Calcul de Structures n2 Jan 2003

Ecole Inter-Etats tfIng&ieurs de IEQUIPEMENT RURAL 03 B.P. 7023 Ouagadougou 03

CALCUL

DE STRUCTURESFascicule no 2

_ LES SOLLICITATIONS - LES SOLLICITATIONS

-

\;

\\ \:

Janvier 2003

- SOMMAXFN

-

DISTRIBUTION

DES CONTRAINTES

AUTOUR

DUN POINT. . . . . . . . . . . . . . .5 5 5 .9 13 13 .16 19 19 23

1. Cas dune contrainte plane ......................................................... a. Etude des vecteurs contraintes autour dun point - Tenseur contrainte Directions principales - contraintes principales .............................. b. Reprsentation du tenseur contrainte par le Cercle de Mohr ................. 2. Cas gnral ........................................................................... a. Etude des contraintes autour dun point ....................................... b. Reprsentation du tenseur contrainte - Cercle de Mohr .................... Thorme de Cauchy ............................................................. c. Courbe intrinsque ............................................................... 3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . ..*..................... TRACTION COMPRESSION A-/ EFFORT . . . . . . . . . . ..*.......................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..,....,...................,........~.............. 28 28 29 29 33 34 35 38 40 41 42 43

NORMAL

..a........................,............... 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . ..a............. a. Hypothses b. Repre - Conventions de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..*............. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Contraintes et dformations dues leffort normal ........................... Allongement de la poutre ........................................................ Dformation transversale - Coefficient de Poisson .......................... Travail de dformation ........................................................... Action dynamique des charges .................................................. Concentration de contraintes .................................................... Equilibre des fils .................................................................. a. Fil trs tendu .................................................................. b. Fil peu tendu .................................................................. B-/ SYSTEMES TRIANGULES

.. .. .. . .. . .. . . ... .. . . .. .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. 45 45 45 46

1. Dfinition ......................................................................... 2. Hypothses simplificatrices .................................................... 3. Quelques nuds particuliers ....................................................

Notes de CO~~~/CAS-M-I. FREITAS

2

4. Mthodes de rsolution des systemes rticuls .............................. a. Mthode des noeuds ....................................................... b. *Mthode de coup-w-e...................................................... c. Mthode graphique ou de CREMONA ................................ 5. EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . ..(....~....*..............~..................*...... FLEXION ,.*,.*..,........,..............~.............*.... ..*.........................a.

46 47 49 SO 51 61 61 62 63 .66 67 67 68 69 70 71 71 72 73 73 75 84 84 84 84 85

1. Introduction .......................................................................... 2. La flexion droite .................................................................... a. Contraintes et dformations .............................................. b. Condition de rsistance - Module de rsistance ....................... c. Formes les mieux adaptes pour la flexion droite Rendement dune section ................................................. d. Travail de dformation ..................................................... 3. La flexion dvie ................................................................... a. Dformation de la poutre ................................................ b. Travail de la dformation ................................................ c. Forme bien adapte pour rsister ....................................... 4. La flexion compose ............................................................... a. Centre de pression et noyau central .................................... b. Noyau central. ............................................................ c. Exemple de recherche du noyau central ............................... 5. EXERCICES.. EFFORT TRANCHANT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...*.......*..........................*.**.. .,............*...,..........................*...................

1. Gnralits .............................................................................. a. Hypothses ............................................................... b. Convention de signe ...................................................... c. Relation entre T et M ....................................................

87 2. Calcul des contraintes dues leffort tranchant ................................... a) Relation fondamentale pour le calcul des contraintes de 87 cisaillement .................................................................... .89 b) Sections massives, symtriques par rapport Gy ....................... c) Sections constitues de profils minces, symtriques par rapport 95 Gy ............................................................................... 98 d) Sections intermdiaires ...................................................... ..9 9 e) Cas o Gy nest pas axe de symtrie. Centre de torsion ..............Notes de CO~~/CAS-l/H. FREITAS

3

f) Contraintes tangentielles longitudinales . ..%.................mm........s. 3, Dformations dues !effort trarrchant ............................................ 4. TravaiS de dformation .............................................................. a. Expression gnrale ....................................................... .b. Calcul de sections rduites ................................................ 5. Poutre de hauteur rapidement variable ............................................ 6. Cas o la section reste plane ........................................................ 7. Exercices ..............................................................................

104 iO4 106 106 108 111 112 114

TORSION . ..*..............*...........*................*....................*..............1. Introduction ........................................................................... 2. Poutres de sections circulaires ...................................................... a) Contraintes et dformations ............................................... b) Travail de dformation ..................................................... c) Cas de la section circulaire creuse ....................................... d) Exercices .....................................................................

116116 117 117 119 .120 120

123 3. Sections de forme quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..*............... a) Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 b) Sections massives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 a. Contraintes et dformations p. Energie interne y. Exercices c) Sections constitues de profils minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...*.... 134 a. Profils ferms /.3.Profils ouverts y. Exercices 4. Directions principales et contraintes principales ............................... 5. Concentration de contraintes ...................................................... 6. Tensions secondaires ............................................................... 142 143 144

Notes de CO~/CAS-1M

FREITAS

La Mcanique des Structures ou Calcul de Structures, est une science de lingnieur qui a pour but, la recherche de la forme la mieux adapte conomiquement un lment de construction afin que celle-ci soit pius apte mieux rsister aux sollicitations (effort de traction ou compression, de -flexion, de cisaillement ou mme de torsion) auxquelles elle est soumise. Cette science qui sapplique toutes les branches de la profession dingnieur (mcanique, btiment, fondations, ouvrages hydrauliques tel que barrages, ponts, . . ..etc.) sappuie fortement sur les mathmatiques tout en admettant des hypothses simplificatrices et raisonnables. Elle utilise constamment les Si la statique tudie lquilibre des forces appliques la construction, la mcanique des structures soccupe plutt des sollicitations quengendrent cellesci et de leurs effets internes. Car le comportement dun lment de structures dpend non seulement des effets internes provoqus par ces sollicitations en un point considr mais aussi du matriau qui le compose. Cest une science qui fait appel au bon sens et lexprience de iingnieur.

Le prsent document qui reprsente le premier numro dune srie de trois tomes, est relatif ltude gnrale des diffrentes sollicitations dun lment simple de construction (barre, poutre). Ici, on se limite la thorie des poutres. Dans ce volume, on tudie les diffrentes sollicitations, les applications directement lies chacune delles. leurs consquences et

Notes de cours CAS-l/EERIH.

FREITAS

1 - CAS DUNE CONTRAINTE

PLANE

a - Etude des vecteurs contraintes autour dun point. Tenseur contrainte Conventions de signe : CT 0 , si cest une contrainte > de traction ; t > 0 suivant z ; le repre ( v, z ) tant direct. Cestdire(v,z)=+Fy >O l

5

1

M>O

Etudions le vecteur contrainte J qui sexerce sur un lment de surface passant par 0 lorsque la direction de la normale P cet lment varie. Soient : 0 xoy un repre rectangulairel

CT~ t, les composantes normale et tangentielle de la contrainte et sexerant sur une facette de normale ox oY et tY les composantes normale et tangentielle de la contrainte sexerant sur une facette de normale oyl

l

la longueur de BC est gale lunit ; a longueur AB = cas a longueur AC = sin a

Notes de cours CAS-I/EIER/H. FRE[TAS

6

Nous allons calculer les composantes (l normale CTet tangentielle t de ia contrainte 7 sexerant sur la facette BC de normale C ; Y : vecteur unitaire faisant 1x3angle cI avec 0x .w La contrainte tant 0 a

et

tg2 2ac sin?2a, = 1 + tg* 2a0

cos2ao = q5-&TQm

2 0

sin2ao du signe de tg2a,

3

sin2a, = Jm

On obtient :LJ

ET Nota :

~1 correspond au signe + , si CT,- CT~ 0 > et au signe - , si 0, - oy < 0

Remarques :l 01 +

02

=

0,

+

cy

)

* do oX + oy = constante et ceci quelque soit le repre

CF~ or est la trace de la matrice [G] = +

11do les contraintes

l

On peut

vrifier

que

do -=Opouraoda

etao +5,

principales o1 et ~7~ sont les valeurs extrmes de ci ; (~1 : maximum de CT 02 minimum de CJou vice versa). et

Si lon prend les axes ox et oy prcdents suivant les directions principales en o, les relations (1) de la page 6 deviennent, ~1 et 02 tant les contraintes principales (voir fig. ci-dessous)

Notes de cours CAS-I/EIER/H.

FREITAS

9

f /6-

2 2 1+ cosia (T ! CGS a+c7 2 sin a=o 1 -------+2 2 0-o L--L 2 2a cos7a

1- cos2a

1 = ---= ai-02 (2) 1 12t = g1 O2 --Sir?

c. L

-

I

2

Le tenseur contrainte scrit alors [0]= Do:

010O 02

b - Reprsentation du tenseur contrainte par le cercle de Mohr Les relations (2) ci-dessus montrent que dans le repre (Y, Z) li la facette, lextrmit M du vecteur contrainte T dcrit un cercle, ce cercle est le cercle de

Mohr.r= OI-02 En effet : en posant2

a= a, + a22 (0. - ~2)~+ t2 = r2 COS 2a + r2 sin2 2a = r2O1 +O2

Ona:

Do le cercle de Mohr a pour centre :

A

X

=

2

pour rayon : Do on a la reprsentation gomtrique ci-aprs :Notes de cours CAS-l/EIERM FREITAS

10

0 et t sont positifs suivant C et z .

ic--l----------------1 Attention au sens dans lequel n I I I sur le cercle de Mohr : I

on reporte a

0 tant le point reprsentatif de [contrainte sur la facette de normale (1)

3,

M tant le point reprsentatif de ? contrainte sur la facette de normale v telle que IF), Langle CJ= a). (A(1), AM)= - 2a4 1axe de rfrence

Construction inverse : si on connat non pas les contraintes principales mais les contraintes oX, CT~ tXY sur 2 facettes perpendiculaires de normales 0x et Oy, la et construction du cercle de Mohr est alors la suivante.

x __--------_----v-w l i

Nota : Ici il faut galement faire attention aux signes.

Soient : (x), le point reprsentatif sur le cercle de Mohr de la contrainte sur la facette de normale ox (y), le point reprsentatif sur le cercle de Mohr de la contrainte sur la facette de normale oy

Notes de cours CAS-l/EIER/H. FREITAS

Q, le point reprksentatif

sur ie cercie de Mohr de lb contrainte

sur la sur la

facette de normale o(1) @, le point reprsentatiC sur le cercle de MO~- de la contrainte facette de normale o(2) Pour (x) il faut reporter t, > 0 vers le haut (suivant ? ) tandis que pour (y) il faut reporter t,, > 0 vers le bas langle (A(x), A(I)) = -2a ; A(x) : axe de rfrence Do on peut construire les directions principales : (OX,Yj)=+a 4 axe de rfrence. Remarques :l

les points reprsentatifs de 2 facettes perpendiculaires diamtralement opposs sur le cercle de Mohr.

sont

l

la contrainte de cisaillement est maximum sur les plans faisant un angle de 45 avec les plans principaux. Cette contrainte maximale est : 17 -o*l Itmax= l 2

Cas particuliersTraction (ou compression simple)o,=N/S (2) t

tttttt

Considrons la barre de section S soumise un effort normal de traction N.CT, =o

-tii

-a,=N/S S

CF~ E 3 les directions principales en 0 sont : = Sc2 =o 1

O(1) et O(2)

barre

de section

!2

Cercle

de Mohr

figure

1

Sur une facette de normale V les contraintes sont :

(Le cercle de Mohr est une reprsentation gomtrique de ces relations).Les composantes fx et f,, de ? sont :

fx = 0, fy = 02 sina = Va,

T est vertical

v mlPour a = + 45 o=tA.2 isotrope= 0

(voir figures 1 et 2 ci-dessus)

Traction (ou compression)0x = CJy t xy

Le cercle de Mohr se rduit un point

=VCt: t=o a toutes les directions sont principales.

Notes de GOUTS CAS-UEIERM

FREITAS

Sur une facette 45 par rapport aux directions principales (points reprsentatifs : B et C) on a :

Itj=a, i o=o2 - CAS GENERAL aEtude des contraintes autour dun point

OA=dx OB= dy OC= dz (0, x, y, z) : repre orthonorm Ix // 0x Iy /! oy Iz // oz

1: Centre de gravite de ABC dS : aire de ABC

7 : vecteur unitaire de composantesa, normai ABC // x f

f3, y

//

(a2+P *+y g 1)

Soient les contraintes sexerant sur les faces OBC, OAC et OAB du ttradre. Les composantes de ces contraintes sont :

14

Face : Composantes 1: 0x Compos&ltes !/ .uy composantes !/ oz0X

OBC tyxBY

OAC Lx b (Jz

OAB

t xy t x2

t Y=

Les oi , tij sont positifs lorsquils sont dirigs comme sur la figure ci-dessus ; --cest dire quils sont positifs sils sont dirigs suivant - ox, - oy, - oz . Sur la facette ABC sexerce la contrainte ? de composantes fx, fy, fi suivant -dd 0x, oy, oz. Lquilibre du ttradre OABC donne les 6 quations suivantes (on nglige ici les forces de volume : voir page 6 GT).

(les autres composantes sont , soit parallles Ix soit coupant Ix)

(4) CFx =0 (5) CFy =0 C : (6) CF, =0 :

des projections des forces suivant les 3axesox,

--

oyet G.

Les composantes des forces sexerant sur les faces du ttradre sont : Face Composante suivant z Composante suivant oy Composante suivant G OBC - o,.a.ds - tXy.a.ds - t,,.a.ds OAC - t,,$.ds - o,.P.ds - t,,$.ds OAB - &.y.ds - ty,.y.ds - o,.y.ds ABC f,.ds f,.ds f,.ds

En effet laire OBC = aire de ABC . COS (angle entre les plans OBC et ABC)

CT L angle de 2 plans est jgal 1mgle de 2 de leurs perpendiculaires. 0x IOBC v iABc G COS (OBC, ABC)= COS G1 = a ,G, ( do aire OAC = ds . p aire OAB = ds . y fX =a.ox +p.tXy +y.t,

Les quations (4), (5) et (6) scrivent donc : fY = a. tXy + p . oY + y tyZ : fz =a.t= Ces dernires relations peuvent scrire matriciellement +/?A,, : +yo,

[CT]est le tenseur contrainte en 0 ? est la contrainte sexerant sur la facette passant par 0 et de normale v . La transformation v ---++ T est une application cette application linaire dans la base (0, x, y, z) linaire. [G] est la matrice de

La matrice [CT]tant une matrice symtrique, elle est diagonalisable, ses valeurs propres sont relles et ses vecteurs propres forment une base orthogonale. Ici les valeurs propres sont les contraintes principales et les vecteurs propres, les directions principales. En prenant pour axes les directions principales le tenseur contrainte scrit : cri, 02, o3 tant les contraintes principales. (dans le plan on a obtenu directement rsultats}

ces

Dans ce repre principal lextrmit

M de T a pour coordonnes :FREITAS

Notes de cours CAS-1IEIERhI.

16

(3) =,*M __ ,/ /_Y0

jx=o,.ol iy=a,.p z=o,.yOna Z.t+y2 y+-=a2+p2+y20; o2 a;2

=l

LX /

(1)

Do M dcrit, lorsque la facette de normale V tourne autour de 0, un ellipsode ; cet ellipsode est appel

ellipsode des contraintes. b- Reprsentation plane du tenseur contrainte : Cercle de MohrSoient : un point 0 quelconque du solide tudi ; (0, x, y, z) un repre orthonorm li au solide ; ds un lment passant par 0. v : vecteur unitaire, de composantes a, p, y dans (0, x, y, z), normal ds ? : contrainte sexerant sur llment ds. Appelons Q le plan passant par 0 et perpendiculaire V et P le plan contenant TetC. Soit z un vecteur unitaire issu de 0 appartenant lintersection de Q et de P.

\ z \\\ -\

z1 /1

j

/ ,jT /

M

/

T

Dans le repre (V , z) les composantes de ? sont (r et t [(v , z) est un repre li la facette ds]. Supposons principal le repre (0, x, y, z) li au solide ; dans ce repre les composantes de ? sont : fi =a, .cz T f2 =cT, .p f3 =o, .y 0,) o,et 0, tant les contraintes principales.

Notes de cours CAS-IIEIHUH. FREITAS

17

Supposons CJ~ n2 > ~3 (ceci nenive rien .la gnralit car il suffit dappeler > 1 laxe correspondaIt la contrainte principale la plus grande et 3 la plus petite). Orientation 1, 2, 3 telle que le repre soit direct.

produit

scalaire

(3)

Si lon fixe la valeur de lun des trois paramtres : c?, /3*, y* on voit que dans le repre (V, z) le point M de coordonnes (0, t) appartient un cercle centr sur v. Pour a constant, lquation de ce cercle (Cl) est : (J2+ t2 -CT(02 + 03) + 02 03 + a* ((53 - q) (01 - 02) = 0

(Cl>

Cette quation est obtenue en liminant /II et y dans (1) grce (2) et (3) Pour p constant, lquation de ce cercle (C,) est : CT* t* - 0 (03 + 01) + CT3 OI+ p* (0, - 02) (CT2 03) = 0 + Pour y constant lquation de ce cercle (C,) est : CT* t2 - CT + 02) + 01 02 + y2 (62 -03) + (01

(C2)

(63

01) = 0

(C3)

Lextrmit M de ? appartient donc lorsquon suppose a, p ou y constant aux 3 cercles CI, C2, C3. Les cercles CI constituent une famille de cercles concentriques. De mme pour C2 et C3. Soient : Y?*le cercle de la famille Cl pour a = 0 Y?2le cercle de la famille C2 pour p = 0 63 le cercle de la famille C3 pour y = 0 Lquation de I!?l est : 02 + t* - 0(02

+

D3)

+

02

. CT3 = 0

Equation qui peut scrire :

Notes de cours CAS-lIElER&l.

FREITAS

18 b.

Doti 151a pour centre le point

i

0 =

0:

1-q

I Et pour rayon, 02 -031 I 2 l

2

t=O \ /J

Rsultats analogues pour Y?2et g3 La puissance dun point de coordonnes (CJ, t) dun cercle Cl par rapport au cercle Y& est : PI =Of +t* -0(0, +cT,)+(T, G3 =-a2 (a, -U&T, puisque oI > CT~ 63, > PI >o do les cercles CI sont extrieurs Y$* -0,)

De mme on trouve que la puissance dun point de C2 par rapport Y?2 : est P2 = - p (01 - 02) (G2 - 03) < 0 =3 C2 intrieur VZ2 Et que la puissance dun point C3 par rapport XT3 P3 = - y2 (cf2 - Q) (03 - 0J > 0 3 C3 extrieur Y53 Do la figure suivante :

gl est le cercle de Mohr . di et I53sont les cercles fondamentaux. M appartenant simultanknent un Cr ) un C2 et un C3, M se trouve dans la partie hachure sur la figure ci-dessus ou son contour, M appartient lun des cercles 61, Y?2ou Y?3si la facette contient une direction principale (par dfinition de YGr, T?3). (e2,

Thorme de CauchvSoient ? contrainte sur la facette de normale V (a, p, y) f contrainte sur la facette de normale v (a, p, y)

Soit le tenseur contrainte T=ao, ii=ao, +po, +pa, +ycF, +yo,

, on se place dans le repre principal.

3

W=adq

+ppa,

+yyo,

=Cv:

cest le thorme de Cauchy. = 0 alors les directions v et v sont conjugues.

si T.Pr=Tr.G

c- Courbe intrinsqueSoit un point dun solide. En ce point chaque tat de contraintes est caractris par un cercle de Mohr. Augmentons progressivement les charges appliques au solide ; au dbut tant que les contraintes sont petites, les dformations sont rversibles ; par contre lorsque les charges sont trs leves les dformations ne sont plus rversibles ; (lorsque CT,est dpasse). Au point considr notons les tats de contraintes dformation irrversible et leurs cercles de Mohr. produisant la premire

Lenveloppe de ces cercles de Mohr est la courbe intrinsque du matriau. Le matriau (R.d.M) tant homogne et isotrope cette courbe est symtrique par rapport Y.

20

Pour rester dms 1s doinaine lastique il faut qrie l'extrmit M de T se situe l'intrieur de la courbe intrinsque.

--

-Ume 'ntrlns8que

cercle de Mohr llrnrte

intrinsque facette la correspondante est soumise

= E * Y Ey.ds=EyS=N Avec S : aire de la section (S) 3 N Y =ES

Do la contrainte et la dformation toutes les sections et valent :

dues leffort

normal sont uniformes sur

ox =-

N S N Ex =ES

On a vu (intuitivement) que les contraintes tangentielles t,, et t,, sont nulles. t, = 0. Toujours intuitivement, on a ciY = 0 et oZ = 0 ;

32

(La thorie de llasticit

confirme ces rsultats dans des cas simples).

Toutefois, ceci nest pas toujours rigoureusement exact ; en effet considrons un lment dS, de la surface extrieure de la -. P Si cet lment supporte une charge, ,\- - - - lment la contrainte no,rmale sera I( gale la composante normale de cette charge donc f 0 ; de mme la contrainte tangentielle sera gale la composante tangentielle de cette charge donc # 0. r/ Cependant lon ne commet pas une grosse erreur en prenant les : t.. = 0, q= 0 et (Tu= 0. Contraintes sur une section oblique(Voir chapitre prcdent sur Distribution des contraintes autour dun point)))

Quelques modules dlasticit rupture 03

E et limites dlasticit

oe (ou contraintes

de

Les valeurs ci-aprs ne constituent que des ordres de grandeur. E . kg/cm* Acier doux Aciers durs 2 100 000 2 100 000 cre (ou 0,. ) kg/cm* CT,= 2400 CT~ jusqu 15 000 20 000 =en particulier : armatures pour B.A (Te= 4 200 armatures de prcontrainte = 15 000

Fonte grise Cuivre (en fils) Aluminium Bois (moyen) Granite Bton Corde en chanvre

1 000 000 1 200 750 100 300 300 000 000 000 000 000

cFe 750 = ~~ = 1500 cre= 1400 cTr= 2000 cJe= 200 CT, 500 = cJr= 350 CJ~= 160

en traction en compression en traction

compression compression traction

Nota : Les contraintes admissibles sont en gnral gales aux 2/3 de cre.

Notes de cours CAS-l/EIERiH.

FREITAS

33

ReinarQue concernani

khvpo~hse de Navier BernouiRi

Dans le cas ci-contre o ion charge uniformment la section extrme du poteau, cette hypothse est exacte pour toutes sections du poteau.

a

/ s2 ! Lb iii

Par contre pour le poteau ci-contre charg ponctuellement, au voisinage du point dapplication de cette charge concentre cette hypothse nest pas exacte. On peut admettre (thorie de llasticit) qu partir de la section S3, grosso modo la distance a de S, lhypothse de Navier Bernouilli est vrifie.

Contraintes dans les sections SI,

Sz,S2

3 - ALLONGEMENT

DE LA POUTRE

On calcule cet allongement en intgrant le long de la poutre les dformations as (= E,) + voir relation de Navier Bresse. Cas dune poutre droite

+------.31 lu(n) GL D\/ 3UllL L.NL13LdllLG>, aluI>

ES

N(x) tant pris avec son signe on a : A& > 0 At < 0 pour un allongement pour un raccourcissement

Notes de cours CAS-l/EIEWH.

FREITAS

34

4 - DEFORMATION

TRANSVERSALE

- COEFFICIENT

DE POISSON

Lexprience montre que la dformation longitudinale aX est accompagne dune deformation transversale cy (= E,) proportionnelle Ex. E, et E, sont plus petits et de signe oppos E* EY = EZ= - U&x Le coefficient de proportionnalit v est le coefficient de Poisson Le coefficient de Poisson u dpend du matriau ; u est compris entre 0 et 0,5 Acier u = 0,3 Bton

u = 0 si le bton est fissur u = 0,lS si le bton nest pas fissur Matriaux incompressibles (caoutchouc) u = 0,5*

Variation

de volume La variation de longueur llment ci-contre est : des cts de

Tdx ; -

A(dx) = sX . dx A(dy) = -wx . dy A(dz) = -UE, . dz La variation du volume de llment est : Av=dy.dz.a,dx -dy . dx . u . cx dz -dz . dx . u . Es dy Av=dx.dy.dz.a,.(l-2u)

2i,

*Pour u = 0,5, AV = 0 do le matriau est incompressible. 6 Remarque : si la dformation transversale nest pas empche il napparat aucune contrainte supplmentaire, par contre si elle lest, il apparat des contraintes ciY(et, ou) 0,.

Notes de cours CAS-l/EIER/H.

FREITAS

35

5 -- TRAVAIL

DE DEFORMATION Considrons un petit lment, perpendiculaire moyenne, de surface ds et de longueur dx la ligne

pq

Wcrt

-- ds --~ (3,

I

0

Augmentons progressivement, de faon (statique)* les charges appliques la poutre.

rversible

\, w~

* Cette augme ntation de charges est infiniment lente, ainsi tout instant les contraintes internes quilibrent les charges externes appliques.

Dans la section S(x)l l

leffort normal R augmente de 0 N. Soit R = a N la contrainte normale cX augmente de 0 CT~ z. = la dformation E, augmente de 0 E, = $.

avec 0 2 a 2 1 On a F, = a nX On a E, =a.~,

l

5CT x

0

Quand a augmente de da llment de volume dv = ds.dx reoit lnergie : J(dW,)=o, .dS.dEX .dx 5z---- dplacement

Ona:

5, =a.E.r dv. cwr.da

d;, =EV .d; do 6(dWi)=.E;.

de d ih-T;i)=

0

1 cet

lment .da2

de

volume

dv,

reoit

E x,2 .dv . [a y1

Do sous laction de leffort normal N llment lnergie (travail de dformation) :

de volume dv emmagasine

Notes de cours CAS-IIEIERIH.

FRE]TAS

36

dl\; = +. E . Ej . dvl dwi peut secrre : dFVi = i. $- dv , t dWi d1- est reprsent par laire QAB

ou encore

1 dWi =?E,E:

.S.dx=.-.S.dx=-2 E

N2 dx 2 ES

Pour lensemble de la poutre lnergie emmagasine est : Wi =$ 1 ) E.Ef .dv=- W, est lnergie interne de la poutre

2

ou encore : Si la poutre est droite

A! tant lallongement

de la poutre.

Remarque

: en vertu du principe de conservation de lnergie on a AWi+AW,+AE,+AQ+.....=O

Wi : nergie interne du systme (poutre ici) W, : travail des forces extrieures agissant sur le systme. Ec : nergie cintique du systme. Ici E, = 0 car lapplication des charges est rversible Q : nergie calorifique. Ici AQ = 0 car on suppose quil ny a pas de dgagement de chaleur (pas de frottement) Do : AW,+AWi=O


FRE[TAS

3 lorsquon applique des forces la poutre lnergie quelle emmagasine Wi est gale au travail accompli par ces forces (extrieures) au cours de leur application. S@ (ces forces tant appliques de faon rversible).

/ A ./ 6

A . /

* le travail dune force dont le point dapplication se dplace de 6 le long de sa ligne daction est : 0 F . 6 si cette force est applique brutalement 0 2 F . 6 si cette force est applique de faon

F/

l

rversible.

t F r----7

1--L-----I

la force --~---A- ~~~__~-~-.- est proportionnelle 1 au dplacement (5

(loi de Hooke)

Exemple

t e

/ /

Soit le fil ci-contre auquel on applique la masse M rversiblement ;fil de masse ngligeable, Section S module E

. le fil sallonge de Al . leffort normal dans le fil est N = Mg . lnergie emmagasine par le fil

est

wi =

+N.A~

. le travail de la force applique au fil est : W,= ;Mg.A, = ;NA~ Wi = W,

On constate que lon a bien :t N=Mg

38

6 - ACTION

DYNAMICU3

DES CHARGES

Reprenons lexemple prcdent a) On applique la masse M rkversiblement (comme ci-dessus)

Quand toute la masse M est applique on a :l

effort normal dans le fil : N = Mg Mg 3 contrainte dans le fil : 0 = S Nl allongement du fil : A! = Z 1 N21 nergie emmagasine par le fil : Wi = : N . Ak = - 2 ES 1 travail fourni par la masse M : W, = T N A! (= wi ) maintenant M brutalement A linstant t quelconque reprons la position de M par z, lorigine de z tant la position dquilibre statique de la masse M (voir figure cicontre) A cet instant t les forces agissant sur M sont Le poids : Mg La force de rappel du fil :-\1 x--mouvement de M

l

l

l

b) On appliqueT

N=Mg+ES; Mg - N tant diffrent de zro, la masse nest pas en quilibre. Son mouvement est rgi par lquation diffrentielle Mg-(Mg+ES;)=Mz Soit ES z+ - z=o Ml

$lN

i Mg

Notes de cours CAS-l/EIEWH.

FREITAS

39

Equation qui a pour solution z(t) = A COS -+ B sin ot est /ES A et B : constantes. avec c13=~~

La vitesse de la masse M est z(t) = $= En prenant lorigine

- cA sin ct + o B COSot

du temps au moment o on applique M on a

--Mg!pourt=O =ES 2

A- --- Mg.Q

ES B=O Mfk-*l ~ ES

Iz= 0

2n et damplitude Ma donc un mouvement priodique de priode uAZ, est lallongement

statique.

Lallongement ES

w +-=2A!, mlES

maximum du fil est maintenant

= 2 fois 1allongement statique do : la contrainte statique dynamique maximum dans le fil est 2 fois la contrainte

Ce qui montre leffet nfaste des charges dynamiques. Faisons le bilan nergtique : un instant - le fil a emmagasin lnergiet

quelconque

- la masse M a emmagasin lnergie cintique 1 1 ES Ec =+M$ =--- M2g2e waZ2 2 ES

Notes de cours CAS-IIEIEWH. FREITAS

40

- le travail fourni par la masse M est

Ona

W.I +E c =MZg2 -t!+Mgz ES Wi + E, + W, = 0 (conservation de 1nergie). statique (z = 0)

On a bien entre instants 0 et t :

En particulier lorsque la masse M passe la position dquilibre - elle a fourni un travail - le fil a reu le travail - la diffrence de la masse M. W, =Mg.A&. Wi =;Mg.A10

W, - W, = f Mg. AI0 constitue lnergie cintique

Remarque : En fait, le mouvement oscillatoire

samortit progressivement par suite des frottements et aboutit la position dquilibre z = 0. La chute de la masse M a alors fourni lnergie Mg. Al,, , la moiti de cette nergie a t emmagasine par le fil, lautre moiti a t dissipe en chaleur par suite des frottements. 7 - CONCENTRATION DE CONTRAINTES

Lorsque la section varie brusquement, comme on la signal en introduction, les rsultats de la thorie des poutres ne sont plus valables. En particulier les contraintes ox ne sont plus constantes sur toute la section ; on a en certains points une concentration de contraintes .

En voici quelques exemples1N--orna& 2moyen N l----omax= jusqu

60 moyen

~- paisseur

b

Notes de cours CAS-IIEIERIH.

FREITAS

4i

b

paisseur

b- -

e

IN i

N t

Si ! est grand par rapport R 0 max 3 ~moyen = N avec amoyen ~ = lb

Toujours si ! est grand par rapport aux dimensions du trou (ellipse)

8 - EQUILIBRE 4

DES FILS

t/, --A-..----.-- y,/:

1

*+jyzF/ lOn cherche la forme que prend ce fil.

On tend avec une flche f un fil, de poids p par unit de longueur, entre 2 points A et B distant de ! et situs sur une mme horizontale. A et B sont 2 articulations.

Le fil nayant pas de raideur la flexion il ne peut supporter que des efforts normaux, efforts normaux de traction (pour des efforts normaux de compression lquilibre serait instable). Do le fil doit tre tel quil soit confondu avec la courbe des pressions, la charge tant son poids propre.

Notes de cours CAS-VEIERM.

FREITAS

Comme on la vu en statique, pour les forces paralleles reparties les quations d*y q(x) des courbes funiculaires sont solution de lquat.ion diffrentielle - - - ~ dx2 H Pour intgrer cette quation on va distinguer 2 cas. a) Fil trs tendu (la flche f est petite par rapport la corde ! ) On a alors q(x) E p = constante. Do les courbes funiculaires ont pour quation y = - -+c, x2 2H +c,

Ces courbes funiculaires dpendent de 3 paramtres H, CI et C2. Ces trois paramtres sont dtermins par les conditions que lon impose la courbe funiculaire ; on peut imposer au plus 3 conditions,l

Si on impose plus de 3 conditions (par exemple ici en imposant en outre au fil sa direction en A et B A:) F*rn lkale notre problme na en gnral pas de solution, ce qui veut dire quun quilibre sans flexion est alors impossible. Si on impose moins de 3 conditions indtermine. la courbe funiculaire est

l

La courbe des pressions que lon cherche ici est la courbe funiculaire A et B (2 conditions) et ayant pour flche f (1 condition). Do on peut dterminer HI, Cl et Cz ; la courbe funiculaire la forme que prend le fil. Ona y(o)=0 y([)=0 y$=f 0 Dolquationdufl 3 s 3 4f y=--x2 l2 c, =o c, =z Pl j c,=!! L 4f = F x (t - x)

passant de

correspondante est

H=!?t 8f 4f +7x

(parabole)

Notes de cours CAS-UEIERIH.

FREITAS

43

A :absc.isse x leffort normal dans le fil est -N= y tant la drive de y par rapport a x 4f 8f soit y=+------x .t l2 8f2 Cet effort normal est maximum en A et B o il vaut N = N 1+ l2

b) Fil peu tendu : On ne peut plus ici considrer q(x) constant gal p maintenant ds q(x)=pxdx=pd*A

Do lquation diffrentielle courbes funiculaires scrit Hy =-p,/m (1)

donnant les

En posant z = y (1) scrit dz Hz= H-=-PI,&? dz do H Jl+z2 a Hlog (z+Y/= 1=-~X+C, = - pdx

En prenant le repre xoy de la figure ci-contre on ay=z=()

pour

x=0

x

Cl =o

Do

z+ J---xe-~ l+z

En isolant dl + z2 et en levant au carr on tire : dy 1 -; ; =-she -e H z=z=2 ! 1

Notes de cours CAS-UEIERBI.

FREITAS

44

E.nfn, en intgrant

dy Px ~ = - sh H dx

on obtient

Y =-!$hPX g-+c, PH 3 c, =c

Avec le repre choisi ci-dessus,

y(o)=-;

Do lquation du fil : chanette H Le paramtre H tant dtermin par la relation f = + p H A labscisse x leffort dans le fil est N = ~ cos~ = H.dg=Hch-=-py Px H

Cet effort est maximum en A et B o il vaut : p La longueur du fil entre A et B est :L= rdgdx=2

= H + pf

ffch;x.dx=2;shz

Notes de cours CAS-l/EIERfH. FREITAS

Cette partie constitue lune des applications 1 - Dfinitions

directes de I ffort normal.

Un. systme triangul ou Treillis articul est un des plus importants constructions mtalliques en gnie.

types de

Un treillis est constitu de barres droites (profils en L, T ou 1) articuls les unes aux autres et constituant des triangles juxtaposs. Les barres sont relies entre elles par leurs extrmits. Les joints de liaison des barres sont appels rtoeuds. Les noeuds sont des assemblages souds, rivs ou boulonns. Entre le nombre de barres (b) et le nombre de noeuds (n) constituant un systme triangul existe la relation suivante : b = 2 n - 3membrures

ferme

poutre

Exemples de treillis articules

2 - Hypothses

simplificatrices

CL- On suppose que les barres sont articules sans frottement aux noeuds, autrement dit chaque barre est considre comme une bielle articule ses deux extrmits. p- On nglige le poids propre des barres y- Les forces extrieures (charges) sont appliqus au noeuds. S- Les forces appliques sont situes dans le plan du systme articul.

Notes de cours CAS-J/EJEJUJ-J.

FREJTAS

46

A

Systme_Rticul

-i B

Les treillis sont considrs comme un ensemble de noeuds articuls et de membrures soumises des efforts axiaux seulement. Ce sont des systmes dits rticuls.

En revanche, si les lments dun systme de barres travaillent principalement en flexion ou en torsion, le sytme est appel cadre.

*.Q&

.Q , _Exemples de cadres

3-Quelques noeuds particuliers On dmontre aisment les resultats ci-aprs prsents sous forme de tableau sur les noeuds non chargs dactions extrieures.

N2

/

N 2/

\N,

N2 ,,

Gomtrie

/I

N ,A, / J

N \

2

/I

N,,,Yc.+ /!

,,;4

1I

l----Proprit

Barres alignes

NI=N2

NI=0 Nz=O

Barres 1 et 2 alignes NI=N2 N3=0

Barres alignes deux deuxN1=N3

N2=N4

4- Mthodes de rsolution

des systmes rticuls

Un systme rticul peut studier analytiquement ou graphiquement. Selon quon veuille faire un dimensionnement ou une vrzjkation de la structure, on utilise lune ou lautre des mthodes suivantes.

Notes de cours CAS-IiEIElUH. FREITAS

47

a- Analyse dun sytme rticul par la mthode des noeuds

1

P E

Soit mthode dans les rticuleB

dterminer par la des noeuds, les efforts barres de la structure illustre ci-contre.

,I_l.:pI, ,,

a

, I

a

F

/

a

/q

La structure ci-dessus est un systme articul. Nota : Un treillis peut tre considr comme un ensemble de barres articules soumises des efforts axiaux. Comme le treillis est en quilibre, chaque noeud doit aussi se trouver en parfait quilibre.l

Equilibre gnral du systme :

Trouvons dabord les ractions dappui en A et B2P

En effet, avant ltude dune structure, la connaissance de toutes les forces extrieures sur elle (charges et ractions dappui) est ncessaire. Ici, les ractions (H,, V,, VI,) possibles sont reprsentes sur le schma cicontre.

On obtient :

c F,=Oa H,=O c FY =0 av,+q -4P=O

v, =2P Vb=2PHa=0

= cML4

0 =3 P.a + 2P.2a + P.3a - 4Vh = 0

Rsultat auquel il fallait

s y attendre : gomtrie et chargement de la structure

symtriques.

Notes de cours CAS-IlEIERkI. FREITAS

48

l

Equilibre

des noeuds On peut

Le systme tant en quilibre, chaque noeud est en parfait quilibre. alors isoler un noeud et crire son quilibre.

w Remarque :1. La rsolution du systme dquations un noeud n est possible que si on a 2 inconnues ce nud; cest--dire que si seulement deux barres inconnues aboutissent ce noeud. 2. Aussi, la disposition gomtrique des barres et des noeuds dans un systme triangul, est telle quil existe au moins un noeud avec deux forces inconnues (les efforts dans les barres sont considrs comme des inconnues). Dans la structure ci-dessus on ne peut qualors dbuter avec le noeud A ou noeud B. Noeud A Ne connaissant pas priori la nature de leffort (compression ou traction), dans chaque membrure (barre) nous choisissons de le reprsenter comme une traction arbitrairement.Si le rsultat estpositfalors lefort dans la membrure est une traction ; sinon, cest une compression.

- soit. - p.2r.l= e 0

o=pr I

a7 Nota : On remarque que la contrainte transversale est le double de la contrainte longitudinale. Cest dire que sous leffet dune forte pression, la conduite va rompre longitudinalement suivant une de ses gnratrices. Ces expressions ne sont pas valables aux droits des fonds.

59

Exercice no8 u) Etude de structures rticules (ou treillis articuls) I- Dterminer les efforts dans les barres de la structure ci-dessous par Ia mthode des noeuds.

2P

AAa ,, / a 1 a I a i 2- Trouver les efforts dans les barres BB, BC et DC par la mthode de coupe (ou mthode de Maxwell).

3- Dterminer graphiquement (mthode de CREMONA).1200 KN 120 KN

leffort dans chaque barre de la structure ci-aprs ;

Notes de cours CAS-l/EIElW.

FREITAS

63

Exercice 4

E = 2.105 MPa (module dlasticit) a) Calculer les efforts dans les barres b) Calculer le dplacement du noeud A ( 1) Graphiquement (2) par la mthode des nergies

Exercice 5

Trouver le dplacement du noeud A sous leffet de la charge P. Longueur AB = 1

Exercice 6 Carr de ct a = 20 cm mh = 0,2 cm

Section S = 8

E=2x105MPa en t pour

Calculer leffort x appliquer relier B B


61

1 - INTRODUCTION Soient en G, $ et M les lments de rduction des forces situes dun mme ct de la section ( droite dans le cas de la figure ci-contre). Voir cours de statique pour la dfinition des lments de rduction et chapitre prcdent pour la dfinition du repre (G, x, Y, 8. Ce chapitre est consacr ltude des

effets des composantes My et A& de M suivant Gy et GZ . M, et M, sont appels

moments flechissants.l l l l

l

Si 1une de ces 2 composantes est nulle, la flexion est dite droite. Si ces 2 composantes sont diffrentes de zro, la flexion est dite dvie. Si sur la section considre 1effort normal est nul, laflexion est dite simple. Si sur la section considre 1effort normal nest pas nul, la flexion est dite compose. Si sur la section considre 1effort tranchant est nul, la flexion est dite pure (ou circulaire).

En plus des conditions nonces au chapitre prcedent, (la section varie lentement, le rayon de courbure est grand.. . etc.) on suppose dans ce chapitre que la poutre est plan moyen cest dire que les axes Gy (ou Gz) successifs le long de la poutre appartiennent un mme plan. Toutefois si la poutre ne vrille pas trop les rsultats ci-aprs restent bons. Exemples de poutres flchies : Les courbes des moments sont dessines du ct de la fibre tendue.M=M,, A t-lo Ma=$ Y

Notes de cours CAS-VEIERM. FFWTAS

62

M = i) ,/----l\ b i i

Ra=i'

ii, =P

&/M=M, r R,=Mo,lt R, =h& ,1

2 - LA FLEXION DROITESupposons M,# 0 et MY = 0 ; pour simplifier lcriture on pose ici :

M,=MDans ce chapitre on ne considre que les contraintes dues M ; en particulier on ignore les contraintes tangentes dues leffort tranchant qui en gnral accompagne M Convention de signe :

1t

Y

Y

M M ( M > 0 du si ct ,f la fibre de y > tendue 0

x

est

M 0 pour les 4 tractions).

a - Contraintes

et dformations Pour que la section (S) soit en quilibre (voir chap. Efforts normaux) N= j-0 (y,z)ds=O SI x My= MZ= ox (y,z).z.ds=O ox (y,z).y.ds=M T, =(Y, 4 ds = 0

on doit avoir

Comme pour leffort normal, ces quations ne dfinissent pas la rpartition des contraintes. Pour connatre cette rpartition on doit faire une hypothse supplmentaire, lhypothse de Navier Bernouilli : sous Zeffet du moment

flchissant toute section droite reste plane.Comme pour leffort normal, les contraintes sont nulles et les seules composantes non nulles du dplacement relatif des sections S, et Ss+dssont : - translation suivant Gx rotation autour de Gy rotation autour de Gz Daprs lhypothse de Navier Bernouilli, avec a, fi et y constantes. on a la dformation cx = ay + pz + y ;


64

Daprs la loi de Hooke la contrainte normale est

M,=O

2

p=o

(voir chap. prcdent) 3 car lorigine y =o des axes est le centre de gravit

N=O

3

E(ay+y)ds=EyS a y = 0 de la section

Mz=M

=a

f sl

Eay2

ds== I,

Ea y2 ds A I que Ion noie I pour amplrfier

=E.a.llcriture.

=j a=g

Do,

z

T1 -EfM Ex =EY cTx=M IY

Avec la convention de signe adopte pour M on a CT,> 0 pour une contrainte de traction te--+ Es> 0 pour un allongement te+

IY

lr

/

G

y=o- x

Les contraintes sont donc proportionnelles Y Laxe neutre (point o CT~ 0) est la droite y = = 0 (axe Gz) ; Laxe neutre passe par le centre de gravit de la section. Comme pour leffort normal, toutes les contraintes tangentes t.., les contraintes oY et oz sont pratiquement nulles. est

/

conteintes

u

x

Comme pour leffort normal la seule composante non nulle de la dformation EX Dplacement relatif de 2 sections voisines

Considrons une petite tranche de poutre de longueur dx. Lorsquelle est soumise au moment M, on a vu que la seule composante non nulle de la A4 dformation est sX avec : &x M=-&fY


FREITAS

65

_-- dx(1 +E J

Llment se dforme donc comme indiqu ci-aprs. Les sections droites restent droites ; pour modifier les angles il faudrait que la dformation ait une composante suivant Gyt--s

M

\

-

IY\ i\+ !M /GVil-l

Y-_

(distorsion)

Une fibre situe au niveau du C.d.G ne change pas de longueur. Une fibre situe au niveau de y sallonge ae : EI. y. ax . Le dplacement relatif de 2 sections distantes de dx est donc une rotation autour M deGzde dq=EIdx. La rotation unitaire, rotation par unit de longueur est donc 4 = i. 1 4

dx EI La poutre sincurve avec un rayon de courbure de : r = -=-=d9 M 1 - : est la courbure. r On peut donc crire : UT Remarque : si initialement final r, est tel que :=;dx

&x = -y

r

CT,=E.q

=Ey

r

la poutre est lgrement courbe (rayon r) le rayon

- -.--

-

Triangle 1 fi 0 Soit -=-+- dx dx r1 r,

3

d 0 M, >O sil tend le ct z>O A4, et Iw, sont les composantes de 2 suivant - GZ et Gy .

Doax (Y9z> =

EIy

.Y+7

MYZY

Daprs ce qui a t dit plus haut (page 61), en adoptant la convention de signe mathmatique on aurait : MY ox (y,z)=--2 M Y+.z I z Y Laxe neutre est la droite dquation:

!!EL.y+r My.Z = (), I zY

il passe par le centre de gravit de la section. La pente de laxe neutre : dz -=m=-L.L dY 1 M 1, MY

Notes de cours CAS- 1/EIER/H.

FREITAS

69

Avec les conventions de signes adoptes le centre de pression c est le point de coordonnes :

N , effort

normal

sollicitant

la

section . La pente de la droite GC est :

MY m=tga=--MZEn particulier si N -+ 0, cas de ce paragraphe, le centre de pression C sloigne linfini dans la direction

Ona:

m.m=-Y=--.-.4 P,zavec pY et pz : rayons principaux de giration.

Do GC et laxe neutre sont 2 diamtres conjugus de lellipse dinertie 3 laxe neutre nest pas confondu avec laxe autour duquel se fait la flexion (axe I GC). M MY Les contraintes 0x (y, z) sont constantes pour zI -Y+ -. z = constante cest z Iy dire sur des parallles laxe neutre. 3 oX est proportionnelle a- Dformation de la poutre la distance par rapport laxe neutre.

Sous laction de M, le dplacement relatif de 2 sections distantes de dx est une M rotation de dpz = --z dx autour de Gz . EIZ

Notes de cours CAS-liEIER/H. FREITAS

70

Sous laction de M, te dkglacement relatif de ces 2 sections est une rotation de My = - dx autour de Gy . dy EI Y La rotation rsultante d 0 3 M+O 3

M,= 500 si&

= 300 kgm

M,=-500cos6=400kgm

IneTties : Iy = 8 x - = 144 cm 12 83 BZ=6x--=256cmi 12 30000 40000 Les contraintes sont : (y, 2) = 144 2 - 256 y ox en kg/cm2, si z et y sont en cm. oX 144 - 400 La pente de laxe neutre est : m = tya = - = 0,75 256 300 la diagonale (voir page 69.) Remarque : On peut trouver directement ce rsultat : =3 laxe neutre est

63

La direction du centre de pression est la verticale AB. On sait que laxe neutre est, pour lellipse centrale dinertie, le diamtre conjugu de AB. Or daprs les proprits de lellipse dinertie nonces est le diamtre conjugu de AB ; en effet Im,CD = 0(cJ: : cours de statique),

CD

* moment dinertie centrifuge, les distances tant values suivant A3 et CD

La contrainte est maximum en A et B. Pour B (y = 4, z = - 3) ellevaut CT,= En A, oA = + 1250 kg/cm2 La courbure 4 = --JGZ r 30 000 x (-3) - 4oooox4 144 256 = - 1250 kg/cm2

Do

Autre calcul de Q :

@?L

30 000 CO~S 2,lxlO6xl44xo,8

1

Notes de cours CAS-IlEIERfH. FREITAS

81

j-/ Une panne dun toit est constitue par un UAP 150 dont les caractristiques sont indiques ci aprs. Cette panne est incline de 22 par rapport la verticale (voir dessin). Les diffrents poids (verticaux) Mf horizontal sollicitent cette panne par un moment flchissant (M7/ = 500 kg.m ; ce

(moment autour dun axe horizontal).

moment tend la partie infrieure du UAP. Calculer la contrainte maximum du UAP.C: centre de pression

t

Inerties :

1, = 93,3 cm4 1, = 797 cm4

Rayons de giration : p,=2cm Pz = 5,9 cm

Avec les conventions de signe du cours : MY>O M,l) Y,, = x - GS est donc

Pour une section donne on dtermine x en crivant la conservation de lnergie s (voir paragraphe 4). On appelle S, = - section rduite, relative au calcul des x dformations ( ne pas confondre avec celle relative au calcul des contraintes S* ; en gnral SI f S*). Relation entres les coefficients G, E et v Considrons un petit lment carr soumis aux contraintes tangentes t. Les points C et D viennent en C et D. Les contraintes principales (voir chap. sur contraintes) sont diriges suivant les diagonales du carr et valent k t (traction suivant AD et compression suivant CB. Compte tenu du coefficient de Poisson v, la fibre AD sallonge de : E=-$+vt)dx,h Considrons le triangle AKD :2

106

2y Soit en ngligeant les infiniment petits y2 et E* : 3 + +

1 =

2 rl L

+ --. t.(l+v 2 E 1 A

V=O,5 4 - TRAVAIL

V=O

DE DEFORMATION (Energie interne) a-l Un petit lment cisaill de volume dV = dx.dy.dz, dy-

lorsque le cisaillement crot (rversiblement), recoit lnergie. dWi =(t.dy.dz). 2Yz-ydxdplacement

de

0

t

=&&=;;dv 2

Une tranche de poutre de longueur L!Xreoit, sous leffet de T, lnergie y= -dV=dx 6.k 2G +&y 2G

Pour les sections massives (voir dessin page 87)l

En ngligeant txz,

t=t

=T-m(yl xy Lb($) Do W, =dx.

dAS=b(yl.dy

IY

1 1 m2 En posant s = 7 $ -pY I

l

On peut tenir compte de t,,en hypothses faites en 2ba.

utilisant

les

On a alors :Notes de cours CAS-II H. FREITAYEIER

t=---

t COSp

4 8 1 3

dS = dy . dz =- 1 -m* I+tg I* 1 b* ( Comme tg p = -5 P ona: p).dy.dz

dz=bb)++b/yi.

;

3

y=

T2 dx 2 GS,

Pour les sections constitues de profils mincess __Nabscisse curviltgne

t=

T*m(s)

I.e(s)

dS=e(s).ds

xavecI=IS, I2 lasccrion

-dse

Remarque :

1 s peut s crire. 1

t2 .dS

Ainsi la tranche de poutre de longueur dx reqoit lnergie

T2 dx , criture FJ(= ~ 2GS, analogue celles trouves pour leffort normal et le moment flchissant. reue par la poutre sobtient en intgrant T2 di le long de la 2GS,

Lnergie poutre.

Considrons nouveau la tranche de peutre de longueur dx, soumise aux efforts tranchant T. T est pour cette tranche un-e face extrieure Le travail externe fourni par leffort tranchant quand il passe rversiblement de 0 T est :

Le travail est :

(interne)

emmagasin

par tranche

w, =72&2GS,

Conservation de lnergie

3

Wi = W, T2 s dx=C?, =2GS x

T2 soit -----dx=x-2GS,

Do la section rduite qui intervient dans le calcul des dformations est la mme que celle qui intervient dans le calcul de lnergie interne. On a not ces 2 sections rduites S1.

b - Calculs de sections rduites SL(exemples) a - Rectangle : de largeur b et de hauteur h (voir dessin page 92)

Notes de cours CAS-11 H. FREITASIEIER

p - Ellipse I = % ab3 (inertie par rapport G3>

l

; b(h1.i 1 /

&=s, I2

1 sb txz

en ngligeant

Posons Onaalors

cose=y

b dy=-bsin6 do

-.sin6

6.d8=

IO 9.7tab

Au passage calculons S* :

t(ul ==3

t lm7.xt, = =

4T =- 4T 3jzab 3-S

3 S*=2xab=qS

3

Remarque trouv

: en tenant compte de t,, comme indiqu

en page 106 on aurait

pour T dirig suivant Gz on aurait Valeur peu diffrente de celle que lon vient de calculer.

Notes de cours CAS-I/

H. FREITAYEIER

Ii0

Par exemple pour le cercle : (a = b = R) en ngligeant t,, s, +=0,900.s s, = 0,844 . s donne SI = 0,85 1.S(ces

S=xR2

en tenant compte de tXz

* le calcul rigoureux (thorie de llasticit)sont trs proches).

deux valeurs

y - Losange : 6 - Profils minces

sans tenir compte de t,,

/ / 1

t=cs =-

I

31

s

On a vu quapproximativement t est constante sur la hauteur de lme et T vaut As me z pour lme la distorsion est sensiblement constante et vaut T Y = G . Sd,,T

3 la dformation de la poutre est

E - Tube mincet(Q) = -& sin B(voir page 95)

nt2 (6). f. Rv.de 03 --&-$Y=[1 ----=-a 1 SI nRe

sin2 6

-;;ie2S, =nRe=c e

dB

5 - POUTRE DE HAUTEUR RAPIDEMENT

VARIABLE

(Effet Rsal)poutre de

Soit (S) la section dune hauteur variable Supposons simple (S) sollicite

en flexion

La somme F des contraintes situes d un mme ct du centre de gravit (y > 0 ou y < 0) est : F =g z + z tant le bras de levier

Etudions comme on la fait en 2 . b . a lquilibre de llment hachur de longueur dx, situ au dessus du centre de gravit. Ona: di . b(o). txy (0) = F(x + a+) - F(x) = T. ak

(maintenant z est variable)

dz dh On peut admettre : - = h z

A4 dh T-h.Z 3 txy (0) = b(o).z =

T-++tga) b(o). z

Tout se passe donc comme si leffort tranchant tait M dh T=T-hZ=T-+p+tgaj T sappelle : effort tranchant rduit.

Notes de cours CAS-l/

H. FREITASIEIER

112

Attention

: IrI nest pas forcment infrieur /T/ 1Tl < ITI / si IMl augmente en mme temps que h ! I I IT, 1> ;T/ dans le cas contraire.

Par exemple, pour le dessin du haut de la page prcdente on a ITI > 1 T/ Explication intuitive : prenons la section sur appui dun pont caisson inertie

La contrainte

A4 normale est, 0x = T y ; ces

contraintes quilibrent le moment M. Mais tant donn que la membrure infrieure est incline, la contrainte rsultante 7 qui sexerce sur la facette incline est parallle la membrure. Do il apparat une contrainte tangentielle t < GX . tga qui soppose T. La somme de ces contraintes tangentes est Voir dveloppement7tgazT=T-+a

A4

de ceci au chapitre sur Les poutres de hauteur variable. Lorsque la section est sollicite en flexion compose il y a un autre terme correctif :

DC7 Voir par exemple R , d . M tome I de COURBON dit par DUNOD

6 - CAS OU LA SECTION RESTE PLANE


H. FREITASKIER

113

Dans lexemple ci-dessus, si le rivet est fans jeu dans son trou, par suite du frottement on a mme aux points de la sur:ace du rivet (23 ou Cj, txy + 0. Dans ce ca5 on peut admettre que la rpartition des contraintes de cisaillement uniforme est SUT toute la section du rivet t -T-F+-S-S

T est max pour la sectionBC et vaut F F pour la section BC

I droites du rivet restent planes.

1

et que par consquent les sections

114

7- EXERCICES Exercice 1 : Une poutre de section rectangulaire sur appuis ses extrmits porte une force concentre unique. Calculer la contrainte de cisaillement maximale dans la poutre. Calculer galement la contrainte de cisaillement en un point situ 2,50 cm en dessous de la face suprieure de la poutre dans une section 50 cm droite de lappui A ..

Exercice 24000 daN

Soit la poutre en T portant la charge concentre P = 4000 daN (cf. fig.) Calculer la contrainte de cisaillement 2 cm de la face suprieure de la poutre dans une section lencadrement.

Exercice 3 Une poutre de longueur 1, uniformment charge (p/m). Calculer la flche lextrmit B due leffort tranchant T

Section

c-lb

de la poutre

Notes de cours CAS-II H. FREITAUEIER

115

Exercice 4 :

Calcul dune chemine

Coupe

I- I

1) Calculer les sollicitations

(M, N, T) le long de la chemine.

2) En pied de la chemine (A), calculer :

a>b) 4

CT les contraintes normales , et t, contraintes de cisaillement. quil faut

Calculer leffort normal Fp (prcontrainte centre) appliquer pour que la section A soit entirement comprime. Calculer les nouvelles contraintes 0.

3) Semelles Calculer e (paisseur) pour que la semellekol comprime. b) Calculer le coefficient quil ny ait pas de glissement. de glissement semellekol

4

reste entirement

ncessaire pour


H. FREITAWEIER

II6

i-

INTRODUCTION

3 et i@ tant les lments de rduction en G des forces situes dun mme ct de la section (S) [ droite pour la figure cicontre], le moment de torsion (Mx) est le composante de i$ sur & . Ce chapitre est consacr ltude des effets du moment de torsion.

Convention de signe : convention mathmatique.

on

garde

la

Exemple de poutre soumise un moment

Le moment de torsion est : F. d

Notes de cours CAS-W. FREITASMER

2- POUTRES

DE SECTION

CIRCULAIRE

a> Cormtraintes et dformations On fait les hypothses suivantes : - les sections droites restent planes (symtrie) - le dplacement relatif de 2 sections voisines se rduit une rotation dO=O.dx daxeGx4 rotation par unit de longueur

X

Lexprience, et les calculs faits selon la thorie de llasticit montrent que ces hypothses sont correctes dans le cas de la section circulaire nous verrons quelles ne le sont pas pour les autres sections.

ISECTION: x+dx

SECTION

AA

d% k--fConsidrons un petit lment - surface dS - paisseur & - la distance r du centre G

a

La rotation de 3

- les angles du type baa distorsion est : r.d8 dx

ne restent pas droits,ah

leur

y = -.---=------=r.@ aa

les angles du type eaa restent droits un ct du type ab ne change pas de longueur

118

-

la aa,

longueur

dun

ct

du

type

aa

devient :

son allongement est donc : d x . $-, allongement peut en gnral ngliger (y2 7)

que lon

Do le moment de torsion M, provoque sur la facette dS une contrainte tangentielle t(r) = G . y = G . r . 0, t(r) tant perpendiculaire au rayon correspondant.S

Cest la seule contrainte sur dS si on nglige lallongement des fibres longitudinales (type aa) {* voir 1.5). Bien sr, proprit des contraintes existe sur les facettes perpendiculaires contre) tangentielles, t dS (dessin ci-

Pour dterminer quantitativement t(r) il faut calculer la rotation unitaire o . Pour cela il faut exprimer que le moment par rapport G du F(r) est gal M, [quilibre de la section (s)]. Soit M, =

ZR On appelle le terme 2

rigidit la torsion et on le note K

[ 17TR K =2 TR 2

On peut remarquer que K est ici le moment dinertie de la section (S) par rapport au point G. Rcapitulation M : la rotation unitaire est 0 = ---AG.K avec K=-

Notes de cours CAS-IRI. FREITASIEIER

119

La contrainte tangentielle

t(r) la distance r de G est , t(r) = G .@ar = -$-. 1 I

-44

i

b - Travail

de dformation Le petit lment ci contre de volume dV = r dq . dr . dx, quand la contrainte tangentielle croit rversiblement de 0 t, reoit lnergie :cF(dv)=&rdp.dr. 2-g--ydxdeplacemnt

= jty.r.dp.dr.dxY

Une tranche lnergie :

de poutre

dpaisseur

dx regoit

t

Ce qui est bien normal puisque couple M, (appliqu rversiblement) Wi peut scrire aussi : dy. =

Mx .o.dx2 .

est le travail

(W,) fourni par le

qui tourne de @. dxM,.Odx A4; h

G.K.02 = 2

dx

2

=2.G.K

Notes de cours CAS-M%

FREITAYEIER

120

Entre 2 points A et B de la poutre, lnergie interne sobtient en intgrant lexpression prcdente, Si Ila poutre est droite, de longueur J!, M, et K constants on a: c) Cas de la section circulaire- t(r)

creuse

Tout ce qui prcde sapplique la section circulaire creuse en prenant

les bornes des intgrations tant R, et R, au lieu de 0 et R La rigidit la torsion K est toujours le moment dinertie polaire de la section par rapport G. d) Exercices dl/- Dterminer tmax,la rotation 8 de la section A et le Wi pour une barre de fer $5 cm, longue de 2,50 m et soumise un moment de torsion M, = 185 kg.m

Bk---2~50m

% .-it

5 II

tA /

2 x 18500 = 754 kg/cm2 max 2Tx (2,q3 =

c

Mx=l

85 kgm

K-ax2,5 2

=61,4cm~

G=

2,1x 106 = 808 500 kghn 2(1+8)=2(1+0,3)

E

A4 18 500 Rotation unitaire : 0 = --z- = G.K 808500x61,4

=3,73x10-

rdcm /

Rotation de la section A (par rapport B, qui ne tourne pas) : 8 =o. t = 3,73 . 10w4. 250 = 0,0932 rd soit 8 = 5,3.

Notes de cours CAS-l/H.

FREITASMER

121

w _ 18500 x 250 --1-2x8o85oox61,4

862 kg x cm

d2/- Quelle largeur doit avoir une barre de fer 4 = I cm = 2R pour quelle puisse subir un angle de torsion de 90 entre les 2 sections extrmes et ceci sans que t,, dpasse 925 kg/cm2. On a 0, -8, =5=0 I,B-A

=3 la rotation unitaire est O= -&

2t ~ tmG.B.R = 808500.~~0,5=~~~~~ t max 2x925 d3/- Une barre de section circulaire est encastre aux 2 extrmits. Cette barre est soumise un moment de torsion M, appliqu la distance a de lune des extrmits (voir figure). Dterminer les efforts dans la barre. Le problme est statiquement indtermin. Soient Mx et Mx tous les barres a et b B OnaM,+M,=M, B Pour la barre a la rotation du point C est :

j

Lx

,[email protected]

Pour la barre b la rotation du point C est : ev _ IWx . b c GK On doit avoir (compatibilit des dplacements) 6;. = 8,

122

Remaraue : ces rsultats resteraient vrais mme si la section ntaitcirculaire. M-

pas

Sur un arbre en fer de 8 cm de diamtre est fix un volant en fer de $0 cm de diamtre et 5 cm dpaisseur (constante). Tandis que larbre tourne a n =60 tours par minute on bloque brusquement une des extrmits de larbre, celle distante de 1 = 1,00 m du volant.

Calculer le moment de torsion auquel est soumis larbre ; la contrainte tangentielle maximum et langle dont tourne encore le volant aprs le blocage. Si y est la masse volumique du fer, le moment dinertie du volant par rapport son axe de rotation est :( p=4ocm) I LU l (R=rlOcm) Jo = JrJ.dm= p.y.e.dS=y.e J r2dS = ye.f

volant

soitJ, = 7800 kg/m3 x 0,05 m x 7rx o,44 m4 =15,68 kgx m2 2

1 Lnergie cintique du volant est : Ec = 2 J, . u)2, w z---z 2xtn 60 2~x60 60

u) tant la vitesse angulaire

=2?cg-

15,7x2x zEc = 2 On nglige lnergie cintique de larbre. Cette nergie cintique, quand on bloque lextrmit nergie lastique dans larbre (Wi).

= 309,57 Joule

de larbre, se transforme en

Daprs le principe de conservation de lnergie on a AE, = AWi En particulier si on se place entre les instants (1) o on bloque lextrmit de larbre et (2) o le volant change de sens de rotation.

Notes de cours CAS-1kI. FREITAWEIER

123

On a : instant (1) : E, = 309,57E, = 0 (car w =O)

Wi =

O

(pas deffort dans larbre)

g,( _ MX .e --

2GK

Instant (2) :AE, =309,57=310 310x2x793,1x108x0,0402x10 =I 406x10,Nm

>

.

soit :

14060 =1433kgxm 9,Sl G = 808 500 kg /cm2 = SO,85 x 108 kg/m2 = 793,14x 10 N/m2

K= ~

7cxxd = 402 cm = 0,0402 x 1O- m 2

z La contrainte maximum est 3 Langle est :

= t Max

4 x 143300 = 1326 kg/cm2 402

e=~x~=x~=Zij;~~~xe=O,044lrd Mx soit 0,0441~~=2,53~ 32

3- SECTIONS DE FORME OUELCONOUEa) Gnralits

a - Lexprience, et les calculs faits selon la thorie de llasticit, montrent que, except pour la section circulaire (pleine ou creuse), les sections droites nerestent pas planes.

Prenons par exemple une section rectangulaire


FREITAVEIER

124

En traitjn : avant dformation En trait fort : aprs dformation

y = aie - a,be,= aia, - ebe, au, ee, au, -e.lLh+=dx-z C$=o.Gb

Il en rsulte que les contraintes tangentielles t=G.y ne sont plus proportionnelles, en gnral, la distance par rapport au centre de torsion. En particulier t nest pas maximum en gnral aux points les plus loigns du centre de torsion. Pour la section rectangulaire t est nul aux 4 sommets*, il est maximum au milieu des grands cts.

Notes de cours CAS-M-I.

FREITASIEIER

125

RemarquesSur les points du carton exterieur Y est tangent au contour t; It tj --v tIn ti = 0 =3 tn = 0 =3 f est tangent au contour

3

p - Calculs des contraintes et des dformations Except pour la section circulaire ($2) et pour les sections constitues de profils minces (tubes minces 5 3.~) on ne peut pas faire dhypothses permettant un calcul simple de t et o . Pour une section quelconque il faut donc avoir recours aux calculs complexes faits selon la thorie de llasticit. On peut toutefois saider des deux analogies suivantes :

l

Analogie hvdraulique :Considrons un rcipient cylindrique, profond, de section gale celle de la poutre, contenant un liquide incompressible, sans frottement soumis un mouvement de rotation autour dun axe vertical.

\i

i i i I

Les quations aux drives partielles qui permettent de rsoudre ce problme dhydraulique sont les mmes que celles de la thorie de llasticit pour rsoudre le problme de torsion, la vitesse vdu fluide remplaant la contrainte tangentielle t , les lignes de courant remplaant les lignes de cisaillement.


FREITASIEIER

126

q

L.esdeux phnomnes ont mme allure , en particulier :-

Prs des bords du rcipient les lignes courant sont bien tangentes au contour du rcipient.r-- v=o -

r-ln

**-- ---.,\ , T \ :\ V ,I .l -----_--

Dans les angles il y a formation de zone morte o la vitesse du liquide est nulle (t est nulle aux angles.)

Cette analogie ne simplifie pas ltude de la torsion, les difficults pour rsoudre les quations sont les mmes dans les deux cas et ltude exprimentale quantitative faite selon le modle hydraulique nest pas facile.

Cependant le phnomne hydraulique tant plus intuitif que le phnomne lastique cette analogie donne des renseignements qualitatifs. Par exemple pour une section rectangulaire il est clair que la vitesse du liquide (et donc t) est maximum au milieu des grands cts (points B et B)

l

Analogie

de la membrane

Soit une membrane dpaisseur constante dpaisseur fixe et tendue uniformment sur un contour plan gal celui de la section de la poutre ; si on soumet cette membrane une pression normale d uniforme on a les correspondances suivantes :H 1, i Il -q I IlI IH -

effort de tension par unit de longueur

les lignes de niveau de la membrane sont confondues les lignes de avec cisaillement. en un point la contrainte de cisaillement est gale la de la pente maximum membrane en ce point.

-

membrane

-

./

t


FREITAS/EIER

127

-

le moment de torsion Mx est gal au double du volume balay par la membrane pendant sa dformation. cette analogie une section rectangulaire allonge La membrane ne supportant pas de moment, dforme est une courbe funiculaire de la charge q. Ona-Y

Appliquons

sa

OH=- 412

Sf

l

La dforme de la membrane a pour quation : r=4fp b2 Le volume balay par la membrane est : V -= a

bf - 2j

A 4f -X2 b2

.dX=+bf

do Mx =2V=$.bf

.a

af=-.-" 3MAu point X la pente de la membrane est -=8f,=6x dx b2 ab3 x =t(x)

4 ab

*contrainte de cisaillement au point X

La contrainte t(X) est maximum pour X = k g (bords)

b - Sections massivesa - Contraintes et dformations : on donne ci-aprs les sections les plus courantes des rsultats issus en gnral de la thorie de llasticit.

Notes de cours CAS-VI-I.

FREITASiEIER

128

m Ellipse . On trouve que les lignes de cisaillement des ellipses homothtiques sont

Y

Sur un rayon t est parallle la tangente au contour extrieur issue de lextrmit du rayon. I a I . Le long dun rayon t est proportionnel la distance du centre G mais le coefficient de proportionnalit varie dun rayon lautre t(~, y) = 2.2M 2.d a

l

Au point de coordonnes x et y,

b

t est maximum aux extrmits du petit axe : 2M,xab

aux extrmits du grand axe le cisaillement estA4 a2+b2 b3

t, =

b = - . t,,a

La rotation unitaire est :

0 =x

{le centre de torsion est G)

G za3

3 la rigidit la torsion est :

K =

n a3 b3 a2 +b

La section se gauchit, les axes restant dans le plan primitif, hachurs se baissent, les 2 autres se soulvent. * Rectangle : On a :/ I/ ligne de cisaillement

les 2 quadrants

tmm

A4 = a . --z-

@=p

MxG.a.b

a.b2

-.k

a

tmax

I,

Les coefficients a et p sont donns par le tableau suivant en fonction du rapport n des cts.Notes de cours CAS-X-I. FREITAWElER

129

P

7,114

5,82

5,ll

4,67

4,37

4,Gl

3,8G

3,43

3,2G

3

Formules approches de a et l3 :

I M 4.u51 ,n-1,81x la IF2+n2=I+n2 2 3,557-0,561 1

i Ill-n = -I-t-vr

n=a b

Pour le rectangle allong [a >> b] on a a = p = 3, on retrouve bien pour t,, le rsultat obtenu par lanalogie de la membrane.n

Triangle quilatrallignes de cisaillement

A4 t max 20 x = a3 @)Oz. M sMx = 46,19 Ga (centre de torsion : G)

-K=--- Al? -- a 80 a4 - 4619

n

Triangle isocle =15- t mnr M au milieu du plus long ct ab2 a3 .b3 15a2 +20b2

a

i;

&!!L

GK

avec

K=

Notes de cours CAS-l/H. FREITAWEXER

130

n

Serment circulaire

R cIliE2cx \

t

A4 z---L.-

mM C.R3 K =cR

@2!LG. K.

t max

n

Section circulairet M =--AL

0 t-/max

ma C R3.

a y

Q= MxG.cR4 Y KE C' 45" 0,0181 0,0712 60 0,0349 90 0,0825 0,227 120 0,148 0,35 180 0,296 270 0,528 300 0,686 360 0,878

. Polygone convexe quelconque Approximativement on a : S : aire de la section I, : moment dinertie de la section par rapport G

S &M, avec K = 40.1, GK

=A.G.O=c.- . t mar

A4 K

avec c =

. D est le diamtre du plus grand cercle inscriptibleO

dans la section

. r est le rayon de courbure du contour de la section au point du contact avec le cercle prcdant . S : aire de la section

Notes de cours CAS-l/H. FREITASIEIER

131

A titre de test on va appliquer ces relaticns approches des sections o lon connat t,, et 0 rigoureusement.

D mA

G

D=R EnA, 1, =r=co

9%

ZRR +9x2-64

8

73m. / L /L

R"=0,393R"i-0,110R"=0,503R"

K=

E4.R840~0,503. R4

=0,302 R,4 L

la valeur exacte est 0,296 R4

R = tI?zM T2Xip2XR4 I+ 16x1,57xRJvaleur exacte. A Section circulaireS=ltR2 D=2R r=R 1, =?2R42

1+0,15

- 0,296 0,312.R3

M x=

K

M,0,35.R'x3 R4 K= rr4R84 =--=1,55R440% 20

valeur exacte : 5 R 4

M valeur exacte : x 5R

A Carr de ct a

Notes de cours CAS-MI

FREITASMER

132

S=a*

K= a8 =a44ox r.dh est 2 fois lan-e du triangle

avec e, paisseur du profil 1endroit o 1on calcul t

Si e nest pas petit, t = Mx 2.S.e Calcul de la rotation unitaire -

est la contrainte normale moyenne sur ij.

Cette rotation se fait autour du centre de torsion, en gnral diffrent du centre de gravit ; on calcule la position de ce centre de torsion comme indiqu au chapitre prcdent. On calcule la rotation unitaire conservation de lnergie1 w, =2.M .o.dx

-

0 en appliquant

le principe

de

, A tant la longueur de la courbe (II) s

Notes de cours CAS-l/H. FREITASMER

136

0 La rigidite la torsion K est I K = I lK= 4.S2 .e A I

4s2

si e = con.stante

0 Lnergie interne sexprime toujours sous la mme forme :

Cas des tubes minces multicellulaires ?our 2 cellules Soient SI et S2 les aires dlimites par rl+r3 Les rotations monocellulaire sont analogues

Daprs la relation on a : On a aussi

tl.e,=t3.e3+t2.e2 [conservation du dbit en hydraulique]

CD celles du tx .d!=O 41= 62 + $1 = I t, .e, .r.dA M1+M2=MX

et lF2+lY3 tube

tl.el = constante, appelons $1 cette constante : tl . el = $1 ---on a la relation

De mme tz .ez = bz et if .el= (bu

Pour que la section soit en quilibre monocellulaire)

on doit avoir (comme pour le tube

M,= I: rdit+t.e.dl.r= J-2 t-3Do Posons

II

t,.e,.r.dA

+

t,.e,.r.dA 12

AL?,= 2.$!&s, + 242 .s, et MZ=2(b2.S2

Ml = 2 41 SI

137

Considrons la cellule SI :

6I =

Ml 4.G.S:

dA i !+r3 - e

Considrons la cellule S2 :

Les rotations unitaires doivent tre les mmes

=

0, =o,

i

Rcapitulons :

M, =2.q$ S, +2.$* .S, dA 2.4, .S, d/Z 2444 4.G.S; I I+~Xy= 4G.S; I 2-l-3 e

(1) (2) (3)

1A =4 - #2i t, =-41e1

4 t, =ye

h t, =--ye

(4)

Les quations (1) et (2) donnant $1 et $2 Lquation (3) donne $3

Les quations (4) donnent tl, t2 et t3 On va expliciter lquation (2) pour 4 1. Sl el= constante e2 = cte et e3 = cte

(2) scrit :

p - Profils ouverts

LELet pour la mme section mais replie de faon quelconque

1

7-i----- -l 1 Il

La thorie de llasticit et surtout de nombreuses expriences montrent que t,, et 0 sont pratiquement () les mmes p our une section rectangulaire allonge

138

DO,

e I

les coefficients a et p sont ceux du tableau page 12 1. n tant maintenant le rapport -e e ! : longueur du profil e : paisseur du profil

5

Poure>I JR t MM e

Le tube ferm rsiste bien mieux la torsion que le tube ouvert. 3 Plus gnralement les profils ferms rsistent bien mieux que les propls ouverts la torsion.

Une poutre en fer a la section ci-contrelignes de cisaillement

2cmI /

,/-_-

Calculer le moment de torsion admissible M, sachant que la contrainte de cisaillement admissible est i, = 900 kg/cm2 Calculer alors (pour M, = gX) la rotation 8 qur 2,20 m de longueur (G = 800 000 kg/cm2) On applique les relations pages et S=14x18=252cm2 =MI =90Ox2x252x1=453600kgxcm(paisseur plus petite) la

.

1

15cm

,j

Notes de cours CAS-M-I. FREITAYEIER

140

J-zc2e @=

14 18 -y+2y=50

453 600 x50=1,12x10~~m 4 x 800 000 x 2522 8= 1,12x 10-4x220=0,0246rd= 1,4

Rotation sur 2,20 m :

Remarque : si on modifiait la section en lui ajoutant 2 ailes (figure ci-contre) sa rsistance la torsion serait pratiquement inchange. La contribution ~I

des ailes peut sestimer = 53 cm -/, rigidit

= 2.1.e3 = 2.10.23 3 3

lignes de cisaillement

qui comparer K = 3 La contribution ngligeable.

4 x 2522 =5100cmJ 50 des ailes est bien

t IlIlLikY3

La cornire ci contre est soumise M, = 72 kg.m Calculer t,, et 0.

-

1.2 cm

0 E

lignes de cisaillement

3 x 7200 mM 18,8x 1,22 = 798 kg/cm2 = 3 x 7200 8OOOOOx18,8x1,23

6 n!

@=

=8,3x10-

rg,,,

I

IOcm

1.

141

Y4

LIPE 220 ci-contre est soumis M, = 100 kg.m Calculer@A

t,,

et 0 avec

@ = 800 000 kg/cm*

GK K=(2xll~0,92~

+20,2~0,59~)~;=7,lcm

Le catalogue donne K = (J) = 8,86 cm4En appliquant le coefficient correctifS = I,2 @age . ...) ona:K=1,2x7,1 =8,52~8,86

* tmm=

10000 7,l

x 0,92 = 1296 kg/cm

+ dans les ailes

dans lme

t

=

10000 = 0,00176rdlcm 800000 x 7,l

soit 1Olm

Remarque : Le tube mince ci-contre a mme section que 1IPE 220 (32,16 cm2), son paisseur e = 0,762 cm est lpaisseur moyenne du IPE 220. Si on soumet ce tube M, = 100 kg x m 10000 t mM2~x6,72~ x0,762 = 46,3 kg/cm 2

@=

2i2~6,72~

100 000 x0,762x800000

= 0,000 0086 yyrn

Ceci dmontre bien que les profils ouverts ne sont pas du tout adapts pour rsister la torsion. Consquence (exemple) un port courbe tant soumis de la torsion doit avoir pour section :et non vI

142

4- DIRECTIONS

PRINCIPALES

ET CONTRAINTES

PRINCIPALES

l@e

de cisaillement

--ligne

de cisaillement

\ -1/

-T?Z&@contraintes OI= u2=-t principales +t

\ 02 k/

45

01 : /t

Sur les sections droites (S) le moment de torsion ne donne (en lre approximation) que des contraintes tangentielles f .t

t /\dSi

\

dS.= (-3 z

Plaons nous en un point quelconque P de la section (S), et considrons en P la facette dS perpendiculaire ?. Sur dS rgne une contrainte tangentielle t telle que :

Plaons nous maintenant dans le plan dfini par t et ? . En P les directions principales avec t font f 45

Et les contraintes principales sont o1 = + t (traction) et o1 = + t (compression)

Exemple : bton de craie de section circulaire Si on soumet le bton un M, suffisant il se casse suivant une surface hlicodale, la cassure tant I aux contraintes principales de traction

143

Remarque : ce qui prcde sapplique aussi leffort tranchant (voir fig. Cicontre).

5 - CONCENTRATION

DE CONTRAINTES vient dobtenir restent bons si la section varie

a) Les rsultats que lon lentement.

Exemple : pour un arbre conique de section circulaire le calcul rigoureux est possible. Ce calcul montre que :=kx t max y \ 2 , 1,, calcul sila commesection tait constante

=k x- 2M~ Tir3

k est donn par le tableau suivant en fonction de aa 10"

15 0,98

20 0,96

30 0,91

k

0,99

b) Par contre si la section varie brusquement les rsultats que lon vient dobtenir ne sont plus bons, il y a concentration de contraintes aux changements brusque de section.

144

Exemple :

D=ZR

d = 2.r

t max

ck.3 m3

k= (D-d+2p)(d+2p)2w w Pour une gorge en % cercle Ona Pour k= 2D

+4p2(D-d-2p) + 4P)d= D-2p

t max

=k.$

,

avec k tant donn par le tableau ci-dessus.

D+2pune petite gorge k est voisin de 2.

Il y a galement concentration accidents .

de contraintes quand la section prsente des

i

-, t grandt lev 1).-

-. .____

Cest intuitif lorsquon fait lanalogie hydraulique : aux accidents le rgime est turbulent z la vitesse est grande. Pour diminuer les tourbillons il faut des arrondis ; cest ce que lon fait aussi pour diminuer t .


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144

6- TENSIONS

SECONDAIRES

On a vu, (page 119) que sous leffet du moment de torsion les fibres longitudinales sallongent un peu : une fibre de longueur initiale dx sallonge de 117

Sa dformation est :

-

2

soit

O2 .r2 2

r tant sa distance du centre de torsion.

Ce sont les fibres les plus loignes du centre de torsion qui sallongent le plus. Cette dformation longitudinale entrane une contrainte normale CT,.La somme de ces contraintes cX sur la section (S) est gale leffort normal N : (1) N est nul si les sections dextrmit rapprocher. (2) N est une traction si les sections dextrmit de se rapprocher. Dans le cas (2) ox =E.E, =EO2 r2 2 de la barre sont libres de se

de la barre ne sont pas libres

Dans le cas (1) la barre va subir un raccourcissement densemble a0 et on aura ox =E(q E, est tel que -&,)=E0, .dS=O soit lsj [y-c,,)dS=O

I S)

On constate que pour les sections massives (type section circulaire ou tube ferm) ces tensions secondaires oX ne sont pas leves, par contre pour les sections allonges elles peuvent ltre. Pour approfondir 1tude des profils minces se reporter au livre : Pices longues en Voiles minces par B. Z. VLASSOV Edition Eyrolles

Notes de cours CAS-I/H.

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Documents

Calcul de Structures n2 Jan 2003