Cahier de textes 2020-2021 - Christophe Bertault de... · 2021. 2. 5. · Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI CAHIER DE TEXTES 2020-2021 1 JEUDI 4 FÉVRIER • Cours du

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

CAHIER DE TEXTES 2020-2021

1 MARDI 22 JUIN

• Distribution de tout un tas de documents de révisions de fin d’année : questions de cours, techniques élémentaires,exercices difficiles et problèmes d’algèbre/analyse/probabilités.

• Exercices du chapitre 34 « Séries » : 1–11)13)14)15)16)17)18)22)24), 3–9), 4–1)2)5), 5, 8, 11, 14, 16, 18.

• Exercices du chapitre 34 « Séries » à préparer pour mercredi : 19, 21.

2 VENDREDI 18 JUIN

• Cours du chapitre 34 « Séries » : Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

• Exercices du chapitre 34 « Séries » : 1)2)3)4)5)6)7)8)9)10), 3–1)2)5)7).

• Exercices du chapitre 34 « Séries » à préparer pour mardi : 1–11)13)14)15)16)17), 4–1)2)5), 5.

3 JEUDI 17 JUIN

• Cours du chapitre 34 « Séries » :

— Adaptation du théorème de la limite monotone aux séries à termes positifs. Comparaison par des inéga-lités. Comparaison par des équivalents.

— Convergence absolue. La convergence absolue implique la convergence. Semi-convergence.

— Comparaison par des grands O.

— Règle de d’Alembert.

— Théorème des séries alternées. Exemple d’étude de série avec développement asymptotique sous formed’exercice.

• Exercices du chapitre 34 « Séries » à préparer pour vendredi : 1–1)2)3)4)5), 3–1)2).

4 MERCREDI 16 JUIN

• Distribution de la correction du devoir à la maison « Inégalités de Khintchine ».

• Cours du chapitre 34 « Séries » :

— Série, sommes partielles. Convergence, divergence, somme, restes. Séries géométriques.

— Condition nécessaire de convergence d’une série. Divergence grossière.

— Lien suite-série.

— Opérations sur les séries.

— Séries de Riemann par comparaison série-intégrale sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 33 « Isométries vectorielles et matrices orthogonales » : 8, 11, 12, 14–2).

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5 MARDI 15 JUIN

• Copies du devoir à la maison « Inégalités de Khintchine » relevées.

• Cours du chapitre 33 « Isométries vectorielles et matrices orthogonales » :

— Rotations d’un plan euclidien orienté. Isométries vectorielles négatives d’un plan euclidien. Rotationsde C. Formule :

u, v�= ‖u‖.‖v‖ cosθ .

— Produit vectoriel dans un espace euclidien orienté de dimension 3. Propriétés.

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 18–3), 21.

• Exercices du chapitre 33 « Isométries vectorielles et matrices orthogonales » : 2, 3), 6, 7, 10–1)2).

• Exercices du chapitre 33 « Isométries vectorielles et matrices orthogonales » à préparer pour mercredi : 8, 11, 12,14–2).

6 VENDREDI 11 JUIN

• Cours du chapitre 33 « Isométries vectorielles et matrices orthogonales » :

— Isométrie vectorielle/automorphisme orthogonal. Caractérisation par l’image d’une base. Groupe ortho-gonal.

— Matrice orthogonale. Caractérisation par les colonnes. Lien avec les isométries vectorielles. Matrice depassage entre deux bases orthonormales. Groupe orthogonal.

— Signe d’une matrice orthogonale ou d’une isométrie vectorielle. Groupe spécial orthogonal.

— Produit mixte.

— Caractérisation des matrices orthogonales de taille 2.

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 24.

• Exercices à préparer pour mardi :

— Chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 18–3), 21.

— Chapitre 33 « Isométries vectorielles et matrices orthogonales » : 2, 3).

7 JEUDI 10 JUIN

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 16, 20, 22–2), 23–1).

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » à préparer pour vendredi : 24.

8 MERCREDI 9 JUIN

• Cours du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : Distance d’un point à une partie non vide. Distance d’un point àun sous-espace vectoriel de dimension finie et lien avec la projection orthogonale. Distance d’un point à un hyperplanaffine. Exemple de la régression linéaire simple.

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 3–7), 5, 18–2), 19, 22–1).

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » à préparer pour jeudi : 16, 20, 22–2).

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9 MARDI 8 JUIN

• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 5 juin.

• Cours du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : Expression d’un projeté orthogonal dans une base orthonormale.Exemple sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 8, 9, 11, 13, 14, 17, 18–1).

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » à préparer pour mercredi : 3–7), 5, 18–2).

10 SAMEDI 5 JUIN

Devoir surveillé sur les chapitres 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » , 30 « Déterminants » et 31« Position et dispersion d’une variable aléatoire » . Distribution de la correction.

11 VENDREDI 4 JUIN

• Cours du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » :

— Orthogonal d’une partie. Exemple sous forme d’exercice. Supplémentaire orthogonal d’un sous-espacevectoriel de dimension finie. Vecteurs normaux à un hyperplan.

— Projection orthogonale, symétrie orthogonale, réflexion. Expression d’un projeté orthogonal dans unebase orthonormale.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 26.

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 3–3)4)5), 7–1).

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » à préparer pour mardi : 8, 9, 11, 13.

12 JEUDI 3 JUIN

• Cours du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Exemplesous forme d’exercice. Existence de bases orthonormales en dimension finie. Théorème de la base orthonormaleincomplète.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 4, 8.

• Exercices du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 1, 3–1)2).

• Exercices à préparer pour vendredi :

— Chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 26.

— Chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 3–3)4)5), 7–1).

13 MERCREDI 2 JUIN

• Copies du devoir à la maison « Des déterminants un peu limites » relevées. Distribution de la correction et du devoirà la maison « Inégalités de Khintchine ».

• Distribution du cours du chapitre 33 « Isométries vectorielles et matrices orthogonales » , du cours du chapitres 34« Séries » et des feuilles d’exercices associées.

• Cours du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » :

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— Inégalité triangulaire et cas d’égalité. Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires réelles.

— Orthogonalité, familles orthogonales/orthonormales, parties orthogonales. Exemple sous forme d’exer-cice. Théorème de Pythagore, généralisation. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

— Coordonnées dans une base orthonormale. Expression du produit scalaire et de la norme en fonctiondes coordonnées dans une base orthonormale.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 6, 15, 20, 24.

• Exercices à préparer pour jeudi :

— Chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 4, 8.

— Chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : 1, 3–1)2).

14 MARDI 1ER JUIN

• Cours du chapitre 32 « Espaces préhilbertiens réels » : Produit scalaire. Produit scalaire canonique sur Rn. Norme,distance. Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d’égalité.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 6, 15, 20, 24, 25–1)2)3).

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » à préparer pour mercredi : 2, 25–4), 16–1).

15 VENDREDI 28 MAI

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » : 30.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 5, 10–1), 11, 13, 19–2), 21, 23.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » à préparer pour mardi : 6, 15, 20, 24.

16 JEUDI 27 MAI

• Cours du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » :

— Variance de la loi binomiale.

— Inégalité de Markov. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Loi faible des grands nombres.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 1, 7, 14, 19–1).


— Chapitre 30 « Déterminants » : 30.

— Chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 5, 11, 19–2), 21.

17 MERCREDI 26 MAI

• Copies du devoir à la maison « Toute matrice est semblable à sa transposée » relevées. Distribution de la correctionet du devoir à la maison « Des déterminants un peu limites ».

• Cours du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » :

— Variance d’une variable aléatoire réelle, écart-type. Formule développée « V(X ) = E�X 2�−E(X )2 », condi-

tion nécessaire et suffisante de nullité, effet d’une transformation affine. Covariance de deux variablesaléatoires réelles. Formule développée « cov(X , Y ) = E

�X Y�− E(X )E(Y ) », variance d’une somme, lien

avec l’indépendance.

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » : 31.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : 3, 12.

• Exercices du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » à préparer pour jeudi : 1, 7, 14.

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18 MARDI 25 MAI

• Cours du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » : Espérance d’une variable aléatoire complexesur un espace probabilisé fini. Espérance des lois usuelles. Linéarité, inégalité triangulaire, positivité, croissance.Formule de transfert. Espérance d’un produit.

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » : 5–5), 13, 18–1), 21–1), 26, 29.

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » à préparer pour mercredi : 31.

19 VENDREDI 21 MAI

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » : 3–2)a), 5–4), 9–2), 10, 11–2), 14, 22, 23, 27, 28.

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » à préparer pour mardi : 5–5), 26, 29.

20 JEUDI 20 MAI

• Distribution du cours du chapitre 31 « Position et dispersion d’une variable aléatoire » , du chapitre 32 « Espacespréhilbertiens réels » et des feuilles d’exercices associées.

• Cours du chapitre 30 « Déterminants » :

— Exemple sous forme d’exercice. Cofacteurs, comatrice. Formule d’inversion.

— Déterminants de Vandermonde.

— Déterminant d’un endomorphisme. Propriétés. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme.

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » : 3–1)b), 4, 5–1)2)3), 11–1), 12.

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » à préparer pour vendredi : 3–2)a), 5–4), 9–2), 11–2), 28.

21 MERCREDI 19 MAI


— Déterminant d’une matrice carrée. Lien avec le déterminant d’une famille de vecteurs. Multilinéaritépar rapport aux colonnes. Caractérisation de l’inversibilité. Déterminant d’une transposée. Déterminantd’un produit. Polynôme caractéristique d’une matrice carrée.

— Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.

— Calculs de déterminants par la méthode du pivot. Exemples sous forme d’exercices.

— Mineurs et développement par rapport à une ligne ou une colonne.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : 19.

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » : 3–1)a)c).

• Exercices du chapitre 30 « Déterminants » à préparer pour jeudi : 3–1)b), 4, 5–1)2)3).

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22 MARDI 18 MAI

• Remise des copies du devoir surveillé du vendredi 7 mai. Remise des copies du devoir à la maison « Développementasymptotique d’une suite récurrente » et du devoir à la maison « L’intégrale de Dirichlet ».


— Cas particulier des dimensions 2 et 3. Formule de changement de bases. Caractérisation des bases.

— Orientation d’un R-espace vectoriel de dimension finie.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : 9–3), 14, 17, 18, 21, 23–2)3).

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » à préparer pour mercredi : 19.

23 MERCREDI 12 MAI

• Copies du devoir à la maison « Développement asymptotique d’une suite récurrente » relevées. Distribution de lacorrection et du devoir à la maison « Toute matrice est semblable à sa transposée ».

• Distribution du cours du chapitre 30 « Déterminants » et de la feuille d’exercices associée.


— Introduction informelle aux déterminants par les intuitions d’aire orientée et de volume orienté.

— Application multilinéaire. Forme multilinéaire alternée. Propriétés.

— Permutations, groupe symétrique. Support d’une permutation, permutations disjointes. Deux permuta-tons disjointes commutent. Cycles et transpositions. Toute permutation peut être décomposée d’une etune seule manière à l’ordre près comme un produit de cycles disjoints. Toute permutation peut êtredécomposée comme un produit de transpositions. Signature. Signature d’un cycle. Caractérisation desformes multilinéaires alternées par la signature.

— Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base. Toute forme n-linéaire alternée dans un espacevectoriel de dimension n est un multiple du déterminant dans une base donnée.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : 7, 20.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » à préparer pour mardi : 9–3), 14,17, 21, 23–2)3).

24 MARDI 11 MAI

• Cours du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » :

— Trace d’un endomorphisme.

— Brève introduction à la diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées.Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre. Toute famille de vecteurs propres associée à desvaleurs propres distinctes est libre. Exemple sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : 4, 6, 9–1), 10, 12, 16, 23.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » à préparer pour mercredi : 7, 20.

25 Vendredi 7 mai

• Devoir surveillé sur les chapitres 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles », 27 « Intégration sur unsegment » et 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 ». Distribution de la correction.


— Matrice de passage, propriétés. Formule de changement de base pour un vecteur. Formule de change-ment de bases pour une application linéaire. Changement de bases et matrice Jr .

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— Matrices équivalentes, exemples fondamentaux. Caractérisation par le rang. Rang d’une transposée.Matrices extraites. Rang d’une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices extraites inver-sibles.

— Matrices semblables, exemple fondamental des matrices d’endomorphismes. Invariance de la trace parsimilitude.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : 2–3), 5, 15.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » à préparer pour mardi : 4, 6, 12,16–1).

26 JEUDI 6 MAI

• Cours du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : Interprétation géométrique des blocs.Cas des projections et des symétries. Exemple de réduction d’un endomorphisme nilpotent.

• Exercices du chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 19, 21.

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : 2–2)4).

• Exercices du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » à préparer pour vendredi : 2–3), 5,15.

27 MERCREDI 5 MAI


— Matrice d’une application linéaire dans un couple de bases. Cas de l’application linéaire canoniquementassociée à une matrice dans les bases canoniques. Exemples sous forme d’exercices. Formules : rg( f ) =

rgMatB ,C ( f ), MatC�u(x)�= . . ., MatB ,D(v ◦u) = . . ., et le cas échéant : MatC ,B

�f −1�= . . ..

Exemples sous forme d’exercices.

— Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice de Vandermonde.

— Interprétation géométrique des blocs.

• Exercices du chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 23–4)5), 26.


— Chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 19, 21.

— Chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » : 2–2).

28 MARDI 4 MAI

• Copies du devoir à la maison « L’intégrale de Dirichlet » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison« Développement asymptotique d’une suite récurrente ».

• Distribution du cours du chapitre 29 « Représentation matricielle des applications linéaires » et de la feuille d’exercicesassociée.

• Exercices du chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 11, 40, 41–6).

• Exercices du chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 12, 16, 18, 22, 23–1)2)3).

• Exercices du chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » à préparer pour mercredi : 23–4)5), 24 (facultatif),26.

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29 VENDREDI 30 AVRIL

• Cours du chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » :

— Développement asymptotique d’une suite récurrente.

— Développement asymptotique d’une suite définie implicitement.

— Formules de Wallis et Stirling en partie sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 15, 24) (facultatif), 34) (facultatif), 39.

— Chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 4–2), 15, 17.


— Chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 35 (facultatif), 40, 41–6).

— Chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 5 (facultatif), 12, 16, 22.

30 JEUDI 29 AVRIL

• Exercices du chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 16–1), 31, 42.

• Exercices du chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 8, 11.


— Chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 15, 24) (facultatif), 34) (facultatif), 39.

— Chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 4–2), 15.

31 MERCREDI 28 AVRIL


— Études de sommes par encadrement d’intégrales. Exemple sous forme d’exercice.

— Développement asymptotique d’une suite d’intégrales ou d’une fonction définie par une intégrale.

— Développement asymptotique d’une suite récurrente.

• Exercices du chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 10, 18, 22, 41–4)5).

• Exercices du chapitre 28 « Analyse asymptotique de niveau 2 » : 4–1), 10.

• Exercices du chapitre 27 « Intégration sur un segment » à préparer pour jeudi : 31.

32 MARDI 27 AVRIL

• Cours du chapitre 27 « Intégration sur un segment » :

— Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral.

— Sommes de Riemann pour une fonction continue par morceaux. Majoration en1

nde l’erreur commise

dans le cas C 1. Méthode des trapèzes.

• Exercices du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : 26.

• Exercices du chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 9, 13, 14–1), 26, 27, 28, 30, 32, 37, 38, 41–1)2).

• Exercices du chapitre 27 « Intégration sur un segment » à préparer pour mercredi : 10, 18, 22, 23 (facultatif), 41–4)5).

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33 VENDREDI 9 AVRIL


— Théorème fondamental de l’analyse. Intégrales d’une fonction paire/impaire/périodique.

— Intégration par parties. Changement de variable.

— Limites d’intégrales.

• Exercices du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : 9, 12, 22, 23–8).


— Chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : 13 (facultatif), 25 (facultatif),26.

— Chapitre 27 « Intégration sur un segment » : 1–1)3) (facultatif), 2–1) (facultatif), 3–1) (facultatif), 4(facultatif), 5–2) (facultatif), 9, 13, 14–1), 26.

34 MERCREDI 7 AVRIL


— Continuité uniforme. Lien avec la continuité et la lipschitzianité. Théorème de Heine.

— Fonction en escalier, subdivision adaptée. Intégrale d’une fonction en escalier. Linéarité, inégalité trian-gulaire, relation de Chasles, lien avec les parties réelle et imaginaire, positivité, croissance.

— Fonction continue par morceaux, subdivision adaptée. Distance uniforme. Approximation uniformed’une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier.

— Intégrale d’une fonction continue par morceaux. Linéarité, inégalité triangulaire, relation de Chasles,lien avec les parties réelle et imaginaire, fonctions égales « presque partout », positivité, croissance,positivité stricte, nullité avec signe constant.

• Exercices du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : 4, 15, 17, 21.

• Exercices du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » à préparer pour vendredi : 1–2)a)(facultatif), 5 (facultatif), 7 (facultatif), 9, 12, 22, 23–8).

35 MARDI 6 AVRIL

• Cours du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : Décomposition en éléments simplessur R. Partie polaire associée à un pôle simple. Techniques usuelles de calcul des coefficients. Exemples sous formed’exercices.

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 33, 40.

• Exercices du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : 1–2)b), 2, 3), 6, 8, 16–1)2), 18,23–5), 24–1).

• Exercices du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » à préparer pour mercredi : 4, 15,16–3) (facultatif), 17, 21.

36 VENDREDI 2 AVRIL

• Cours du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » :

— Polynôme irréductible. Polynômes irréductibles de C[X ], factorisation irréductible sur C. Polynômesirréductibles de R[X ], factorisation irréductible sur R. Exemple sous forme d’exercice.

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— Diviseurs communs. PGCD de deux polynômes. Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide. Les divi-seurs communs de A et B sont exactement les diviseurs de A∧ B. Algorithme d’Euclide. Associativitédu PGCD, possibilité de factoriser par un diviseur commun. Relation de Bézout. Algorithme d’Euclideétendu.

— PGCD d’une famille finie de polynômes. Extension des résultats précédents.

— Couple de polynômes premiers entre eux. Famille finie de polynômes premiers entre eux dans leur en-semble/deux à deux. Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Lemme d’Euclide. Polynômes premiersentre eux et produit de polynômes.

— PPCM de deux polynômes. Lien avec le PGCD.

— Construction de l’ensemble K(X ) des fractions rationnelles à coefficients dans K. Structure de corps etd’espace vectoriel de K(X ), identification de K[X ] à un sous-anneau de K(X ).

— Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Dérivée. Degré. Fonction rationnelle, zéros et pôles d’unefraction rationnelle. Partie entière.

— Décomposition en éléments simples sur C. Exemples sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 26, 30, 36.


— Chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 27 (facultatif), 33, 39 (facultatif), 40.

— Chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : 1–2)b), 2.

37 JEUDI 1ER AVRIL

• Cours du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : Dernier exemple.

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 11, 12, 13–3), 26, 31, 34, 37, 38.

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » à préparer pour vendredi : 4 (facultatif),7 (facultatif), 15 (facultatif), 23 (facultatif), 26, 30, 36.

38 MERCREDI 31 MARS

• Cours du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : Loi conjointe d’un couple de variablesaléatoires, lois marginales. Loi uniforme et produit cartésien. Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe. Loide f (X , Y ). Loi d’une somme de variables aléatoires indépendantes de lois binomiales. Exemples de lois de variablesaléatoires f (X , Y ).

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 9, 13–1)2), 14, 22, 29–1)2).

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 12, 13–3), 26, 37, 38.

39 MARDI 30 MARS

• Cours du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » :

— Lois conditionnelles d’une variable aléatoire. Exemple sous forme d’exercice.

— Indépendance de deux événements, d’une famile finie d’événements. Indépendance et passage au com-plémentaire. Loi binomiale. Indépendance d’une famille finie de variables aléatoires. Existence d’unefamille finie de variables aléatoires indépendantes de lois prescrites. Lemme des coalitions.

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 2, 3, 6, 8, 10, 25, 32, 35.

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » à préparer pour mercredi : 9, 14, 17(facultatif), 22, 29–1)2).

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40 VENDREDI 26 MARS


— Loi de Bernoulli, exemple fondamental des indicatrices. Loi de f (X ). Exemples sous forme d’exercices.Définition implicite d’un espace probabilisé par la donnée d’une distribution de probabilités.

— Probabilités conditionnelles. Formule des probabilités totales. Formules de Bayes. Formule des probabi-lités composées.

• Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 14.

• Exercices du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 18, 20.


— Chapitre 24 « Dénombrement » : 25 (facultatif).

— Chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 2, 3, 6, 24 (facultatif), 25, 32.

41 JEUDI 25 MARS

• Cours du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : Loi d’une variable aléatoire. Loi uniforme.

• Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » à préparer pour jeudi : 12, 16, 17, 20.


— Chapitre 24 « Dénombrement » : 14.

— Chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » : 18, 20.

42 MERCREDI 24 MARS


— Vocabulaire usuel des événements et des variables aléatoires. Système complet d’événements.

— Probabilité sur un univers fini. Probabilité uniforme. Propriétés. Distribution de probabilités. Détermi-nation d’une probabilité sur les événements élémentaires.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 7, 52.

• Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 13, 15, 19–1), 21–1), 22–1), 23–1).

• Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » à préparer pour jeudi : 12, 16, 17, 19–2) (facultatif), 20, 21–2)3)(facultatif), 22–2) (facultatif), 23–2) (facultatif), 32 (facultatif), 34 (facultatif).

43 MARDI 23 MARS

• Cours du chapitre 24 « Dénombrement » :

— Nombre de parties d’un ensemble fini. Interprétation combinatoire de la formule de symétrie et de laformule de Pascal.

— Indicatrice d’un ensemble, propriétés.

— Formule du crible.

— Utilisation de polynômes et fractions rationnelles pour calculer certaines sommes. Exemples sous formed’exercices.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 36, 37, 38, 40, 45, 51.

11


• Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 1, 2–1), 3, 5, 8, 9, 10, 11, 18.

• Exercices à préparer pour mercredi :

— Chapitre 23 « Applications linéaires » : 7, 43 (facultatif), 52 (facultatif).

— Chapitre 24 « Dénombrement » : 15–1)2), 21–1), 22–1), 23–1), 27 (facultatif), 28 (facultatif), 31(facultatif), 35 (facultatif).

44 VENDREDI 19 MARS


— Arrangements et nombre de p-arrangements d’un ensemble fini. Exemples sous forme d’exercices.

— Nombre d’applications entre deux ensembles finis, nombre d’applications injectives, nombre de permu-tations d’un ensemble fini.

— Combinaisons, nombre de p-combinaisons d’un ensemble fini. Nombre de k-listes strictement croissantesde ¹1, nº. Exemples sous forme d’exercices.


• Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 4, 6–1)2).


— Chapitre 23 « Applications linéaires » : 36, 37, 38, 40, 45, 51.

— Chapitre 24 « Dénombrement » : 2–1), 3, 8, 9.

45 JEUDI 18 MARS

• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » :

— Exemples d’énumérations.

— Cardinal d’une réunion, d’une réunion disjointe, d’une différence. Principe des bergers. Exemples sousforme d’exercices.

— Cardinal d’un produit cartésien. Listes et nombre de p-listes d’un ensemble fini. Exemple sous formed’exercice.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 5, 8, 41–1)2), 46.


— Chapitre 23 « Applications linéaires » : 26, 50.

— Chapitre 24 « Dénombrement » : 4, 6–1)2).

46 MERCREDI 17 MARS


— Caractérisation des symétries. Lien projecteur/symétrie.

— Extension à un nombre fini quelconque de sous-espaces vectoriels des définitions et résultats énoncésdans le cas de deux sous-espaces vectoriels.


— Ensemble fini, cardinal. Équipotence et cardinal. Parties d’un ensemble fini. Effet d’une application surle cardinal. Principe des tiroirs.

— Analyse détaillée de deux exemples de problèmes de dénombrement.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 23, 30, 44.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à préparer pour jeudi : 5, 8, 41–1)2), 46.

12


47 MARDI 16 MARS

• Distribution du cours du chapitre 25 « Espaces probabilisés finis et variables aléatoires » et de la feuille d’exercicesassociée.


— Détermination d’une application linéaire sur une somme directe.

— Expression d’une forme linéaire comme combinaison linéaire des coordonnées dans une base en dimen-sion finie. Hyperplan, définition par les formes linéaires, caractérisation géométrique comme supplé-mentaire d’une droite. Comparaison des équations d’un hyperplan. Intersection d’hyperplans.

— Projection, symétrie, propriétés. Caractérisation des projecteurs.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 16, 18–1), 19–2), 22–1), 31, 39.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à préparer pour mercredi : 23, 30, 44.

48 SAMEDI 13 MARS

Devoir surveillé sur les chapitres 21 « Dérivabilité » et 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » . Distribution de lacorrection.

49 VENDREDI 12 MARS

• Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Détermination d’une application linéaire sur une base. Espacesvectoriels L (E, F), dimension. Anneaux L (E).

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 13, 14, 17, 19–1), 29–1)3)4).

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à préparer pour mardi : 16, 19–2), 31.

50 JEUDI 11 MARS


— Forme géométrique du théorème du rang. Théorème du rang.

— Rang d’une matrice, lien avec l’inversibilité. Invariance du rang d’une application linéaire par composi-tion par un isomorphisme. Les opérations élémentaires préservent le rang. Algorithme du pivot pour lecalcul du rang.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 3, 6, 12.

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à préparer pour vendredi : 13, 14, 17, 29–3).

51 MERCREDI 10 MARS

• Distribution du cours du chapitre 24 « Dénombrement » et de la feuille d’exercices associée.


— Structure affine de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire.

13


— Isomorphisme, automorphisme, espaces vectoriels isomorphes. Groupes linéaires GL(E). Compositiond’isomorphismes, réciproque d’un isomorphisme. Traduction de l’inversibilité en termes d’applicationlinéaire canoniquement associée. Effet d’un isomorphisme sur la dimension. Classification des espacesvectoriels de dimension finie par leur dimension. Caractérisation de l’injectivité/surjectivité par l’imaged’une base.

— Application linéaire de rang fini, rang. Inégalités sur le rang et cas d’égalité. Lien entre l’injectivité et lasurjectivité pour des applications linéaires entre deux espaces vectoriels de mêmes dimensions finies.Inversibilité à gauche/droite d’un endomorphisme en dimension finie. Exemple sous forme d’exercice.Inversibilité à gauche/droite d’une matrice carrée.

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 17, 23–1), 25–1).


• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à préparer pour jeudi : 3, 6, 12.

52 MARDI 9 MARS

• Remise des copies du devoir à la maison « Quadrature de Gauss-Legendre ». Copies du devoir à la maison « Dévelop-pements limités » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison « Endomorphismes échangeurs ».


— Formes coordonnées relativement à une base. Composition d’applications linéaires.

— Image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire. Image d’un Vect par une application li-néaire. Image d’une matrice.

— Image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire. Noyau d’une application li-néaire, caractérisation de l’injectivité. Noyau d’une matrice.

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 9–21)24)25)29)33)41)42), 12, 14–4)5), 20–1),22, 24–1)2).

• Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 2–1)a)b).


— Chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 17, 23–1), 25–1).

— Chapitre 23 « Applications linéaires » : 10, 11.

53 VENDREDI 5 MARS


— Position locale d’une fonction par rapport à une tangente. Exemple sous forme d’exercice. Asymptoteau voisinage de ±∞.

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 4–15), 9–11)12)13)14)15)16)17)18)19)20), 13,14–2).

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à préparer pour mardi : 12, 14–4)5), 20–1), 22,24–1)2).

54 JEUDI 4 MARS


— Domination pour les fonctions et les suites. Lien petit o/équivalence/grand O. Opérations sur les grandsO.

14


— Constante d’Euler.

— Calculs de limites sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 3–3), 4–7)8)18), 6, 7–1).

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à préparer pour vendredi : 4–15), 9–11)12)13)14)15)16)17)18)113, 14–2).

55 MERCREDI 3 MARS

• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Équivalence pour les fonctions et les suites. Lien li-mite/équivalence, lien petit o/équivalence, lien développement limité/équivalence. Nouveaux équivalents usuels en0. Opérations sur les équivalents. Exemples sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 3–3), 4–7)8)18), 6, 7–1).

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à préparer pour jeudi : 9–1)2)3)4)5)6)7)8)9)10),10, 14–1).

56 MARDI 2 MARS

• Remise des copies du devoir à la maison « Des motifs qu’on répète ». Copies du devoir à la maison « Quadrature deGauss-Legendre » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison « Développements limités ».

• Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Opérations sur les développements limités : inversion,composition, translation. Exemples sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 5, 6–1), 9.

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 2, 3, 4–1)2)3)4)5)6)9)11), 5–1)2).

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à préparer pour mercredi : 3–3), 4–7)8)18), 6, 7–1).

57 VENDREDI 12 FÉVRIER


— Développements limités de cos x , sin x et (1+ x)α.

— Opérations sur les développements limités : produit. Exemples sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 8–1)e)f)2)a), 23.

• Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 1.


— Chapitre 21 « Dérivabilité » : 5, 6–1), 9.

— Chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 2, 4–1)2)3)4).

15


58 JEUDI 11 FÉVRIER


— Primitivation des développements limités. Exemples de ln(1+ x) et Arctan x .

— Formule de Taylor-Young. Exemples de ex , ch x , sh x

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 20, 27, 33, 34–1)2).


— Chapitre 21 « Dérivabilité » : 8–1)e)f)2)a), 23.

— Chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 1.

59 MERCREDI 10 FÉVRIER

• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : Théorème du prolongement de classeC 1. Théorème du prolongement de classeC k.


— Négligeabilité pour les fonctions et les suites. Croissances comparées usuelles. Limites et petits o. Opé-rations sur les petits o.

— Développements limités. On peut toujours se ramener à des développements limités au voisinage de

0. Exemple de1

1− x. Unicité des coefficients. Lien avec la continuité et la dérivabilité. Développement

limité d’une fonction paire/impaire.

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 10–1), 19–1)b), 31.

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » à préparer pour jeudi : 20, 27, 33, 34–1)2).

60 MARDI 9 FÉVRIER

• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 6 février.

• Copies du devoir à la maison « Des motifs qu’on répète »> relevées. Distribution de la correction et du devoir à lamaison « Quadrature de Gauss-Legendre ».

• Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » :

— Application de l’inégalité des accroissements finis à l’étude des suites récurrentes.

— Théorème de la limite de la dérivée.

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 1–1)2), 2, 3, 8–1)a)b)c)d), 14, 15, 16, 18, 26.

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » à préparer pour mercredi : 10–1), 19–1)b), 31.

61 SAMEDI 6 FÉVRIER

Devoir surveillé sur les chapitres 18 « Structure d’espace vectoriel » , 19 « Limites d’une fonctions » et 20 « Continuité » .Distribution de la correction.

16


62 VENDREDI 5 FÉVRIER


— Exemple d’utilisations répétées du théorème de Rolle sous forme d’exercice.

— Caractérisation des fonctions dérivables constantes/monotones/strictement monotones.

— Fonction lipschitzienne. La lipschitzianité implique la continuité. Inégalité des accroissements finis.

• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 14, 30, 34.

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 19–1)a).

• Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » à préparer pour mardi : 1–1)2), 2, 3, 8–1)a)b)c)d), 14.

63 JEUDI 4 FÉVRIER


— Extremum local, point critique. Condition nécessaire pour un extremum local en un point intérieur.

— Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.

— Exemple d’utilisations répétées du théorème de Rolle sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 20 « Continuité » à préparer pour jeudi : 12, 20, 22–2), 29.


— Chapitre 20 « Continuité » : 14, 30, 34.

— Chapitre 21 « Dérivabilité » : 19–1)a).

64 MERCREDI 3 FÉVRIER


— Dérivabilité en un point, nombre dérivé, tangente. Dérivabilité sur une réunion raisonnable d’intervalles.La dérivabilité implique la continuité. Caractérisation de la dérivabilité à partir des parties réelle etimaginaire. Dérivabilité à gauche/à droite en un point. Caractérisation de la dérivabilité en termes dedérivabilité à gauche et à droite.

— Opérations sur la dérivabilité : combinaisons linéaires, produit, inverse, composée, réciproque. Opéra-tions sur les dérivées successives : combinaisons linéaires, produit, inverse, composée, réciproque.

• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 1–3)5), 2, 10, 22–1), 23, 26, 28.

• Exercices du chapitre 20 « Continuité » à préparer pour jeudi : 12, 20, 22–2), 29.

65 MARDI 2 FÉVRIER

• Remise des copies du devoir à la maison « Exercices d’algèbre linéaire ».

• Cours du chapitre 20 « Continuité » :

— Norme infinie d’une fonction bornée.

— Pour une fonction continue, l’injectivité est équivalente à la stricte monotonie. Continuité d’une réci-proque.

• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » : 3–5)6)7, 9.

• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 1–1)2), 5, 9, 16, 18, 19–2), 21, 25–1)2).

• Exercices du chapitre 20 « Continuité » à préparer pour mercredi : 1–3)5), 2, 10, 26, 28.

17


66 VENDREDI 29 JANVIER


— Théorème des valeurs intérmédiaires — version antécédent et version image d’un intervalle. Théorèmestrictement monotone des valeurs intermédiaires.

— Théorème des bornes atteintes.

• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » à préparer pour vendredi : 1–3), 4–1)3), 5–1)2), 8.

• Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 19–1).


— Chapitre 19 « Limites d’une fonctions » : 3–5)6)7, 9.

— Chapitre 20 « Continuité » : 1–1)2), 16, 18, 19–2), 25–1).

67 JEUDI 28 JANVIER

• Copies du devoir à la maison « Exercices d’algèbre linéaire » relevées. Distribution de la correction et du devoir à lamaison « Des motifs qu’on répète ».

• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » :

— Théorème de la limite monotone.

— Brève extension au cas des fonctions complexes.


— Continuité en un point ou sur une partie de R. Caractérisation de la continuité à partir des parties réelleet imaginaire. Continuité en un point à gauche/à droite. Caractérisation de la limite en un point enfonction des limites à gauche/à droite.

— Prolongement par continuité en un point.

— Opérations sur la continuité.

— Caractérisation séquentielle de la continuité. Équation fonctionnelle des fonctions linéaires.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 43.

• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » : 2–3)4)5), 3–2)3).

• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » à préparer pour vendredi : 1–3), 4–1)3), 5–1)2), 8.

68 MERCREDI 27 JANVIER

• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » :

— Unicité de la limite. Premier exemple epsilonesque sous forme d’exercice.

— Toute fonction qui possède une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.

— Limite à gauche/à droite en un point. Caractérisation de la limite en termes de limite à gauche/à droite.

— Composition de limites.

— Limites et inégalités strictes/larges.

— Caractérisation séquentielle de la limite.

— Théorème d’encadrement/de minoration/de majoration.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 44, 48.

• Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » : 1–1)2), 2–1)2), 3–1).


— Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 43.

— Chapitre 19 « Limites d’une fonctions » : 2–3)4)5), 3–2)3).

18


69 MARDI 26 JANVIER

• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Exemples de sous-espaces vectoriels supplémentaires sousforme d’exercice. Existence de supplémentaires en dimension finie. Exemple sous forme d’exercice. Caractérisationde la supplémentarité en dimension finie.

• Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonctions » : Définition générale de la limite d’une fonction réelle en un point.Cas particuliers sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 11, 31, 38, 39, 40, 41, 42, 46–1)5).


— Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 44, 48.

— Chapitre 19 « Limites d’une fonctions » : 1–1)2), 2–1)2).


• Distribution de la correction 19 « Limites d’une fonctions » et du cours du chapitre 20 « Continuité » et des feuillesd’exercices associées.

• Remise des copies du devoir à la maison « Une équation polyomiale ».

• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » :

— Formule de Grassmann. Condition suffisante pour que deux sous-espaces affines soient concourants.

— Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Caractérisation par l’intersection. Dimension. Construc-tion de deux sous-espaces vectoriels en somme directe grâce à une famille libre. Bases d’une sommedirecte.

— Sous-espaces vectoriels supplémentaires.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 16, 23, 27, 34–1).

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à préparer pour mardi : 11, 31, 38, 39.

71 JEUDI 21 JANVIER


— Dimension d’un C-espace vectoriel de dimension finie en tant que R-espace vectoriel.

— Matrice d’une famille de vecteurs dans une base. Caractérisation des bases. Caractérisation des matricesinversibles en termes de lignes/colonnes.

— Somme de deux sous-espaces vectoriels. Parties génératrices d’une somme de deux sous-espaces vecto-riels.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 22, 29, 30, 32–2), 33, 35.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à préparer pour vendredi : 16, 23, 27, 34–1).


• Séance de calcul autonome sur les espaces vectoriels.


— Algorithme de la base incomplète. Théorème de la base extraite.

19


— Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie. Dimensions de Kn, Kn[X ], K[X ] etMn,p(K). Endimension n, toute partie libre possède au plus n éléments et toute partie génératrice en possède aumoins n. En dimension n, une famille de n vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice.

— Rang d’une famille finie de vecteurs, caractérisation de la liberté.

— Dimension d’un sous-espace vectoriel en dimension finie. Dimension du produit de deux espaces vecto-riels de dimension finie.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 14, 17, 24.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à préparer pour jeudi : 22, 29, 30, 32–2), 33.

73 MARDI 19 JANVIER

• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 16 janvier.


— Base, coordonnées. Bases canoniques deKn,Mn,p(K),Kn[X ] etK[X ]. Exemples sous forme d’exercices.

— Espace vectoriel de dimension finie. Dans un espace vectoriel engendré par n vecteurs, toute famille den+ 1 vecteurs est liée.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 6, 8, 9, 10, 13, 21–2), 25–1), 26.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à préparer pour mercredi : 14, 17, 24.

74 SAMEDI 16 JANVIER

Devoir surveillé sur les chapitres 15 « Matrices et systèmes linéaires » , 16 « Structures de groupe et d’anneau » et 17« Polynômes ».


• Copies du devoir à la maison « Une équation polynomiale » relevées. Distribution de la correction et du devoir à lamaison « Exercices d’algèbre linéaire ».


— Propriétés des Vect : inclusion, suppression, substitution.

— Famille génératrice. Propriétés : inclusion, suppression, substitution.

— Famille libre/liée d’un nombre fini de vecteurs, vecteurs colinéaires. Exemples sous forme d’exercices.Toute famille échelonnée en degré de polynômes non nuls est libre. Famille libre/liée d’un nombrequelconque de vecteurs. Propriétés : inclusion, ajout.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 4, 5–1)2)4).

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à préparer pour mardi : 6, 8, 9, 10.

20


76 JEUDI 14 JANVIER


— Caractérisation des sous-espaces affines par leur direction et un point. Intersection de sous-espacesaffines.

— Sous-espace vectoriel engendré par une partie, définition comme ensemble des combinaisons linéaireset caractérisation comme plus petit sous-espace vectoriel contenant cette partie.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 43, 44.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 1–2)4), 2.

• Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à préparer pour vendredi : 4, 5–1)2)4).



— Exemples d’espaces vectoriels : espaces vectoriels de fonctions dont RI et RN.

— Combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs. Exemples sous forme d’exercices. Famille presquenulle de scalaires. Combinaisons linéaires d’un nombre quelconque de vecteurs.

— Sous-espace vectoriel, définition et caractérisation. Ensemble des solutions d’un système linéaire homo-gène. Exemples de sous-espaces vectoriels sous forme d’exercices. Intersection de sous-espaces vecto-riels.

— Sous-espace affine, direction. Ensemble des solutions d’un système linéaire.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 30–8), 35, 38.


— Chapitre 17 « Polynômes » : 43, 44.

— Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 1–2)4), 2.

78 MARDI 12 JANVIER

• Cours du chapitre 17 « Polynômes » : Polynômes de Lagrange associés à une famille finie de nombres complexes.Polynôme d’interpolation de Lagrange de degré minimal.

• Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Espace vectoriel. Exemples :K, espaces vectoriels produits dontKn,Mn,p(K), K[X ].

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 20, 21, 22, 30–4), 32, 34, 36–1), 39, 40–3), 41.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 30–8), 35, 38.


• Séance de calcul autonome sur les polynômes.

• Distribution du cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » et de la feuille d’exercices associée.

• Cours du chapitre 17 « Polynômes » :

— Relations coefficients-racines. Exemples d’utilisation des relations coefficients-racines.

— Polynômes annulateurs d’une matrice carrée. Utilisation en vue de l’inversion et du calcul des puissances.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 18, 25–1), 30–1)6).

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à préparer pour mardi : 20, 22, 34, 39.

21


80 JEUDI 7 JANVIER

• Cours du chapitre 17 « Polynômes » : Polynôme scindé.

• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 21, 27.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 11–3), 17, 23–1), 24.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à préparer pour vendredi : 18, 25–1), 30–1)6).



— Multiplicité d’une racine. Formule de Taylor polynomiale. Utilisation des dérivées successives pour le calcul d’unemultiplicité. Racines complexes d’un polynôme réel.

— Factorisation « par les racines ». Le polynôme nul est le seul polynôme qui possède une infinité de racines. Identi-fication polynôme/fonction polynomiale.

• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 7, 20–1).

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 4, 9, 12–2), 14, 15.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à préparer pour jeudi : 11–3), 17, 23–1), 24.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à préparer pour vendredi : 18, 25–1), 30–1)6).

82 MARDI 5 JANVIER

• Copies du devoir à la maison « Un peu de SL2(Z), un peu de noyau » relevées. Distribution de la correction et dudevoir à la maison « Une équation polynomiale ».


— Polynôme, identification polynomiale. Anneau K[X ]. Notation polynomiale. Formule de Vandermonde. Degré,degré d’une somme, d’un produit. Intégrité deK[X ]. Composition des polynômes, degré d’une composée. Dérivéessuccessives, degré, formule de Leibniz. Évaluation polynomiale, fonction polynomiale.

— Reste de la division euclidienne par X − λ. Racine d’un polynôme.

• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 7, 13, 15, 19–1), 20–1), 21, 22–2)3), 27.

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 8, 12–1).

• Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à préparer pour mercredi : 4, 9, 12–2).

83 VENDREDI 18 DÉCEMBRE

• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » :

— Sous-anneau, caractérisation. Exemples sous forme d’exercices. Corps. Exemples sous forme d’exercices.

— Construction matricielle de C.

— Introduction aux anneauxZ

nZ.

• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 4, 11, 12, 22–1).

• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à préparer pour mardi : 5, 7, 13, 14, 15, 16, 18, 19–1),20–1), 21, 22–2)3), 25, 27.

22


84 JEUDI 17 DÉCEMBRE

• Distribution du cours du chapitre 17 « Polynômes » et de la feuille d’exercices associée.

• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Anneau. Règles usuelles de calcul, formule du binôme,formule « an − bn». Centre deMn(K). Anneau intègre. Groupe des inversibles d’un anneau.

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 13.

• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 1, 6, 10.

• Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à préparer pour vendredi : 4, 11, 12.

85 MERCREDI 16 DÉCEMBRE

• Séance de calcul autonome sur les matrices.

• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » :

— Partie stable par une loi interne.

— Groupe. Groupe symétrique d’un ensemble non vide. Sous-groupe, caractérisation. Exemples sous formed’exercices. Groupe produit.

• Exercices à préparer pour jeudi : 1, 2, 6, 20–5)a).

— Chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 13.

— Chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 1, 6, 10–1).

86 MARDI 15 DÉCEMBRE

• Remise des copies du devoir surveillé du samedi 12 décembre.

• Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Loi interne, magma. Commutativité, associativité. Élémentneutre. Inversibilité, inverse, propriétés.

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 9–2), 18, 19, 20–1)2)3)4), 23–1)2), 24–1)d)2)a).

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à préparer pour mercredi : 1, 2, 6, 20–5)a).

87 SAMEDI 12 DÉCEMBRE

Devoir surveillé sur les chapitres 12 « Injections, surjections, bijections » , 13 « Relations binaires » et 14 « Arithmétiquedes entiers relatifs » .


• Copies du devoir à la maison « Lifting the exponent » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison« Un peu de SL2(Z), un peu de noyau ».

• Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » :

— Matrices inversibles de taille 2. Formules de Cramer.

— Opérations sur les matrices inversibles. Les opérations élémentaires sont des produits par des matricesinversibles. Application de l’algorigthme du pivot à l’inversibilité et à l’inversion. Inversibilité d’unematrice triangulaire. Tout système triangulaire à coefficients diagonaux non nuls possède une et uneseule solution.

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 8, 9–1), 17–5), 24–1)a)b).

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à préparer pour mardi : 19, 23–1)2), 24–1)d)2)a).

23




— Matrice inversible, inverse. Système de Cramer. Condition suffisante de non-inversilibité. Caractérisationde l’inversibilité en termes de systèmes linéaires. Utilisation de l’algorithme du pivot pour l’inversibilitéet l’inversion. Exemples sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 10, 17–4), 22–2)3).

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à préparer pour vendredi : 8, 17–5), 24–1)2).



— Trace d’une matrice carrée, linéarité, effet sur un produit.

— Systèmes linéaires, écriture matricielle. Principe « Solution particulière + solution générale de l’équationhomogène ». Notation Vect.

— Rappels sur les droites du plan et les plans de l’espace.

— Opérations élémentaires et algorithme du pivot. Exemples sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 39.

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 5, 17–1)2)3).

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à préparer pour jeudi : 10, 17–4), 22–2)3).

91 MARDI 8 DÉCEMBRE

• Distribution du cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » et de la feuille d’exercices associée.

• Remise des copies du devoir à la maison « Promenade dénombrable ».


— Précautions diverses sur le produit matriciel. Associativité et bilinéarité du produit matriciel, matriceidentité. Formule du binôme, formule « Ak − Bk ». Produit par blocs. Exemple sous forme d’exercice.

— Transposition, linéarité, involutivité, effet sur un produit. Matrice symétrique/antisymétrique.

— Matrices diagonales et triangulaires. Stabilité par combinaison linéaire et produit.

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 12, 13, 17 31–1), 33, 37, 41.

• Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 7.


— Chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 39.

— Chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 5, 17–1)2)3).

24



• Copies du devoir à la maison « Promenade dénombrable » relevées. Distribution de la correction et du devoir à lamaison « Lifting the exponent ».

• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : Petit théorème de Fermat.


— Matrices, coefficients, lignes, colonnes, matrices carrées. Addition et multiplication par un scalaire.

— Produit matriciel.

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 20, 21, 23, 27, 34–1)2)3)a).

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à préparer pour mardi : 12, 13, 31–1), 37, 41.


• Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » :

— Forme irréductible d’un rationnel.

— PPCM de deux entiers. Lien avec le PGCD.

— Unicité de la factorisation première, valuations p-adiques. Propriétés des valuations p-adiques.

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 7, 10, 11, 14–1)2)3), 29–1).

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à préparer pour vendredi : 20, 21, 27, 34–1)2)3)a).


• Séance de calcul autonome d’arithmétique.

• Distribution du cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » et de la feuille d’exercices associée.


— Relation de Bézout. Algorithme d’Euclide étendu. Associativité du PGCD, possibilité de factoriser par undiviseur commun.

— PGCD d’une famille finie d’entiers relatifs. Extension des résultats précédents.

— Couple d’entiers premiers entre eux. Famille finie d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble/deuxà deux. Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Entiers premiers entre eux et produit d’entiers.

• Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » : 4, 5.

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 3–5), 4.

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à préparer pour jeudi : 7, 10, 11, 14–1)2)3), 29–1).

95 MARDI 1ER DÉCEMBRE


— Diviseurs communs. PGCD de deux entiers. Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide. Les diviseurscommuns de a et b sont exactement les diviseurs de a ∧ b. Algorithme d’Euclide.

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » : 21.

• Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » : 1, 2, 3, 6, 7.

• Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 1, 2–1), 3–1)2)4), 6, 32–1)2)3).


— Chapitre 13 « Relations binaires » : 4, 5.

— Chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 3–5), 4.

25


96 VENDREDI 27 NOVEMBRE


— Relation de divisibilité, propriétés.

— Relation de congruence modulo un entier naturel, propriétés.

— Nombre premier. Existence de la factorisation première. Infinité de l’ensemble des nombres premiers.Crible d’Ératosthène.

— Théorème de la division euclidienne.

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » : 8–2), 18–2), 20–1)c)2)c).


— Chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » : 21.

— Chapitre 13 « Relations binaires » : 1, 2, 3, 6, 7.

— Chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 1.

97 JEUDI 26 NOVEMBRE

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » : 5, 10, 18–1), 19–3), 20–1)2).

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » à préparer pour vendredi : 8–2), 18–2), 20–1)c)2)c).

98 MERCREDI 25 NOVEMBRE

• Copies du devoir à la maison « Étude approfondie d’une suite récurrente » relevées. Distribution de la correction.

• Cours du chapitre 13 « Relations binaires » : Relation d’ordre. Relation d’ordre strict associé. Majorants/minorantsd’une partie, plus grand/petit élément, borne supérieure/inférieure.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 45, 46, 47.

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » : 8–1), 13, 19–1)2).

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » à préparer pour jeudi : 10, 19–3), 20–1)a)b)2)a).

99 MARDI 24 NOVEMBRE

— Remise des copies du devoir surveillé du samedi 21 novembre.

• Distribution du cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs », de la feuille d’exercices associée et du devoirà la maison « Promenade dénombrable ».

• Cours du chapitre 13 « Relations binaires » :

— Relation binaire. Réflexivité, transitivité, symétrie, antisymétrie. Éléments comparables, relation totale.

— Relation d’équivalence. Classes d’équivalence, ensemble quotient.

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » : 1, 4–1)3)4), 7–1)2)3), 12, 14, 17.

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » à préparer pour mercredi : 8–1), 13, 19–1)2).

26


100 SAMEDI 21 NOVEMBRE

Devoir surveillé sur les chapitres 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » et 11 « Limite d’une suite ». Distribution de lacorrection.


• Cours du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » :

— Composée de bijections. Bijectivité de la réciproque d’une bijection. Image directe par f −1 et imageréciproque par f . Retour sur le TVI strictement monotone.

— Présentation informelle de quelques paradoxes de l’équipotence.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 24, 31, 41–1)b)2)c).

• Exercices du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » à préparer pour mardi : 1, 4–1)3)4), 7–1)2)3), 12.

102 MECREDI 18 NOVEMBRE

• Séance de calcul autonome sur les suites.

• Cours du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » :

— Fonction/application, ensemble de définition, ensemble d’arrivée, image et antécédents d’un point.Image directe d’une partie par une application, image d’une application. Expression « à valeurs dans ».Image réciproque d’une partie par une application. Vocabulaire usuel : famille, composée, identité, res-triction, prolongement.

— Injectivité. Composée d’injections (sous forme d’exercice). Si g ◦ f est injective, alors f l’est aussi (sousforme d’exercice). Toute fonction strictement monotone est injective.

— Surjectivité. Composée de surjections (sous forme d’exercice). Si g ◦ f est surjective, alors g l’est aussi(sous forme d’exercice).

— Bijectivité. Réciproque.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 22, 29, 30.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » à préparer pour vendredi : 24, 31, 41–1)b)2)c).


• Cours du chapitre 11 « Limite d’une suite » :

— Développements décimaux illimités.

— Extension des résultats du chapitre aux suites complexes.

— Théorème de Bolzano-Weierstrass.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 6, 21–1)d), 28, 34–1)2), 35, 41–1)a)2)a)b).

• Lire le paragraphe « Généralités sur les applications » du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections » .

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » à préparer pour mercredi : 22, 29, 30.

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• Copies du devoir à la maison « Suites de Cantor » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison« Étude approfondie d’une suite récurrente ».

• Distribution du cours du chapitre 12 « Injections, surjections, bijections », du cours du chapitre 13 « Relations binaires »et des feuilles d’exercices associées. Distribution du devoir en auto-correction sur les chapitres 8 « Calculs de primitiveset d’intégrales » et 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » et de sa correction.

• 11 « Limite d’une suite » :

— Partie deR stable par une fonction, existence et unicité d’une suite récurrente « un+1 = f (un) ». Exemplessous forme d’exercices. Monotonie et limite d’une suite définie récurrente « un+1 = f (un) ». Exemplessous forme d’exercices.

— Caractérisation séquentielle de la borne supérieure. Caractérisation séquentielle des points adhérents.Caractérisation séquentielle de la densité. L’ensemble des décimaux est dense dans R.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 8, 20, 21–1)b).

• Ce week-end, faire le devoir en auto-correction sur les chapitres 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » et cedsrl.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » à préparer pour mardi : 6, 21–1)d), 34–1)2), 35.



— Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes.

— Partie deR stable par une fonction, existence et unicité d’une suite récurrente « un+1 = f (un) ». Exemplessous forme d’exercices. Monotonie et limite d’une suite définie récurrente « un+1 = f (un) ».

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 16, 18–1)3), 26.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » à préparer pour vendredi : 8, 20, 21–1)b).



— Opérations sur les limites (suite).

— Produit d’une suite bornée par une suite de limite nulle. Limite d’une suite géométrique. Comparaisonexponentielles/factorielles.

— Théorème de la limite monotone.

• Exercices du chapitre 10 « Compléments sur les réels » : 3, 5.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 1–4), 2, 3, 9, 12, 13, 25.

• Lire le paragraphe « Théorème des suites adjacentes » pour jeudi.

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » à préparer pour jeudi : 16, 18–1)3), 26.

28




— Composition d’une limite de fonction et d’une limite de suite.

— Limites et inégalités strictes. Limites et inégalités larges.

— Suites extraites. Limite d’une suite extraite. Si : limn→+∞

u2n = limn→+∞

u2n+1 = ℓ, alors : limn→+∞

un = ℓ. Appli-

cation à la non-existence de limites.

— Théorèmes d’encadrement/minoration/majoration.

• Exercices du chapitre 10 « Compléments sur les réels » : 4–1), 6–3)4)5).

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 1–1)c)2)a)b)c)3)a).


— Chapitre 10 « Compléments sur les réels » : 3, 5.

— Chapitre 11 « Limite d’une suite » : 2, 3, 12, 13.


• Cours du chapitre 10 « Compléments sur les réels » : Voisinage d’un point de R dans R (resp. de C dans C). Propriétésdes voisinages. Point intérieur/adhérent à une partie de R. Partie dense de R. Exemples de Q et R \Q.


— Vocabulaire usuel sur les suites. Suites définies explicitement par une fonction ou implicitement par unerelation de récurrence simple.

— Définitions de la limite. Unicité. Convergence/divergence. Toute suite convergente est bornée. Exemple

de limite epsilonesque sous forme d’exercice. Notation+∞∑

.

— Opérations sur les limites (début) sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 10 « Compléments sur les réels » : 1, 2, 6–1)2), 7–1)a)b)2)a).

• Exercices du chapitre 11 « Limite d’une suite » : 1–1)a)b).


— Chapitre 10 « Compléments sur les réels » : 4–1), 6–3)4)5).

— Chapitre 11 « Limite d’une suite » : 1–1)c)2)a)b)c)3)a).

109 MERCREDI 4 NOVEMBRE

• Cours du chapitre 10 « Compléments sur les réels » :

— Opérations sur les bornes supérieures.

— Définition et caractérisation des intervalles de R.

— Partie entière.

• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 7, 14, 18–2), 19.

• Exercices du chapitre 10 « Compléments sur les réels » à préparer pour jeudi : 1, 2, 6–1)2), 7–1)a)b)2)a).

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• Copies du devoir à la maison « Jacobi et le pendule simple » relevées. Distribution de la correction et du devoir à lamaison « Suites de Cantor ».

• Cours du chapitre 10 « Compléments sur les réels » :

— Partie majorée/minorée de R, majorant/minorant.

— Plus grand/petit élément, unicité.

— Toute partie non vide de N possède un plus grand élément. Toute partie non vide majorée de N possèdeun plus grand élément.

— Borne supérieure/inférieure. Lien avec le maximum/minimum.

— Propriété de la borne supérieure/inférieure.

— Droite achevée R.

• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 7, 9–4).

• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 3, 6, 12–1)3), 17, 18–1).

• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à préparer pour mercredi : 18–2).

111 VENDREDI 16 OCTOBRE

• Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » :

— Solution particulière d’une équation : a y ′′ + b y ′ + c y = Aer x .

— Suites arithmético-géométriques.

— Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2, cas complexe et réel. Exemples sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 9–3), 11, 15–1)2).

• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–5), 2–2).


— Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » (correction envoyée par mail) : 8–8), 15–3)4), 16.

— Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » (correction en classe) : 7, 9–4).

— Chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » (correction envoyée par mail) :1–1)6)8), 2–6), 9–1)2)3), 16–2)3)6).

— Chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » (correction en classe) : 3, 6, 7,12–1), 14, 17, 19.

112 JEUDI 15 OCTOBRE


— Solution particulière d’une équation : y ′ + a y = Aer x . Exemple sous forme d’exercice.

— Équations différentielles homogènes : a y ′′ + b y ′ + c y = 0, cas complexe et réel. Exemples d’appli-cation directe sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–13)14)15), 5–1), 8–1)2)3)a), 9–1).

• Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1).


— Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 9–3), 11, 15–1)2).

— Chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–5), 2–2).

30


113 MERCREDI 14 OCTOBRE

• Séance de calcul autonome de calcul intégral.

• Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : Changement de variable. Exemples sous forme d’exercices.Exemples de changements de variable sous forme d’exercices.


— Introduction à la linéarité et aux équations linéaires. Principe « solution particulière + solution généralede l’équation homogène ». Principe de superposition.

— Équations différentielles homogènes : y ′ + a(x)y = 0.

— Équations différentielles : y ′ + a(x)y = b(x). Méthode de variation de la constante. Existence etunicité de la solution d’un problème de Cauchy.

• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 6–4)5)6).


— Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–13)14)15), 5–1), 8–1)2)3)a), 9–1).

— Chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1).

114 MARDI 13 OCTOBRE

— Remise des copies du devoir surveillé du samedi 10 octobre.

• Distribution du cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » et de la feuille d’exercicesassociée.

• Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » :

— Fonction complexe continue. Intégrale d’une fonction complexe continue sur un segment. Linéarité,relation de Chasles, inégalité triangulaire, et pour les fonctions réelles, positivité, positivité stricte etcroissance.

— Théorème fondamental de l’analyse.

— Fonction complexe de classe C 1. Intégration par parties. Exemples d’IPP sous forme d’exercices.

• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : 2, 4–1)3)4).

• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12), 3–1)b)c)d), 6–1)2)3).

• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à préparer pour mercredi : 6–4)5)6).

115 SAMEDI 10 OCTOBRE

Devoir surveillé sur les chapitres 4 « Rappels et compléments sur les fonctions », 5 « Fonctions circulaires » et 6 « Nombrescomplexes » . Distribution de la correction.


• Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » :

— Primitives d’une fonction complexe, unicité à constante additive près.

31


— Primitivation des fonctions de la forme f ′ × g ′ ◦ f . Exemples sous forme d’exercice. Primitivation des

fonctions x 7−→1

ax2 + bx + cavec discriminant négatif. Primitivation des fonctions x 7−→ eax cos(bx)

et x 7−→ eax sin(bx). Primitivation de fonctions trigonométriques par linéarisation. Primitivation desfractions rationnelles par utilisation de leur décomposition en éléments simples.

• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 28–2)c), 33, 36, 39.

• Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 3–1)a), 4–1).


— Chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : 2, 4–1)3)4).

— Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–1)2)3)4)5)6), 3–1)b)c).

117 JEUDI 8 OCTOBRE

• Copies du devoir à la maison « Genèse des triangles et points fixes de l’exponentielle » relevées. Distribution de lacorrection et du devoir à la maison « Jacobi et le pendule simple ».

• Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : Exemple de décomposition en élémentssimples sous forme d’exercice.

• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 10, 23, 32–2), 34–2)a), 38.

• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à préparer pour vendredi : 28–2)c), 33, 36, 39.

118 MERCREDI 7 OCTOBRE

• Séance de calcul autonome sur les nombres complexes.

• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : Interprétation géométrique des transformations z 7−→ az+b avec a ∈ C∗

et b ∈ C. Interprétation géométrique du rapportz − b

z − a.

• Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » :

— Division euclidienne des polynômes à coefficients complexes. Racine d’un polynôme à coefficients com-plexes, principe de « factorisation par la racine ». Multiplicité d’une racine.

— Factorisations irréductibles sur C et sur R.

— Décomposition en éléments simples sur R— seulement. Techniques de calcul des coefficients.

• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 9, 14, 32–1)b)c), 34–1).

• Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : 1.

• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à préparer pour jeudi : 10, 23, 32–2), 38.

119 MARDI 6 OCTOBRE

• Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » :

— Dérivation de la fonction eϕ où ϕ est une fonction à valeurs complexes.

— Racines nèmes. Ensemble Un. Nombre j.

• Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 26.

• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 3, 7, 8–2), 11, 13–1), 20–2)a), 21, 23–2), 28–1)a)b), 30.

• Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à préparer pour mercredi : 9, 14, 32–1)b)c), 34–1).

32



• Distribution de la correction 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » , du chapitre 8 « Calculs deprimitives et d’intégrales » et des feuil

Documents

Cahier de textes 2020-2021 - Christophe Bertault de... · 2021. 2. 5. · Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI CAHIER DE TEXTES 2020-2021 1 JEUDI 4 FÉVRIER • Cours du