Bienvenue pour 18 PC de MEC431 - lmm. audoly/teaching/MEC431/PC01- les tenseurs •On considre des ... • En tout , on considre l’application linaire tangente

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    06-Feb-2018

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<ul><li><p>Bienvenue pour18 PC de MEC431</p><p> B. Audoly - audoly(at)lmm.jussieu.fr Chercheur CNRS</p><p>Labo de modlisation en mcanique (Jussieu)</p><p> Intrts scientifiques : formes et lasticit</p><p> http://www.lmm.jussieu.fr/~audoly</p></li><li><p>Calcul tensorielMEC431 - TD n1 - 23 aot 2006</p></li><li><p>Notation</p><p> Convention dEinstein Sommation implicite si indice rpts du mme ct </p><p>du signe gal</p><p> Les indices non rpts sont muets</p><p> Symbole de Kronecker si si</p></li><li><p>Rappels</p><p> Espace euclidien de dimension Objets connus dalgbre linaire :</p><p> vecteur endomorphisme forme linaire forme bilinaire forme quadratique</p></li><li><p>Rappels</p><p> Base Dcomposition sur la base : Formes de coordonnes</p><p> Caractrisation NB: chaque dpend de tous les </p><p> Dualit Forme linaire associe naturellement </p></li><li><p>Base duale</p><p> Par ce qui prcde, on peut construire</p><p> Concrtement, Dans toute la suite, on considre une base </p><p>orthonorme Base et base duales sont confondues On peut alors identifier vecteurs et formes linaires </p><p>par dualit</p></li><li><p>Produit externe</p><p> Forme bilinaire, note , associe naturellement deux formes linaires et </p><p> Les formes bilinaires forment une base permettant de dcomposer toute forme bilinaire</p></li><li><p>Espacedes forme bilinaires</p><p> Not , car engendr par les Dcomposition </p><p> Les composantes sont dans cette base Dcomposer le tenseur associ la mtrique Calculer en coordonnes Calculer en coordonnes la transpose</p><p> Comparer et Toute forme bilinaire peut-elle scrire sous la forme ?</p></li><li><p>Extensionaux endomorphismes</p><p> Par dualit, on peut identifier endomorphismes et formes bilinaires on associe</p><p> Proprits Les coordonnes de sont les lments de matrice Dcrire laction de lendomorphisme Si est une deuxime base orthonormale, interprter </p><p>lendomorphisme</p><p> Montrer que nest autre que</p></li><li><p>Formes trilinaires</p><p> Mme histoire On dfinit le produit externe Lespace des formes trilinaires a pour base</p><p> Dcomposition dune forme trilinaire en coordonnes (trois pattes, coordonnes)</p><p> On peut identifier par dualit les formes trilinaires et, par exemple, les applications bilinaires valeurs dans </p><p> Exemple : loprateur produit vectoriel Exercice : calculer les composantes du tenseur associ ,</p><p>appel tenseur de permutations</p></li><li><p>Gnralisation :les tenseurs</p><p> Tenseur dordre 0 reprsente un scalaire</p><p> Tenseur dordre 1 reprsente un vecteur ou une forme linaire</p><p> Tenseur dordre 2 reprsente une forme bilinaire, un endomorphisme</p></li><li><p>Changement de base</p><p> Exemple dun tenseur dordre deux Le mme tenseur est reprsent dans les bases </p><p>orthonormes et par ses composantes et . Si le passage dune base lautre est donn par</p><p>alors les composantes se transforment selon</p><p> Ces formules sont dj connues Le raisonnement sapplique tout type de tenseur</p></li><li><p>Oprationssur les tenseurs</p><p> Contraction Trace Produit doublement contract Produit externe Transpose Dterminant</p></li><li><p>Contraction Motivation : calculer en coordonnes</p><p> Produit contract Gnralise la trace Rendre gaux le dernier indice du premier tenseur et le </p><p>premier indice du deuxime puis sommer. On obtient un tenseur de rang p+q-2 partir de tenseurs de rang p et q</p><p> Comme la trace, lopration est indpendante du repre</p></li><li><p>Contraction</p><p> Autres contractions Contraction (interne)</p><p> Part dun tenseur dordre pour produire un tenseur dordre Si , il faut spcifier les indices concerns</p><p> Produit doublement contract Par dfaut, on contracte les indices extrieurs dune part et les indices </p><p>intrieurs dautre part, par exemple</p><p> Trace La trace est une double contraction</p></li><li><p>Produit externe</p><p> Dfinition sur un exemple plus gnral Dfinition En coordonnes,</p><p> Bilinaire et associatif mais non commutatif</p></li><li><p>Transpose</p><p> Dj dfini pour un tenseur dordre 2 Pour un tenseur dordre suprieur, il faut </p><p>spcifier les deux indices concerns par linversion</p></li><li><p>Dterminant</p><p> Cest le dterminant de lendomorphisme associ au tenseur et donc le dterminant de la matrice contenant les </p><p>composantes du tenseur</p></li><li><p>Exercices Etablir, calculer ou rpondre</p><p> Calculer et tant unitaire, interprter quelle condition sur les reprsente-t-il </p><p>une rotation ? </p><p> Donner le tenseur reprsentant la projection sur le plan </p><p> et </p></li><li><p>Calcul diffrentielsur les tenseurs</p><p> On considre des champs tensoriels, tels que ou</p><p> On aimerait pouvoir gnraliser le gradient la divergence le thorme de la divergence</p></li><li><p>Gradient Gradient dun champ scalaire</p><p> En tout , on considre lapplication linaire tangente</p><p> Par dualit, cette forme linaire est reprsente par un vecteur, qui nest autre que le gradient</p><p> Gnralisation : gradient dun champ vectoriel Lapplication linaire tangente est maintenant reprsente par </p><p>un endomorphisme</p><p> Etablir alors, en repre cartsien, NB: lindice correspondant la drive est le dernier</p></li><li><p>Exercices</p><p> Calculer et , o dsigne la base cylindrique , o est un champ scalaire et un champ </p><p>vectoriel</p><p> Considrer le cas particulier o eten coordonnes cylindriques</p></li><li><p>Thorme de la divergence Dfinition de la divergence</p><p> Cest le gradient contract sur les deux derniers indices Cas dun champ de vecteur</p><p> Cas dun tenseur de rang plus lev</p><p> Thorme de la divergence (champ continu) Version connue</p><p> Tenseur de rang plus lev (preuve immdiate, fixer les premiers indices)</p></li><li><p>Conclusion Outil pratique, rien de bien difficile Rester aux matrices ? Oui mais :</p><p> Pas pratique en prsence de rotations Attention aux drives des vecteurs du repre sil </p><p>tourne</p><p> Prolongements Gomtrie diffrentielle Robert M. Wald, General Relativity Nakahara, Geometry and Physics</p></li></ul>