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8/6/2019 C4M-Calcul_intgral(cours)
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Dfinition de l'intgrale
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;
b] .
C est la courbe reprsentative de la fonction f dans le repre O
;OI ,OJ .
Soit D le domaine entre la courbe C , l'axe des abscisses et les
droites d'quation x=a et x=b .
L'intgrale de a b de la fonction f qui est note a
b
fx dx , est l'aire du domaine D.
Cette aire est exprime en unit d'aire (note u.a.) qui est l'aire
du rectangle OIKJ gnralement en cm .
Les rels a et b s'appellent les bornes de l'intgrale.
Dans le cas d'une fonction continue et ngative
sur un intervalle [a ; b] alors :
a
b
fx dx = - aire(D) ou a
b
fx dx=a
b
fxdx
Valeur moyenne d'une fonction continue sur [ a ;b ] :
La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est le rel1
baa
b
fx dx .
Aire comprise entre deux courbes :
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et
telles que 0g f.Soient a et b deux rels appartenant l'intervalle
I.
Alors l'aire comprise entre les deux courbes est a
b
fx dx a
b
gxdx
Proprits de l'intgrale
Positivit :
Si f est continue et positive sur [a , b] avec ab , alors a
b
fx dx0 .
Si f est continue et ngative sur [a , b] avec ab , alors a
b
fx dx0 .
Ordre :
f et g sont des fonctions continues sur [a , b] avec ab .
fx gx a
b
fx dxa
b
gxdx
4AMrABIDIFARID
Calcul intgral et primitive
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Ingalit de la moyenne :
m et M sont des rels tels que pour tout x de [a ; b] , m fxM
(avec ab ).
Alors m1
b aa
b
fxdxM.
Primitives
Primitives des fonctions usuelles : ( C )
fx Fx Dfk ( k ) kxC
xn, n1
1
n1x
n1C
1
xn , n1
1
n1
1
xn1C ] ;0 []0 ;[
1
xln xC ]0 ;[
ex
exC
sin x cosxC
cos x sin xC
tan x1=1
cos xtan xC ]
2k ;
2k[
avec k
Oprations sur les primitives :
F et G sont des primitives respectives des fonctions f et g sur
un intervalle I.
FG est une primitive de la fonction fg sur I. , F est une
primitive de f sur I.
Relation de Chasles :
Soit f une fonction continue sur I.Soient a , b et c des rels
appartenant I.
Alors ab
fx dx=ac
fx dxcb
fx dx
Linarit :
Soient f et g deux fonctions continues sur [a , b] avec ab .
a
b
fgxdx=a
b
fx dxa
b
gxdx
,a
b
fx dx=a
b
fx dx rel
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Calcul intgral et primitive
Dans le cas d'une fonction continue et positive sur un
intervalle [a ; b] alors le volume engengr
a
b
fx dx
par rotation de la courbe (C) au tour de l'axe des abscisses est
:
V=
Calcul de volume 6
uv uv est l'unit de vlume ( si l'unit de longueur sur chacun des
axes est a cm
alors uv = a cm .3 3
Intgration par partie
u et v sont deux fonctions drivables sur un intervalle I ayant
pour drives respectives les
fonctions u ' et v ' continues sur I.
a , bI, a
b
u x v 'x dx=[u x v x ]a
ba
b
u 'x v xdx
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Si l'intgral est a
b
ln x . g(x)dx , alors on pose : u(x) = ln x et v'(x)= g(x).
Si l'intgral est ab
e . g(x) dx , alors on pose : u(x) = g(x) et v'(x)= e .x x
Si l'intgral est a
b
sin x. g(x)dx , alors on pose : u(x) = g(x) et v'(x)= sin x
.
Si l'intgral est a
b
cos x. g(x)dx , alors on pose : u(x) = g(x) et v'(x)= cos x
.
Courbe
Solide de rvolution engendr par cette courbe
(C)
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