1

Calcul EF fluides et surfaces libres

Thierry Coupez

2

Plan

1) Exemples simulations 3D dans le domaine des matériaux

2) Calcul des écoulements

3) Calcul des surfaces libres

4) Calcul de la température et couplage thermique

5) Exemples et compléments

3

Exemples de simulations

• Virtuel : – modèles géométriques

– Visualisation, images, animation

• Simulation – Mécanique

– Physique

– Résolution d ’équations --> visualisation des résultats

4

6LPXODWLRQ�GH�O¶LQMHFWLRQ�G¶XQ�VLWH�G¶DFFqV�YDVFXODLUH��ELRPpGLFDO�

Rem3DInjection des polymères

5

Rem3D

Fluide incompressibleGrandes surfaces librescontact matière moulematière matièrerhéologie thermo-dépendanteauto-échauffement

6

Les calculs 3D : + description des écoulements dans l’épaisseur

adaptation de maillage

Effet fontaine et front de matière- fluide visqueux incompressible

- contact collant

7

La simulation numérique

• Equations générales de la mécanique

• Des modèles physiques:– comportement rhéologique :

• pseudoplasticité

• viscoélasticité

– comportement thermique• thermodépendance de la viscosité

• conduction thermique

• compressibilité

• Des méthodes numériques générales

8

+−∇=∇+∂∂

=∇+

=∇−

)(:.).(

0.

.

YTY7W7F

YGWG

J

εσρ

ρρρσγρ

Equations générales de la mécanique :

Equilibre

Conservation de la masse

Conservation del’énergie

∇=

==

)(

),(

0),(

7IRQFWLRQT7SIRQFWLRQ

YpTXDWLRQρ

σModèles physiques :(constantes matériaux)

9

P1+/P1(MINI-élément)solveur itératif(résidu conjugué précondionné)

Stokes

Surface libre domaine fluide

thermique Convection diffusion : Galerkin discontinu espace temps

V et P

5HPSOLVVDJH �'�5HP�'

Equation de transport : Galerkin discontinue espace temps -adaptation de maillage

10

Calcul des écoulements VROYHXU YLWHVVH�SUHVVLRQ

Rhéologie des polymères

• Fluides visqueux – Loi de Carreau

– Loi Puissance

– Loi de Cross

• Dépendance des paramètres avec la température : loi d ’Arrhenius

11

=

=∇+

=∇++∇−

),)((

0.

))(2.(

7Y

YGWG

JSY

εηη

ρρρτηεγρ

Modèle de base pour les écoulements de fluides fortement visqueux :Problème de Stokes

inertie

gravité

viscoélasticité

compressibilité • )OXLGHV�YLVTXHX[�– /RL�GH�&DUUHDX– /RL�3XLVVDQFH– /RL�GH�&URVV

• 'pSHQGDQFH�DYHF�OD�WHPSpUDWXUH���$UUKHQLXV

12

Modèle de base des écoulements de polymère fondu :le problème Stokes généralisé :

( ) Ω

=∇=∇−∇ GDQVY

SYY0.

0)()(2.&

&�

& εη

Ω∂=Ω∂=

F

I

VXUYYVXU)Q

0

.&&

&&σ+ Conditions limites :

Surface libre, interface moule (métal) polymère, seuil d ’injection...

13

Utilité des mailleurs automatiques

14

Méthodes éléments finis en mécanique des fluides

• Maillages à base de tétraèdres

• Eléments finis

• Incompressibilité , éléments finis mixtes

• Fluides très visqueux : résolution implicite

• Convection et convection diffusion : méthodes de Galerkin discontinu

15

0pWKRGHV�GHV�pOpPHQWV�ILQLV��équations fortes

équations faibles - formulation variationnelle

( )

Ω=∇=∇−∇ GDQVY

SYY0.

0)()(2.&

&�

& εη

∈∀=∇

∈∀=∇−

∫∫∫

Ω

Ω Γ

4TYT9ZZ)ZSZY

)

0.

..))(:)((2 0&

&&&&&& εεη

Espaces fonctionnelles :

( )

{ }

=∈=Ω=Ω=

Γ 0,

)(

)(

00

2

31

Z9Z9/4+9

16

∈∀=∇

∈∀=∇−

∫∫∫

Ω

Ω ΓK

KKK

KKKKKKK

4TYT9ZZ)ZSZY

)

0.

..))(:)((2 0&

&&&&&& εεη

4499

KKK

K

0

0

→

→

→

→

Approcher les espaces fonctionnelles par des espaces de dimensions finis.

Méthodes des éléments finis

Résoudre le problème approché

17

Méthodes des éléments finis

•Construction de fonction polynomiales par morceaux en utilisant une décomposition du domaine en éléments géométriques simples donnéepar le maillage.•Exemple : décomposition en simplexes (segments, triangles, tétraèdres) => représentation naturelle d ’une base polynomiale exacte en assurant la continuité..

.. κ∈=Ω �

{ })(),(0 .3X&X6 Q.QK ∈Ω∈=

triangulation

Fonctions continues, polynôme de degré n sur chaque élément

18

{ })(),(0 .3X&X6 Q.QK ∈Ω∈=

{ })(),( 100 .+E&E% .KKK ∈Ω∈=

PKK

GK

GK

GQKK

64%69

=++= )()()( IE

{ }F face la partageant éléments)(

,))((),( 100

=∈Ω∈=

).).+E&E )KKKIE

Fonctions continues de degré n sur chaque élément :

Fonctions bulles s’annulant sur le bord de chaque élément :

Fonctions bulles par face définie à partir des faces des éléments :

Construction d ’espaces d ’approximation compatibles :

19

Eléments finis mixtes pour triangles et tétraèdres

à pression continue à pression discontinue

P1+/P1ordre 1

P2/P1ordre 2

P1++/P0ordre 1

P2++/P0ordre 2

20

Les méthodes d ’approximation et l’algèbre linéaire

Méthodes d ’approximation : méthodes spectrales

Résolution de grands système linéaires :Ax= b

Volumes Finis, éléments finis différences finis conduisent à des matrices dites creuses

21

∈∀=∇

∈∀=∇−

∫∫∫

Ω

Ω Γ

�

���

�

�������

4TYT9ZZ)ZSZYY

�

0.

..))(:)()()((2 0&

&&&&&&& εεεη

==∇

==∇−

∫ ∑

∫∫ ∑∑

Ω

Ω

=

Γ==

0O9

1L)39MK

1

M

MOK

LK

LK

0

N

NK

NK

LK

MK

1

M

M�

,..,10.

,..,1..))(:)(2

1

11

ψϕ

ψψϕψεψεη

*

*&***

∑

∑∑

=

==

=

=⇒=

0

N

NK

NKK

MK

1

M

MK

MK

1

M

MK

3S

9Y9Y

1

11

)()(

ϕ

ψεεψ *&*&

⇔

=

00

)( )39

%%9$ 7

Eléments finis => un nombre fini de fonctions de base

Expression de la forme variationnelle à l ’aide des fonctions de base

Système algébrique

22

Cas non linéaire : méthode de Newton

E[[+

[\[[$\[$\[+

E[[$

NN =

∂∂+=

=

+1)(

))(

()()(

)( Système non linéaire

Hessien

Résolution itérative : une suite de systèmes linéaires

23

Forme algébrique symétrique indéfinie :

=

00

)( ISY

%%Y$

K

K7

K

Forme mixte stable ou stabilisation :Cas de l’ajout d ’une bulle

KKK EXY +=

24

=

00

0

0

JI

SEX

++++++

K

K

K

ESYS

7ESEE

7YSYY

=

− K

ISY

&+++

YS

7YSYY

Bulle :

+ Condensation de la bulle

= formulation stabilisée -C = matrice semi définie négativeà diagonale non nulle

25

Méthodes de résolution des systèmes linéaires:• directe : Cholesky (Crout)•Itérative :

- Bi gradient conjugué (BCG)- GMRES- Résidu minimal : PCR, MINRES pour le problème de

Stokes stabilisé (W&S,94)

Complexités asymptotiques des méthodes directe et itérative avec préconditionnement diagonal bloc diagonal (BDS):

�' �''LUHFW 4 N² 32 N2.333&5��%'6� 144 N × O(N0,75)

= O(N1,75)768 N × O(N0.5)= O(N1.5)

26

/H��'���WUqV�IDYRUDEOH�DX[�PpWKRGHV�LWpUDWLYHV/H��'���SOXV�GLIILFLOH

Amélioration du préconditionnement : factorisation incomplète incomplet (ILU)

nombre d’itérations théorique en 2D = 1����� en 2D mais, 0.625 mesuré. Comparaison des préconditionnements en 2D :

'RI 1] ,/8 %'6���� 48450 384 (3s) 1235 ( 6s)����� 186 714 834 (39 s) 3248 (76 s)����� 324 969 1258 (143 s) 4917 (239 s)����� 642 327 1913 (511 s) 7951 (958 s)����� 1 037 616 2605 (1173 s) 11797 (2454 s)

27

Résolution de système linéaire dans les cas instationnaires

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3

7HPS

V��V�

3UpFRQGLWLRQQHXUV

���Préconditionneur Cholesky Incomplet

���Préconditionneur bloc diagonal���Préconditionneur diagonal vitesse et pression

28

Comparaison de « toutes » les méthodes itératives (PETSc)

7HPS

V��V�

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Cem

ef -

cr✻

cr ✻ cgs

bcgs

bicg

gmre

s

richa

rdso

n ✻

29

Parallélisation

Codes de calcul implicite en mise en forme : 80% du temps de calcul dans la résolution des systèmes linéaire

Résolution des système linéaire :- méthodes itératives- partition

Parallélisation complète d’un code de calcul :- un paradigme : SPMD- partitionnement de maillage

30

�1S

LL

1=Ω=Ω

∑∑=

ΩΩ=

Ω =⇔=13

L

13

L LLLE[$E$[

11

Efficacité parallèle :volume de calcul >> volume de communication=> volume des sous domaines >> frontière des sous domaines

)()(1,11

11

∑∑∑

∑∑

=Ω∩Ω

=Ω∩Ω

=Ω

=ΩΩ

=ΩΩ

+−=

=−=

−=

13

ML

13

M

13

L

R

13

L

13

L

MLMLL

LLLL

UUU

U[$E$[EU

31

Préconditionnement parallèle:

∑=

−− =13

LLL

7L 5353

1

11

'LDJRQDO�:séquentiel = parallèle

�OH�QRPEUH�G ¶LWpUDWLRQV�QH�GpSHQG�SDV�GX�QRPEUH�GH�VRXV�GRPDLQHV�

,/8�:parallèleséquentiel ≠

QRPEUH�G ¶LWpUDWLRQV�GpSHQG�GX�QRPEUH�GH�VRXV�GRPDLQHV� !PpWKRGH�GH�GpFRPSRVLWLRQ�GH�GRPDLQH

32

3URFHVVHXUV WHPSV DFFpOpUDWLRQ (IILFDFLWp�%�� 1169 15 94�� 987 18 90�� 859 21 87,5�� 748 24 80�� 679 26 76

Cas réel à 50 000 nœuds 250 000 éléments en 3D , préconditionnementbloc diagonal, machine IBM SP2 (publié en 1997)

3URFHVVHXUV WHPSV DFFpOpUDWLRQ 1ELWpUDWLRQVPR\HQ

GLUHFW 9h28’ - 1� 8h01’ 1 81� 5h24’ 1,48 99� 2h31’ 3,18 105�� 1h22’ 5,86 126

Cas 2D complet :parallèle + ILU PCR + Non linéaire + instationnaire

33

Calculs de surfaces libres

• Avancée du front de matière

• Surface libre en mouvement

• interaction : contact polymère moule, polymère polymère

• effet fontaine

• etc...

YLGHIOXLGH1f =� 0f =�

34

)(WIOXLGHIOXLGH Ω=Ω

Prolongement :La cavité = le domaine fluide + le domaine vide

Ω

Domaine déformable dépendant du temps

)()( WW IOXLGHYLGH Ω−Ω=Ω

Domaine fixe :

IOXLGHΩ YLGHΩ

Ω

Surfacelibre

35

)(0.

))(2.( WGDQVYISY

IOXLGHΩ

=∇=∇−∇ ηε

∀=∇

∀=∇−

∫

∫

Ω

Ω

TYTZZSZY

W

W

IOXLG

IOXLG

0.

0.))(:)((2

)(

)(εεη

Problème de Stokes dans le domaine fluide

Forme forte

Forme faible

36

Ω∈∀=Ω

∇

Ω∈∀=Ω ∇−

∫∫

Ω

Ω

)(0).(1

)(0).))(:)((2(1

2)(

31)(

/TYT+ZZSZY

W

W

IOXLG

IOXLGεεη

Formulation faible pondérée:

)(,0

)(,1)(1 )(

W[W[[

IOXLG

IOXLGWIOXLGΩ∉=

Ω∈=Ω

La fonction caractéristique du domaine fluide:

�I=� 0f =�

37

Représentation du domaine fluide

• Approche Lagrangienne– Maillage du domaine fluide : – la surface du maillage est la frontière

du domaine fluide

• Approche Eulérienne :– La surface libre traverse les éléments– Représentation du domaine fluide

• Une fonction de presence• Méthode VOF• Méthode LevelSet

YLGHIOXLGH1f =� 0f =�

10 f ≤≤ �

38

)(11)(1)(

[[ ..

.IK ∑Ω∈

Ω =τ

Interpolation discontinue P0 :

.. IOXLG. Ω= �1

$SSUR[LPDWLRQ�pOpPHQWV ILQLV�G¶XQH IRQFWLRQ FDUDFWpULVWLTXHApproximation de bas degré (P0) ~ V.O.FApproximation de haut degré (>= P1) ~ la fonction distance : levelset

Fraction volumique

39

Conservation de la masse : 01 =⇒ Ω IGWG

+ΩΩ ∈∀Ω∈∀=∇+∂

∂ ,5W[YW IOXLGHIOXLGH ,0.11

Résolution:Schéma numérique pour la convection en éléments finis :

•interpolation continue :•stabilisation : SUPG, least square, Caractéristiques...

•Interpolation discontinue :•Galerkin discontinu (Lesaint Raviart), explicite implicit•*DOHUNLQ GLVFRQWLQX HVSDFH�WHPSV���'�

0RXYHPHQW GH�OD�VXUIDFH�OLEUH

40

∫∑∫∫ Ω∂Ω =+∇⇒

=∇

− K. .

KKKK IQYY

IY

ββαβα

α

.][.

.

Méthode de Galerkin discontinu :•Approximation discontinue d ’un élément à l’autre•Prise en compte du « saut » des variables dans les formulations variationnelles:

Saut = différence à l ’interface

41

∂∂∇

=∇

=W

HWYY ~1

~

0~.~ =∇ Yα

Le problème instationaire 3D est identique au problème stationnaire en 4D

Dans un espace 4D :

YWGWG

.ααα ∇+∂∂=

Problème instationnaire de convection pure

42

∑ ∫ ∑ ∫

⋅−∇>=∇<

∂∈

−

. . .) )).

). QYYY ~ ~ ~~ ~

~~

~~ )~~(][~.

~,~.

~ φαφαφα

0pWKRGH GH�*DOHUNLQ GLVFRQWLQX HQ��'�

Saut amont

∑=

+×=×=∀−=N

SQQQ

SQ

,S..K WW.,..WWW[ Q

01,~ [,]

~)(),( αα

Maillage structuré en temps non structuré en espace(hyperprisme)

Élément “prismatique” : Pn en temps Pk en espace

43

Capture d’interfaces par adaptation de maillage

).( −∇+∂∂= YWGW

G ααα

v vitesse du fluide8 vitesse du maillage

dérivée matérielle :

Déplacement des nœuds du maillage : (r-adaptation)

Réduire la diffusion à l’interface fluide vide

8

44

Schéma d ’adaptation

Soit

On souhaite obtenir par déformations locales un maillage de

un maillage de

45

Schéma d ’adaptation

Maillage visé

On souhaite réduire le volume des éléments traversés par la frontière

Maillage initial

46

Schéma d ’adaptation

Fonction caractéristique de

Projection de sur

Erreur d’interpolation :

47

Schéma d ’adaptationMéthode de barycentrage pondéré :

Équivaut à résoudre le problème d’optimisation :

Avec : Résolution itérative type Gauss-Seidel.

48

Schéma d ’adaptationPour chaque nœud, on cherche la position optimale YLD une homothétie centrée par rapport aux barycentres des éléments auxquels il estconnecté :

Avec : l’ensemble des éléments connectés au nœud.

Le problème d’optimisation peut donc se réécrire :

Il convient de déterminer le vecteur :

49

Les calculs 3D : + description des écoulements dans l’épaisseur

adaptation de maillage

Effet fontaine et front de matière- fluide visqueux incompressible

- contact collant

50

Effets d ’inertie et surfaces libres

=∇

=∇+∇−

0.

))(2.(

YJSY ρηεγρ

Termes deviennent importants

1) Polymères fondus : η/ρ ~ 102) Élastomère, résine thermodurcissable : η/ρ ~ 10-23) Métal fondu : η/ρ ~ 10-6

5HP�'�&)' : 1$9,(5�672.(6

51

Rem3D _ Navier Stokes

Écroulement d ’une colonne de liquide

52

Adaptation de maillage

53

�'�GDP�EUHDNLQJ�LQ�D�UHFWDQJXODU�ER[

54

Instabilités de surface libre : inertie+gravite contre viscosité

« Miel » liquide ...

55

– lentille ophthalmologique (ESSILOR)

– Défaut de bulle : la rhéologie

Front de matière+Champ de pression

56

,QMHFWLRQ�FODVVLTXH���UHPSOLVVDJH�G¶XQH�OHQWLOOH�(66,/25

Simulation

Formation d’une bulle en fin de remplissage.

Expérience

REM3D

57

&DUWHU��36$�