Mode d’emploi de ce gros fichierPour une raison qui m’échappe, je n’ai pas pu utiliser de zippeur. J’aurais pu mettre chaque fichier en PJ, mais la liste aurait débordé de la page. J’ai donc concaténé tous les fichiers récents en un seul fichier word.

Je crée donc un tableau pour séparer les fichiers et mets un repère pour chacun. D’une manière générale, je rappelle que pour les exercices, la consigne est en noir et une correction ou un sketch de correction est en rouge. Vous pouvez utiliser l’outil « remplacer » pour effacer toutes les parties en rouge afin de ne plus voir les corrections.

Les parties bleues sont des citations d’élèves énonçant des choses correctes (elles sont en marron si ce sont des choses incorrectes (fausses, HS, non justifiées, etc)).

Utiliser l’affichage web et non pas l’affichage page pour une meilleure lecture, et surtout n’imprimez pas, vous obtiendriez une mise en page désastreuse.

Correction de 2 exercices en 1ES31/ soit u une suite arithmétique de raison 17 telle que u(200) = 500. Peut-on en déduire qui est u(3)?u(3) + 197 fois 17 = u(200) = 500 donc CLG2/ soit u une suite géométrique de raison 0.9 telle que u(200) = 500. Peut-on en déduire qui est u(3)?

u(3) fois (0.9 ^ 197) = u(200) = 500 donc u(3) = CLG

3/ On lance 10 fois de suite une pièce truquée qui a 90% de probabilité de tomber sur face à chaque fois (les lancers sont indépendants). Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 8 faces?C’est la proba d’avoir exactement 8 faces + proba d’avoir exactement 9 faces + proba d’avoir 10 faces, puis on applique la formule binomiale.

Cours sur la valeur absolue en 1S2La fonction absolue, qui se note x|x| est définie pour tout x par 

|x| = if x>0 then x else (-x)Théorèmes (les prouver en exercices) :1/ |xy| = |x| fois |y|Georgina :<<x,y ont été choisis par le démon hostile au théorème.|x| fois |y| = √ x2 fois √ y2 = √ x2 fois y2=¿√(x fois y ) ² = |xy| >>Soutenue par les admis collégiens sur x√ x

2/ |x+y| ≤ |x| + |y|Alberto : <<√(x+ y )² ≤ √ x ²+√ y ² >>Je réponds à Victor que c’est ce qu’on veut prouver.Cet exercice a l’air passionnant en ce qu’il semble résister aux élèves

3/ Elle est continue, mais dérivable seulement sur IR*. Pas de nombre dérivé en 0.

4/ Pour tout x : |x| = √ x ²Samuelina:Si x>0 alors |x| = x = √ x ²Si x<0 alors |x| = (-x) = √(−x ) ² = √ x ²0 est laissé au lecteurOr tout nombre est >0 ou <0 ou égal à 0. CQFD

Réponse à une remarque d’élève en 1S2Au vu des étranges questions de Marie-Béatrice, rappel qu’une fonction « c’est sa courbe

Rouge : fonction carréeOrange : fonction √Bleu : fonction inverseMauve : fonction sinusNoir : fonction cosinusVert : fonction valeur absolue

Correction d’exercice donné en 1S2 et secondeDonner une équation de la droite de pente -8 qui passe par le point (1,2)On peut prendre [ y-2 = (-8) fois (x-1) ]

Repère orthonormé et d,d' sont deux droites perpendiculaires ayant respectivement p,p' comme pente. Essayer de prouver que p fois p' = (-1)Je vous le laisse.

Conseils pour résolution d’équations, inéquations, classe de secondeLa situation [expression1 = expression2 ; inconnue ..]Elle a les mêmes solutions que

[expression1 - expression2Et dans la pratique, on arrive à factoriser ce

Ce qui ramène à une équation produit résoluble par un collégien moyen

La situation [expression1 > expression2 ; inconnue ..]Elle a les mêmes solutions que

[expression1 - expression2Et dans la pratique, on arrive à factoriser ce

Ce qui ramène à une inéquation produit résoluble par un collégien moyenQuand on n’arrive pas à factoriser on est en situation « d’échec noble », c’est-à-dire qu’on a été un bon mathématicien qui a cherché, mais n’a pas trouvé.

Attention : à titre exceptionnel, je mets un exemple juste accolé au cours théorique, car il ne s’agit que de conseils et non de définition ou de théorème. MAIS, c’est très dangereux (rappelles élèves on ttendance à boycotter l’expression abstraite et formelle de la théorie, et se focalisent sur les exemples. De plus cet exemple est un peu compliqué, j’aurais dû en prendre un plus simple

Exemple : je cherche à résoudre [5 x² > x+4 ; inconnue x]Qui a les mm solutions queE := [5x² - (x + 4) > 0 ; inconnue x ]Le collège (+ un poil d’inspiration) vous permet de voir que :5x²-(x+4) = (x-1) (5x + 4) COLLEGE VRAI POUR TOUT x

E a donc les mêmes solutions que [ (x-1)(5x+4) >0 ; inconnue x ]x -4/5 1x-1 - - - 0 +5x+4 - 0 + + +Leur produit + 0 - 0 +

Les solutions sont les nombres plus petits que -4/5 ainsi que les nombres qui sont plus grands que 1

Correction d’exercice en 1S2

Dériver les fonctions suivantes :

f : x (7x² - 50x+3)(8x5+3x²)f ‘ : x (14x-50)( 8x5+3x²) + (7x² - 50x+3)(40x4+6x)f : x (x²+1/x) divisé par (7 - 41x9)f ‘ : x [(2x-1/x²)(7-41x^9) – (x²+1/x)(-369x^8) ] divisé par (7-41x^9)²

f : x (4x5 + 8/x3)80

f ’ : x 80 (20x^4 -24/x^4 ) (4x^5+8/x^3)^79

Annexe : Correction détaillée la dérivée de x8/x^3Pour tout x non nul, 8/x^3 = 8 fois x ^(-3)La dérivée est donc x -24 fois x^ (-4)

Rappel : ( f^n ) = n fois f’ fois f ^(n-1)

Cours sur la dérivation en 1ES3

<<fonction [ x↦(pente de la tangente à la courbe de f au point de cette courbe qui a comme abscisse x) ] >>

La notion de tangente est une notion première. Voir l’animation geogebra sur mathcommun

Théorèmes célèbres   : pour tout intervalle J et fonction f définie et dérivable sur J :

Si f’ est positive sur J alors f est croissante sur JSi f’ est strictement positive sur J alors f est strictement croissante sur JSi f’ est négative sur J alors f est décroissante sur JSi f’ est strictement négative sur J alors f est strictement décroissante sur JSi f est croissante sur J alors f’ est positive sur JSi f est décroissante sur J alors f’ est négative sur J

Utilité des dérivées : ça permet de remplacer la recherche des variations en recherche du signe

Les théorèmes permettant de calculer des dérivées sont reportés à un cours spécifique ultérieur

Rappel sur les droites pour les classes de première ES et S, mais peut servir aux élèves de seconde. Compétence TRES IMPORTANTE AU LYCEE CAR TRES DEMANDEE AU BAC

Le lycée spécifiquement fait un gros usage de la convention suivante:

<<La courbe d'équation [blabla]>> est une abréviation pour dire <<l'ensemble des points qui peuvent dire la phrase obtenue en remplaçant LA LETTRE x par "mon abscisse" et la lettre y par "mon ordonnée"dans blabla>>Exemple: la courbe d'équation [x = 7] est l'ensemble de TOUS les points qui ont 7 comme abscisse.La diagonale du plan est la droite d'équation [ x = y ]; et cette droite est la courbe de la fonction identité

<<verticale>> abrège parallèle à l’axe des ordonnées et <<horisontale>> abrège <<parallèle à l’axe des abscisses>>. C’est mieux de n’appliquer ces choses qu’en présence d’un repérage ORTHONORME du plan.

Théorèmes rappels de seconde:1/ pour tous nombres a,b la courbe d'équation [y=ax+b] est une droite de pente a2/ Pour toute droite d, il existe des nombres a,b tels que: ou bien d est la droite [y =ax+b] (droite non verticale),ou bien d est la droite [x=a] (droite verticale)4/ Pour toute droite d, et pour tous points A,B qui sont sur d et qui n'ont pas la même abscisse:( y(A)-y(B) ) / ( x(A) - x(B) ) = pente de d6/ Soit p un nombre et A un point. La droite qui passe par A et qui a p comme pente a comme équation[ (y - y(A)) = p ( x - x(A)) ]

7/ La tangente à la courbe de f au point (a,f(a)) est DONC la droite d'équation [ y - f(a) = f’(a) fois (x-x(A))]

Ces rappels sont incomplets en classe de 1S (d’où les numéros qui ne se suivent pas car j’ai effacé des items).DST9date24112017 (avec sketchs correctifs, n’oubliez pas de les effacer sans les lire si vous voulez re-plancher)

1/ Soit f une fonction telle que pour tout nombre x :f(x) = 3x²+5

a/ Proposer un antécédent de 53.f(4) = 53 car f(4) = 3 fois 4² + 5 = 3 fois 16 + 5=48+5

b/ Calculer f(1) ; f(10) et f(100)f(100) = 3 fois 100² + 5 = 30005

c/ Proposer un nombre u tel que pour tout nombre x : f(x) > u+100je m'appelle GM, je propose u := (-100) car qui que soit x, f(x) =x²+5 = nombre positif +5 donc > (-100)+100

2/ Soit f la fonction telle que pour tout nombre x :f(x) = 2x+3. De plus pour tout nombre x, g(x) = x²-1.

a/ Proposer des nombres a,b,c de façon à obtenir que pour tout nombre x : f(g(x)) =ax²+bx+c f(g(x)) = f( x²-1 ) = 2 fois (x²-1) + 3 = 2x² +1 = 2x² + 0x + 1En proposant a:=2; b:=0;c:=1, on gagne

b/ Proposer des nombres d,e,w de façon à obtenir que pour tout nombre x :g(f(x)) =dx²+ex+wg(f(x)) = (2x+3)² - 1 = CLG = 4x² +12x + 8en proposant d:=4; e:=12; w:=8 on gagne

DST11 1ES4 le 22122017

1/ Prouver qu’il n’existe pas de nombre x(3x+Z)² + (7x²-3)² = 0

2/ Même question avec :(3x²+Z/3)² + (Zx-3x5)² = 0 (défi)

3/ Soit u une suite arithmétique telle queu(1) – u(2) = 5 et u(3) + u(2) = Z.Peut-on en déduire sa raison

5/ u(8) = Z et pour tout entier n>0u(n+1) = u(n) + 1/n. Peut-on en déduire qui est u(6)

DST12 classe1S2 date 181220171/ Etudier les variations de x |--------> 8 / (x²+x+1)

2/ Soit u une suite telle que et u(0) = 5 et pour tout entier n: u(n+1) = u(n) + 1/ (n+1).Soit v une suite telle que pour tout entier n:v(n+1) = v(n) + 1 / ((n+1) fois u(n+2) + 8).a/ Calculer v(3)b/ Existe-t-il un entier n tel que v(n)>50000?

3/ Soit x un nombre.Prouver que (x-7)² + (x3 - 44)² + (1-7x)² n'est pas nul.

4/ Soit f: x|---------> x², définie sur IR. Proposer un nombre a tel que la pente de la tangente à la courbe de f au point (a,f(a)) passe par (3,0)

5/ Deux nombres parlent. L'un dit à l'autre "tu es mon cube". L'autre lui répond "on m'obtient en te mettant au carré et en ajoutant 8 au résultat".a/ écrire une équation ayant un nombre fini de solution dont le premier qui parle ci-dessus est solutionb/ Même question avec le deuxième qui parle

6/ Pour tous nombres x,y: max(x,y)= if x>y then x else y. Soient u,v des nombres. Remplacer les pointillés par des signes usuels (4 opérations, barres de valeur absolue, lettres u,v) de manière à garantir que

max(u,v) = ..........Indication: penser à x|--------> |x| + x

7/ Résoudre l'équation

8/ Résoudre l'équation

9/ Soit f la fonction

x|-------> if x<1 then x else 2x-1, définie sur IR. D'après vous, est-ce que f '(1) existe?

DST14 seconde1 le 21122017Le paramètre Z est anti-copiage, vous pouvez les remplacer par 8 par exemple

1/ Mettre les ensembles de solutions d'équations ou d'inéquations suivantes sous forme d'un intervalle, d'une réunion d'intervalles ou d'un ensemble fini écrit explicitement.

[Z/w + x > x; inconnue w], sachant que x = 58431 fois Z.

[(3x+1)(x-2) > (1+3x) fois Zx; inconnue x]

2/ Ecrire une inéquation inconnue x dont l'ensemble des solutions est [3; + l'infini[

3/ Soit f une fonction telle que pour tout nombre x: f(1-3x) = Zx.Trouver qui est f(10)

4/ 33 skieurs, (20+Z) nageurs et 5 personnes qui pratiquent les 2 sports. Combien pratiquent au moins un des deux sports?

5/ Soit a un nombre et f une fonction telle que pour tout nombre x: f(x) = 5a+Zx. Sachant que Z est un antécédent de 18, trouver qui est a

6/ Dessiner une droite de pente de Z/15 qui passe par (-2,1)

7/ Proposer une équation de la droite (AB) sachant que A(1,10) et B(Z,Z-1)

DST garantisseur en 1ES41/ Soit a>0 et pour tout x,f(x) = 3ax² – 60ax + 322. Proposer un nombre p > 3 dont l’hypothèse suffit à garantir que f(p) < f(-5) +3

Pur cours à réciter : f atteint son minimum en – ( -

60a ) / (2 fois 3a), donc en 10.

On sait donc que f(p) inférieur ou égal à f(-5), donc f(p) <f(-5) +3

2.1/ Proposer une solution pour l’équationE := [ (x²+x-110)² = 0 ;inconnue x ]

10 est solution car(10² + 10 - 110)² = 0

2.2/ Prouver que E n’a pas 3 solutions ou plus

Pour tout nombre x : si (x²+x-110)² = 0alors x²+x-110 = 0alors x est l’une des deux solutions, au plus, de l’équation du second degré

[w² + w - 110 = 0 ; inconnue w]

6/ Soit u une suite géométrique telle que

u(5) = u(7) fois 3. Trouver u(9)

Appelons sa raison q. L’hypothèse donne que q fois q = 1/3 car u(7) = u(5) fois q fois q.

Du coup,u(9) = u(7) fois q fois q = u(7) / 3

Equation de droite, j'y inclus la formule des tangentes classe de 1S2 (et 1ES3,4)

Le lycée spécifiquement fait un gros usage de la convention suivante:

<<La courbe d'équation [blabla]>>est une abréviation pour dire<<l'ensemble des points qui peuvent dire la phrase obtenue en remplaçant LA LETTRE x par "mon abscisse" et la lettre y par "mon ordonnée"dans blabla>>

Exemple: la courbe d'équation [x = 7] est l'ensemble de TOUS les points qui ont 7 comme abscisse.La courbe d'équation [x² + y² = 59] est le cercle de centre (0,0) et avec un rayon dont le carré est 59 (repère orthonormé + Pythagore)Le cercle trigonométrique par exemple est la courbe [x²+y² = 1]La diagonale du plan est la droite d'équation [ x = y ]; et cette droite est la courbe de la fonction identité

Théorèmes rappels de seconde:

<<verticale>> abrège parallèle à l’axe des ordonnées et <<horisontale>> abrège <<parallèle à l’axe des abscisses>>. C’est mieux de n’appliquer ces choses qu’en présence d’un repérage ORTHONORME du plan.

1/ pour tous nombres a,b la courbe d'équation [y=ax+b] est une droite de pente a

2/ Pour toute droite d, il existe des nombres a,b tels que: ou bien d est la droite [y =ax+b] (droite non verticale),ou bien d est la droite [x=a] (droite verticale)

3/ Pour tous nombres a,b,c, si (a,b) n'est pas le couple (0,0) alors la courbe [ax+by+c=0] est une droite, et si b n'est pas nul alors cette droite a une pente égale à (-a/b)

4/ Pour toute droite d, et pour tous points A,B qui sont sur d et qui n'ont pas la même abscisse: ( y(A)-y(B) ) / ( x(A) - x(B) ) = pente de d

5/ Soient A, B deux points différents: la droite[ ( x - x(A) ) fois (y(B) - y(A)) = ( x(B) - x(A) ) fois ( y- y(A))]est la droite (AB)

6/ Soit p un nombre et A un point. La droite qui passe par A et qui a p comme pente a comme équation [ (y - y(A)) = p ( x - x(A)) ]

7/ La tangente à la courbe de f au point (a,f(a)) est la droite d'équation

[ y - f(a) =

La fonction logarithme népérien (1S2)

Attention, hors-programme : paragraphe de 5mn en réponse à une question de quelques élèves désireux de savoir à quelles tendances abstraites ils seront confrontés en TS et ensuite.

On admet qu'il existe une fonction f dérivable sur ]0, + infini[ telle que pour tout x>0: f'(x) = 1/x. Soit f une telle fonction, qui de plus vérifie f(1) = 0

Théorème: pour tous nombres x,y>0: f(xy) = f(x) + f(y)

Preuve : soit a>0. Soit g la fonction x--> f(ax). Alors pour tout x>0, g'(x) = a fois f '(ax) = a /(ax) = 1/x.Donc pour tout x>0: g'(x) = f'(x). Donc g-f est constante. Il existe donc h telle quepour tout x,y>0: f(xy) = f(x) + h(y)Soit x>0. f(x)=f(1x) = f(1) + h(x) = 0+h(x) = h(x). Donc f=h.CQFD

ESPERANCE MATHEMATIQUE POUR LA 1ES4

On admet avoir vu ce qu’est un variable aléatoire. On suppose donné un univers probabilisé.

L’espérance d’une V.A. est la moyenne qu’on obtient en considérant que chaque issue est « comme une matière à l’école

<<E(toto)>> abrège <<espérance de toto>>

Soit X une V.A. alorsE(X) = somme des (P({i}) fois X(i)) quand i parcourt l’univers.

Remarque : comme la somme des poids vaut 1, il n’y a pas de division à faire.

Exemple, on lance un dé équilibré qui rapporte « chiffre sorti – 4 » euros. On vient IMPLICITEMENT de définir une V.A (je l’appelle Gertrude). Calculons son espéranceE(Gertrude) = 1/6 fois (1-4) + (1/6) fois (2-4) + (1/6) fois (3-4) +1/6 fois (4-4) + (1/6) fois (5-4) + (1/6) fois (6-4)

Faire 5 exercices du livre 2 sur la loi binomiale et 3 sur des calculs d’espérance attendus. Le document calculette est sur mathcommun, je remercie M.Tatry qui l’a écrit

FAQ (foire aux questions) en 1S2

1/ Convention : dans Bernoulli, le paramètre p est la probabilité de succès. Et c’est le contexte qui décide.

2/ pour tout x, |x| est le plus grand des nombres x ;(-x).

3/ Rappel (héritage) : quand un signe s’applique habituellement à des nombres et qu’il est utilisé appliqué à une fonction, une convention veut qu’il est composé à gauche avec cette fonction. Exemplef+g est la fonction x f(x) + g(x)|f| est la fonction x |f(x)|

4/ Si dans une expression, une partie n’est pas définie, l’expression tout entière n’est pas définieExemple avec f : x x² + 5/(x+1). Le calcul de f(5) ne pose pas de problème. Par contre f ne donne pas d’image à (-1)Attention : cette convention est, et c’est légitime, objet de POLEMIQUES scientifiques du fait qu’on a envie de considérer que [if 3+4 = 82 then 53/ 0 else 1+6] = 7 (plutôt que UNDEFINED)

5/ Rappel la consigne « étudier les variations de » abrège

<< 5.1/ Ensemble de définition (hors-programme, mis pour l’histoire)5.2/ Calcul de la dérivée5.3/ Etude du signe de la dérivée5.4/ Inférence from 5.3 des flèches de variation >>

Correction des exos de MC :a/ Etude des var de f : xx + (1/x)1/ Ens de def IR privé de {0}2/ Dérivée x 1-(1/x²) = (x²-1) / x² = (x-1)(x+1) / x²3/ Tab signes de LA DERIVEE

x -1 0 1x-1 - - - - - 0 +x+1 - 0 + + + + +x² + + + 0 + + +f’(x) + 0 - || - 0 +f SC SD || SD SC

SC :=strictement croissanteSD :=strictement décroissante

ISOLATION D’un principe de langage lycéen bien souvent mal compris et exceptionnel en ce sens qu’il viole une règle de langage mathématique en faisant jouer un rôle assymétrique aux lettres x,y

AU LYCEE , on utilise une convention pour décrire les ensembles de points du plan, qui est la suivante

A la place de l’ensemble des points qui peuvent dire <<blabla>>

On écrit l’ensemble d’équation [ phrase ] où phrase s’obtient en remplaçant «

Exemple : l’ensemble d’équation [x²+2y² = 15 ] est l’ensemble des points qui peuvent dire<< le carré de mon abscisse + 2 fois le carré de mon ordonnée est égale à 15>>

Ce principe de langage CONCERNE TOUTES LES CLASSES DE LYCEE où IL Y A UNE MATIERE APPELEE «

Séance en 1S2 du 09112017

Les parties plus démonstratives sont moins essentielles en 1ESDans les exemples, on abrège par X la fonction identité et les nombres désignent les fonctions contantes sous-jacentes.

Truc mnémotechnique pour ne pas avoir à apprendre par cœur les théorèmes permettant de calculer une dérivée.

ATTENTION   : ce n’est valide mathématiquement

On imagine un groupe de nombres (dits négligeables) tellement proches de 0 qu’on peut les voir, mais, on confond

systématiquement leur produit d’au moins 2 d’entre eux avec 0.

Dans ce cas, pour toutes les fonctions usuelles f dérivables en a, on a que pour tous ε qui est négligeable, f(a+ε) = f(a) + f ’(a) fois εA la demande d’OC, nous allons calculer la dérivée de f

On prend ε négligeable, puis on écrit(x+ε)² = x² + 2xε + ε² == x²+2xε+0

La dérivée de f est donc x

A la demande de CH nous allons calculer la dérivée de fx7x²+3x-2

f(x+ε) = 7(x+ε)² + 3(x+ε) – 2 =7x²+14xε+7ε² + 3x+3ε-27x²+3x-2 + 14xε+3ε+7ε² == f(x) +

La dérivée de f est x

A la demande de CH nous allons calculer la dérivée de f(x+ε)(x+ε)(x+ε) = xxx +3xxε + 3εεx + εεε

== x3+ 3x²ε + 0= x3+ 3x²ε

La dérivée de f est x

Dans les exemples, on abrège par X la fonction identité et les nombres désignent les fonctions contantes sous-jacentes.

Dans les exemples, on abrège par X la fonction identité et les nombres désignent les fonctions contantes sous-jacentes.

Dans les exemples, on abrège par X la fonction identité et les nombres désignent les fonctions constantes sous-jacentes.

Exemple : (X+3) (5) = 8(X²+5X-7) (10) = 143

Du coup, sans fautivité, on peut écrire(X² + 50X) ‘ = (X²)’ + (50X)’ = 2X + 50

[ (7X²+3) / (6+X) ] ‘ =( (14X)(6+X) – 1 fois (7X²+3) ) / (6+X)² = simplification souvent

ratée par lycéens

Dériver la fonction f := (7X²+9X + 78)f ‘ = 14X + 9

La dérivée de X107

107 fois X’ fois X107 fois 1 fois X106 =107 fois X

Dériver f : x(3ax + 5)² / (xPour tout w, f ‘ (w) =

6 a (3aw+5 )1 fois wa−a wa−1(3aw+5)²

(wa) ²

Dériver la fonctionX² + 3X + 5

(X²+3X+5)’ =(X²)’ + (3X)’ + (x2X + 3 (X’) + (x

2X + 3 + 0 = 2X+3

Exercices à faire en 1ES3

1/ Soit u une suite arithmétique de raison 41 telle queu(2) = 1001,Trouver u(1001)u(1001) = u(2) + 999 fois 41 = 1001 + 999 fois 41

2/ Soit u une suite arithmétique telle que u(5) = -10 et u(34) = 321. Quelle est sa raison ?u(34) = u(5) + 29 fois MYSTERE donc MYSTERE = (321 – (-10) ) / 29

3/ Soit u la suite telle que pour tout entieru(n+1) = u(n) + (3/(n+1)) et u(2) = 54, prouver que pour tout n : u(n) fois u(n) est différent de 2000

Séance de corrections d’exercices par les élèves eux-mêmes en 1ES3

EXO1 : u est une suite arithmétique de raison 17 telle que u(200) = 500, peut-on trouver u(3) ?u(3) = 500 – 17 fois 197 signé Soumayine !

EXO2 : u est une suite géométrique de raison 0.9 telle que u(200) = 500, peut-on trouver u(3) ?u(3) = 500 divisé par ( 0.9 ^ 197) Signé Ybericou(3) = 500 fois ( 0.9 ^ (-197)) Signé César

EXO3 : u est une suite arithmétique telle queu(1) + u(9) = 10 et u(3) – u(5) = 3. Peut-on déduire u(20) ?Anna n’a pas trouvé et la récompense était de 14 de moyenne de classe pour la 1ES3 si elle trouvait (pour la motiver).Appelons r la raison de u. L’hypothèse u(3) – (u(3)+2r) = 3,donc r=-1.5De plus u(1) + u(1) + 8r = 10 donc 2u(1) = 22 donc u(1) = 11Donc u(20) = u(1) + 19r = 11 + 19 fois (-1.5)

Cours en 1ES4

Attention, le théorème suivant est un théorème et non une définition. La définition a été vue en classe de seconde. Ce théorème

Théorème : soit u une suite numérique.Alors u est croissante ssi pour tout n : u(n+1) ≥ u(n)Alors u est décroissante ssi pour tout n : u(n) ≥ u(n+1)Alors u est strictement croissante ssi pour tout n : u(n+1) > u(n)Alors u est strictement décroissante ssi pour tout n : u(n) > u(n+1)

Exercice : soit u la suite telle que pour tout entier naturel n : u(n) = 1/(n+1) +5. Est-ce que u est l’un des 4 parmi

Exercices en seconde 20 12 2017

Résoudre w²+w+54 = 7²+7+54Pour tout w :w²+w+54 = 7²+7+54 SSI(w²+w+54) – (7²+7+54) = 0 SSI(w²-7²) + (w-7) + (54-54) = 0(w-7) fois (w+7) + (w-7) fois 1 = 0 SSI(w-7)(w+8)=0 SSIw-7= 0 ou w+8 = 0S = { -8 ; 7 }

7w-5 < w² + (7w-5)7w-5 < w² + (7w-5) SSI0 < (w² + (7w-5))-( 7w-5) SSI0 < w² SSI w non nul

Cours sur SUITES GEOMETRIQUES en 1ES3<<u est une suite géométrique de raison q>> est une abréviation de <<u est une suite et pour tout entier positif n

Attention, vous croyez déjà dur comme fer au théorème suivant :

Pour tout u,n,p,q : si u est une suite géométrique de raison q et n,p sont des entiers alors

Exercices en classe en 1ES31/ Soit u une suite géométrique de raison positive telle que u(5)+u(6) = 2 fois u(7) et u(5) > 7.

Peut-on en déduire qui est u(8) ?Personne ne semble motivé, à faire pendant mon absence

2/ Soit u une suite géométrique de raison 50 telle que u(22) = 80, trouver u(24).u(24) = u(22) fois 50 fois 50 = 80 fois 50 fois 50 = CE2 ou calculette

3/ Soit u une suite géométrique de raison 1/3 telle que u(5) = 7. Trouver u(3)u(5) = u(3) fois (1/3) fois (1/3) donc 7 = u(3) fois (1/3) fois (1/3) doncu(3) = 7 / [(1/3) ) fois (1/3)] = 7 fois 9 = 63

4/ Soit u une suite géométrique de raison 1 telle que u(1056) = 88. Trouver u(3)Bravo à Fernand, qui déclare que u(3) = 88

Correction de 3 exercices en seconde1/ prouver que pour tous nombres a,b,c,x: 4a(ax²+bx+c) = (2ax+b)² - (b²-4ac)Correction en mode 4ième:4a(ax²+bx+c) = 4a²x²+4abx+4ac(2ax+b)² - (b²-4ac) = 4a²x² + 2 fois 2ax fois b + b² - b² + 4ac = 4a²x²+4abx+4ac = 4a(ax²+bx+c)2/ Télécharger sur internet la courbe représentative de la fonction cosinus et faites-en le tableau de signes, ainsi que le tableau de variation sur l'intervalle [-5,5]

x -4.7 -1.6 1.6 4.7cos(x) + 0 - 0 + 0 - 0 +

x -pi 0 picos SD SC SD SC

SD := strictement décroissanceSC := strictement croissancepi = périmètre d’un cercle divisé par diamètre du même cercle3/ Dessiner un petit repère et une courbe de fonction f de votre choix, mais en faisant en sorte que 3 a 4 antécédents par f, 2 n'a pas d'antécédent par f et f atteint son minimum en -2

Séance de soutien pour quelques 1ES3 présents

Résoudre[x² > 9 ]Pour tout nombre xx² > 9 SSI x²-9 > 0 SSI x²-3²

SSI (x-3) (x+3) > 0SSI (x-3<0 et x+3<0 ) ou (x-3>0 et x+3>0 )SSI ( x < (-3) ) ou ( x > 3 )Ens des Sols = ]-infini ; -3[ union ] 3 ; +infini [

Rappel : a²-b² = (a-b)(a+b)(a+b)² = a²+b²+2ab(a-b)² = a²+b²-2ab

Résoudre 7x² + 10x +3 = 0 ; inconnue xDeltarobot S = {-1 ;-3/7}Résoudre 7x² - 10x - 3 > 0 ; inconnue xAu dixième près les solutions de 7x² - 10x - 3 = 0 sont 1.7 et -0.3

D’après le cours, pour tout x, le signe de 7x² - 10x – 3est le même que le signe de 7 SSI x n’est pas dans[-0.3 ; 1.7]S = ]-infini ; -0.3[ union ]1.7 ; + infini[

Rappel extrait du coursSoit f:x--->ax²+bx+c.Si u<v ou u=v et {u;v} est l'ensemble des solutions de l'équation [ax²+bx+c=0;inconnue x] alors pour tout nombre x pas dans [u,v], signe(f(x))=if x dans ]u,v[ then signe (-a) else signe(a)

x u vax²+bx+c Signe(a) Signe(-a) Signe(a)

Résoudre 2x²-5x+3 < 0Les solutions de 2x²-5x+3 = 0 étant* 1 et 1.5,il suit S = ]1 ; 1.5[*deltarobot

Résoudre x²+x+1 > 0

Equations, Inéquations, échanges avec un groupe de seconde

L’inconnue est x dans toute la suite.

Pour tout x, [(7x+3>3-x) = (7x+x> 3 - 3) = (8x>0) = (x>0)]L'ensemble des solutions est ]0, + l'infini [

Version scolaire:Pour tout x, [(7x+3>3-x) ssi (7x+x> 3 - 3) ssi (8x>0) ssi (x>0)]

Remarque: pour tout élève x présent actuellement en classe, prénom de x commence par "hoc" ssi nom de x commence par "bad"

Suite à une question de W, j'insiste donc que:

<<(8 fois (-2) > 0) ssi ((-2)>0)>> est VRAIE!<<William est jeune SSI Willam mesure 52m>> est FAUX !

Suite du cours de proba en 1S2Voici la triangle de Pascal

1 7 21 35 35 21 7 1

Le nombre qui se situe à la n+1 ième ligne et à la p+1 ième colonne s'appelle le coefficient binomialde manière moderne: (n

p)et à l'ancienne: Cn

p

Théorème: Cnpest le nombre de façons de faire une grille d'une ligne possédant n cases dans laquelle, on en a noirci p

Théorème évident : pour tous n,p, pour qui ça a du sens:

C'est ce théorème qui est à la base du dessin du triangle de Pascal.

<< schéma de Bernoulli>> abrège <<suite d'épreuves de Bernoulli toutes de même profil et indépendantes entre elles>><<épreuve de Bernoulli>> abrège <<expérience aléatoire à deux issues, dont l'une est appelée succès et l'autre échec>><<Variable aléatoire de Bernoulli>> abrège << nombre de succès dans un schéma de Bernoulli>>

Une variable aléatoire de Bernoulli a une loi qui s'appelle "loi binomiale"

Théorème:dans un schéma de Bernoulli où la probabilité de succès est p, où le nombre de répétition est n, la probabilité d'obtenir k succès exactement est:

(p à la puissance k) fois ((1-p) à la puissance (n-k)) FOIS

Dans les livres : Cnk× pk ×(1-p)(n-k)

Travail personnel à faire:5 études de fonctions, 5 exercices sur valeur absolue, 5 exercices sur la loi binomiale; 3 exercices secdeg, 5 exercices sur les suites pour le 11 décembre.

Cours de Intro aux outils stats et proba, partie combinatoire en 1ES

Ce triangle s’appelle « Triangle de Pascal »

Le nombre se situant à la ( n+1 ) ième ligne au rang (p+1) est le nombre de sous-ensembles de {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;…. ;n} dont le cardinal est p

Rappels : <<card(X)>> abrège <<nombre d’éléments qu’il y a dans X>><<A est un sous ensemble de B>> abrège <<tous les éléments de A sont dans B>>

Exemples : liste de sous-ensembles de {Adil ; Justine}{ } ; {Adil} ; {Justine} ; {Justine ; Adil}Il y en a 4. La notation officielle de { } est ∅card ( { } ) =  0 card ( {Adil} ) =  1 card ( {Justine} ) = 1 card ( {Justine ; Adil} ) = 2card ( {5 ;2 ;1 ;9 ;4 ;1 ;2 ;5 ;1 ;3+3 ;2+2} ) = 6{5 ;2 ;1 ;9 ;4 ;1 ;2 ;5 ;1 ;3+3 ;2+2} = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 }

Axiome d’extensionnalité

Une épreuve de Bernoulli est une expérience dans laquelle seuls un échec ou un succès sont possibles.

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter un certain nombre de fois une même épreuve de Bernoulli et compter le nombre de succès. Attention les tirages sont indépendants et les probas se multiplient.

Théorème : le proba d’obtenir k succès dans un schéma de Bernoulli de longueur n (c'est-à-dire n répétitions de l’expérience), dont la proba de succès est p est(p à la puissance k) fois ((1-p) à la puissance (n-k)) multiplié par le nombre de sous-ensembles de cardinal k qu’il y a dans un ensemble de n éléments

Pour information :l’espérance de la V.A binomiale de paramètre (n,p) est npsa variance est np(1-p)Exemple : on lance 5 fois de suite une pièce qui à chaque fois a une proba de tomber sur face égale à 0.4. On cherche la proba d’obtenir 3 face et 2 piles.FFFPP pèse 0.4 fois 0.4 fois 0.4 fois 0.6 fois 0.6FFPFP pèse 0.4 fois 0.4 fois 0.6 fois 0.4 fois 0.6FFPPF pèse 0.4 fois 0.4 fois 0.6 fois 0.6 fois 0.4FPFPF …………………FPFFP …………………FPPFF …………………PFFFP …………………PFFPF …………………PFPFF …………………PPFFF …………………

Au total, proba = 10 fois 0.43 fois 0.62

Vocabulaire : le coefficient binomial (np) est une abréviation le nombre de sous-ensembles de cardinal p qu’il y a dans un ensemble de n éléments

La variable aléatoire « nombre de succès » suit la loi dite loi binomiale de paramètre (nombre d’essais, probabilité de succès)

On peut taper sur la calculette au lycée pour l’obtenir, ou si les nombres sont assez petits et qu’on a oublié sa calculette, on peut faire un triangle de Pascal

Partie2 de l’AP du 20112017 réécrite mathématiquementSoit u la suite telle que pour tout entier naturel n :u(n) = (2n+3) / (n+1)

Soit v la suite telle que v(0) = 2 etpour tout entier naturel n : v(n+1) = 3v(n) – 1v(213+1) = 3v(213) – 1Ici, trouver v(259) est un peu plus dur car v(259) = 3v(258)-1. Du coup, il va falloir cherche v(258) qui vaut 3v(257)-1, etc, etc

Avec un ordinateur ça va vite carv(n) = let r=2 in begin for i = 1 to n do r :=3r-1 done ; r end