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MPSI C2 Analyser, exprimenter et modliser les systmes linaires continus invariants

TD5 CHAP 4 : REPONSES TEMPORELLES

EXERCICE N1 ASSERVISSEMENT DE VITESSE DUNE CAMERA SPEEDCAM

Ltude porte sur la camra de poursuite SPEEDCAM utilise lors des vnements sportifs pour filmer le sprint final des athltes en tte de la course. La camra est fixe sur un chariot se dplaant sur un rail. Ce rail est le plus petit au monde permettant datteindre des vitesses suprieures 15 m.s-1. Un capteur optique permet de mesurer la position de la camra par rapport au coureur. Un calculateur dtermine la consigne de vitesse ncessaire pour suivre le coureur, transmise sous forme de tension de commande lasservissement du chariot. Le chariot est asservi en vitesse comme le montre le schma fonctionnel ci-dessous. Il doit satisfaire aux performances suivantes :

Exigences Critres Niveaux

Le SpeedCam doit tre stable dpassement aucun

Le SpeedCam doit tre rapide Vitesse maximale Temps de rponse

>15m.s-1

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On choisit un modle simple du premier ordre pour identifier le comportement du chariot, soit

( )1

KB p

p

o K et sont dterminer laide la courbe.

Q1 Identifier le choix dun modle du 1er ordre Q2 Dterminer laide de la courbe la valeur de K

Q3 Dterminer par 3 mthodes la valeur de . A partir des 3 valeurs obtenues proposez une valeur de pertinente.

Etude des performances du systme en boucle ferme On cherche maintenant caractriser les performances du systme asservi, cest--dire la stabilit, rapidit

et prcision, pour un correcteur proportionnel ( ) PC p K rglable. On supposera 11.PK s

dans un

premier temps. Q4 Reprsenter le schma-blocs complet de lasservissement du chariot.

Q5 Calculer la fonction de transfert en boucle ferme

BF

c

V pH p

V p du chariot asservi. Quel est son ordre ?

Le systme est-il stable ?

Q6 En appliquant le thorme de la valeur finale, dterminer la valeur de convergence lim ( )t

v t

pour une

entre de type chelon pour t > 0. Conclure si le systme est prcis. Q7 Dterminer le temps de rponse 5% du systme. Le systme est-il suffisamment rapide ? Comment

modifier PK pour amliorer la rapidit du systme ? Quelle en sera la consquence sur la prcision ?

+ -

Vitesse du chariot motoris v(t) en m.s-1

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EXERCICE N2 EXERCICE DE COURS

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EXERCICE N3 AMORTISSEUR MECANIQUE

Lobjectif de ltude est de dterminer les caractristiques dun systme partir de ltude dun rsultat exprimental

Un dispositif mcanique ci-dessous est constitu dune masse (3), situe entre un amortisseur de tige (4) et de corps (5) reli en O1 au bti et un lment lastique (2).

Le dplacement du point A est impos et not Xe(t). On veut caractriser le comportement de cet ensemble au travers de la relation entre lentre Xe(t) et la sortie Xs(t), dplacement de la masse (3). Les lments de cette chane ont les caractristiques suivantes :

- Le ressort (2) a une raideur k telle que laction de (2) sur (3) : R(23) = k (Xe(t)-Xs(t))

- Lamortisseur [4+5] a un coefficient damortissement fluide tel que R(45) = .dXs(t)/dt

- Le PFD appliqu la masse (3) donne : R(23) - R(45)=M3. dXs(t)/dt

1. Montrer que le comportement de cette chaine est reprsent par une quation diffrentielle du second ordre.

2. Mettre la transforme de Laplace de lquation diffrentielle prcdente sous la forme dune fonction de transfert

dun systme du seconde ordre :( )

( )( )

Xs pH p

Xe p . Dterminer les expressions du coefficient damortissement z et

la pulsation propre 0 en fonction des caractristiques de la chane.

3. Un dplacement Xe(t) du type chelon damplitude 10

mm provoque un dplacement Xs(t) de la masse

reprsent sur le document rponse ci-contre. Dterminer

graphiquement la valeur du gain K.

4. Dterminer la valeur du coefficient damortissement

partir du deuxime abaque du cours

5. Dterminer la valeur 0 laide du premier abaque du

cours.

6. La masse en mouvement est de 0,5 kg. Dduire de ce

qui prcde les valeurs numriques de et k qui

conviennent au modle initial.

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EXERCICE N4 ASSERVISSEMENT DUNE UNITE DENTAIRE

(Inspir de sujet de concours)

Le support de ltude est une unit dentaire donne un extrait partiel du diagramme des exigences de son modle ainsi quune description structurelle du systme. Cet quipement a t conu et ralis dans le but dune adaptabilit maximale aux diffrentes mthodes de travail des chirurgiens-dentistes. Le chirurgien-dentiste possde une pdale et un pupitre de commande qui lui permet de montrer ou descendre verticalement le corps du patient, de l'incliner plus ou moins, et de positionner sa tte. Grce cela, le patient peut prendre une position spatiale pertinente pour que le chirurgien puisse raliser tous les actes mdicaux.

Lobjectif de ltude est de vrifier le critre de lexigence 1.4.1 concernant le temps de rponse du systme permettant de mettre en position verticale le patient Pour rgler le patient en position verticale, le chirurgien-dentiste appuie sur une pdale, plus ou moins fort. Un moteur lectrique se met en route, sa vitesse de rotation dpendant de l'appuie plus ou moins profond du chirurgien-dentiste sur la pdale. La vitesse de rotation du moteur est rduite par un rducteur engrenages. En sortie du rducteur engrenages se trouve une vis, dont la rotation v (p) entrane, par un systme vis crou, la translation du sige en hauteur. L'ensemble peut se reprsenter par le schma bloc suivant (le composant de fonction de transfert C(p) est un correcteur) :

Q.1. Donner le nom des composants qui correspondant aux fonctions de transfert H(p) et G(p).

Q.2. Dterminer la fonction de transfert en boucle ferme du systme :

v

c

p

p

Q.3. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera galement suppos dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces quations dans le domaine de Laplace. Q.4. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m (p) et U(p) peut s'crire sous la forme :

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2

0 0

2 11

m p K

zU pp p

o K, z et o sont trois constantes dterminer.

Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numrique des grandeurs physiques permet de trouver la fonction

suivante :

1v T

c T

p K

p T p

avec KT=0,9 et TT=0,1s.

Q.5. Tracer lallure de v(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un chelon de rotation c(t)=c0.u(t). Faire apparatre les grandeurs remarquables du trac. Q.6. Dterminer le temps de rponse 5% du systme et effectuer lapplication numrique. Conclure vis--vis du cahier des charges.

Le patient, initialement immobile, bouge verticalement selon le dplacement x(t) tel que : ( )

. ( )v vdx t

a tdt

avec

a=constante qui reprsente le pas rduit de la vis. Q.7. Dterminer la transforme de Laplace Xv(p) de xv(t).

Q.8. Dterminer

v

c

X p

p. Tracer lallure de xv(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un chelon de rotation

c(t)=c0.u(t). Faire apparatre les grandeurs remarquables du trac. Si on utilise un correcteur proportionnel, driv et intgral, l'application numrique des grandeurs physiques permet de

trouver la fonction suivante :

1

1 2

v

c

p

p p p

Q.9. Tracer lallure v(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un chelon de rotation c(t)=c0.u(t). Q.10. Dterminer si le temps de rponse 5 % est plus faible ou plus grand que dans le cas prcdent. Conclure vis--vis du cahier de charges.

EXERCICE N5 ROBOT PREHENSEUR DE PIECES

(Inspir de sujet de concours)

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Lobjectif de ltude est de vrifier le critre de lexigence 1.2.1 concernant le temps de rponse du robot On donne le modle de comportement de l'asservissement de position angulaire de laxe du bras tudi sous la forme du schma bloc qui suit (l'angle rel du bras est b(t), l'angle de consigne est c(t)).

Q.1. Dterminer le lien entre K 1 et K 7 pour que b(p) soit asservi sur c(p).

Q.3. Tracer lallure de M (t) lorsque lorsque uM(t) est un chelon de tension d'amplitude U0. Prciser la valeur de M(t) l'origine, la pente de la tangente l'origine de M(t) et la valeur finale atteinte par M(t) quand t tend vers linfini. Q.4. Dterminer la fonction de transfert H 4 (p).

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EXERCICE N6 RADAR DAVION

Le support d'tude est un radar d'avion dont on donne une description structurelle ainsi quun extrait de cahier des charges fonctionnel. Ce systme permet notamment au pilote de dtecter des engins extrieurs (avions, hlicoptres, bateaux, ...) et de connatre leur position. L'objectif de cette tude est de vrifier si lasservissement propos ici en phase de conception est compatible aux performances attendues par le client.

Lobjectif de ltude est de vrifier le critre de lexigence concernant le temps de rponse du radar La solution propose est un asservissement de position angulaire du radar : l'angle souhait est c(t), l'angle rel du radar est r(t). La diffrence des deux angles est transforme en une tension u m (t), selon la loi um(t)=A.(c(t)r(t)). La tension

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um(t) engendre, via un moteur de fonction de transfert H m (t), une vitesse angulaire m(t). Cette vitesse angulaire est rduite grce un rducteur de vitesse, selon la relation r(t)=B.m(t) (B

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Q.7. Dterminer le temps de rponse 5%. Conclure quant la capacit du systme propos par le bureau dtude vrifier le critre de rapidit du cahier des charges.

EXERCICE N7 ETUDE DUNE ANTENNE PARABOLIQUE

La rception de chanes de tlvision par satellite ncessite un rcepteur / dcodeur et une antenne parabolique. Pour augmenter le nombre de chanes reues, lantenne doit pouvoir sorienter vers un plusieurs satellites diffrents. Le satellite choisi dpend de la chane demande. Tous les satellites de radiodiffusion sont situs sur lorbite gostationnaire 36000 km au-dessus de lquateur. Le rglage de l'orientation l'antenne ne ncessite donc qu'une seule rotation, autour d'un axe appel axe d'azimut. On donne une description structurelle du systme ainsi quun extrait partiel de cahier des charges fonctionnel.

Lobjectif de ltude est de dterminer le rglage de lamplificateur programmer dans la carte de commande de la parabole afin de respecter le critre de rapidit du cahier des charges

L'axe d'orientation d'azimut utilise un dispositif de rduction de vitesse (engrenages et roue et vis sans fin). Si on note a(t) la vitesse de rotation de l'axe d'orientation et m(t) la vitesse de rotation du moteur, on a la relation suivante :

( ) 1 1

( ) 23328

a

m

t

t N

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Le modle de connaissance du moteur courant continu est le suivant :

Q.1. Exprimer ces quations dans le domaine de Laplace. Toutes les conditions initiales seront nulles, et considres comme telles dans la suite de l'exercice. Q.2. Raliser le schma-bloc du moteur.

Q.3. Dterminer la fonction de transfert ( )

( )( )

m

m

pH p

U p

. Montrer que H(p) peut se mettre sous la forme canonique :

2 2

0 0

( )2 1

1

KH p

zp p

Dterminer les valeurs littrales K, z et 0 en fonction des constantes fournies.

On note mem

L

Rla constance de temps lectrique du moteur, et m mm

e m

R J

K K la constance de temps mcanique du

moteur. On suppose que le temps d'tablissement du courant est bien infrieur au temps de mise en mouvement de

toute la mcanique, ce qui revient dire que e m.

Q.4. Montrer alors que la fonction de transfert du moteur peut scrire ( )(1 )(1 )e m

KH p

p p

On soumet le moteur un chelon de tension d'amplitude U0 : um (t)=U0.u(t). Q.5. Justifier que la fonction m(t) aura une tangente l'origine horizontale.

Par la suite on ne considre que le ple dominant et on approxime la fonction H(p) par (1 )m

K

p

Q.6. Tracer lallure de m(t) en faisant apparatre les grandeurs caractristiques de la rponse temporelle. Donner

l'expression analytique de m(t), en fonction de K, m et U0.

On donne m = 0,012 s et K = 45rad.s1 .V1 . La tension nominale d'utilisation est U0 = 18V. Q.7. Montrer que le moteur n'excde pas sa valeur limite de rotation, qui est de 8000 tr/min. La chane d'asservissement complte est donne sur le schma bloc suivant (ac est l'angle consigne que l'on souhaite faire

prendre l'antenne ; a langle rel de l'antenne, dfini par ( ) ( )a ad

t tdt

; Ka est un gain constant).

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Q.8. Dterminer les fonctions de transfert de G(p) et M(p).

Q.9. Dterminer la fonction de transfert boucle ferme ( )

( )

a

ac

p

p

montrer que c'est une fonction du 2 me ordre et dterminer

l'expression littrale de son gain KT, de son coefficient d'amortissement zT et de sa pulsation propre non amortie 0T. Q.10. Conclure en dterminer le gain de lamplificateur Ka programmer pour que le systme puisse satisfaire le critre de rapidit du cahier des charges.