Boules dans un espace vectoriel normé

8/10/2019 Boules dans un espace vectoriel norm

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CPGE Lissane eddine Filire MP Laayoune

COMPOSITION DE MATHMATIQUES

Dure 4h

Lutilisation des calculatrices nest pas autorise pour cette preuve.

On attachera la plus grande importance la clart, la prcision et la concision de la

rdaction.

Dfinitions et notations

Dans tout le problme, K = R ou C etE, F deux K-espaces vectoriels norms non nuls.On dit queEest une algbre norme siEest un espace vectoriel norm et x, y E, xy xy.Pour x E etr 0, on note respectivementB(x, r), Bf(x, r) (ouB(0, r)) etS(x, r) la boule ouverte, la boule

fermes et la sphre de centrex et de rayonr. Losquil y a plusieurs normes surE, on noteraBN(x, r), BN(x, r)etSN(x, r)pour dsigner, respectivement, la boule ouverte, la boule fermes et la sphre de centrex et de rayonr parrapport la normeN.La boule ferme Bf(0, 1)(ou encore B(0, 1)) sappelle la boule unit ferme.

Pour toutA E. On dsigne par A,AetArespectivement ladhrence, lintrieur et la frontire deA.SoientA E, B F etf : A B. On dit que f est un homomorphisme si f est bijective et f etf1 sontcontinues. Dans ce cas, on dit queAetB sont homomorphes.Le but de ce problme est ltude de divers proprits des boules dans un espace vectoriel norm. Il se compose de

quatre parties qui peuvent tre traites indpendamment :

La premire partie concerne les oprations sur les boules dun espace vectoriel norm.

Dans la deuxime partie on tudie quelques proprits topologiques des boules dun espace vectoriel norm.

Dans la troisime partie, on va dmontrer une caractrisation topologique des espaces vectoriels norms de

dimension finie donne par le thorme de Riez : " Un espace vectoriel norm est de dimension finie si estseulement si la boule unit ferme est compacte".

On montre, dans la quatrime partie, que toute partie deEconvexe, compact qui contient 0 dans son intrieurest homomorphe la boule unit ferme de E. Si on suppose, en plus, quelle est symtrique par rapport 0,alors elle reprsente la boule unit ferme dune norme sur E.

Premire partie

I : Oprations sur les boules :

1:1 - a: Montrer que x E, r >0, K, B(x, r) =B(x, ||r).1 - b: Montrer que x E, r 0, K, Bf(x, r) =Bf(x, ||r).2:2 - a: Montrer que x E, r >0, B(x, r) =x + B(0, r) =x + rB(0, 1).

2 - b: Montrer que x E, r 0, Bf(x, r) =x + Bf(0, r) =x + rBf(0, 1).

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3:3 - a: Montrer que r, r >0, B(0, r+ r) =rB(0, 1) + rB(0, 1).3 - b: Montrer que r, r 0, Bf(0, r+ r) =rBf(0, 1) + rBf(0, 1).3 - c: Montrer que x, y E, r, r >0, B(x + y, r+ r) =B(x, r) + B(y, r).3 - d: Montrer que x, y E, r, r 0, Bf(x + y, r+ r) =Bf(x, r) + Bf(y, r).4: On considre lespace produitE Fmuni de la norme produit.

4 - a: Montrer que (x, y) E F, r >0, B((x, y), r) =B(x, r) B(y, r).4 - b: En dduire que siUest un ouvert deEet Vouvert deFalorsU Vest un ouvert deE F.4 - c: Montrer que (x, y) E F, r 0, Bf((x, y), r) =Bf(x, r) Bf(y, r).5: On suppose queEest une algbre norme non nulle de neutre e.5 - a: Montrer quee= 0et e 1.

5 - b: Montrer que r, r >0, B

0, rr

e

B(0, r)B(0, r) B(0, rr).

5 - c: Montrer que r 0, Bf

0, rr

e

Bf(0, r)Bf(0, r

) Bf(0, rr).

5 - d: Que dire lorsque e= 1.

5 - e: Montrer que linclusion r, r >0, B

0, rr

e B(0, r)B(0, r)peut tre stricte si e> 1.

5 - f: Montrer que x, y E, r, r

>0, B(xy, rr

e) B(x, r)B(y, r

).5 - g: En dduire que siU etVsont deux ouverts deEalorsU Vest un ouvert deE.5 - h: Montrer que x, y E, r, r 0, Bf(xy, rr

e) Bf(x, r)Bf(y, r).

6:6 - a: Montrer que x, y E, r, r >0, B(x, r) B(y, r) x y r r.6 - b: Montrer que x, y E, r, r 0, Bf(x, r) Bf(y, r) x y r r.6 - c: Soit(Bf(an, rn))nNune suite dcroissante (i.e n N, Bf(an+1, rn+1) Bf(an, rn)) de boules fermes.6 - c - 1: Montrer que la srie

(an+1 an)est absolument convergente.

6 - c - 2: On suppose queEest Banach. Montrer que la srienN

Bf(an, rn)=.

7: SoitAun ensemble non vide deE.

7 - a: Montrer que r >0, {x E/d(x, A)< r}= A + B(0, r).7 - b: Montrer que r 0, {x E/d(x, A) r}= A + Bf(0, r). Que dire lorsquer = 0 ?

Deuxime partie

II : Boule unit ferme et topologie

1:1 - a: Montrer que les boules ouvertes deEsont des ouverts de E.1 - b: Montrer que tout ouvert deEest union de boules ouvertes de E.2: Montrer que les boules fermes et les sphres deEsont des ferms deE.

3: Soitx Eet r >0.3 - a: Montrer que B(x, r) =Bf(x, r).

3 - b: Montrer que

Bf(x, r) =B(x, r).

3 - c: Montrer que

S(x, r) =.3 - d: En dduire queBf(x, r) =B(x, r) =S(x, r) =S(x, r).4: Montrer que :

x, y E, , >0, B(x, ) =B(y, ) Bf(x, ) =Bf(y, ) S(x, ) =S(y, ) x= y et =

5: Soitr >0. Montrer queEet B(0, r)sont homomorphes (Indication : Considrer lapplication f :E B(0, r)

dfinie parf(x) = rx1+x ).

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6: On suppose que2 dim E +. Soienta Eet r 0.6 - a: Montrer queS(0, 1) est connexe par arcs (Indication : Pour x, y S(0, 1), distinguer les cas x = y etx=y).6 - b: En dduire que le complmentaire de la boule Bf(a, r)est connexe par arcs (Considrer lapplication :

f : E R E(x, r) a + rx

o lespaceE R est muni de la norme produit).

7: Soientr >0 et x, y Etels quex< r


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5 - d: En dduire queEest de dimension finie.

6: Soitf L(E)tel quef

B(0, 1)

est compacte (On dit que fest un oprateur compact).

On suppose quefadmet une valeur propre non nulle .6 - a: Montrer que lespace propreE(f)defassoci la valeur propre est ferm dansE.

6 - b: Montrer que B(0, 1) E(f) 1fB(0, 1).6 - c: En dduire queE(f)est de dimension finie.

Quatrime partie

IV : Jauge dun convexe :

On suppose que Eest de dimension finie. On veut montrer dans cette partie que toute partie Bde Econvexe, compactet tel que 0 appartient lintrieur deB est homomorphe la boule unit ferme de E.On va montrer en suite que siB est symtrique par rapport 0 (i.ex B, x B ) alors il existe une norme NsurEpour laquelleB est la boule unit ferme (i.eB = BN(0, 1)).1: Montrer que Bf(0, 1)est convexe, compact et tel que 0 appartient lintrieur de Bf(0, 1).2: Rciproquement, soitB Econvexe, compact et 0 appartient lintrieur de B. On pose :

x E, (x) = inf{t 0/x tB}

2 - a: Montrer que x E, (x)est bien dfini. La fonctionsappelle la jauge du convexe B.2 - b:2 - b - 1: Montrer que(0) = 0.2 - b - 2: Montrer que x E, >0, (x) =(x).2 - b - 3: Montrer que u, v >0, uB+ vB = (u + v)B. En dduire que x, y E, (x + y) (x) + (y).2 - b - 4: Montrer que x E, (x) = 0 x = 0.2 - c:

2 - c - 1: Montrer que >0, B(0, ) B . En dduire que x E, (x) 1x.2 - c - 2: Montrer que x, y E, |(x) (y)| 1

x y.

2 - c - 3: En dduire queest continue surE.2 - d: Soitf :E Edfinie par :

f(x) =

0 six= 0(x)x x six= 0

2 - d - 1: Montrer quefest continue surE.2 - d - 2: Montrer quefest injective surE.2 - d - 3: Montrer quefest surjective surE.2 - d - 4: Montrer quefest un homomorphisme surE.

2 - d - 5: En dduire queB et B(0, 1)sont homomorphes.3: On suppose maintenant queB est, en plus, symtrique par rapport 0 (i.e x B, x B).3 - a: Montrer queest une norme surE.3 - b: Montrer queB est la boule unit ferm deEmuni de la norme.

F in


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