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Calcul approché d'une intégrale - Univers TI-Nspire · En intégration numérique, on cherche à calculer une valeur approchée d’une intégrale définie b ... Poursuivons avec

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  • Christian Vassard (IUFM Rouen)

    15

    Ch

    ap

    itre

    En intgration numrique, on cherche calculer une valeur approche dune intgrale dfinie

    b

    aI f x dx , o f est une fonction relle de variable relle dfinie et continue sur un intervalle ferm

    born [a ; b].

    Si lon connat explicitement une primitive de f sur [a ; b], un tel calcul ne prsente aucune difficult,

    ceci prs que le problme du calcul approch reste parfois pos.

    Mais cest bien loin dtre toujours le cas, soit quune telle primitive ne puisse tre dtermine

    simplement partir des fonctions usuelles (par exemple si f est dfinie par 2

    ( ) xf x e ), soit que la

    fonction f elle-mme ne soit connue quen un nombre fini de points (par exemple en sciences

    exprimentales).

    Dans le but de comparer les diffrentes mthodes proposes, nous les appliquerons systmatiquement

    au mme exemple, le calcul approch de 1

    20

    4

    1

    I dx

    x La fonction est simple, la valeur de I trs

    clbre, puisquelle est gale . Dautres exemples, comme 21

    0xe dx , peuvent aussi tre utiliss.

    Sommaire

    Chapitre 15. Calcul approch dune intgrale ................................................... 335

    1. Intgration numrique par interpolation ............................................... 337

    1.1 Formule de quadrature n + 1 points ........................................ 337

    1.2 Intgration numrique et interpolation........................................ 337

    1.3 Exactitude dune formule de quadrature .................................... 338

    1.4 Une fonction pour le calcul des polynmes Li ........................... 339

    1.5 Les formules de Newton-Cotes ................................................... 340

    1.6 Une premire fonction pour le calcul des coefficients ............. 341

    1.7 Une autre fonction pour le calcul des coefficients .................... 343

    1.8 Calcul dune intgrale par interpolation ...................................... 346

    1.9 valuation de lerreur .................................................................... 347

    1.10 Vers les mthodes composites ................................................... 347

    Chapitre 15.

    Calcul approch

    dune intgrale

  • 336 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    2. Mthode des rectangles ......................................................................... 348

    2.1 Principe de la mthode ................................................................. 348

    2.2 Mthode composite des rectangles ............................................ 348

    2.3 Une fonction pour la mthode des rectangles .......................... 349

    2.4 Illustration graphique ..................................................................... 351

    2.5 Mthode des rectangles avec une fonction de classe C1 ....... 355

    2.6 Vers une amlioration de la mthode des rectangles ............. 355

    3. La mthode des rectangles avec point mdian .................................. 359

    3.1 Principe de la mthode ................................................................. 359

    3.2 valuation de lerreur .................................................................... 361

    3.3 Mthode composite des rectangles avec point mdian .......... 362

    3.4 criture de fonctions ..................................................................... 363

    4. Mthode des trapzes ............................................................................. 366

    4.1 Principe de la mthode ................................................................. 366

    4.2 Majoration de lerreur due la mthode .................................... 366

    4.3 Mthode composite des trapzes ............................................... 369

    4.4 criture dune fonction .................................................................. 370

    4.5 Illustration graphique ..................................................................... 372

    5. Mthode de Simpson .............................................................................. 373

    5.1 Principe de la mthode ................................................................. 373

    5.2 Majoration de lerreur due la mthode .................................... 376

    5.3 Mthode composite de Simpson ................................................. 379

    5.4 criture dune fonction .................................................................. 380

    5.5 Illustration graphique ..................................................................... 381

    6. La mthode de Romberg ........................................................................ 384

    6.1 Dveloppement limit de la mthode des trapzes ................. 384

    6.2 Application une acclration de convergence ....................... 384

    6.3 Mise en uvre sur le tableur ....................................................... 386

  • Calcul approch dune intgrale 337

    T France 2010 / Photocopie autorise

    1. Intgration numrique par interpolation

    1.1 Formule de quadrature n + 1 points

    Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

    Dun point de vue trs gnral, le principe de lintgration numrique consiste remplacer le calcul

    de b

    aI f x dx par celui de la somme finie :

    0 10 10

    ...

    n

    k n

    n k n n n n

    k

    A f x A f x A f x A f x

    o les xi dsignent n + 1 rels de lintervalle [a ; b].

    Dans cette dernire formule, les coefficients knA ne dpendent pas de la fonction f 1.

    Dfinition

    Une telle formule est appele formule de quadrature n + 1 points.

    1.2 Intgration numrique et interpolation

    On sait quon peut approcher la fonction f par un polynme dinterpolation g.

    Une des mthodes classiques dintgration numrique consiste remplacer le calcul de b

    aI f x dx

    par celui de b

    ag x dx , intgrale dun polynme, ceci pour au moins deux raisons :

    lintgration des polynmes est trs simple et ne ncessite que les quatre oprations

    lmentaires ;

    il arrive frquemment, pour les courbes exprimentales par exemple, quon ne connaisse f

    quen certains de ses points xi.

    Supposons donc que g soit le polynme dinterpolation de Lagrange aux points dabscisse :

    x0 = a < x1 < < xn 1 < xn = b.

    g est donc le polynme de degr n qui vrifie pour tout entier naturel i infrieur ou gal n :

    i ig x f x .

    Or on sait comment exprimer ce polynme. Il peut scrire :

    0

    n

    i i

    i

    g x L x f x o

    0

    0

    n

    k

    kk i

    i n

    i k

    kk i

    x x

    L x

    x x

    .

    Rappelons que 1i iL x et 0i jL x lorsque i j.

    1 On rutilise donc les mmes coefficients lorsquon travaille avec une autre fonction.

  • 338 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Par consquent :

    0 0 0

    n n nb b b

    n

    j j i i i ia a a

    j i i

    g x dx L x f x dx L x dx f x A f x

    en posant b

    n

    i ia

    A L x dx .

    Les coefficients niA ne dpendent pas de la fonction f, seulement des points dinterpolation choisis.

    Conformment ce que nous avons dit plus haut, remplacer la fonction f par le polynme qui

    linterpole aux points xi, 0 i n, conduit bien une formule de quadrature n + 1 points, dite formule de quadrature n + 1 points de type interpolation.

    Formule de quadrature n + 1 points de type interpolation

    Une galit du type b b

    a aI f x dx g x dx , o g est un polynme interpolant f sur

    lintervalle [a ; b], est appele formule de quadrature n + 1 points de type interpolation.

    Reste videmment choisir le degr du polynme interpolateur, et les xi au mieux 2.

    1.3 Exactitude dune formule de quadrature

    En remplaant la fonction f par son polynme interpolateur g, on commet une erreur quil est essentiel

    de connatre, et quon cherchera majorer. Lorsque la fonction f est elle-mme un polynme de degr

    au plus n, elle est gale son polynme interpolateur, et la formule dintgration numrique est

    exacte. En dautres termes, une formule de quadrature n + 1 points de type interpolation est

    forcment exacte au moins sur lensemble des polynmes de degr n.

    Plus gnralement, on dfinit la notion dexactitude dune formule de quadrature, pas forcment de

    type interpolation dailleurs, de la faon suivante :

    Une formule de quadrature est dite exacte sur un ensemble V si lintgrale dune fonction de V

    est gale exactement sa valeur obtenue par la formule de quadrature considre.

    On dit quelle est dordre n si elle est exacte sur lensemble des polynmes de degr n.

    On dispose alors du rsultat suivant :

    Thorme

    Une formule de quadrature n + 1 points est exacte sur lespace vectoriel n des polynmes

    de degr au plus n (donc dordre n) si et seulement si elle est du type interpolation n + 1

    points.

    Dmonstration

    Considrons donc une formule de quadrature exacte sur lespace vectoriel n des polynmes de degr

    au plus n. On a donc :

    0

    nb

    k

    n ka

    k

    P x dx A P x pour P n.

    En particulier lgalit a lieu pour le polynme Lj, ce qui donne :

    0

    nb

    k j

    j n j k na

    k

    L x dx A L x A .

    2 En particulier, il nest pas dit ici que les xi doivent tre rgulirement espacs.

  • Calcul approch dune intgrale 339

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Par suite, 0 0

    n nb b b

    k k k ka a a

    k k

    I f x dx L x dx f x L x f x dx , ce qui prouve que la

    formule de quadrature considre est de type interpolation n + 1 points.

    Rciproquement, si la formule est de type interpolation n + 1 points, alors quel que soit le polynme

    P de degr au plus n, P est confondu avec son polynme dinterpolation n + 1 points. La formule est

    donc exacte sur n,, lespace vectoriel des polynmes de degr au plus n.

    1.4 Une fonction pour le calcul des polynmes Li

    Nous travaillerons avec des formules de quadrature de type interpolation. Nous aurons donc besoin de

    calculer les polynmes Li qui interviennent dans la dtermination du polynme dinterpolation de

    Lagrange. On rappelle quils sont dfinis par :

    0

    0

    n

    k

    kk i

    i n

    i k

    kk i

    x x

    L x

    x x

    o les xi sont les abscisses des points dinterpolation.

    En entre, on dispose de la liste des abscisses dinterpolation, depuis x0 jusqu xn3, ainsi que lindice i

    pour lequel on veut calculer Li. On commence par fabriquer le numrateur de Li : on calcule le produit

    de tous les x xk en utilisant une instruction de liste pour que le calcul soit effectu en une seule fois ;

    enfin il faut penser retirer de ce produit le facteur x xi.

    Le dnominateur est tout simplement gal ce que lon obtient en remplaant dans le numrateur x

    par xi.

    On obtient alors la fonction suivante :

    Les rsultats sont conformes ceux que lon attend :

    3 Attention, les listes sont numrotes partir de 1.

  • 340 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    1.5 Les formules de Newton-Cotes

    Les formules de Newton-Cotes sont des formules de quadrature de type interpolation, faisant

    intervenir une subdivision rgulire de lintervalle [a ; b] :

    x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, , xn = b = a + nh avec h = b a

    n

    .

    Elles recouvrent tous les cas habituellement utiliss en intgration approche (rectangle, trapze,

    Simpson).

    Elles sont dites de type ferm, car les extrmits de lintervalle sont dans la subdivision.

    tudions quelques cas, selon le degr n du polynme interpolateur.

    Tout dabord quand n = 1, on interpole la fonction par le polynme de degr 1 qui prend les

    mmes valeurs que f en a et b.

    Conformment ce que nous avons crit plus haut, nous pouvons crire :

    1 10 1 b

    ag x dx A f a A f b avec 10 0

    b

    aA L x dx et 11 1

    b

    aA L x dx .

    Il reste faire le calcul de 10 0 b

    aA L x dx et 11 1

    b

    aA L x dx .

    On a donc :

    1

    02

    b aA et 11

    2

    b aA .

    Concrtement, on retrouve la mthode des trapzes sur lintervalle [a, b], pour laquelle on approxime

    lintgrale par :

    1 10 12

    b

    a

    b ag x dx A f a A f b f a f b

    Poursuivons avec n = 2 : on interpole cette fois la fonction par le trinme du second degr qui prend

    les mmes valeurs que f en a, 2

    a b et b

    4.

    On crit cette fois :

    2 2 20 1 22

    b

    a

    a bg x dx A f a A f A f b

    avec 20 0 b

    aA L x dx , 21 1

    b

    aA L x dx et 22 1

    b

    aA L x dx .

    4 On reconnat la mthode de Simpson.

  • Calcul approch dune intgrale 341

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Calculons les coefficients avec notre TI-Nspire :

    On a donc :

    2

    06

    b aA ,

    21

    2

    3

    b aA et 22

    6

    b aA .

    On retrouve la formule de Simpson, qui affirme que :

    46 2

    b

    a

    b a a bg x dx f a f f b .

    Dans les nkA que nous venons de calculer, apparat systmatiquement le facteur b a. Cela conduit

    poser

    nn kk

    AB

    b a, si bien que :

    1 1

    0 1

    1

    2 B B ; 2 20 2

    1

    6 B B et 21

    2

    3B .

    Nous nous bornerons dans la suite ne calculer que les coefficients nkB .

    Avec n = 3, on obtient les coefficients suivants :

    3 3

    0 3

    1

    8 B B et 3 31 2

    3

    8 B B

    comme le montrent les crans suivants :

    1.6 Une premire fonction pour le calcul des coefficients

    videmment, on pourrait poursuivre avec le tableur, en crivant une fonction qui donne directement la

    liste des coefficients correspondant un entier donn.

    On garde le mme principe que dans les calculs que nous venons de faire : une instruction seq gnre

    la liste des abscisses rgulirement espaces. Une boucle For calcule chacun des coefficients et les

    mmorise dans une liste.

  • 342 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    On peut remarquer que les temps de calcul pour des valeurs de n plus grandes deviennent assez

    rapidement importants : 2 minutes 15 pour coeff(50) et presque un quart dheure pour coeff(70) sur

    mon ordinateur portable.

    On peut alors construire une feuille de calcul : partant de A1 mis 0, on saisit linstruction

    augment({A1+1},coeff(A1+1)) dans la zone grise de la colonne B, puis on la recopie

    successivement dans les zones grises des colonnes C, D, etc. On obtient les rsultats suivants :

    Ce tableau nous permet daccder rapidement aux mthodes dintgration approche qui suivent la

    clbre mthode de Simpson.

  • Calcul approch dune intgrale 343

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Le cas n = 4 par exemple sappelle la mthode de Villarceau et conduit la formule :

    37 16 2 16 7

    90 45 4 15 2 45 4 90

    b ab a b ab a f a f a f a f a f b

    Le cas n = 6 conduit la mthode de Hardy.

    partir de n = 8, on observe que des signes apparaissent dans les coefficients, ce qui est une gne

    dans le calcul approch, avec le risque possible dapparition derreurs de cancellation (perte

    importante de chiffres significatifs par diffrence de nombres trs voisins).

    Une autre remarque simpose lexamen de ce tableau : les coefficients prsentent une symtrie, la

    manire des coefficients binomiaux :

    n n

    k n kB B , pour tout entier naturel n non nul et pour tout entier naturel k compris entre 1 et n,

    ce que nous prouverons un peu plus loin.

    1.7 Une autre fonction pour le calcul des coefficients

    Revenons ltude gnrale. En faisant intervenir les coefficients

    nn kk

    AB

    b a, mis en vidence sur

    la feuille de calcul prcdente, la formule de quadrature scrit :

    0 0

    n nb

    n n

    i ia

    i i

    f x dx A f a ih b a B f a ih

    en posant b a

    hn

    .

    Comment peuvent sexprimer plus simplement les coefficients niB ?

    On sait que 1 1

    bn n

    i i ia

    B A L x dxb a b a

    avec

    0

    0

    n

    k

    kk i

    i n

    i k

    kk i

    x x

    L x

    x x

    .

    Calculons cette dernire intgrale par changement de variable en posant y = x a

    h

    ou x = a + yh, si

    bien que hdy dx .

    Dune part :

    0 0 0 0

    n n n n

    n

    k

    k k k kk i k i k i k i

    x x a yh a kh h y k h y k

    et dautre part :

    0 0 0

    1 ... 1 1 2 ...

    ! 1 2 ... 1 ! !

    n n n

    n

    i k

    k k kk i k i k i

    n

    n in n

    x x a ih a kh h i k

    h i i i i i i i i i n

    h i n i h i n i

    si bien que

  • 344 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    0 0 0

    0

    1 ! ! 1 ! !

    n n nn

    k

    k k kk i k i k i

    i n n i n in

    i k

    kk i

    x x h y k y k

    L xh i n i i n ix x

    On peut passer maintenant au changement de variable dans le calcul de lintgrale pour obtenir

    lexpression suivante du coefficient niB :

    0 00 0

    11 1

    ! !1 ! !

    n in n

    n nn

    i n ik kk i k i

    B y k hdy y k dyb a i n i ni n i

    Cette dernire expression permet de comprendre pourquoi lon obtient un nombre rel,

    indpendant de a et de b.

    Dautre part, elle permet aussi de prouver la remarque, que nous avons faite plus haut, sur lgalit

    n n

    i n iB B .

    En effet :

    0 00, 0,

    1 1

    ! ! ! !

    n n i in n

    n nn

    n i

    k k n i k k i

    B y k dy y n k dyn i i n n i i n

    que lon peut transformer en posant u = n y, do du = dy. On peut alors crire :

    0

    00, 0,

    1 1

    ! ! ! !

    i n in n

    nn

    n in

    k k i k k i

    B u k du u k dun i i n n i i n

    tandis que

    00,

    1

    ! !

    n in

    nn

    i

    k k i

    B u k dun i i n

    .

    Ces deux dernires expressions sont bien les mmes car 1 1

    n k n k

    le quotient des deux vaut

    1.

    On retrouve videmment avec cette expression les rsultats obtenus prcdemment, avec un calcul un

    peu plus simple.

    Ainsi pour la mthode du trapze o n = 1, les calculs conduisent :

    1

    21

    1

    00

    0

    1 11

    0! 1! 1 2 2

    yB y dy y aussi gal 11B daprs la symtrie des

    coefficients.

  • Calcul approch dune intgrale 345

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Avec trois points, et la mthode de Simpson, on peut crire :

    2 2

    2 2 2

    0 20 0

    23 2

    0

    1 11 2 3 2

    0! 2! 2 4

    1 3 1 8 1 2 12 6 4

    4 3 2 4 3 4 3 6

    B B y y dy y y dy

    y yy

    2 2

    2 2

    10 0

    23

    2

    0

    1 12 2

    1! 1! 2 2

    1 1 4 2

    2 3 2 3 3

    B y y dy y y dy

    yy

    Automatisons ces calculs par lcriture dune nouvelle fonction, plus rapide que la prcdente,

    pour le calcul des coefficients niB .

    Remarquons que la variable y est une variable formelle : elle ne doit pas tre dclare dans Local, ni

    subir une affectation, faute de quoi un message derreur serait renvoy.

    On retrouve videmment les rsultats prcdents, en deux minutes presquinstantans pour n = 50 ou

    douze minutes pour n = 70 mais sans tenir compte de la proprit de symtrie des coefficients

    Sil nest pas spectaculaire, le gain est malgr tout bon prendre !

  • 346 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    1.8 Calcul dune intgrale par interpolation

    Nous disposons maintenant de tous les lments pour crire un programme5 donnant le calcul

    approch de nimporte quelle intgrale en utilisant le polynme dinterpolation du degr que lon

    veut et des abscisses rgulirement espaces.

    On utilise cette fois linstruction Request pour dfinir la fonction, les bornes de lintervalle

    dintgration et le degr du polynme dinterpolation : f est une variable globale, non dclare dans

    Local6, alors que a et b sont des variables locales.

    La liste des abscisses des points dinterpolation est alors gnre avec une fonction seq.

    Il reste construire la liste des coefficients niB en se servant de la proprit de symtrie : linf rcupre

    les premiers coefficients et lsup les derniers, symtriques des premiers. Attention si n est pair, cette

    liste possde un nombre impair dlments : un coefficient central est rajouter.

    Les rsultats que lon obtient sont intressants mais pas si spectaculaires que cela, eu gard au nombre

    faramineux de calculs effectus : on obtient avec un polynme de degr 80 une valeur approche de avec 43 dcimales exactes :

    5 Une fois nest pas coutume !

    6 Une valeur par dfaut le contenu de f sil existe sera propose dans la fentre de saisie de linstruction Request.

  • Calcul approch dune intgrale 347

    T France 2010 / Photocopie autorise

    1.9 valuation de lerreur

    Dune manire gnrale, on peut admettre le thorme suivant, qui permet de prciser le

    comportement asymptotique de lerreur commise dans le cas dune mthode de Newton-Cotes.

    Thorme

    Si le nombre de points dinterpolation est n + 1, dans les formules de Newton-Cotes vues

    prcdemment, avec n pair, lerreur est en

    3

    3

    n

    n b ahn

    et avec n impair, elle est en

    2

    2

    n

    n b ahn

    .

    On a aussi le rsultat suivant :

    Les formules de Newton-Cotes n + 1 points sont exactes sur lensemble des polynmes de

    degr n lorsque n est impair, et n + 1 lorsque n est pair.

    ce qui explique en particulier que la mthode de Simpson soit vraie non seulement pour les

    polynmes de degr 2 mais aussi pour les polynmes de degr 3.

    Bref, il y a donc avantage utiliser les formules de Newton-Cotes avec n pair (mthode de Simpson

    par exemple, o lon interpole la fonction intgrer par un polynme de degr 2, dont lerreur est en

    h5 tandis que la mthode qui la suit utilisant un polynme de degr 3 est aussi en h

    5).

    Ceci tant, le coefficient qui intervient devant le terme derreur peut tre grand et dgrader la qualit

    de la convergence. Ainsi dans notre calcul, nous avons obtenu 43 dcimales exactes alors que 73

    1541 7,2 1070

    .

    1.10 Vers les mthodes composites

    Linterpolation de Lagrange, selon la fonction ou la subdivision utilise, peut tre sujette des effets

    de bord (phnomnes de Runge). La convergence, quand n grandit, du polynme interpolateur vers la

    fonction quil interpole, na pas forcment lieu. Ce qui est fcheux quand on cherche estimer une

    intgrale ! Bref, outre que les calculs demands sont trs lourds, on peut en plus dcouvrir quelques

    surprises.

    Cest pourquoi, plutt que daugmenter le degr du polynme dinterpolation, on prfre utiliser des

    mthodes de quadrature de type composites, ventuellement couples la mthode de Romberg7, qui

    permettent moindre frais, dobtenir assez facilement des rsultats prcis. On partage lintervalle

    [a ; b] en n petits sous-intervalles de longueur

    b a

    hn

    , sur chacun desquels on interpole la fonction

    par un polynme de faible degr.

    Nous utiliserons dans toute la suite du chapitre les notations suivantes :

    0

    1

    2

    0

    1

    2

    ...

    x a a h

    x a h

    x a h

    ...

    ...

    k

    n

    x a k h

    b ax a n h a n b

    n

    7 Cest une mthode dacclration de convergence partir de la mthode composite des trapzes.

  • 348 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    2. Mthode des rectangles

    2.1 Principe de la mthode

    Commenons par supposer que la fonction f est continue et croissante sur lintervalle [a ; b].

    Remarquons que pour une fonction continue et dcroissante sur [a ; b], les rsultats qui suivent

    pourraient tre transposs point par point.

    On peut alors encadrer f par les deux fonctions constantes g1 et g2 dfinies sur [a ; b] par g1(x) = f(a)

    et g2(x) = f(b).

    Thorme

    Si f est une fonction continue et croissante sur lintervalle [a, b], alors :

    b a f a I b a f b .

    Dmonstration

    En effet, et cest presquimmdiat, comme f est croissante sur [a ; b], on peut crire pour tout x de cet

    intervalle :

    f a f x f b .

    En intgrant cette ingalit entre a et b, on en dduit lingalit cherche.

    Linterprtation graphique est immdiate, si lon raisonne sur une fonction f positive : son intgrale,

    qui est laire sous la courbe entre a et b, est encadre par les aires de deux rectangles, do le nom de

    la mthode.

    2.2 Mthode composite des rectangles

    Ce que nous venons de dcrire nest autre quune mthode de quadrature par interpolation, o lon

    remplace la fonction intgrer par un polynme de degr 0. videmment, la prcision est grossire et

    la mthode composite est toute indique pour obtenir un rsultat plus prcis.

    Dcoupons donc lintervalle [a ; b] en n sous-intervalles de longueur b a

    hn

    . On obtient le rsultat

    suivant, valable encore pour une fonction croissante sur [a ; b] :

    Thorme

    Si f est une fonction continue et croissante sur lintervalle [a, b], alors :

    1 1

    1

    0 0

    ' ''

    n n

    n i i n

    i i

    b a b aR f x I f x R

    n n.

    Dmonstration

    Sur lintervalle 1, i ix x , on a, daprs le thorme du dbut :

    1

    1 1 1 1

    i

    i

    x

    i i i i i i i ix

    b a b ax x f x f x f x dx x x f x f x

    n n

    Par suite, en sommant depuis i = 0, jusqu n 1, on peut crire :

    1

    1 1 1

    1

    0 0 0

    i

    i

    n n nx

    i ix

    i i i

    b a b af x f x dx f x

    n n

  • Calcul approch dune intgrale 349

    T France 2010 / Photocopie autorise

    soit 1 1

    1

    0 0

    n nb

    i ia

    i i

    b a b af x f x dx f x

    n n, qui est bien la formule annonce.

    Lorsque n tend vers linfini, la convergence vers I est assure daprs la dfinition mme de

    lintgrale de Riemann. En effet, chacune des sommes R'n et R''n nest autre quune somme de

    Riemann, correspondant la subdivision considre.

    Lorsque la fonction est continue et dcroissante sur [a ; b], les ingalits sont inverses8 : dans le cas

    o la fonction est monotone, la mthode des rectangles prsente donc le (gros) avantage de donner un

    encadrement de I, ce qui permet facilement de donner un sens aux rsultats renvoys.

    Cas o la fonction nest pas monotone sur lintervalle [a ; b] : les encadrements prcdents nont

    plus lieu, mais la convergence de 'nR et de ''nR vers I est assure !

    2.3 Une fonction pour la mthode des rectangles

    La programmation de cette mthode est trs simple. On fait le choix de dfinir au pralable la fonction

    tudier dans une fentre Calculs :

    Une stratgie possible, parmi quelques autres, consiste mmoriser au pralable dans une variable s

    la somme de tous les f(xi) pour i allant de 0 jusqu n. Pour le calcul de Rn, il faut retirer

    nf b f x de cette variable s tandis que pour celui de R''n, il faut retirer 0f a f x en noubliant pas de multiplier par h, le pas de la subdivision.

    8 Lorsque la fonction est croissante sur [a,b], laire des rectangles gauche minore lintgrale tandis que laire des rectangles droite la

    majore. Cest exactement linverse lorsque la fonction est dcroissante.

  • 350 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Le rsultat est par exemple renvoy dans une liste : on obtient ainsi deux valeurs qui encadrent

    lintgrale cherche dans le cas o la fonction f est monotone.

    Le code est donn ci-aprs :

    Voici quelques-uns des rsultats obtenus avec notre fonction. Les deux nombres de la liste encadrent

    , comme prvu puisque la fonction f de notre exemple est dcroissante sur [0 ; 1]. Les rectangles gauche donnent un majorant de I et les rectangles droite un minorant.

    Le dcoupage de lintervalle en 10 000 ou 100 000 tranches allonge fortement le temps de calcul,

    notamment sur la calculatrice, mais ne conduit pas un gain de prcision spectaculaire, dautant aussi

    quavec 100 000 itrations risque de saccrotre le cumul des erreurs darrondi ! La mthode nest

    donc pas recommande pour obtenir une valeur approche de trs prcise9.

    Revenons sur le problme important du contrle de lerreur. Supposons pour fixer les ides que lon

    choisisse de renvoyer comme rsultat la valeur moyenne ' ''

    2

    n nn

    R RR , comme le montre

    linstruction suivante :

    Toujours en supposant que la fonction f est monotone sur lintervalle [a ; b], on peut majorer lerreur

    commise :

    '' '

    2 2

    n n

    n

    R R b aI R f b f a

    n.

    Ainsi pour avoir un rsultat nR 106

    prs avec notre exemple de rfrence, on devrait prendre :

    61 0 2

    0 1 10

    b a

    f b f a f fn n n

    soit 62 10 2 000 000 n

    9 On remarquera aussi quon a indiqu comme entre 0. pour forcer le calcul en mode approch. Un calcul exact, tant donne la prcision

    de la mthode, ne prsente aucun intrt.

  • Calcul approch dune intgrale 351

    T France 2010 / Photocopie autorise

    ... cest beaucoup, voire inaccessible pour une calculatrice comme la ntre ! Ou pour tout outil de

    calcul approch dailleurs qui risque daccumuler au cours des 2 000 000 de calculs les erreurs

    darrondis

    2.4 Illustration graphique

    Il nous reste tudier la possibilit dune illustration graphique de la mthode des rectangles,

    pdagogiquement indispensable ! On sait quon ne dispose pas vritablement dinstructions de

    programmation graphique avec TI-Nspire, pour le moment du moins. Mais comme on la dj fait

    prcdemment, on peut sen sortir avec des nuages de points, en mode reli, judicieusement choisis

    pour dcrire les rectangles ncessaires chaque tape.

    De quelles pages aurons-nous besoin dans le classeur ?

    Tout dabord une page Calculs, dans laquelle nous dfinissons comme dhabitude la fonction

    f ;

    une page Tableur & Listes, qui servira piloter de faon dynamique la page de gomtrie ;

    enfin une page Graphiques pour visualiser le rsultat obtenu, et piloter le dcoupage de

    lintervalle laide dun curseur Dores et dj, on peut demander dans cette page la

    reprsentation graphique de f, sans se proccuper pour le moment du rglage de la fentre que

    lon grera par programme. De plus on stocke les extrmits des axes, en les faisant apparatre

    si ncessaire, dans les variables xmin, xmax, ymin, ymax.

    et des fentres de programmation, autant que ncessaire !

    Prparons dabord le terrain Une fois la fonction dfinie, on peut demander par programme un

    rglage automatique de la fentre autant se dcharger le plus possible des tches fastidieuses !

    Cest lobjet du programme qui suit, programme et non fonction car il faut modifier des variables

    globales ici xmax, xmin, ymax et ymin ce quune fonction ne peut pas faire. Les paramtres

    dentre sont a et b, les bornes de lintervalle dtude.

    Attention bien faire figurer laxe des abscisses dans la fentre puisquil est ncessaire aux

    constructions venir : si le maximum de la fonction est strictement ngatif, il faut le remplacer par 0

    et si le minimum est strictement positif, il faut aussi le remplacer par 0.

    Demandons lexcution de ce programme. On obtient bien un cadrage correct horizontalement et

    verticalement de notre reprsentation graphique partir de lintervalle [a, b] choisi. Enfin, pour

    simplifier cette phase de prparation, on peut regrouper toutes les instructions et le programme

    prcdent sur une seule ligne, comme le montre lcran ci-dessous :

  • 352 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Poursuivons notre travail, en crivant trois fonctions, construites sur le mme modle, qui

    retourneront les listes des abscisses et ordonnes des nuages de points correspondant la mthode des

    rectangles gauche et droite10

    .

    Des fonctions cette fois car elles devront tre utilises dans le tableur pour ragir dynamiquement.

    Dcrivons la construction attendue. chaque passage dans la boucle, il faudrait crer le rectangle

    gauche dont les sommets ont pour coordonnes :

    (a+ih ; 0), (a+ih ; f(a+ih)), (a+(i+1)h ; f(a+ih) et (a+(i+1)h,0).

    On peut donc crire deux fonctions, la premire qui donnera la liste de toutes les abscisses en ajoutant

    chaque tape les valeurs

    a+ih, a+ih, a+(i+1)h et a+(i+1)h,

    la seconde qui donnera la liste des ordonnes avec les valeurs

    0, f(a+ih),f(a+ih) et 0.

    Ci-dessous le texte, trs simple, de ces deux fonctions (x_rectgau et y_rectgau). Il sagit simplement

    de constituer une liste dabscisses suivant les rgles ci-dessus et les ordonnes qui correspondent. De

    plus, il nest pas ncessaire de rcrire intgralement la deuxime fonction : on repart dune copie de

    la premire, mutatis mutandis.

    Idem avec les rectangles droite : les abscisses ne changeant pas inutile de rcrire une fonction

    pour la liste des abscisses, il faut juste modifier la liste des ordonnes en consquence. Les points

    joindre ont cette fois pour coordonnes :

    (a+ih ; 0), (a+ih ; f(a+(i+1)h)), (a+(i+1)h ; f(a+(i+1)h) et (a+(i+1)h ; 0).

    Do la fonction y_rectdroi ci-aprs.

    Pour fixer les ides, dans la page Calculs, on obtient par exemple les rsultats suivants :

    10 Trois fonctions car la liste des abscisses sert la fois pour les rectangles gauche et droite

  • Calcul approch dune intgrale 353

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Mais cest dans le tableur que nous allons utiliser ces listes sur le modle de la page qui suit. Rien

    ajouter ce que lon voit, sauf rappeler quen A1 est dfinie la variable n, et que les cellules B1 et B2

    sont lies aux variables a et b, dj dfinies dans la page Calculs. Ne pas oublier non plus de nommer

    les listes obtenues, xx1, yy1 et yy2 comme indiqu ci-aprs. Ces noms vont permettre de demander le

    trac des nuages de points, cest--dire, on le sait, des rectangles gauche et droite. On peut aussi

    dans la cellule G1 demander laffichage du calcul approch de lintgrale avec les paramtres choisis :

    il suffit dappeler la fonction rect(a,b,n) et de demander la moyenne de la liste obtenue. Nous

    stockons cette valeur dans la variable res.

    Dans la fentre Graphiques, il reste reprsenter deux nuages de points :

    lun avec pour abscisses les lments de la liste xx1 et pour ordonnes ceux de la liste yy1 (en

    mode reli voir dans Attributs, ce nuage visualisera les rectangles gauche) ;

    lautre avec pour abscisses les lments de la liste xx1 et pour ordonnes ceux de la liste yy2,

    qui reprsentera les rectangles droite.

    On obtient alors le rsultat suivant, qui donne une illustration intressante de la mthode des

    rectangles. Il reste rendre tout ceci plus convivial pour que lutilisation de ce graphique soit la plus

    simple possible.

  • 354 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Quelles amliorations peuvent-elles tre apportes ?

    Tout dabord, on peut piloter la valeur de n au moyen dun curseur, par pas entier de 1 100. Une

    modification de la valeur de n relancera le re-calcul du tableur11

    , donc en particulier lappel des

    fonctions qui fabriquent les nouvelles listes. La fentre de gomtrie est ainsi mise jour de faon

    dynamique.

    Ensuite, on peut utiliser la couleur (sur le logiciel) pour distinguer les rectangles droite et gauche.

    Enfin on peut demander laffichage de la valeur approche de lintgrale correspondant aux

    paramtres choisis en demandant laffichage de la variable res dans lapplication Graphiques Un

    clic droit sur la valeur renvoye permet daccder au menu Attributs pour demander quelques

    dcimales supplmentaires. On peut ancrer cette valeur au texte : Valeur approche de lintgrale.

    11 Cest l o le caractre dynamique du tableur est apprciable !

  • Calcul approch dune intgrale 355

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Ce modle de classeur pourra tre rutilis pour dautres mthodes de calcul approch dintgrales,

    notamment la mthode des trapzes. Aprs un enregistrer sous , il ne restera plus qu adapter la

    mthode tudie, par quelques modifications somme toute mineures, la construction qui vient dtre

    faite. La mthode de Simpson toutefois relvera dun traitement un peu diffrent pour lillustration

    graphique.

    2.5 Mthode des rectangles avec une fonction de classe C1

    On ne suppose plus que la fonction f est monotone sur [a ; b], mais simplement de classe C1. On a

    vu que lon perdait alors lencadrement du paragraphe prcdent. On peut se contenter de ne travailler

    quavec les rectangles droite ou gauche : on remplace donc la fonction f par la fonction constante

    gale f(a) (ou f(b)) sur lintervalle [a ; b].

    Un calcul derreur peut cependant tre men, en posant

    1,

    sup '

    x a b

    M f x et en utilisant lingalit

    des accroissements finis. En effet, pour tout x appartenant [a ; b], on a :

    1 f x f a M x a .

    Par suite :

    2

    1 1 1

    2 222 1

    1

    2

    2 2 2

    b b b

    a a a

    bb b

    a aa

    f x dx b a f a f x f a dx f x f a dx

    xM x a dx M x a dx M ax

    Mb aM ab a b a

    On a bien sr un rsultat analogue en travaillant avec la valeur f(b).

    Cette formule, avec un coefficient M1 li la drive premire, rappelle aussi le fait que la mthode

    des rectangles est dordre 0, autrement dit quelle est exacte pour les polynmes de degr 0 En

    effet, dans ce cas, la drive premire prcisment est nulle sur [a ; b] ainsi que lerreur commise

    Pour la mthode composite des rectangles, lingalit prcdente applique un intervalle

    1; i ix x de la subdivision donne :

    1

    221 1

    12 2

    i

    i

    x

    i i ix

    M Mb a b af x dx f x x x

    n n

    En sommant sur tous les intervalles, on a :

    1

    21

    0 2

    nb

    ia

    i

    Mb af x dx f x b a

    n n.

    2.6 Vers une amlioration de la mthode des rectangles12

    Restons dans les hypothses de la fin du paragraphe prcdent car rien ne nous oblige

    remplacer f sur lintervalle [xi ; xi+1] par une fonction constante gale f(xi) ou f(xi+1). On peut

    prendre nimporte quel f(ci), o ci est une valeur de [xi ; xi+1].

    Peut-tre existe-t-il un choix plus pertinent avec une erreur moins importante ?

    12 Le classeur propos ici repose sur une ide originale de Philippe Fortin. Merci lui !

  • 356 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Le classeur prcdent peut tre adapt pour que lon puisse observer ce qui se passe quand la valeur

    de ci varie. La variable k pilote ce changement : k = 0 correspond la mthode des rectangles

    gauche, soit ci = xi, et k = 1 la mthode des rectangles droite, soit ci = xi+1 ; les autres valeurs

    permettent dobtenir un ci strictement compris entre xi et xi+1. Les principales modifications sont

    donnes ci-aprs.

    Le paramtre k apparat maintenant dans la fonction rect :

    mais aussi dans la fonction y_rectgau, tandis que x_rectgau na pas tre modifi :

    Il suffit en fait de modifier tous les f a ih en f a i k h

    La feuille de calcul est modifie en consquence : plus besoin de grer les rectangles droite, on peut

    supprimer la colonne.

    On peut aussi ajouter :

    la cellule B4 que lon met 0, pour commencer, et que lon mmorise dans la variable k,

    ce qui permet de modifier les appels des fonctions y_rectgau et rect, en incluant cette

    variable k,

    le calcul de lerreur en E4, stock dans une variable erreur,

    la capture des variables k, dune part, et erreur, dautre part, dans les colonnes H et I,

    nommes respectivement hh et ii.

  • Calcul approch dune intgrale 357

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Enfin un curseur pour la variable k est ajout la page Graphiques (pas de 0,01), ainsi que

    laffichage de la variable erreur.

    Prenons par exemple n = 20 et faisons varier les valeurs de k depuis 0 jusqu 1 en animant le curseur.

    On constate que lerreur prsente un minimum lorsque lon choisit k = 0,5 (voir les rectangles).

  • 358 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    La reprsentation graphique du nuage de points (en abscisse les valeurs de k, en ordonne les valeurs

    de lerreur qui correspond) est aussi trs explicite :

    Reprenons le calcul derreur fait plus haut, pour la mthode des rectangles appliques un

    intervalle [a ; b] tout entier, en prenant un rel c [a ; b] plutt quune des bornes de lintervalle. On

    peut alors crire :

    b b b

    a a af x dx b a f c f x f c dx f x f c dx

    Comme prcdemment, on est amen utiliser lingalit des accroissements finis. En posant

    1

    ,

    sup '

    x a b

    M f x , on arrive :

    1 f x f c M x c pour tout x de [a ; b].

    Par consquent :

    1 b b b

    a a af x dx b a f c f x f c dx M x c dx .

    Bref, tout repose sur le calcul de lintgrale b

    ax c dx :

    b c b c b

    a a c a cx c dx x c dx x c dx c x dx x c dx

    et pour spargner des calculs sans intrt, la TI-Nspire peut prendre le relais :

    On arrive finalement :

    2 2

    2

    12

    b

    a

    a bf x dx b a f c M c c a b .

  • Calcul approch dune intgrale 359

    T France 2010 / Photocopie autorise

    c peut prendre nimporte quelle valeur entre a et b. On retrouve notamment avec c = a lerreur

    calcule prcdemment, qui est la mme que pour c = b.

    Cette erreur tant une fonction du second degr de la variable c, on sait quelle prsente un minimum

    pour 2 1 2

    a b a bc cest--dire pour le point mdian Ce minimum vaut alors :

    cest--dire une erreur deux fois moindre que la prcdente13

    . Cest dire lintrt quil y a choisir ce

    point mdian plutt quun autre.

    3. La mthode des rectangles avec point mdian

    3.1 Principe de la mthode

    Les remarques prcdentes nous conduisent la mthode des rectangles avec point mdian : on

    remplace la fonction f sur lintervalle [a ; b] par la fonction constante g gale la valeur de f au point

    mdian 2

    a b. Autrement dit pour tout x de [a ; b], on a g(x) =

    2

    a bf . Comme le montre le

    dessin suivant dans le cas o la fonction est positive, on remplace encore une fois lintgrale cherche

    par le calcul de laire dun rectangle.

    13 En fait beaucoup moins lorsque la fonction est de classe C2, comme le montrera la suite.

  • 360 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Soit f une fonction dfinie et continue sur un intervalle [a, b].

    On approxime alors I par 2

    a bR b a f .

    On conoit que lapproximation obtenue ici soit un peu meilleure en gnral, par une certaine

    compensation des aires, quavec le rectangle gauche, qui minorerait dans notre exemple lintgrale

    et le rectangle droite qui la majorerait.

    Donnons quelques prcisions supplmentaires dans le cas, frquent, o la fonction f est drivable en

    2

    a bc

    . Laire du rectangle obtenu avec le point mdian est alors exactement la mme que celle du

    trapze ci-dessous, obtenu partir de la tangente la courbe au point dabscisse 2

    a bc

    .

    Cest immdiat si lon a affaire une fonction positive sur [a ; b] : les triangles MNP et MQR sont

    isomtriques et ont donc la mme aire ; la faon dun puzzle, on passe du trapze au rectangle en

    mettant le triangle MQR dans le triangle MNP.

    Un raisonnement gnral sapplique aussi. En effet, considrons la droite de pente m14

    passant par le

    point de coordonnes ,2 2

    a b a bf . Cette droite a pour quation

    2 2

    a b a by m x f .

    Laire (algbrique) du trapze limit par cette droite, laxe des abscisses et les droites dquation x = a

    et x = b est :

    /2

    /2

    2 2 2 2

    2 2

    b b

    a a

    b a

    b a

    a b a b a b a bm x f dx m x dx b a f

    a b a bmu du b a f b a f

    14 m est un nombre rel quelconque, pas forcment gal au nombre driv de la fonction au point dabscisse (a+b)/2.

  • Calcul approch dune intgrale 361

    T France 2010 / Photocopie autorise

    cest--dire prcisment la valeur de la mthode des rectangles avec point mdian.

    Ce que montre aussi la TI-Nspire :

    Remarquons que lorsque la fonction est drivable et convexe sur [a ; b], la courbe reprsentative de f

    est situe au dessus de sa tangente au point dabscisse 2

    a b : par consquent, lapproximation R par

    la mthode des rectangles avec point mdian est infrieure ou gale la valeur I de lintgrale. Cest

    le contraire si la fonction est concave.

    3.2 valuation de lerreur

    Le calcul que nous avons fait prcdemment reste valable dans le cas o la fonction est de classe C1

    sur [a ; b]. On peut aller plus loin si la fonction est de classe C2. Cest lobjet du thorme qui suit :

    Thorme

    Si la fonction f est de classe C2 sur [a ; b], et si M2 dsigne le maximum de "f sur [a ; b],

    alors

    3

    224

    b aI R M .

    Cette majoration qui fait intervenir la drive seconde montre que la mthode des rectangles avec

    point mdian est donc dordre 1 : elle est exacte pour toute les polynmes de degr 1 les fonctions

    affines dont la drive seconde est nulle !

    Dmonstration

    Reprenons le calcul derreur fait prcdemment en posant 2

    a bc . Nous avions obtenu :

    ( ) b b

    a aI R f x dx b a f c f x f c dx .

    et nous nous tions appuys sur lingalit des accroissements finis. On peut aller plus loin car la

    fonction f est de classe C2 par exemple avec la formule de Taylor-Lagrange applique lintervalle

    dextrmits x et c :

    2

    ' ''2

    x cf x f c x c f c f d

    o d appartient ]c ; x[ ou ]x ; c[.

    Si bien que :

    21

    ' ''2

    b b

    a aI R x c f c dx x c f d dx .

    Remarquons que le premier terme de cette somme est nul, prcisment par le choix judicieux du point

    mdian... En effet :

    2

    ' '( ) 02

    b

    b

    a

    a

    t ct c f c dt f c

  • 362 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Par suite :

    3

    2 22 21 ''2 2 2 3

    b

    b b

    a a

    a

    x cM MI R x c f d dx x c dx .

    Reste finir le dernier calcul...

    3 3 3 3

    3

    3 33 3

    2 2 2 2

    3 3 3 3 3

    2

    24 24 12

    b

    a

    a b a b b a a bb a

    x c

    b a a b b a b a

    Remarquons que ces rsultats sont donns par TI-Nspire :

    En conclusion, on a bien prouv que :

    3

    2

    24

    M b aI R .

    3.3 Mthode composite des rectangles avec point mdian

    Thorme

    Si f est une fonction de classe C2 sur lintervalle [a ; b] et si M2 dsigne le maximum de "f

    sur [a ; b], alors on peut approximer I par 1

    1

    0 2

    n

    k kn

    k

    x xb aR f

    n.

    Lerreur commise est majore par

    3

    2224

    b aM

    n.

    Dmonstration

    La convergence de la suite (Rn) vers I est immdiate : cest la convergence dune somme de Riemann

    vers lintgrale quelle dfinit.

    Appliquons le rsultat prcdent pour chacun des intervalles 1

    ;k kx x

    , pour k variant entre 0 et

    n 1. On obtient :

    1

    3

    11

    1 22 24

    k

    k

    x k kk k

    k kx

    x xx xf x dx x x f M

    qui peut scrire :

  • Calcul approch dune intgrale 363

    T France 2010 / Photocopie autorise

    13 3

    1

    2 23 3224 24

    k

    k

    xk k

    x

    b a b ax xb aM f x dx f M

    nn n

    .

    En ajoutant membre membre toutes ces ingalits il y en a n , on arrive :

    3 3

    11

    2 22 20 224 24

    nbk k

    ak

    b a b ax xb aM f x dx f M

    nn n

    cest bien le rsultat auquel on doit parvenir !

    Remarquons que nous avons l affaire une mthode de Newton-Cotes de type ouvert car les

    extrmits de lintervalle [a ; b] ne sont pas utilises dans linterpolation.

    3.4 criture de fonctions

    On peut bien sr programmer cette mthode comme ci-dessous.

    On obtient par exemple les rsultats suivants, videmment plus prcis que ceux de la mthode des

    rectangles gauche ou droite :

    Au bout de combien ditrations obtiendra-t-on une erreur moindre que 106

    ?

    Daprs le majorant de lerreur donn plus haut, on a tout dabord besoin de calculer le maximum de

    la drive seconde de f sur lintervalle [0 ; 1]. Heureusement, il est donn par la calculatrice ouf !

    Enfin, daprs la majoration prcdente, pour avoir une erreur infrieure ou gale 106

    , il suffit cette

    fois que :

  • 364 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    3

    6

    22 2

    810

    24 24

    b a

    Mn n

    soit 2 63 10n ou encore 610

    577,3503

    n .

    Bref, partir de 578, lerreur commise est majore par 106

    . comparer avec les 2 000 000 de la

    mthode prcdente !

    Ce que montre dailleurs lcran suivant :

    videmment, le plus simple est dincorporer le calcul de lerreur dans la fonction elle-mme. Peu de

    modifications faire sur notre fonction initiale :

    lerreur e que lon souhaite doit tre propose comme entre au programme, plutt que la

    valeur de n ;

    lappel la fonction maximum de notre bibliothque fonc permet de calculer le coefficient du

    thorme

    3

    2224

    b aM

    n ;

    la boucle For devient une boucle While, dont on sort ds que

    3

    2224

    b aM

    nest infrieur

    lerreur souhaite ;

    la valeur de n obtenue provoque alors le calcul de lintgrale selon la mthode du point

    mdian ;

    on peut aussi, titre dinformation, faire afficher la valeur de n.

    On obtient le code suivant :

  • Calcul approch dune intgrale 365

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Les rsultats sont donns dans lcran qui suit :

    Les rsultats renvoys sont instructifs : on peut remarquer que pour diviser lerreur par 10 (ce qui

    revient grosso-modo gagner un chiffre significatif), il faut faire environ trois fois plus ditrations.

    Cest pour le moins une performance relativement mdiocre, notamment si lon vise des prcisions

    trs petites (attention aussi la propagation des erreurs darrondi si n est grand !).

    Tout sexplique partir des formules derreurs obtenues. En effet, si lon pose 2

    1

    12ne

    n, il est clair

    que

    2

    p

    n

    e n

    e p ce quotient vaut 1/10 lorsque 10 3,16

    n

    p soit n 3,16p.

    Enfin rappelons que nous avons dj obtenu lillustration graphique de cette mthode dans le

    paragraphe prcdent.

  • 366 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Les performances restent encore modestes et pour les amliorer, on va chercher interpoler la

    fonction f sur lintervalle [a ; b] par des polynmes de degr de plus en plus grand : le degr 1 conduit

    la mthode des trapzes et le degr 2 la mthode de Simpson.

    Rien ninterdit videmment de poursuivre avec des polynmes de degr encore plus grand mais on a

    vu dans le premier paragraphe que ce ntait pas le meilleur choix pour atteindre une prcision

    intressante. On se tournera plutt vers la mthode de Romberg cest une acclration de

    convergence qui donnera une prcision intressante moindre frais.

    4. Mthode des trapzes

    4.1 Principe de la mthode

    On se base sur une interpolation par un polynme de degr 1. On remplace la fonction f par la

    fonction affine g qui concide avec f en a et en b, autrement dit par :

    f b f ag x x a f a

    b a.

    On approxime alors le nombre I par

    2

    b

    a

    f a f bg x dx b a T , cest--dire, dans le cas o

    la fonction f est positive, par laire du trapze rectangle dont les sommets ont pour coordonnes (a, 0),

    (a, f(a)), (b, 0) et (b, f(b)).

    4.2 Majoration de lerreur due la mthode

    Thorme

    Si la fonction f est de classe C2 sur lintervalle [a ; b] et si M2 dsigne le maximum de "f sur

    [a ; b], alors

    3

    212

    b aI T M .

  • Calcul approch dune intgrale 367

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Dmonstration

    Commenons par voir quoi peut bien ressembler I T :

    ( )

    b b

    a a

    b

    a

    f b f aE I T f x dx x a f a dx

    b a

    f b f af x f a x a dx

    b a

    .

    Cest ce que lon cherche intgrer qui doit guider Or :

    ( )

    f b f a f x f a f b f af x f a x a x a

    b a x a b a pour x a ,

    avec un deuxime facteur qui est bien de la forme x b 15 en posant :

    f x f ax

    x a.

    Le problme, cest quon doit avoir une fonction dfinie et continue sur [a ; b] et notre fonction

    nest pas dfinie en a. Qu cela ne tienne posons ' a f a et par dfinition de la drive, on peut bien affirmer que la fonction est continue sur [a ; b].

    Dautre part, elle est clairement drivable sur ]a ; b]. Peu importe ce qui se passe en a, cela suffit pour

    appliquer le thorme des accroissements finis. Pour tout x de [a ; b], il existe donc un rel c de ]x ; b[

    tel que :

    ' x b x b c

    ou encore pour x a :

    '

    f x f a f b f ax b c

    x a b a

    soit en multipliant par x a non nul des deux cts :

    '

    f b f af x f a x a x a x b c

    b a.

    Il est par ailleurs immdiat de vrifier que cette dernire galit est encore vraie pour x = a : on trouve

    de chaque ct du symbole = le rel 0.

    Il nen faut pas plus pour majorer lerreur E. Droulons maintenant les calculs :

    ( ) '

    b b

    a a

    f b f aE f x f a x a dx x a b x c dx

    b a

    Par suite :

    ,

    ' '

    sup '

    b b

    a a

    b

    ax a b

    E x a b x c dx c x a b x dx

    x x a b x dx

    15 Forme particulirement agrable pour appliquer le thorme des accroissements finis.

  • 368 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Occupons-nous de chacun des facteurs.

    Calculons la drive de pour x diffrent de a. Avec les rgles habituelles de calcul, il vient :

    2 2

    ' ''

    f x x a f x f a f a f x a x f xx

    x a x a

    qui peut scrire, au moyen de la formule de Taylor-Lagrange :

    2

    2

    '' ''2'2

    a xf d f d

    xx a

    o d ]a ; x[.

    Il en ressort que 2'2

    M

    x pour tout x de lintervalle ]a ; b]. Il en est de mme de

    ,

    sup ' .x a b

    x

    Enfin il reste maintenant valuer lintgrale b

    ax a b x dx ... un jeu denfant, auquel la TI-

    Nspire accepte de jouer :

    Le calcul au demeurant nest gure dlicat, mme la main. Procdons par changement de variable en

    posant X = x c o c = 2

    a b ; donc dX = dx.

    Lintgrale devient :

    b b c h

    a a c hx a b x dx X c a b X c dX X h h X dX

    en posant 2

    b ah . Poursuivons le calcul :

    3 3 32 2 3 3

    3 3

    2 42 2

    3 3 3

    4

    24 6

    hb h

    a hh

    X h hx a b x dx h X dX h h

    b a b a

    En conclusion, on peut crire que

    3 3

    22

    ,

    sup '2 6 12

    b

    ax a b

    b a M b aME x x a b x dt

    ce que nous avons annonc... Le calcul nest pas fondamentalement dlicat une fois que lide de

    dbut a t bien comprise ! Il faut juste tre patient16

    16 Une dmonstration intressante, particulirement courte et facile mmoriser, est propose par Daniel Perrin sur son site :

    http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/inte%CC%81grales-e%CC%81qua-diff/calcul-approche-d%27integrale.pdf

    Le principe de la dmonstration se gnralise la mthode de Simpson.

    http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/inte%CC%81grales-e%CC%81qua-diff/calcul-approche-d%27integrale.pdf

  • Calcul approch dune intgrale 369

    T France 2010 / Photocopie autorise

    4.3 Mthode composite des trapzes

    Thorme

    Si la fonction f est de classe C2 sur lintervalle [a ; b] et si M2 dsigne le maximum de "f sur

    [a ; b], alors on peut approximer I par :

    1 1

    0 2

    nk k

    n

    k

    f x f xb aT

    n.

    Lerreur commise est majore par

    3

    2212

    b aM

    n.

    Dmonstration

    Appliquons le rsultat prcdent pour chacun des intervalles 1

    ,k kx x

    , pour k variant entre 0 et

    n 1. On obtient :

    13 3

    1

    2 23 3212 12

    k

    k

    x k k

    x

    b a f x f x b ab aM f x dx M

    nn n

    .

    En ajoutant membre membre toutes ces ingalits il y en a n , on arrive :

    3 3

    11

    2 22 20 212 12

    nb k k

    ak

    b a f x f x b ab aM f x dx M

    nn n

    cest bien le rsultat auquel on doit parvenir !

    Remarquons que :

    1 1 11 ' ''

    1

    0 0 0

    1 1

    2 2 2

    n n n

    k k

    n k k n n

    k k k

    f x f xb a b a b aT f x f x R R

    n n n.

    Liens avec la mthode des rectangles

    La mthode des trapzes nest autre que la moyenne entre la mthode des

    rectangles gauche et des rectangles droite. En particulier, ceci garantit que la

    suite (Tn) converge vers lintgrale I.

    Gomtriquement, cela sinterprte simplement. Si on note a1 laire du rectangle

    ABED et a2 laire du rectangle ABCF, il est clair que laire du trapze ABCD vaut :

    2 1 1 2

    12 2

    a a a aa

    cest--dire la moyenne des aires des rectangles

    Y-a-t-il aussi un lien avec la mthode des rectangles avec point mdian ?

    On dispose du rsultat suivant : 21

    2 n n nT T R , dont la vrification ne pose pas de problme.

    Il suffit dcrire les galits. On a :

  • 370 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    1 11 1

    0 0

    ' '1 1

    1

    0 0

    ' '1

    1

    0

    2

    1

    2 2 2 2 2

    2 2 2 2

    2 2 2

    n nk k k k

    n n

    k k

    n nk kk k

    k k

    nk k k k

    k

    n

    f x f x x xb a b aT R f

    n n

    f x f xf x f xb a b a

    n n

    f x f x f x f xb a

    n

    T

    o x'k dsigne 1

    2

    k kx x

    En dautres termes, on peut calculer T2n lorsque lon connat Rn et Tn.

    Remarquons aussi que si la fonction est convexe, on a les ingalits :

    Tn I Rn

    (les ingalits ont lieu dans lautre sens si la fonction est concave).

    La mthode des rectangles avec point mdian et la mthode des trapzes donnent un encadrement de

    lintgrale cherche, ce qui est toujours intressant pour les calculs approchs.

    4.4 criture dune fonction

    La mthode peut tre programme sans difficult. On peut facilement repartir dune des fonctions

    dj crites.

    On obtient par exemple les rsultats suivants, peine moins prcis que ceux de la mthode des

    rectangles avec point mdian, dont on a vu quelle tait aussi dordre 1 et quelle pouvait se ramener

    une espce de mthode des trapzes :

  • Calcul approch dune intgrale 371

    T France 2010 / Photocopie autorise

    On peut vrifier que la moyenne des rectangles gauche et droite redonne exactement la mme

    chose.

    Reprenons notre calcul derreur standard : au bout de combien ditrations obtiendra-t-on une

    erreur moindre que 106

    ?

    On sait dj que '' 8f x . Enfin, daprs la majoration prcdente, pour avoir une erreur

    infrieure ou gale 106

    , il suffit cette fois que :

    3

    6

    22 2

    810

    12 12

    b a

    Mn n

    soit 2 63

    102n ou encore

    610816,50

    1,5 n .

    partir de 817, lerreur commise est majore par 106

    . Cest une performance un peu moins bonne

    que celle de la mthode des rectangles avec point mdian. Elle est toutefois du mme ordre de

    grandeur.

    On peut aussi utiliser les ingalits prcdentes, n nR I T , valables pour tout entier naturel n, pour

    avoir un encadrement de lintgrale cherche :

    Le dernier rsultat renvoy permet dtre sr des dcimales 3,14159265.

    Il reste, comme on la fait prcdemment intgrer le calcul derreur dans la fonction elle-mme.

    Cette nouvelle fonction se construit de faon analogue celle quon a construite pour la mthode des

    rectangles avec point mdian.

  • 372 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Les performances sont lgrement infrieures la mthode des rectangles avec point mdian, comme

    on peut le supposer en regardant le majorant de lerreur.

    Pour terminer, lapproche graphique peut tre adapte sans problme depuis la mthode des rectangles

    avec point mdian. Nous ne dtaillerons pas plus avant les crans qui suivent.

    4.5 Illustration graphique

    Sans plus de commentaire, si lon veut faire vite, on peut repartir de ce que lon a fait pour la mthode

    des rectangles. Cest mme un peu plus simple : au lieu de deux rectangles tracer chaque tape, il

    ny a plus quun trapze dont les sommets ont pour coordonnes sont :

    (a+ih ; 0), (a+ih ; f(a+ih)), (a+(i+1)h ; f(a+(i+1)h) et (a+(i+1)h ; 0)

    Le programme qui donne la liste des abscisses ne change donc pas; celui qui donne la liste des

    ordonnes est peine diffrent.

    La reprsentation graphique de la mthode peut alors ressembler ce qui suit :

  • Calcul approch dune intgrale 373

    T France 2010 / Photocopie autorise

    5. Mthode de Simpson

    5.1 Principe de la mthode

    Interpolons maintenant la fonction f par la fonction polynme g de degr 2 qui concide avec f aux

    points a, b et 2

    a b. En pointill sur le dessin qui suit, est trace la courbe reprsentative de g,

    fonction polynme du second degr, qui passe par les points de coordonnes (a, f(a)), (b, f(b)) et

    ;2 2

    a b a bf . Nous avons juste besoin de prciser ce que vaut lintgrale dune telle fonction

    du second degr.

  • 374 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Dtermination de la fonction g

    Sa dtermination effective nest pas utile pour le calcul approche de lintgrale mais nous nous

    servirons de ce rsultat pour lillustration graphique.

    Nous chercherons la fonction g sous la forme17

    2

    g x A x c B x c C en posant c = 2

    a b.

    Traduisons les conditions pour dterminer les constantes A, B et C :

    22

    22

    2 2

    2 2

    2

    a b a bf a g a A a c B a c C A B C

    b a b af b g b A b c B b c C A B C

    a bf c g c C f

    La dernire galit donne immdiatement 2

    a bC f f c .

    Pour obtenir A et B, il reste rsoudre le systme :

    2

    2

    2 2

    2 2

    a b a bA B f c f a

    a b a bA B f c f b

    On en dduit, successivement par addition, puis soustraction membre membre :

    2

    2 2

    f a f b f cA

    a b

    f a f bB

    a b

    Si bien que la fonction g est dfinie par :

    2

    2

    2 2

    f a f b f c f a f bg x x c x c f c

    a ba b

    en rappelant que 2

    a bc

    .

    Remarquons que ces calculs peuvent tre mens avec la TI-Nspire :

    17 Attention la forme trs particulire de g selon les puissances de x c

  • Calcul approch dune intgrale 375

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Valeur de lintgrale ( ) b

    aS g x dx

    Nous en aurons par contre besoin pour la mise en uvre effective de la mthode de Simpson. Il se

    trouve que lintgrale ne dpend que de g(a), g(b) et 2

    a bg

    , autrement dit de la valeur de la

    fonction en seulement trois rels. Cest ce que lon appelle parfois la formule des trois niveaux. On a

    le rsultat suivant :

    Thorme : formule des trois niveaux

    Soit g une fonction polynme de degr au plus 2. Alors :

    46 2

    b

    a

    b a a bg x dx g a g g b .

    Dmonstration

    Plutt que de faire un calcul gnral demble, nous allons nous appuyer sur des proprits de

    linarit.

    Tout dabord, la formule est vraie si la fonction g est affine.

    En effet, dune part, il est clair que

    ( )2

    b

    a

    g a g bg x dx b a .

    Dautre part, puisque g est une fonction affine, on sait que 1 1

    2 2 2

    a bg g a g b et lon peut

    crire :

    4 2 26 2 6

    2

    b a a b b ag a g g b g a g a g b g b

    b ag a g b

    ce qui prouve lgalit.

    Montrons maintenant que la formule est vraie pour la fonction carr.

    On a en effet :

    3 32

    3

    b

    a

    b ax dx

    tandis que :

    2

    2 2

    2 2 2 2

    2 2

    3 32 2

    4 46 2 6 2

    26

    2 2 26

    3 3

    b a a b b a a bg a g g b a b

    b aa a ab b b

    b aa ab b

    b a b aa ab b

    Par combinaison linaire, lgalit annonce est bien vraie pour tout polynme de degr au plus 2.

  • 376 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Le calcul formel TI-Nspire peut appuyer notre dmonstration, oserons-nous dire faire la

    dmonstration ?

    Ajoutons que la proprit est aussi vraie pour g(x) = x3 et donc pour tout polynme de degr 3

    Nous nous contenterons cette fois dune dmonstration assiste par TI-Nspire :

    Mais la formule nest plus vraie pour g(x) = x4. Il vaut quand mme mieux sen assurer ! Fini le bel

    ordonnancement !

    Mthode de Simpson Nous sommes en mesure de donner tous les lments de la mthode de Simpson. Avec les notations

    habituelles, on est donc amener approximer le nombre b

    aI f x dx par :

    4 46 2 6 2

    b

    a

    b a a b b a a bg x dx g a g g b f a f f b ,

    puisque g est le polynme dinterpolation de f de degr 2 aux points a, b et 2

    a b.

    5.2 Majoration de lerreur due la mthode

    Thorme

    Si la fonction f est de classe C4 sur lintervalle [a ; b] et si M4 dsigne le maximum de

    4f

    sur [a ; b], alors

    5

    42880

    b aI S M .

  • Calcul approch dune intgrale 377

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Comme prcdemment, on peut remarquer que cette majoration, qui fait intervenir la drive

    quatrime, montre que la mthode de Simpson est dordre 3 : autrement dit,elle est exacte pour tous

    les polynmes de degr 3, dont la drive quatrime est nulle !

    Dmonstration

    Commenons par dterminer ce que vaut I S. Si on appelle F une primitive de f sur [a ; b], on peut

    crire :

    46 2

    46 2

    b

    a

    b a a bI S f t dt f a f f b

    b a a bF b F a f a f f b

    .

    Il est intressant dans cette formule de faire apparatre la symtrie autour de 2

    a bc .

    En posant 2

    b ah , lgalit prcdente scrit :

    43

    h

    I S F c h F c h f c h f c f c h .

    Soit alors M le nombre rel tel que :

    543

    h

    F c h F c h f c h f c f c h Mh .

    Observons que M est bien toujours dfini. Il vaut :

    5

    43

    hF c h F c h f c h f c f c h

    Mh

    .

    Passons maintenant une fonction. Pour t appartenant [0 ; h], on dfinit la fonction G par :

    543

    t

    G t F c t F c t f c t f c f c t Mt .

    Il est clair que G est continue et drivable sur [0 ; h].

    Par ailleurs, daprs la dfinition de M et celle de G18

    , on peut crire :

    dune part, 54 03

    h

    G h F c h F c h f c h f c f c h Mh ,

    dautre part, 50

    0 4 0 03

    G F c F c f c f c f c M .

    Daprs le thorme de Rolle19

    sur [0 ; h], il existe un rel c1 de lintervalle ]0 ; h[ tel que 1' 0G c .

    Calculons donc G(t) sur [0 ; h].

    18 On pourrait mme ajouter que cest tudi pour comme dans le sketch de Fernand Raynaud

    19 Tout concourt depuis le dbut fabriquer une fonction qui permette lapplication de ce clbre thorme.

  • 378 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    4

    4

    1' 4 ' ' 5

    3 3

    2 2 4' ' 5

    3 3 3 3

    tG t f c t f c t f c t f c f c t f c t f c t Mt

    tf c t f c t f c f c t f c t Mt

    On peut encore poursuivre lapplication du thorme de Rolle sur lintervalle [0 ; c1] car

    G'(0) = 0 = G'(c1). Les hypothses sont bien remplies et lon peut dduire lexistence dun rel c2 de

    lintervalle ]0 ; c1[ tel que 2'' 0G c .

    Calculons donc G''(t) sur [0 ; h]. Tous calculs faits, on arrive :

    3

    3

    2 2 1'' ' ' ' ' '' '' 20

    3 3 3 3

    1 1' ' '' '' 20

    3 3 3

    tG t f c t f c t f c t f c t f c t f c t Mt

    tf c t f c t f c t f c t Mt

    Pourquoi sarrter en si bon chemin ? Comme 2'' 0 0 ''G G c , daprs le thorme de Rolle sur

    lintervalle [0 ; c2], il existe donc un rel c3 de lintervalle ]0 ; c2[ tel que 3 3 0G c .

    Or :

    3 3 3 2

    3 3 2

    1 1 1'' '' '' '' 60

    3 3 3 3

    603

    tG t f c t f c t f c t f c t f c t f c t Mt

    tf c t f c t Mt

    Inutile daller plus loin. Lexpression obtenue est suffisamment simple. On peut alors crire :

    3 3 3 233 3 3 360 03

    c

    G c f c t f c t Mc

    do lon peut dduire :

    3 3 (4) (4)3 3 3 4 4

    3 3

    21 1

    180 180 90

    f c c f c c c f c f cM

    c c

    o c4 3 3;c c c c , daprs le thorme des accroissements finis appliqu la fonction 3f sur

    lintervalle 3 3;c c c c .

    Il en rsulte immdiatement que :

    4

    1

    90M M

    et donc :

    5 5

    45 4

    43

    90 32 2880

    hI S F c h F c h f c h f c f c h

    b a M b aMMh

    Cest bien ce que lon cherchait prouver20

    !

    20 Voir comme plus haut pour la mthode des trapzes la dmonstration de Daniel Perrin sur son site.

  • Calcul approch dune intgrale 379

    T France 2010 / Photocopie autorise

    5.3 Mthode composite de Simpson

    Thorme

    Si la fonction f est de classe C4 sur lintervalle [a ; b] et si M4 dsigne le maximum de 4

    f

    sur [a ; b], alors on peut approximer I par :

    1

    11

    0

    46 2

    n

    k kn k k

    k

    x xb aS f x f f x

    n.

    Lerreur commise est majore par

    5

    442880

    b aM

    n.

    Dmonstration

    Appliquons le rsultat prcdent pour chacun des intervalles 1

    ,k kx x

    , pour k variant entre 0 et

    n 1. On obtient :

    1

    15 5

    1

    4 45 5

    42

    6 22880 2880

    k

    k

    k k

    k kx

    x

    x xf x f f x

    b a b ab aM f x dx M

    nn n

    .

    En ajoutant membre membre toutes ces ingalits il y en a n , on arrive :

    15 5

    11

    4 44 40

    42

    6 22880 2880

    k k

    k knb

    ak

    x xf x f f x

    b a b ab aM f x dx M

    nn n

    cest bien le rsultat auquel on doit parvenir !

    Liens avec les mthodes prcdentes

    Avec les notations habituelles, pour tout entier n 1, on a 2

    3

    n nn

    T RS .

    Dmonstration

    En effet, on peut le vrifier pour n = 1 cest--dire pour la mthode un pas. Cest alors un calcul

    lmentaire. On sait que :

    12

    f a f bT b a

    et 1

    2

    a bR b a f

    .

    En consquence :

    1 1

    1

    42 21

    23 3 2 2 3 2

    46 2

    a bf a f b f

    f a f bT R a b b ab a b a f

    b a a bf a f f b S

    ce qui est exactement la formule de Simpson. La relation est donc vraie aussi pour nimporte quel

    dcoupage de lintervalle [a ; b].

  • 380 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Ajoutons ce rsultat que, du fait que 21

    2 n n nT T R , on en dduit que :

    2

    44 22

    3 3 3

    n nn

    n n n nn

    T RT

    T T T RS

    Or il se trouve, comme nous le verrons plus loin, que lgalit 24

    3

    n nn

    T TS correspond la

    premire acclration de convergence de la mthode de Romberg.

    5.4 criture dune fonction

    Ci-dessous une fonction qui renvoie le rsultat donn par la mthode de Simpson :

    Avec notre exemple, on obtient des rsultats dont la convergence vers est spectaculaire, bien plus quavec aucune des mthodes vues prcdemment :

    Reprenons notre calcul derreur de rfrence. La calculatrice nous donne

    Par consquent, pour avoir une erreur infrieure ou gale 106

    , il suffit davoir cette fois :

    5

    6

    44 4

    9610

    2880 2880

    b a

    Mn n

    soit 4 630 10n et n > 13,512.

    partir de n = 14, lerreur est plus petite que 106

    . La comparaison avec les mthodes prcdentes est

    difiante.

  • Calcul approch dune intgrale 381

    T France 2010 / Photocopie autorise

    En intgrant le calcul de lerreur dans la fonction, on arrive :

    Avec par exemple :

    5.5 Illustration graphique

    Elle est un peu plus dlicate, sans pour autant tre trop technique pour peu que lon soit progressif.

    Le plus simple est de commencer par ce qui demeure, ou qui change peu. Tout dabord, les deux

    fonctions qui permettent de construire le nuage de points et dans le tableur les deux colonnes,

    nommes xx et yy pour en demander la reprsention graphique. Nous nous contenterons de placer les

    points de coordonnes :

    (a+ih ; f(a+ih), (a+ih/2 ; f(a+ih/2)), (a+(i+1)h ; f(a+ih)

    sans cependant les relier.

    Ce qui change On travaille avec des paraboles, do la ncessit dcrire une fonction qui rcupre

    lquation de cette parabole.

  • 382 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Facile car nous lavons dtermine plus haut21

    Cest ce que fait la fonction suivante :

    Le reste se passe dans le tableur : on retrouve dans les colonnes A D la structure habituelle. Sy

    ajoute :

    en E, les abscisses des points de la subdivision, les milieux tant exclus ;

    en F, lappel de la fonction prcdente pour rcuprer la formule qui donne lquation de la

    parabole sur la subdivision considre ;

    en G1, on tape : =when(e1

  • Calcul approch dune intgrale 383

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Il reste visualiser la fentre graphique. videmment, les paraboles deviennent trs vite extrmement

    proches de la courbe reprsentative de f quon peut mettre en pointill pour bien la distinguer des

    autres.

    Comme prcdemment, on peut mettre un curseur pour piloter la valeur de n ; la valeur approche

    correspondante peut tre affiche avec la variable res.

    Les courbes deviennent peu visibles ds que n est trop grand22

    . Cette visualisation est intressante

    lorsque n prend de toutes petites valeurs, pour montrer la qualit de lapproximation de la courbe

    reprsentative de f par des paraboles.

    22 Avec parfois quelques petits problmes daffichage, mais cela illustre quand mme bien la mthode de Simpson.

  • 384 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    6. La mthode de Romberg

    Cette mthode consiste appliquer la mthode des trapzes le procd dacclration de la

    convergence de Richardson23

    . Plutt que daugmenter le degr du polynme dinterpolation, cest

    plutt cette mthode quil faut mettre en uvre lorsque lon souhaite avoir un rsultat prcis.

    6.1 Dveloppement limit de la mthode des trapzes

    Nous admettrons le rsultat suivant24

    :

    Thorme

    Si f est de classe C2k

    sur un segment [a ; b] et si T(h) dsigne lapproximation de

    ( ) b

    aI f x dx par la mthode des trapzes pour un pas gal

    b ah

    n, alors on a le

    dveloppement limit suivant en 0 :

    2 12 4 21 2 1...

    k k

    kT h I a h a h a h O h

    o les coefficients ai ne dpendent ni de h, ni de n.

    6.2 Application une acclration de convergence

    Nous allons nous servir de ce dveloppement pour acclrer la convergence de la mthode des

    trapzes.

    Le rsultat prcdent nous permet dcrire :

    2 12 4 21 2 1...

    k k

    kT h I a h a h a h O h

    La convergence vers I sera plus rapide si lon parvient par un calcul algbrique liminer le terme en

    h2 de cette expression. Or, si lon considre :

    2 12 4

    2

    1 2 1 1...

    2 4 16 4

    k

    k

    k k

    h h h hT I a a a O h

    rien nest plus facile que dliminer ce terme en h2 ! Il suffit de considrer 4

    2

    hT T h ce qui

    donne :

    44 32

    hT T h I O h donc

    4

    42

    3

    hT T h

    I O h

    Lapproximation de I par

    42

    3

    hT T h

    est donc meilleure que celle obtenue avec T(h), car lerreur

    commise est en O(h4).

    Cest une premire acclration, que nous connaissons dj. Revenons lcriture avec n : T(h) nest

    autre que Tn et 2

    hT

    que T2n. On a donc :

    23 Dj rencontr pour acclrer la mthode dArchimde de calcul approch de .

    24 Il se dduit de la formule dEuler-Mac-Laurin...

  • Calcul approch dune intgrale 385

    T France 2010 / Photocopie autorise

    2

    442

    3 3

    n n

    hT T h

    T T

    qui nest autre que le calcul de Sn obtenu par la mthode de Simpson. Cest une acclration

    convaincante mais dj connue. Mais rien ninterdit de poursuivre cette ide.

    Introduisons les notations suivantes :

    pour m entier 0, 0,2

    m m

    b ar T (mthode des trapzes) ;

    pour m entier 1, 0, 0, 11,

    4

    3

    m m

    m

    r rr (premire acclration qui donne la mthode de

    Simpson).

    On peut prsenter les rsultats dans un tableau : la premire colonne est constitue par les rsultats de

    la mthode des trapzes o lon a successivement partag lintervalle [a ; b] en 1, 2, 4, 8, etc. sous-

    intervalles ; la seconde est constitue de ce que lon obtient la suite de la premire acclration.

    Nombre de

    sous-

    intervalles

    1re

    tape 2e tape 3

    e tape

    1 0,0r

    2 0,1r 0,1 0,0

    1,1

    4

    3

    r rr

    4 0,2r 0,2 0,1

    1,2

    4

    3

    r rr

    1,2 1,1

    2,2

    16

    15

    r rr

    8 0,3r 0,3 0,2

    1,3

    4

    3

    r rr

    1,3 1,2

    2,3

    16

    15

    r rr

    Quelle serait ltape suivante de cette acclration ? Comment fabriquer une troisime colonne sur le

    mme principe ?

    Supposons donc que lon ait obtenu, avec un pas h = 12

    m

    b a :

    4 6

    8

    1, 1 2 3' '4 16

    mh h

    r I a a O h (les coefficients ne sont plus les mmes)

    Avec un pas de 2 2

    m

    h b a, on peut crire :

    4 6

    8

    1, 2 3' '64 1024

    mh h

    r I a a O h .

    Pour encore acclrer la convergence, fabriquons la colonne des 2,mr partir de la deuxime ligne.

    Pour faire disparatre les termes en h4, on peut travailler avec

    1, 1, 1

    2,

    16

    15

    m m

    m

    r rr pour m 2 : do la

    troisime colonne du tableau.

  • 386 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Celle qui vient aprs serait par un raisonnement analogue dfinie par :

    2, 2, 1

    3,

    64

    63

    m m

    m

    r rr pour m 3.

    Plus gnralement, on aurait

    1

    , , 1

    1, 1

    4

    4 1

    n

    n m n m

    n m n

    r rr pour m n + 1.

    Quelques prcisions : une analyse un peu rapide laisserait croire que lon obtient des valeurs de plus

    en plus prcises de en se dplaant vers la droite dans le tableau. Ce nest pas forcment vrai et rien

    nindique que par exemple que 1,1r soit plus prcis que 0,0r ou 0,1r .Il faut raisonner globalement : ce

    sont les suites obtenues dans chaque colonne qui vont avoir une convergence vers plus rapide. Dans la 1

    re colonne, le terme derreur est en O(h

    2), dans la seconde, le terme est en O(h

    4) et plus

    gnralement dans la ne, en O(h

    2n). Ceci garantit un comportement asymptotique mais ne prjuge en

    rien de ce qui se passe pour les premiers termes.

    6.3 Mise en uvre sur le tableur

    Le tableur est particulirement bien adapt ce type dacclration. Dans la colonne A, on peut saisir

    les puissances de 2, donnant le nombre dintervalles du dcoupage.

    Dans la colonne B, on renvoie le rsultat de la mthode des trapzes, correspondant la valeur de n de

    la colonne A.

    Enfin dans les colonnes qui suivent, on saisit les diffrentes formules dacclration de la mthode de

    Romberg (voir par exemple sur lcran ci-dessous ce qui a t saisi en C2).

    Si lon veut des valeurs approches, pour se rendre compte de la qualit de la convergence, il faut

    mettre approx dans la colonne A.

  • Calcul approch dune intgrale 387

    T France 2010 / Photocopie autorise

    Il faut cependant maintenant rcuprer des valeurs approches avec plus de dcimales : cest le moent

    de ressortir divex2 de la bibliothque division_dec.

    Au pralable, mmorisons tous les rsultats de la ligne 9 correspondant aux rsultats fractionnaires

    dans des variables res, res1, , res8 de droite gauche.

    Puis appliquons divex2 en demandant laffichage de 50 dcimales :

    et en les comparant une bonne valeur approche de affiche sur la dernire ligne de calcul. On

    constate alors que res3 donne la valeur la plus intressante, avec 23 dcimales exactes.

    Concrtement, on aurait pu la trouver en calculant la diffrence entre deux valeurs successives de la

    dernire ligne jusqu ce que cette diffrence soit la plus petite possible :

  • 388 Mathmatiques et TI-Nspire

    T France 2010 / Photocopie autorise

    videmment, la mthode est empirique mais elle autorise un critre de choix, qui donne ici la bonne

    rponse. Dans notre exemple, cela correspond la valeur situe en G11 et donc la variable res3 de

    la cellule G9 de la feuille de calcul suivante :

    Bref, on peut en dduire que : 3,14159265358979323846264, soit une valeur approche avec 23 dcimales.