Bienvenue pour 18 PC de MEC431 - lmm. audoly/teaching/MEC431/PC01- les tenseurs •On considre des ... • En tout , on considre l’application linaire tangente

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  • Bienvenue pour18 PC de MEC431

    B. Audoly - audoly(at)lmm.jussieu.fr Chercheur CNRS

    Labo de modlisation en mcanique (Jussieu)

    Intrts scientifiques : formes et lasticit

    http://www.lmm.jussieu.fr/~audoly

  • Calcul tensorielMEC431 - TD n1 - 23 aot 2006

  • Notation

    Convention dEinstein Sommation implicite si indice rpts du mme ct

    du signe gal

    Les indices non rpts sont muets

    Symbole de Kronecker si si

  • Rappels

    Espace euclidien de dimension Objets connus dalgbre linaire :

    vecteur endomorphisme forme linaire forme bilinaire forme quadratique

  • Rappels

    Base Dcomposition sur la base : Formes de coordonnes

    Caractrisation NB: chaque dpend de tous les

    Dualit Forme linaire associe naturellement

  • Base duale

    Par ce qui prcde, on peut construire

    Concrtement, Dans toute la suite, on considre une base

    orthonorme Base et base duales sont confondues On peut alors identifier vecteurs et formes linaires

    par dualit

  • Produit externe

    Forme bilinaire, note , associe naturellement deux formes linaires et

    Les formes bilinaires forment une base permettant de dcomposer toute forme bilinaire

  • Espacedes forme bilinaires

    Not , car engendr par les Dcomposition

    Les composantes sont dans cette base Dcomposer le tenseur associ la mtrique Calculer en coordonnes Calculer en coordonnes la transpose

    Comparer et Toute forme bilinaire peut-elle scrire sous la forme ?

  • Extensionaux endomorphismes

    Par dualit, on peut identifier endomorphismes et formes bilinaires on associe

    Proprits Les coordonnes de sont les lments de matrice Dcrire laction de lendomorphisme Si est une deuxime base orthonormale, interprter

    lendomorphisme

    Montrer que nest autre que

  • Formes trilinaires

    Mme histoire On dfinit le produit externe Lespace des formes trilinaires a pour base

    Dcomposition dune forme trilinaire en coordonnes (trois pattes, coordonnes)

    On peut identifier par dualit les formes trilinaires et, par exemple, les applications bilinaires valeurs dans

    Exemple : loprateur produit vectoriel Exercice : calculer les composantes du tenseur associ ,

    appel tenseur de permutations

  • Gnralisation :les tenseurs

    Tenseur dordre 0 reprsente un scalaire

    Tenseur dordre 1 reprsente un vecteur ou une forme linaire

    Tenseur dordre 2 reprsente une forme bilinaire, un endomorphisme

  • Changement de base

    Exemple dun tenseur dordre deux Le mme tenseur est reprsent dans les bases

    orthonormes et par ses composantes et . Si le passage dune base lautre est donn par

    alors les composantes se transforment selon

    Ces formules sont dj connues Le raisonnement sapplique tout type de tenseur

  • Oprationssur les tenseurs

    Contraction Trace Produit doublement contract Produit externe Transpose Dterminant

  • Contraction Motivation : calculer en coordonnes

    Produit contract Gnralise la trace Rendre gaux le dernier indice du premier tenseur et le

    premier indice du deuxime puis sommer. On obtient un tenseur de rang p+q-2 partir de tenseurs de rang p et q

    Comme la trace, lopration est indpendante du repre

  • Contraction

    Autres contractions Contraction (interne)

    Part dun tenseur dordre pour produire un tenseur dordre Si , il faut spcifier les indices concerns

    Produit doublement contract Par dfaut, on contracte les indices extrieurs dune part et les indices

    intrieurs dautre part, par exemple

    Trace La trace est une double contraction

  • Produit externe

    Dfinition sur un exemple plus gnral Dfinition En coordonnes,

    Bilinaire et associatif mais non commutatif

  • Transpose

    Dj dfini pour un tenseur dordre 2 Pour un tenseur dordre suprieur, il faut

    spcifier les deux indices concerns par linversion

  • Dterminant

    Cest le dterminant de lendomorphisme associ au tenseur et donc le dterminant de la matrice contenant les

    composantes du tenseur

  • Exercices Etablir, calculer ou rpondre

    Calculer et tant unitaire, interprter quelle condition sur les reprsente-t-il

    une rotation ?

    Donner le tenseur reprsentant la projection sur le plan

    et

  • Calcul diffrentielsur les tenseurs

    On considre des champs tensoriels, tels que ou

    On aimerait pouvoir gnraliser le gradient la divergence le thorme de la divergence

  • Gradient Gradient dun champ scalaire

    En tout , on considre lapplication linaire tangente

    Par dualit, cette forme linaire est reprsente par un vecteur, qui nest autre que le gradient

    Gnralisation : gradient dun champ vectoriel Lapplication linaire tangente est maintenant reprsente par

    un endomorphisme

    Etablir alors, en repre cartsien, NB: lindice correspondant la drive est le dernier

  • Exercices

    Calculer et , o dsigne la base cylindrique , o est un champ scalaire et un champ

    vectoriel

    Considrer le cas particulier o eten coordonnes cylindriques

  • Thorme de la divergence Dfinition de la divergence

    Cest le gradient contract sur les deux derniers indices Cas dun champ de vecteur

    Cas dun tenseur de rang plus lev

    Thorme de la divergence (champ continu) Version connue

    Tenseur de rang plus lev (preuve immdiate, fixer les premiers indices)

  • Conclusion Outil pratique, rien de bien difficile Rester aux matrices ? Oui mais :

    Pas pratique en prsence de rotations Attention aux drives des vecteurs du repre sil

    tourne

    Prolongements Gomtrie diffrentielle Robert M. Wald, General Relativity Nakahara, Geometry and Physics

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