Bienvenue pour18 PC de MEC431

B. Audoly - audoly(at)lmm.jussieu.fr Chercheur CNRS

Labo de modlisation en mcanique (Jussieu)

Intrts scientifiques : formes et lasticit

http://www.lmm.jussieu.fr/~audoly

Calcul tensorielMEC431 - TD n1 - 23 aot 2006

Notation

Convention dEinstein Sommation implicite si indice rpts du mme ct

du signe gal

Les indices non rpts sont muets

Symbole de Kronecker si si

Rappels

Espace euclidien de dimension Objets connus dalgbre linaire :

vecteur endomorphisme forme linaire forme bilinaire forme quadratique

Rappels

Base Dcomposition sur la base : Formes de coordonnes

Caractrisation NB: chaque dpend de tous les

Dualit Forme linaire associe naturellement

Base duale

Par ce qui prcde, on peut construire

Concrtement, Dans toute la suite, on considre une base

orthonorme Base et base duales sont confondues On peut alors identifier vecteurs et formes linaires

par dualit

Produit externe

Forme bilinaire, note , associe naturellement deux formes linaires et

Les formes bilinaires forment une base permettant de dcomposer toute forme bilinaire

Espacedes forme bilinaires

Not , car engendr par les Dcomposition

Les composantes sont dans cette base Dcomposer le tenseur associ la mtrique Calculer en coordonnes Calculer en coordonnes la transpose

Comparer et Toute forme bilinaire peut-elle scrire sous la forme ?

Extensionaux endomorphismes

Par dualit, on peut identifier endomorphismes et formes bilinaires on associe

Proprits Les coordonnes de sont les lments de matrice Dcrire laction de lendomorphisme Si est une deuxime base orthonormale, interprter

lendomorphisme

Montrer que nest autre que

Formes trilinaires

Mme histoire On dfinit le produit externe Lespace des formes trilinaires a pour base

Dcomposition dune forme trilinaire en coordonnes (trois pattes, coordonnes)

On peut identifier par dualit les formes trilinaires et, par exemple, les applications bilinaires valeurs dans

Exemple : loprateur produit vectoriel Exercice : calculer les composantes du tenseur associ ,

appel tenseur de permutations

Gnralisation :les tenseurs

Tenseur dordre 0 reprsente un scalaire

Tenseur dordre 1 reprsente un vecteur ou une forme linaire

Tenseur dordre 2 reprsente une forme bilinaire, un endomorphisme

Changement de base

Exemple dun tenseur dordre deux Le mme tenseur est reprsent dans les bases

orthonormes et par ses composantes et . Si le passage dune base lautre est donn par

alors les composantes se transforment selon

Ces formules sont dj connues Le raisonnement sapplique tout type de tenseur

Oprationssur les tenseurs

Contraction Trace Produit doublement contract Produit externe Transpose Dterminant

Contraction Motivation : calculer en coordonnes

Produit contract Gnralise la trace Rendre gaux le dernier indice du premier tenseur et le

premier indice du deuxime puis sommer. On obtient un tenseur de rang p+q-2 partir de tenseurs de rang p et q

Comme la trace, lopration est indpendante du repre

Contraction

Autres contractions Contraction (interne)

Part dun tenseur dordre pour produire un tenseur dordre Si , il faut spcifier les indices concerns

Produit doublement contract Par dfaut, on contracte les indices extrieurs dune part et les indices

intrieurs dautre part, par exemple

Trace La trace est une double contraction

Produit externe

Dfinition sur un exemple plus gnral Dfinition En coordonnes,

Bilinaire et associatif mais non commutatif

Transpose

Dj dfini pour un tenseur dordre 2 Pour un tenseur dordre suprieur, il faut

spcifier les deux indices concerns par linversion

Dterminant

Cest le dterminant de lendomorphisme associ au tenseur et donc le dterminant de la matrice contenant les

composantes du tenseur

Exercices Etablir, calculer ou rpondre

Calculer et tant unitaire, interprter quelle condition sur les reprsente-t-il

une rotation ?

Donner le tenseur reprsentant la projection sur le plan

et

Calcul diffrentielsur les tenseurs

On considre des champs tensoriels, tels que ou

On aimerait pouvoir gnraliser le gradient la divergence le thorme de la divergence

Gradient Gradient dun champ scalaire

En tout , on considre lapplication linaire tangente

Par dualit, cette forme linaire est reprsente par un vecteur, qui nest autre que le gradient

Gnralisation : gradient dun champ vectoriel Lapplication linaire tangente est maintenant reprsente par

un endomorphisme

Etablir alors, en repre cartsien, NB: lindice correspondant la drive est le dernier

Exercices

Calculer et , o dsigne la base cylindrique , o est un champ scalaire et un champ

vectoriel

Considrer le cas particulier o eten coordonnes cylindriques

Thorme de la divergence Dfinition de la divergence

Cest le gradient contract sur les deux derniers indices Cas dun champ de vecteur

Cas dun tenseur de rang plus lev

Thorme de la divergence (champ continu) Version connue

Tenseur de rang plus lev (preuve immdiate, fixer les premiers indices)

Conclusion Outil pratique, rien de bien difficile Rester aux matrices ? Oui mais :

Pas pratique en prsence de rotations Attention aux drives des vecteurs du repre sil

tourne

Prolongements Gomtrie diffrentielle Robert M. Wald, General Relativity Nakahara, Geometry and Physics