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Cycle 2 Chap 2 : Modélisation des SLCI Page 1 sur 11

MPSI C2 Analyser, expérimenter et modéliser les systèmes linéaires continus

invariants COURS CHAPITRE 2 : MODELISATION DES SLCI

Références du programme : Modéliser B2 Proposer un modèle de connaissance et de comportement Systèmes Linéaires continus et invariants Signaux canoniques d’entrée Schéma-bloc Exemple d’étude : On considère une gouverne de profondeur d'avion. Comme son nom l'indique, le mouvement de cette gouverne permet de faire monter au descendre l'appareil. Le pilote par une action d'avant en arrière sur son manche à balai commande la gouverne qui à son tour oriente l'ensemble de l'avion. On cherche dans cet exemple à mettre en relation l'angle de rotation de la gouverne et la position du manche à balai. L’objectif de l’étude est de prévoir le comportement de la gouverne connaissant la façon dont le pilote agit sur le joystick de commande. Les signaux mis en jeux dans cette chaîne d'action peuvent être représentés sous

forme de schéma bloc :

Les trois organes principaux de ce dispositif sont :

Une servovalve : organe permettant de délivrer un débit d'huile image de la tension de commande qui lui est appliquée

Un vérin à double tige

Un transformateur de mouvement qui transforme le mouvement de translation du vérin en mouvement de rotation de la gouverne. Ici il s'agit d'une cinématique de principe, les cinématiques réelles étant bien plus complexes.

Un capteur angulaire qui informe sur l’angle réel de la gouverne

Frontière de l'étude

Mise en forme du

signal

Avion Gouverne + système de commande u(t) (t)

Position angulaire du

manche à balai

Tension image de la position

du manche

Position angulaire de la gouverne

Mouvement de l'avion

Vérin hydraulique équipé de sa servovalve

u(t)

servovalve Vérin hydraulique

Gouverne de profondeur

Dispositif de commande


Le schéma fonctionnel de la gouverne et du système de commande :

1 HYPOTHESES DE MODELISATION DES SLCI 1.1. Le système Le système est représenté par un schéma-bloc fonctionnel contenant le nom du système.

Les entrées (causes) sont situées à gauche et les sorties (effets) à droite. Il est caractérisé par une fonction mathématique en entrée e(t) et en sortie s(t).

1.2. Système linéaire

Un système est dit linéaire si la fonction qui décrit son comportement est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors le principe de proportionnalité et de superposition.

Si le système est linéaire on obtient, en traçant la réponse s(t) en fonction de e(t) (pour un instant donné ou en régime permanent), la caractéristique du système égale à une droite de pente K (gain du système).

Attention à ne pas confondre la caractéristique sortie fonction de l’entrée avec la courbe sortie fonction du temps qui, elle, est très souvent non-linéaire.

Angle d’inclinaison de la gouverne

- +

Position du manche

servovalve vérin Transformateur de mouvement

Capteur

Ecart

(t)

u(t) Mise en forme

du signal


En réalité aucun système n’est parfaitement linéaire. La caractéristique entrée sortie comporte toujours plus ou moins des non linéarités, notamment aux faibles amplitudes (seuils) ou aux fortes amplitudes (saturation, courbure). Le système est dit non linéaire.

Dans la pratique pour étudier les systèmes, on linéarise la caractéristique entrée-sortie au voisinage du point de fonctionnement étudié en remplaçant la portion de courbe par une droite. Le système est dit alors linéarisé.

1.3. Système continu Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations des grandeurs physiques sont définies à chaque instant (ils sont caractérisés par des fonctions continues). On parle aussi dans ce cas de système analogique.

1.4. Système invariant

Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (1) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas").

1.5 Conséquence : Un système linéaire continu invariant peut être représenté par une équation différentielle à coefficients constants.

2 MODELISATION DES SLCI

Afin d’établir un modèle comportemental du système étudié, plusieurs outils sont possibles pour élaborer celui-ci:

Les modèles de connaissance c’est-à-dire que les équations différentielles sont établis grâce aux lois fondamentales de la physique. Ces modèles de connaissance se traduisent souvent par des relations mathématiques non linéaires qui peuvent être assez complexes et comporter de nombreux paramètres à identifier. Souvent des hypothèses simplificatrices sont nécessaires.


Les modèles de comportement c’est-à-dire que l’équation différentielle est établie à partir de résultats expérimentaux ou de simulation sans se préoccuper du fonctionnement interne.

Le domaine de validité des différents outils utilisés dans le domaine virtuel implique la mise en place d’hypothèses simplificatrices lors de la phase de modélisation. Plus le modèle est proche du système réel, plus les résultats obtenus seront satisfaisants.

Les outils informatiques peuvent être très utiles lors des différentes étapes de simulation du système.

Si le modèle de connaissance est déjà linéaire, le modèle de connaissance et le modèle de comportement sont alors identiques.

Modélisation de la chaine fonctionnelle gouverne de profondeur La variable t désigne l'instant considéré. Une fonction f dépendante du temps est notée f(t)

u(t) en volts : la tension image de la position du joystick du pilote. C'est une tension fournie par un capteur de position

angulaire. C'est notre signal d'entrée

t en degrés : la position angulaire de la gouverne. C'est notre signal de sortie

z(t) en mètres : la longueur du vérin à un instant t quelconque

z(0) en mètres : la longueur du vérin dans sa position de référence à l'instant t = 0

x(t) = z(0) – z(t) en mètres : le déplacement du vérin par rapport à la position de référence

q(t) en m3/s : le débit d'huile de la servovalve dans la chambre du vérin. Débit d'huile compté positivement lorsque le vérin rentre et que la gouverne tourne dans le sens trigonométrique : c'est à dire quand le fluide rentre dans la chambre de droite et sort par la chambre de gauche. Débit compté négativement dans le cas contraire.

S : la section utile du piston du vérin hydraulique. Différence de l'aire de la section du cylindre et de la tige.

gu t en volts : la tension délivrée par le capteur de position angulaire situé directement sur la gouverne.

A l’instant t=0 : z(t) = z(0) (0) =0 x(0) = 0

(t)

z(0)

z(t)

Position de référence à l'instant t = 0

Position quelconque à l'instant t

x(t)


Servovalve : On suppose pour simplifier qu'elle est caractérisée par la proportionnalité entre le débit q(t) et la tension de commande u(t) :

q(t) = K1.u(t).

Vérin : Pendant un temps dt, un volume de fluide dV injecté dans une chambre fait avancer le vérin d'une quantité dx telle que : dx.S = dV et q(t)=dV/dt

q(t) = S.dx/dt.

Gouverne : On ne connaît pas à priori la relation et x. Une étude géométrique pourrait nous permettre de la trouver.

Une simulation de mouvement effectué à l’aide d’un logiciel nous donne l’allure de la courbe qui met en relation et x.

La relation entre et x n'est pas tout à fait linéaire. On peut cependant remarquer sur cette courbe que (t) est quasiment proportionnel à x(t).

Pour des positions de gouvernes comprises entre –20 et 20°, l’erreur est faible, elle va s’accroître pour des grandes valeurs de .

On retiendra finalement la relation (t) = K2.x(t) comme étant acceptable pour notre étude.

Capteur de position angulaire : la seule façon de connaître la position exacte de la gouverne passe par l’utilisation d’un

capteur de position angulaire qui renvoie une information, image de la position réelle de la gouverne. Le capteur est

supposé être caractérisé par une constante K3 en Volts/degré telle que ug(t) = K3.(t).

Le système de gouverne est finalement régi par 4 équations différentielles dans le domaine temporel.

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -25

-20

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Position linéaire - vérin

Position angulaire gouverne

Relation position vérin - position gouverne

Relation entrée sortie Relation linéarisée

Degrés

x cm

= K2.x

dx (m)

dx

dV (m3)

S (m2)

t

t+dt

q(t) (m3/s) q(t)


3 REPRESENTATION DES SLCI PAR FONCTION DE TRANSFERT La transformation de l'équation différentielle du SLCI en équation polynomiale permet de déterminer une fonction appelée fonction de transfert qui caractérise le comportement du SLCI.

3.1 Notion de transformée de Laplace

3.1.1 Définition de la transformée de Laplace La transformée de Laplace de la fonction f(t), telle que f(t)=0 pour t<0 est :

Cette transformation permet de passer du domaine temporel (variable en t) vers le domaine symbolique de Laplace (variable en p).

Dans la pratique, on ne calcule que les transformées de Laplace de fonctions causales, c'est-à-dire telles que f(t) = 0 pour t < 0. Ces fonctions f représentent des grandeurs physiques: intensité, température, effort, vitesse,...

F(p) n’existe que si l'intégrale a un sens et converge. Dans les cas rencontrés en SII, les conditions d'existence et de convergence seront toujours réunies.

La variable p peut aussi être noté avec la lettre s. On a l'habitude de noter la transformée de Laplace par une majuscule quand cela est possible (e(t) → E(p), s(t) → S(p)), Cependant, pour ne pas alourdir les notations, on confond parfois les notations si la grandeur originelle est déjà en majuscule (C(t) → C(p)).

3.1.2 Tableau des transformées de Laplace usuelles Dans la pratique on évite au maximum de calculer F(p) par la définition, on doit donc se servir directement des résultats de transformées de Laplace pour les fonctions usuelles lors de la résolution des problèmes.

Les transformées de Laplace de l'impulsion de Dirac, de l'échelon, de la rampe et de la fonction

exponentielle sont à connaître par cœur car elles sont très utilisées !!!


3.1.3 Propriétés essentielles

Conditions de Heaviside On dit qu'une fonction du temps f(t) vérifie les conditions de Heaviside si elle vérifie : f(0+)=0, f’(0+)=0, f’’(0+)=0, ….. C'est à dire si les conditions initiales sont nulles.

Transformée de la dérivée Pour la dérivée première : Pour la dérivée seconde :

En généralisant, dériver par rapport à t dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans

le domaine symbolique dans les conditions de Heaviside :

nd f(t)

dt np F(p)

Transformée de l’intégrale

Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique dans les

conditions de Heaviside : f(t).dt

1F(p)

p

3.1.4 Théorèmes pratiques Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale Lorsqu'on veut obtenir des informations sur la fonction temporelle f(t) mais que l'on ne souhaite pas déterminer la transformée inverse de F(p), on peut utiliser les deux théorèmes suivants :

Le théorème de la valeur initiale :

le théorème de la valeur finale :

Théorème du retard :

d f tL = pF p - f 0

dt

22

2

d f tL = p F p -p f 0 - f 0

dt


Dans notre exemple les 4 équations différentielles deviennent dans le domaine de laplace: q(t) = K1.u(t) => Q(p) = K1.U(p) q(t) = S.dx/dt => Q(p) = S.p.X(p)

(t) = K2.x(t) => (p) = K2.X(p)

ug(t) = K3.(t) => Ug(p) = K3.(p)

3.2. Notion de fonction de transfert Pour représenter et étudier le système décrit par la fonction de transfert H(p), on utilise des blocs.

Un bloc peut représenter un composant ou bien un sous-système ou également un système complexe.

Le schéma-bloc fonctionnel doit être modifié en schéma-bloc pour lequel les noms des composants sont remplacés par la fonction de transfert correspondante et les variables temporelles sont remplacées par les variables symboliques (E(p), S(p)...).

Dans l’exemple :

Pour connaître la fonction de transfert du système

FONCTION DE TRANSFERT DU SYSTEME BOUCLE (Appelé SYSTEME FERME)

FONCTION DE TRANSFERT EN BBOUCLE OUVERTE

A(p)

B(p)

- +

ε(p) E(p) S(p)

M(p)

E(p) S(p) ( )( )

1 ( ). ( )BF

A pH p

A p B p

Simplification

A(p)

B(p)

- +

ε(p) E(p) S(p)

M(p)

Coupure

ε(p) M(p) ( ) ( ). ( )BOH p A p B p

Simplification

Dans notre exemple :

La Fonction de Transfert de la Chaine Directe (système non asservi) : 1 2θ(p) K K

FTCD = =(p) S p

classe 1

- + K1

1/(Sp) K2

K3

(p) U(p)

Ug(p)

Q(p) X(p) (p)


La Fonction de Transfert de la Boucle Ouverte: 31 2(p) K K K

FTBO = =U (p) S p

g

classe 1

La Fonction de Transfert de la Boucle Fermé (système asservi): 3

1 2 3

θ(p) 1 /K KFTBF = = =

S pU(p) 1 + T p+1K K K

ordre 1 classe 0

Définition de la fonction de transfert sous forme canonique Les fonctions de transfert se présenteront toujours sous forme de fraction rationnelle, mise sous la forme suivante que l’on appelle forme canonique :

avec

α : classe du système (représente le nombre d’intégration dans le système α ≥ 0) n : ordre du système, identique à l’ordre de l’équation différentielle K : gain statique (permet de connaître le comportement du système en régime permanent). K

possède une unité (unité de la variable de sortie / unité de la variable d’entrée).

4 MODELISATION DES ENTREES DES SYSTEMES ASSERVIS

Impulsion de Dirac : δ(t) avec δ(t)=0 pour tout t≠0 Cette fonction modélise une action s'exerçant pendant un temps très court (choc ou impact tels que l'action d'un marteau.). La réponse à une impulsion de Dirac s'appelle une réponse impulsionnelle.

Échelon unité : u(t) avec u(t)=0 si t<0 et u(t)=1 si t≥0 Cette fonction modélise un signal qui passe très rapidement de 0 à 1 et qui reste ensuite à 1 (appui sur un interrupteur (mise sous tension)). La réponse à un échelon s'appelle une réponse indicielle.

Rampe de pente unitaire : f(t) avec f(t)=0 si t<0 et f(t)=a.t.u(t) avec a=1 si t≥0

Signal sinusoïdal : f(t) avec f(t)=0 si t<0 et f(t)=sin(ωt).u(t) si t≥0 T=2π/ω période du signal

Représentation temporelle Expression temporelle Expression dans le

domaine de Laplace

δ(t) = 1 E(p) = 1

e(t)

Impulsion de Dirac


e(t) = a.u(t)

(équation d’une droite horizontale) U(t) est une fonction binaire qui signifie :

u(t) = 0 pour t< 0 u(t) = 1 pour t> 0

« avant que t=0 pas de consigne »

aE(p) =

p

e(t) a.t.u(t)

(équation d’une droite de pente a passant par l’origine)

U(t) idem précédemment

2

aE(p) =

p

e(t) = a.sin(ωt) 2 2

a.ωE(p) =

p +ω

Dans l’exemple : l’action du pilote sur le manche peut être modélisée par un échelon d’amplitude o qui correspond à une tension d’amplitude Uo : u(t) = Uo dans le domaine temporelle => U(p) = Uo/p dans le domaine de Laplace

Dans le cas du système non bouclé : 1 2θ(p) K K

=U(p) S p

=>

1 2 1 2 0K K K K Uθ(p) = U(p) =

S p S p p

On applique le théorème de la valeur finale : 0 0

1 2 1 2 0K K K K Ulimθ(t) = limp U(p) = limp

S p S p p

t p ple système diverge

Dans le cas du système asservi : 3

1 2 3

θ(p) 1 /K KFTBF = = =

S pU(p) 1 + T p+1K K K

=> K

θ(p) = U(p)1 + T p

On applique le théorème de la valeur finale : 0

00

K Ulimθ(t) = limp =KU

1 + T p p

t ple système converge vers une position finie

5 ANALYSE DE LA REPONSE DU SYSTEME Afin de déterminer la réponse du système, une solution est de résoudre l’équation différentielle en utilisant la transformée inverse La transformation de Laplace inverse consiste à rechercher la fonction temporelle f(t) qui correspond à une fonction F(p) donnée. Dans les problèmes d’automatique, F(p) se présente sous la forme d’une fraction rationnelle en p qu’il faut décomposer en éléments simples pour retrouver les fractions élémentaires du tableau présenté paragraphe 3.2. Cette manipulation permet d’identifier la transformée inverse de chaque fraction élémentaire simplement par « lecture » du tableau précédent. La fonction f(t) correspond au final à une somme de fonctions temporelles élémentaires.

e(t)

a

Echelon d’amplitude a

Pente a

e(t) Rampe de

pente a

t

e(t) Sinusoïde

d’amplitude a


Dans l’exemple :

0K U B Ap +B(1 + T p) (A +B T)p +Bθ(p) = = =

1 + T p p 1 + T p p (1 + T p) p (1 + T p) p

A

Puis on détermine les constantes A et B par identification

0

0

B = KU

A +BT = 0 A = -KU T

d’où l’expression de la réponse dans le domaine de Laplace : 0 0U U

θ(p) =1 + T p

K T K

p

On en déduit à l’aide du tableau l’expression de la réponse dans le domaine temporel : t t

- -T T

0 0 0θ(t) = -KU e +KU =KU (1 - e )

L’allure de la réponse de l’angle de la gouverne pour K=1

(t)

u(t)=Uo

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