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Capitaine P. TARDI,

DE LA SECTION DE GEODESIE DU SERVICE GEOGRAPHIQU Ir DE L'AliMI~E FRAN~AISE

CALCUL DES AZIMUTS D'UNE LI6NE G~0DESIQUE'

Les m6thodes g6n6rales de compensation par variations de

coordonndes (dues h Legendre), tout en dormant des r6sullats identiques h ceux de la Mdthode des directions, permet tent en particulier de traiter trbs simplement les questions de com- pensations avec accords de coordonndes. Elles simplifient aussi sensiblement le problbme de la compensation des r6seaux de ~,r ordre compl6mentaire lorsque le nombre des 6quations aux cbt6s devient 61ev6.

Ayant en vue l 'application de cette m6thode au r6seau de r" ordre franqais, nous avons 6t6 conduits h 6tudier des for- mules pratiques permet tant son emploi sur l'ellipsoYde, avec toute l 'approximation obtenue dans le calcul des triangles, c'est-h-dire en conservant pour le calcul des angles les quan- tit6s du 3" ordre de petitesse.

Si l'on adopte, pour les points nouveaux d'un r6seau, des coordonu~es provisoires provenant d'un calcul rapide (effectu6 par exemple avec des logarithmes h 5 d6cimales), t 'application de la m6thode suppose r6solus de faqon pratique les deux pro- blames suivants :

i ~ ~tant donn6s deux points Q, et Q,, de coordonn6es g6o- graphiques L,, M, et L~, M,, calculer les azimuts Z, et Z, de la ligne g6od6sique Q, Q,.

~o Etant donnSe la ligne g6od6sique Q, Q~, exprimer de faqon lin6aire les variations de dZ, et dZ, en fonction des variations de coordonn6es dL,, dL,, dM,, dM, des deux points Q] et Q,' .

~. Manuscr i t re~u le 18 f6vrier x93o. 2. OSCAR S. ADAMS, U. S. Coast and Geodetic Survey Special Publi-

cation No. a8, t ra i te de fa~on trbs complbte l ' appl ica t ion de la m6- rhode de Legendre aux compensa t ions de rdseaux (p. 91 h 196 ). Mats il envisage la fo rma t ion du r6seau calculd (c a s sumed post-

- - 2 2 m

Les r6sultats auxquels nous s o m m e s arriv6s pr6sentent de

s6rieux avantages de calcul sur les m6thodes le plus gSn&ale-

m e n t admises pour r(~soudre ces deux p rob lbmes :

Les fo rmules de Gauss-Jordan di tes ,le moyenne lalilude

p o u r le calcul des az imuts (Joanxx, Handbuch der Vermessungs

kunde, I lI . Band, ~916, S. 652-658);

la fo rmule de H e l m e r t pour le ca lcu l ties var ia t ions d ' a z imu t

(HELMERT, Die mathemalische Theorien ,let" hOhere Geod~isie,

~88o, S. ~95-h96).

C o m m e cas par t icu l ie r de la m 6 t h o d e de Legendre, la pre-

mibre de nos formules pe rme t , en n6g l igean t le cas &h6an l

les te rmes correctifs , une app l i ca t ion facile au cas des coor-

donn6es g6ographiques des m6 thodes g r a p h i q u e s di tes par

le point approchd, qui sont devenues d ' u n emplo i c lass ique

p o u r le calcul de la t r i angu la t ion seconda i re en coordonn6es

rec tangula i res (H. ROUSSlLHE, Emploi des coordonn&s rectangu laires st&'gographiques pour le calcul de la triangulation darts un rayon de 500 kilomktres autour de I'omgine, Travaux de la

Sect ion de G6od6sie de l 'Un ion g6od6s ique et g6ophys ique in-

te rnat ionale , tome ~ : Rapports nalionaux sur les lrm, aux exd-

cutds dans les diffgrents pays et M&noires origiaaux pr&entds ('t la premiere Assembl& gdndrale, Rome, mat 1922).

Les condi t ions d ' emplo i sont 'h peu de choses pr6s iden t iques

darts les deux cas, les avantages et les inconv~nien t s s '6qui l i -

b r an t s ens ib l emen tL

lions . en rdsolvant d'abord un ensemble de lriangles simples et en calculant ensuite par rapport h ce| ensemble Joules les direclions suppldmeniaires. Les coordonndes gdographique~ son! ensuite cal- cul~es de proche en proche. Cette mdthode n'es! pa~ gdn6rale et ne s'appliquc pas direetemenl au cas des fermelures en coordonndes. Nous avons prdfdrd uliliser l 'emploi sysldmalique de coordonndcs approchdes obtenues pax" un calcut rapide ~ 5 d@imales.

Adams ulilise pour les variations d 'azimut une formule ne con- servant que le !erme principal de celte varia!ion. Comme on lc verra par la suite on peut conserver une prdeision bien plus grande sans compliquer sensiblement les calculs.

~. Dans Fun comme dans l 'autre cas les calculs sont i'endus plus

- - 2 3 - -

I. - - C a l c u l d e s a z i m u t s d ' u n e l i g n e g e o d e s i q u e .

a) Solu t ion gdndrale da probl~me.

Les deux inconnes Z, et Z, son t li6es pa r deux r e l a t ions cor-

r e s p o n d a n t h l ' a p p l i c a t i o n du th6or~me de Dalby et du th6or~me

de C la i r au t .

D 'apr~s le th6or6me de Dalby, la convergence des m 6 r i d i e n s

pou r une l igne .g6od6sique de l ' e l l i p so ide est, au 3" o r d r e p ros

inc lus , 6gale h c e qu ' e l l e sera i t si les po in ts consid6r6s 6 ta len t

si tu6s su r une s p h e r e ' . En d6s ignan t pa r AZ la convergence

des m6r id i ens , on a donc en ver tu des analogies de Neper :

• AM sin L,. tg --~ lg ( l )

~9 ~ AL C O S - -

(AL, AM, diff6rcnces des l a t i t udes et des l o n g i t u d e s ; L., , l a t i -

tude moyenne) .

D 'apr6s le th6or~me de Cla i rau t , b ien connu, tout le l ong

d ' u n e l igne g6od6s ique de l ' e l l i p so ide , on a de fa(~on r i gou -

l ' e l l s e

sin Z, - - cos ?, _ _ _ _ _ _ (~) sin Z.~ cos ~,

?, et ~, Slant les lat i tudes r~duites des po in t s Q, et Q, ,

Ce son! ces deux f o r m u l e s ( l ) e t (u) que nous a l lons t r ans -

f o r m e r p o u r les r end re f ac i l emen t ca iculables .

simples et plus rapides par l 'emploi des Tables dt 8 ddcimales des va- leurs nalurelles des .sinus, cosmus et tangenles dans le syst~me ddcimal r6cemment publides par le Secrdtariat de la Section de G~oddsie de l 'Union gdod5siquc et g(.oph)siquc internationale.

1. La concordance se poursui t jusqu 'au 5' ordrc prbs inclus si Fon considbre la convergence des m4ridiens des deux sections nor- males rdciproques (Volt en part iculier ANDnAE, Probl~mes de haule Gdod~sie, t raduct ion franqaise, 2 ~ cahier, Note II, Copenhague, Bianco Luno, i88i),

- - 2 4 - -

b) Formules diverses relatives ~ l'emploi des latitudes rddaites.

Nous nous b o r n e r o n s h r a p p e l e r les f o r m u l e s c l a s s iques

b = - - tg L , (3) tg ~ a

b sin L sin ~ - - a W (6)

a cos L c o s ~ - - - - W - - ' ( 5 )

dans lesquel les a et b r ep r4sen ten t les axes de l ' e l l i p s o i d e et

W est donn~ pa r la r e l a t ion

W ' = I - - e ' s i n ' L ,

(:t ap l a t i s s emen t , e ' carr6 de l ' excent r ic i t$) .

En diff~!rentiant la re la t ion (3), nous avons en ou t r e d ' ap r6s

la re la t ion (5) :

d~ b I b

dL a W ' a (I + e ' s i n ' L + . . . ) . (6)

P roposons -nous de ca lcu le r une diff6rence de l a t i t u d e r6-

du i t e Ar en fonet ion de la diff6rence de l a t i t ude AL. La for-

m u l e de Mac-Laur in d o n n e :

d~ • d~, A L . d3~ • + , + , + . . . .

' 2 d l ] ' 6 d l ~ ~

Les d(~riv~es seconde et t ro i s i$me , d ' ap r6s (6), c o n t i e n n e n t

fo rc6ment en fac teur un t e rme e n e : . Le t ro i s i~me t e rme est

done du 4" ordre . I1 p e u t 6tre ndgl ig6 et on peu t 6cr i re :

AL - - ~ + ~ ~ = \ d L / , . + L '

- - 2 5 - -

d ' o f i , f i n a l e m e n t d ' a p r ~ s (6) :

b ( ~ ) A L .

C h e r c h o n s m a i n t e n a n t u n e r e l a t i o n e n t r e ~m e t L m.

N o u s p a r t i r o n s d e la r e l a t i o n c l a s s i q u e :

+ , = L, - - - - s in u L, + . . .

?,---~ L, - - - - s in a L, + . . . 2

q u i n o u s d o n n e :

?, + % L, + L, :~ sill (L, + L,) cos (-L, - - L , ) .

(7)

N o u s r e p o r t a n t

t g ( A + ~ ) ~ - t g A ~ + s i n ~ A '

n o u s o b t i e n d r o n s a p r 6 s r 6 d u c t i o n :

b t g L,,, ~ -4- ,_X L s in ~ i" Ig ~?,,, = a . a '

I o u , e n p r e n a n t ~ = - :

~97

b ( t g ? . , ~ - - t g L , . I 4 - o , o a o - -

cA .

s i n ' i " , ) X~ . (8)

c) Etablissement des formules dd.finilives..

La f o r m u l e d e D a l b y s ' 6 c r i t :

( s ' " " A M ~ - ~ ' ) ,XZ = A M s in L,,, " " " - - - , s in" i" A L i -4- 12 ~

COS - - - (9)

- - 2 6 -

L a f o r m u l e de C l a i r a u t p e u t s ' 6c r i r e , a p r 6 s u n e t r a n s f o r -

m a t i o n t r i g o n o m 6 t r i q | | e d l 6 m e n t a i r e , e t a p r 6 s a v o i r pos6

Z, + Z~ __ Z,,, : 2

_.Xa ~.Z l g Z , , , - - I g ~ , l g - ' c o l g - - . ( t o )

2 "1

D ' a p r 6 s (8) u o u s a v o n s :

{g a,,, ~ a t g L,,, J + o ,o~o Sill ~ I" 1 " ~ .

tg

D ' a p r 6 s (7) n o u s p o u v o n s 6cr i re au 3 ~ o r d r e p r 6 s i n c l u s :

__ J + ~ , , = b ~ s in ~ . . . . l + X-E" .

E n t i n d ' a p r 6 s ( l ) n o u s p o u v o n s 6c r i rc :

.xz ( c o t g - - 7 - = l 8 Z ~ ~ -~1 . s in L.I '

sir | = 1" 21 ~ .

M u l t i p l i a n t m e m b r e ~ m e m b r e ces t ro i s d e r n i 6 r e s r e l a l i o n s

n o u s a v o n s a p r g s r 6 d u c t i o n :

tg Z,,~ - ~ -W-r %, A M. cos L,,, s in" i" - - ~ s i n ' t" )

, x n - - o . 4 8 X E ' . 1~, 1'1

D r e s s o n s u n e tab le avec a r g u m e n t rn des q u a n t i t 6 s ~y d6fi-

h i e s p a r

s in ~ i" ~ ' - - - [.L - - /"//~, (1 | )

et p o s o n s :

~-'r' = 0,48 I*Y" (12)

P o s o n s e n t ] n :

- - 2 7 - -

b" J ? T ( )

a ~ W ~- N . , 3

(? et N 6 t an t r e s p e c t i v e m e n t le r ayon de c o u r b u r e de F e l l i p s e

m 6 r i d i e n n e et la g r a n d e n o r m a l e ) , les f o r m u l e s f o n d a m e n t a l e s

s ' 6c r iven t a lo r s :

AZ AM sin L,,, : _ _ _ [ ], AL 1 -4- :'-~M z ,

C O S - -

2

T,,, A L - - ,

IgZ, , A M . c o s L , , , I - - T a . , , - - T z ~ ( t5)

On t r o u v e r a p l u s l o in u n e table u n i q u e d o n n a n t la v a l e u r

des t e r m e s en ~7 et ~',,'. Le coeff ic ient T se d g d u i t t rbs s i m -

p l e m e n t des tab les des 616men ts de l 'e l l ipso~'de ' .

Bien q u e la f o r m a t i o n des t e r m e s cor rec t i f s en ~t 7 so i l extrd-

m e m e n t s i m p l e , on p o u r r a se c o n t e n t e r darts le cas d ' u n e t r i a n -

g u l a t i o n de d6 ta i l de n ' e n t en i r c o m p t e que d a n s la f o r m u l e

(~5), ~ l ' e x c l u s i o n de la f o r m u l e ( i4 ) p o u r l aque l l e o n p r e n d r a

s i m p l e m e n t : • = A M . s in L,,,. ( Ih b~.~)

Les f o r m u l e s ( l h ) et (15) ne d6 f in i s sen t Z, et Z, q u ' h ~oo"

prbs. Mais d a n s le cas g6n6ra l on c o n n a i t t o u j o u r s h r a v a n c e

u n e v a l e u r au m o i n s g ross ib re des a z i m u t s che rchgs . Si l ' o n

c o n v i e n t de d g s i g n e r p a r Q, le p o i n t s i tu5 le p lus it I'est, on

au ra , s a n s a v o i r h s ' o c c u p e r de s igne :

AZ Z~ = Z,,~ -~- - - - IOO ,

2

AZ Z~ = Z,, - - - - - + l oo ~ .

1 I ~. Ou des lames des coefllcienls P - - R - - - - pu-

sin l " ' N sin ~' blidcs dans le s~,st~me sexag(simal (Bullelin gdod~sique n" ~ 2, octobrc- novembre-ddcemhre i926, p. ~ 5 h 23~) et clans lc syst~me cent6si- real (Bullelin gdod~sique n ~ 16, octobre-novembre-ddcembre ~9~7, p. 137-16t).

- - 2 8 - -

d) Exemple de caleul.

C6t6 Bourges -Le Vi lha in de la n o u v e l l e M 6 r i d i e n n e de P a r i s ' .

Les a z i m u t s a y a n t servi au ca l cu l d i r e c t s o n t :

Z, ~--- ~7 , .o~o~ ,9 ,0 , Z, ~ 37o.7:)/4~,66/t,

d 'of l :

Z,, - ~ ~7o .8757 ,u9 o.

Les coo rdonn~es de d6pa r t s o n t p r i s e s h o,ooo~ de seconde O,OOI

pr6s, soi t O'n,OOI. Les a z i m u t s n e s o n t d o n c d6f in i s qu ' h 6/~.ooo'

so i l o",o~ e n v i r o n , et cela quelle que soil la mdthode de calcul

employde.

Lc V i l h a i n . . . L~ ~ 5,.738~.,577o M, ~ - -o .~819 ,79~o ,, _ ~ ~/. ~ - -o .o69o ,59~2 B o u r g e s . . . L. 5~ .3~39,5~,ao M~

AL 5756,96~o A~I -~ ~t29,]998 L,~ ---~ 52.ou6i ,o6o6

log T m ~'9986~ 597 log AL 3 76ol 9 37/,

cologAM ~'38fi13 fifo

eolog cos L,, o16:~78 639

o" 3o77/~ o'~o

- - ,52 t e rme correclif - - ~'()~ ! i~2

log lg Z,,, o 3o773 7~6

AZ

Zm

colOg ~ ~'69897 ooo log AM 3"61586 59o

log sin L,, ~'86~87 6oL AL

colog c o s - ~ 3

I +~5~ terme corrccfif 7~ i - - 80

log ~ 3 t777,7o6

,5o5,6~6

Z~ ---~ 37o '7u~i ,668

i. Ballelin gdoddsique n ~ i6, oc tob re -novembrc -d6cembre 19~7, p. t72. Longueur approchde du c6t6 : 64 km.

- - 2 9 - -

I I . - - V a r i a t i o n d e s a z i m u t s d ' u n e l i g n e g 6 o d 6 s i q u e .

Nous supposerons que les var ia t ions de coordonn6es des

deux extr6mit6s Q, at Q~ sont de l 'ordre de quelques mbtres.

Les var ia t ions de T,, et des termes en ~.~" sont alors complbte-

m e n t n@ligeables . Nous n6gl igerons de mgme dans la varia-

tion de AZ la var ia t ion de sin L,,.

Les var ia t ions dZ~ et d Z seront donn6es par la relation :

I dZ, I - - dZ,,, + ~ d(• Z). dZ, ~ - -

P renons les d6riv6es logar i thmiques des relations (1~) et (l 5) ;

nous ob tenons :

dZ m sin ~" dL, - - dL~ dM, - - dM~

n Z, COS Z m AL

!

- d ( A Z ) = ( d M , 9,

A- dL, + dL~ sin t " t g L m. AM

sin L,,, - - d M ~) - -

,)

Posons :

A - - s inZ mcOsZ., . I• sin I"

I

C = - sin Z,, cos Z,, tg L .... , l

B - - sin Z,,~ cos Z,,

]AM] sin F' '

sin L.,

Nous avons :

dZ, f = d L , ( A _C) dZ~

-i- dM,(B___ D) § dL,(C --~- A) - - d M ~ ( B D).

Pour pouvo i r 6crire une formnle g6n6rale unique, il faudra i t

donne r un signe h AL et h AM, ce qui modifierai t les signes

de A et B suivant l 'extr6mit6 de la l igne g6od6sique off r o n

se trouve.

- - 3 0 - -

I 1 est pr6f6rab!e, & notre avis, pour des calculs d'ensemble,

de ne faire intervenir que les valeurs absolues de .XL et AM.

On peut alors poser :

X - - ' t + C , Y = . k - - C ,

Z ~- P , + D , W ~ B - - D .

et suivant les dispositions relatives des points Q, et Q.. utiliser

l 'une des quatre formules suivantes, dans lesquelles ,t L e t dM

repr6sentent les variations du point de station et dLj et dMj les

variations du point visg.

POSIT|O5

du point ~1~6 .I

par rapport

an point de slahon S.

~ . E .

S . O ,

V I I / l t T l O TM, I)E I , ' A Z | M I T

d Z ~ + X d L , - - ZdM, --'~dL -F ZdM a

d Z l + XdL + W d M - - YdLj --WdM

N . O .

N. E.

dZ, - - "~'dL, + WdM, + XdL, - - WdMj

dZ, l ~ - - Y d L , - - Z d M + XdLa -+- ZdMj

(,6)

('V)

(,8)

(,9)

E:cemple de calcul. - - Faisons dans l 'exemple pr6cddent :

dL ~- t -o ,9 . , d M , = + o , , , dL~---q--o,t , dM~

En reprenant le m~me calcui avec les donnbes ainsi modi-

fi6es, on obtient :

dZ, z -- ,o,388, dZ~ = - - ,o,46o.

- - 31 - -

A p p l i q u o n s les f o r m u l e s (~8) et (~6) pour calculer dZ, et dZ~.

Calculons d'abord les divers coeff icients :

s in Z,,, cos Z m __ + 43 ,8~3, B - - sin Z., cos Z,,, A - - i A L i s i n , , , s i r , , " [ . X M I - - + 6 " ~

C : - I - s i n Z . , e o s Z , , , t g L , , = + o , ~ l t D : I s i n L , , , = + o , 3 6 4 , 2

X ~ A + C ~ + 4 4 , 0 3 4 , Z ~ B ~ D z + 61 ,46 , ,

Y : - A - - C - ~ - ~ + 4 3 , 6 ~ , W - - : B - - D = + 6 0 , 7 4 3 .

dZ, : - - Y d L , + WdM, + X d L , - - W d M , : - - Ioi'393,

dZ~ = X d L , - - ZdM~ -- ~ d L , - - Z d M , --- - - ~o"h65.

Les d e u x r 6 s u l t a t s c o n c o r d e n t h 5 m i l l i e m e s de s e c o n d e prbs.

- - 3 2 - -

?y = I~ - -

xx

sin'- I I 1 a

12

T a b l e d e s ~y

(Division cent~simale de la circonJgrence.) ~y' -~- o, 68 ,~.y

A r g u m e n t

AM. AZ. AL.

nat. log.

I 2 " 0 0 0

2 ~ " 3 o 1

3 ~77 4 603

699 778

7 865 8 9o3 9 95]

lO 3 o o o

1 I o 4 1

1~ 0 7 9 ,3 t ,~ I 4 I ~ 6

,5 ~76 16 ~ofi I? 230 I 8 255

x9 279 2o 3o,

23 362 2~ 380 25 398 26 415 ~7 h3~ ~8 ~47 ~ 9 ~62 30 677 31 fi9 t 3~ 505 33 5,8 34 53i 35 5~4

Terme correctif.

?7 ?-Y'

t) 0 o o

(} 0 1 0

2 I 3 6 5 2 7 3 9.

]1 5 13 6 ,5

20 IO a3 i t 2~ 1 2

29 I 4 32 , 5

35 '7 39 '9 h3 21 47 23 51 2~ 55 26 6o 29 65 3i 7 ~ 34 75 36 8o 38 85 ~ I

9' M4 97 47

,o3 ~9 ,o 9 o~

A r g u m e n t

AM. AZ. AL.

nat. log.

% 36 3 5 5 6 37 568 38 58o 39 59 , ~o 6ou hi 613 5~ 6~3 ~3 633 ~ 6~3 ~5 653 ~6 663 67 672 ~8 68, ~9 69o 5o 699 51 708 5~ 7,6 53 72~ 5~ 732 55 7~o 56 7~8 57 756 58 763 59 77x 60 778 6[ ?85 62 79 ~ 63 799 64 8o6 65 813 66 8uo 67 826 68 83~ 69 839 7o 8~5

Tei'me correctif.

~T ?Y'

xi5 55 12a 59 ,29 6 ~ x36 65 I~3 69 15o 7 ~ x57 75 165 79 173 83 I 8 I 87

]89 91 I97 95 ao5 99 2 I ~ 103

222 107

a ~ I I 1 6 250 I 2 0

u6o 125 270 ,30 280 134 ~9 o ~39 300 , ~ 3Ix I49 32I 15~ 332 159 3~3 I65 35~ 170 365 i75 377 18, 389 I87 ~ 0 , 192

4,3 ,98 ~25 2o~ ~37 a,o

TOULOUSZ -- lmpr, et L~br. I~vou~R~ PmvAT. -- 133~, ~ ~- 1930