ASEP-GI 2004 -Vol. 2 Magnan (ed.), Presses de l’ENPC/LCPC, Paris EXERCICE DE CALCUL DU TASSEMENT DE COLONNES BALLASTÉES

CALCULATION OF THE SETTLEMENT OF STONE COLUMNS

Gilles BERTAINA Laboratoire Régional des Ponts et Chaussées, Rouen, France 1. Introduction Dans le cadre du symposium international sur l’amélioration des sols en place organisé à Paris en 2004, un exercice de prévision a été proposé aux participants, portant sur les tassements d’un site compressible renforcé par colonnes ballastées, sous la charge appliquée par un remblai. Cette communication présente la démarche employée et les résultats obtenus par l’auteur. 2. Calcul des tassements en l’absence de traitement Le tassement va être calculé dans l’axe du remblai (point O) : tassement final tout d’abord, puis tassement en fonction du temps. Les tassements des points A et B seront déduits du tassement du point O. 2.1. Calcul du tassement final sous 6 m de hauteur de remblai 2.1.1. Tassement de la couche de remblai ancien Ce calcul a été réalisé par la méthode globale pressiométrique, pour une épaisseur de couche de 1 m, un module pressiométrique EM = 5 MPa et un coefficient rhéologique α = 0,66.

Pour une hauteur de remblai de 6 m, le coefficient de sécurité du remblai calculé au poinçonnement vaut pl/γrHr = 2,5, avec pl = 0,5 MPa, γr = 20 kN/m3 et Hr = 6 m, donc le coefficient β de la méthode globale pressiométrique vaut 1. Le tassement déduit est alors de 1,6 cm.

On ne connaît pas la nature des matériaux du remblai ancien. Il est probable qu’ils soient de nature sablo-argileuse, au vu des caractéristiques pressiométriques mesurées (point à préciser dans d’éventuelles études géotechniques complémentaires, car nous verrons son importance plus loin). Il sera par suite supposé que ces tassements se produisent rapidement, pendant la période de construction du remblai. 2.1.2. Tassement de consolidation de la couche d’alluvions fines limoneuses Ce tassement est calculé par la méthode œdométrique. La couche d’alluvions est normalement consolidée (σ’vo= σ’p par énoncé), d’une épaisseur de 4,5 m. À mi-couche (soit à 3,25 m de profondeur par rapport au TN avant remblaiement), la contrainte effective verticale initiale vaut σ’vo= σ’p = 1 x 20 + 2,25 x (18 – 10) = 38 kPa.

La relation permettant le calcul du tassement par la méthode œdométrique est employée avec :

- Cc = 0,15 (valeur probablement déduite d’un essai œdométrique. On vérifie quelques corrélations : 10. Cs = 0,15 ; w/100 = 0,24 ; 0,5.eo = 0,31) ;

- eo = 0,62 ; - σ’p = 38 kPa ; - σ’vf = σ’vo + I.γr.Hr = 38 + 1 x 20 x 6 = 158 kPa avec I le coefficient d’Osterberg, qui

permet de prendre en compte la diffusion dans le sol d’une charge trapézoïdale de type

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charge de remblai. Il est fonction de la géométrie du remblai et de la profondeur sous la base du remblai. Dans le cas présent, il vient I = 1.

Le tassement œdométrique final sous 6 m de remblai vaut alors 26 cm. 2.1.3. Tassement de la couche d’alluvions sableuses Il est déduit de la méthode globale pressiométrique, après estimation de la charge induite au niveau du toit de cette couche, en supposant une diffusion des contraintes à 1 pour 1 dans le sol de fondation.

En notant a la largeur du remblai en crête, la contrainte au toit de la couche d’alluvions sableuses vaut σ = γrHr.a/(a+11) = 90 kPa.

Pour une épaisseur de couche de 2,5 m, un module pressiométrique de 10 MPa et un coefficient rhéologique de 0,5 correspondant à des sols sableux, le tassement de cette couche sous une charge de 90 kPa est de 1 cm.

Ce tassement devrait normalement se produire rapidement, pendant la construction des remblais. 2.1.4. Synthèse Le tassement final (hors tassement de fluage dans les alluvions limoneuses) sous 6 m de hauteur de remblai sera de 28,6 cm, dont 2,6 cm de tassement pendant la construction du remblai (tassement immédiat) et 26 cm de tassement de consolidation. 2.2. Calcul du tassement sous 9 m de hauteur de remblai 2.2.1. Tassement de la couche de remblai ancien Avec les mêmes hypothèses qu’en 1a, le tassement sous 9 m de hauteur de remblai vaut 2,4 cm. 2.2.2. Tassement de consolidation de la couche d’alluvions fines limoneuses On applique la relation permettant le calcul du tassement par la méthode œdométrique avec les valeurs suivantes :

- Cc = 0,15 ; - eo = 0,62 ; - σ’p = 38 kPa ; - σ’vf = σ’vo + I.γr.Hr = 38 + 1 x 20 x 9 = 218 kPa avec I = 1 là encore.

Le tassement œdométrique final sous 6 m de remblai vaut alors 32 cm. 2.2.3. Tassement de la couche d’alluvions sableuses Pour une épaisseur de couche de 2,5 m, un module pressiométrique de 10 MPa et un coefficient rhéologique de 0,5 correspondant à des sols sableux, le tassement de cette couche sous une charge de 137 kPa est de 2 cm. 2.2.4. Synthèse Le tassement final (hors tassement de fluage dans les alluvions limoneuses) sous 6 m de hauteur de remblai sera de 36,4 cm dont 4,4 cm de tassement pendant la construction du remblai (tassement immédiat) et 32 cm de tassement de consolidation. 2.3. Évolution du tassement en fonction du temps – Degré de consolidation Le degré de consolidation (qui sera supposé dans la suite homogène dans la couche de sols compressibles) est déterminé en fonction du facteur temps T = cv.t/D2, avec D chemin de drainage et t temps.

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La base de la couche d’alluvions fines limoneuses est drainante. Par contre, on ne sait rien du caractère drainant ou pas de la couche de remblais anciens en toit de la couche d’alluvions compressibles (cf. §2.1.1).

Dans ce qui suit, on supposera que le degré de consolidation dans la couche d’alluvions fines limoneuses. On peut être dans une situation intermédiaire entre un simple drainage (D = 4,5 m) par la base du remblai et un double drainage (D = 2,25 m).

Les tableaux 1 et 2 rassemblent les valeurs du coefficient de consolidation U en fonction du temps dans le cas d’un simple drainage ou d’un double drainage, respectivement.

Tableau 1. Degré de consolidation en fonction du temps (cas d’un simple drainage)

Temps (j) Facteur temps T Degré de consolidation U (%) 40 0,085 20

160 0,34 65 3650 7,78 100

Tableau 2. Degré de consolidation en fonction du temps (cas d’un simple drainage)

Temps (j) Facteur temps T Degré de consolidation U (%) 40 0,34 65 160 1,36 95

3650 7,78 100

On retiendra dans ce qui suit U = 40 % pour 40 jours, U = 80 % pour 160 jours et U = 100 % pour 10 ans (3650 jours). 2.4. Tassement du point O en fonction du temps Le tableau 3 donne la valeur des tassements au droit du point O en fonction du temps.

Tableau 3. Tassements au droit du point O en fonction du temps

Étapes t (j) Tassement (cm) 0 0 0 1 40 13 2 160 23,5 3 200 27,5 4 3650 43 (*)

(*) y compris tassement de fluage calculé à partir de Cαe = 0,045.Cc = 6,75.10-3. 2.5. Tassement des points A et B en fonction du temps Le tassement au droit des points A et B peut être déduit du tassement au point O à l’aide des abaques pour le calcul des fondations de Giroud en élasticité. 2.5.1. Tassement du point A Le tassement du point A wA est donné par wA = 2.p.B.PHA/E + 2.p'.B'.P'HA/E avec :

- pour le corps de remblai, p charge apportée par le remblai, B largeur du remblai, - pour le talus de remblai, p' = p/2 charge apportée et B' = B/2 largeur chargée ; - E module d’élasticité du sol de fondation ; - PHA (respectivement P'HA) coefficient fonction de la hauteur du remblai H, de sa longueur

L (infinie ici) et de sa largeur B (respectivement B/2, correspondant à la moitié de la largeur de la pente).

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De la même façon, le tassement wO au droit du point O est d’une forme équivalente wO = 2.p.B.PHO/E. On en déduit que wA/wO = (PHA + P'HA)/PHO.

Pour une hauteur de remblai de 6 m, PHA = 0,032, P'HA = 0,032 et PHO = 0,066, donc wA = 0,97.wO.

Pour une hauteur de remblai de 9 m, PHA = 0,048, P'HA = 0,048 et PHO = 0,097 donc wA = 0,98.wO. 2.5.2. Tassement du point B En appliquant la même méthode, il vient un tassement du point B très faible, de l’ordre de 1 % du tassement du point O. Nota : Le calcul en élasticité du tassement au droit du point B se traduit par un mouvement très faible. Par contre, en se basant sur les constatations réalisées au droit d’un remblai sur le site de Guiche, Quaresma et al. (1993) ont montré que :

- le tassement sous un remblai est nul à la verticale de la mi-pente ; - le mouvement du pied de remblai est un soulèvement dont l’amplitude est du même

ordre de grandeur que le tassement maximal sous le remblai. 2.6. Synthèse Le tableau 4 synthétise la valeur des tassements au droit des points O, A et B en fonction du temps, en l’absence de renforcement par colonnes ballastées (les tassements négatifs correspondent à un soulèvement).

Tableau 4. Tassements au droit des points O, A et B en fonction du temps

Etapes t (j) Tassement (cm) Point O Point A Point B (1) Point B (2)

0 0 0 0 0 0 1 40 13 12,5 0 -13 2 160 23,5 23 0 -23,5 3 200 27,5 26,5 0 -27,5 4 3650 43 (*) 41,5 (*) 0 -43

(*) y compris tassement de fluage calculé à partir de Cαe = 0,045.Cc = 6,75.10-3. (1) calcul d’après les abaques de Giroud (1973). (2) valeur déduite des observations de Quaresma et al. (1993).

3. Calcul des tassements en cas de traitement par colonnes ballastées La réalisation de colonnes ballastées a deux influences sur la réalisation du remblai :

- réduction de l’amplitude des tassements ; - accélération de la consolidation par drainage vertical.

3.1. Réduction de l’amplitude des tassements La réduction de l’amplitude des tassements concerne les points O et A, qui se trouvent dans la zone concernée par les colonnes ballastées.

La section d’une colonne de diamètre nominal 0,9 m est de 0,636 m2. Le diamètre d’influence d’une colonne disposée selon une maille triangulaire avec un entraxe

de 2,15 m est donné par 1,05 x 2,15 = 2,26 m, ce qui donne une surface d’influence de 4,009 m2.

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Le rapport de la surface d’influence d’une colonne à la section de la colonne est de 6,3, et l’abaque de Priebe (1995) donne un facteur de réduction des tassements de 2 pour cette géométrie.

Par suite, le tassement de fin de consolidation (y compris le tassement immédiat) peut être évalué à 13 cm au droit du point O. 3.2. Accélération de la consolidation par drainage vertical Le diamètre de la zone d’action d’une colonne est de 2,26 m. Le diamètre d’un drain (une colonne) est de 0,90 m, ce qui donne un paramètre n de 2,5.

Le degré de consolidation radiale est donné, d’après la loi de Barron, par :

( )( )⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

nFDtc81tU 2

rr exp

avec cr coefficient de consolidation radiale (pris égal à cv, valeur pessimiste), D = 2,26 m et F(n) = ln(n) – 0,75 = 0,166.

Le tableau 5 rassemble les coefficients de consolidation verticale (voir §3 de la première partie), radiale, et globale (déterminé par la relation de Carillo (1942)).

Ce calcul montre que la consolidation est totale dès la fin de la première étape de construction des remblais. Le tassement qui se produit est dès lors expliqué par le fluage.

Tableau 5. Degrés de consolidation verticale, radiale et globale

Temps (j) Degré de consolidation (%) verticale radiale globale

40 40 100 100 160 80 100 100

3650 100 100 100 3.3. Synthèse Le tableau 6 rassemble les résultats des calculs réalisés, c’est à dire les valeurs des tassements à 40, 160, 200 et 3650 j sous le remblai considéré en présence de colonnes ballastées.

Tableau 6. Tassements au droit des points O, A et B en présence de colonnes ballastées

Etapes t (j) H (m) Remblai Tassements (cm) Point O Point A Point B

0 0 0 0 0 0 1 40 6 14 13,5 0 2 160 6 16 15,5 0 3 200 9 20 19,5 0 4 3650 9 22 21,5 0

Nota : pour le tassement du point B, seul le calcul en élasticité a été retenu.

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4. Références bibliographiques Carillo N.J. (1942). Simple two- and three-dimensional cases of the theory of consolidation of

soils. Journal of Mathematics and Physics, vol. 21, 1-5. Giroud J.P. (1973). Tables pour le calcul des fondations. Tome 2 – Tassement. Dunod, Paris. Priebe H.J. (1995). The design of vibro-replacement. Reprinted from Ground Engineering,

Keller Grundbau GmbH, décembre 1995, Technical paper 12-61E, 16 pages. Quaresma M., Magnan J.P., Delmas P. (1993). Étude de deux remblais expérimentaux sur

argiles molles renforcés à la base par des géotextiles (Site de Guiche, Pyrénées-Atlantiques). Laboratoire Central des Ponts et Chaussées. Études et recherches des LPC, Série Géotechnique, n° GT-55, 187 pages.

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