Infinite dimensional case

[Friedrichs 1957, Segal 1976]Finite dimensional case

[Ghanem 1991, Xiu 2002, Benth 1998, Deb 2001, Babuska 2005, Wan 2005,Le Maitre 2004, Le Maitre 2004, Babuska 2007, Soize 2004]

Stochastic (partial) differential equations

[Oksendal 1998, Holden 1996, Babuska 2002, Babuska 2005, Frauenfelder 2005,

Soize 2006]

Galerkin-type stochastic finite elementClassical spectral SFEM

[Ghanem 1991, Ghanem 1996]


Quelques references bibliographiques II

Improved resolution techniques

[Ghanem 1999, Pellisetti 2000, Matthies 2005, Keese 2005, Powell 2007]Model reduction for large scale applications

[Nouy 2007, Nouy 2008, Doostan 2007, Sachdeva 2006, Nair 2001]Error estimation

[Ladeveze 2006, Mathelin 2007]Random domains

[Canuto 2007, Nouy 2007, Nouy 2008, Tartakovsky 2006, Xiu 2006]

Non-intrusive stochastic finite element techniquesRegression

[Berveiller 2006]Projection

[Le Maitre 2001, Le Maitre 2002, Reagan 2003, Keese 2003,Ganapathysubramanian 2007]

Other resolution techniquesNeumann expansion

[Babuska 2002]Perturbation

[Kleiber 1992]


Quelques references bibliographiques III

Direct Integration (Monte carlo, Quasi Monte Carlo, Quadratures)

[Caflish 1998, Papadrakakis 1996, Niederreiter 1992, Smolyak 1963]


I. Babuska and P. Chatzipantelidis.On solving elliptic stochastic partial differential equations.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191 :4093–4122, 2002.

M. Kleiber and T.D. Hien.The Stochastic Finite Element Method. Basic Perturbation Technique andComputer Implementation.John Wiley & sons, Chichester, 1992.

R. E. Caflisch.Monte carlo and quasi-monte carlo methods.Acta. Numer., 7 :1–49, 1998.

H. Niederreiter.Random Number Generation and quasi-Monte Carlo Methods.SIAM, Philadelphia, PA, 1992.

S. A. Smolyak.Quadrature and interpolation formulas for tensor products of certain classes offunctions.Sov. Math. Dokl, 3 :240–243, 1963.

M. Papadrakakis and V. Papadopoulos.Robust and efficient methods for stochastic finite element analysis using monte carlosimulation.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 134 :325–340, 1996.


N. Wiener.The homogeneous chaos.Am. J. Math., 60 :897–936, 1938.

M. Loeve.Probability Theory. I, fourth edition, in : Graduate Texts in Mathematics, vol. 45.Springer-Verlag, New York, 1977.

M. Loeve.Probability Theory. II, fourth edition, in : Graduate Texts in Mathematics, vol. 46.Springer-Verlag, New York, 1978.

B. Puig, F. Poirion, and C. Soize.Non-gaussian simulation using hermite polynomial expansion : convergences.Probabilistic Engineering Mechanics, 17 :253–264, 2002.

C. Desceliers, R. Ghanem, and C. Soize.Maximum likelihood estimation of stochastic chaos representations fromexperimental data.Int. J. for Numerical Methods in Engineering, 66(6) :978–1001, 2005.

R. Ghanem and A. Doostan.On the construction and analysis of stochastic models : characterization andpropagation of the errors associated with limited data.Journal of Computational Physics, 217(1) :63–81, 2006.


B. Øksendal.Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, fifth ed.Springer-Verlag, 1998.

H. Holden, B. Øksendal, J. Ubøe, and T. Zhang.Stochastic Partial Differential Equations.Birkhauser, 1996.

I. Babuska, R. Tempone, and G. E. Zouraris.Solving elliptic boundary value problems with uncertain coefficients by the finiteelement method : the stochastic formulation.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194 :1251–1294, 2005.

P. Frauenfelder, C. Schwab, and R. A. Todor.Finite elements for elliptic problems with stochastic coefficients.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194(2-5) :205–228, 2005.

C. Soize.Non-gaussian positive-definite matrix-valued random fields for elliptic stochasticpartial differential operators.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195(1-3) :26–64, 2006.

C. Soize.A nonparametric model of random uncertainties on reduced matrix model instructural dynamics.


Probabilistic Engineering Mechanics, 15(3) :277–294, 2000.

C. Soize.Random matrix theory for modeling uncertainties in computational mechanics.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194 :1333–366, 2005.

K. O. Friedrichs and H. N. Shapiro.Integration over hubert space and outer extensions.In Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., pages 336–338, 1957.

A. Segall and T. Kailath.Orthogonal functionals of independent increment processes.IEEE Trans. Inf. Th., 22 :287–298, 1976.

R. Ghanem and P. Spanos.Stochastic finite elements : a spectral approach.Springer, Berlin, 1991.

D. B. Xiu and G. E. Karniadakis.The Wiener-Askey polynomial chaos for stochastic differential equations.SIAM J. Sci. Comput., 24(2) :619–644, 2002.

F. E. Benth and J. Gjerde.Convergence rates for finite element approximations of stochastic partial differentialequations.Stochastics and Stochastics Rep., 63(3-4) :313–326, 1998.


M. Deb, I. Babuska, and J. T. Oden.Solution of stochastic partial differential equations using galerkin finite elementtechniques.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190 :6359–6372, 2001.

X. Wan and G.E. Karniadakis.An adaptive multi-element generalized polynomial chaos method for stochasticdiffential equations.J. Comp. Phys., 209 :617–642, 2005.

O. P. Le Maıtre, O. M. Knio, H. N. Najm, and R. G. Ghanem.Uncertainty propagation using Wiener-Haar expansions.Journal of Computational Physics, 197(1) :28–57, 2004.

O. P. Le Maıtre, H. N. Najm, R. G. Ghanem, and O. M. Knio.Multi-resolution analysis of wiener-type uncertainty propagation schemes.Journal of Computational Physics, 197(2) :502–531, 2004.

I. Babuska, F. Nobile, and R. Tempone.A stochastic collocation method for elliptic partial differential equations withrandom input data.SIAM J. Num. Anal., 45(3) :1005–1034, 2007.

C. Soize and R. Ghanem.


Physical systems with random uncertainties : chaos representations with arbitraryprobability measure.SIAM J. Sci. Comput., 26(2) :395–410, 2004.

R. G. Ghanem and R. M. Kruger.Numerical solution of spectral stochastic finite element systems.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 129 :289–303, 1996.

H. G. Matthies and A. Keese.Galerkin methods for linear and nonlinear elliptic stochastic partial differentialequations.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194(12-16) :1295–1331,2005.

R. Ghanem.Ingredients for a general purpose stochastic finite elements implementation.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 168 :19–34, 1999.

M. F. Pellissetti and R. G. Ghanem.Iterative solution of systems of linear equations arising in the context of stochasticfinite elements.Advances in Engineering Software, 31 :607–616, 2000.

A. Keese and H. G. Mathhies.Hierarchical parallelisation for the solution of stochastic finite element equations.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 83 :1033–1047, 2005.


C.E. Powell and H.C. Elman.Block-diagonal precondioning for the spectral stochastic finite elements systems.Technical Report TR-4879, University of Maryland, Dept. of Computer Science,2007.

M. Berveiller, B. Sudret, and M. Lemaire.Stochastic finite element : a non intrusive approach by regression.European Journal of Computational Mechanics, 15 :81–92, 2006.

O.P. Le Maıtre, O.M. Knio, H.N. Najm, and R.G. Ghanem.A stochastic projection method for fluid flow. i. basic formulation.J. Comput. Phyics, 173 :481–511, 2001.

O.P. Le Maıtre, M.T. Reagan, H.N. Najm, R.G. Ghanem, and O.M. Knio.A stochastic projection method for fluid flow. ii. random process.J. Comput. Phyics, 181 :9–44, 2002.

M.T. Reagan, H.N. Najm, R.G. Ghanem, and O.M. Knio.Uncertainty quantification in reacting flow simulations through non-intrusive spectralprojection.Combustion and Flames, 132 :545–555, 2003.

A. Keese and H. G. Mathhies.Numerical methods and smolyak quadrature for nonlinear stochastic partialdifferential equations.SIAM J. Sci. Comput., 83, 2003.


B. Ganapathysubramanian and N. Zabaras.Sparse grid collacation schemes for stochastic natural convection problems.J. Comput. Phys., 225 :652–685, 2007.

P. Ladeveze and E. Florentin.Verification of stochastic models in uncertain environments using the constitutiverelation error method.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196(1-3) :225–234, 2006.

L. Mathelin and O. Le Maıtre.Dual-based a posteriori error estimate for stochastic finite element methods.Communications in Applied Mathematics and Computational Science, 2 :83–116,2007.

M. Jardak and R. Ghanem.Spectral stochastic homogenization of divergence-type pdes.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 193(6-8) :429–447, 2004.

A. Nouy.A generalized spectral decomposition technique to solve a class of linear stochasticpartial differential equations.Computer Methods in Applied Methods in Engineering, 196(45-48) :4521–4537,2007.

A. Nouy.


Generalized spectral decomposition method for solving stochastic finite elementequations : invariant subspace problem and dedicated algorithms.Computer Methods in Applied Methods in Engineering, submitted, 2007.

A. Doostan, R. Ghanem, and J. Red-Horse.Stochastic model reductions for chaos representations.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196(37-40) :3951–3966,2007.

S. K. Sachdeva, P. B. Nair, and A. J. Keane.Hybridization of stochastic reduced basis methods with polynomial chaosexpansions.Probabilistic Engineering Mechanics, 21(2) :182–192, 2006.

P. B. Nair.On the theoretical foundations of stochastic reduced basis methods.AIAA Paper, 2001-1677, 2001.

C. Canuto and T. Kozubek.A fictitious domain approach to the numerical solution of pdes in stochasticdomains.Numerische Mathematik, 107(2) :257–293, 2007.

A. Nouy, F. Schoefs, and N. Moes.X-SFEM, a computational technique based on X-FEM to deal with random shapes.European Journal of Computational Mechanics, 16(2) :277–293, 2007.


A. Nouy, A. Clement, F. Schoefs, and N. Moes.An extended stochastic finite element method for solving stochastic partialdifferential equations on random domains.Computer Methods in Applied Methods in Engineering, submitted, 2008.

D. M. Tartakovsky and D. B. Xiu.Stochastic analysis of transport in tubes with rough walls.Journal of Computational Physics, 217 :248–259, 2006.

D. B. Xiu and D. M. Tartakovsky.Numerical methods for differential equations in random domains.SIAM J. Sci. Comput., 28(3) :1167–1185, 2006.


Documents

Bienvenue à la Faculté des Sciences et des …Remarque : Dans le cas de géométrie aléatoire, reformulation possible du problème pour travailler dans un espace V déterministe