CALCUL DE LA D'UN MULTIPOLE CONNAISSANT SA

CARACT]~HISTIQUE STATIQUE NON L1N]~AIRE, SANS INERTIE, CARACTI~RISTIQUE DYNAMIQUE

par Georges PAPADOPOULOV*

S O M M A I t l E . - - Le prdsent article rdsoat le probl~me suivant : si any bornes d'entrdes d'un multipdle non-lingaire, sans inertie, l'on ~tpplique diff5rentes tensions sinaso~dales (une pour chaque paire d'entr~e) u 1 = U 1 sin colt ; u.z = U~ sin coet . . . etc., comment ddterminer la caractgristique statique du multipfle tns=/ (u t ,u~ , . . . ) connaissant la caract~ristique U~ = g (U~, U~ . . . . ) Us dtant l'amplitude d'une des composantes du spectre de la tension de sortie.

AprOs avoir obtenu la solution ggndrale dtt probldme on gtudie les conditions assurant l'existence de cellewi. Qu~tqaes exemples iltustrer~t l'applieation d~s [ormules g~ndrales.

P L . ~ N . - 1. I n t r o d u c t i o n ; - 2. So lu t ion d o n s le cos d ' u n q u a d r i p f l e ; - 3. S o l u t i o n g~ndrale d o n s le cas d ' u n m u l t i p ~ l e non- l i nda i re et sans iner t i e ; - - 4. C o n d i t i o n s i m p o s 6 e s St gn (U) ; - - 5. A p p l i - cat ion des so lu t ions prdcdden te s (formules 36 et 52) St cer ta ins cos (a) ampl i f iea teur lin~aire de la pre- nai~re harmonique ; b) ddtecteur l infaire ; c) l irniteur semi - id fa l ; d) ehangeur de frdquence l infalre) ;

- - 6. Conclus ion .

1. I N T B O D U C T I O N .

La thforie de l ' information a pour but principal te calcul du maximum, thfor iquement accessible, de certains param~tres d 'un syst~me de communi- cation. La connaissance de ce maximum, comme celle des facteurs dont il dfpend, nous permet de guider nos efforts dans la pratique. C'est encore cette m~me thforie qui nous permet d'dviter de longs t~tonnements en cherchant une solution empirique, impossible en thforie d 'un problbme.

Cette tendance existe darts tous les domaines des conmmnications. Pour les syst~mes linfaires nous pouvons dire qu'en gfnfral, grhce aux t ravaux de Wiener, Kolmogoroff, North, Zadeh, Middleton, Ragazzini, Bode, Shannon et autres, on peut dfter- miner la caract~ristique optimale d 'un tel systbme si l'on connalt la transformation spectralc qui dolt ~tre effectufe sur le signal d'entrfe.

La solution du m~me probl~me pour les syst~mes non linfaires, malgr6 l ' intfrgt 6vident qu'elle reprf- sente, n'existe pas sous une forme praticable. Les t ravaux de Rice, Singleton, Zadeh, Booton et autres, nous m~nent soit h des rfsultats peu pratiques dans le cos gfnfral , soit h des solutions qui ne sont valables que pour quelques cas particuliers.

L ' f tude des syst~mes non tinfaires est assez compliqufe au point de rue mathfmatique. Les rfsultats en sont souvent prfsentfs sous forme de sfries ou par des formules approximatives.

Le prfsent travail tgchc de rfsoudre un probl~me moins gfnfral, que l'on peut formuler de la fa~on suivante :

Aux bornes d'entrfes d 'un muhipSle non linfaire, sans inertie, on applique difffrentes tensions sinu- soYdales (une pour chaque paire d'entrfe) u 1 = U~ sin coat ; u2 = U2 sin co~ t etc. ; connaissant la carac-

tfristique U s - - g(U 1, Ue, ... Uk) , U s 6tant l'ampli- rude d'une des composantes du spectre de la ten- sion de sortie, comment dfterminer la caractf- ristique statique de notre muhipble,

u, = f(ul, u2, "", uk)?

2. S O L U T I O N D A N S L E G A S D ' U N Q U A D R I P O L E .

Supposons que nous puissions nfgliger la rfaction de la sortie sur l 'entrfe. Ceci peut gtre admis, sans erreur pratique, dans le cas de pentodes ainsi que pour les autres lampes multiflectrodes, les bornes d 'entrfe 6tant h la i re grille et h la cathode, tandis que celles de sortie sont h la plaque et la cathode ou h la plaque et la grille. La condition de manque d'inertie exige un foible temps de transit des 61ec- trons. Ces m~mes hypotheses peuvent etre aussi faites dans le cas d'une triode, surtout si l 'amplitude de la tension de sortie-est faible.

La tension appliqufe aux bornes d 'entrfe est

(I) u = U cos cot = U cos 0"

Celle obtenue h la sortie us, sur une charge pure- ment active, peut ~tre dfcomposfe en sfrie de Fourier telle que

o o

(2) ,~ = E U~ cos n~ {*). ~ t = 0

Les termes contenant sin n o manquent dans cette sfrie, car notre quadrip51e est sans inertie.

La caractfristique statique de notre quadrlpble peut gtre reprfsentfe sous ]a forme suivante :

(3) ~ = f ( . ) ,

tandis que la caraotfristique dynamique est, en utillsant les m~mes symboles que dans (l) et (2)

(4) Un--g~(U) pour n = 0 , t ,2 ....

* Institut des P. T. T. de Sofia. (*) La conlposante continue sera U.]2.

43

2/6

Les coefficients de la s6r~e (2) pcuven t ~tre cal- culus d 'apr~s l ' express ion

2 { ' = 2 / "

T e n a n t compte de (1) et (4), cet te 6quat ion se t r ans fo rme ell

(6) gn (U) = ~ f( U cos q~) cos nT.dT.

Posons (7) y = cos ~.

cos nq~ peu t gtre represen t6 pa r ]a s6rie

[nl2l D~ z] ]i',,m yn-2 (8) Cos ncp = Z k2m cos n-em (p = . . ~ = 0 ~ 0

dans laquelle (9) k o = 2 ~-',

n f n - - m - - 1 ) (10) k2m= ( - - t ) "t2 ~--~'n-~m\ m - - 1 pour m~( :0

et [n/2] signifie : partie enti6ro de n[2. Tenant eompte de (8), l '6quation (6) devient

- E kom f(Uy) dy. (~ ) g ~ ( U ) - ~ . 0 - -

Pour obteni r un r6sul ta t non nul, il fau t que

pour n pair f( Uy) no soit pas impaire par rapport h y (t2) et que

pour n impair f(Uy) ne soit pas paire par rat)port h y.

On sait que chaque fonc t ion f(x) peu t ~tre consi- d6rge comme somme de deux autres : l 'une paire p(x) et l ' au t re impaire i(x)

f(:~) = p(x) + i(x).

.Ces deux fonct ions peuven t gtre calcul6es d 'apr6s

03) p(~) = [fix) + f ( - x)]/2, ~t

(14) i(x) = [f(x) - - f(-- x)] 12.

Done, lors du ealeul de (11), i(x) pour n pair, et p(x) pour n impair , seront sans influence. Pour ne pas in t rodui re de nouvelles abr6viat ions, nous adme t t rons qu ' en ee qui eoneerne n, f(x) satisfait h l 'une des condi t ions d6finies par (12).

L '6qua t ion (11) peu t alors 4tre raise sous la forme :

(t5) g..(V) = ~,~=o U y ) ~ - . - . ~ d y .

Notre probl6me se ram6ne h r6soudre une 6qua- t ion int6grale, car nous cherchons f(u) en supposan t g , (U) connue. Pour en ob ten i r la solution, nous uti l iserons la m6thode r ecommand6e par B. Van der Pol et H. B r e m m e r [1, chap. XIV].

Suivant leur m6thode, posons dans (15) :

(t6) y = e - ~ et U = e t.

On a alors :

6 [n12] f c ~ 3 e- - (n- -gm+ l)~ X kz,n . ! o f(et- ' ) dn (17) g,, (e t) = ~ ,n=0 ~ / l - - e -e~

G. P A P A D O P O U L O V [ANNALES DES TI~L]~GOMMUNICATION$

Multlplions los deux e6t6s de ce t te 6qua t ion par e--vtdt et int6grons dans l ' in terval le ( - - cx), -t- co). Nous ob tenons

J - c o - ~ m = 0

oo e~(n-2ra+l)x +oo -~'__~-2~ d ' r / o o f(et-x)e-vtdt"

Supposons l 'exis tence des re la t ions suivantes :

(t9) g . ( e t ) @ G . ( p ) pour ~1 < R e p < ~ I ,

(20) f(~) - - F(p) (*) pour ~2 < Rep < ~2-

I,e Ih6or6me de I.ran~lation

f(et-.) = e - r t F(p) pour =3 < Rep < ~2

ainsi que (19) et (20) nous p e r m e t t e n t de t ransfor- mer (18) en

F J0/ '~176 e--[n--2m+l) 4 t ~ l k ~ ( p ) V T _ e_,,,, e-~' d'r. (21i G,~ (p) = 7:~=0

Le (( d ic t ionnaire op6ra t ionnel )) de Van der Pol et B remmer [1, chap. X V I I I , w 15] nous donne :

(22) e-~(1--e-t)~"-~-'.l(t)-~P(b--a)P(p+a)IP(p+ b),

p o u r

b > a et - - a < R e p < o o .

Nous d6signons ici par l(t) la fonct ion unit6 de Heaviside, et par I'(z) la fonct ion factorielle.

En posant t = 22 dans (22) nous obt iendrons , grace au th6or6me de simili tude (**)

(23) e - 2 a , (I - - e-2*) TM.l(z) ='-- P(b -- a ) .P(p /2 + a)]2P(pl2 + b)

pour b > a et - - 2 a < R e p < o o .

Nous pouvons f ina lement calculer (21) en ut i l isant (23)

(24) c,, (p) = =

[nl21m_0E k,mP\/P+ n--2m+2 l ) / ( p ( p + n - - 2 m + '

max [~1, ~2, - - (n - - 2m + 1)] < Rep < min (~1, $2, oo!.

L ' image de no t re fonct ion, f(u) sera donc

= G~(p) _ - - )<

max (~l, :r -- 1) < Rep < min ($1, ~3, oo).

* I1 est facile de voir, que nous utilisons une formule

de d6finition G~ (p) = co g~(t) C--vt dt qui diff~re 16g6-

rement de celle de Van der Pol et Bremmer G~ (p} =

p ~ g~It}r dt. (**) Ce th6or~me affirme que si l'on a f(t)"---@ F(p) pour

a < Rep < ~ pour ?, > 0, on a f(xt) - - (tp,} F(plX) pour ).a < Rep < 7~.

44

t. 14, nO, 12,1959] CALCUL DE I,A CARACTI~RISTIQUE STATIQUE D'UN MULT1POLE

En utilisaut l 'une des propri6t6s fondamentales de la fonetion faetorielle z F ( z ) = F(z + 1), nous pourrons apr~s une simple mais longue transfor- mation, mettre (25) compte tenu des valeurs de k m - sous la forme suivaute :

(26) F(p)= r:G,~ (p) x P ( P - ~ ) x . (p + 1)1

x ( p + 2 k - t ) / k--1

2 1"!(2!),2[[1l+1)12] ~'~(P ~ 2~ �9 j pour n impair,

et

(28) F(P)=I~'G~(P)X F( p-n+2)2 x ~-, ~,~II (p + 2k)/ 2 .P (~ ) .2[{n+1'1211~ ( - ~ ) pour n palr.

L'6gallt6 symbolique (23) nous permet de trou- ver les fonctions originales de

( p + 2 " ~ l r ( P + 3\ (29) F \ ~ j / \ ~ ) #

2e -et (l -- e-'a)-~ z . l( t)lF( l l2), - 2 < Rep < 0%

~ p - - n + 2 \ , ~ / p + 2\ (30) )t'i,-r-)-

n - - 2 < Rep <r ct

n - - 2 < Rep<cx3 .

Les formules (29), (30) et (31) peuvent ~tre repr6- sent6es par une seule fonction originale

(32) 2e{~-2} t ( l - e - u ) i 2 ,J-~.l(t)/

n--2 < Rep < o o

valable pour n quelconque. d

Nous savons que p - ~ - ~ donc, le troisi~me fac-

teur des 6quations (26), (27) et (28) peut 6tre consi- d6r6 comme un op6rateur ayant pour original

d (33) O(t) = ~ + t -- p + t pour n = 0,

(34) (n+l}12 / d

o/,)= (n+l|12

-- II ( p + 2 k - : I ) k=l

3/6

,q2 d I ) (35) of,)= ( +2k n12

-:- IF[ (p + 2k) pour n pare k-1

Nous lierons cet op6rateur ~ d6fini pour chaque valeur de n par (33), (34) et ( 3 5 ) ~ ~ la fonetion G, (p) qui, d'habitude, a une expression plus simple.

Appliquons le th6or~me de la multiplication des images (*), aux 6quations (26), (27) ct (28) an tenant compte de (19), (20), (29), (30), (31) et (32). On a :

,(. ,/-- •

i I - e-~,,-, } [I"~I] -{ .1(t- ,~). o(-~), g~,(e~).a,~. Posons u = et, ~ = e', ( n - 1)]2 = N. Nous

obtiendrons la solution finale:

ttSN-t / u ( "t]~\[INI]- 1 (36) f(~) = t,~] ~-~ t - 5) 2•

2. ( 2 k - 1) k--1

O(~) gn (~) • d~ pour u > 0,

dans laqueUe O(~}) a l e s valeurs suivantes :

(37) O(~)=2 ~ + 1 p o u r n = 0 ,

(38) O(~}) = k- , ~1 + 2k - - 1 pour n impair,

~12 ( d (39) O(~}) = k rl 1 ~ -4- 2@ pour n pair.

3. S O L U T I O N G~. .N~RALE D A N S L E GAS D ' U N M U L T I P O L E N O N L I N ~ A I R E

E T S A N S I N E R T I E .

Consid6rons d'abord un multipSle h six bornes pour lequel deux paires de bornes sont h l'entrge. &ppliquons-leur les tensions suivantes :

(40) 111 = U 1 cos i~, et

(4t) us = Us cos O.

la troisi~mc paire servant de sortie. Dans ca cas la tension de sortie (ue), recueillie

sur une charge purement active, se dbcompose d'apr~s la th6orie de Fourier en

(42) us = ~ ~ Un.,~ cos n r m0. n=O m=O

La earaet6ristique statique du multip51c 6taut

(43) u, = f(ul, us),

pour n impair,

(*) Ce th6or6me, dans le cas de transformation bilat6rale de Laplace, affirme, que si f(t) "-- Y(p) pour al < Rep < 61 et g(t) -- G(p) pour ~2 < Rep <" 62, on a

F(p) .G(p) - - /__L ~ f(~} g(t -- ~) dr

pour max {r162 ~2} < Rep < rain (~1, 6z)"

- - 4 5 - -

nous obtiendrons les amplitudes U~,~ par l'6qua- tion suivante

4 f ~ f ~ (44) U,~.~ = -~..,Io .)'o us cos nr m0 dT.d0,

- ~ . / 0 . / 0 f (U~cos~U2cos0) cosnc~x

cos m0.dq~.d0.

Nous supposons) h nouveau, connaltre la carac- t6ristique dynamique

(45) U,.,~ = g~.~ (U1, V2).

D6composons cos n o et cos m0 en sdrie d'apr6s (8)

[~121 (46) = cos n~ 2 a~.t cos ~- 2% et

I--0

(47) cos m0 = [a~21 b~, cos~-2'0. r~0

Les coefficients a~t et b~, seront calcul6s comme k~,~ par les formules (9) et (10).

Posant y = c o s ~ et z----cosO, et en tenant compte de (45), (46) et (47), nous pou- vons 6crire pour (44) :

4 f + l f + i (48) gn,m (U i , U2) = ~ '2~t 1,~t 1 f(U~y, U2z ) •

In/2] Ira/2] Y~ a.zt yn-2t b.z~ z m- 2r

l~O . r=O �9 dy. dz.

-

11 est 6vident qu'ici aussi, nous pouvons poser des conditions analogues h (t2) et (48) s'6criro :

16 f l f(Uxy, U2z)>( ( 4 9 ) g , ~ ( U ~ , U 2 ) = r z ~ j o J 0

[hi2] [m12] Z azt gn-2t Z b~rs m-2r

t - 0 . ~=0 dy dz.

Cette 6quation int6grale h deux variables est semblable h (15). La solution peut atre obtenue de la mgme mani6re, en faisant appel au calcul op6- rationnel h plusieurs variables expos6 par B. Van der Pol et H. Bremmer [l, ch. XVI].

Posons

U x = e t, ; U ~ = e t, ; y ---- e - = , ; z ---= e - ~ , ;

(49) devient alors :

(50) g~'~ (et" et') = r: 2.]0 J 0 f(et ' - '" et '-") •

[n12] [n12] azl e - (n -21+1% ~ b~r 0--(m--2r+! )'~

t=o . r=0 .d'r~, d'r 2. V/1 - - e-2, , V / t - - e - 2 , ,

Mult ipl ions (50) par e - v t , . e -qt~ dt~ dt z et int6- grons darts l ' intervalle ( - - c o , + oo), nous obtien- d r o n s - - a p r 6 s des transformations analogues h (~8), 09), (20), (2t) en tenant eompte de ( 2 3 ) - une expression semblable h (24) :

(5a) G . , ( p , q) = ~ r 2 x

G. PAPADOPOULOV [~2qALES DES T~LI~COMMUNICATIONS

F(p, q) t~0 a~t r 2 r p § n 2 2 x

[~elb'zrP(q+m--2r+l)/,=o \ 2 p(q+m--2r+2~.2 ) I1 est 6vident que pour obtenir l 'original de

F(p, q) la marche h suivre est la m4me que dans le cas du quadrip61e. Pour gtre plus bref, nous donne- tons imm6diatement la solution, qui peut ~tre faci- lement obtenue :

2N--1 2M--1 (52) [(ttl , 1/,2) = /41 "/d'2 X

~, ~, ( ~%tlNll-l12

J o J o k - . ~ )

--u'-}/ • O(~q).O(~).g(~, ~) • d~.d~,

pour u 1 et u 2 > 0.

Les op6rateurs 0('11) et 0(~) sont calcul6s d'apr6s (37), (38) et (39) suivant les valeurs de n et de m, tandis que

N - - ( n - - l ) [ 2 et M = ( m - - t ) ] 2 .

La fa~on dont nous avons d6velopp6 notre 6tude, montre qu'il est facile de g6n6raliser les formules (36) et (52) pour un multipble queleonque, sans inertie. Nous ne nous attarderons pas sur ce point, car, h notre avis, les deux cas ici trait6s sont les plus int6ressants du point de rue pratique.

~ . C O N D I T I O N S I N I P O S ~ . E S A gn(U).

I1 est 6vident que, pour obtenir une solution unique pour f(u), il est n6cessaire que (26), (27) et (28) donnent une expression ind6pendante de n. Ces trois 6quations permettent , en rempla~ant n par n -[- 2 et n - - 2, d 'obtenir la formule de r6cur- rence

p q:n (53) G.• (p) = (r q:l P + 2 :~---n GdP)'

r = 2 pour n = 0 et ~ ----- i pour n :~ 0. I1 est facile, en utilisant le (( dictionnaire op6ra-

tionnel )), de trouver

(54) (p ~ n)[(p + 2 4- n) . ~ e-(2• ~(t) -- 2(t =~ n) e-C2~l~.l(t),

$(t) 6tant la fonction de Dirac. En tenant eompte des 6galit6s (19) et (54) le

th6or6me de la multiplication des images nous donne l'original de (53) :

o o

2(t ~c n) e-I~:a~l(~-,I .t(t - "0] g,~ (~) d~.

Posons e t = U et e �9 = -~ nous avons finalement :

(55) gn-l-2(V) = (~n) q-1 [ g n ( [ ] ) -

- - 4 6 - -

t. I l, n ~ 1-2, 19591 CALCliI~ DE [,A (:AII.,kCTI::IIISTIQUF STA'FIQUI,: D~UN M U L T I P O L E

Done si nous tixons une des caraet6ristiques dyna- miques g. (U), (n 6tant un nombre fixe) celles des autres harmoniques ne peuvent plus 6tre arbitrai- rement choisies - - elles sont dor~navant li6es ':, g, (U) par (55).

Pour que (55) ait un sens il t'aul que les conditions suivantes soient satisfaites :

(56) fro ~'g,,(h) ~ " d-, 1 < c~,

(57) g'(~(')(O)= g(~'l(O) . . . . - g~"-s)(O) = O, n > 2.

Ces conditions peuvent ~trc faeilement obtenues en ~tudiant la convergence de l'int6grale contenue dans (55).

La condition (57) est tr6s int6ressante, car elle nous permet d'6crire que pour U ~ 0, g, (U) dolt pouvoir ~tre raise sous la forme

gn ( V ) ~_~ a n - - i Un-1.

On peut d6montrer que les conditions (56) et (57) assurent la convergence de l'int6grale (36).

L%quation (55) nous montre qu'il y a u n autre moyen de trouver f(u) que celui donn6 par (36). Celui-ci consisterait h ealculer, en eonnaissant g~ (U), go (U) ou g~ (U) (pour n pair ou impair) grfiee h (55); puis utiliser (36) qui, dans le cas de n = 0 (ou n = i), a une forme plus simple. D'apr~s nous, l 'emploi direct de (36) cxige moins d'efforts.

Dans le cas du multipSle, la convergence de (52) est possible si

(58) J o ) o gn.m(~, '~) de. d'~ < co,

(59) Y g~.~ (U1, U2)

0

pour U 1 = 0 eL z = 0 , l , . . . , n - - 2,

(60) - o

~ d,~

pourlJ 2 = 0 et z = 0, i , . . . , m - - 2 .

Ces conditions sont obtenues d'une maniere analogue '~ eelle utilis6e pour trouver (56) et (57).

5. A P P L I C A T I O N S D E S F O R M U L E S (36) E T (52)

A C E B T A I N S C A S .

a ) Ampli f ieateur l in6aire de la premi6re h a r m o - nique.

Dans le c a s n = J, N -~ O, la fonction f(u) dolt 6tre impaire et U 1 -= gl (U) = kU.

L'6quation (36) peut s'6crire

7t--I / ' u (/,1 .~2", --112 f(,,)- ,

7j~ q- ] )/c7} X dr} p o u r ~ > 0

516 OH

l - [(u) = 2h / 2]'~--~d~=l~u.

Ce rgsultat, bien connu, est iei obtenu d 'une mani~re plus rationnelle. La earact6ristique sta- tique est montr6e sur la figure ].

/ FIG. I. - - Carac t6 r i s t ique s t a t i q u e

d ' u n ampl i f i ca teu r l in6aire.

b) Dgteeteur ~ l ingaire ~.

Ici nous avons n = O, N = - - 1/2, la fonction f(u) doit gtre paire et U 0 = go(U) = kU.

L'6quation (36) nous donne dans ce cas

2 v ~ + l k~q• d~ p o u r u > 0,

-u 2k~ krr f ( u ) = u - 2 /o ~ 1 _ _ ~ 2 " ~---~-~ &q = u.

Ce r~sultat est 6galement connu. La caract6ris- tique statique est montr6e sur la figure 2.

US,

FI~. 2. - - Carac t6 r i s t ique s t a t i q u e d ' u n d6 tec t eu r l in6aire.

c) Limiteur semMd~al .

Supposons que la caract6ristique dynamique d 'un limiteur soit celle de la figure 3 (1). Dans l'inter- valle 0 < u < % la caract6ristique statique sera celle d 'un amplificateur lin6aire, % 6tant le seuil de limitation.

- - 47 - -

6/6 Nous pouvons 6crire d'apr~s (36) pour l~ = 1,

N = 0 c t g l (U) - - - - -k%p~ u > % ,

u - I f ~ o 2]~ f(") = - 2 - J o ~--~' d~

/s

G. PAPADOPOULOV

u - 1 / ' u ];v0 + ~ 2% / ~ - - ~ 2 d~ ;

pour u > V o" d ' o ~

(61) f(u) = k % ( u -- ~ / ( u ~ -- 1 + ~ arcos �9 \% - - k % /

U~

0t784"

Oj.~

~8

o,5

I i' 6 4

(I)

(~)

4 6

~ U

~'0 ~0

Fro. 3. - - Caractfristiques dynamique (1) et 6tatique (2) d'un limiteur semi-id6al.

[ANNALES DES TI~L~COMMUNICATIONS

Alors, d'apr6s (52):

(1 --~'~-'l''a~/ \ '~d + t)/(\~d_~d + 1) k ~ d~d~ pour u l e t tt z > 0.

En calculant nous obtenons

f ( u 1, U2) = k u 1 1A 2.

6. CONCLUSION.

Nous avons d6montr6 que si l 'on connalt la caract6ristique dynamique d 'un multipble, sans inertie, il est possible d 'obtenir sa caract6ristique statique. Nous avons appliqu6 les formules obte- nues h diff6rents cas connus.

I1 serait int6ressaat d 'obtenir les caract6ristiques paires et impaires de diff6rents 616ments non lin6aires et d '6tudier les facteurs dont elles d6pendent.

Je tiens it remercier M. Ju l i en Loeb pour l'intd- r~t qu'il a portd it ce travail et pour l'encourage- ment que ]'ai re~u de sa part.

Manuscr i t re~u le 28 mars 1958.

La caract6ristique statique du limiteur est repr6- sent6e sur la figure 3 (2). Le r6sultat obtenu nous montre que Clavier, Panter et Dire [2], en utilisant une m6thode inductive, sont assez loin du cas id6al.

d) Changeur de frOtuence ~ lin6aire ~.

Nous examinerons un multipble h six p61~s, pour lequel nous poserons n = 1, N = 0 et m = 1, M = 0 pour obtenir l 'ampli tude de la composante de moyenne fr6quence, f(ux, u~) devra &re impaire aussi bien par rappor t ~ ul, qu"~ u2.

UI,I = g l , l (U1 , U2) = ] ;U 1 U2.

B IBLIOGRAPHIE

[1] YAr~ DER POL (B.), BI~r.MMEI~ (H.), Operational calculus based on the two-slded Laplace inte- gral. (Le calcul op6rationnel bas6 sur l'int6grale de Laplace et sa fonction symbolique associ6c.) Cambridge, G. B., t950.

[2] CLAWE~ (A.), PA~TER (P.), DIT~ (W.), R6duction by limiters of amplitude modulation in an ampli- tude and frequency modulated wave. (La r6duc- tion par des limiteurs de la modulation d'ampli- tude d'une onde modul6e en amplitude et en fr6- quence.) Electr. Communie., U. S. A. (t948), 25, n ~ 3, IX, pp. 281-299, 14 fig. 2 r~f. bibl.

-- 4 8 - -