Vitesse et Acclration

McaniqueCinmatiqueCinmatique C2

Objectif:

Dfinir, dcrire et calculer la vitesse ou lacclration dun point dun solide.

CINEMATIQUE C2

Vitesse et acclration

1. Vitesse

1.1. Notion de vitesse

Soit (S) un solide en mouvement dans un repre %0.

Soit M un point appartenant au solide (S), de coordonnes x(t), y(t) et z(t) linstant t.

Soit T(M(S/%0) la trajectoire de M.

Sur cette trajectoire, choisissons par convention:

une origine M0;

un sens positif;

une unit de longueur.

On relve, aux instants t0, t1, t2, les positions du point M appartenant S dans le repre %0.

Instantst0t1t2

Position sur T(M(S/%0)M0M1M2

Abscisse curviligne s = f(t)s0 = 0s1 = M0M1s2 = M0M2

\S = arc M0M = valeur algbrique, linstant t, de larc orient M0M

1.2. Vitesse algbrique moyenne

Entre t1 et t2:

1.3. Vitesse algbrique instantane

Si t2 est trs proche de t1, alors (t devient infiniment petit.v(t) = = s(t) (drive de labscisse curviligne)

1.4. Vecteur vitesse instantane

Le vecteur vitesse du point M dans son mouvement par rapport au repre fixe %0, est gal la drive vectorielle (par rapport au temps) du vecteur position, dans le repre %0.

=

Le vecteur est tel que:

son origine est confondue avec la position de M linstant t;

il est toujours tangent en M la trajectoire T(M(S/%0);

il est orient dans le sens du mouvement;

sa norme est = |v| = ;

unit: mtre par seconde, ou m/s.

Autre expression possible:x(t)

Si _OMy(t)Alors

z(t)%0

%0

2. Acclration

2.1. Acclration tangentielle moyenne

Si le point M se situe en M1 linstant t1 et quil possde une vitesse instantane v1; sil passe linstant t2 en M2 la vitesse v2, son acclration tangentielle moyenne entre t1 et t2 vaut:

Lacclration peut aussi tre note ((M(S/%0) ou ( (M(S/%0).

2.2. Acclration tangentielle instantane

A linstant t quelconque, elle correspond la limite du rapport lorsque (t ( 0.

at(t) = ; or v(t) = ; do

2.3. Vecteur acclration

_a(M/%0) = =

Composantes tangentielles et normales de lacclration:

Soient:

n un vecteur unitaire normal en M la trajectoire T(M(S/%0), orient vers lintrieur de la courbure;

t un vecteur unitaire tangent en M T(M(S/%0), orient comme la trajectoire.

Dans cette base (n,t), lacclration peut scrire:

avec:

an = acclration normale = (R reprsente le rayon de courbure)

at = acclration tangentielle =

Autre expression possible:

Si

Alors

%0

%0

3. Cas du mouvement de translation rectiligne uniforme

3.1. Dfinition

Cest le mouvement le plus simple, sans acclration (a=0) et avec une vitesse constante au cours du temps.

Il est not M.T.R.U.

3.2. Equations de mouvement

Soient:

t0: instant initial, t0 = 0;

x0: le dplacement initial, t=t0;

v0: la vitesse initiale;

x: le dplacement linstant t.

Equations horaires

x0 et v0 sont les conditions initiales du mouvement.Graphe de position

Graphe de vitesse

4. Cas du mouvement de translation rectiligne uniformment acclr

4.1. Dfinition

Il sert de modle de nombreuses tudes simplifies. Pour ces mouvements, acclrs (a>0) ou dclrs (a0, il y a acclration du mouvement.

Si (