BONJOUR et BIENVENUE - LSMS | EPFL · ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Laboratoire de simulation en mécanique des solides - LSMS Mécanique des structures I Cours du 3

ÉC OLE POLY TEC H NIQU EFÉDÉRALE D E LAUSANNE

Laboratoire de simulation en mécaniquedes solides - LSMS

Mécanique des structures I

Cours du 3ème semestre bachelorDr E. Davalle

1

BONJOUR et BIENVENUE

Intervenants : Eric DAVALLE, Dr Ingénieur civil EPFL

Chef du Service de l’électricité de la Ville de Lausanne

avec les assistants du LSMS





2

Mardi 11,1 Sollicitations composées12.1 - 12.5 et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements

Jeudi 12.6 , 12.8 - 12.9 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements

Mardi 16.1 - 16.7 Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples

17.1 -17.5 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite

Jeudi 17.6 -17.10 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite

Mardi 20.1 - 20.3 Flambement des poutres

Jeudi 20.4 - 20.5 Flambement des poutres

Mardi 20,8 Flambement des poutres

Jeudi compléments / révisions

7

8

O d éfé Mé i d t t V l 2 F i FREY t Mé i d lid V l 3 MS (V3)

5

6

Programme des semaines 5 à 8





3

12. Principe des travaux virtuelsCalcul des déplacements





4

Structure faitede barres etde poutres

Mécanique desmilieux continues

Mécanique desstructures





5

Introduction : treillis et poutresLes treillis et poutres ont un caractère discret, soit un découpage naturel

en composants simples et en nombre fini d’inconnues

Cas d’un treillis :

identification des nœuds (1, 2, …) actions nodales (P1, …) déplacements nodaux (..u6 , v6..) effort normal dans barres (.., Ni, Nj, Nk,..)

P1 P2 P3

u6

v6

1

6

57

2

3

4

j h

gk

i





6

B’A’

Introduction : treillis et poutresLes treillis et poutres ont un caractère discret, soit un découpage naturel

en composants simples et en nombre fini d’inconnues

Cas d’une poutre :

actions nodales (P1, …) déplacements choisis (vA et θA..) efforts intérieurs (NA, MA, …)

P1 P2 P3

Le concept discret a été retenu dans la MEF

A BΩNA

MA

VA

NB

MBVB

Ω’

vA vBθA

θB

axe

cubique





7

Introduction : treillis et poutres

Les grandeurs statiques sont les efforts intérieurs.Par le principe d’équivalence, ils s’expriment sur l’axe

(efforts intérieurs)... ...( ... ) ...V L A L

dV dA dx dx= =∫ ∫ ∫ ∫





8

Introduction : treillis et poutres

Grandeurs statiques ASSOCIÉES Grandeurs cinématiquesEfforts intérieurs ↔ Déplacements Déformations

duN dudxdvV dvdx

T

ε

β

↔ =

↔ =

1 courbure

xx

dd

dxdM ddx

r

θθ χ

θθ ψ

ψ

↔ =

↔ =

=





9

Forme du travail virtuel intérieurImportance du lien TRAVAIL - mécanique du solide et

de son interprétation physiqueCas d’une poutre en flexion pure (sous M)

*int ij ij

VW dVδ ε δσ= ∫ xx σσεε ≡≡ , : avec *

intV

W dVδ ε δσ= ∫

yψε −= notation nouvelle la avecet ement Cinématiqu

[ ]*int ( ) ( )

L A L AW y dAdx y dA dxδ ψ δσ δσ ψ= − = −∫ ∫ ∫ ∫

δMzIndépendamment de toute loi constitutive

Fonction poids





10

Forme du travail virtuel intérieurImportance du lien TRAVAIL - mécanique du solide et

de son interprétation physiqueCas d’une poutre en flexion pure (sous M)

[ ]*int ( ) ( )

L A L AW y dAdx y dA dxδ ψ δσ δσ ψ= − = −∫ ∫ ∫ ∫

*int

L LW M dx M dδ δ ψ δ θ= =∫ ∫





11

Forme intégrale de l’équilibre - Principe des déplacements virtuels

int( )d W N d u V d v M dδ δ δ δθ= + +

dxδβ=

dxδψ=dxδε=

int ( )L

W N V M dxδ δε δβ δψ= + +∫

Travail virtuel intérieur :





12

Forme intégrale de l’équilibre - Principe des déplacements virtuels

dxδβ=

dxδψ=dxδε=

ext F RW F u R uδ δ δ= +∑ ∑

Travail virtuel extérieur

F pour toutes les charges extérieuresR pour toutes les réactions d’appui extériorisées

Éventuelstassements d’appui





13

Forme intégrale de la cinématique - Principe des forces virtuelles

dxε=

dxβ=

dxψ=

*int

*int

( )

( )L

d W N du Vdv Md

W N V M dx

δ δ δ δ θ

δ δ ε δ β δ ψ

= + +

= + +∫Travail virtuel intérieur :

Travail virtuel extérieur : ext*

F RW F u Ruδ δ δ= +∑ ∑





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Formes intégrales - Résumé

( ) F RL

N V M dx F u Ruδ ε δ β δ ψ δ δ+ + = +∑ ∑∫

( ) F RL

N V M dx F u R uδε δβ δψ δ δ+ + = +∑ ∑∫Déplacements virtuels (forme intégrale de l’équilibre statique)

Forces virtuelles(*) (forme intégrale de la compatibilité cinématique)

Ne pas aussi oublier que : les formes intégrales sont valables pour toutes poutres droites ou courbes (dx et ds) ces expressions sont indépendantes de tout type de lois constitutives ces expressions ne sont pas une conséquence du principe de superposition !

exprime l’équilibre statique et s’applique pour déterminer le jeu des forces

exprime la compatibilité géométrique et s’applique pour calculer des déplacements





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Formes intégrales - Exemples

ext qL

W q v dxδ δ= ∫

Application aux treillis :

Charge uniforme :barres

intW N uδ δ= ∑barres

*int ( )δ δ= ∑W N u

dx

δvq

q dx q





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Tassementd’appui

Matériaulinéaire ounon linéaire

Échauffement

Théorème de la force unité

Vent

Application d’une force concentréeunique et unitaire (δFA= 1 )

δN, δV, δM

δR

δFA

A A( )δ ε δ β δ ψ δ δ+ + = +∑ ∑∫ RL

N V M dx F u Ru

Principe de Forces virtuelles (forme intégrale de la compatibilité cinématique)

Que vaut uAen A selon ΔA ?





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Tassementd’appui

Échauffement


Vent

N1, V1, M1

R1

A 1 1 1 1poutres

1 ( ) Ru N V M dx R uε β ψ= + + −∑∫

État statique virtuel :

Travail extérieurde la force unité

δFA=1

Application d’une force concentréeunique et unité (δFA= 1 )

Matériaulinéaire ounon linéaire





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A 1 1 1 1poutres

selon A)1 ( ( )ε β ψ∆ = + + −∑∫ Ru N V M dx R u

Théorème de la force unité : le déplacement d’un point d’une structure,dans une direction donnée, s’obtient en calculant, sous l’action appliquéedans la direction donnée d’une force virtuelle associée, le travail virtuel

complémentaire interne de la structure, moins celui des réactions d’appui





19


poutresRA dx uu ε β ψ= + + −∑∫ 1 1 1 11 ( )N V M R

État statique virtuel

1, N1, V1, M1 et R1 sont les poidset sont des valeurs connues ou dumoins calculables

État cinématique réel

ε, β, ψ connus par les efforts intérieurs réelsuR ordinairement connusuA est l’inconnue

Par une seule condition (équilibre de l’état virtuel), ce théorème est d’un intérêt exceptionnel pour le calcul des déplacements en un point choisi d’une structure

en barres ou poutres





20


poutresRA dx uu ε β ψ= + + −∑∫ 1 1 1 11 ( )N V M R

Cas d’une variation uniforme de température :

th 0du dx T dxε α= =

A 1 01L

u N T dxα= ∫ε





21


A 1 1 1 1poutres

1 ( ) Ru N V M dx R uε β ψ= + + −∑∫

Dans le cas où le matériau accepte la loi de Hooke (élastique et linéaire)

Cas plan : N V ME A G B E I

ε β ψ= = =

Cas spatial :

y zy z

y z

y zy z

y z

V VNE A G B G B

M MTG J E I E I

ε β β

χ ψ ψ

= = =

= = =





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Calcul de déplacements particuliers

A 1 1 1 11 RL L L

N dx V dx M dxu N V M R uE A G B E I

= + + −∑∫ ∫ ∫

On n’oublie pas que l’on a des grandeurs statiques virtuelles et des grandeurs cinématiques réelles

Établir lesdiagrammesM, V, N





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Cas d’une variation linéaire de température :

A 1 1 1 11 RL L L


= + + −∑∫ ∫ ∫Établir lesdiagrammesM, V, N

th 0du dx T dxT dxdh

ε αα ∆θ

= =

= −

A 1 0 11 ( )L L

Tu N T dx M dxh∆α α= + −∫ ∫

0

avec :

sup inf inf supsup inf

y T y TT et T T T

h−

= ∆ = −


Dilatationthermique

courburethermique

même principe pour le calcul du retrait du béton





24

A 1 1 1 11 RL L L




1A 1 0 11 R

b b r

N NLu N T L R uEA

α= + −∑ ∑ ∑

Cas des treillis :





25

Cas des treillis :

A 1 1 1 11 RL L L




1A 1 0 11 R

b b r

N NLu N T L R uEA

α= + −∑ ∑ ∑

N° barres L (m) N1 N L/EA P1 αT0L P212345

Σ1 = Σ2 = Σtotale =





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Pour quel déplacement ?

(a) : connaître la variation de distance entre deux points A et B

(b) : connaître la rotation dans un angle de structure

(c) : connaître la rotation relative dans une section de poutre

(d) : connaître la rotation en bloc d’une barre de treillis





27

Calcul pratique des déplacements

a) Hypothèses simplificatrices Dans les poutres, on peut négliger les déformations dues à N et V On ne peut pas le faire pour les exceptions suivantes:

Poutres à âme mince de h/L "grand" (attention à V) Arcs surbaissés (attention à N) Cadres avec cellules triangulaires (attention à N)

Dans les systèmes de barres, on ne peut pas négliger N ! (tirants, …)

b) Problèmes de signe ? Seul compte les signes relatifs entre efforts (M et M1, …) Il est donc utile d’avoir une convention de signe aux efforts intérieurs

c) Calcul des intégrales ? Cas de M : Si EI est constant, on peut utiliser une table (page 398, V2)

Si EI n’est pas constant (inertie variable), on fera un intégration numérique!

0

L M m dx∫





28

Calcul pratique des déplacements





29

Calcul pratique des déplacements : exemple 1

2 4

10

1 1 114 2 8

( )( )( )( )= = =∫L

vqL qLv M M dx L L

E I E I E I

* =





30

Calcul pratique des déplacements : exemple 2

4 3 3224

( )qv x x L xLEI

= − +

a) Déjà fait au chapitre 10, équation (10.10),on avait calculé la déformée par dérivation:

M1(x)

1x

10

2

2 2 2

4 3 3

11

1 113 8

124

224

( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

Lvv M M dx

E I

x L x q L x L xv LE I L L

qv xL L x x L xEIqv x x x L xLEI

=

− −= +

= − + −

= − +

∫b) Avec le théorème de la force unité:

* =

qL2/8

1( ) ( )xM x L xL

= −





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Cas des structures hyperstatiques1

On a une structure hyperstatique, dont onconnaît la cinématique réelle, et onaimerait connaître la rotation θ en A

A A

On imagine une structure, dont onconnaît la statique virtuelle, et onaimerait connaître M1, N1, V1, R1 et 1qui soient en équilibre

En fait, on peut faire agir notre force unité 1 dans n’importe quelle structure isostatique déduite de la structure hyperstatique par coupures simples ! Cela réduit considérablement les calculs.

?

qθ ?





32

qθ ?

Cas des structures hyperstatiques

1A A

Structure hyperstatique Structure "rendue" isostatique

Ici, M est réel Ici, M10 est virtuel

A 10poutres

11 M M dxE I

θ = ∫

Premier théorème de réduction

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